La bissectrice d'un triangle divise le côté opposé en relation. La bissectrice d'un triangle et ses propriétés

La bissectrice d'un triangle est un segment qui divise l'angle du triangle en deux angles égaux. Par exemple, si l'angle du triangle est 120 0, alors en traçant la bissectrice, nous construirons deux angles 60 0 chacun.

Et comme il y a trois angles dans un triangle, on peut tracer trois bissectrices. Ils ont tous un point de coupure. Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle. D'une autre manière, ce point d'intersection est appelé le centre du triangle.

Lorsque deux bissectrices des angles intérieur et extérieur se coupent, un angle de 90 0 est obtenu. Le coin extérieur d'un triangle est l'angle adjacent au coin intérieur du triangle.

Riz. 1. Triangle à 3 bissectrices

La bissectrice divise le côté opposé en deux segments de droite qui sont reliés aux côtés :

$$ (CL \ sur (LB)) = (AC \ sur (AB)) $$

Les points de la bissectrice sont équidistants des côtés du coin, ce qui signifie qu'ils sont à la même distance des côtés du coin. C'est-à-dire que si à partir de n'importe quel point de la bissectrice nous abaissons les perpendiculaires de chaque côté de l'angle du triangle, alors ces perpendiculaires seront égales.

Si vous dessinez la médiane, la bissectrice et la hauteur à partir d'un sommet, la médiane sera le segment le plus long et la hauteur la plus courte.

Quelques propriétés de la bissectrice

Dans certains types de triangles, la bissectrice a des propriétés particulières. Cela s'applique principalement au triangle isocèle. Cette figure a deux côtés identiques, et le troisième s'appelle la base.

Si à partir du sommet de l'angle d'un triangle isocèle pour tracer une bissectrice à la base, alors il aura les propriétés à la fois de la hauteur et de la médiane. En conséquence, la longueur de la bissectrice coïncide avec la longueur de la médiane et la hauteur.

Définitions :

• Hauteur- la perpendiculaire tombant du sommet du triangle au côté opposé ..
• Médian- un segment qui relie le sommet du triangle et le milieu du côté opposé.

Riz. 2. Bissectrice dans un triangle isocèle

Cela s'applique également à un triangle équilatéral, c'est-à-dire un triangle dont les trois côtés sont égaux.

Exemple de tâche

Dans un triangle ABC : BR est la bissectrice, où AB = 6 cm, BC = 4 cm et RC = 2 cm. Soustraire la longueur du troisième côté.

Riz. 3. Bisectrice dans un triangle

Solution:

La bissectrice divise le côté du triangle dans une proportion spécifique. Utilisons cette proportion et exprimons AR. Ensuite, nous trouverons la longueur du troisième côté comme la somme des segments en lesquels ce côté a été divisé par la bissectrice.

• $ (AB \ sur (BC)) = (AR \ sur (RC)) $
• $ RC = (6 \ sur (4)) * 2 = 3 cm $

Alors tout le segment AC = RC + AR

CA = 3 + 2 = 5 cm.

Notes totales reçues : 107.

Quelle est la bissectrice de l'angle d'un triangle ? À cette question, certaines personnes se taisent avec le fameux rat courant dans les coins et divisant le coin en deux. "Si la réponse doit être" humoristique ", alors peut-être est-elle correcte. Mais d'un point de vue scientifique, la La réponse à cette question devrait ressembler à ceci : en commençant par le sommet du coin et en divisant ce dernier en deux parties égales. » En géométrie, cette figure est également perçue comme un segment de la bissectrice avant son intersection avec le côté opposé du triangle. Ce n'est pas une idée fausse. Et que sait-on d'autre sur la bissectrice, à part sa définition ?

Comme tout lieu géométrique de points, il a ses propres caractéristiques. Le premier d'entre eux est plutôt, même pas un signe, mais un théorème, qui peut s'exprimer brièvement comme suit : « Si le côté opposé est divisé en deux parties avec une bissectrice, alors leur rapport correspondra au rapport des côtés de le grand triangle."

La deuxième propriété qu'il a : le point d'intersection des bissectrices de tous les angles est appelé l'incenter.

Le troisième signe : les bissectrices d'un coin intérieur et de deux coins extérieurs d'un triangle se coupent au centre de l'un des trois cercles qui y sont inscrits.

La quatrième propriété de la bissectrice de l'angle d'un triangle est que si chacune d'elles est égale, alors cette dernière est isocèle.

