Transformations de graphes de fonctions d'une variable. Transformer des graphes de fonctions élémentaires

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Attention! Les aperçus des diapositives sont à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les options de présentation. Si vous êtes intéressé par ce travail, veuillez télécharger la version complète.

Le but de la leçon : Déterminer les schémas de transformation de graphes de fonctions.

Tâches:

Éducatif:

• Enseigner aux élèves à construire des graphes de fonctions en transformant le graphe d'une fonction donnée, en appliquant un transfert parallèle, une compression (étirement), différentes sortes symétrie.

Éducatif:

• Faire monter qualités personnellesélèves (capacité d'écoute), bienveillance envers les autres, écoute, précision, rigueur, capacité à travailler en groupe.
• Cultiver l'intérêt pour le sujet et le besoin d'acquérir des connaissances.

Développement:

• Développer l'imagination spatiale et pensée logiqueétudiants, la capacité de naviguer rapidement dans l'environnement; développer l'ingéniosité, la débrouillardise, former la mémoire.

Équipement:

• Installation multimédia : ordinateur, projecteur.

Littérature:

1. Bashmakov, MI Mathematics [Texte]: un manuel pour les institutions débutant. et mercredi. prof. Education / MI Bashmakov - 5e éd., rév. - M. : Centre d'édition "Académie", 2012. - 256 p.
2. Bashmakov, M.I. Mathématiques. Livre de problèmes [Texte] : manuel. un guide pour l'édu. début des établissements. et mercredi. prof. Education / M. I. Bashmakov. - M. : Publishing Center "Academy", 2012. - 416 p.

Plan de cours:

1. Moment d'organisation (3 min).
2. Mise à jour des connaissances (7 min).
3. Explication du nouveau matériel (20 min).
4. Sécurisation du nouveau matériel (10 min).
5. Résumé de la leçon (3 minutes).
6. Devoirs(2 minutes).

Pendant les cours

1. Org. instant (3 minutes).

Vérification des personnes présentes.

Le message du but de la leçon.

Les propriétés de base des fonctions en tant que dépendances entre des quantités variables ne devraient pas changer de manière significative lorsque la méthode de mesure de ces quantités est modifiée, c'est-à-dire lorsque l'échelle de mesure et le point de référence sont modifiés. Cependant, en raison d'un choix plus rationnel d'une méthode de mesure des grandeurs variables, il est généralement possible de simplifier l'enregistrement de la relation entre elles, pour amener cet enregistrement à une forme standard. En langage géométrique, changer la façon dont les valeurs sont mesurées signifie de simples transformations de graphiques, auxquelles nous allons passer aujourd'hui.

2. Actualisation des connaissances (7 min).

Avant de parler de transformations de graphes, répétons le matériel couvert.

Travail oral. (Diapositive 2).

Les fonctions sont données :

3. Décrivez les graphes de fonctions : , , , .

3. Explication du nouveau matériel (20 min).

Les transformations les plus simples des graphes sont leur transfert parallèle, leur compression (étirement) et certains types de symétrie. Certaines transformations sont présentées dans le tableau (Annexe 1), (Diapositive 3).

Travail de groupe.

Chaque groupe trace les fonctions données et présente le résultat pour discussion.

Le texte de l'œuvre est placé sans images ni formules.
La version complète de l'oeuvre est disponible dans l'onglet "Fichiers de l'oeuvre" au format PDF

introduction

Transformer les graphes d'une fonction est l'un des concepts mathématiques de base directement liés aux activités pratiques. La transformation de graphes de fonctions a été rencontrée pour la première fois en algèbre de la 9e année lors de l'étude du sujet "Fonction quadratique". La fonction quadratique est introduite et étudiée en lien étroit avec les équations quadratiques et les inégalités. Aussi, de nombreux concepts mathématiques sont considérés comme des méthodes graphiques, par exemple, en 10e-11e année, l'étude d'une fonction permet de trouver le domaine et le domaine de la valeur de la fonction, le domaine des décroissants ou croissants, des asymptotes, des intervalles de constance, etc. Cette question importante est également soulevée au GIA. Il s'ensuit que la construction et la transformation des graphes d'une fonction est l'une des tâches principales de l'enseignement des mathématiques à l'école.

Cependant, un certain nombre de méthodes peuvent être utilisées pour tracer de nombreuses fonctions afin de faciliter le traçage. Ce qui précède définit pertinence Sujets de recherche.

Objet de recherche est l'étude de la transformation des graphes en mathématiques à l'école.

Sujet d'étude - le processus de construction et de transformation des graphiques de fonction dans une école polyvalente.

