Comment résoudre correctement des équations rationnelles. "solution d'équations rationnelles fractionnaires"

Nous poursuivons la conversation sur résoudre des équations... Dans cet article, nous nous attarderons sur équations rationnelles et les principes de résolution d'équations rationnelles à une variable. Tout d'abord, découvrons quel type d'équations sont appelées rationnelles, donnons la définition d'équations rationnelles entières et fractionnaires, donnons des exemples. De plus, nous obtiendrons des algorithmes pour résoudre des équations rationnelles et, bien sûr, considérerons les solutions d'exemples typiques avec toutes les explications nécessaires.

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Sur la base des définitions émises, nous donnerons plusieurs exemples d'équations rationnelles. Par exemple, x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, sont toutes des équations rationnelles.

D'après les exemples présentés, on peut voir que les équations rationnelles, ainsi que les équations d'autres types, peuvent être soit à une variable, soit à deux, trois, etc. variables. Dans les prochains paragraphes, nous parlerons de la résolution d'équations rationnelles à une variable. Résoudre des équations à deux variables et un grand nombre d'entre eux méritent une attention particulière.

En plus de diviser les équations rationnelles par le nombre de variables inconnues, elles sont également divisées en nombres entiers et fractionnaires. Donnons les définitions correspondantes.

Définition.

L'équation rationnelle s'appelle ensemble si les parties gauche et droite de celui-ci sont des expressions rationnelles entières.

Définition.

Si au moins une des parties d'une équation rationnelle est une expression fractionnaire, alors une telle équation est appelée fractionnellement rationnel(ou rationnel fractionnaire).

Il est clair que des équations entières ne contiennent pas de division par une variable ; au contraire, les équations rationnelles fractionnaires contiennent nécessairement une division par une variable (ou une variable au dénominateur). Donc 3 x + 2 = 0 et (x + y) (3 x 2 −1) + x = −y + 0,5 Sont des équations rationnelles entières, les deux parties d'entre elles sont des expressions entières. A et x : (5 x 3 + y 2) = 3 : (x − 1) : 5 sont des exemples d'équations rationnelles fractionnaires.

Pour conclure cette section, faisons attention au fait que les équations linéaires et les équations quadratiques connues à ce moment sont des équations rationnelles entières.

Résoudre des équations entières

L'une des principales approches pour résoudre des équations entières est de les réduire à l'équivalent équations algébriques... Cela peut toujours être fait en effectuant les transformations équivalentes suivantes de l'équation :

• d'abord, l'expression du côté droit de l'équation entière d'origine est transférée vers le côté gauche avec le signe opposé pour obtenir zéro du côté droit ;
• après cela, sur le côté gauche de l'équation, le résultat vue générale.

Le résultat est une équation algébrique qui est équivalente à l'équation entière d'origine. Ainsi, dans les cas les plus simples, résoudre des équations entières se réduit à résoudre des équations linéaires ou quadratiques, et dans le cas général - à résoudre une équation algébrique de degré n. Pour plus de clarté, regardons l'exemple de solution.

Exemple.

Trouver les racines de toute l'équation 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) −3.

Solution.

Réduisons la solution de toute cette équation à la solution d'une équation algébrique qui lui est équivalente. Pour ce faire, tout d'abord, nous transférons l'expression du côté droit vers la gauche, par conséquent, nous arrivons à l'équation 3 (x + 1) (x − 3) −x (2 x − 1) + 3 = 0... Et, dans un deuxième temps, nous transformons l'expression formée sur le côté gauche en un polynôme de la forme standard en effectuant le nécessaire : 3 (x + 1) (x − 3) −x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) -2 x 2 + x + 3 = 3 x 2 −9 x + 3 x − 9−2 x 2 + x + 3 = x 2 −5 x − 6... Ainsi, la résolution de l'équation entière d'origine est réduite à la résolution de l'équation quadratique x 2 −5 · x − 6 = 0.

On calcule son discriminant D = (- 5) 2 −4 1 (−6) = 25 + 24 = 49, elle est positive, ce qui signifie que l'équation a deux racines réelles, que l'on trouve par la formule des racines de l'équation quadratique :

Pour une totale confiance, nous effectuerons vérifier les racines trouvées de l'équation... Tout d'abord, nous vérifions la racine 6, la substituons à la variable x dans l'équation entière d'origine : 3 (6 + 1) (6−3) = 6 (2 6−1) −3, ce qui est le même, 63 = 63. Il s'agit d'une égalité numérique valide, donc x = 6 est bien la racine de l'équation. Maintenant, nous vérifions la racine −1, nous avons 3 (−1 + 1) (−1−3) = (- 1) (2 (−1) −1) −3, d'où 0 = 0. Pour x = -1, l'équation d'origine s'est également transformée en une véritable égalité numérique, par conséquent, x = -1 est également la racine de l'équation.

Réponse:

6 , −1 .

Il est également à noter ici que le terme « degré de l'équation entière » est associé à la représentation de l'équation entière sous la forme d'une équation algébrique. Donnons une définition appropriée :

Définition.

Le degré de toute l'équation est appelé degré d'une équation algébrique qui lui est équivalente.

Selon cette définition, toute l'équation de l'exemple précédent est du second degré.

