Incalzitoare electrice

Rezolvarea inegalităților liniare. Inegalități pătrate

Cum se rezolvă inegalitățile liniare? Pentru început, inegalitatea trebuie simplificată: deschideți parantezele, aduceți termeni similari.

Luați în considerare exemple de rezolvare a inegalităților liniare cu o variabilă.

Deschidem parantezele. Dacă există un factor în fața parantezelor, îl înmulțim cu fiecare termen din paranteze. Dacă există un semn plus înainte de paranteze, caracterele dintre paranteze nu se schimbă. Dacă există un semn minus înaintea parantezelor, semnele dintre paranteze sunt inversate.

Prezentăm termeni similari.

Se obține o inegalitate de forma ax+b≤cx+d. Transferăm necunoscutele într-o parte, pe cele cunoscute în cealaltă cu semne opuse (s-a putut mai întâi să transferăm necunoscutele într-o parte, pe cele cunoscute în cealaltă, și abia apoi să aducem termeni similari).

Împărțiți ambele părți ale inegalității la numărul de dinaintea lui x. Deoarece 8 este mai mare decât zero, semnul inegalității nu se modifică:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Din moment ce, marchem punctul -2 pe linia numerică completată. de la -2 la minus infinit.

Deoarece inegalitatea nu este strictă și punctul este completat, scriem -2 în răspuns cu paranteză pătrată.

Pentru a trece de la zecimale la numere întregi, puteți înmulți ambele părți ale inegalității cu 10 (acest lucru nu este necesar. Puteți lucra cu zecimale).

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Înmulțirea ambelor părți cu un număr pozitiv nu schimbă semnul inegalității. Înmulțiți cu 10 pentru fiecare termen. Când înmulțim un produs cu 10, folosim proprietatea asociativă a înmulțirii, adică înmulțim doar un factor cu 10.

Extinderea parantezelor:

Iată termeni similari:

Transferăm necunoscutul într-o parte, cunoscutul în cealaltă cu semne opuse:

Împărțiți ambele părți ale inegalității la numărul de dinaintea lui x. Deoarece -6 este negativ, semnul inegalității este inversat:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Reducem fracția:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Deoarece inegalitatea este strictă, notăm -2/3 pe linia numerică cu un punct perforat. Hașura merge la dreapta, la plus infinit:

Inegalitatea este strictă, punctul este perforat, așa că notăm răspunsul -2/3 cu o paranteză:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Deschidem parantezele. Dacă există un semn minus înainte de produsul dintre două paranteze, este convenabil să efectuați mai întâi înmulțirea și abia apoi să deschideți parantezele, schimbând semnul fiecărui termen la opus:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Iată termeni similari:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Necunoscute - într-o direcție, cunoscute - în cealaltă cu semne opuse:

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com">!}

Împărțiți ambele părți ale inegalității la numărul de dinaintea lui x. De la -10<0, знак неравенства меняется на противоположный:

Deoarece inegalitatea este strictă, notăm 1,6 pe linia numerică cu un punct. Hașura de la 1,6 merge la stânga, la minus infinit:

Deoarece inegalitatea este strictă și punctul este perforat, scriem 1.6 ca răspuns cu o paranteză.

Ce trebuie să știți despre pictogramele inegalității? Inegalități de pictograme Mai mult (> ), sau Mai puțin (< ) sunt numite strict. Cu icoane mai mult sau egal (≥ ), mai putin sau egal (≤ ) sunt numite nestrict. Pictogramă nu este egal (≠ ) stă singur, dar trebuie să rezolvați tot timpul exemplele cu o astfel de pictogramă. Și noi vom.)

Pictograma în sine nu are prea mult efect asupra procesului de soluție. Dar la finalul soluției, la alegerea răspunsului final, sensul pictogramei apare cu forță! După cum vom vedea mai jos, în exemple. Sunt niste glume...

Inegalitățile, ca și egalitățile, sunt credincios și necredincios. Totul este simplu aici, fără trucuri. Să zicem 5 > 2 este inegalitatea corectă. 5 < 2 este incorect.

O astfel de pregătire funcționează pentru inegalități orice felși simplu de groază.) Trebuie doar să executați corect două (doar două!) acțiuni elementare. Aceste acțiuni sunt familiare tuturor. Dar, ceea ce este tipic, stâlpii din aceste acțiuni sunt principala greșeală în rezolvarea inegalităților, da... Prin urmare, aceste acțiuni trebuie repetate. Aceste acțiuni se numesc astfel:

Transformări identitare ale inegalităților.

Transformările identitare ale inegalităților sunt foarte asemănătoare cu transformările identitare ale ecuațiilor. De fapt, aceasta este principala problemă. Diferențele trec pe lângă cap și... au sosit.) Prin urmare, voi evidenția aceste diferențe în special. Deci, prima transformare identică a inegalităților:

1. Același număr sau expresie poate fi adăugat (scăzut) la ambele părți ale inegalității. Orice. Semnul inegalității nu se va schimba.

În practică, această regulă se aplică ca un transfer de termeni din partea stângă a inegalității în partea dreaptă (și invers) cu o schimbare de semn. Cu o schimbare a semnului termenului, nu inegalitate! Regula unu-la-unu este aceeași cu regula pentru ecuații. Dar următoarele transformări identice în inegalități diferă semnificativ de cele în ecuații. Așa că le evidențiez cu roșu:

2. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu același lucrupozitivnumăr. Pentru oricepozitiv Nu se va schimba.

3. Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu același lucrunegativ număr. Pentru oricenegativnumăr. Semnul inegalității de aicise va schimba la invers.

Vă amintiți (sperați...) că o ecuație poate fi înmulțită/împărțită cu orice. Și pentru orice număr și pentru o expresie cu x. Atâta timp cât nu este zero. El, ecuația, nu este nici cald, nici rece din asta.) Nu se schimbă. Dar inegalitățile sunt mai sensibile la înmulțire/împărțire.

exemplu ilustrativ pentru memoria lungă. Scriem o inegalitate care nu provoacă îndoieli:

5 > 2

Înmulțiți ambele părți cu +3, primim:

15 > 6

Există obiecții? Nu există obiecții.) Și dacă înmulțim ambele părți ale inegalității originale cu -3, primim:

15 > -6

Și aceasta este o minciună totală.) O minciună completă! Păcălirea oamenilor! Dar, de îndată ce semnul inegalității este inversat, totul cade la locul său:

15 < -6

Despre minciuni și înșelăciune - nu jur doar.) „Am uitat să schimb semnul inegalității...”- aceasta este Acasă eroare în rezolvarea inegalităților. Această regulă banală și necomplicată a rănit atât de mulți oameni! Care au uitat...) Așa că jur. Poate iti amintesti...)

Cei care sunt deosebit de atenți vor observa că inegalitatea nu poate fi înmulțită cu o expresie cu x. Respect atent!) Și de ce nu? Răspunsul este simplu. Nu cunoaștem semnul acestei expresii cu x. Poate fi pozitiv, negativ... Prin urmare, nu știm ce semn de inegalitate să punem după înmulțire. O schimbi sau nu? Necunoscut. Desigur, această limitare (interdicția înmulțirii / împărțirii unei inegalități cu o expresie cu x) poate fi ocolită. Dacă chiar ai nevoie de el. Dar acesta este un subiect pentru alte lecții.

