Instructions

Si vous avez besoin de trouver le cosinus coin dans un triangle quelconque, il faut utiliser le théorème du cosinus :
si l'angle est aigu : cos ? = (a2 + b2 - c2) / (2ab);
si angle : cos ? = (c2 - a2 - b2) / (2ab), où a, b sont les longueurs des côtés adjacents au coin, c est la longueur du côté opposé au coin.

Conseil utile

La notation mathématique du cosinus est cos.
La valeur du cosinus ne peut pas être supérieure à 1 ou inférieure à -1.

Sources:

• comment calculer le cosinus d'un angle
• Fonctions trigonométriques sur le cercle unité

Cosinus est la fonction angulaire trigonométrique de base. La possibilité de déterminer le cosinus sera utile en algèbre vectorielle lors de la définition des projections de vecteurs sur différents axes.

Instructions

cos? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c)

Il existe un triangle dont les côtés a, b, c sont respectivement égaux à 3, 4, 5 mm.

Trouver cosinus le coin enfermé entre les grands côtés.

On note l'angle opposé au côté a par ?, alors, d'après la formule dérivée ci-dessus, on a :

cos? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (4? +5? -3?) / (2 * 4 * 5) = (16 + 25-9) / 40 = 32/40 = 0,8

Réponse : 0.8.

Si le triangle est rectangulaire, alors pour trouver cosinus et l'angle est suffisant pour connaître les longueurs de seulement deux côtés ( cosinus angle droit est égal à 0).

Soit un triangle rectangle de côtés a, b, c, où c est l'hypoténuse.

Considérons toutes les options :

Trouver cos? Si les longueurs des côtés a et b (triangle) sont connues

Utilisons en plus le théorème de Pythagore :

cos? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (b? + b? + а? -а?) / (2 * b * v (b? + а?)) = (2 * b?) / (2 * b * v (b? + A?)) = B / v (b? + A?)

Pour que la formule obtenue soit correcte, nous la substituons à partir de l'exemple 1, c'est-à-dire

Après avoir fait quelques calculs élémentaires, on obtient :

De même, on trouve cosinus en rectangulaire Triangle dans d'autres cas:

On connait a et c (hypoténuse et jambe opposée), trouver cos ?

cos? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (с? -а? + с? -а?) / (2 * с * v (с? -а?)) = (2 * s? -2 * a?) / (2 * s * v (s? -A?)) = V (s? -A?) / S.

En substituant les valeurs a = 3 et c = 5 de l'exemple, on obtient :

Connu b et c (hypoténuse et jambe adjacente).

Trouver le cos ?

En faisant des transformations similaires (montrées dans les exemples 2 et 3), nous obtenons que dans ce cas cosinus v Triangle est calculé à l'aide d'une formule très simple :

La simplicité de la formule dérivée peut s'expliquer de manière élémentaire : en fait, adjacent au coin ? la jambe est une projection de l'hypoténuse, sa longueur est égale à la longueur de l'hypoténuse multipliée par cos ?.

En substituant les valeurs b = 4 et c = 5 du premier exemple, on obtient :

Cela signifie que toutes nos formules sont correctes.

Astuce 5 : Comment trouver un angle aigu dans un triangle rectangle

Droit carbonique le triangle est probablement l'une des formes géométriques les plus célèbres, d'un point de vue historique. Le "pantalon" pythagoricien ne peut rivaliser qu'avec "Eureka!" Archimède.

Tu auras besoin de

• - dessin d'un triangle ;
• - règle;
• - rapporteur.

Instructions

La somme des angles d'un triangle fait 180 degrés. En rectangulaire Triangle un angle (angle droit) sera toujours de 90 degrés et le reste sera net, c'est-à-dire moins de 90 degrés chacun. Pour déterminer quel coin dans un rectangle Triangle est droit, mesure les côtés du triangle avec une règle et trouve le plus grand. C'est l'hypoténuse (AB) et se situe en face de l'angle droit (C). Les deux autres côtés forment un angle droit et des jambes (AC, BC).

Une fois que vous avez déterminé quel angle est aigu, vous pouvez soit utiliser le rapporteur pour calculer l'angle, soit le calculer à l'aide de formules mathématiques.

Pour déterminer la valeur de l'angle à l'aide d'un rapporteur, alignez son sommet (notez-le avec la lettre A) avec une marque spéciale sur la règle au centre du rapporteur, la jambe de l'AC doit coïncider avec son bord supérieur. Marquez sur la partie semi-circulaire du rapporteur le point par lequel l'hypoténuse est AB. La valeur en ce point correspond à la valeur de l'angle en degrés. Si 2 valeurs sont indiquées sur le rapporteur, alors pour un angle aigu, vous devez en choisir un plus petit, pour un émoussé - un plus grand.

Trouvez la valeur obtenue dans les ouvrages de référence Bradis et déterminez à quel angle correspond la valeur numérique obtenue. Cette méthode était utilisée par nos grands-mères.

