Dérivée d'une fonction complexe. Exemples de solutions

Dans cette leçon, nous allons apprendre à trouver dérivée d'une fonction complexe... La leçon est une suite logique de la leçon Comment trouver la dérivée ?, sur laquelle nous avons analysé les dérivées les plus simples, et nous sommes également familiarisés avec les règles de différenciation et quelques techniques pour trouver des dérivées. Ainsi, si vous n'êtes pas très familiarisé avec les dérivées des fonctions, ou si certains points de cet article ne sont pas tout à fait clairs, lisez d'abord la leçon ci-dessus. S'il vous plaît, accordez-vous à une ambiance sérieuse - le matériel n'est pas facile, mais je vais quand même essayer de le présenter d'une manière simple et accessible.

En pratique, il faut très souvent, je dirais même presque toujours, traiter la dérivée d'une fonction complexe lorsqu'on vous confie des tâches pour trouver des dérivées.

On regarde dans le tableau la règle (n°5) pour différencier une fonction complexe :

Compréhension. Tout d'abord, faisons attention à l'enregistrement. Nous avons ici deux fonctions - et, de plus, la fonction, au sens figuré, est enchâssée dans la fonction. Une fonction de ce type (lorsqu'une fonction est imbriquée dans une autre) est appelée fonction complexe.

je vais appeler la fonction fonction externe et la fonction - une fonction interne (ou imbriquée).

! Ces définitions ne sont pas théoriques et ne doivent pas apparaître dans la conception finale des missions. J'utilise des expressions informelles "fonction externe", fonction "interne" uniquement pour vous faciliter la compréhension du matériel.

Afin de clarifier la situation, considérez :

Exemple 1

Trouver la dérivée d'une fonction

Sous le sinus, nous n'avons pas seulement la lettre "X", mais une expression entière, il ne sera donc pas possible de trouver la dérivée immédiatement à partir de la table. On remarque aussi qu'il est impossible d'appliquer les quatre premières règles ici, il semble y avoir une différence, mais le fait est qu'on ne peut pas "déchirer" un sinus :

V cet exemple déjà à partir de mes explications, il est intuitivement clair qu'une fonction est une fonction complexe et que le polynôme est une fonction interne (emboîtement) et une fonction externe.

Premier pas, qui doit être effectuée lors de la recherche de la dérivée d'une fonction complexe, est que déterminer quelle fonction est interne et laquelle est externe.

Lorsque exemples simples il semble clair qu'un polynôme est imbriqué sous le sinus. Mais que faire si tout n'est pas évident ? Comment déterminer exactement quelle fonction est externe et laquelle est interne ? Pour ce faire, je suggère d'utiliser la technique suivante, qui peut se faire mentalement ou sur un brouillon.

Imaginez que nous devons calculer la valeur d'une expression à sur une calculatrice (au lieu d'un, il peut y avoir n'importe quel nombre).

Que va-t-on calculer en premier ? D'abord vous devrez effectuer l'action suivante :, le polynôme sera donc une fonction interne :

en deuxième devra être trouvé, donc sine sera une fonction externe :

Après nous Compris avec les fonctions internes et externes, il est grand temps d'appliquer la règle de différenciation d'une fonction complexe.

Nous commençons à décider. De la leçon Comment trouver la dérivée ? nous nous souvenons que la conception de la solution de toute dérivée commence toujours comme ceci - nous mettons l'expression entre parenthèses et mettons un trait en haut à droite :

D'abord trouver la dérivée de la fonction externe (sinus), regarder le tableau des dérivées fonctions élémentaires et remarquez cela. Toutes les formules tabulaires sont applicables même si "x" est remplacé par une expression complexe, dans ce cas:

Notez que la fonction interne n'a pas changé, on n'y touche pas.

Eh bien, il est assez évident que

Le résultat de l'application de la formule dans la conception finale ressemble à ceci :

Un facteur constant est généralement placé au début d'une expression :

En cas de confusion, notez la solution et relisez les explications.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction

Comme toujours, nous écrivons :

Voyons où nous avons une fonction externe et où nous avons une fonction interne. Pour ce faire, essayez (mentalement ou sur un brouillon) de calculer la valeur de l'expression à. Que faut-il faire en premier ? Tout d'abord, vous devez calculer à quoi la base est égale : ce qui signifie que le polynôme est la fonction interne :

Et ce n'est qu'alors que l'exponentiation est effectuée, par conséquent, la fonction puissance est une fonction externe :

Selon la formule, vous devez d'abord trouver la dérivée de la fonction externe, dans ce cas, le degré. Nous recherchons la formule recherchée dans le tableau :. Nous répétons encore : toute formule tabulaire est valide non seulement pour "x", mais aussi pour une expression complexe... Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différentiation d'une fonction complexe est le suivant :

J'insiste à nouveau sur le fait que lorsque nous prenons la dérivée de la fonction externe, la fonction interne ne change pas pour nous :

Reste maintenant à trouver une dérivée très simple de la fonction interne et à « peigner » un peu le résultat :

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple de solution indépendante (réponse à la fin du tutoriel).

Pour consolider la compréhension de la dérivée d'une fonction complexe, je vais donner un exemple sans commentaires, essayer de le comprendre par vous-même, spéculer où est la fonction externe et où est la fonction interne, pourquoi les tâches ont-elles été résolues de cette façon ?

Exemple 5

a) Trouver la dérivée de la fonction

b) Trouver la dérivée de la fonction

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, nous avons une racine, et afin de différencier la racine, elle doit être représentée comme un degré. Ainsi, nous apportons d'abord la fonction sous une forme appropriée pour la différenciation :

En analysant la fonction, nous arrivons à la conclusion que la somme de trois termes est une fonction interne et que l'exponentiation est une fonction externe. On applique la règle de différentiation d'une fonction complexe :

Le degré est à nouveau représenté comme un radical (racine), et pour la dérivée de la fonction interne, nous appliquons une règle simple pour différencier la somme :

Prêt. Vous pouvez également ramener l'expression à un dénominateur commun entre parenthèses et tout noter en une fraction. Bien sûr, mais lorsque l'on obtient des dérivées longues encombrantes, il vaut mieux ne pas le faire (il est facile de se tromper, de faire une erreur inutile, et ce sera gênant pour l'enseignant de vérifier).

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple de solution indépendante (réponse à la fin du tutoriel).

Il est intéressant de noter que parfois, au lieu de la règle pour différencier une fonction complexe, on peut utiliser la règle pour différencier le quotient , mais une telle décision aura l'air drôle comme une perversion. Voici un exemple typique :

Exemple 8

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, vous pouvez utiliser la règle pour différencier le quotient , mais il est beaucoup plus rentable de trouver la dérivée par la règle de dérivation d'une fonction complexe :

Nous préparons la fonction pour la différenciation - nous déplaçons le moins en dehors du signe de la dérivée et élevons le cosinus au numérateur :

Le cosinus est une fonction interne, l'exponentiation est une fonction externe.
Nous utilisons notre règle :

Trouvez la dérivée de la fonction interne, réinitialisez le cosinus :

Prêt. Dans l'exemple considéré, il est important de ne pas se confondre dans les signes. Au fait, essayez de le résoudre avec la règle , les réponses doivent correspondre.

Exemple 9

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple de solution indépendante (réponse à la fin du tutoriel).

Jusqu'à présent, nous avons examiné des cas où nous n'avions qu'une seule pièce jointe dans une fonction complexe. Dans les tâches pratiques, vous pouvez souvent trouver des dérivés, où, comme des poupées gigognes, les unes dans les autres, 3 ou même 4-5 fonctions sont imbriquées à la fois.

Exemple 10

Trouver la dérivée d'une fonction

Comprenons les attachements de cette fonction. Essayer d'évaluer l'expression à l'aide de la valeur de test. Comment compterait-on sur une calculatrice ?