Toate acestea sunt transformări identice ale inegalităților. Permiteți-mi să vă reamintesc din nou că lucrează pentru orice inegalităților. Și acum puteți trece la anumite tipuri.

Inegalități liniare. Soluție, exemple.

Inegalitățile liniare se numesc inegalități în care x este de gradul întâi și nu există împărțire cu x. Tip:

x+3 > 5x-5

Cum se rezolvă aceste inegalități? Sunt foarte usor de rezolvat! Și anume: cu ajutorul reducem cea mai confuză inegalitate liniară direct la răspuns. Asta e toata solutia. Voi evidenția punctele principale ale soluției. Pentru a evita greșelile stupide.)

Rezolvăm această inegalitate:

x+3 > 5x-5

Rezolvăm în același mod ca o ecuație liniară. Cu singura diferenta:

Atenție mare la semnul inegalității!

Primul pas este cel mai comun. Cu x - la stânga, fără x - la dreapta ... Aceasta este prima transformare identică, simplă și fără probleme.) Nu uitați decât să schimbați semnele membrilor transferați.

Se păstrează semnul inegalității:

x-5x > -5-3

Va prezentam altele asemanatoare.

Se păstrează semnul inegalității:

4x > -8

Rămâne de aplicat ultima transformare identică: împărțiți ambele părți la -4.

Împarte la negativ număr.

Semnul inegalității va fi inversat:

X < 2

Acesta este răspunsul.

Așa se rezolvă toate inegalitățile liniare.

Atenţie! Punctul 2 este desenat alb, adică. nevopsite. Gol în interior. Asta înseamnă că ea nu este inclusă în răspuns! Am desenat-o atât de sănătoasă intenționat. Un astfel de punct (gol, nu sănătos!)) în matematică se numește punct punctat.

Numerele rămase pe axă pot fi marcate, dar nu sunt necesare. Numerele străine care nu au legătură cu inegalitatea noastră pot fi confuze, da ... Trebuie doar să rețineți că creșterea numerelor merge în direcția săgeții, adică. numerele 3, 4, 5 etc. sunteți La dreapta doi și numerele 1, 0, -1 etc. - La stânga.

Inegalitatea x < 2 - strict. X este strict mai mic de doi. Când aveți îndoieli, verificarea este simplă. Inlocuim un numar indoielnic in inegalitate si ne gandim: "Doi este mai putin decat doi? Bineinteles ca nu!" Exact. Inegalitatea 2 < 2 gresit. Un doi nu este bun pentru un răspuns.

Un singur este suficient de bun? Desigur. Mai puțin... Și zero este bun și -17 și 0,34... Da, toate numerele care sunt mai mici de doi sunt bune! Și chiar și 1.9999 .... Măcar puțin, dar mai puțin!

Deci marcam toate aceste numere pe axa numerelor. Cum? Există opțiuni aici. Prima opțiune este eclozarea. Plasăm mouse-ul peste imagine (sau atingem imaginea de pe tabletă) și vedem că zona x-urilor bilei care se potrivește cu condiția x este umbrită < 2 . Asta e tot.

Să luăm în considerare a doua opțiune din al doilea exemplu:

X ≥ -0,5

Desenați o axă, marcați numărul -0,5. Ca aceasta:

Ai observat diferența?) Ei bine, da, e greu să nu observi... Acest punct este negru! Pictat peste. Aceasta înseamnă că -0,5 incluse în răspuns. Aici, apropo, verifică și încurcă pe cineva. Inlocuim:

-0,5 ≥ -0,5

Cum așa? -0,5 este nimic mai mult de -0,5! Există mai multe pictograme...

E bine. Într-o inegalitate nestrictă, tot ceea ce se potrivește pictogramei este potrivit. Și egală se potrivesc şi Mai mult bun. Prin urmare, -0,5 este inclus în răspuns.

Deci, am marcat -0,5 pe axă, rămâne de marcat toate numerele care sunt mai mari de -0,5. De data aceasta marchez intervalul de valori x potrivite cătuşe(din cuvânt arc) mai degrabă decât eclozare. Treceți cu mouse-ul peste imagine și vedeți acest arc.

Nu există nicio diferență specială între hașurare și arcade. Fă cum spune profesorul. Dacă nu există profesor, trageți brațele. În sarcinile mai complexe, eclozarea este mai puțin evidentă. Poți fi confuz.

Așa sunt desenate inegalitățile liniare pe axă. Să trecem la următoarea caracteristică inegalităților.

Scrieți un răspuns pentru inegalități.

A fost bine în ecuații.) Am găsit x și am notat răspunsul, de exemplu: x \u003d 3. În inegalități, există două forme de scriere a răspunsurilor. Unu - sub forma inegalității finale. Bun pentru cazuri simple. De exemplu:

X< 2.

Acesta este un răspuns complet.

Uneori se cere să scrieți același lucru, dar într-o formă diferită, prin goluri numerice. Apoi intrarea începe să pară foarte științifică):

x ∈ (-∞; 2)

Sub icoană ∈ ascunzând cuvântul „aparține”.

Intrarea sună astfel: x aparține intervalului de la minus infinit la doi neincluzând. Destul de logic. X poate fi orice număr din toate numerele posibile de la minus infinit la doi. Dublul X nu poate fi, ceea ce ne spune cuvântul "neincluzând".

Unde este în răspunsul că "neincluzând"? Acest fapt este notat în răspuns. rundă paranteză imediat după deuce. Dacă doi s-ar include, paranteza ar fi pătrat. Iată-l: ]. Următorul exemplu folosește o astfel de paranteză.

Să notăm răspunsul: x ≥ -0,5 prin intervale:

x ∈ [-0,5; +∞)

Citeste: x aparține intervalului de la minus 0,5, inclusiv, până la plus infinit.

Infinitul nu se poate porni niciodată. Nu este un număr, este un simbol. Prin urmare, în astfel de intrări, infinitul coexistă întotdeauna cu o paranteză.

Această formă de înregistrare este convenabilă pentru răspunsuri complexe constând din mai multe lacune. Dar - doar pentru răspunsurile finale. În rezultatele intermediare, unde se așteaptă o soluție ulterioară, este mai bine să folosiți forma obișnuită, sub forma unei inegalități simple. Ne vom ocupa de asta în subiectele relevante.

Sarcini populare cu inegalități.

Inegalitățile liniare în sine sunt simple. Prin urmare, sarcinile devin adesea mai dificile. Deci, să cred că era necesar. Acest lucru, dacă din obișnuință, nu este foarte plăcut.) Dar este util. Voi arăta exemple de astfel de sarcini. Nu pentru tine să le înveți, este de prisos. Și pentru a nu vă teme când vă întâlniți cu exemple similare. Un pic de gândire - și totul este simplu!)

1. Găsiți oricare două soluții pentru inegalitatea 3x - 3< 0

Dacă nu este foarte clar ce să faceți, amintiți-vă de regula principală a matematicii:

Dacă nu știi ce să faci, fă ce poți!

X < 1

Şi ce dacă? Nimic special. Ce ni se cere? Ni se cere să găsim două numere specifice care sunt soluția unei inegalități. Acestea. se potrivește cu răspunsul. Două orice numerele. De fapt, acest lucru este jenant.) Câteva 0 și 0,5 sunt potrivite. Un cuplu -3 și -8. Da, există un număr infinit de aceste cupluri! Care este răspunsul corect?!

