Formules pour les équations les plus simples. Méthodes de résolution des équations trigonométriques

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Beaucoup Problèmes mathématiques, en particulier ceux qui surviennent avant la 10e année, l'ordre des actions exécutées qui mèneront à l'objectif est clairement défini. De tels problèmes incluent, par exemple, les équations linéaires et quadratiques, linéaires et inégalités carrées, équations fractionnaires et les équations qui se réduisent au quadratique. Le principe d'une solution réussie de chacun des problèmes mentionnés est le suivant: il est nécessaire d'établir quel type de problème à résoudre, de se souvenir de la séquence d'actions nécessaire qui conduira au résultat souhaité, c'est-à-dire répondez et suivez ces étapes.

De toute évidence, le succès ou l'échec dans la résolution d'un problème particulier dépend principalement de la façon dont le type d'équation à résoudre est correctement déterminé, de la façon dont la séquence de toutes les étapes de sa solution est correctement reproduite. Bien entendu, il est nécessaire d'avoir des compétences pour effectuer des transformations et des calculs identiques.

La situation est différente avec équations trigonométriques.Établir le fait que l'équation est trigonométrique n'est pas difficile du tout. Des difficultés surgissent pour déterminer la séquence d'actions qui conduirait à la bonne réponse.

Par Aspect extérieur l'équation est parfois difficile à déterminer de son type. Et sans connaître le type d'équation, il est quasiment impossible de choisir celle que l'on souhaite parmi plusieurs dizaines de formules trigonométriques.

Pour résoudre l'équation trigonométrique, il faut essayer :

1. ramener toutes les fonctions incluses dans l'équation à « angles égaux » ;
2. amener l'équation aux « mêmes fonctions » ;
3. factoriser le côté gauche de l'équation, etc.

Envisager méthodes de résolution de base équations trigonométriques.

I. Réduction aux équations trigonométriques les plus simples

Schéma de solution

Étape 1. Express fonction trigonométrique par des composants connus.

Étape 2. Trouver l'argument d'une fonction par les formules :

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + n, n Z.

tg x = a; x = arctan a + n, n Z.

ctg x = a; x = arcctg a + n, n Z.

Étape 3. Trouver une variable inconnue.

Exemple.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

Solution.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Z ;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Z ;

x = ± 3π / 12 + / 12 + 2πn / 3, n Z ;

x = ± π / 4 + / 12 + 2πn / 3, n Z.

Réponse : ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Z.

II. Substitution de variables

Schéma de solution

Étape 1. Apportez l'équation à une forme algébrique par rapport à l'une des fonctions trigonométriques.

Étape 2. Notons la fonction résultante par la variable t (si nécessaire, introduisez des restrictions sur t).

Étape 3.Écrivez et résolvez l'équation algébrique résultante.

Étape 4. Faites un remplacement inversé.

Étape 5. Résoudre l'équation trigonométrique la plus simple.

Exemple.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

Solution.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5 sin (x / 2) - 5 = 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) Soit sin (x / 2) = t, où | t | 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0 ;

t = 1 ou e = -3/2, ne satisfait pas la condition | t | 1.

4) péché (x / 2) = 1.

5) x / 2 = / 2 + 2πn, n Z ;

x = + 4πn, n Z.

Réponse : x = π + 4πn, n Z.

III. Méthode de réduction de l'ordre des équations

Schéma de solution

Étape 1. Remplacez l'équation donnée par une équation linéaire, en utilisant les formules de réduction de degré pour cela :

sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Étape 2. Résoudre l'équation résultante en utilisant les méthodes I et II.

Exemple.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Solution.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn, n Z ;

x = ± / 6 + n, n Z.

Réponse : x = ± π / 6 + πn, n Z.

IV. Équations homogènes

Schéma de solution

Étape 1. Apportez cette équation à la forme

a) a sin x + b cos x = 0 (équation homogène du premier degré)

ou à l'esprit

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (équation homogène du second degré).

Étape 2. Divisez les deux côtés de l'équation par

a) cos x 0 ;

b) cos 2 x 0;

et obtenez l'équation pour tg x :

a) a tg x + b = 0 ;

b) a tg 2 x + b arctan x + c = 0.

Étape 3. Résoudre l'équation en utilisant des méthodes connues.

Exemple.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Solution.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0 ;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0 ;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Soit tg x = t, alors

t 2 + 3t - 4 = 0 ;

t = 1 ou t = -4, donc

tg x = 1 ou tg x = -4.

De la première équation x = / 4 + πn, n Z; à partir de la deuxième équation x = -arctg 4 + k, k Z.

Réponse : x = / 4 + n, n Z ; x = -arctg 4 + k, k Z.

V. Méthode de transformation d'une équation à l'aide de formules trigonométriques

Schéma de solution

Étape 1. En utilisant toutes sortes de formules trigonométriques, amenez cette équation à l'équation résolue par les méthodes I, II, III, IV.

Étape 2. Résoudre l'équation résultante par des méthodes connues.

Exemple.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Solution.

1) (péché x + péché 3x) + péché 2x = 0 ;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0 ;

sin 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0 ;

De la première équation 2x = / 2 + πn, n Z; à partir de la deuxième équation cos x = -1/2.

