Beaucoup Problèmes mathématiques, en particulier ceux qui surviennent avant la 10e année, l'ordre des actions exécutées qui mèneront à l'objectif est clairement défini. De tels problèmes incluent, par exemple, les équations linéaires et quadratiques, linéaires et inégalités carrées, équations fractionnaires et les équations qui se réduisent au quadratique. Le principe d'une solution réussie de chacun des problèmes mentionnés est le suivant: il est nécessaire d'établir quel type de problème à résoudre, de se souvenir de la séquence d'actions nécessaire qui conduira au résultat souhaité, c'est-à-dire répondez et suivez ces étapes.
De toute évidence, le succès ou l'échec dans la résolution d'un problème particulier dépend principalement de la façon dont le type d'équation à résoudre est correctement déterminé, de la façon dont la séquence de toutes les étapes de sa solution est correctement reproduite. Bien entendu, il est nécessaire d'avoir des compétences pour effectuer des transformations et des calculs identiques.
La situation est différente avec équations trigonométriques.Établir le fait que l'équation est trigonométrique n'est pas difficile du tout. Des difficultés surgissent pour déterminer la séquence d'actions qui conduirait à la bonne réponse.
Par Aspect extérieur l'équation est parfois difficile à déterminer de son type. Et sans connaître le type d'équation, il est quasiment impossible de choisir celle que l'on souhaite parmi plusieurs dizaines de formules trigonométriques.
Pour résoudre l'équation trigonométrique, il faut essayer :
1. ramener toutes les fonctions incluses dans l'équation à « angles égaux » ;
2. amener l'équation aux « mêmes fonctions » ;
3. factoriser le côté gauche de l'équation, etc.
Envisager méthodes de base pour résoudre les équations trigonométriques.
I. Réduction aux équations trigonométriques les plus simples
Schéma de solution
Étape 1. Exprimer une fonction trigonométrique en termes de composants connus.
Étape 2. Trouver l'argument d'une fonction par les formules :
cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + n, n Z.
tg x = a; x = arctan a + n, n Z.
ctg x = a; x = arcctg a + n, n Z.
Étape 3. Trouver une variable inconnue.
Exemple.
2 cos (3x - π / 4) = -√2.
Solution.
1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.
2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Z ;
3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Z.
3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Z ;
x = ± 3π / 12 + / 12 + 2πn / 3, n Z ;
x = ± π / 4 + / 12 + 2πn / 3, n Z.
Réponse : ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Z.
II. Substitution de variables
Schéma de solution
Étape 1. Réduire l'équation à une forme algébrique par rapport à l'un des fonctions trigonométriques.
Étape 2. Notons la fonction résultante par la variable t (si nécessaire, introduisez des restrictions sur t).
Étape 3.Écrivez et résolvez l'équation algébrique résultante.
Étape 4. Faites un remplacement inversé.
Étape 5. Résoudre l'équation trigonométrique la plus simple.
Exemple.
2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.
Solution.
1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5 sin (x / 2) - 5 = 0;
2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.
2) Soit sin (x / 2) = t, où | t | 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0 ;
t = 1 ou e = -3/2, ne satisfait pas la condition | t | 1.
4) péché (x / 2) = 1.
5) x / 2 = / 2 + 2πn, n Z ;
x = + 4πn, n Z.
Réponse : x = π + 4πn, n Z.
III. Méthode de réduction de l'ordre des équations
Schéma de solution
Étape 1. Remplacez l'équation donnée par une équation linéaire, en utilisant les formules de réduction de degré pour cela :
sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Étape 2. Résoudre l'équation résultante en utilisant les méthodes I et II.
Exemple.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Solution.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ± π / 3 + 2πn, n Z ;
x = ± / 6 + n, n Z.
Réponse : x = ± π / 6 + πn, n Z.
IV. Équations homogènes
Schéma de solution
Étape 1. Apportez cette équation à la forme
a) a sin x + b cos x = 0 (équation homogène du premier degré)
ou à l'esprit
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (équation homogène du second degré).
Étape 2. Divisez les deux côtés de l'équation par
a) cos x 0 ;
b) cos 2 x 0;
et obtenez l'équation pour tg x :
a) a tg x + b = 0 ;
b) a tg 2 x + b arctan x + c = 0.
Étape 3. Résoudre l'équation en utilisant des méthodes connues.