Eu raspund: totul! Orice pereche de numere, fiecare dintre ele mai mică de unu, ar fi raspunsul corect. Scrie ce vrei. Să mergem mai departe.

2. Rezolvați inegalitatea:

4x - 3 ≠ 0

Lucrări de genul acesta sunt rare. Dar, ca inegalități auxiliare, la găsirea ODZ, de exemplu, sau la găsirea domeniului unei funcții, acestea sunt întâlnite tot timpul. O astfel de inegalitate liniară poate fi rezolvată ca o ecuație liniară obișnuită. Doar peste tot, cu excepția semnului „=" ( egală) pune semnul " ≠ " (nu este egal). Deci veți ajunge la răspuns, cu un semn de inegalitate:

X ≠ 0,75

În mai mult exemple dificile mai bine să o faci în alt mod. Faceți inegalitatea egală. Ca aceasta:

4x - 3 = 0

Rezolvați-l cu calm așa cum ați învățat și obțineți răspunsul:

x = 0,75

Principalul lucru, la sfârșit, când notăm răspunsul final, este să nu uităm că am găsit x, care dă egalitate.Și avem nevoie de - inegalitate. Prin urmare, pur și simplu nu avem nevoie de acest X.) Și trebuie să-l notăm cu pictograma corectă:

X ≠ 0,75

Această abordare duce la mai puține erori. Cei care rezolvă ecuații pe mașină. Și pentru cei care nu rezolvă ecuații, inegalitățile, de fapt, sunt inutile ...) Un alt exemplu de sarcină populară:

3. Găsiți cea mai mică soluție întreagă a inegalității:

3(x - 1) < 5x + 9

În primul rând, rezolvăm pur și simplu inegalitatea. Deschidem parantezele, transferăm, dăm altele similare... Obținem:

X > - 6

Nu s-a întâmplat!? Ai urmat indicatoarele? Și în spatele semnelor membrilor și în spatele semnului inegalității...

Să ne imaginăm din nou. Trebuie să găsim un anumit număr care să se potrivească atât cu răspunsul, cât și cu condiția „cel mai mic număr întreg”. Dacă nu vă prinde imediat, puteți pur și simplu să luați orice număr și să-l dați seama. Doi este mai mare decât minus șase? Desigur! Există un număr mai mic potrivit? Desigur. De exemplu, zero este mai mare decât -6. Și chiar mai puțin? Avem nevoie de cel mai mic posibil! Minus trei este mai mult decât minus șase! Poți deja să prinzi modelul și să nu mai trimiți prostește numerele, nu?)

Luăm un număr mai aproape de -6. De exemplu, -5. Răspuns executat, -5 > - 6. Puteți găsi un alt număr mai mic de -5 dar mai mare de -6? Puteți, de exemplu, -5,5 ... Stop! Ni s-a spus întreg soluţie! Nu se rostogolește -5,5! Dar minus șase? Eee! Inegalitatea este strictă, minus 6 nu este mai puțin decât minus 6!

Deci răspunsul corect este -5.

Sperăm cu o alegere de valoare de la solutie comuna totul clar. Alt exemplu:

4. Rezolvați inegalitatea:

7 < 3x+1 < 13

Cum! O astfel de expresie se numește inegalitate triplă. Strict vorbind, aceasta este o notație prescurtată a sistemului de inegalități. Dar mai trebuie să rezolvi astfel de inegalități triple în unele sarcini... Se rezolvă fără sisteme. Prin aceleași transformări identice.

Este necesar să simplificăm, să aducem această inegalitate la un X pur. Dar... Ce să transferi unde!? Aici este momentul să ne amintim că schimbarea stânga-dreapta este formă scurtată prima transformare identică.

Și forma completă arată astfel: Puteți adăuga/scădea orice număr sau expresie la ambele părți ale ecuației (inegalitate).

Sunt trei părți aici. Deci vom aplica transformări identice tuturor celor trei părți!

Deci, să scăpăm de cel din partea de mijloc a inegalității. Scădeți unul din toată partea de mijloc. Pentru ca inegalitatea să nu se modifice, scădem una din celelalte două părți. Ca aceasta:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Deja mai bine, nu?) Rămâne să împărțim toate cele trei părți în trei:

2 < X < 4

Asta e tot. Acesta este răspunsul. X poate fi orice număr de la doi (neincluzând) la patru (neincluzând). Acest răspuns este scris și la intervale, astfel de intrări vor fi în inegalități de pătrat. Acolo sunt cel mai comun lucru.

La sfârșitul lecției, voi repeta cel mai important lucru. Succesul în rezolvarea inegalităților liniare depinde de capacitatea de a transforma și simplifica ecuațiile liniare. Dacă în acelaşi timp urmați semnul inegalității, nu vor fi probleme. Ce iti doresc eu. nici o problemă.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Inegalitățile și sistemele de inegalități este unul dintre subiectele abordate liceuîn algebră. În ceea ce privește dificultatea, nu este cea mai dificilă, pentru că are reguli simple (despre ele puțin mai târziu). De regulă, școlarii învață soluția sistemelor de inegalități destul de ușor. Acest lucru se datorează și faptului că profesorii pur și simplu își „antrenează” elevii pe această temă. Și nu pot decât să facă acest lucru, pentru că este studiat în viitor cu utilizarea altor cantități matematice și este verificat și pentru OGE și Examenul de stat unificat. În manualele școlare, subiectul inegalităților și sistemelor de inegalități este tratat în detaliu, așa că dacă urmează să o studiezi, atunci cel mai bine este să apelezi la ele. Acest articol redă doar materiale mari și pot exista unele omisiuni în el.

Conceptul de sistem de inegalități

Dacă ne întoarcem la limbajul științific, putem defini conceptul de „sistem de inegalități”. Acesta este un astfel de model matematic, care reprezintă mai multe inegalități. Acest model, desigur, necesită o soluție și va fi răspunsul general pentru toate inegalitățile sistemului propus în sarcină (de obicei este scris în el, de exemplu: „Rezolvați sistemul de inegalități 4 x + 1 > 2 și 30 - x > 6..."). Cu toate acestea, înainte de a trece la tipurile și metodele de soluții, trebuie să înțelegeți altceva.

Sisteme de inegalități și sisteme de ecuații

În procesul de învățare a unui subiect nou, apar adesea neînțelegeri. Pe de o parte, totul este clar și aș prefera să încep să rezolv sarcini, dar pe de altă parte, unele momente rămân în „umbră”, nu sunt bine înțelese. De asemenea, unele elemente ale cunoștințelor deja dobândite pot fi împletite cu altele noi. Ca urmare a acestei „suprapunere” apar adesea erori.

Prin urmare, înainte de a trece la analiza subiectului nostru, ar trebui să ne amintim diferențele dintre ecuații și inegalități, sistemele lor. Pentru a face acest lucru, trebuie să explicați încă o dată care sunt aceste concepte matematice. O ecuație este întotdeauna o egalitate și este întotdeauna egală cu ceva (în matematică, acest cuvânt este notat cu semnul „="). Inegalitatea este un model în care o valoare este fie mai mare, fie mai mică decât alta, sau conține afirmația că nu sunt la fel. Astfel, în primul caz, se cuvine să vorbim despre egalitate, iar în al doilea, oricât de evident ar suna din numele însuși, despre inegalitatea datelor inițiale. Sistemele de ecuații și inegalități practic nu diferă unele de altele, iar metodele de rezolvare a acestora sunt aceleași. Singura diferență este că primul folosește egalități, în timp ce al doilea folosește inegalități.