Question problématique: est-il possible de tracer un graphique d'une fonction inconnue, ayant la capacité de convertir des graphiques fonctions élémentaires?

Cibler: tracer une fonction dans une situation inconnue.

Tâches:

1. Analysez le matériel de formation sur le problème à l'étude. 2. Révéler des schémas de transformation de graphes d'une fonction dans un cours de mathématiques scolaire. 3. Sélectionnez les méthodes et les outils les plus efficaces pour la construction et la transformation de graphes de fonctions. 4. Être capable d'appliquer cette théorie à la résolution de problèmes.

Connaissances, aptitudes, compétences initiales requises :

Déterminer la valeur de la fonction par la valeur de l'argument de différentes manières de définir la fonction ;

Construire des graphiques de fonctions apprises ;

Décrire le comportement et les propriétés des fonctions selon le graphe et, dans les cas les plus simples, selon la formule, trouver les valeurs les plus élevées et les plus basses selon le graphe des fonctions ;

Descriptions utilisant des fonctions de diverses dépendances, les représentant graphiquement, interprétant des graphiques.

Partie principale

Partie théorique

Comme graphe initial de la fonction y = f (x), on choisit la fonction quadratique y = x 2 . Je considérerai les cas de transformation de ce graphe associés à des changements dans la formule qui définit cette fonction et tirerai des conclusions pour n'importe quelle fonction.

1. Fonction y = f (x) + a

Dans la nouvelle formule, les valeurs de la fonction (ordonnées des points du graphique) sont modifiées du nombre a, par rapport à l'"ancienne" valeur de la fonction. Cela conduit à une translation parallèle du graphe de fonction le long de l'axe OY :

vers le haut si a> 0 ; vers le bas si un< 0.

CONCLUSION

Ainsi, le graphe de la fonction y = f (x) + a est obtenu à partir du graphe de la fonction y = f (x) en utilisant une translation parallèle le long de l'axe des ordonnées d'une unité vers le haut si a> 0, et d'une unité vers le bas si un< 0.

2. Fonction y = f (x-a),

Dans la nouvelle formule, les valeurs de l'argument (l'abscisse des points du graphique) sont modifiées par le nombre a, par rapport à l'"ancienne" valeur de l'argument. Ceci conduit à une translation parallèle du graphe de fonction le long de l'axe OX : vers la droite, si un< 0, влево, если a >0.

CONCLUSION

Ainsi le graphe de la fonction y = f (x - a) est obtenu à partir du graphe de la fonction y = f (x) au moyen d'une translation parallèle le long de l'axe des abscisses par une unité vers la gauche si a> 0, et par a unités vers la droite si un< 0.

3. La fonction y = k f (x), où k> 0 et k 1

Dans la nouvelle formule, les valeurs de la fonction (les ordonnées des points du graphique) changent k fois par rapport à l'"ancienne" valeur de la fonction. Cela conduit à : 1) « étirement » du point (0 ; 0) le long de l'axe OY d'un facteur k, si k > 1, 2) « compression » au point (0 ; 0) le long de l'axe OY par un facteur 0< k < 1.

CONCLUSION

Par conséquent : pour tracer le graphique de la fonction y = kf (x), où k> 0 et k 1, vous devez multiplier les ordonnées des points du graphique donné de la fonction y = f (x) par k. Une telle transformation est appelée étirement du point (0 ; 0) le long de l'axe OY d'un facteur k si k > 1 ; par compression jusqu'au point (0 ; 0) le long de l'axe OY par temps, si 0< k < 1.

4. Fonction y = f (kx), où k> 0 et k 1

Dans la nouvelle formule, les valeurs de l'argument (abscisses des points du graphe) changent k fois par rapport à l'"ancienne" valeur de l'argument. Cela conduit à : 1) « étirer » à partir du point (0 ; 0) le long de l'axe OX par un facteur de 1 / k, si 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

CONCLUSION

Et donc : pour tracer le graphe de la fonction y = f (kx), où k> 0 et k 1, il faut multiplier les abscisses des points du graphe donné de la fonction y = f (x) par k . Une telle transformation est appelée étirement du point (0; 0) le long de l'axe ОX par un facteur de 1 / k, si 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Fonction y = - f (x).

Dans cette formule, les valeurs de la fonction (ordonnées des points du graphe) sont inversées. Ce changement se traduit par un affichage symétrique du graphique d'origine de la fonction autour de l'axe Ox.

CONCLUSION

Pour tracer le graphique de la fonction y = - f (x), vous avez besoin du graphique de la fonction y = f (x)

retournez symétriquement autour de l'axe OX. Cette transformation est appelée transformation de symétrie autour de l'axe OX.