Exemple.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Solution.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0 ;
5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0 ;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Soit tg x = t, alors
t 2 + 3t - 4 = 0 ;
t = 1 ou t = -4, donc
tg x = 1 ou tg x = -4.
De la première équation x = / 4 + πn, n Z; à partir de la deuxième équation x = -arctg 4 + k, k Z.
Réponse : x = / 4 + n, n Z ; x = -arctg 4 + k, k Z.
V. Méthode de transformation d'une équation à l'aide de formules trigonométriques
Schéma de solution
Étape 1. En utilisant toutes sortes de formules trigonométriques, amenez cette équation à l'équation résolue par les méthodes I, II, III, IV.
Étape 2. Résoudre l'équation résultante par des méthodes connues.
Exemple.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Solution.
1) (péché x + péché 3x) + péché 2x = 0 ;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0 ;
sin 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0 ;
De la première équation 2x = / 2 + πn, n Z; à partir de la deuxième équation cos x = -1/2.
On a x = / 4 + πn / 2, n Z ; à partir de la deuxième équation x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.
En conséquence, x = / 4 + πn / 2, n Z ; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Z.
Réponse : x = / 4 + n / 2, n Z ; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Z.
La capacité à résoudre des équations trigonométriques est très 
important, leur développement demande des efforts importants, tant de la part de l'élève que de la part de l'enseignant.
De nombreux problèmes de stéréométrie, de physique, etc. sont liés à la résolution d'équations trigonométriques.Le processus de résolution de tels problèmes, pour ainsi dire, contient de nombreuses connaissances et compétences acquises lors de l'étude des éléments de la trigonométrie.
Équations trigonométriques occupent une place importante dans le processus d'apprentissage des mathématiques et du développement de la personnalité en général.
Vous avez encore des questions ? Vous ne savez pas comment résoudre les équations trigonométriques ?
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Nécessite la connaissance des formules de base de la trigonométrie - la somme des carrés du sinus et du cosinus, l'expression de la tangente en termes de sinus et de cosinus, et autres. Pour ceux qui les ont oubliés ou ne connaissent pas, nous vous recommandons de lire l'article "".
Donc, nous connaissons les formules trigonométriques de base, il est temps de les utiliser en pratique. Résolution d'équations trigonométriques avec la bonne approche, c'est une activité assez excitante, comme, par exemple, résoudre un Rubik's cube.
D'après le nom lui-même, il est clair qu'une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l'inconnue est sous le signe de la fonction trigonométrique.
Il existe les équations trigonométriques dites les plus simples. Voici à quoi ils ressemblent : sinx = a, cos x = a, tg x = a. Envisager comment résoudre de telles équations trigonométriques, pour plus de clarté, nous utiliserons le cercle trigonométrique déjà familier.
sinx = un
cos x = un
tg x = un
lit bébé x = a
Toute équation trigonométrique est résolue en deux étapes : nous ramenons l'équation à la forme la plus simple, puis la résolvons comme l'équation trigonométrique la plus simple.
Il existe 7 méthodes principales par lesquelles les équations trigonométriques sont résolues.
Substitution variable et méthode de substitution
Résolution d'équations trigonométriques par factorisation
Réduction à une équation homogène
Résoudre des équations en allant au demi-angle
Introduire un coin auxiliaire
Résoudre l'équation 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0
En utilisant les formules de réduction, on obtient :
2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0
Remplacez cos (x + / 6) par y pour plus de simplicité et obtenez l'équation quadratique habituelle :
2 ans 2 - 3 ans + 1 + 0
Dont les racines y 1 = 1, y 2 = 1/2
Maintenant allons dans l'ordre inverse
Nous substituons les valeurs y trouvées et nous obtenons deux réponses :
Comment résoudre l'équation sin x + cos x = 1 ?
Déplacez tout vers la gauche pour que 0 reste à droite :
sin x + cos x - 1 = 0
Utilisons les identités ci-dessus pour simplifier l'équation :
sin x - 2 sin 2 (x / 2) = 0
On fait la factorisation :
2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0
2péché (x / 2) * = 0
On obtient deux équations
Une équation est homogène par rapport au sinus et au cosinus si tous ses termes par rapport au sinus et au cosinus sont la même puissance du même angle. Pour résoudre une équation homogène, procédez comme suit :
a) transférer tous ses membres sur le côté gauche ;
b) retirer tous les facteurs communs entre parenthèses ;
c) égaliser tous les facteurs et parenthèses à 0 ;
d) une équation homogène d'un degré moindre est obtenue entre parenthèses, elle est à son tour divisée en sinus ou cosinus au degré le plus élevé;
e) résoudre l'équation résultante pour tg.