Dans le nôtre, il suffit de prendre avec la fonction de calcul des formules trigonométriques. Par exemple, la calculatrice Windows intégrée. Démarrez l'application "Calculatrice", dans l'élément de menu "Affichage", sélectionnez l'élément "Ingénierie". Calculer le sinus de l'angle désiré, par exemple, sin (A) = BC / AB = 2/4 = 0.5

Basculez la calculatrice sur fonctions inverses en cliquant sur le bouton INV sur l'écran de la calculatrice, puis sur le bouton de fonction arc sinus (indiqué sur l'écran par le péché au premier degré moins). L'inscription suivante apparaîtra dans la fenêtre de calcul : asind (0.5) = 30. la valeur de l'angle souhaité est de 30 degrés.

Sources:

• Tables de Bradis (sinus, cosinus)

Le théorème du cosinus en mathématiques est le plus souvent utilisé lorsqu'il est nécessaire de trouver le troisième côté par l'angle et les deux côtés. Cependant, parfois, la condition du problème est définie dans l'autre sens : il est nécessaire de trouver l'angle pour trois côtés donnés.

Instructions

Imaginez que l'on vous donne un triangle pour lequel les longueurs de deux côtés et la valeur d'un angle sont connues. Tous les angles de ce triangle ne sont pas égaux les uns aux autres et ses côtés sont également de taille différente. L'angle est opposé au côté du triangle, désigné par AB, qui est cette figure. Par cet angle, ainsi que par les côtés restants AC et BC, vous pouvez trouver ce côté du triangle, qui est inconnu, en utilisant le théorème du cosinus, en dérivant la formule suivante sur sa base :
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2bc * cosγ, où a = BC, b = AB, c = AC
Le théorème du cosinus est aussi appelé théorème de Pythagore généralisé.

Imaginons maintenant que les trois côtés de la figure soient donnés, mais que son angle soit inconnu. Sachant que la forme a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2bc * cosγ, transformez cette expression pour que l'angle devienne la valeur désirée : b ^ 2 + c ^ 2 = 2bc * cosγ + a ^ 2.
Convertissez ensuite l'équation ci-dessus sous une forme légèrement différente : b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2 = 2bc * cosγ.
Ensuite, cette expression doit être convertie en celle ci-dessous : cosγ = √b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2 / 2bc.
Il reste à substituer des nombres dans la formule et à effectuer les calculs.

Pour trouver le cosinus, noté , il doit être exprimé en termes de trigonométrie inverse, appelée cosinus inverse. Le cosinus inverse du nombre m est la valeur de l'angle pour lequel le cosinus de l'angle est égal à m. La fonction y = arccos m est décroissante. Imaginons, par exemple, que le cosinus d'un angle soit égal à la moitié. Alors l'angle γ peut être défini en termes de cosinus inverse comme suit :
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60 °, où m = 1/2.
De même, vous pouvez trouver le reste des angles du triangle avec deux autres côtés inconnus.

Le sinus et le cosinus sont deux fonctions trigonométriques appelées "droites". Ils doivent être calculés plus souvent que les autres, et chacun de nous a aujourd'hui un choix considérable d'options pour résoudre ce problème. Vous trouverez ci-dessous quelques-uns des plus moyens simples.

Instructions

Utilisez un rapporteur, un crayon et une feuille de papier si d'autres moyens de calcul ne sont pas disponibles. L'une des définitions du cosinus est donnée par les angles aigus dans un triangle rectangle - il est égal au rapport entre la longueur de la jambe opposée à cet angle et la longueur. Dessinez un triangle dont l'un des coins est droit (90 °) et l'autre est le coin que vous souhaitez calculer. Dans ce cas, la longueur des côtés n'a pas d'importance - dessinez-les de manière à ce qu'il soit plus pratique pour vous de mesurer. Mesurez la longueur de la jambe et de l'hypoténuse souhaitées et divisez la première par la seconde par n'importe quel d'une manière pratique.

Bénéficiez de la possibilité de valoriser des fonctions trigonométriques à l'aide de la calculatrice intégrée au moteur de recherche Nigma, si vous disposez d'un accès Internet. Par exemple, si vous voulez calculer le cosinus d'un angle de 20°, alors chargez page d'accueil service http://nigma.ru tapez dans le champ de recherche "cosinus 20" et appuyez sur le bouton "Rechercher!". Vous pouvez omettre "degrés" et remplacer le mot "cosinus" par cos - dans tous les cas, le moteur de recherche affichera le résultat avec une précision de 15 décimales (0,939692620785908).