Le cinquième trait concerne également le triangle isocèle et constitue le principal repère pour sa reconnaissance dans le dessin par les bissectrices, à savoir : dans un triangle isocèle, il joue à la fois le rôle de médiane et de hauteur.

La bissectrice d'un angle peut être tracée à l'aide d'un compas et d'une règle :

La sixième règle dit qu'il est impossible de construire un triangle en n'utilisant ce dernier qu'avec les bissectrices disponibles, tout comme il est impossible de construire un doublement d'un cube, la quadrature d'un cercle et la trisection d'un angle de cette manière. Strictement parlant, ce sont toutes les propriétés de la bissectrice de l'angle d'un triangle.

Si vous lisez attentivement le paragraphe précédent, une phrase vous intéresse peut-être. « Qu'est-ce qu'une trisection d'un angle ? » - vous demandez probablement. Le trisecteur est un peu similaire à la bissectrice, mais si vous dessinez le dernier, l'angle sera divisé en deux parties égales et, lors de la construction de la trisection, en trois. Naturellement, la bissectrice est plus facile à retenir, car la trisection n'est pas enseignée à l'école. Mais par souci d'exhaustivité, je vais vous en parler.

Le trissecteur, comme je l'ai dit, ne peut pas être construit uniquement avec un compas et une règle, mais il peut être réalisé en utilisant les règles de Fujita et quelques courbes : escargot de Pascal, quadrix, conchoïde de Nicomède, sections coniques,

Les problèmes de trisection angulaire peuvent être facilement résolus à l'aide de nevisis.

En géométrie, il existe un théorème sur les trisecteurs d'un angle. C'est ce qu'on appelle le théorème de Morley (Morley). Elle déclare que les points d'intersection des mi-trisecteurs de chaque coin seront des sommets

Le petit triangle noir à l'intérieur du grand sera toujours équilatéral. Ce théorème a été découvert par le scientifique britannique Frank Morley en 1904.

Voici tout ce que vous pouvez apprendre sur la division d'un angle : La trisectrice et la bissectrice d'un angle nécessitent toujours des explications détaillées. Mais ici ont été données de nombreuses définitions non encore divulguées par moi : escargot de Pascal, conchoïde de Nicomède, etc. Rassurez-vous, on peut en écrire davantage à leur sujet.

Aujourd'hui sera une leçon très facile. Nous ne considérerons qu'un seul objet - la bissectrice d'un angle - et prouverons sa propriété la plus importante, qui nous sera très utile à l'avenir.

Ne vous détendez pas : parfois, les étudiants qui souhaitent obtenir un score élevé sur le même OGE ou USE, lors de la première leçon, ne peuvent même pas formuler avec précision la définition de la bissectrice.

Et au lieu de faire des tâches vraiment intéressantes, nous perdons du temps sur des choses aussi simples. Par conséquent, lisez, voyez - et mettez-le en service. :)

Pour commencer, une petite question étrange : qu'est-ce qu'un angle ? C'est vrai : un angle n'est que deux rayons sortant du même point. Par exemple:

Comme vous pouvez le voir sur la photo, les coins peuvent être nets, obtus, droits - cela n'a pas d'importance maintenant. Souvent, pour plus de commodité, un point supplémentaire est marqué sur chaque rayon et ils disent que nous avons un angle $ AOB $ devant nous (écrit $ \ angle AOB $).

Le capitaine de l'évidence semble laisser entendre qu'en plus des rayons $ OA $ et $ OB $, vous pouvez toujours dessiner un tas de rayons à partir du point $ O $. Mais parmi eux, il y en aura un spécial - c'est lui qui s'appelle la bissectrice.

Définition. La bissectrice d'un angle est un rayon qui sort du sommet de cet angle et coupe l'angle en son milieu.

Pour les angles ci-dessus, les bissectrices ressembleront à ceci :

Exemples de bissectrices pour les angles aigus, obtus et droits

Étant donné que dans les dessins réels, il est loin d'être toujours évident qu'un certain rayon (dans notre cas, c'est le rayon $ OM $) divise l'angle initial en deux angles égaux, en géométrie, il est d'usage de marquer des angles égaux avec le même nombre d'arcs (dans notre dessin, c'est 1 arc pour un angle aigu, deux pour émoussé, trois pour direct).

D'accord, nous avons trouvé la définition. Vous devez maintenant comprendre les propriétés de la bissectrice.