Résoudre l'équation 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Utilisons la formule sin 2 x + cos 2 x = 1 et supprimons les deux ouverts à droite :
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Diviser par cos x :
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Remplacez tg x par y et obtenez une équation quadratique :
y 2 + 4y +3 = 0, dont les racines y 1 = 1, y 2 = 3
De là, nous trouvons deux solutions à l'équation d'origine:
x 2 = arctan 3 + k
Résoudre l'équation 3sin x - 5cos x = 7
Passons à x/2 :
6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)
Déplacez tout vers la gauche :
2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0
Diviser par cos (x/2):
tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0
Pour considération, prenons une équation de la forme : a sin x + b cos x = c,
où a, b, c sont des coefficients arbitraires et x est inconnu.
Divisez les deux côtés de l'équation en :
Or les coefficients de l'équation, selon les formules trigonométriques, ont les propriétés sin et cos, à savoir : leur module n'est pas supérieur à 1 et la somme des carrés = 1. Notons-les respectivement cos et sin, où est le angle dit auxiliaire. L'équation prendra alors la forme :
cos * sin x + sin * cos x =
ou sin (x +) = C
La solution de cette équation trigonométrique la plus simple est
x = (-1) k * arcsin - + k, où
Notez que cos et sin sont utilisés de manière interchangeable.
Résoudre l'équation sin 3x - cos 3x = 1
Dans cette équation, les coefficients sont :
a =, b = -1, donc on divise les deux côtés par = 2
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Les équations trigonométriques ne sont pas le sujet le plus facile. Péniblement, ils sont divers.) Par exemple, tels:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Etc...
Mais ces monstres trigonométriques (et tous les autres) ont deux caractéristiques communes et obligatoires. Le premier - vous ne le croirez pas - il y a des fonctions trigonométriques dans les équations.) Deuxièmement : toutes les expressions avec x sont trouvées à l'intérieur de ces mêmes fonctions. Et seulement là-bas ! Si x apparaît n'importe où dehors, Par example, sin2x + 3x = 3, ce sera déjà une équation de type mixte. De telles équations nécessitent une approche individuelle. Nous ne les considérerons pas ici.
Nous ne résoudrons pas non plus les mauvaises équations dans cette leçon.) Ici, nous traiterons de les équations trigonométriques les plus simples. Pourquoi? Oui, car la solution quelconque les équations trigonométriques ont deux étapes. Au premier stade, l'équation maléfique est réduite à une simple au moyen de diverses transformations. Sur le second, cette équation la plus simple est résolue. Pas d'autre chemin.
Donc, si vous avez des problèmes à la deuxième étape, la première étape n'a pas beaucoup de sens.)
A quoi ressemblent les équations trigonométriques élémentaires ?
sinx = un
cosx = un
tgx = un
ctgx = un
Ici une désigne n'importe quel nombre. N'importe qui.
Soit dit en passant, à l'intérieur de la fonction, il peut ne pas y avoir de x pur, mais une sorte d'expression, telle que :
cos (3x + / 3) = 1/2
etc. Cela complique la vie, mais cela n'affecte pas la méthode de résolution de l'équation trigonométrique.
Comment résoudre des équations trigonométriques ?
Les équations trigonométriques peuvent être résolues de deux manières. Première façon : en utilisant la logique et le cercle trigonométrique. Nous allons considérer cette voie ici. La deuxième façon - en utilisant la mémoire et les formules - sera discutée dans la prochaine leçon.
Le premier moyen est clair, fiable et difficile à oublier.) Il est bon pour résoudre des équations trigonométriques, des inégalités et toutes sortes d'exemples non standard délicats. La logique est plus forte que la mémoire !)
Résoudre des équations à l'aide du cercle trigonométrique.