Sur celui-ci on pourrait finir par la résolution d'équations rationnelles entières, sinon une seule mais…. Comme on le sait, la solution des équations algébriques de degré supérieur au second est associée à des difficultés importantes, et pour les équations de degré supérieur au quatrième, il n'y a aucune formule générale de racine du tout. Par conséquent, pour résoudre des équations entières des troisième, quatrième degrés et degrés supérieurs, il faut souvent recourir à d'autres méthodes de résolution.

Dans de tels cas, une approche pour résoudre des équations rationnelles entières basée sur méthode de factorisation... Dans ce cas, l'algorithme suivant est respecté :

• d'abord, ils s'assurent qu'il y a zéro du côté droit de l'équation, pour cela, l'expression est transférée du côté droit de l'équation entière vers la gauche ;
• ensuite, l'expression résultante sur la gauche est représentée comme un produit de plusieurs facteurs, ce qui vous permet d'accéder à un ensemble de plusieurs équations plus simples.

L'algorithme donné pour résoudre l'équation entière par factorisation nécessite une explication détaillée à l'aide d'un exemple.

Exemple.

Résoudre toute l'équation (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) = 2 x (x 2 −10 x + 13).

Solution.

Tout d'abord, comme d'habitude, nous transférons l'expression du côté droit vers le côté gauche de l'équation, sans oublier de changer le signe, nous obtenons (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) - 2 x (x 2 −10 x + 13) = 0. Ici, il est bien évident qu'il n'est pas conseillé de transformer le côté gauche de l'équation résultante en un polynôme de la forme standard, car cela donnera une équation algébrique du quatrième degré de la forme x 4 −12 x 3 + 32 x 2 −16 x − 13 = 0, dont la solution est difficile.

D'autre part, il est évident que du côté gauche de l'équation résultante on peut x 2 −10 · x + 13, le représentant ainsi comme un produit. On a (x 2 −10 x + 13) (x 2 −2 x − 1) = 0... L'équation résultante est équivalente à l'équation entière d'origine, et elle, à son tour, peut être remplacée par un ensemble de deux équations quadratiques x 2 −10 x + 13 = 0 et x 2 −2 x − 1 = 0. Trouver leurs racines selon les formules de racines bien connues à travers le discriminant n'est pas difficile, les racines sont égales. Ce sont les racines désirées de l'équation d'origine.

Réponse:

Pour résoudre des équations rationnelles entières, il est également utile nouvelle méthode d'injection variable... Dans certains cas, cela vous permet d'accéder à des équations dont le degré est inférieur au degré de l'équation entière d'origine.

Exemple.

Trouver les vraies racines de l'équation rationnelle (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = −2 (x 2 + 3 x − 4).

Solution.

Réduire toute cette équation rationnelle à une équation algébrique n'est, pour le moins, une très bonne idée, car dans ce cas, nous en viendrons à la nécessité de résoudre une équation du quatrième degré qui n'a pas de racines rationnelles. Par conséquent, vous devrez chercher une autre solution.

Ici, il est facile de remarquer que vous pouvez introduire une nouvelle variable y et la remplacer par l'expression x 2 + 3 · x. Ce remplacement nous conduit à l'ensemble de l'équation (y + 1) 2 + 10 = −2 équation y 2 + 4 y + 3 = 0. Les racines de cette équation y = -1 et y = -3 sont faciles à trouver, par exemple, elles peuvent être sélectionnées sur la base d'un théorème inverse du théorème de Vieta.

Passons maintenant à la deuxième partie de la méthode d'introduction d'une nouvelle variable, c'est-à-dire au remplacement inverse. En effectuant le changement inverse, nous obtenons deux équations x 2 + 3 x = −1 et x 2 + 3 x = −3, qui peuvent être réécrites comme x 2 + 3 x + 1 = 0 et x 2 + 3 x + 3 = 0. En utilisant la formule des racines de l'équation quadratique, nous trouvons les racines de la première équation. Et la deuxième équation quadratique n'a pas de racines réelles, puisque son discriminant est négatif (D = 3 2 −4 · 3 = 9−12 = −3).

Réponse:

En général, lorsque nous avons affaire à des équations entières de degrés élevés, nous devons toujours être prêts à rechercher une méthode non standard ou une astuce artificielle pour les résoudre.

Résoudre des équations fractionnaires

Premièrement, il sera utile de comprendre comment résoudre les équations rationnelles fractionnaires de la forme, où p (x) et q (x) sont des expressions rationnelles entières. Et puis nous montrerons comment réduire la solution des équations fractionnellement rationnelles restantes à la solution des équations de la forme indiquée.

Une des approches pour résoudre l'équation est basée sur l'énoncé suivant : la fraction de nombre u / v, où v est un nombre non nul (sinon on rencontrera un nombre qui n'est pas défini), est égal à zéro si et seulement si son le numérateur est égal à zéro, alors est, si et seulement si u = 0. En vertu de cet énoncé, la solution de l'équation se réduit à la réalisation de deux conditions p (x) = 0 et q (x) ≠ 0.