Vous devez d'abord trouver, ce qui signifie que l'arc sinus est l'imbrication la plus profonde :

Ensuite, cet arc sinus de un doit être au carré :

Et enfin, élevez le 7 à la puissance :

C'est-à-dire que dans cet exemple, nous avons trois fonctions différentes et deux pièces jointes, tandis que la fonction la plus interne est l'arc sinus et la fonction la plus externe est la fonction exponentielle.

Nous commençons à résoudre

Selon la règle, vous devez d'abord prendre la dérivée de la fonction externe. Nous regardons le tableau des dérivées et trouvons la dérivée de la fonction exponentielle : La seule différence est qu'au lieu de "x" nous avons une expression complexe, ce qui n'annule pas la validité de cette formule. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différentiation d'une fonction complexe est le suivant :

Sous le trait, nous avons à nouveau une fonction complexe ! Mais c'est déjà plus simple. Il est facile de vérifier que la fonction interne est l'arc sinus, la fonction externe est le degré. Selon la règle de différenciation d'une fonction complexe, il faut d'abord prendre la dérivée du degré.

Premier niveau

Dérivé de la fonction. Guide complet (2019)

Imaginez une route droite à travers un terrain vallonné. C'est-à-dire qu'il monte et descend, mais ne tourne pas à droite ou à gauche. Si l'axe est dirigé le long de la route horizontalement et - verticalement, alors la ligne de route sera très similaire au graphique d'une fonction continue :

L'axe est un certain niveau de hauteur zéro, dans la vie nous utilisons le niveau de la mer comme cela.

En avançant sur une telle route, nous montons ou descendons également. On peut dire aussi : lorsque l'argument change (déplacement en abscisse), la valeur de la fonction change (déplacement en ordonnée). Réfléchissons maintenant à la façon de déterminer la "pente" de notre route? Quelle valeur cela peut-il être ? C'est très simple : de combien la hauteur va changer en avançant d'une certaine distance. Après tout, sur différents sites route, en avançant (en abscisse) d'un kilomètre, nous monterons ou descendrons d'un nombre différent de mètres par rapport au niveau de la mer (en ordonnée).

Nous désignerons le mouvement vers l'avant (il se lit "delta x").

La lettre grecque (delta) est couramment utilisée en mathématiques comme préfixe signifiant "changement". C'est - c'est un changement de valeur, - un changement ; alors qu'est-ce que c'est? C'est vrai, un changement d'ampleur.

Important : une expression est un tout unique, une variable. Vous ne devez jamais déchirer le « delta » du « x » ou de toute autre lettre ! C'est, par exemple,.

Donc, nous avons avancé, horizontalement, sur. Si nous comparons la ligne de route avec le graphique d'une fonction, alors comment désigner la montée ? Assurément, . C'est-à-dire que lorsque nous avançons, nous montons plus haut.

Il est facile de calculer la valeur : si au début on était en hauteur, et après avoir bougé on était en hauteur, alors. Si le point final est inférieur au point de départ, il sera négatif - cela signifie que nous ne montons pas, mais descendons.

Retour à « raide » : il s'agit d'une valeur qui indique de combien (raide) la hauteur augmente à mesure que vous avancez d'une unité de distance :

Supposons que sur une certaine partie du chemin, en avançant de km, la route monte de km. Ensuite, la pente à ce stade est. Et si la route, en se déplaçant par m, coulait par km ? Ensuite, la pente est.

Considérons maintenant le sommet d'une colline. Si vous prenez le début de la section un demi-kilomètre avant le sommet et la fin un demi-kilomètre après, vous pouvez voir que la hauteur est pratiquement la même.

C'est-à-dire que, selon notre logique, il s'avère que la pente ici est presque nulle, ce qui n'est clairement pas vrai. C'est juste que beaucoup de choses peuvent changer à une distance en km. Il est nécessaire de considérer des sections plus petites pour une évaluation plus adéquate et précise de la pente. Par exemple, si vous mesurez le changement de hauteur lorsque vous vous déplacez d'un mètre, le résultat sera beaucoup plus précis. Mais même cette précision peut ne pas nous suffire - après tout, s'il y a un poteau au milieu de la route, nous pouvons simplement le traverser. Quelle distance choisirons-nous alors ? Centimètre? Millimètre? Moins c'est mieux !

V vrai vie mesurer la distance avec une précision millimétrique est plus que suffisant. Mais les mathématiciens recherchent toujours la perfection. Par conséquent, le concept a été inventé infiniment petit, c'est-à-dire que la magnitude est inférieure à n'importe quel nombre que nous pouvons nommer. Par exemple, vous dites : mille milliards ! Combien de moins ? Et vous divisez ce nombre par - et ce sera encore moins. Etc. Si on veut écrire que la valeur est infiniment petite, on écrit comme ceci : (on lit "x tend vers zéro"). Il est très important de comprendre que ce nombre n'est pas nul ! Mais très proche de lui. Cela signifie que vous pouvez diviser par elle.

Le concept opposé à l'infiniment petit est l'infiniment grand (). Vous l'avez probablement déjà rencontré en traitant des inégalités : ce nombre est modulo plus grand que n'importe quel nombre auquel vous pouvez penser. Si vous obtenez le plus grand nombre possible, multipliez-le simplement par deux et vous obtenez encore plus. Et l'infini est encore plus grand que ce que vous obtenez. En fait, l'infiniment grand et l'infiniment petit sont inverses l'un de l'autre, c'est-à-dire à, et vice versa : à.

Revenons maintenant à notre route. La pente idéalement calculée est la courbure calculée pour une section infiniment petite du chemin, c'est-à-dire :

Notez qu'avec un déplacement infiniment petit, le changement de hauteur sera également infiniment petit. Mais permettez-moi de vous rappeler qu'infiniment petit ne veut pas dire égal à zéro. Si vous divisez les nombres infinitésimaux les uns par les autres, vous pouvez obtenir un nombre tout à fait ordinaire, par exemple. C'est-à-dire qu'une petite valeur peut être exactement deux fois plus grande qu'une autre.

A quoi ça sert tout ça ? La route, la pente... Nous ne faisons pas de rallye automobile, mais nous enseignons les mathématiques. Et en mathématiques, tout est exactement pareil, seulement cela s'appelle différemment.

Concept dérivé

La dérivée d'une fonction est le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument à un incrément infinitésimal de l'argument.

Par incrément en mathématiques, le changement s'appelle. Combien l'argument () a changé en se déplaçant le long de l'axe est appelé incrément d'argument et est noté La mesure dans laquelle la fonction (hauteur) a changé lors du déplacement vers l'avant le long de l'axe d'une distance est appelée incrément de fonction et est indiqué par.

Ainsi, la dérivée d'une fonction est la relation avec at. On note la dérivée par la même lettre que la fonction, uniquement avec un premier en haut à droite : ou simplement. Alors, écrivons la formule dérivée en utilisant ces notations :

Comme dans l'analogie avec la route, ici, lorsque la fonction augmente, la dérivée est positive, et lorsque la fonction diminue, elle est négative.

Existe-t-il une dérivée égale à zéro ? Assurément. Par exemple, si nous roulons sur une route plate et horizontale, la pente est nulle. En effet, la hauteur ne change pas du tout. Il en est de même avec la dérivée : la dérivée d'une fonction constante (constante) est égale à zéro :

puisque l'incrément d'une telle fonction est nul pour tout.

Rappelons-nous l'exemple du sommet d'une colline. Là, il s'est avéré qu'il était possible de disposer les extrémités du segment sur les côtés opposés du sommet de sorte que la hauteur aux extrémités soit la même, c'est-à-dire que le segment est parallèle à l'axe:

Mais de grandes étendues sont le signe d'une mesure inexacte. Nous soulèverons notre segment parallèlement à lui-même, puis sa longueur diminuera.