Nous incluons la logique élémentaire et la possibilité d'utiliser le cercle trigonométrique. Je ne sais pas comment !? Cependant... C'est difficile pour vous en trigonométrie...) Mais peu importe. Jetez un œil aux leçons "Cercle trigonométrique ...... Qu'est-ce que c'est?" et "Compter les angles sur un cercle trigonométrique". Tout y est simple. Contrairement aux tutos...)
Ah tu sais !? Et même maîtrisé le "Travaux pratiques avec le cercle trigonométrique" !? Toutes nos félicitations. Ce sujet sera proche et compréhensible pour vous.) Ce qui est particulièrement agréable, le cercle trigonométrique ne se soucie pas de l'équation que vous résolvez. Sinus, cosinus, tangente, cotangente - tout est un pour lui. Il n'y a qu'un seul principe de solution.
On prend donc n'importe quelle équation trigonométrique élémentaire. Au moins ça :
cosx = 0.5
Nous devons trouver le X. En termes humains, vous avez besoin trouver l'angle (x), dont le cosinus est de 0,5.
Comment avons-nous utilisé le cercle plus tôt? Nous avons tracé un coin dessus. En degrés ou en radians. Et immédiatement vu fonctions trigonométriques de cet angle. Faisons maintenant l'inverse. Traçons un cosinus égal à 0,5 sur le cercle et immédiatement voir injection. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse.) Oui, oui !
Tracez un cercle et marquez un cosinus de 0,5. Sur l'axe des cosinus, bien sûr. Comme ça:
Dessinons maintenant l'angle que nous donne ce cosinus. Déplacez le curseur de la souris sur le dessin (ou appuyez sur l'image sur la tablette), et voir ce coin même X.
Quel est l'angle du cosinus 0,5 ?
x = / 3
car 60°= cos ( / 3) = 0,5
Quelqu'un va rire avec scepticisme, oui... Ils disent, ça valait la peine de tourner en rond, alors que tout est déjà clair... Vous pouvez, bien sûr, rire...) Mais le fait est que c'est une réponse erronée. Ou plutôt, insuffisant. Les connaisseurs du cercle comprendront qu'il y a encore tout un tas d'angles ici, qui donnent aussi un cosinus égal à 0,5.
Si vous tournez le côté mobile de l'OA tour complet, le point A reviendra à sa position d'origine. Avec le même cosinus égal à 0,5. Celles. l'angle va changer 360 ° ou 2π radians, et le cosinus ne l'est pas. Le nouvel angle 60° + 360° = 420° sera aussi la solution de notre équation, puisque
Vous pouvez enrouler un nombre infini de tels tours complets... Et tous ces nouveaux angles seront des solutions à notre équation trigonométrique. Et tous doivent en quelque sorte être écrits en réponse. Tout. Sinon, la décision ne compte pas, oui...)
Les mathématiques savent le faire de manière simple et élégante. En une réponse courte, écrivez ensemble sans fin solutions. Voici à quoi cela ressemble pour notre équation:
x = / 3 + 2π n, n Z
je vais déchiffrer. écris encore de manière significative plus agréable que de dessiner bêtement des lettres mystérieuses, non ?)
/ 3 - c'est le même coin que nous scie sur le cercle et identifiés selon la table des cosinus.
2π est une révolution complète en radians.
m est le nombre de pleins, c'est-à-dire ensemble révolutions. Il est clair que m peut être 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... et ainsi de suite. Comme indiqué par une courte note :
n Z
m fait parti ( ∈ ) à l'ensemble des entiers ( Z ). Au fait, au lieu de la lettre m les lettres peuvent bien être utilisées k, m, t etc.
Cette entrée signifie que vous pouvez prendre n'importe quel m ... Au moins -3, au moins 0, au moins +55. Ce que tu veux. Si vous insérez ce nombre dans votre réponse, vous obtenez un angle spécifique qui résoudra certainement notre dure équation.)
Ou, en d'autres termes, x = / 3 est la seule racine de l'ensemble infini. Pour obtenir toutes les autres racines, il suffit d'ajouter un nombre quelconque de tours complets à π / 3 ( m ) en radians. Celles. 2π n radian.
Tout? Non. J'étire volontairement le plaisir. Pour mieux s'en souvenir.) Nous n'avons reçu qu'une partie des réponses à notre équation. J'écrirai cette première partie de la solution comme suit :
x 1 = / 3 + 2π n, n Z
x 1 - pas une racine, c'est toute une série de racines, écrites en abrégé.