Tipuri de inegalități

Există două tipuri de inegalități: numerice și cu o variabilă necunoscută. Primul tip este furnizat valori (numere) care sunt inegale între ele, de exemplu, 8 > 10. Al doilea este inegalitățile care conțin o variabilă necunoscută (indicată printr-o literă). alfabet latin, cel mai adesea X). Această variabilă trebuie găsită. În funcție de câte sunt, modelul matematic distinge între inegalități cu una (alcătuiesc un sistem de inegalități cu o variabilă) sau mai multe variabile (alcătuiesc un sistem de inegalități cu mai multe variabile).

Ultimele două tipuri, în funcție de gradul de construcție și de nivelul de complexitate al soluției, sunt împărțite în simple și complexe. Cele simple sunt numite și inegalități liniare. Ele, la rândul lor, sunt împărțite în stricte și non-strictive. Strict „spune” în mod specific că o valoare trebuie să fie în mod necesar fie mai mică, fie mai mare, deci aceasta este în formă pură inegalitate. Există mai multe exemple: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 etc. Cele non-strictive includ și egalitatea. Adică, o valoare poate fi mai mare sau egală cu o altă valoare (semnul „≥”) sau mai mică sau egală cu o altă valoare (semnul „≤”). Chiar și în inegalitățile liniare, variabila nu stă la rădăcină, pătratul, nu este divizibil cu nimic, motiv pentru care sunt numite „simple”. Cele complexe includ variabile necunoscute, a căror constatare necesită execuție Mai mult operatii matematice. Ele sunt adesea într-un pătrat, cub sau sub rădăcină, pot fi modulare, logaritmice, fracționale etc. Dar din moment ce sarcina noastră este să înțelegem soluția sistemelor de inegalități, vom vorbi despre un sistem de inegalități liniare. Cu toate acestea, înainte de asta, ar trebui spuse câteva cuvinte despre proprietățile lor.

Proprietățile inegalităților

Proprietățile inegalităților includ următoarele prevederi:

Semnul inegalității este inversat dacă se aplică operația de schimbare a succesiunii laturilor (de exemplu, dacă t 1 ≤ t 2, atunci t 2 ≥ t 1).
Ambele părți ale inegalității vă permit să adăugați același număr la dvs. (de exemplu, dacă t 1 ≤ t 2, atunci t 1 + număr ≤ t 2 + număr).
Două sau mai multe inegalități care au semnul aceleiași direcții vă permit să adăugați părțile din stânga și din dreapta lor (de exemplu, dacă t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, atunci t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
Ambele părți ale inegalității permit să fie înmulțite sau împărțite cu același număr pozitiv (de exemplu, dacă t 1 ≤ t 2 și numărul ≤ 0, atunci numărul t 1 ≥ numărul t 2).
Două sau mai multe inegalități care au termeni pozitivi și un semn de aceeași direcție permit să fie înmulțite între ele (de exemplu, dacă t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 apoi t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
Ambele părți ale inegalității permit să fie înmulțite sau împărțite cu același număr negativ, dar semnul inegalității se modifică (de exemplu, dacă t 1 ≤ t 2 și numărul ≤ 0, atunci numărul t 1 ≥ numărul t 2).
Toate inegalitățile au proprietatea tranzitivității (de exemplu, dacă t 1 ≤ t 2 și t 2 ≤ t 3, atunci t 1 ≤ t 3).

Acum, după ce am studiat principalele prevederi ale teoriei legate de inegalități, putem trece direct la luarea în considerare a regulilor de rezolvare a sistemelor acestora.

Rezolvarea sistemelor de inegalități. Informatii generale. Soluții

După cum am menționat mai sus, soluția este valorile variabilei care se potrivesc tuturor inegalităților sistemului dat. Rezolvarea sistemelor de inegalități este implementarea unor operații matematice care conduc în cele din urmă la rezolvarea întregului sistem sau dovedesc că acesta nu are soluții. În acest caz, se spune că variabila se referă la setul numeric gol (scris astfel: o literă care denotă o variabilă∈ (semnul „aparține”) ø (semnul „mulțime goală”), de exemplu, x ∈ ø (se citește: „Variabila „x” aparține mulțimii goale”). Există mai multe modalități de rezolvare a sistemelor de inegalități: grafică, algebrică, metoda substituției. Este de remarcat faptul că se referă la acele modele matematice care au mai multe variabile necunoscute. În cazul în care există doar unul, metoda intervalului este potrivită.

Mod grafic

Vă permite să rezolvați un sistem de inegalități cu mai multe necunoscute (din două sau mai multe). Datorită acestei metode, sistemul de inegalități liniare se rezolvă destul de ușor și rapid, deci este cea mai comună metodă. Acest lucru se datorează faptului că trasarea reduce cantitatea de scriere a operațiilor matematice. Devine deosebit de plăcut să luați o mică pauză de la stilou, să luați un creion cu o riglă și să continuați cu acțiunile ulterioare cu ajutorul lor atunci când s-a făcut multă muncă și doriți puțină varietate. in orice caz aceasta metoda unora nu le place din cauza faptului că trebuie să te desprinzi de sarcină și să-ți schimbi activitatea mentală la desen. Cu toate acestea, este o modalitate foarte eficientă.

Pentru a rezolva un sistem de inegalități folosind o metodă grafică, este necesar să transferați toți membrii fiecărei inegalități în partea stângă. Semnele vor fi inversate, zero trebuie scris în dreapta, apoi fiecare inegalitate trebuie scrisă separat. Ca rezultat, funcțiile vor fi obținute din inegalități. După aceea, puteți obține un creion și o riglă: acum trebuie să desenați un grafic al fiecărei funcții obținute. Întregul set de numere care se vor afla în intervalul intersecției lor va fi soluția sistemului de inegalități.

Mod algebric

Vă permite să rezolvați un sistem de inegalități cu două variabile necunoscute. De asemenea, inegalitățile trebuie să aibă același semn de inegalitate (adică trebuie să conțină fie doar semnul „mai mare decât”, fie doar semnul „mai puțin decât” etc.) În ciuda limitărilor sale, această metodă este și mai complicată. Se aplică în două etape.

Prima include acțiunile pentru a scăpa de una dintre variabilele necunoscute. Mai întâi trebuie să îl selectați, apoi să verificați prezența numerelor în fața acestei variabile. Dacă nu există niciuna (atunci variabila va arăta ca o singură literă), atunci nu schimbăm nimic, dacă există (tipul variabilei va fi, de exemplu, 5y sau 12y), atunci este necesar să ne asigurăm că în fiecare inegalitate numărul din faţa variabilei selectate este acelaşi. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți fiecare membru al inegalităților cu un factor comun, de exemplu, dacă 3y este scris în prima inegalitate și 5y este scris în a doua, atunci trebuie să înmulțiți toți membrii primei inegalități. cu 5, iar al doilea cu 3. Se va dovedi 15y, respectiv 15y.