Finalement, lorsque nous sommes infiniment près du sommet, la longueur du segment deviendra infiniment petite. Mais en même temps, il est resté parallèle à l'axe, c'est-à-dire que la différence de hauteur à ses extrémités est égale à zéro (elle ne tend pas, mais elle est égale). Par conséquent, la dérivée

Vous pouvez le comprendre de cette façon : lorsque nous nous tenons tout en haut, un petit décalage vers la gauche ou la droite change notre taille de manière négligeable.

Il y a aussi une explication purement algébrique : à gauche du sommet, la fonction augmente, et à droite, elle diminue. Comme nous l'avons déjà découvert plus tôt, lorsque la fonction augmente, la dérivée est positive et lorsque la fonction diminue, elle est négative. Mais il change en douceur, sans sauts (car la route ne change brusquement de pente nulle part). Par conséquent, entre le négatif et le valeurs positives doit être. Ce sera là où la fonction n'augmente ni ne diminue - au sommet.

Il en est de même pour le bas (la région où la fonction diminue à gauche et augmente à droite) :

Un peu plus de détails sur les incréments.

Nous changeons donc l'argument en valeur. Changer de quelle valeur ? Quel est-il (l'argument) maintenant? Nous pouvons choisir n'importe quel point, et maintenant nous allons danser à partir de celui-ci.

Considérons un point avec une coordonnée. La valeur de la fonction qu'il contient est. Puis on fait le même incrément : on augmente la coordonnée de. À quoi l'argument est-il maintenant égal? Très facile: . Quelle est la valeur de la fonction maintenant? Là où va l'argument, il en va de même pour la fonction :. Qu'en est-il de l'incrément de fonction ? Rien de nouveau : c'est toujours le montant par lequel la fonction a changé :

Entraînez-vous à trouver des incréments :

1. Trouvez l'incrément de la fonction au point avec l'incrément d'argument égal à.
2. Il en va de même pour la fonction au point.

Solutions:

À différents points avec le même incrément de l'argument, l'incrément de la fonction sera différent. Cela signifie que la dérivée à chaque point est différente (nous en avons discuté au tout début - la pente de la route à différents points est différente). Par conséquent, lorsque nous écrivons la dérivée, nous devons indiquer à quel moment :

Fonction de puissance.

Une fonction puissance est appelée une fonction où l'argument est dans une certaine mesure (logique, hein ?).

Et - dans une quelconque mesure :.

Le cas le plus simple est celui où l'exposant :

Trouvons sa dérivée au point. Rappelons la définition d'une dérivée :

Ainsi, l'argument passe de à. Quel est l'incrément de la fonction ?

L'augmentation est la suivante. Mais la fonction en tout point est égale à son argument. Alors:

La dérivée est égale à :

La dérivée de est égale à :

b) Considérons maintenant la fonction quadratique ():.

Souvenons-nous maintenant de cela. Cela signifie que la valeur de l'incrément peut être négligée, puisqu'elle est infiniment petite, et donc insignifiante dans le contexte d'un autre terme :

Donc, nous avons la règle suivante :

c) On continue la série logique :.

Cette expression peut être simplifiée de différentes manières : développez la première parenthèse en utilisant la formule de multiplication abrégée du cube de la somme, ou factorisez l'expression entière en utilisant la formule de la différence entre les cubes. Essayez de le faire vous-même de l'une des manières suggérées.

J'ai donc abouti à ceci :

Et encore une fois, souvenez-vous-en. Cela signifie que vous pouvez négliger tous les termes contenant :

On a:.

d) Des règles similaires peuvent être obtenues pour les diplômes supérieurs :

e) Il s'avère que cette règle peut être généralisée pour une fonction puissance avec un exposant arbitraire, même pas un entier :

La règle peut être formulée par les mots : "le degré est avancé comme un coefficient, puis il diminue de".

Nous prouverons cette règle plus tard (presque à la toute fin). Voyons maintenant quelques exemples. Trouver la dérivée des fonctions :

1. (de deux manières : par la formule et en utilisant la définition de la dérivée - en calculant l'incrément de la fonction) ;

1. ... Croyez-le ou non, il s'agit d'une fonction de puissance. Si vous avez des questions comme « Comment est-ce ? Et où est le diplôme ? », Souvenez-vous du sujet « » !
   Oui, la racine est aussi un degré, seulement fractionnaire :.
   Donc notre racine carrée est juste une puissance avec un exposant :
   .
   On cherche la dérivée selon la formule récemment apprise :

   Si à cet endroit cela redevient flou, répétez le sujet "" !!! (à propos du degré avec un exposant négatif)

2. ... Maintenant l'exposant :

   Et maintenant à travers la définition (avez-vous déjà oublié ?) :
   ;
   .
   Maintenant, comme d'habitude, on néglige le terme contenant :
   .

3. ... Une combinaison des cas précédents :.

Fonctions trigonométriques.

Ici, nous utiliserons un fait des mathématiques supérieures :

Lorsque l'expression.

Vous apprendrez la preuve en première année de l'institut (et pour y arriver, vous devez bien réussir l'examen). Maintenant, je vais juste le montrer graphiquement :

Nous voyons que pour la fonction n'existe pas - le point sur le graphique est perforé. Mais plus la valeur est proche, plus la fonction est proche. C'est le très "aspire".

De plus, vous pouvez vérifier cette règle à l'aide d'une calculatrice. Oui, oui, ne sois pas timide, prends la calculatrice, nous ne sommes pas encore à l'examen.

Alors, essayons : ;

N'oubliez pas de mettre la calculatrice en mode "Radians" !

etc. Nous voyons que plus le rapport est petit, plus la valeur du rapport est proche.

a) Considérez la fonction. Comme d'habitude, trouvons son incrément :

Transformons la différence des sinus en un produit. Pour cela, nous utilisons la formule (rappelez-vous le sujet "") :.

Maintenant la dérivée :

Faisons un remplacement :. Alors, pour l'infiniment petit, c'est aussi l'infiniment petit :. L'expression de prend la forme :

Rappelez-vous maintenant que lors de l'expression. Et aussi, que se passe-t-il si une quantité infiniment petite peut être négligée dans la somme (c'est-à-dire at).

On obtient donc la règle suivante : la dérivée sinus est égale au cosinus:

Ce sont des dérivés de base ("tabulaires"). Les voici dans une seule liste :

Plus tard, nous en ajouterons quelques-uns, mais ce sont les plus importants, car ils sont utilisés le plus souvent.

Entraine toi:

1. Trouvez la dérivée de la fonction au point ;
2. Trouvez la dérivée de la fonction.

Solutions:

1. On trouve d'abord la dérivée dans vue générale, puis substituez sa valeur à la place :
   ;
   .
2. Ici, nous avons quelque chose de similaire à une fonction puissance. Essayons de l'amener à
   vue normale:
   .
   Super, maintenant vous pouvez utiliser la formule :
   .
   .
3. ... Eeeeee ... .. Qu'est-ce que c'est ????

D'accord, vous avez raison, nous ne savons pas encore comment trouver de tels dérivés. Ici, nous avons une combinaison de plusieurs types de fonctions. Pour travailler avec eux, vous devez apprendre quelques règles supplémentaires :

Exposant et logarithme naturel.

Il existe une telle fonction en mathématiques, dont la dérivée pour tout est égale à la valeur de la fonction elle-même. Elle est appelée "exponentielle", et est une fonction exponentielle

La base de cette fonction - une constante - est une fraction décimale infinie, c'est-à-dire un nombre irrationnel (tel que). Il est appelé « nombre d'Euler », et donc désigné par une lettre.

La règle est donc :

C'est très facile à retenir.

Bon, n'allons pas loin, on va tout de suite envisager fonction inverse... Quelle fonction est l'inverse de la fonction exponentielle ? Logarithme:

Dans notre cas, la base est un nombre :

Un tel logarithme (c'est-à-dire un logarithme avec une base) est appelé "naturel", et nous utilisons une notation spéciale pour cela : écrire à la place.