Mais il y a aussi des angles qui donnent aussi un cosinus de 0,5 !
Revenons à notre image, qui a servi à écrire la réponse. Elle est là:
Passez la souris sur l'image et voir un autre coin qui donne également un cosinus de 0,5. A quoi pensez-vous qu'il est égal ? Les triangles sont les mêmes... Oui ! Il est égal au coin X , uniquement remis dans le sens négatif. C'est le coin -X. Mais nous avons déjà compris le x. / 3 ou 60°. On peut donc écrire en toute sécurité :
x 2 = - / 3
Eh bien, bien sûr, nous ajoutons tous les angles obtenus par des révolutions complètes :
x 2 = - π / 3 + 2π n, n Z
Voilà.) Dans le cercle trigonométrique, nous scie(qui comprend, bien sûr)) tout angles donnant un cosinus égal à 0,5. Et ils ont écrit ces angles sous une forme mathématique courte. La réponse produisit deux séries infinies de racines :
x 1 = / 3 + 2π n, n Z
x 2 = - π / 3 + 2π n, n Z
C'est la bonne réponse.
Espoir, principe général de résolution d'équations trigonométriques utiliser un cercle est clair. Nous marquons sur le cercle le cosinus (sinus, tangente, cotangente) de l'équation donnée, dessinons les angles qui lui correspondent et notons la réponse. Bien sûr, vous devez déterminer quel genre de coins nous sommes scie sur le cercle. Parfois, ce n'est pas si évident. Eh bien, alors j'ai dit que la logique est requise ici.)
Par exemple, regardons une autre équation trigonométrique :
Veuillez noter que le nombre 0,5 n'est pas le seul nombre possible dans les équations !) C'est juste plus pratique pour moi de l'écrire que les racines et les fractions.
Nous travaillons selon le principe général. Tracez un cercle, marquez (sur l'axe des sinus, bien sûr !) 0.5. On dessine d'un coup tous les angles correspondant à ce sinus. Obtenons l'image suivante :
Traiter d'abord l'angle X au premier trimestre. On rappelle la table des sinus et on détermine la valeur de cet angle. C'est simple :
x = / 6
Nous nous souvenons des tours complets et, la conscience tranquille, notons la première série de réponses :
x 1 = / 6 + 2π n, n Z
À moitié fait. Mais maintenant, nous devons définir deuxième virage... C'est plus rusé qu'en cosinus, oui... Mais la logique nous sauvera ! Comment déterminer le deuxième angle par x ? Oui Facile ! Les triangles sur l'image sont les mêmes, et le coin rouge X égal à l'angle X ... Seulement il est mesuré à partir de l'angle dans le sens négatif. Par conséquent, il est rouge.) Et pour la réponse, nous avons besoin d'un angle, mesuré correctement, à partir du demi-axe positif OX, c'est-à-dire sous un angle de 0 degré.
Passez le curseur sur l'image et voyez tout. J'ai supprimé le premier coin pour ne pas compliquer la photo. L'angle qui nous intéresse (tracé en vert) sera égal à :
- x
X on le sait / 6 ... Le deuxième angle sera donc :
- π / 6 = 5π / 6
Nous rappelons à nouveau l'addition des révolutions complètes et notons la deuxième série de réponses :
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n Z
C'est tout. La réponse complète consiste en deux séries de racines :
x 1 = / 6 + 2π n, n Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n Z
Les équations avec tangente et cotangente peuvent être facilement résolues en utilisant le même principe général pour résoudre les équations trigonométriques. Si, bien sûr, vous savez tracer tangente et cotangente sur un cercle trigonométrique.
Dans les exemples ci-dessus, j'ai utilisé la valeur de la table sinus et cosinus : 0,5. Celles. une de ces significations que l'élève connaît doit. Développons maintenant nos capacités pour toutes les autres valeurs. Décidez, alors décidez !)
Donc, disons que nous devons résoudre cette équation trigonométrique :
Il n'y a pas une telle valeur de cosinus dans les tableaux courts. Nous ignorons ce fait terrible de sang-froid. Tracez un cercle, marquez 2/3 sur l'axe du cosinus et tracez les angles correspondants. Nous obtenons juste une telle image.