La propriété principale de la bissectrice d'un angle

En fait, une bissectrice a un tas de propriétés. Et nous les examinerons certainement dans la prochaine leçon. Mais il y a une astuce que vous devez comprendre dès maintenant :

Théorème. La bissectrice d'un angle est le lieu des points équidistants des côtés d'un angle donné.

Traduit des mathématiques en russe, cela signifie deux faits à la fois :

1. Tout point situé sur la bissectrice d'un certain angle est à la même distance des côtés de cet angle.
2. Et vice versa : si un point se trouve à la même distance des côtés d'un angle donné, alors il est garanti qu'il se trouve sur la bissectrice de cet angle.

Avant de prouver ces affirmations, clarifions un point : qu'est-ce qu'on appelle, en fait, la distance d'un point à un côté d'un angle ? Ici, la bonne vieille définition de la distance d'un point à une droite va nous aider :

Définition. La distance d'un point à une ligne est la longueur d'une perpendiculaire tracée d'un point donné à cette ligne.

Par exemple, considérons la ligne $ l $ et un point $ A $ qui ne se trouve pas sur cette ligne. Tracez une perpendiculaire $ AH $, où $ H \ dans l $. Alors la longueur de cette perpendiculaire sera la distance du point $ A $ à la droite $ l $.

Puisqu'un angle ne représente que deux faisceaux et que chaque faisceau est un morceau de ligne droite, il est facile de déterminer la distance entre un point et les côtés de l'angle. Ce ne sont que deux perpendiculaires :

C'est tout! Maintenant, nous savons ce qu'est la distance et ce qu'est une bissectrice. Par conséquent, la propriété principale peut être prouvée.

Comme promis, divisons la preuve en deux parties :

1. Les distances entre un point de la bissectrice et les côtés de l'angle sont les mêmes

Considérons un angle arbitraire de sommet $ O $ et de bissectrice $ OM $ :

Montrons que ce même point $ M $ est à la même distance des côtés du coin.

Preuve. Tracez des perpendiculaires du point $ M $ aux côtés du coin. Appelons-les $ M ((H) _ (1)) $ et $ M ((H) _ (2)) $ :

Dessiner des perpendiculaires aux côtés du coin

J'en ai deux triangle rectangle: $\vartriangle OM ((H) _ (1)) $ et $\vartriangle OM ((H) _ (2)) $. Ils ont une hypoténuse commune $ OM $ et des angles égaux :

1. $ \ angle MO ((H) _ (1)) = \ angle MO ((H) _ (2)) $ par condition (puisque $ OM $ est une bissectrice);
2. $ \ angle M ((H) _ (1)) O = \ angle M ((H) _ (2)) O = 90 () ^ \ circ $ par construction;
3. $ \ angle OM ((H) _ (1)) = \ angle OM ((H) _ (2)) = 90 () ^ \ circ - \ angle MO ((H) _ (1)) $, puisque le somme Les angles aigus d'un triangle rectangle sont toujours de 90 degrés.

Par conséquent, les triangles sont égaux en côté et en deux angles adjacents (voir signes d'égalité des triangles). Donc, en particulier, $ M ((H) _ (2)) = M ((H) _ (1)) $, c'est-à-dire les distances du point $ O $ aux côtés du coin sont bien égales. C.Q.D. :)

2. Si les distances sont égales, alors le point se trouve sur la bissectrice

Maintenant, la situation est inversée. Soit un angle $ O $ et un point $ M $ équidistants des côtés de cet angle :

Montrons que le rayon $ OM $ est une bissectrice, c'est-à-dire $ \ angle MO ((H) _ (1)) = \ angle MO ((H) _ (2)) $.

Preuve. Pour commencer, dessinons ce même rayon $ OM $, sinon il n'y aura rien à prouver :

J'ai dépensé le rayon $ OM $ dans le coin

Encore une fois, nous avons deux triangles rectangles : $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ et $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. Ils sont évidemment égaux car :

1. Hypoténuse $ OM $ - total ;
2. Les jambes $ M ((H) _ (1)) = M ((H) _ (2)) $ par condition (après tout, le point $ M $ est équidistant des côtés du coin);
3. Les jambes restantes sont également égales, car par le théorème de Pythagore $ OH_ (1) ^ (2) = OH_ (2) ^ (2) = O ((M) ^ (2)) - MH_ (1) ^ (2) $.

Par conséquent, les triangles $\vartriangle OM ((H) _ (1)) $ et $\vartriangle OM ((H) _ (2)) $ sont sur trois côtés. En particulier, leurs angles sont égaux : $ \ angle MO ((H) _ (1)) = \ angle MO ((H) _ (2)) $. Et cela signifie simplement que $ OM $ est une bissectrice.