Cette conclusion correspond à ce qui suit un algorithme pour résoudre une équation rationnelle fractionnaire... Pour résoudre une équation rationnelle fractionnaire de la forme, il faut

• résoudre toute l'équation rationnelle p (x) = 0;
• et vérifier si la condition q (x) ≠ 0 est satisfaite pour chaque racine trouvée, et
• si elle est satisfaite, alors cette racine est la racine de l'équation originale ;
• sinon, alors cette racine est étrangère, c'est-à-dire qu'elle n'est pas la racine de l'équation d'origine.

Regardons un exemple d'utilisation de l'algorithme sonore lors de la résolution d'une équation rationnelle fractionnaire.

Exemple.

Trouver les racines de l'équation.

Solution.

Il s'agit d'une équation fractionnellement rationnelle de la forme, où p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 −2 = 0.

Selon l'algorithme de résolution d'équations fractionnaires rationnelles de ce type, nous devons d'abord résoudre l'équation 3 x − 2 = 0. C'est une équation linéaire dont la racine est x = 2/3.

Il reste à vérifier cette racine, c'est-à-dire à vérifier si elle satisfait à la condition 5 · x 2 −2 ≠ 0. Substituer dans l'expression 5 · x 2 −2 au lieu de x le nombre 2/3, on obtient. La condition est remplie, donc x = 2/3 est la racine de l'équation originale.

Réponse:

2/3 .

La solution d'une équation rationnelle fractionnaire peut être abordée à partir d'une position légèrement différente. Cette équation est équivalente à toute l'équation p (x) = 0 sur la variable x de l'équation originale. C'est-à-dire que vous pouvez vous en tenir à cela algorithme pour résoudre une équation rationnelle fractionnaire :

• résoudre l'équation p (x) = 0;
• trouver l'ODZ de la variable x ;
• prendre les racines appartenant à la plage de valeurs admissibles - ce sont les racines souhaitées de l'équation rationnelle fractionnaire d'origine.

Par exemple, résolvons une équation rationnelle fractionnaire à l'aide de cet algorithme.

Exemple.

Résous l'équation.

Solution.

Tout d'abord, résolvez l'équation quadratique x 2 −2 x − 11 = 0. Ses racines peuvent être calculées en utilisant la formule des racines pour un deuxième coefficient pair, nous avons D 1 = (- 1) 2 −1 (−11) = 12, et .

Deuxièmement, nous trouvons l'ODV de la variable x pour l'équation d'origine. Il est constitué de tous les nombres pour lesquels x 2 + 3 x 0, qui est le même x (x + 3) ≠ 0, d'où x ≠ 0, x ≠ −3.

Il reste à vérifier si les racines trouvées à la première étape sont incluses dans l'ODZ. Évidemment oui. Par conséquent, l'équation d'origine fractionnellement rationnelle a deux racines.

Réponse:

A noter que cette approche est plus avantageuse que la première s'il est facile de trouver le GDV, et est surtout bénéfique si, dans ce cas, les racines de l'équation p (x) = 0 sont irrationnelles, par exemple, ou rationnelles, mais avec un numérateur et/ou un dénominateur assez grand, par exemple, 127/1101 et -31/59. Cela est dû au fait que dans de tels cas, la vérification de la condition q (x) 0 nécessitera des efforts de calcul importants, et il est plus facile d'exclure les racines étrangères dans l'ODZ.

Dans d'autres cas, lors de la résolution de l'équation, notamment lorsque les racines de l'équation p (x) = 0 sont entières, il est plus avantageux d'utiliser le premier des algorithmes présentés. C'est-à-dire qu'il est conseillé de trouver immédiatement les racines de toute l'équation p (x) = 0, puis de vérifier si la condition q (x) ≠ 0 est satisfaite pour elles, plutôt que de trouver l'ODV, puis de résoudre l'équation p(x)=0 sur cet ODV... Cela est dû au fait que dans de tels cas, il est généralement plus facile de vérifier que de trouver un LDO.

Considérons la solution de deux exemples pour illustrer les nuances spécifiées.

Exemple.

Trouver les racines de l'équation.

Solution.

Tout d'abord, nous trouvons les racines de l'équation entière (2 x − 1) (x − 6) (x 2 −5 x + 14) (x + 1) = 0, composé à l'aide du numérateur de la fraction. Le côté gauche de cette équation est le produit, et le côté droit est zéro, donc, selon la méthode de résolution des équations par factorisation, cette équation est équivalente à un ensemble de quatre équations 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 -5 x + 14 = 0, x + 1 = 0. Trois de ces équations sont linéaires et une est carrée, nous pouvons les résoudre. De la première équation on trouve x = 1/2, de la seconde - x = 6, de la troisième - x = 7, x = −2, de la quatrième - x = −1.

Avec les racines trouvées, il est assez facile de vérifier si le dénominateur de la fraction du côté gauche de l'équation d'origine s'annule avec elles, et, au contraire, il n'est pas si facile de déterminer l'ODV, car cela va nécessitent de résoudre une équation algébrique du cinquième degré. Par conséquent, nous abandonnerons la recherche de l'ODZ au profit de la vérification des racines. Pour ce faire, on les substitue tour à tour à la place de la variable x dans l'expression x 5 -15 x 4 + 57 x 3 -13 x 2 + 26 x + 112 obtenus après substitution, et les comparer à zéro : (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 + 26 (1/2) + 112 = 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 + 57 6 3 −13 6 2 + 26 6 + 112 = 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 + 57 7 3 −13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 + 57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2) + 112 = −720 0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 + 57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26 (−1) + 112 = 0.