Ouvrez le programme standard - installé avec le système d'exploitation Windows, s'il n'y a pas d'accès Internet. Cela peut être fait, par exemple, en appuyant simultanément sur les touches win et r, puis en entrant la commande calc et en cliquant sur le bouton OK. Pour calculer les fonctions trigonométriques, voici une interface nommée "ingénierie" ou "scientifique" (selon la version du système d'exploitation) - sélectionnez l'élément souhaité dans la section "Affichage" du menu de la calculatrice. Après cela, entrez la valeur de l'angle à et cliquez sur le bouton cos dans l'interface du programme.

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Astuce 8 : Comment déterminer les angles dans un triangle rectangle

Le rectangle se caractérise par certains rapports entre les coins et les côtés. Connaissant les valeurs de certains d'entre eux, vous pouvez en calculer d'autres. Pour cela, des formules sont utilisées, basées, à leur tour, sur les axiomes et les théorèmes de la géométrie.

Les enseignants pensent que chaque élève devrait être capable d'effectuer des calculs, connaître des formules trigonométriques, mais tous les enseignants n'expliquent pas ce que sont le sinus et le cosinus. Quelle est leur signification, où sont-ils utilisés ? Pourquoi parlons-nous de triangles, alors qu'un cercle est dessiné dans le manuel ? Essayons de relier tous les faits ensemble.

Matière scolaire

L'étude de la trigonométrie commence généralement en 7e-8e année du secondaire. À ce moment, on explique aux élèves ce que sont le sinus et le cosinus, on leur propose de résoudre des problèmes géométriques à l'aide de ces fonctions. Plus tard, plus formules complexes et les expressions qui doivent être transformées de manière algébrique (formules à double et demi-angle, fonctions puissances), le travail est effectué avec un cercle trigonométrique.

Cependant, les enseignants sont loin d'être toujours en mesure d'expliquer clairement le sens des concepts utilisés et l'applicabilité des formules. Par conséquent, l'étudiant ne voit souvent pas l'intérêt de ce sujet, et les informations mémorisées sont vite oubliées. Cependant, cela vaut la peine d'expliquer une fois à un lycéen, par exemple, le lien entre la fonction et le mouvement oscillatoire, et le lien logique restera dans les mémoires pendant de nombreuses années, et les blagues sur l'inutilité du sujet deviendront une chose du passé .

Usage

Par curiosité, jetons un coup d'œil aux différentes branches de la physique. Voulez-vous déterminer la portée du projectile? Ou calculez-vous la force de friction entre un objet et une certaine surface ? Balancer le pendule, regarder les rayons traverser le verre, calculer l'induction ? Les concepts trigonométriques apparaissent dans presque toutes les formules. Alors, que sont le sinus et le cosinus ?

Définitions

Le sinus de l'angle est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse, le cosinus est le rapport de la jambe adjacente à la même hypoténuse. Il n'y a absolument rien de compliqué ici. Peut-être que les étudiants sont généralement confus par les valeurs qu'ils voient dans le tableau trigonométrique, car les racines carrées y apparaissent. Oui, ce n'est pas très pratique d'en tirer des fractions décimales, mais qui a dit que tous les nombres en mathématiques devaient être égaux ?

En fait, dans les livres de problèmes de trigonométrie, vous pouvez trouver un indice amusant : la plupart des réponses ici sont paires et dans le pire des cas contiennent la racine de deux ou trois. La conclusion est simple : si vous obtenez une fraction « à plusieurs étages » dans votre réponse, vérifiez que la solution ne comporte pas d'erreurs de calcul ou de raisonnement. Et vous les trouverez très probablement.

Choses à retenir

Comme pour toute science, la trigonométrie a des données qui doivent être apprises.

Tout d'abord, rappelez-vous valeurs numériques pour les sinus, les cosinus d'un triangle rectangle 0 et 90, ainsi que 30, 45 et 60 degrés. Ces indicateurs se retrouvent dans neuf problèmes scolaires sur dix. En regardant ces valeurs dans le manuel, vous perdrez beaucoup de temps et il n'y aura aucun endroit pour regarder le test ou l'examen.

Il faut se rappeler que la valeur des deux fonctions ne peut pas dépasser un. Si n'importe où dans le calcul vous obtenez une valeur en dehors de la plage 0-1, arrêtez et résolvez le problème.

La somme des carrés du sinus et du cosinus est égale à un. Si vous avez déjà trouvé l'une des valeurs, utilisez cette formule pour trouver le reste.

Théorèmes

Il existe deux théorèmes principaux en trigonométrie de base : les sinus et les cosinus.

Le premier dit que le rapport de chaque côté d'un triangle au sinus de l'angle opposé est le même. La seconde est que le carré de n'importe quel côté peut être obtenu en ajoutant les carrés des deux côtés restants et en soustrayant leur produit double, multiplié par le cosinus de l'angle qui les sépare.

Ainsi, si nous substituons la valeur d'un angle de 90 degrés dans le théorème du cosinus, nous obtenons ... le théorème de Pythagore. Maintenant, si vous devez calculer l'aire d'une figure qui n'est pas un triangle rectangle, vous n'avez plus à vous inquiéter - les deux théorèmes considérés simplifieront considérablement la solution du problème.