A doua etapă a deciziei. Este necesar să transferați partea stângă a fiecărei inegalități în laturile lor drepte cu o schimbare a semnului fiecărui termen la opus, scrieți zero în dreapta. Apoi urmează partea distractivă: a scăpa de variabila aleasă (altfel cunoscută sub numele de „reducere”) în timp ce adunăm inegalitățile. Veți obține o inegalitate cu o variabilă care trebuie rezolvată. După aceea, ar trebui să faceți același lucru, doar cu o altă variabilă necunoscută. Rezultatele obținute vor fi soluția sistemului.

Metoda de substituire

Vă permite să rezolvați un sistem de inegalități atunci când este posibil să introduceți o nouă variabilă. De obicei, această metodă este utilizată atunci când variabila necunoscută dintr-un termen al inegalității este ridicată la a patra putere, iar în celălalt termen este la pătrat. Astfel, această metodă are ca scop reducerea gradului de inegalități din sistem. Inegalitatea eșantionului x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 se rezolvă astfel, după cum urmează. Este introdusă o nouă variabilă, de exemplu t. Ei scriu: „Fie t = x 2”, apoi modelul este rescris într-o formă nouă. În cazul nostru, obținem t 2 - t - 1 ≤0. Această inegalitate trebuie rezolvată prin metoda intervalului (despre asta puțin mai târziu), apoi reveniți la variabila X, apoi faceți același lucru cu o altă inegalitate. Răspunsurile primite vor fi decizia sistemului.

Metoda de spațiere

Acesta este cel mai simplu mod de a rezolva sistemele de inegalități și, în același timp, este universal și răspândit. Este folosit în liceu, și chiar în liceu. Esența sa constă în faptul că elevul caută intervale de inegalitate pe linia numerică, care este desenată într-un caiet (acesta nu este un grafic, ci doar o dreaptă obișnuită cu numere). Acolo unde intervalele de inegalități se intersectează, se găsește soluția sistemului. Pentru a utiliza metoda de spațiere, trebuie să urmați acești pași:

Toți membrii fiecărei inegalități sunt transferați în partea stângă cu o schimbare a semnului în opus (zero este scris în dreapta).
Inegalitățile sunt scrise separat, soluția fiecăruia dintre ele este determinată.
Se găsesc intersecțiile inegalităților pe dreapta reală. Toate numerele de la aceste intersecții vor fi soluția.

Ce mod de a folosi?

Evident, cea care pare cea mai ușoară și mai convenabilă, dar sunt momente când sarcinile necesită o anumită metodă. Cel mai adesea, ei spun că trebuie să rezolvați fie folosind un grafic, fie folosind metoda intervalului. Metoda algebrică și substituția sunt folosite extrem de rar sau deloc, deoarece sunt destul de complexe și confuze și, în plus, sunt mai folosite pentru rezolvarea sistemelor de ecuații decât a inegalităților, așa că ar trebui să apelați la desenarea graficelor și a intervalelor. Ele aduc vizibilitate, care nu poate decât să contribuie la desfășurarea eficientă și rapidă a operațiilor matematice.

Dacă ceva nu merge

În timpul studiului unui anumit subiect în algebră, desigur, pot apărea probleme cu înțelegerea acestuia. Și acest lucru este normal, deoarece creierul nostru este proiectat în așa fel încât să nu fie capabil să înțeleagă material dificil o dată. Adesea trebuie să recitiți un paragraf, să luați ajutorul unui profesor sau să exersați rezolvarea problemelor tipice. În cazul nostru, ele arată, de exemplu, așa: „Rezolvați sistemul de inegalități 3 x + 1 ≥ 0 și 2 x - 1 > 3”. Astfel, efortul personal, ajutorul unor terți și practica ajută la înțelegerea oricărui subiect complex.

Reșebnik?

Și cartea de soluții este, de asemenea, foarte potrivită, dar nu pentru a înșela temele, ci pentru autoajutorare. Puteți găsi sisteme de inegalități cu o soluție în ele, priviți-le (ca tipare), încercați să înțelegeți cum exact autorul soluției a făcut față sarcinii și apoi încercați să o faceți pe cont propriu.

concluzii

Algebra este una dintre cele mai dificile materii din școală. Ei bine, ce poți face? Matematica a fost întotdeauna așa: pentru unii vine ușor, iar pentru alții este dificil. Dar, în orice caz, amintiți-vă asta program de educație generală conceput astfel încât orice student să se poată descurca. În plus, trebuie să aveți în vedere un număr mare de asistenți. Unele dintre ele au fost menționate mai sus.

Acum ne putem da seama cum sunt rezolvate inegalitățile liniare a x+b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Principala modalitate de a le rezolva este de a folosi transformări echivalente care fac posibilă ajungerea la a≠0 to inegalități elementare de forma x

, ≥), p - un număr, care sunt soluția dorită, iar pentru a=0 - la inegalitățile numerice de forma a

, ≥), din care se trage o concluzie despre soluția inegalității inițiale. O vom analiza mai întâi.

De asemenea, nu strică să privim soluția inegalităților liniare cu o variabilă și din alte poziții. Prin urmare, vom arăta și cum puteți rezolva o inegalitate liniară grafic și folosind metoda intervalului.

Folosind transformări echivalente

Trebuie să rezolvăm inegalitatea liniară a x+b<0 (≤, >, ≥). Să arătăm cum să facem acest lucru folosind transformări echivalente ale inegalității.

În acest caz, abordările diferă în funcție de faptul dacă coeficientul a este egal sau nu egal cu zero pentru variabila x. Să le luăm în considerare pe rând. Mai mult, atunci când luăm în considerare, vom adera la o schemă în trei puncte: mai întâi, vom oferi esența procesului, apoi - un algoritm pentru rezolvarea unei inegalități liniare și, în final, vom oferi soluții la exemple tipice.

Sa incepem cu algoritm de rezolvare a inegalității liniare a x+b<0 (≤, >, ≥) la a≠0.

În primul rând, numărul b este transferat în partea dreaptă a inegalității cu semnul opus. Acest lucru ne permite să trecem la inegalitatea echivalentă a x<−b (≤, >, ≥).
În al doilea rând, ambele părți ale inegalității rezultate sunt împărțite la un număr diferit de zero a. În acest caz, dacă a este un număr pozitiv, atunci semnul inegalității este păstrat, iar dacă a este un număr negativ, atunci semnul inegalității este inversat. Ca urmare, se obține o inegalitate elementară, care este echivalentă cu inegalitatea liniară inițială, iar acesta este răspunsul.

Rămâne de înțeles utilizarea algoritmului vocal cu exemple. Luați în considerare modul în care inegalitățile liniare sunt rezolvate cu acesta pentru a≠0 .

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea 3 x+12≤0 .

Soluţie.

Pentru această inegalitate liniară, avem a=3 și b=12 . Evident, coeficientul a pentru variabila x este diferit de zero. Vom folosi algoritmul de soluție corespunzător dat mai sus.

Mai întâi, transferăm termenul 12 în partea dreaptă a inegalității, fără a uita să-i schimbăm semnul, adică se va dovedi a fi −12 în partea dreaptă. Ca rezultat, ajungem la inegalitatea echivalentă 3·x≤−12 .

Și, în al doilea rând, împărțim ambele părți ale inegalității rezultate la 3, deoarece 3 este un număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se schimbă. Avem (3 x):3≤(−12):3 , care este același cu x≤−4 .