Qu'est-ce qui est égal à ? Bien sûr, .

La dérivée du logarithme népérien est également très simple :

Exemples:

1. Trouvez la dérivée de la fonction.
2. Quelle est la dérivée de la fonction ?

Réponses: L'exposant et le logarithme népérien sont des fonctions uniquement simples du point de vue de la dérivée. Les fonctions exponentielles et logarithmiques avec n'importe quelle autre base auront une dérivée différente, que nous analyserons plus tard, après avoir parcouru les règles de différenciation.

Règles de différenciation

Les règles de quoi ? Encore un nouveau terme, encore ?!...

Différenciation est le processus de recherche d'une dérivée.

C'est tout. Sinon, comment appeler ce processus en un mot ? Pas une dérivation ... Le différentiel des mathématiques est appelé le même incrément d'une fonction à. Ce terme vient du latin différentia - différence. Ici.

Lors de la dérivation de toutes ces règles, nous utiliserons deux fonctions, par exemple, et. Nous avons également besoin de formules pour leurs incréments :

Il y a 5 règles au total.

La constante est déplacée en dehors du signe de la dérivée.

Si est un nombre constant (constant), alors.

Évidemment, cette règle fonctionne aussi pour la différence :.

Prouvons-le. Laissez, ou plus facile.

Exemples.

Trouvez les dérivées des fonctions :

1. à ce point;
2. à ce point;
3. à ce point;
4. à ce point.

Solutions:

1. (la dérivée est la même en tout point, puisque c'est une fonction linéaire, tu te souviens ?) ;

Dérivé d'une oeuvre

Tout est pareil ici : on introduit une nouvelle fonction et on trouve son incrément :

Dérivé:

Exemples:

1. Trouver les dérivées des fonctions et ;
2. Trouvez la dérivée de la fonction au point.

Solutions:

Dérivée de la fonction exponentielle

Maintenant, vos connaissances sont suffisantes pour apprendre à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle, pas seulement l'exposant (avez-vous oublié ce que c'est ?).

Alors, où est un certain nombre.

Nous connaissons déjà la dérivée de la fonction, essayons donc de convertir notre fonction en une nouvelle base :

Pour cela nous utiliserons règle simple:. Puis:

Eh bien, cela a fonctionné. Essayez maintenant de trouver la dérivée, et n'oubliez pas que cette fonction est délicate.

Arrivé?

Ici, vérifiez par vous-même :

La formule s'est avérée très similaire à la dérivée de l'exposant : en l'état, il reste, seul un multiplicateur est apparu, qui n'est qu'un nombre, mais pas une variable.

Exemples:
Trouvez les dérivées des fonctions :

Réponses:

C'est juste un nombre qui ne peut pas être calculé sans calculatrice, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être écrit en plus forme simple... Par conséquent, dans la réponse, nous la laissons sous cette forme.

Dérivée d'une fonction logarithmique

Ici, c'est similaire : vous connaissez déjà la dérivée du logarithme népérien :

Par conséquent, pour trouver un logarithme arbitraire avec une base différente, par exemple :

Vous devez apporter ce logarithme à la base. Comment changer la base du logarithme ? J'espère que vous vous souvenez de cette formule :

Seulement maintenant, au lieu de nous écrirons :

Le dénominateur est juste une constante (nombre constant, pas de variable). La dérivée est très simple :

Les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques ne se trouvent presque jamais dans l'examen, mais il ne sera pas superflu de les connaître.

Dérivée d'une fonction complexe.

Qu'est-ce qu'une « fonction complexe » ? Non, ce n'est pas un logarithme, ni une arctangente. Ces fonctions peuvent être difficiles à comprendre (bien que si le logarithme vous semble difficile, lisez le sujet "Logarithmes" et tout passera), mais du point de vue mathématique, le mot "difficile" ne veut pas dire "difficile".

Imaginez un petit tapis roulant : deux personnes sont assises et font une sorte d'action avec des objets. Par exemple, le premier enveloppe une barre de chocolat dans un emballage et le second l'attache avec un ruban. Il s'avère qu'un objet si composite: une barre de chocolat enveloppée et attachée avec un ruban. Pour manger une barre de chocolat, vous devez effectuer les étapes inverses dans l'ordre inverse.

Créons un pipeline mathématique similaire : nous allons d'abord trouver le cosinus d'un nombre, puis nous allons mettre au carré le nombre résultant. Donc, on nous donne un numéro (barre de chocolat), je trouve son cosinus (emballage), et puis tu ajustes ce que j'ai (tu l'attaches avec un ruban). Que s'est-il passé? Une fonction. C'est un exemple de fonction complexe : quand, pour trouver sa valeur, on fait la première action directement avec la variable, puis une autre seconde action avec le résultat de la première.

On peut très bien faire les mêmes actions dans l'ordre inverse : d'abord tu carré, puis je cherche le cosinus du nombre résultant :. Il est facile de deviner que le résultat sera presque toujours différent. Une caractéristique importante des fonctions complexes : lorsque vous modifiez l'ordre des actions, la fonction change.

En d'autres termes, une fonction complexe est une fonction dont l'argument est une autre fonction: .

Pour le premier exemple,.

Deuxième exemple : (idem). ...

L'action que nous faisons en dernier sera appelée Fonction "Externe", et l'action entreprise en premier - respectivement Fonction "interne"(ce sont des noms informels, je les utilise uniquement pour expliquer le matériel dans un langage simple).

Essayez de déterminer par vous-même quelle fonction est externe et laquelle est interne :

Réponses: La séparation des fonctions internes et externes est très similaire à la modification de variables : par exemple, dans une fonction

1. Quelle est la première action à entreprendre ? Tout d'abord, nous allons calculer le sinus, et seulement ensuite nous l'élevons à un cube. Cela signifie qu'il s'agit d'une fonction interne, mais externe.
   Et la fonction originale est leur composition :.
2. Interne:; externe:.
   Examen: .
3. Interne:; externe:.
   Examen: .
4. Interne:; externe:.
   Examen: .
5. Interne:; externe:.
   Examen: .

nous modifions les variables et obtenons une fonction.

Eh bien, nous allons maintenant extraire notre barre de chocolat - cherchez un dérivé. La procédure est toujours inversée : on cherche d'abord la dérivée de la fonction externe, puis on multiplie le résultat par la dérivée de la fonction interne. Par rapport à l'exemple d'origine, cela ressemble à ceci:

Un autre exemple:

Alors, formulons enfin une règle officielle :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

Tout semble simple, non ?

Vérifions avec des exemples :

Solutions:

1) Interne : ;

Externe:;

2) Interne : ;

(N'essayez pas de réduire maintenant ! Rien ne peut être retiré sous le cosinus, vous vous souvenez ?)

3) Interne : ;

Externe:;

Il est immédiatement clair qu'il y a ici une fonction complexe à trois niveaux : après tout, c'est déjà une fonction complexe en soi, et de là nous extrayons également la racine, c'est-à-dire que nous effectuons la troisième action (nous mettons le chocolat dans un emballage et le mettre dans une mallette avec un ruban). Mais il n'y a aucune raison d'avoir peur : de toute façon, nous allons "déballer" cette fonction dans le même ordre que d'habitude : à partir de la fin.

C'est-à-dire que nous différencions d'abord la racine, puis le cosinus, et seulement ensuite l'expression entre parenthèses. Et puis on multiplie tout ça.

Dans de tels cas, il est pratique de numéroter les étapes. Autrement dit, imaginons ce que nous savons. Dans quel ordre allons-nous effectuer des actions pour calculer la valeur de cette expression ? Prenons un exemple :

Plus l'action est effectuée tardivement, plus la fonction correspondante sera « externe ». La séquence d'actions - comme avant :

Ici, la nidification est généralement à 4 niveaux. Définissons un plan d'action.