Cibles et objectifs

Apprendre la trigonométrie devient beaucoup plus facile lorsque vous réalisez un fait simple : toutes les actions que vous effectuez visent à atteindre un seul objectif. Tous les paramètres d'un triangle peuvent être trouvés si vous en connaissez le moins possible - il peut s'agir de la valeur d'un angle et de la longueur de deux côtés, ou, par exemple, de trois côtés.

Pour déterminer le sinus, le cosinus, la tangente de n'importe quel angle, ces données suffisent, avec leur aide, vous pouvez facilement calculer l'aire de la figure. Presque toujours, l'une des valeurs mentionnées est requise comme réponse, et vous pouvez les trouver en utilisant les mêmes formules.

Les écarts dans l'apprentissage de la trigonométrie

L'une des questions incompréhensibles que les étudiants préfèrent éviter est de trouver un lien entre divers concepts de la trigonométrie. Il semblerait que les triangles soient utilisés pour étudier les sinus et les cosinus des angles, mais pour une raison quelconque, les désignations se trouvent souvent dans la figure avec un cercle. De plus, il existe un graphique en forme d'onde complètement incompréhensible appelé sinusoïde, qui n'a aucune ressemblance extérieure avec un cercle ou des triangles.

De plus, les angles sont mesurés en degrés, puis en radians, et le nombre Pi, écrit simplement 3,14 (sans unités de mesure), apparaît pour une raison quelconque dans les formules, correspondant à 180 degrés. Comment tout cela est-il lié les uns aux autres ?

Unités

Pourquoi Pi est exactement 3,14 ? Vous souvenez-vous quelle est cette signification ? C'est le nombre de rayons qui s'inscrivent dans un arc sur un demi-cercle. Si le diamètre du cercle est de 2 centimètres, la circonférence est de 3,14 * 2, soit 6,28.

Deuxième point : vous avez peut-être remarqué la similitude entre les mots « radian » et « rayon ». Le fait est qu'un radian est numériquement égal à la valeur de l'angle tracé du centre du cercle sur un arc d'une longueur d'un rayon.

Maintenant, combinons les connaissances acquises et comprenons pourquoi le sommet de l'axe des coordonnées en trigonométrie est écrit "Pi in half", et à gauche - "Pi". Il s'agit d'une valeur angulaire mesurée en radians, puisqu'un demi-cercle fait 180 degrés, soit 3,14 radians. Et là où il y a des degrés, il y a des sinus et des cosinus. Le triangle est facile à dessiner à partir du point souhaité, reportant les segments au centre et sur l'axe des coordonnées.

Regardons vers l'avenir

La trigonométrie, étudiée à l'école, traite d'un système de coordonnées rectilignes, où, aussi étrange que cela puisse paraître, une ligne droite est une ligne droite.

Mais il y a plus manières complexes travaillez avec l'espace : la somme des angles du triangle sera ici de plus de 180 degrés, et la ligne droite dans notre vue ressemblera à un véritable arc.

Passons des paroles aux actes ! Prenez une pomme. Faites trois coupes avec le couteau pour former un triangle vu de dessus. Sortez la tranche de pomme obtenue et regardez les "côtes" où se termine l'écorce. Ils ne sont pas droits du tout. Le fruit dans vos mains peut être qualifié de rond, et imaginez maintenant à quel point les formules doivent être complexes, à l'aide desquelles vous pouvez trouver la zone du morceau découpé. Mais certains spécialistes résolvent de tels problèmes au quotidien.

Fonctions trigonométriques dans la vie

Avez-vous remarqué que la route aérienne la plus courte du point A au point B à la surface de notre planète a une forme d'arc prononcée ? La raison est simple : la Terre a la forme d'une boule, ce qui signifie que vous ne pouvez pas calculer grand-chose à l'aide de triangles - ici, vous devez utiliser des formules plus complexes.

Le sinus/cosinus d'un angle aigu ne peut être supprimé en aucune matière spatiale. Il est intéressant de noter qu'une multitude de facteurs convergent ici : des fonctions trigonométriques sont nécessaires pour calculer le mouvement des planètes le long de cercles, d'ellipses et de diverses trajectoires plus formes complexes; le processus de lancement de fusées, de satellites, de navettes, de désamarrage de véhicules de recherche ; l'observation des étoiles lointaines et l'étude des galaxies que les humains ne pourront pas atteindre dans un avenir prévisible.

En général, le champ d'activité d'une personne qui possède la trigonométrie est très large et, apparemment, ne fera que s'étendre avec le temps.