Inegalitatea elementară rezultată x≤−4 este echivalentă cu inegalitatea liniară inițială și este soluția sa dorită.

Deci, soluția inegalității liniare 3 x+12≤0 este orice număr real mai mic sau egal cu minus patru. Răspunsul poate fi scris și ca un interval numeric corespunzător inegalității x≤−4 , adică ca (−∞, −4] .

Dobândind un talent pentru a lucra cu inegalități liniare, soluțiile lor pot fi scrise pe scurt, fără explicații. În acest caz, inegalitatea liniară inițială este mai întâi scrisă, iar mai jos sunt inegalități echivalente obținute la fiecare pas al soluției:
3x+12≤0;
3 x≤−12;
x≤−4 .

Răspuns:

x≤−4 sau (−∞, −4] .

Exemplu.

Enumerați toate soluțiile inegalității liniare −2,7 z>0 .

Soluţie.

Aici coeficientul a cu variabila z este −2,7. Și coeficientul b este absent într-o formă explicită, adică este egal cu zero. Prin urmare, primul pas al algoritmului pentru rezolvarea unei inegalități liniare cu o variabilă nu trebuie efectuat, deoarece transferul lui zero din partea stângă la dreapta nu va schimba forma inegalității inițiale.

Rămâne să împărțiți ambele părți ale inegalității la −2,7, amintindu-ne să inversați semnul inegalității, deoarece −2,7 este un număr negativ. Avem (−2,7 z):(−2,7)<0:(−2,7) , și mai departe z<0 .

Și acum pe scurt:
−2,7 z>0 ;
z<0 .

Răspuns:

z<0 или (−∞, 0) .

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea .

Soluţie.

Trebuie să rezolvăm o inegalitate liniară cu coeficientul a pentru variabila x egală cu −5 și cu coeficientul b căruia fracția îi corespunde −15/22. Acționăm după o schemă binecunoscută: mai întâi transferăm −15/22 în partea dreaptă cu semnul opus, după care împărțim ambele părți ale inegalității cu un număr negativ −5, schimbând în același timp semnul inegalității:

Ultima tranziție din partea dreaptă folosește , apoi executat .

Răspuns:

Acum să trecem la cazul când a=0 . Principiul rezolvării inegalității liniare a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Pe ce este bazat? Foarte simplu: despre definirea unei soluții la o inegalitate. Cum? Da, aici este: indiferent ce valoare a variabilei x înlocuim în inegalitatea liniară inițială, obținem o inegalitate numerică de forma b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Să formulăm raționamentul de mai sus sub forma algoritm de rezolvare a inegalităților liniare 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

Se consideră inegalitatea numerică b<0 (≤, >, ≥) și

dacă este adevărat, atunci soluția inegalității inițiale este orice număr;
dacă este falsă, atunci inegalitatea liniară inițială nu are soluții.

Acum să ne uităm la asta cu exemple.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea 0 x+7>0 .

Soluţie.

Pentru orice valoare a variabilei x, inegalitatea liniară 0 x+7>0 se transformă într-o inegalitate numerică 7>0 . Ultima inegalitate este adevărată, prin urmare, orice număr este o soluție a inegalității inițiale.

Răspuns:

soluția este orice număr sau (−∞, +∞) .

Exemplu.

Are inegalitatea liniară soluții 0 x−12.7≥0 .

Soluţie.

Dacă înlocuim orice număr în loc de variabila x, atunci inegalitatea inițială se transformă într-o inegalitate numerică −12,7≥0, ceea ce este incorect. Și aceasta înseamnă că niciun număr nu este o soluție a inegalității liniare 0 x−12.7≥0 .

Răspuns:

nu, nu.

Pentru a încheia această subsecțiune, vom analiza soluțiile a două inegalități liniare, ai căror coeficienți sunt egali cu zero.

Exemplu.

Care dintre inegalitățile liniare 0 x+0>0 și 0 x+0≥0 nu are soluții și care are infinite de soluții?

Soluţie.

Dacă înlocuim orice număr în locul variabilei x, atunci prima inegalitate va lua forma 0>0 , iar a doua - 0≥0 . Prima este incorectă, iar a doua este corectă. Prin urmare, inegalitatea liniară 0 x+0>0 nu are soluții, iar inegalitatea 0 x+0≥0 are infinite soluții, și anume, soluția sa este orice număr.

Răspuns:

inegalitatea 0 x+0>0 nu are soluții, iar inegalitatea 0 x+0≥0 are infinite de soluții.

metoda intervalului

În general, metoda intervalului este studiată în cursul de algebră școlară mai târziu decât este tratată tema rezolvării inegalităților liniare cu o variabilă. Dar metoda intervalului permite rezolvarea unei varietăți de inegalități, inclusiv a celor liniare. Prin urmare, să ne oprim asupra ei.

Observăm imediat că este recomandabil să folosim metoda intervalului pentru rezolvarea inegalităților liniare cu un coeficient diferit de zero pentru variabila x. În caz contrar, concluzia despre soluția inegalității este mai rapid și mai convenabil de făcut în modul discutat la sfârșitul paragrafului anterior.

Metoda intervalului presupune

introducerea unei funcții corespunzătoare laturii stângi a inegalității, în cazul nostru - funcție liniară y=a x+b ,
găsirea zerourilor sale, care împart domeniul definiției în intervale,
determinarea semnelor care au valorile funcției pe aceste intervale, pe baza cărora se face o concluzie despre soluția unei inegalități liniare.

Să colectăm aceste momente în algoritm, dezvăluind cum se rezolvă inegalitățile liniare a x+b<0 (≤, >, ≥) la a≠0 prin metoda intervalului:

Se găsesc zerourile funcției y=a x+b, pentru care se rezolvă a x+b=0. După cum știți, pentru a≠0 are o singură rădăcină, pe care o notăm x 0 .
Este construit și pe el este reprezentat un punct cu coordonatele x 0. Mai mult, dacă se rezolvă o inegalitate strictă (cu semnul< или >), atunci acest punct se face perforat (cu centrul gol), iar dacă nu este strict (cu semnul ≤ sau ≥), atunci se pune un punct regulat. Acest punct împarte linia de coordonate în două intervale (−∞, x 0) și (x 0 , +∞) .
Se determină semnele funcției y=a·x+b pe aceste intervale. Pentru a face acest lucru, valoarea acestei funcții este calculată în orice punct al intervalului (−∞, x 0) , iar semnul acestei valori va fi semnul dorit pe intervalul (−∞, x 0) . În mod similar, semnul de pe intervalul (x 0 , +∞) coincide cu semnul valorii funcției y=a·x+b în orice punct al acestui interval. Dar puteți face fără aceste calcule și trageți concluzii despre semne prin valoarea coeficientului a: dacă a>0, atunci pe intervalele (−∞, x 0) și (x 0, +∞) vor exista semne. - și respectiv + și dacă a >0 , atunci + și -.
Dacă se rezolvă o inegalitate cu semne > sau ≥, atunci hașura este plasată peste decalajul cu semnul plus, iar dacă inegalitățile cu semne sunt rezolvate< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Luați în considerare un exemplu de rezolvare a unei inegalități liniare prin metoda intervalului.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea −3 x+12>0 .

Soluţie.