Ainsi, 1/2, 6 et -2 sont les racines souhaitées de l'équation rationnelle fractionnaire d'origine, et 7 et -1 sont des racines étrangères.

Réponse:

1/2 , 6 , −2 .

Exemple.

Trouvez les racines de l'équation rationnelle fractionnaire.

Solution.

On trouve d'abord les racines de l'équation (5 x 2 −7 x − 1) (x − 2) = 0... Cette équation équivaut à une combinaison de deux équations : la quadratique 5 · x 2 −7 · x − 1 = 0 et la linéaire x − 2 = 0. En utilisant la formule pour les racines de l'équation quadratique, nous trouvons deux racines, et à partir de la deuxième équation, nous avons x = 2.

Vérifier si le dénominateur ne s'évanouit pas pour les valeurs trouvées de x est plutôt désagréable. Et il est assez simple de déterminer la plage de valeurs admissibles de la variable x dans l'équation d'origine. Par conséquent, nous agirons à travers l'ODZ.

Dans notre cas, l'ODZ de la variable x de l'équation rationnelle fractionnaire d'origine est constituée de tous les nombres, à l'exception de ceux pour lesquels la condition x 2 + 5 · x − 14 = 0 est satisfaite. Les racines de cette équation quadratique sont x = -7 et x = 2, d'où l'on conclut sur l'ODZ : elle est constituée de tout x tel que.

Il reste à vérifier si les racines trouvées et x = 2 appartiennent au domaine des valeurs admissibles. Les racines - appartiennent, par conséquent, ce sont les racines de l'équation d'origine, et x = 2 - n'appartient pas, c'est donc une racine étrangère.

Réponse:

Il sera également utile de s'attarder séparément sur les cas où il y a un nombre au numérateur dans une équation rationnelle fractionnaire de la forme, c'est-à-dire lorsque p (x) est représenté par un certain nombre. Où

• si ce nombre est différent de zéro, alors l'équation n'a pas de racines, puisque la fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul ;
• si ce nombre est zéro, alors la racine de l'équation est n'importe quel nombre de l'ODZ.

Exemple.

Solution.

Étant donné que le numérateur de la fraction du côté gauche de l'équation est un nombre différent de zéro, à aucun x la valeur de cette fraction ne peut être égale à zéro. Par conséquent, cette équation n'a pas de racines.

Réponse:

pas de racines.

Exemple.

Résous l'équation.

Solution.

Le numérateur de la fraction à gauche de cette équation rationnelle fractionnaire contient zéro, donc la valeur de cette fraction est zéro pour tout x pour lequel cela a un sens. En d'autres termes, la solution de cette équation est n'importe quelle valeur de x de l'ODV de cette variable.

Il reste à déterminer cette plage de valeurs admissibles. Il comprend toutes ces valeurs de x pour lesquelles x 4 + 5 · x 3 0. Les solutions de l'équation x 4 + 5 x 3 = 0 sont 0 et -5, puisque cette équation est équivalente à l'équation x 3 (x + 5) = 0, et elle est à son tour équivalente à la combinaison de deux équations x 3 = 0 et x + 5 = 0, d'où ces racines sont visibles. Par conséquent, la plage de valeurs admissibles recherchée est tout x, sauf pour x = 0 et x = -5.

Ainsi, une équation rationnelle fractionnaire a une infinité de solutions, qui sont des nombres autres que zéro et moins cinq.

Réponse:

Enfin, il est temps de parler de la résolution d'équations rationnelles fractionnaires arbitraires. Ils peuvent être écrits comme r (x) = s (x), où r (x) et s (x) sont des expressions rationnelles, et au moins l'une d'entre elles est fractionnaire. En regardant vers l'avenir, disons que leur solution se réduit à la solution d'équations d'une forme qui nous est déjà familière.

On sait que le transfert d'un terme d'un côté de l'équation à un autre de signe opposé conduit à une équation équivalente ; par conséquent, l'équation r (x) = s (x) est équivalente à l'équation r (x) - s (x) = 0.

Nous savons aussi que vous pouvez avoir n'importe quel qui est identiquement égal à cette expression. Ainsi, nous pouvons toujours transformer l'expression rationnelle du membre de gauche de l'équation r (x) - s (x) = 0 en une fraction rationnelle identiquement égale de la forme.

Nous passons donc de l'équation rationnelle fractionnaire d'origine r (x) = s (x) à l'équation, et sa solution, comme nous l'avons trouvé ci-dessus, se réduit à résoudre l'équation p (x) = 0.

Mais ici, il est impératif de prendre en compte le fait que lors du remplacement de r (x) - s (x) = 0 par, et plus loin par p (x) = 0, la plage de valeurs admissibles de la variable x peut s'étendre .

Par conséquent, l'équation originale r (x) = s (x) et l'équation p (x) = 0, à laquelle nous sommes arrivés, peuvent s'avérer inéquitables, et en résolvant l'équation p (x) = 0, nous pouvons obtenir des racines qui seront des racines étrangères de l'équation originale r (x) = s (x). Il est possible d'identifier et de ne pas inclure dans la réponse des racines étrangères soit en effectuant une vérification, soit en vérifiant qu'elles appartiennent à l'ODZ de l'équation d'origine.