Conclusion

Aujourd'hui, nous avons appris, ou du moins répété ce que sont le sinus et le cosinus. Ce sont des concepts dont vous n'avez pas besoin d'avoir peur - vous le voulez juste et vous comprendrez leur signification. N'oubliez pas que la trigonométrie n'est pas un objectif, mais seulement un outil qui peut être utilisé pour répondre à de réels besoins humains : construire des maisons, assurer la sécurité routière, voire explorer l'immensité de l'univers.

En effet, la science elle-même peut sembler ennuyeuse, mais dès que vous y trouverez un moyen d'atteindre vos propres objectifs, la réalisation de soi, le processus d'apprentissage deviendra intéressant et votre motivation personnelle augmentera.

Comme devoirs essayez de trouver des moyens d'appliquer les fonctions trigonométriques dans le domaine de travail qui vous intéresse personnellement. Imaginez, activez votre imagination, et il s'avérera probablement que de nouvelles connaissances vous seront utiles à l'avenir. Et en plus, les maths sont utiles pour développement global en pensant.

Tout d'abord, considérons un cercle de rayon 1 et de centre (0; 0). Pour tout αЄR, le rayon 0A peut être tracé de sorte que la mesure en radians de l'angle entre 0A et l'axe 0x soit égale à . Le sens antihoraire est considéré comme positif. Soit la fin du rayon A avoir des coordonnées (a, b).

Définition de sinus

Définition : Le nombre b, égal à l'ordonnée du rayon unitaire, construit de la manière décrite, est noté sinα et est appelé sinus de l'angle .

Exemple : sin 3π cos3π / 2 = 0 0 = 0

Détermination du cosinus

Définition : Le nombre a, égal à l'abscisse de la fin du rayon unitaire, construit de la manière décrite, est noté cosα et est appelé cosinus de l'angle .

Exemple : cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2

Ces exemples utilisent la définition du sinus et du cosinus d'un angle en fonction des coordonnées de la fin du rayon unitaire et du cercle unitaire. Pour une représentation plus visuelle, il faut tracer un cercle unité et reporter les points correspondants dessus, puis calculer leurs abscisses pour calculer le cosinus et l'ordonnée pour calculer le sinus.

Définition de tangente

Définition : La fonction tgx = sinx / cosx pour x π / 2 + πk, kЄZ, est appelée la cotangente de l'angle x. Le domaine de la fonction tgx est constitué de tous les nombres réels, sauf pour x = π / 2 + πn, nЄZ.

Exemple : tg0 tgπ = 0 0 = 0

Cet exemple est similaire au précédent. Pour calculer la tangente d'un angle, divisez l'ordonnée d'un point par son abscisse.

Définition de cotangente

Définition : La fonction ctgx = cosx / sinx pour x πk, kЄZ est appelée la cotangente de l'angle x. Le domaine de la fonction ctgx = -tous les nombres réels sauf pour les points x = πk, kЄZ.

Prenons un exemple sur un triangle rectangle ordinaire

Pour clarifier ce que sont le cosinus, le sinus, la tangente et la cotangente. Prenons un exemple sur un triangle rectangle ordinaire d'angle y et côtés a, b, c... Hypoténuse c, jambes a et b, respectivement. L'angle entre l'hypoténuse c et la jambe par y.

Définition: Le sinus de l'angle y est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse : sinus = a / c

Définition: Le cosinus de l'angle y est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse : cosy = v / s

Définition: La tangente de l'angle y est le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente : tgy = a / b

Définition: La cotangente de l'angle y est le rapport de la branche adjacente à l'autre : ctgy = w / a

Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont également appelés fonctions trigonométriques. Chaque angle a son propre sinus et cosinus. Et presque tout le monde a sa propre tangente et cotangente.

On pense que si on nous donne un angle, alors nous connaissons son sinus, son cosinus, sa tangente et sa cotangente ! Et vice versa. Étant donné un sinus ou toute autre fonction trigonométrique, respectivement, nous connaissons l'angle. Même des tables spéciales ont été créées où les fonctions trigonométriques pour chaque angle sont décrites.

L'une des branches des mathématiques avec laquelle les élèves font face aux plus grandes difficultés est la trigonométrie. Ce n'est pas surprenant : pour maîtriser librement ce domaine de connaissances, vous avez besoin d'une pensée spatiale, de la capacité de trouver des sinus, des cosinus, des tangentes, des cotangentes par des formules, de simplifier des expressions et de pouvoir utiliser pi dans les calculs. De plus, vous devez être capable d'appliquer la trigonométrie lors de la preuve de théorèmes, ce qui nécessite soit une mémoire mathématique développée, soit la capacité de déduire des chaînes logiques complexes.

Origines de la trigonométrie

La connaissance de cette science devrait commencer par déterminer le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle, mais vous devez d'abord comprendre ce que fait la trigonométrie en général.