De îndată ce vom analiza metoda intervalelor, atunci o vom folosi. Conform algoritmului, mai întâi găsim rădăcina ecuației −3 x+12=0 , −3 x=−12 , x=4 . În continuare, înfățișăm linia de coordonate și marchem pe ea un punct cu coordonata 4 și facem acest punct perforat, deoarece rezolvăm o inegalitate strictă:

Acum definim semnele pe intervale. Pentru a determina semnul pe intervalul (−∞, 4), puteți calcula valoarea funcției y=−3 x+12 , de exemplu, pentru x=3 . Avem −3 3+12=3>0 , ceea ce înseamnă că semnul + este pe acest interval. Pentru a determina semnul pe alt interval (4, +∞), puteți calcula valoarea funcției y=−3 x+12 , de exemplu, în punctul x=5 . Avem −3 5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Deoarece rezolvăm inegalitatea cu semnul >, desenăm o hașă peste decalajul cu semnul +, desenul ia forma

Pe baza imaginii rezultate, concluzionăm că soluția dorită este (−∞, 4) sau în altă notație x<4 .

Răspuns:

(−∞, 4) sau x<4 .

Grafic

Este util să aveți o idee despre interpretarea geometrică a rezolvării inegalităților liniare într-o variabilă. Pentru a-l obține, să luăm în considerare patru inegalități liniare cu aceeași parte stângă: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 și 0,5 x−1≥0 , soluțiile lor sunt respectiv x<2 , x≤2 , x>2 și x≥2 și, de asemenea, desenați un grafic al unei funcții liniare y=0,5 x−1 .

Este ușor să vezi asta

soluția inegalității 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
soluția inegalității 0,5 x−1≤0 este intervalul în care graficul funcției y=0,5 x−1 se află sub axa Ox sau coincide cu aceasta (cu alte cuvinte, nu deasupra axei absciselor),
în mod similar, soluția inegalității 0,5 x−1>0 este intervalul în care graficul funcției este deasupra axei Ox (această parte a graficului este afișată cu roșu),
iar soluția inegalității 0,5 x−1≥0 este intervalul în care graficul funcției este mai mare sau coincide cu axa x.

Mod grafic de rezolvare a inegalităților, în special liniare, și presupune găsirea intervalelor pe care se află graficul funcției corespunzătoare laturii stângi a inegalității deasupra, dedesubt, nu mai jos sau nu mai sus decât graficul funcției corespunzătoare laturii drepte a inegalității. inegalitate. În cazul nostru de inegalitate liniară, funcția corespunzătoare laturii stângi este y=a x+b , iar partea dreaptă este y=0 , care coincide cu axa Ox.

Având în vedere informațiile de mai sus, este ușor de formulat algoritm pentru rezolvarea grafică a inegalităților liniare:

Se construiește un grafic al funcției y=a x+b (puteți schematic) și

la rezolvarea inegalității a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
la rezolvarea inegalității a x+b≤0 se determină intervalul pe care graficul este mai mic sau coincide cu axa Ox ,
la rezolvarea inegalității a x+b>0 se determină intervalul pe care graficul se află deasupra axei Ox,
la rezolvarea inegalităţii a x+b≥0 se determină intervalul pe care graficul este mai mare sau coincide cu axa Ox .

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea grafic.

Soluţie.

Să construim o schiță a unui grafic al unei funcții liniare . Aceasta este o linie dreaptă care scade deoarece coeficientul de la x este negativ. Avem nevoie și de coordonatele punctului său de intersecție cu axa absciselor, este rădăcina ecuației , care este egal cu . Pentru scopurile noastre, nici nu trebuie să desenăm axa Oy. Deci, desenul nostru schematic va arăta astfel

Deoarece rezolvăm inegalitatea cu semnul >, ne interesează intervalul în care graficul funcției se află deasupra axei Ox. Pentru claritate, vom evidenția cu roșu această parte a graficului, iar pentru a determina cu ușurință intervalul corespunzător acestei părți, vom evidenția cu roșu partea din planul de coordonate în care se află partea selectată a graficului, ca în figura de mai jos:

Intervalul care ne interesează este o parte a axei Ox, care s-a dovedit a fi evidențiată cu roșu. Evident, acesta este un fascicul de numere deschis . Aceasta este soluția dorită. Rețineți că dacă am rezolva inegalitatea nu cu semnul >, ci cu semnul de inegalitate nestrict ≥, atunci ar trebui să adăugăm în răspuns, deoarece în acest moment graficul funcției coincide cu axa Ox .y=0·x+7 , care este aceeași cu y=7 , definește o dreaptă pe planul de coordonate paralel cu axa Ox și situată deasupra acesteia. Prin urmare, inegalitatea 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

Iar graficul funcției y=0 x+0 , care este același cu y=0 , este o dreaptă care coincide cu axa Ox . Prin urmare, soluția inegalității 0 x+0≥0 este mulțimea tuturor numerelor reale.

Răspuns:

a doua inegalitate, soluția ei este orice număr real.

Inegalități liniare

Un număr mare de inegalități cu ajutorul transformărilor echivalente pot fi înlocuite cu o inegalitate liniară echivalentă, cu alte cuvinte, redusă la o inegalitate liniară. Astfel de inegalități se numesc inegalităţile reducându-se la liniară.

La școală, aproape concomitent cu rezolvarea inegalităților liniare, se iau în considerare și inegalitățile simple care se reduc la inegalități liniare. Sunt cazuri speciale. inegalități întregi, și anume, în părțile lor din stânga și din dreapta există expresii întregi care reprezintă sau binoame liniare, sau sunt convertite la acestea prin și . Pentru claritate, dăm câteva exemple de astfel de inegalități: 5−2 x>0 , 7 (x−1)+3≤4 x−2+x , .

Inegalitățile care sunt similare ca formă cu cele indicate mai sus pot fi întotdeauna reduse la cele liniare. Acest lucru se poate face prin deschiderea parantezelor, aducând termeni similari, rearanjand termeni și mutați termeni dintr-o parte a inegalității în alta cu semnul opus.

De exemplu, pentru a reduce inegalitatea 5−2 x>0 la una liniară, este suficient să rearanjam termenii din partea stângă, avem −2 x+5>0 . Pentru a reduce a doua inegalitate 7 (x−1)+3≤4 x−2+x la una liniară, avem nevoie de puțină mai multă muncă: în partea stângă deschidem parantezele 7 x−7+3≤4 x− 2+x , după aceea aducem termeni similari în ambele părți 7 x−4≤5 x−2 , apoi transferăm termenii din partea dreaptă în stânga 7 x−4−5 x+2≤0 , iar în final vom dați termeni similari pe partea stângă 2 ·x−2≤0 . În mod similar, a treia inegalitate poate fi redusă la o inegalitate liniară.

Deoarece astfel de inegalități pot fi întotdeauna reduse la inegalități liniare, unii autori le numesc chiar și liniare. Cu toate acestea, le vom considera ca fiind liniare.

Acum devine clar de ce astfel de inegalități sunt considerate împreună cu inegalitățile liniare. Iar principiul soluției lor este absolut același: efectuând transformări echivalente, ele pot fi reduse la inegalități elementare, care sunt soluțiile dorite.