Résumons ces informations dans un algorithme pour résoudre une équation rationnelle fractionnaire r (x) = s (x)... Pour résoudre l'équation rationnelle fractionnaire r (x) = s (x), vous avez besoin

• Obtenez zéro à droite en transférant l'expression du côté droit avec le signe opposé.
• Effectuez des actions avec des fractions et des polynômes sur le côté gauche de l'équation, la transformant ainsi en une fraction rationnelle de la forme.
• Résoudre l'équation p (x) = 0.
• Identifier et exclure les racines étrangères, ce qui se fait en les substituant dans l'équation d'origine ou en vérifiant leur appartenance à l'ODS de l'équation d'origine.

Pour plus de clarté, nous montrons toute la chaîne de résolution des équations rationnelles fractionnaires :
.

Regardons les solutions à quelques exemples avec une explication détaillée de l'avancement de la solution pour clarifier le bloc d'informations donné.

Exemple.

Résoudre l'équation rationnelle fractionnaire.

Solution.

Nous allons agir conformément à l'algorithme de solution qui vient d'être obtenu. Et d'abord, nous transférons les termes du côté droit de l'équation vers la gauche, par conséquent, nous passons à l'équation.

Dans la deuxième étape, nous devons convertir l'expression rationnelle fractionnaire du côté gauche de l'équation résultante sous la forme d'une fraction. Pour ce faire, nous réduisons les fractions rationnelles à un dénominateur commun et simplifions l'expression résultante :. Nous arrivons donc à l'équation.

Dans l'étape suivante, nous devons résoudre l'équation −2 x − 1 = 0. Trouver x = -1 / 2.

Il reste à vérifier si le nombre trouvé −1/2 est une racine étrangère à l'équation d'origine. Pour ce faire, vous pouvez vérifier ou trouver l'ODV de la variable x de l'équation d'origine. Démontrons les deux approches.

Commençons par vérifier. Remplacez −1/2 dans l'équation d'origine pour x pour obtenir le même résultat, −1 = −1. La substitution donne l'égalité numérique correcte, par conséquent, x = −1 / 2 est la racine de l'équation d'origine.

Nous allons maintenant montrer comment le dernier point de l'algorithme est réalisé à travers l'ODZ. La plage des valeurs admissibles de l'équation d'origine est l'ensemble de tous les nombres sauf -1 et 0 (pour x = -1 et x = 0, les dénominateurs des fractions s'annulent). La racine x = −1 / 2 trouvée à l'étape précédente appartient à l'ODZ, par conséquent, x = −1 / 2 est la racine de l'équation originale.

Réponse:

−1/2 .

Regardons un autre exemple.

Exemple.

Trouver les racines de l'équation.

Solution.

Nous devons résoudre une équation fractionnellement rationnelle, passons en revue toutes les étapes de l'algorithme.

Tout d'abord, nous transférons le terme du membre de droite au membre de gauche, nous obtenons.

Deuxièmement, nous transformons l'expression sur le côté gauche :. En conséquence, nous arrivons à l'équation x = 0.

Sa racine est évidente - elle est nulle.

À la quatrième étape, il reste à savoir si la racine trouvée est en dehors de l'équation d'origine fractionnellement rationnelle. Lorsque vous le remplacez dans l'équation d'origine, vous obtenez l'expression. Évidemment, cela n'a pas de sens, car il contient une division par zéro. D'où nous concluons que 0 est une racine étrangère. Par conséquent, l'équation d'origine n'a pas de racines.

7, ce qui conduit à l'équation. De cela, nous pouvons conclure que l'expression au dénominateur du côté gauche devrait être égale à celle du côté droit, c'est-à-dire. Maintenant, nous soustrayons des deux parties du triple :. Par analogie, d'où, et plus loin.

La vérification montre que les deux racines trouvées sont les racines de l'équation rationnelle fractionnaire d'origine.

Réponse:

Bibliographie.

• Algèbre:étudier. pour 8cl. enseignement général. institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; éd. S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008 .-- 271 p. : malade. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovitch Algèbre. 8e année. A 14h Partie 1. Manuel pour étudiants les établissements d'enseignement/ A.G. Mordkovich. - 11e éd., Effacé. - M. : Mnemozina, 2009 .-- 215 p. : ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
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Smirnova Anastasia Yurievna

Type de cours : une leçon d'apprentissage de nouveau matériel.

Forme d'organisation activités d'apprentissage : frontal, individuel.

Le but de la leçon: introduire un nouveau type d'équations - les équations rationnelles fractionnaires, pour donner une idée de l'algorithme de résolution des équations rationnelles fractionnaires.

Objectifs de la leçon.

Éducatif:

• formation du concept d'équation rationnelle fractionnaire;
• envisager un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires, y compris la condition d'égalité de la fraction à zéro ;
• enseigner la solution d'équations rationnelles fractionnaires par l'algorithme.

Développement:

• créer des conditions pour la formation de compétences pour appliquer les connaissances acquises;
• favoriser le développement de l'intérêt cognitif des élèves pour la matière;
• développer la capacité des élèves à analyser, comparer et tirer des conclusions;
• développement des compétences de contrôle mutuel et de maîtrise de soi, attention, mémoire, expression orale et écrite, indépendance.