Historiquement, les triangles rectangles étaient le principal objet de recherche dans cette branche de la science mathématique. La présence d'un angle de 90 degrés permet d'effectuer diverses opérations qui permettent de déterminer les valeurs de tous les paramètres de la figure en question sur deux côtés et un coin, ou sur deux angles et un côté. Dans le passé, les gens ont remarqué ce modèle et ont commencé à l'utiliser activement dans la construction de bâtiments, la navigation, l'astronomie et même l'art.

Première étape

Initialement, les gens parlaient de la relation des angles et des côtés exclusivement sur l'exemple des triangles rectangles. Ensuite, des formules spéciales ont été découvertes qui ont permis d'élargir les limites d'utilisation dans Vie courante de cette section de mathématiques.

L'étude de la trigonométrie à l'école aujourd'hui commence par des triangles rectangles, après quoi les connaissances acquises sont utilisées par les étudiants en physique et en résolution abstraite équations trigonométriques, dont le travail commence au lycée.

Trigonométrie sphérique

Plus tard, lorsque la science a atteint le niveau de développement suivant, les formules avec sinus, cosinus, tangente, cotangente ont commencé à être utilisées en géométrie sphérique, où différentes règles s'appliquent et où la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180 degrés. Cette section n'est pas étudiée à l'école, mais il est nécessaire de connaître son existence au moins car la surface de la Terre, et la surface de toute autre planète, est convexe, ce qui signifie que tout marquage de surface sera « arqué » en trois dimensions espace.

Prenez le globe et la ficelle. Attachez la ficelle à deux points quelconques du globe afin qu'elle soit tendue. Faites attention - il a pris la forme d'un arc. La géométrie sphérique, qui est utilisée en géodésie, en astronomie et dans d'autres domaines théoriques et appliqués, traite de telles formes.

Triangle rectangle

Après avoir appris un peu sur les manières d'utiliser la trigonométrie, revenons à la trigonométrie de base afin de mieux comprendre ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente, quels calculs peuvent être effectués avec leur aide et quelles formules utiliser dans ce cas.

La première étape consiste à comprendre les concepts liés à un triangle rectangle. Premièrement, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle de 90 degrés. C'est le plus long. On se souvient que selon le théorème de Pythagore, sa valeur numérique est égale à la racine de la somme des carrés des deux autres côtés.

Par exemple, si les deux côtés mesurent respectivement 3 et 4 centimètres, la longueur de l'hypoténuse est de 5 centimètres. À propos, les anciens Égyptiens le savaient il y a environ quatre mille cinq cents ans.

Les deux côtés restants, qui forment un angle droit, sont appelés jambes. De plus, il ne faut pas oublier que la somme des angles d'un triangle dans un système de coordonnées rectangulaires est de 180 degrés.

Définition

Enfin, avec une solide compréhension de la base géométrique, on peut se tourner vers la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle.

Le sinus d'un angle est le rapport de la jambe opposée (c'est-à-dire du côté opposé angle désiré) à l'hypoténuse. Le cosinus d'un angle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

N'oubliez pas que ni le sinus ni le cosinus ne peuvent être supérieurs à un ! Pourquoi? Parce que l'hypoténuse est par défaut la plus longue. Quelle que soit la longueur de la jambe, elle sera plus courte que l'hypoténuse, ce qui signifie que leur rapport sera toujours inférieur à un. Ainsi, si vous avez un sinus ou un cosinus avec une valeur supérieure à 1 dans la réponse à un problème, recherchez une erreur de calcul ou de raisonnement. Cette réponse est définitivement fausse.

Enfin, la tangente d'un angle est le rapport du côté opposé au côté adjacent. Diviser le sinus par le cosinus donnera le même résultat. Regardez : conformément à la formule, on divise la longueur du côté par l'hypoténuse, puis on divise par la longueur du deuxième côté et on multiplie par l'hypoténuse. Ainsi, nous obtenons la même relation que dans la définition de la tangente.

La cotangente, respectivement, est le rapport du côté adjacent au coin au côté opposé. On obtient le même résultat en divisant l'unité par la tangente.

Ainsi, nous avons examiné les définitions de ce qui est sinus, cosinus, tangente et cotangente, et nous pouvons faire les formules.

Les formules les plus simples

En trigonométrie, on ne peut pas se passer de formules - comment trouver sinus, cosinus, tangente, cotangente sans elles ? Mais c'est exactement ce qui est nécessaire pour résoudre des problèmes.

La première formule que vous devez connaître pour commencer à apprendre la trigonométrie dit que la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est égale à un. Cette formule est une conséquence directe du théorème de Pythagore, mais elle fait gagner du temps si l'on veut connaître l'angle, pas le côté.

Beaucoup d'élèves ne se souviennent pas de la deuxième formule, qui est également très populaire dans la résolution de problèmes scolaires : la somme de un et le carré de la tangente d'un angle est égal à un divisé par le carré du cosinus de l'angle. Regardez de plus près : après tout, c'est la même affirmation que dans la première formule, seuls les deux côtés de l'identité ont été divisés par le carré du cosinus. Il s'avère qu'une simple opération mathématique rend la formule trigonométrique complètement méconnaissable. N'oubliez pas : connaissant ce que sont sinus, cosinus, tangente et cotangente, les règles de transformation et quelques formules de base, vous pouvez à tout moment déduire vous-même les formules les plus complexes requises sur une feuille de papier.