En conclusion de la preuve, nous marquons les angles égaux résultants avec des arcs rouges :

La bissectrice divise l'angle $ \ ((H) _ (1)) O ((H) _ (2)) $ en deux

Comme vous pouvez le voir, rien de compliqué. Nous avons prouvé que la bissectrice d'un angle est le lieu des points équidistants des côtés de cet angle. :)

Maintenant que nous avons plus ou moins décidé de la terminologie, il est temps de passer à un nouveau niveau. Dans la prochaine leçon, nous analyserons les propriétés plus complexes de la bissectrice et apprendrons à les utiliser pour résoudre des problèmes réels.

La bissectrice d'un triangle est un concept géométrique courant qui ne pose pas de difficultés particulières à étudier. Connaissant ses propriétés, de nombreux problèmes peuvent être résolus sans trop de difficultés. Qu'est-ce qu'une bissectrice ? Nous essaierons de familiariser le lecteur avec tous les secrets de cette ligne mathématique.

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L'essence du concept

Le nom du concept vient de l'utilisation de mots en latin, dont le sens est "bi" - deux, "sectio" - coupé. Ils indiquent spécifiquement sens géométrique concepts - diviser l'espace entre les poutres en deux parties égales.

La bissectrice d'un triangle est un segment qui part du haut de la figure et dont l'autre extrémité se situe du côté opposé, tout en divisant l'espace en deux parties égales.

Pour une mémorisation associative rapide des concepts mathématiques par les étudiants, de nombreux enseignants utilisent une terminologie différente, qui est affichée en vers ou en associations. Bien sûr, cette définition est recommandée pour les enfants plus âgés.

Comment cette ligne droite est-elle désignée ? Ici, nous nous appuyons sur les règles pour désigner les segments ou les rayons. Si nous parlons de la désignation de la bissectrice de l'angle d'une figure triangulaire, elle s'écrit généralement sous la forme d'un segment dont les extrémités sont sommet et point d'intersection avec le côté opposé au sommet... De plus, le début de la désignation est écrit précisément par le haut.

Attention! Combien de bissectrices a un triangle ? La réponse est évidente : il y en a autant qu'il y a trois pics.

Propriétés

En plus de la définition, dans le manuel scolaire, vous pouvez trouver peu de propriétés de ce concept géométrique. La première propriété de la bissectrice d'un triangle, qui est présentée aux écoliers, est le centre de l'inscrit, et la seconde, qui lui est directement liée, est la proportionnalité des segments. La ligne du bas est la suivante :

1. Quelle que soit la ligne de démarcation, il y a des points dessus qui sont à la même distance des côtés qui composent l'espace entre les poutres.
2. Afin d'inscrire un cercle dans une figure triangulaire, il est nécessaire de déterminer le point d'intersection de ces segments. C'est le point central du cercle.
3. Les parties du côté d'une figure géométrique triangulaire, en lesquelles la ligne de séparation la divise, sont proportionnel aux côtés angulaires.

Nous essaierons d'intégrer le reste des caractéristiques dans le système et de présenter des faits supplémentaires qui aideront à mieux comprendre les mérites de ce concept géométrique.

Longueur

L'un des types de problèmes qui causent des difficultés aux écoliers est de trouver la longueur de la bissectrice de l'angle d'un triangle. La première option, qui contient sa longueur, contient les données suivantes :

• l'espace entre les rayons, du haut duquel sort ce segment ;
• les longueurs des côtés qui forment cet angle.

Résoudre le problème la formule est utilisée, dont le sens est de trouver le rapport du produit double des valeurs des côtés composant l'angle par le cosinus de sa moitié à la somme des côtés.

Prenons un exemple précis. Supposons qu'une figure ABC soit donnée, dans laquelle un segment est tracé à partir de l'angle A et coupe le côté BC au point K. La valeur de A est notée Y. Sur cette base, AK = (2 * AB * AC * cos (Y / 2)) / (AB + AC).

La deuxième version du problème, dans laquelle la longueur de la bissectrice d'un triangle est déterminée, contient les données suivantes :

• les significations de tous les côtés de la figure sont connues.