6. Fonction y = f (-x).

Dans cette formule, les valeurs de l'argument (abscisses des points du graphe) sont inversées. Ce changement conduit à un affichage symétrique du graphe d'origine de la fonction autour de l'axe OY.

Un exemple pour la fonction y = - x² cette transformation n'est pas perceptible, car cette fonction est paire et le graphique ne change pas après la transformation. Cette transformation est visible lorsque la fonction est impaire et lorsqu'elle n'est ni paire ni impaire.

7. Fonction y = |f (x) |.

Dans la nouvelle formule, les valeurs de la fonction (ordonnées des points du graphe) sont sous le signe du module. Ceci conduit à la disparition des parties du graphe de la fonction d'origine d'ordonnées négatives (c'est-à-dire situées dans le demi-plan inférieur par rapport à l'axe Ox) et à un affichage symétrique de ces parties par rapport à l'axe Ox.

8. Fonction y = f (| x |).

Dans la nouvelle formule, les valeurs de l'argument (abscisses des points du graphique) sont sous le signe du module. Cela conduit à la disparition de parties du graphe de la fonction d'origine avec des abscisses négatives (c'est-à-dire situées dans le demi-plan gauche par rapport à l'axe OY) et à leur remplacement par des parties du graphe d'origine qui sont symétriques par rapport à l'axe OY.

Partie pratique

Considérons plusieurs exemples de l'application de la théorie ci-dessus.

EXEMPLE 1.

Solution. Transformons cette formule :

1) Traçons la fonction

EXEMPLE 2.

Tracer la fonction donnée par la formule

Solution. On transforme cette formule en sélectionnant le carré du binôme dans ce trinôme carré :

1) Traçons la fonction

2) Effectuer un transfert parallèle du graphe tracé vers un vecteur

EXEMPLE 3.

AFFECTATION D'USAGE Tracer une fonction par morceaux

Graphique de fonction Graphique de fonction y = |2 (x-3) 2-2 |; un

Si vous savez à quoi ressemblent les graphes des fonctions élémentaires les plus simples, ou si vous savez les construire rapidement à l'aide de points caractéristiques, vous pourrez également construire rapidement des graphes de fonctions plus complexes de la même classe sur leur base. Pour cela, il existe des règles de transformation de graphes de fonctions. Ils sont faciles à retenir, mais si vous n'êtes toujours pas sûr du résultat, vérifiez-le pour un ou deux bons points. Ces règles, bien sûr, sont générales pour toutes les fonctions, et pas seulement pour celles qui sont étudiées à l'école, par conséquent, l'horaire connu sera appelé ci-dessous.

Soit le graphe de la fonction donné oui = F(X) ... Pour tracer une fonction

1. oui = mf(X) , où m> 0 et m 1, vous devez multiplier les ordonnées des points du graphique donné par m... Cette transformation s'appelle élongation hors axe X avec coefficient m, si m > 1, et compressionà l'axe X si 0< m < 1.
2. oui = −f(X) F(X) transformation de symétrie autour de l'axe X... (La transformation de symétrie est une image miroir d'une ligne droite.)
3. oui = F(X) + m , est obtenu à partir du graphe de la fonction F(X) transfert parallèle ce dernier en ordonnée par m unités vers le haut si m> 0 et, respectivement, sur | m| unités vers le bas si m
4. oui = F(kx) , où k> 0 et k≠ 1. Le graphe requis de la fonction est obtenu à partir d'un pressant avec un facteur kà l'axe oui(si 0< k < 1 указанное "сжатие" фактически является élongation avec un facteur 1 / k)
5. oui = F(−X) est obtenu à partir du graphe de fonction F(X) transformation de symétrie autour de l'axe oui
6. oui = F(x + l) est obtenu à partir du graphe de fonction F(X) transfert parallèle dernière sur je unités vers la gauche si je> 0 et, respectivement, sur | je| unités vers la droite si m < 0.

Par exemple, laissez le graphe de fonction être donné oui = √X_ .

Pour tracer d'autres fonctions qui contiennent un argument ( X) sous le signe racine carrée, nous utiliserons les règles énumérées ci-dessus. Nous allons répéter le graphique donné dans les axes nouvellement tracés "avec un crayon léger"; nous allons rendre le graphique requis, qui sera obtenu après les transformations, plus intense. Dans le cahier, l'excédent peut être retiré avec une gomme, seul le résultat de la tâche restera.