Formules à double angle et ajout d'arguments

Deux autres formules que vous devez apprendre sont liées aux valeurs du sinus et du cosinus pour la somme et la différence des angles. Ils sont illustrés dans la figure ci-dessous. Veuillez noter que dans le premier cas, le sinus et le cosinus sont multipliés les deux fois, et dans le second, le produit par paire du sinus et du cosinus est ajouté.

Il existe également des formules associées aux arguments à double angle. Ils sont complètement dérivés des précédents - en guise d'entraînement, essayez de les obtenir vous-même, en prenant l'angle alpha égal à l'angle bêta.

Enfin, notez que les formules à double angle peuvent être transformées pour abaisser le degré de sinus, de cosinus et de tangente alpha.

Théorèmes

Les deux théorèmes principaux de la trigonométrie de base sont le théorème des sinus et le théorème des cosinus. À l'aide de ces théorèmes, vous pouvez facilement comprendre comment trouver le sinus, le cosinus et la tangente, et donc l'aire de la figure, et la grandeur de chaque côté, etc.

Le théorème des sinus stipule que la division de la longueur de chaque côté d'un triangle par la valeur de l'angle opposé donne le même nombre. De plus, ce nombre sera égal à deux rayons du cercle circonscrit, c'est-à-dire le cercle contenant tous les points du triangle donné.

Le théorème du cosinus généralise le théorème de Pythagore en le projetant sur n'importe quel triangle. Il s'avère que de la somme des carrés des deux côtés, soustrayez leur produit, multiplié par le double cosinus de l'angle qui leur est adjacent - la valeur résultante sera égale au carré du troisième côté. Ainsi, le théorème de Pythagore s'avère être un cas particulier du théorème du cosinus.

Erreurs d'inattention

Même en sachant ce que sont le sinus, le cosinus et la tangente, il est facile de se tromper en raison d'une distraction ou d'une erreur dans les calculs les plus simples. Pour éviter de telles erreurs, examinons les plus populaires.

Premièrement, vous ne devez pas convertir des fractions ordinaires en nombres décimaux tant que le résultat final n'est pas obtenu - vous pouvez laisser la réponse sous la forme fraction commune sauf indication contraire dans la condition. Une telle transformation ne peut pas être qualifiée d'erreur, mais il faut se rappeler qu'à chaque étape de la tâche, de nouvelles racines peuvent apparaître, qui, selon l'idée de l'auteur, devraient être raccourcies. Dans ce cas, vous perdrez du temps sur des opérations mathématiques inutiles. Cela est particulièrement vrai pour les valeurs telles que la racine de trois ou deux, car elles se retrouvent dans des problèmes à chaque étape. Il en va de même pour arrondir les nombres « moches ».

De plus, notez que le théorème du cosinus s'applique à n'importe quel triangle, mais pas au théorème de Pythagore ! Si vous oubliez par erreur de soustraire le produit double des côtés multiplié par le cosinus de l'angle qui les sépare, vous obtiendrez non seulement un résultat complètement faux, mais vous démontrerez également une incompréhension totale du sujet. C'est pire qu'une erreur d'inattention.

Troisièmement, ne confondez pas les valeurs des angles de 30 et 60 degrés pour les sinus, cosinus, tangentes, cotangentes. Souvenez-vous de ces valeurs, car le sinus de 30 degrés est égal au cosinus de 60, et vice versa. Il est facile de les confondre, ce qui entraînera inévitablement un résultat erroné.

Application

De nombreux étudiants ne sont pas pressés de commencer à apprendre la trigonométrie, car ils ne comprennent pas sa signification appliquée. Qu'est-ce qu'un sinus, un cosinus, une tangente pour un ingénieur ou un astronome ? Ce sont des concepts grâce auxquels vous pouvez calculer la distance à des étoiles lointaines, prédire la chute d'une météorite, envoyer une sonde de recherche sur une autre planète. Sans eux, il est impossible de construire un bâtiment, de concevoir une voiture, de calculer la charge sur une surface ou la trajectoire d'un objet. Et ce ne sont que les exemples les plus évidents ! Après tout, la trigonométrie sous une forme ou une autre est utilisée partout, de la musique à la médecine.

Enfin

Vous êtes donc sinus, cosinus, tangente. Vous pouvez les utiliser dans des calculs et résoudre avec succès des problèmes scolaires.

Tout l'intérêt de la trigonométrie se résume au fait que les paramètres inconnus du triangle doivent être calculés à l'aide des paramètres connus. Il y a six de ces paramètres : les longueurs des trois côtés et les grandeurs des trois angles. Toute la différence dans les tâches est que différentes entrées sont données.