Essayons de comprendre, pour commencer, avec un angle au premier quart. Si j'avais su ce qu'était le X, ils auraient tout de suite écrit la réponse ! On ne sait pas... Échec !? Calme! Les maths n'abandonnent pas les siens dans les ennuis ! Elle a proposé des arccosinus pour ce cas. Ne sait pas? En vain. Découvrez, c'est beaucoup plus facile que vous ne le pensez. Sous ce lien, il n'y a pas une seule incantation délicate sur les "fonctions trigonométriques inverses"... C'est superflu dans ce sujet.
Si vous êtes au courant, il suffit de vous dire : « X est l'angle dont le cosinus est 2/3 ». Et tout de suite, purement par la définition de l'arccosinus, vous pouvez écrire :
Nous rappelons des tours supplémentaires et notons calmement la première série de racines de notre équation trigonométrique :
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n Z
La deuxième série de racines est également enregistrée presque automatiquement pour le deuxième angle. Tout est pareil, seul x (arccos 2/3) sera avec un moins :
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n Z
Et c'est tout! C'est la bonne réponse. Encore plus facile qu'avec les valeurs de table. Vous n'avez pas besoin de vous souvenir de quoi que ce soit.) D'ailleurs, les plus attentifs remarqueront que cette image avec la solution par le cosinus inverse en substance, ne diffère pas de l'image pour l'équation cosx = 0,5.
Exactement! Principe général pour ça et général! J'ai spécialement dessiné deux images presque identiques. Le cercle nous montre l'angle X par son cosinus. La table est un cosinus, ou pas - le cercle ne sait pas. Quel est cet angle, / 3, ou quel genre de cosinus inverse - c'est à nous de décider.
Avec sine la même chanson. Par exemple:
Dessinez à nouveau le cercle, marquez le sinus égal à 1/3, dessinez les coins. L'image ressemble à ceci :
Et encore une fois l'image est presque la même que pour l'équation sinx = 0,5. Encore une fois, commencez au coin du premier quart. Que vaut x si son sinus est 1/3 ? Aucun problème!
Le premier pack de racines est donc prêt :
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Nous nous occupons du deuxième coin. Dans l'exemple avec une valeur de table de 0,5, c'était :
- x
Alors là, ce sera exactement la même chose ! Seul x est différent, arcsin 1/3. Et alors!? Vous pouvez écrire en toute sécurité le deuxième paquet de racines :
x 2 = - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
C'est une réponse tout à fait correcte. Bien que cela ne semble pas très familier. Mais c'est compréhensible, j'espère.)
C'est ainsi que les équations trigonométriques sont résolues à l'aide d'un cercle. Ce chemin est clair et compréhensible. C'est lui qui sauve dans les équations trigonométriques avec sélection de racines à un intervalle donné, dans les inégalités trigonométriques - elles sont généralement résolues presque toujours dans un cercle. En bref, dans toutes les tâches légèrement plus difficiles que les tâches standard.
Appliquons nos connaissances dans la pratique ?)
Résoudre des équations trigonométriques :
Au début, c'est plus simple, dès cette leçon.
Maintenant plus difficile.
Astuce : C'est là que vous devez réfléchir sur le cercle. Personnellement.)
Et maintenant, ils sont extérieurement sans prétention ... Ils sont aussi appelés cas spéciaux.
péché = 0
péché = 1
cosx = 0
cosx = -1
Astuce: ici, vous devez déterminer dans un cercle où il y a deux séries de réponses et où en est une ... Et comment en écrire une au lieu de deux séries de réponses. Oui, pour que pas une seule racine du nombre infini ne soit perdue !)
Eh bien, très simples):
péché = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Astuce : ici, vous devez savoir ce qu'est l'arc sinus, l'arc cosinus ? Qu'est-ce que l'arc tangent, l'arc cotangent ? Le plus définitions simples... Mais vous n'avez pas besoin de vous souvenir des valeurs de la table !)
Les réponses sont, bien sûr, un gâchis):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Tout ne fonctionne pas ? Ça arrive. Relisez la leçon. Seul pensivement(il y a un mot tellement dépassé...) Et suivez les liens. Les liens principaux concernent le cercle. Sans elle, en trigonométrie, c'est comme traverser la route les yeux bandés. Parfois ça marche.)
Si vous aimez ce site...
Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)
Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et connaître votre niveau. Tests de validation instantanés. Apprendre - avec intérêt !)
vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.
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