Lors de la résolution d'un problème de ce type, d'abord déterminer le demi-périmètre... Pour ce faire, additionnez les valeurs de tous les côtés et divisez par deux : p = (AB + BC + AC) / 2. Ensuite, nous appliquons la formule de calcul, qui a été utilisée pour déterminer la longueur de ce segment dans le problème précédent. Il suffit d'apporter quelques modifications à l'essence de la formule en fonction des nouveaux paramètres. Ainsi, il faut trouver le rapport de la racine doublée du second degré à partir du produit des longueurs des côtés qui jouxtent le sommet par le demi-périmètre et la différence entre le demi-périmètre et la longueur du côté opposé à la somme des côtés qui composent l'angle. C'est-à-dire AK = (2٦AB * AC * p * (p-BC)) / (AB + AC).

Attention! Pour faciliter la maîtrise de la matière, vous pouvez vous référer aux contes comiques disponibles sur Internet qui racontent les « aventures » de cette ligne droite.

Les coins intérieurs d'un triangle s'appellent la bissectrice du triangle.
La bissectrice de l'angle d'un triangle est également comprise comme le segment entre son sommet et le point d'intersection de la bissectrice avec le côté opposé du triangle.
Théorème 8. Trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point.
En effet, considérons d'abord le point P d'intersection de deux bissectrices, par exemple, AK 1 et VK 2. Ce point est également éloigné des côtés AB et AC, puisqu'il se trouve sur la bissectrice de l'angle A, et est également éloigné des côtés AB et BC, comme appartenant à la bissectrice de l'angle B. Par conséquent, il est également éloigné du côtés AC et BC et appartient donc à la troisième bissectrice SK 3, c'est-à-dire qu'au point P les trois bissectrices se coupent.
Propriétés des bissectrices des angles intérieur et extérieur d'un triangle
Théorème 9. Bissecteur coin intérieur un triangle divise le côté opposé en parties proportionnelles aux côtés adjacents.
Preuve. Considérons le triangle ABC et la bissectrice de son angle B. Tracez par le sommet C la droite CM, parallèle à la bissectrice BK, jusqu'à ce qu'elle coupe au point M le prolongement du côté AB. Puisque VK est la bissectrice de l'angle ABC, alors ∠ AVK = ∠ KBC. De plus, ABK = BMC, en tant qu'angles correspondants pour les lignes droites parallèles, et ∠ KBC = ∠ BCM, en tant qu'angles d'entrecroisement pour les lignes parallèles. Par conséquent, ∠ ВСМ = ∠ ВМС, et donc le triangle ВСМ est isocèle, d'où ВС = ВМ. Par le théorème sur les droites parallèles coupant les côtés d'un angle, on a AK : KC = AB : BM = AB : BC, qu'il fallait prouver.
Théorème 10 La bissectrice de l'angle extérieur B du triangle ABC a une propriété similaire : les segments AL et CL des sommets A et C au point L de l'intersection de la bissectrice avec le prolongement du côté AC sont proportionnels aux côtés de le triangle : AL : CL= AB : BC.
Cette propriété se démontre de la même manière que la précédente : une ligne auxiliaire SM est tracée sur la figure, parallèle à la bissectrice BL. Les angles du BMC et du BCM sont égaux, ce qui signifie que les côtés du BM et du BC du triangle BMC sont égaux. D'où nous arrivons à la conclusion AL : CL = AB : BC.

Théorème d4. (la première formule pour la bissectrice) : Si dans le triangle ABC le segment AL est la bissectrice de l'angle A, alors AL ? = AB AC - LB LC.

Preuve: Soit M le point d'intersection de la droite AL avec le cercle circonscrit au triangle ABC (fig. 41). L'angle BAM est égal à l'angle MAC par convention. Les angles BMA et BCA sont égaux en tant qu'angles inscrits reposant sur la même corde. Cela signifie que les triangles BAM et LAC sont similaires sous deux angles. Donc AL : AC = AB : AM. Par conséquent, AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. C'est ce qu'il fallait prouver. Remarque : pour un théorème sur les segments d'accords sécants dans un cercle et sur les angles inscrits, voir le sujet cercle et cercle.

Théorème d5. (deuxième formule de la bissectrice) : Dans un triangle ABC de côtés AB = a, AC = b et d'angle A égal à 2 ? et la bissectrice l, l'égalité suivante est vérifiée :
l = (2ab / (a ​​+ b)) cos ?.

Preuve: Soit ABC un triangle donné, AL sa bissectrice (fig. 42), a = AB, b = AC, l = AL. Alors S ABC = S ALB + S ALC. D'où absin2 ? = alsine ? + blsin ?<=>2absin?Cos? = (a + b) lsin ?<=>l = 2 (ab / (a ​​+ b)) cos ?. Le théorème est prouvé.