Pentru a rezolva o inegalitate de acest fel, puteți mai întâi să o reduceți la una liniară și apoi să rezolvați această inegalitate liniară. Dar este mai rațional și mai convenabil să faci asta:

după deschiderea parantezelor, colectați toți termenii cu variabila din partea stângă a inegalității și toate numerele din dreapta,
și apoi adăugați termeni similari,
și apoi, împărțiți ambele părți ale inegalității obținute la coeficientul de la x (dacă, desigur, este diferit de zero). Aceasta va da răspunsul.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea 5 (x+3)+x≤6 (x−3)+1 .

Soluţie.

Mai întâi, deschidem parantezele, ca rezultat ajungem la inegalitatea 5 x+15+x≤6 x−18+1 . Acum prezentăm termeni similari: 6 x+15≤6 x−17 . Apoi transferăm termenii din partea stângă, obținem 6 x+15−6 x+17≤0 , iar din nou aducem termeni similari (ceea ce ne duce la inegalitatea liniară 0 x+32≤0 ) și avem 32≤0 . Așa că am ajuns la o inegalitate numerică incorectă, din care concluzionăm că inegalitatea inițială nu are soluții.

Răspuns:

nu exista solutii.

În concluzie, observăm că există multe alte inegalități care se reduc la inegalități liniare, sau la inegalități de tipul considerat mai sus. De exemplu, soluția inegalitatea exponenţială 5 2 x−1 ≥1 se reduce la rezolvarea inegalității liniare 2 x−1≥0 . Dar despre asta vom vorbi când vom analiza soluțiile inegalităților de forma corespunzătoare.

Bibliografie.

Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Manualul elevului institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A. G. Algebră. Clasa a 9-a La ora 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A. G. Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a 11a. La ora 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

De exemplu, expresia \(x>5\) este o inegalitate.

Tipuri de inegalități:

Dacă \(a\) și \(b\) sunt numere sau , atunci inegalitatea este numită numeric. De fapt, aceasta este doar o comparație a două numere. Aceste inegalități sunt împărțite în credinciosși necredincios.

De exemplu:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) este o inegalitate numerică nevalidă deoarece \(17+3=20\) și \(20\) este mai mic decât \(115\) (nu este mai mare sau egal cu).

Dacă \(a\) și \(b\) sunt expresii care conțin o variabilă, atunci avem inegalitatea cu variabila. Astfel de inegalități sunt împărțite în tipuri în funcție de conținut:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabil doar la prima putere
\(3x^2-x+5>0\)				Există o variabilă în a doua putere (pătrat), dar nu există puteri superioare (a treia, a patra etc.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... si asa mai departe.

Care este soluția la o inegalitate?

Dacă orice număr este înlocuit în inegalitate în loc de o variabilă, atunci se va transforma într-un număr numeric.

Dacă valoarea dată pentru x face ca inegalitatea originală să fie adevărată numerică, atunci este numită rezolvarea inegalitatii. Dacă nu, atunci această valoare nu este o soluție. Și a rezolva inegalitatea- trebuie să-i găsești toate soluțiile (sau să arăți că nu există).

De exemplu, dacă ne aflăm în inegalitatea liniară \(x+6>10\), înlocuim numărul \(7\) în loc de x, obținem inegalitatea numerică corectă: \(13>10\). Și dacă înlocuim \(2\), va exista o inegalitate numerică incorectă \(8>10\). Adică, \(7\) este o soluție la inegalitatea originală, dar \(2\) nu este.

Totuși, inegalitatea \(x+6>10\) are alte soluții. Într-adevăr, vom obține inegalitățile numerice corecte când înlocuim atât \(5\), cât și \(12\), și \(138\) ... Și cum le putem găsi pe toate solutii posibile? Pentru a face acest lucru, folosiți Pentru cazul nostru, avem:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Adică putem folosi orice număr mai mare de patru. Acum trebuie să scriem răspunsul. Soluțiile la inegalități, de regulă, sunt scrise numeric, marcându-le suplimentar pe axa numerică cu hașurare. Pentru cazul nostru avem:

Răspuns: \(x\in(4;+\infty)\)

Când se schimbă semnul într-o inegalitate?

Există o mare capcană în inegalități, în care studenților „le place” să cadă:

Când înmulțiți (sau împărțiți) inegalitatea cu un număr negativ, aceasta este inversată („mai mare decât” cu „mai puțin”, „mai mare decât sau egal cu” cu „mai mică sau egală cu”, și așa mai departe)

De ce se întâmplă asta? Pentru a înțelege acest lucru, să ne uităm la transformările inegalității numerice \(3>1\). Este corect, triplul este într-adevăr mai mult decât unul. Mai întâi, să încercăm să-l înmulțim cu orice număr pozitiv, de exemplu, doi:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

După cum puteți vedea, după înmulțire, inegalitatea rămâne adevărată. Și indiferent ce număr pozitiv înmulțim, vom obține întotdeauna inegalitatea corectă. Și acum să încercăm să înmulțim cu un număr negativ, de exemplu, minus trei:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Sa dovedit a fi o inegalitate incorectă, deoarece minus nouă este mai puțin decât minus trei! Adică, pentru ca inegalitatea să devină adevărată (ceea ce înseamnă că transformarea înmulțirii cu un negativ a fost „legală”), trebuie să răsturnați semnul de comparație, astfel: \(−9<− 3\).
Cu divizare, se va dovedi similar, îl puteți verifica singur.

Regula scrisă mai sus se aplică tuturor tipurilor de inegalități, și nu doar celor numerice.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea \(2(x+1)-1<7+8x\)
Soluţie:


\(2x+2-1<7+8x\)	Să ne mișcăm \(8x\) la stânga și \(2\) și \(-1\) la dreapta, fără a uita să schimbăm semnele
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(\|:(-6)\)	Împărțiți ambele părți ale inegalității la \(-6\), fără a uita să schimbați de la „mai puțin” la „mai mare”
	Să marchem un interval numeric pe axă. Inegalitatea, deci valoarea \(-1\) este „eliminată” și nu o luăm ca răspuns
	Să scriem răspunsul ca un interval

Răspuns: \(x\in(-1;\infty)\)

Inegalități și DHS

Inegalitățile, precum și ecuațiile, pot avea restricții asupra , adică asupra valorilor lui x. În consecință, acele valori care sunt inacceptabile conform ODZ ar trebui excluse din intervalul de soluție.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea \(\sqrt(x+1)<3\)

Soluţie: Este clar că, pentru ca partea stângă să fie mai mică decât \(3\), expresia rădăcină trebuie să fie mai mică decât \(9\) (la urma urmei, de la \(9\) doar \(3\)). Primim:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Toate? Orice valoare a lui x mai mică decât \(8\) ne va potrivi? Nu! Pentru că dacă luăm, de exemplu, valoarea \(-5\) care pare să se potrivească cerinței, aceasta nu va fi o soluție la inegalitatea inițială, deoarece ne va conduce la calcularea rădăcinii unui număr negativ.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Prin urmare, trebuie să luăm în considerare și restricțiile privind valorile lui x - nu poate fi astfel încât să existe un număr negativ sub rădăcină. Astfel, avem a doua cerință pentru x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Și pentru ca x să fie o soluție finală, trebuie să îndeplinească ambele cerințe simultan: trebuie să fie mai mic decât \(8\) (pentru a fi o soluție) și mai mare decât \(-1\) (pentru a fi valabil în principiu). Trasând pe linia numerică, avem răspunsul final:

Răspuns: \(\stanga[-1;8\dreapta)\)