A noter que la translation parallèle du graphe par rapport à l'un des axes dans n'importe quelle direction est équivalente à la translation de cet axe par rapport au graphe dans le côté opposé... Par conséquent, les 3ème et 6ème règles peuvent être combinées comme suit : pour tracer la fonction
oui = F(X − m) + m
il faut effectuer une translation parallèle de tout le plan de coordonnées pour que l'origine nouveau système coordonnées X" oui" il y avait un point ô" (m;m). Évidemment, au lieu de redessiner le graphique deux fois, il est plus facile de redessiner les axes.

oui = √X_ ... Fonction de tracé oui = √X + 3____ − 1.

Dans ce cas m = −3, m= -1. S'il y a des difficultés à identifier les signes m et m, puis écrivez la formule de la fonction pour qu'elle coïncide avec la règle

oui = F(X − m) + m ; oui = √X − m _____ + m ; oui = √X − (−3)_______ + (−1)

Nous réalisons la construction comme suit. Nous dessinons les axes du système de coordonnées souhaité. Trouvez un point de coordonnées (−3; −1). Tracez des lignes droites parallèles aux axes principaux qui la traversent avec un "crayon pâle". Cette système auxiliaire coordonnées. Dans ce système de coordonnées (crayon), nous construisons un graphique oui = √X_ ... Par rapport au système de coordonnées principal, c'est le graphe de la fonction oui = √X + 3____ − 1. Autrement dit, si vous retirez le crayon avec une gomme, le graphique qui devait être construit restera.

Si vous devez combiner uniquement des traductions parallèles pour créer un graphique d'une fonction, peu importe dans quel ordre les exécuter, et peu importe que la traduction soit des axes ou des courbes. Mais si vous avez besoin de construire un graphique fonction complexe en utilisant à la fois le transfert et l'étirement, la compression et les réflexions, l'ordre des opérations doit être soigneusement suivi.

La séquence de transformations lors de la construction de graphiques.

Soit le graphe de la fonction donné oui = F(X) et vous devez tracer la fonction oui = m f(kx + je) + m , où k, l, m, n- Nombres.

1. On écrit la formule de la fonction sous la forme oui = m f(k (x + je/ k)) , c'est à dire. on retire le coefficient à X dans l'argument de la fonction.
2. On compresse avec un facteur k le long de l'axe Ohà l'axe Oy... (Si k Oy.)
3. Si k Oy.
4. je/ k unités à gauche ou à droite (selon le signe, pour un nombre positif à gauche).
5. Nous nous étirons avec un facteur m hors axe Oh(le long de l'axe Oy). (Si m Bœuf.)
6. Si m Bœuf.
7. On effectue un transfert parallèle (shift) du graphe résultant en m unités vers le haut ou vers le bas (selon le signe, quand m> 0 vers le haut).

Exemple 8. Le graphique de fonction est défini oui = √X_ ... Fonction de tracé oui = −0,5√3X − 12______ + 2.

1. On écrit la formule de la fonction sous la forme oui= -0,5 3 ( X − 4)_______ + 2 ,
celles. on retire le coefficient à X sous le signe de la racine carrée, en tenant compte du fait que 12/3 = 4.
2. Construisez un graphique bien connu de la fonction. ——
3. Nous faisons la compression 3 fois à l'axe Oy. ——

4.- (transformation de symétrie autour de l'axe Oy pas nécessaire car k = 3 > 0).
5. Décalez le graphique résultant de 4 unités vers la droite. ——
6. On fait une compression 2 fois (étirement avec un facteur de 0,5) vers l'axe Oh. ——
7. Refléter symétriquement le graphique autour de l'axe Bœuf. ——
8. Déplacez ces 2 dernières unités vers le haut. Nous avons le calendrier requis. ——

Vérifions le résultat par les points "pratiques". Par exemple, X 1 = 4 et X 2 = 16.
oui 1 = -0,5√3 4 - 12 _____ + 2 = 2.
oui 2 = -0,5√3 16 - 12 _____ + 2 = −1.
Les points de coordonnées (4; 2) et (16; −1) appartiennent en réalité au dernier tracé.

Transfert parallèle.

TRANSFERT LE LONG DE L'AXE ORDINÉ

f (x) => f (x) - b
Supposons qu'il soit nécessaire de tracer la fonction y = f (x) - b. Il est facile de voir que les ordonnées de ce graphique pour toutes les valeurs de x sur |b | unités sont inférieures aux ordonnées correspondantes du graphe des fonctions y = f (x) pour b> 0 et par |b | plus d'unités - à b 0 ou plus à b Pour tracer la fonction y + b = f (x), vous devez tracer la fonction y = f (x) et déplacer l'axe des abscisses vers | b | unités vers le haut pour b> 0 ou par |b | unités vers le bas à b