1. Une expression radicale. ...

2. Racine. ...

3. Sinus. ...

4. Carré. ...

5. Tout assembler :

DÉRIVÉ. BREF SUR LE PRINCIPAL

Dérivée d'une fonction- le rapport de l'incrément de la fonction sur l'incrément de l'argument avec un incrément infiniment petit de l'argument :

Dérivés de base :

Règles de différenciation :

La constante est déplacée en dehors du signe de la dérivée :

Dérivé du montant :

Dérivé de l'oeuvre :

Dérivée du quotient :

Dérivée d'une fonction complexe :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

1. On définit la fonction "interne", on trouve sa dérivée.
2. On définit la fonction "externe", on trouve sa dérivée.
3. Nous multiplions les résultats des premier et deuxième points.

Les fonctions complexes ne correspondent pas toujours à la définition d'une fonction complexe. S'il existe une fonction de la forme y = sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, alors elle ne peut pas être considérée comme complexe, contrairement à y = sin 2 x.

Cet article montrera le concept de fonction complexe et son identification. Travaillons avec des formules pour trouver la dérivée avec des exemples de solutions dans la conclusion. L'utilisation de la table des dérivées et de la règle de différenciation réduit considérablement le temps pour trouver la dérivée.

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Définitions basiques

Une fonction complexe est une fonction dont l'argument est aussi une fonction.

Elle est notée ainsi : f (g (x)). Nous avons que la fonction g (x) est considérée comme un argument de f (g (x)).

Définition 2

S'il existe une fonction f et est une fonction cotangente, alors g (x) = ln x est une fonction logarithme népérien. On obtient que la fonction complexe f (g (x)) s'écrira arctan (lnx). Soit une fonction f, qui est une fonction élevée à la puissance 4, où g (x) = x 2 + 2 x - 3 est considérée comme une fonction rationnelle entière, on obtient que f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 ...

Évidemment, g (x) peut être délicat. Dans l'exemple y = sin 2 x + 1 x 3 - 5, vous pouvez voir que la valeur de g a une racine cubique avec une fraction. Cette expression peut être notée y = f (f 1 (f 2 (x))). D'où l'on a que f est une fonction sinus, et f 1 est une fonction située sous racine carrée, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 est une fonction rationnelle fractionnaire.

Définition 3

Le degré d'imbrication est déterminé par n'importe quel nombre naturel et s'écrit comme y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (F n (x)))))).

Définition 4

Le concept de composition de fonctions fait référence au nombre de fonctions imbriquées par la condition du problème. Pour la solution, la formule pour trouver la dérivée d'une fonction complexe de la forme

(f (g (x))) "= f" (g (x)) g "(x)

Exemples de

Trouver la dérivée d'une fonction complexe de la forme y = (2 x + 1) 2.

Solution

Par la condition, vous pouvez voir que f est une fonction quadratique et g (x) = 2 x + 1 est considéré comme une fonction linéaire.

Appliquons la formule dérivée d'une fonction complexe et écrivons :

f "(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 · (g (x)) 2 - 1 = 2 · g (x) = 2 · (2 ​​x + 1); g "(x) = (2 x + 1)" = (2 x) "+ 1" = 2 x "+ 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 (f (g (x))) "= f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Il est nécessaire de trouver une dérivée avec une forme originale simplifiée de la fonction. On a:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

On a donc que

y "= (4 x 2 + 4 x + 1)" = (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "= 4 · (x 2)" + 4 · (x) "+ 0 = = 4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Les résultats correspondent.

Lors de la résolution de problèmes de ce genre, il est important de comprendre où se situera la fonction de la forme f et g (x).

Exemple 2

Vous devriez trouver les dérivées des fonctions complexes de la forme y = sin 2 x et y = sin x 2.

Solution

La première notation de la fonction dit que f est une fonction quadratique et g (x) est une fonction sinus. Ensuite, nous obtenons que

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x) "= 2 sin x cos x

La deuxième entrée montre que f est une fonction sinus, et g (x) = x 2 nous désignons une fonction puissance. Il s'ensuit que le produit d'une fonction complexe peut s'écrire sous la forme

y "= (péché x 2)" = cos (x 2) (x 2) "= cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

La formule de la dérivée y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x)))))) sera écrite comme y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 ( ... ( fn (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x))))) f 2" (f 3 (.. (fn (x)) )) ·. ... ... · Fn"(x)

Exemple 3

Trouvez la dérivée de la fonction y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Solution

Cet exemple montre la complexité des fonctions d'écriture et de localisation. Alors y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) désigne, où f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) est une fonction sinus, une fonction de relèvement de 3 degrés, fonction avec logarithme et base e, fonction arctangente et linéaire.

De la formule pour la définition d'une fonction complexe, nous avons que

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Nous obtenons ce qu'il faut trouver

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) comme dérivée sinus selon le tableau des dérivées, alors f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))) ) = cos (ln 3 arctan (2 x)).
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) comme dérivée de la fonction puissance, alors f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 arctan (2 x) = 3 ln 2 arctan (2 x).
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) comme dérivée du logarithmique, alors f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x).
4. f 3 "(f 4 (x)) comme dérivée de l'arc tangente, alors f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Lorsque vous trouvez la dérivée f 4 (x) = 2 x, soustrayez 2 en dehors du signe de la dérivée en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction puissance avec un exposant égal à 1, puis f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x " = 2 1 x 1 - 1 = 2.

Nous combinons les résultats intermédiaires et obtenons que

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 arctan (2 x)) 3 ln 2 arctan (2 x) 1 arctan (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 arctan (2 x)) ln 2 arctan (2 x) arctan (2 x) (1 + 4 x 2)

L'analyse de telles fonctions rappelle les poupées gigognes. Les règles de différenciation ne peuvent pas toujours être appliquées explicitement à l'aide d'une table de dérivés. Il est souvent nécessaire d'utiliser une formule pour trouver des dérivées de fonctions complexes.

Il existe quelques différences entre une vue complexe et une fonction complexe. Avec une capacité évidente à distinguer cela, trouver des dérivés sera particulièrement facile.

Exemple 4

Il faut envisager de donner un exemple similaire. S'il existe une fonction de la forme y = t g 2 x + 3 t g x + 1, alors elle peut être considérée comme une forme complexe g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1. Évidemment, il faut appliquer une formule pour un dérivé complexe :

f "(g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" = (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "= = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 · g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 · 1 · g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 tgx + 3; g "(x) = (tgx)" = 1 cos 2 x ⇒ y "= (f (g (x)))" = f "(g (x)) g" (x) = (2 tgx + 3 ) 1 cos 2 x = 2 tgx + 3 cos 2 x

Une fonction de la forme y = t g x 2 + 3 t g x + 1 n'est pas considérée comme difficile, car elle a la somme de t g x 2, 3 t g x et 1. Cependant, t g x 2 est considéré comme une fonction complexe, alors on obtient une fonction puissance de la forme g (x) = x 2 et f, qui est fonction de la tangente. Pour ce faire, il faut différencier par le montant. Nous obtenons cela

y "= (tgx 2 + 3 tgx + 1)" = (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "= = (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 = (tgx 2)" + 3 cos 2 x

Nous procédons à la recherche de la dérivée d'une fonction complexe (t g x 2) " :

f "(g (x)) = (tan (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x (tgx 2) "= f" (g (x)) g "(x) = 2 x cos 2 (x 2)

On obtient que y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) "+ 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Des fonctions complexes peuvent être incluses dans des fonctions complexes, et les fonctions complexes elles-mêmes peuvent être des fonctions complexes.

Exemple 5

Par exemple, considérons une fonction complexe de la forme y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Cette fonction peut être représentée sous la forme y = f (g (x)), où la valeur de f est fonction du logarithme en base 3, et g (x) est considérée comme la somme de deux fonctions de la forme h ( x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 et k (x) = ln 2 x (x 2 + 1). Évidemment, y = f (h (x) + k (x)).