Éducatif:

• éducation d'intérêt cognitif dans le sujet;
• favoriser l'indépendance dans la résolution de problèmes éducatifs;
• favoriser la volonté et la persévérance pour atteindre les résultats finaux.

Équipement: manuel, tableau noir, crayons.

Manuel "Algèbre 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, édité par S.A. Telyakovsky. Moscou "Éducation". 2010

Cinq heures sont consacrées à ce sujet. Cette leçon est la première. L'essentiel est d'étudier l'algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires et d'élaborer cet algorithme dans des exercices.

Pendant les cours

1. Moment d'organisation.

Bonjour gars! Aujourd'hui, je voudrais commencer notre leçon par un quatrain :
Pour faciliter la vie de tous,
Qu'est-ce qui serait décidé, qu'est-ce qui serait,
Souriez, bonne chance à tous
Quel que soit le problème,
Ils se sont souri, ont créé une bonne humeur et ont commencé à travailler.

Les équations sont écrites au tableau, regardez-les attentivement. Pouvez-vous résoudre toutes ces équations ? Lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

Les équations dans lesquelles les côtés gauche et droit sont des expressions rationnelles fractionnaires sont appelées équations rationnelles fractionnaires. Que pensez-vous que nous allons apprendre en leçon aujourd'hui? Formulez le sujet de la leçon. Alors, nous ouvrons des cahiers et écrivons le sujet de la leçon "Résoudre des équations rationnelles fractionnaires".

2. Actualisation des connaissances. Sondage frontal, travail oral avec la classe.

Et maintenant, nous allons répéter le principal matériel théorique dont nous avons besoin pour étudier un nouveau sujet. Merci de répondre aux questions suivantes:

1. Qu'est-ce qu'une équation ? ( Égalité avec Variable ou Variables.)
2. Quel est le nom de l'équation n°1 ? ( Linéaire.) Une méthode pour résoudre des équations linéaires. ( Déplacez tout avec l'inconnu à gauche de l'équation, tous les nombres à droite. Donnez des termes similaires. Trouver un facteur inconnu).
3. Quel est le nom de l'équation n°3 ? ( Carré.) Méthodes de résolution d'équations quadratiques. (P sur les formules)
4. Qu'est-ce que la proportion ? ( Égalité de deux relations.) La propriété principale de la proportion. ( Si la proportion est correcte, alors le produit de ses termes extrêmes est égal au produit des termes moyens.)
5. Quelles propriétés sont utilisées pour résoudre des équations ? ( 1. Si dans l'équation pour transférer le terme d'une partie à une autre, en changeant son signe, alors vous obtenez une équation équivalente à celle donnée. 2. Si les deux membres de l'équation sont multipliés ou divisés par le même nombre différent de zéro, alors une équation est obtenue qui est équivalente à la donnée.)
6. Quand est la fraction zéro ? ( La fraction est nulle lorsque le numérateur est nul et que le dénominateur n'est pas nul.)

3. Explication du nouveau matériel.

Résolvez l'équation numéro 2 dans des cahiers et au tableau.

Réponse: 10.

Quelle équation rationnelle fractionnaire peux-tu essayer de résoudre en utilisant la propriété principale de la proportion ? (N ° 5).

(x-2) (x-4) = (x + 2) (x + 3)

x 2 -4x-2x + 8 = x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Résolvez l'équation numéro 4 dans des cahiers et au tableau.

Réponse: 1,5.

Quelle équation rationnelle fractionnaire peux-tu essayer de résoudre en multipliant les deux membres de l'équation par le dénominateur ? (Numéro 6).

x 2 -7x + 12 = 0

D = 1 ›0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Réponse: 3;4.

Nous considérerons la solution d'équations telles que l'équation numéro 7 dans les leçons suivantes.

Expliquez pourquoi cela s'est produit? Pourquoi dans un cas il y a trois racines, dans l'autre deux ? Quels nombres sont les racines de cette équation fractionnaire-rationnelle ?

Jusqu'à présent, les étudiants n'ont pas rencontré le concept de racine étrangère, il leur est vraiment très difficile de comprendre pourquoi cela s'est produit. Si personne dans la classe ne peut donner une explication claire de cette situation, alors l'enseignant pose des questions suggestives.

• En quoi les équations 2 et 4 diffèrent-elles des équations 5 et 6 ? ( Dans les équations n ° 2 et 4 au dénominateur du nombre, n ° 5-6 - expressions avec une variable.)
• Quelle est la racine d'une équation ? ( La valeur de la variable à laquelle l'équation devient une véritable égalité.)
• Comment savoir si un nombre est la racine d'une équation ? ( Faire un chèque.)

Lors de l'exécution du test, certains élèves remarquent qu'ils doivent diviser par zéro. Ils concluent que les nombres 0 et 5 ne sont pas les racines de cette équation. La question se pose : existe-t-il un moyen de résoudre des équations rationnelles fractionnaires qui éliminerait cette erreur ? Oui, cette méthode est basée sur la condition d'égalité de la fraction à zéro.