Vous savez maintenant comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente en fonction des longueurs connues des jambes ou de l'hypoténuse. Étant donné que ces termes ne signifient rien de plus qu'un rapport et qu'un rapport est une fraction, l'objectif principal d'un problème trigonométrique est de trouver les racines d'une équation ordinaire ou d'un système d'équations. Et ici, les mathématiques scolaires ordinaires vous aideront.

Le sinus est l'une des fonctions trigonométriques de base, dont l'utilisation n'est pas limitée à une seule géométrie. Les tables de calcul des fonctions trigonométriques, comme les calculatrices d'ingénierie, ne sont pas toujours à portée de main, et le calcul du sinus est parfois nécessaire pour résoudre divers problèmes. En général, le calcul du sinus aidera à solidifier vos compétences en dessin et votre connaissance des identités trigonométriques.

Jeux de règle et crayon

Problème simple : comment trouver le sinus d'un angle tracé sur papier ? Pour la solution, vous aurez besoin d'une règle ordinaire, d'un triangle (ou d'un compas) et d'un crayon. La façon la plus simple de calculer le sinus d'un angle est de diviser la branche éloignée d'un triangle avec un angle droit par le grand côté - l'hypoténuse. Ainsi, vous devez d'abord compléter l'angle aigu jusqu'à la forme d'un triangle rectangle en traçant une ligne perpendiculaire à l'un des rayons à une distance arbitraire du sommet de l'angle. Vous devrez observer l'angle exactement à 90 °, pour lequel nous avons besoin d'un triangle clérical.

L'utilisation d'une boussole est un peu plus précise mais prendra plus de temps. Sur l'un des rayons, vous devez marquer 2 points à une certaine distance, ajuster le rayon sur la boussole, approximativement égal à la distance entre les points, et tracer des demi-cercles avec des centres en ces points jusqu'à ce que les intersections de ces lignes soient obtenues. En reliant les points d'intersection de nos cercles entre eux, nous obtenons une perpendiculaire stricte au rayon de notre coin, il ne reste plus qu'à prolonger la ligne jusqu'à ce qu'elle coupe un autre rayon.

Dans le triangle résultant, vous devez mesurer le côté opposé au coin avec une règle et le côté long sur l'un des rayons. Le rapport de la première dimension à la seconde sera la valeur souhaitée du sinus de l'angle aigu.

Trouver le sinus pour un angle supérieur à 90 °

Pour un angle obtus, la tâche n'est pas beaucoup plus difficile. Vous devez tracer un rayon du haut vers le côté opposé en utilisant une règle pour former une ligne droite avec l'un des rayons de l'angle d'intérêt. Avec l'angle aigu obtenu, vous devez procéder comme décrit ci-dessus, les sinus des angles adjacents, qui forment ensemble un angle développé de 180 °, sont égaux.

Calcul du sinus à partir d'autres fonctions trigonométriques

Il est également possible de calculer le sinus si les valeurs d'autres fonctions trigonométriques de l'angle ou au moins les longueurs des côtés du triangle sont connues. Les identités trigonométriques nous y aideront. Regardons des exemples courants.

Comment trouver le sinus d'un cosinus connu d'un angle ? La première identité trigonométrique, qui vient du théorème de Pythagore, stipule que la somme des carrés du sinus et du cosinus du même angle est égale à un.

Comment trouver le sinus à une tangente connue d'un angle ? La tangente est obtenue en divisant la jambe éloignée par la proche ou en divisant le sinus par le cosinus. Ainsi, le sinus sera le produit du cosinus et de la tangente, et le carré du sinus sera le carré de ce produit. Nous remplaçons le cosinus dans le carré par la différence entre un et le sinus carré selon la première identité trigonométrique et, à l'aide de manipulations simples, nous réduisons l'équation au calcul du sinus carré à travers la tangente, respectivement, pour calculer le sinus, vous allez il faut extraire la racine du résultat obtenu.

Comment trouver le sinus avec une cotangente connue d'un angle ? La valeur de la cotangente peut être calculée en divisant la longueur de la jambe près du coin par la longueur de la jambe éloignée, ainsi qu'en divisant le cosinus par le sinus, c'est-à-dire que la cotangente est la fonction inverse de la tangente par rapport à le nombre 1. Pour calculer le sinus, vous pouvez calculer la tangente par la formule tg α = 1 / ctg α et utiliser la formule de la deuxième option. Vous pouvez également dériver une formule directe par analogie avec la tangente, qui ressemblera à ceci.

Comment trouver le sinus sur trois côtés d'un triangle

Il existe une formule pour trouver la longueur du côté inconnu de tout triangle, pas seulement rectangulaire, le long de deux côtés connus en utilisant la fonction trigonométrique du cosinus de l'angle opposé. Cela ressemble à ceci.