Considérons la fonction h (x). C'est le rapport l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 à m (x) = e x 2 + 3 3

On a que l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) est la somme de deux fonctions n (x) = x 2 + 7 et p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1), où p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) est une fonction complexe avec un coefficient numérique 3, et p 1 est une fonction cubique , p 2 comme fonction cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 - une fonction linéaire.

Nous avons obtenu que m (x) = ex 2 + 3 3 = q (x) + r (x) est la somme de deux fonctions q (x) = ex 2 et r (x) = 3 3, où q (x) = q 1 (q 2 (x)) est une fonction complexe, q 1 est une fonction à fonction exponentielle, q 2 (x) = x 2 est une fonction puissance.

Cela montre que h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Passant à une expression de la forme k (x) = ln 2 x s 2 (x)) avec un entier rationnel t (x) = x 2 + 1, où s 1 est la fonction quadratique, et s 2 (x) = ln x est logarithmique de base e.

Il s'ensuit que l'expression prend la forme k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x).

Ensuite, nous obtenons que

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Par les structures de fonction, il est devenu clair comment et quelles formules doivent être utilisées pour simplifier une expression lors de sa différenciation. Pour se familiariser avec de tels problèmes et pour le concept de leur solution, il est nécessaire de se tourner vers le point de différenciation de la fonction, c'est-à-dire de trouver sa dérivée.

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Depuis que vous êtes venu ici, vous avez probablement déjà vu cette formule dans le manuel

et fais une grimace comme ça :

Ami, ne vous inquiétez pas! En fait, tout est simple à déshonorer. Vous comprendrez certainement tout. Une seule demande - lire l'article tout doucement, essayez de comprendre chaque étape. J'ai écrit le plus simplement et le plus clairement possible, mais encore faut-il saisir l'idée. Et assurez-vous de résoudre les tâches de l'article.

Qu'est-ce qu'une fonction complexe ?

Imaginez que vous déménagez dans un autre appartement et que vous emballez donc vos affaires dans de grandes boîtes. Qu'il soit nécessaire de recueillir quelques petits objets comme le matériel d'écriture scolaire. Si vous les jetez simplement dans une énorme boîte, ils se perdront entre autres. Pour éviter cela, vous les mettez d'abord, par exemple, dans un sac, que vous mettez ensuite dans une grande boîte, après quoi vous la scellez. Ce processus « complexe » est illustré dans le schéma ci-dessous :

Il semblerait, qu'est-ce que les mathématiques ont à voir avec ça? De plus, une fonction complexe se forme EXACTEMENT de la même manière ! Seulement nous « emballons » non pas des cahiers et des stylos, mais \ (x \), alors que les « paquets » et les « boîtes » sont différents.

Par exemple, prenons x et "enveloppons-le" dans une fonction :

En conséquence, nous obtenons, bien sûr, \ (\ cos⁡x \). C'est notre "sac de choses". Et maintenant, nous le mettons dans une "boîte" - nous l'emballons, par exemple, dans une fonction cubique.

Que se passera-t-il à la fin ? Oui, c'est vrai, il y aura un "sac avec des choses dans une boîte", c'est-à-dire "le cosinus de x dans un cube".

La construction qui en résulte est une fonction complexe. Il diffère du simple en ce que à un X est appliqué PLUSIEURS "impacts" (paquets) d'affilée et il s'avère, pour ainsi dire, "fonction de fonction" - "emballage dans emballage".

Dans le cursus scolaire, il existe très peu de types de ces mêmes « packages », seulement quatre :

Maintenant, "pack" x d'abord dans une fonction exponentielle avec la base 7, puis dans une fonction trigonométrique. On a:

\ (x → 7 ^ x → tg⁡ (7 ^ x) \)

Et maintenant, nous allons "emballer" X deux fois dans fonctions trigonométriques, d'abord dans, puis dans :

\ (x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x) \)

Simple, non ?

Écrivez maintenant la fonction elle-même, où x :
- d'abord, "emballé" dans un cosinus, puis dans une fonction exponentielle avec une base \ (3 \);
- d'abord au cinquième degré, puis à la tangente ;
- d'abord dans le logarithme à la base \ (4 \) , puis à la puissance \ (- 2 \).

Voir les réponses à cette tâche à la fin de l'article.

Et peut-on « emballer » X non pas deux, mais trois fois ? Aucun problème! Et quatre, et cinq, et vingt-cinq fois. Par exemple, voici une fonction dans laquelle x est "emballé" \ (4 \) fois :

\ (y = 5 ^ (\ log_2⁡ (\ sin⁡ (x ^ 4))) \)

Mais de telles formules ne seront pas rencontrées dans la pratique scolaire (les élèves ont plus de chance - elles peuvent être plus compliquées).

Déballage d'une fonction complexe

Regardez à nouveau la fonction précédente. Pouvez-vous comprendre la séquence d'emballage? Dans quoi X a été poussé en premier, dans quoi ensuite, et ainsi de suite jusqu'à la toute fin. C'est-à-dire, quelle fonction est imbriquée dans laquelle ? Prenez un morceau de papier et écrivez ce que vous en pensez. Vous pouvez le faire avec une chaîne avec des flèches, comme nous l'avons écrit ci-dessus, ou de toute autre manière.

Maintenant, la bonne réponse: d'abord, le x a été "emballé" dans le \ (4 \) - ème puissance, puis le résultat a été emballé dans un sinus, il a, à son tour, été placé dans le logarithme de la base \ (2 \ ), et à la fin toute cette construction a été poussée dans les cinq puissances.

C'est-à-dire qu'il est nécessaire de dérouler la séquence DANS L'ORDRE INVERSE. Et voici un indice pour le faire plus facilement : il suffit de regarder le X - de lui et vous devez danser. Voyons quelques exemples.

Par exemple, voici une fonction : \ (y = tg⁡ (\ log_2⁡x) \). Nous regardons le X - que lui arrive-t-il en premier ? Il lui est pris. Puis? La tangente du résultat est prise. La séquence sera la même :

\ (x → \ log_2⁡x → tg⁡ (\ log_2⁡x) \)

Autre exemple : \ (y = \ cos⁡ ((x ^ 3)) \). Nous analysons - d'abord, le x a été élevé à un cube, puis le cosinus a été extrait du résultat. La suite sera donc : \ (x → x ^ 3 → \ cos⁡ ((x ^ 3)) \). Faites attention, la fonction semble être similaire à la toute première (où avec des images). Mais c'est une fonction complètement différente : ici dans le cube x (c'est-à-dire \ (\ cos⁡ ((xxx))) \), et là, dans le cube, le cosinus \ (x \) (c'est-à-dire \ (\ cos⁡ x \ cos⁡x \ cos⁡x \)). Cette différence provient de séquences d'emballage différentes.

Le dernier exemple (avec une information important dedans): \ (y = \ sin⁡ ((2x + 5)) \). Il est clair qu'ici ils ont d'abord fait des opérations arithmétiques avec x, puis ils ont pris le sinus du résultat : \ (x → 2x + 5 → \ sin⁡ ((2x + 5)) \). Et ça point important: malgré le fait que les opérations arithmétiques ne sont pas des fonctions en elles-mêmes, elles agissent ici aussi comme un moyen de "packing". Approfondissons un peu cette subtilité.

Comme je l'ai dit plus haut, dans les fonctions simples, X est "emballé" une fois, et dans les fonctions complexes - deux ou plus. De plus, toute combinaison de fonctions simples (c'est-à-dire leur somme, leur différence, leur multiplication ou leur division) est également une fonction simple. Par exemple, \ (x ^ 7 \) est une fonction simple et \ (ctg x \) l'est aussi. Cela signifie que toutes leurs combinaisons sont des fonctions simples :

\ (x ^ 7 + ctg x \) - simple,
\ (x ^ 7 ctg x \) - simple,
\ (\ frac (x ^ 7) (ctg x) \) - simple, etc.