Essayons de formuler un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires de cette manière. Les enfants formulent eux-mêmes l'algorithme.

Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :

1. Déplacez tout vers la gauche.
2. Amener les fractions à un dénominateur commun.
3. Faites un système : la fraction est nulle lorsque le numérateur est nul et le dénominateur n'est pas nul.
4. Résous l'équation.
5. Vérifiez l'inégalité pour exclure les racines étrangères.
6. Enregistrez votre réponse.

4. Compréhension primaire du nouveau matériel.

Travailler en équipe de deux. Les élèves choisissent comment résoudre l'équation indépendamment, selon le type d'équation. Tâches du manuel "Algèbre 8", Yu.N. Makarychev, 2007 : n° 600 (b, c) ; N° 601 (a, e). L'enseignant contrôle la mise en œuvre du devoir, répond aux questions qui se posent et apporte son aide aux élèves les moins performants. Auto-test : les réponses sont écrites au tableau.

b) 2 - racine étrangère. Réponse : 3.

c) 2 - racine étrangère. Réponse : 1.5.

a) Réponse : -12,5.

5. Énoncé des devoirs.

1. Lisez le paragraphe 25 du manuel, analysez les exemples 1-3.
2. Apprenez un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires.
3. Résoudre dans les cahiers n° 600 (d, e) ; N° 601 (g, h).

6. Résumer la leçon.

Ainsi, aujourd'hui, dans la leçon, nous avons rencontré des équations rationnelles fractionnaires, appris à résoudre ces équations différentes façons... Quelle que soit la méthode de résolution des équations rationnelles fractionnaires, que faut-il garder à l'esprit ? Qu'est-ce que le « caractère insidieux » des équations rationnelles fractionnaires ?

Merci à tous, la leçon est terminée.

Présentation et cours sur le thème : "Equations rationnelles. Algorithme et exemples de résolution d'équations rationnelles"

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Présentation des équations irrationnelles

Soit $ r (x) $ expression rationnelle... Une telle expression peut être un simple polynôme dans la variable $ x $ ou un rapport de polynômes (l'opération de division est introduite, comme pour les nombres rationnels).
L'équation $ r (x) = 0 $ est appelée équation rationnelle.
Toute équation de la forme $ p (x) = q (x) $, où $ p (x) $ et $ q (x) $ sont des expressions rationnelles, sera également équation rationnelle.

Considérez des exemples de résolution d'équations rationnelles.

Solution.
Déplacez toutes les expressions vers la gauche : $ \ frac (5x-3) (x-3) - \ frac (2x-3) (x) = 0 $.
Si les nombres ordinaires étaient représentés du côté gauche de l'équation, alors nous amènerions les deux fractions à un dénominateur commun.
Faisons ceci : $ \ frac ((5x-3) * x) ((x-3) * x) - \ frac ((2x-3) * (x-3)) ((x-3) * x ) = \ frac (5x ^ 2-3x- (2x ^ 2-6x-3x + 9)) ((x-3) * x) = \ frac (3x ^ 2 + 6x-9) ((x-3) * x) = \ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) $.
On a l'équation : $ \ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) = 0 $.

Une fraction est nulle si et seulement si le numérateur de la fraction est nul et le dénominateur non nul. Ensuite, nous assimilons séparément le numérateur à zéro et trouvons les racines du numérateur.
$ 3 (x ^ 2 + 2x-3) = 0 $ ou $ x ^ 2 + 2x-3 = 0 $.
$ x_ (1,2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (4-4 * (- 3))) (2) = \ frac (-2 ± 4) (2) = 1; -3 $.
Vérifions maintenant le dénominateur de la fraction : $ (x-3) * x 0 $.
Le produit de deux nombres est nul lorsqu'au moins un de ces nombres est nul. Alors : $ x ≠ 0 $ ou $ x-3 ≠ 0 $.
$ x 0 $ ou $ x ≠ 3 $.
Les racines obtenues au numérateur et au dénominateur ne correspondent pas. Ainsi, en réponse, nous écrivons les deux racines du numérateur.
Réponse : $ x = 1 $ ou $ x = -3 $.

Si soudainement, l'une des racines du numérateur coïncide avec la racine du dénominateur, alors elle doit être exclue. De telles racines sont appelées des étrangers !

Algorithme de résolution d'équations rationnelles :

Exemple 2.
Résoudre l'équation : $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) = \ frac (6) (x ^ 2-1) $.

Solution.
Nous allons résoudre selon les points de l'algorithme.
1. $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) (x ^ 2-1) = 0 $.
2. $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) (x ^ 2-1) = \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) ((x-1) (x + 1)) = \ frac (3x (x + 1) +4 (x-1) -6) ((x -1) (x + 1)) = $ $ = \ frac (3x ^ 2 + 3x + 4x-4-6) ((x-1) (x + 1)) = \ frac (3x ^ 2 + 7x- 10) ((x-1) (x + 1)) $.
$ \ frac (3x ^ 2 + 7x-10) ((x-1) (x + 1)) = 0 $.
3. Égalisez le numérateur à zéro : $ 3x ^ 2 + 7x-10 = 0 $.
$ x_ (1,2) = \ frac (-7 ± \ sqrt (49-4 * 3 * (- 10))) (6) = \ frac (-7 ± 13) (6) = - 3 \ frac ( 1) (3) ; 1 $.
4. Égalisez le dénominateur à zéro :
$ (x-1) (x + 1) = 0 $.
$ x = 1 $ et $ x = -1 $.
L'une des racines $ x = 1 $ coïncidait avec la racine du numérateur, alors nous ne l'écrivons pas en réponse.
Réponse : $ x = -1 $.