TRANSFERT LE LONG DE L'AXE ABSCIS

f (x) => f (x + a)
Supposons qu'il soit nécessaire de tracer la fonction y = f (x + a). Considérons la fonction y = f (x), qui à un moment donné x = x1 prend la valeur у1 = f (x1). Evidemment, la fonction y = f (x + a) prendra la même valeur au point x2, dont la coordonnée est déterminée à partir de l'égalité x2 + a = x1, c'est-à-dire x2 = x1 - a, et l'égalité considérée est valable pour l'ensemble de toutes les valeurs du domaine de la fonction. Par conséquent, le graphe de la fonction y = f (x + a) peut être obtenu par déplacement parallèle du graphe de la fonction y = f (x) le long de l'axe des abscisses vers la gauche par | a | unités pour a> 0 ou vers la droite par | a | unités pour a Pour tracer la fonction y = f (x + a), vous devez tracer la fonction y = f (x) et déplacer l'axe des ordonnées vers | a | unités vers la droite pour a> 0 ou par |a | unités vers la gauche pour un

Exemples:

1.y = f (x + a)

2.y = f (x) + b

Réflexion.

CONSTRUIRE LES FONCTIONS GRAPHIQUES DE LA VUE Y = F (-X)

f (x) => f (-x)
Evidemment, les fonctions y = f (-x) et y = f (x) prennent des valeurs égales aux points dont les abscisses sont égales en valeur absolue, mais opposées en signe. En d'autres termes, les ordonnées du graphique de la fonction y = f (-x) dans la zone des valeurs positives (négatives) de x seront égales aux ordonnées du graphique de la fonction y = f ( x) à la valeur absolue correspondante des valeurs négatives (positives) de x. Ainsi, nous obtenons la règle suivante.
Pour tracer la fonction y = f (-x), vous devez tracer la fonction y = f (x) et la refléter autour de l'axe des ordonnées. Le graphe résultant est le graphe de la fonction y = f (-x)

CONSTRUCTION DES FONCTIONS GRAPHIQUES DE LA VUE Y = - F (X)

f (x) => - f (x)
Les ordonnées du graphe de la fonction y = - f (x) pour toutes les valeurs de l'argument sont égales en valeur absolue, mais opposées en signe aux ordonnées du graphe de la fonction y = f (x) pour le mêmes valeurs de l'argument. Ainsi, nous obtenons la règle suivante.
Pour tracer la fonction y = - f (x), vous devez tracer la fonction y = f (x) et la refléter par rapport à l'axe des abscisses.

Exemples:

1.y = -f (x)

2.y = f (-x)

3.y = -f (-x)

Déformation.

DEFORMATION DU GRAPHIQUE LE LONG DE L'AXE ORDONNE

f (x) => k f (x)
Considérons une fonction de la forme y = kf (x), où k> 0. Il est facile de voir qu'à valeurs égales de l'argument, les ordonnées du graphe de cette fonction seront k fois plus grandes que les ordonnées de le graphe de la fonction y = f (x) pour k> 1 ou 1/k fois moins que les ordonnées du graphe de la fonction y = f (x) à k Pour tracer le graphe de la fonction y = kf (x ), il faut tracer le graphe de la fonction y = f (x) et augmenter ses ordonnées d'un facteur k pour k> 1 (étirer le graphe le long de l'ordonnée ) ou diminuer ses ordonnées de 1 / k fois pour k
k> 1- s'étendant à partir de l'axe Ox
0 - compression à l'axe OX

DEFORMATION DU GRAPHIQUE LE LONG DE L'AXE ABSCISSA

f (x) => f (k x)
Supposons qu'il soit nécessaire de tracer la fonction y = f (kx), où k> 0. Considérons la fonction y = f (x), qui en un point arbitraire x = x1 prend la valeur y1 = f (x1). Evidemment, la fonction y = f (kx) prend la même valeur au point x = x2, dont la coordonnée est déterminée par l'égalité x1 = kx2, et cette égalité est valable pour la totalité de toutes les valeurs de x de le domaine de la fonction. Par conséquent, le graphe de la fonction y = f (kx) s'avère compressé (pour k 1) selon l'axe des abscisses par rapport au graphe de la fonction y = f (x). Ainsi, nous obtenons la règle.
Pour tracer la fonction y = f (kx), vous devez tracer la fonction y = f (x) et réduire son abscisse d'un facteur k pour k> 1 (compresser le graphique le long de l'axe des abscisses) ou augmenter son abscisse d'un facteur de 1 / k à k
k> 1- compression à l'axe Oy
0 - étirement à partir de l'axe OY

Le travail a été réalisé par Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov sous la direction de T.V. Tkach, S.M. Vyazovov, I.V.
© 2014