Cependant, si une fonction supplémentaire est appliquée à une telle combinaison, ce sera déjà une fonction complexe, car il y aura deux « packings ». Voir schéma :

D'accord, allez-y maintenant. Écrivez la séquence de fonctions « wrapping » :
\ (y = cos (⁡ (sin⁡x)) \)
\ (y = 5 ^ (x ^ 7) \)
\ (y = arctg⁡ (11 ^ x) \)
\ (y = log_2⁡ (1 + x) \)
Les réponses sont encore à la fin de l'article.

Fonctions internes et externes

Pourquoi devons-nous comprendre l'imbrication des fonctions ? Qu'est-ce que ça nous donne ? Le fait est que sans une telle analyse, nous ne pourrons pas trouver de manière fiable les dérivées des fonctions analysées ci-dessus.

Et pour avancer, nous aurons besoin de deux autres concepts : les fonctions internes et externes. C'est une chose très simple, d'ailleurs, nous les avons déjà analysés plus haut : si vous rappelez notre analogie au tout début, alors la fonction interne est un "package", et la fonction externe est une "boîte". Celles. ce que le X est « enveloppé » au début est une fonction interne, et ce que l'intérieur est « enveloppé » est déjà une fonction externe. Eh bien, il est clair pourquoi - elle est à l'extérieur, puis à l'extérieur.

Dans cet exemple : \ (y = tg⁡ (log_2⁡x) \), la fonction \ (\ log_2⁡x \) est interne, et
- externe.

Et en ceci : \ (y = \ cos⁡ ((x ^ 3 + 2x + 1)) \), \ (x ^ 3 + 2x + 1 \) est interne, et
- externe.

Suivez la dernière pratique d'analyse des fonctions complexes, et passez enfin à ce dont il s'agissait - nous trouverons les dérivées des fonctions complexes :

Remplissez les blancs dans le tableau :

Dérivée d'une fonction complexe

Bravo à nous, nous sommes encore arrivés au "boss" de ce sujet - en fait, le dérivé d'une fonction complexe, et plus précisément, à cette formule très terrible du début de l'article.

\ ((f (g (x))) "= f" (g (x)) \ cdot g "(x) \)

Cette formule se lit comme ceci :

La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de la fonction externe par rapport à la fonction interne constante par la dérivée de la fonction interne.

Et voyez immédiatement le schéma d'analyse, selon les mots, afin de comprendre à quoi se rapporter :

Espérons que les termes « dérivé » et « produit » sont simples. "Fonction complexe" - nous l'avons déjà analysé. Un hic dans la « dérivée d'une fonction externe par rapport à un interne invariable ». Ce que c'est?

Réponse : c'est la dérivée habituelle de la fonction externe, dans laquelle seule la fonction externe change et la fonction interne reste la même. Toujours pas clair ? Bon, utilisons un exemple.

Supposons que nous ayons une fonction \ (y = \ sin⁡ (x ^ 3) \). Il est clair que la fonction interne ici \ (x ^ 3 \), et la fonction externe
... Trouvons maintenant la dérivée de l'externe par rapport à l'invariable interne.

Dérivés complexes. Dérivée logarithmique.
La dérivée de la fonction exponentielle

Nous continuons d'améliorer notre technique de différenciation. Dans cette leçon, nous consoliderons le matériel couvert, envisagerons des dérivées plus complexes et nous familiariserons également avec de nouvelles techniques et astuces pour trouver la dérivée, en particulier la dérivée logarithmique.

Les lecteurs ayant un faible niveau de formation doivent se référer à l'article Comment trouver la dérivée ? Exemples de solutions, ce qui vous permettra d'augmenter vos compétences presque à partir de zéro. Ensuite, vous devez étudier attentivement la page Dérivée d'une fonction complexe, comprendre et résoudre tout les exemples que j'ai donnés. Cette leçon est logiquement la troisième d'affilée, et après l'avoir maîtrisée, vous différencierez en toute confiance des fonctions assez complexes. Il n'est pas souhaitable d'adhérer à la position « Où d'autre ? Et ça suffit !", Puisque tous les exemples et solutions sont tirés de vrais travaux de contrôle et se retrouvent souvent dans la pratique.

Commençons par la répétition. À la leçon Dérivée d'une fonction complexe nous avons examiné un certain nombre d'exemples avec des commentaires détaillés. Au cours de l'étude du calcul différentiel et d'autres branches de l'analyse mathématique, vous devrez très souvent différencier, et il n'est pas toujours pratique (et pas toujours nécessaire) d'écrire des exemples très détaillés. Par conséquent, nous nous entraînerons à trouver des dérivés oralement. Les "candidats" les plus appropriés pour cela sont des dérivés des fonctions complexes les plus simples, par exemple :

D'après la règle de différentiation d'une fonction complexe :

Lors de l'étude d'autres sujets de matan à l'avenir, un dossier aussi détaillé n'est souvent pas requis, on suppose que l'étudiant est capable de trouver des dérivés similaires sur le pilote automatique automatique. Imaginez qu'à 3 heures du matin le téléphone sonne et qu'une voix agréable demande : « Quelle est la dérivée de la tangente de deux X ? Cela devrait être suivi d'une réponse presque instantanée et polie : .

Le premier exemple sera immédiatement destiné à une solution indépendante.

Exemple 1

Trouver les dérivés suivants par voie orale, en une seule étape, par exemple :. Pour terminer la tâche, vous devez utiliser uniquement table des dérivées des fonctions élémentaires(si on ne s'en souvient pas encore). Si vous rencontrez des difficultés, je vous recommande de relire la leçon. Dérivée d'une fonction complexe.

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Réponses à la fin de la leçon

Dérivés complexes

Après la préparation préliminaire de l'artillerie, les exemples avec des pièces jointes à 3-4-5 fonctions seront moins effrayants. Peut-être que les deux exemples suivants sembleront difficiles à certains, mais si vous les comprenez (quelqu'un en souffrira), alors presque tout le reste du calcul différentiel ressemblera à une blague d'enfant.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction

Comme déjà noté, pour trouver la dérivée d'une fonction complexe, tout d'abord, il est nécessaire à droite COMPRENDRE les pièces jointes. Dans les cas où il y a des doutes, je rappelle une technique utile : on prend la valeur expérimentale de "X", par exemple, et on essaie (mentalement ou sur un brouillon) de substituer cette valeur dans la "terrible expression".

1) Premièrement, nous devons calculer l'expression, ce qui signifie que le montant est l'investissement le plus profond.

2) Ensuite, vous devez calculer le logarithme :

4) Ensuite, élevez le cosinus au cube :

5) A la cinquième étape, la différence :

6) Et enfin, la fonction la plus externe est la racine carrée :

Formule de différenciation de fonction complexe sont appliqués dans l'ordre inverse, de la fonction la plus externe à la plus interne. Nous décidons:

Il semble sans erreurs….

(1) Prendre la dérivée de la racine carrée.

(2) On prend la dérivée de la différence en utilisant la règle

(3) La dérivée du triple est zéro. Dans le second terme, on prend la dérivée du degré (cube).

(4) On prend la dérivée du cosinus.

(5) On prend la dérivée du logarithme.

(6) Enfin, on prend la dérivée de l'imbrication la plus profonde.

Cela peut sembler trop difficile, mais ce n'est pas encore l'exemple le plus brutal. Prenez, par exemple, la collection de Kuznetsov et vous apprécierez tout le charme et la simplicité du dérivé analysé. J'ai remarqué qu'ils aiment donner une chose similaire à l'examen pour vérifier si l'étudiant comprend comment trouver la dérivée d'une fonction complexe ou ne comprend pas.

L'exemple suivant concerne une solution de bricolage.