Il est pratique de résoudre des équations rationnelles en utilisant la méthode du changement de variables. Démontrons cela.

Exemple 3.
Résolvez l'équation : $ x ^ 4 + 12x ^ 2-64 = 0 $.

Solution.
Introduisons le remplacement : $ t = x ^ 2 $.
Alors notre équation prendra la forme :
$ t ^ 2 + 12t-64 = 0 $ - l'équation quadratique habituelle.
$ t_ (1,2) = \ frac (-12 ± \ sqrt (12 ^ 2-4 * (- 64))) (2) = \ frac (-12 ± 20) (2) = - 16; 4 $.
Introduisons le changement inverse : $ x ^ 2 = 4 $ ou $ x ^ 2 = -16 $.
Les racines de la première équation sont une paire de nombres $ x = ± 2 $. Le second n'a pas de racines.
Réponse : $ x = ± 2 $.

Exemple 4.
Résoudre l'équation : $ x ^ 2 + x + 1 = \ frac (15) (x ^ 2 + x + 3) $.
Solution.
Introduisons une nouvelle variable : $ t = x ^ 2 + x + 1 $.
Alors l'équation prend la forme : $ t = \ frac (15) (t + 2) $.
De plus, nous agirons selon l'algorithme.
1. $ t-\frac (15) (t + 2) = 0 $.
2. $ \ frac (t ^ 2 + 2t-15) (t + 2) = 0 $.
3. $ t ^ 2 + 2t-15 = 0 $.
$ t_ (1,2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (4-4 * (- 15))) (2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (64)) (2) = \ frac ( -2 ± 8) (2) = - 5; 3 $.
4. $ t ≠ -2 $ - les racines ne correspondent pas.
Introduisons le remplacement inverse.
$ x ^ 2 + x + 1 = -5 $.
$ x ^ 2 + x + 1 = 3 $.
Résolvons chaque équation séparément :
$ x ^ 2 + x + 6 = 0 $.
$ x_ (1,2) = \ frac (-1 ± \ sqrt (1-4 * (- 6))) (2) = \ frac (-1 ± \ sqrt (-23)) (2) $ - non racines.
Et la deuxième équation : $ x ^ 2 + x-2 = 0 $.
Les racines de cette équation seront les nombres $ x = -2 $ et $ x = 1 $.
Réponse : $ x = -2 $ et $ x = 1 $.

Exemple 5.
Résoudre l'équation : $ x ^ 2 + \ frac (1) (x ^ 2) + x + \ frac (1) (x) = 4 $.

Solution.
Introduisons le remplacement : $ t = x + \ frac (1) (x) $.
Puis:
$ t ^ 2 = x ^ 2 + 2 + \ frac (1) (x ^ 2) $ ou $ x ^ 2 + \ frac (1) (x ^ 2) = t ^ 2-2 $.
On a l'équation : $ t ^ 2-2 + t = 4 $.
$ t ^ 2 + t-6 = 0 $.
Les racines de cette équation sont le couple :
$ t = -3 $ et $ t = 2 $.
Introduisons le remplacement inverse :
$ x + \ frac (1) (x) = - 3 $.
$ x + \ frac (1) (x) = 2 $.
Nous allons le résoudre séparément.
$ x + \ frac (1) (x) + 3 = 0 $.
$ \ frac (x ^ 2 + 3x + 1) (x) = 0 $.
$ x_ (1,2) = \ frac (-3 ± \ sqrt (9-4)) (2) = \ frac (-3 ± \ sqrt (5)) (2) $.
Résolvons la deuxième équation :
$ x + \ frac (1) (x) -2 = 0 $.
$ \ frac (x ^ 2-2x + 1) (x) = 0 $.
$ \ frac ((x-1) ^ 2) (x) = 0 $.
La racine de cette équation est le nombre $ x = 1 $.
Réponse : $ x = \ frac (-3 ± \ sqrt (5)) (2) $, $ x = 1 $.

Tâches pour une solution indépendante

1. $ \ frac (3x + 2) (x) = \ frac (2x + 3) (x + 2) $.

2. $ \ frac (5x) (x + 2) - \ frac (20) (x ^ 2 + 2x) = \ frac (4) (x) $.
3. $ x ^ 4-7x ^ 2-18 = 0 $.
4. $ 2x ^ 2 + x + 2 = \ frac (8) (2x ^ 2 + x + 4) $.
5. $ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 3 $.

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Le plus petit dénominateur commun est utilisé pour simplifier cette équation. Cette méthode est utile lorsque vous ne pouvez pas écrire une équation donnée avec une expression rationnelle de chaque côté de l'équation (et utilisez la méthode entrecroisée). Cette méthode est utilisée lorsque l'on vous donne une équation rationnelle avec 3 fractions ou plus (dans le cas de deux fractions, il est préférable d'utiliser la multiplication croisée).