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction

Astuce : Tout d'abord, appliquez les règles de linéarité et la règle de différenciation des produits

Solution complète et réponse à la fin du tutoriel.

Il est maintenant temps de passer à quelque chose de plus compact et mignon.
Il n'est pas rare qu'un exemple donne un produit non pas de deux, mais de trois fonctions. Comment trouver la dérivée du produit de trois facteurs ?

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction

Voyons d'abord s'il est possible de transformer le produit de trois fonctions en produit de deux fonctions ? Par exemple, si nous avions deux polynômes dans le produit, nous pourrions alors développer les crochets. Mais dans cet exemple, toutes les fonctions sont différentes : degré, exposant et logarithme.

Dans de tels cas, il est nécessaire régulièrement appliquer la règle de différenciation des produits à deux reprises

L'astuce est que pour "y" nous désignons le produit de deux fonctions :, et pour "ve" - ​​​​le logarithme :. Pourquoi cela peut-il être fait? Est-ce - ce n'est pas le produit de deux facteurs et la règle ne marche pas ?! Il n'y a rien de compliqué :

Il reste maintenant pour la deuxième fois à appliquer la règle à la parenthèse :

Vous pouvez toujours être perverti et mettre quelque chose en dehors des crochets, mais dans ce cas, il est préférable de laisser la réponse sous cette forme - ce sera plus facile à vérifier.

L'exemple considéré peut être résolu de la deuxième manière :

Les deux solutions sont absolument équivalentes.

Exemple 5

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple de solution indépendante, dans l'échantillon, elle est résolue de la première manière.

Regardons des exemples similaires avec des fractions.

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction

Il y a plusieurs façons d'aller ici:

Ou comme ça :

Mais la solution s'écrira de manière plus compacte si, tout d'abord, on utilise la règle de différentiation du quotient , en prenant pour le numérateur entier :

En principe, l'exemple est résolu, et si vous le laissez tel quel, ce ne sera pas une erreur. Mais si vous avez le temps, il est toujours conseillé de vérifier sur un brouillon, mais est-il possible de simplifier la réponse ? Réduisons l'expression du numérateur à un dénominateur commun et se débarrasser de la fraction à trois étages:

L'inconvénient des simplifications supplémentaires est qu'il y a un risque de se tromper non pas dans la recherche de la dérivée, mais dans le cas de transformations scolaires banales. D'un autre côté, les enseignants rejettent souvent le devoir et demandent de « rappeler » le dérivé.

Un exemple plus simple de solution à faire soi-même :

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous continuons à maîtriser les méthodes de recherche de la dérivée, et nous allons maintenant considérer un cas typique où le logarithme « terrible » est proposé pour la différenciation

Exemple 8

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, vous pouvez aller très loin, en utilisant la règle de différenciation d'une fonction complexe :

Mais la toute première étape vous plonge immédiatement dans le découragement - vous devez prendre une dérivée désagréable d'un degré fractionnaire, puis également d'une fraction.

Alors avant de comment prendre la dérivée du logarithme « fantaisie », elle est préalablement simplifiée en utilisant les propriétés scolaires bien connues :

! Si vous avez un cahier d'exercices sous la main, copiez ces formules ici. Si vous n'avez pas de cahier, redessinez-les sur une feuille de papier, car le reste des exemples de cours tournera autour de ces formules.

La solution elle-même peut être structurée comme ceci :

Transformons la fonction :

Trouvez la dérivée :

La préconfiguration de la fonction elle-même a grandement simplifié la solution. Ainsi, lorsqu'un logarithme similaire est proposé pour la différenciation, il est toujours conseillé de le « décomposer ».

Et maintenant quelques exemples simples pour une solution indépendante :

Exemple 9

Trouver la dérivée d'une fonction

Exemple 10

Trouver la dérivée d'une fonction

Toutes les transformations et réponses à la fin de la leçon.

Dérivée logarithmique

Si le dérivé des logarithmes est une musique si douce, alors la question se pose, est-il possible dans certains cas d'organiser le logarithme artificiellement ? Pouvez! Et même nécessaire.

Exemple 11

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous avons vu des exemples similaires récemment. Que faire? Vous pouvez appliquer systématiquement la règle de différenciation du quotient, puis la règle de différenciation du travail. L'inconvénient de cette méthode est que vous obtenez une énorme fraction de trois étages, dont vous ne voulez pas du tout traiter.

Mais en théorie et en pratique, il existe une chose aussi merveilleuse que la dérivée logarithmique. Les logarithmes peuvent être organisés artificiellement en les "accrochant" des deux côtés :

Vous devez maintenant "détruire" au maximum le logarithme du côté droit (des formules sous vos yeux ?). Je vais décrire ce processus en détail :

En fait, nous procédons à la différenciation.
Nous joignons les deux parties sous le trait :

La dérivée du membre de droite est assez simple, je ne la commenterai pas, car si vous lisez ce texte, vous devez y faire face avec confiance.

Qu'en est-il du côté gauche?

A gauche nous avons fonction complexe... J'entrevois la question : "Pourquoi, il y a aussi une lettre" ygrek "sous le logarithme ?"

Le fait est que cette "une lettre igrek" - LUI-MÊME EST UNE FONCTION(si ce n'est pas très clair, reportez-vous à l'article Dérivé d'une fonction implicite). Par conséquent, le logarithme est une fonction externe et le "jeu" est une fonction interne. Et nous utilisons la règle de différentiation d'une fonction complexe :

Sur le côté gauche comme par une vague baguette magique nous avons une dérivée. De plus, selon la règle de proportion, nous lançons le "jeu" du dénominateur du côté gauche vers le haut du côté droit :

Et maintenant, rappelons-nous de quel genre de « jeu » -fonction dont nous avons parlé dans la différenciation ? On regarde la condition :

Réponse finale:

Exemple 12

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même. Un échantillon de la conception d'un exemple de ce type à la fin de la leçon.

Avec l'aide de la dérivée logarithmique, il a été possible de résoudre n'importe lequel des exemples n ° 4 à 7, une autre chose est que les fonctions y sont plus simples et, peut-être, l'utilisation de la dérivée logarithmique n'est pas très justifiée.

La dérivée de la fonction exponentielle

Nous n'avons pas encore envisagé cette fonction. Une fonction exponentielle est une fonction dans laquelle et le degré et la base dépendent de "x"... Un exemple classique qui vous sera donné dans n'importe quel manuel ou dans n'importe quelle conférence :

Comment trouver la dérivée d'une fonction exponentielle ?

Il est nécessaire d'utiliser la technique que nous venons de considérer - la dérivée logarithmique. Nous accrochons des logarithmes des deux côtés :

En règle générale, le degré est extrait sous le logarithme du côté droit :

En conséquence, sur le côté droit, nous avons un produit de deux fonctions, qui seront différenciées selon la formule standard .

On retrouve la dérivée, pour cela on joint les deux parties sous les traits :

Les autres actions sont simples :

Enfin:

Si une transformation n'est pas tout à fait claire, veuillez relire attentivement les explications de l'exemple n°11.

V devoirs pratiques La fonction exponentielle sera toujours plus compliquée que l'exemple de cours considéré.

Exemple 13

Trouver la dérivée d'une fonction

On utilise la dérivée logarithmique.

Sur le côté droit, nous avons une constante et le produit de deux facteurs - "x" et "logarithme du logarithme de x" (un autre logarithme est intégré sous le logarithme). Lors de la différenciation de la constante, on s'en souvient, il est préférable de retirer immédiatement le signe de la dérivée afin qu'elle ne vous gêne pas; et bien sûr nous appliquons la règle familière :

Comme vous pouvez le voir, l'algorithme d'application de la dérivée logarithmique ne contient aucune astuce ou astuce spéciale, et trouver la dérivée de la fonction exponentielle n'est généralement pas associée au "tourment".