On a x = / 4 + πn / 2, n Z ; à partir de la deuxième équation x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

En conséquence, x = / 4 + πn / 2, n Z ; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Z.

Réponse : x = / 4 + n / 2, n Z ; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Z.

La capacité à résoudre des équations trigonométriques est très important, leur développement demande des efforts importants, tant de la part de l'élève que de la part de l'enseignant.

De nombreux problèmes de stéréométrie, de physique, etc. sont liés à la résolution d'équations trigonométriques.Le processus de résolution de tels problèmes, pour ainsi dire, contient de nombreuses connaissances et compétences acquises lors de l'étude des éléments de la trigonométrie.

Les équations trigonométriques occupent une place importante dans le processus d'enseignement des mathématiques et le développement de la personnalité en général.

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Ce que nous étudierons :
1. Que sont les équations trigonométriques ?

3. Deux méthodes principales pour résoudre les équations trigonométriques.
4. Équations trigonométriques homogènes.
5. Exemples.

Que sont les équations trigonométriques ?

Les gars, nous avons déjà étudié l'arc sinus, l'arccosinus, l'arctangente et l'arc cotangente. Voyons maintenant les équations trigonométriques en général.

Équations trigonométriques - équations dans lesquelles la variable est contenue sous le signe de la fonction trigonométrique.

Répétons la forme de résolution des équations trigonométriques les plus simples :

1) Si | a | 1, alors l'équation cos (x) = a a une solution :

X = ± arccos (a) + 2πk

2) Si | a | 1, alors l'équation sin (x) = a a une solution :

3) Si |a | > 1, alors l'équation sin (x) = a et cos (x) = a n'ont pas de solutions 4) L'équation tan (x) = a a une solution : x = arctan (a) + πk

5) L'équation ctg (x) = a a une solution : x = arcctg (a) + πk

Pour toutes les formules, k est un entier

Les équations trigonométriques les plus simples ont la forme : T (kx + m) = a, T- toute fonction trigonométrique.

Résoudre les équations : a) sin (3x) = √3 / 2

Solution:

A) On note 3x = t, puis on réécrit notre équation sous la forme :

La solution de cette équation sera : t = ((- 1) ^ n) arcsin (√3 / 2) + πn.

À partir du tableau des valeurs, nous obtenons : t = ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn.

Revenons à notre variable : 3x = ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,

Alors x = ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3

Réponse : x = ((-1) ^ n) × / 9 + πn / 3, où n est un entier. (-1) ^ n - moins un à la puissance n.

Plus d'exemples d'équations trigonométriques.

Solution:

A) Cette fois, nous allons directement calculer les racines de l'équation immédiatement :

X / 5 = ± arccos (1) + 2πk. Alors x / 5 = πk => x = 5πk

Réponse : x = 5πk, où k est un entier.

B) On l'écrit sous la forme : 3x- π / 3 = arctan (√3) + πk. On sait que : arctan (√3) = π / 3

3x- π / 3 = π / 3 + πk => 3x = 2π / 3 + πk => x = 2π / 9 + πk / 3

Réponse : x = 2π / 9 + πk / 3, où k est un entier.

Résoudre les équations : cos (4x) = √2 / 2. Et trouvez toutes les racines dans le segment.

Solution:

Nous allons résoudre dans vue générale notre équation : 4x = ± arccos (√2 ​​​​/ 2) + 2πk

4x = ± / 4 + 2πk ;

X = ± /16 + πk/2 ;

Voyons maintenant quelles racines tomberont sur notre segment. À k À k = 0, x = / 16, nous sommes entrés dans le segment donné.
Avec k = 1, x = π / 16 + π / 2 = 9π / 16, ils frappent à nouveau.
Pour k = 2, x = / 16 + π = 17π / 16, mais ici nous n'avons pas touché, ce qui veut dire que pour les grands k nous ne toucherons certainement pas.

Réponse : x = /16, x = 9π/16

Il existe deux méthodes principales de résolution.

Résolvons l'équation :

Solution:
Pour résoudre notre équation, nous utiliserons la méthode d'introduction d'une nouvelle variable, notons : t = tg (x).

À la suite du remplacement, nous obtenons : t 2 + 2t -1 = 0

Trouvez les racines de l'équation quadratique : t = -1 et t = 1/3

Alors tg (x) = - 1 et tg (x) = 1/3, on a l'équation trigonométrique la plus simple, on trouve ses racines.

X = arctan (-1) + k = -π / 4 + πk ; x = arctan (1/3) + k.

Réponse : x = -π / 4 + πk ; x = arctan (1/3) + k.

Exemple de résolution d'une équation

Résoudre les équations : 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Solution:

Utilisons l'identité : sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1

Notre équation prendra la forme : 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Introduire le remplacement t = cos (x) : 2t 2 -3t - 2 = 0

La solution de notre équation quadratique est la racine : t = 2 et t = -1 / 2

Alors cos (x) = 2 et cos (x) = - 1/2.

Parce que cosinus ne peut pas prendre de valeurs supérieures à un, alors cos (x) = 2 n'a pas de racines.

Pour cos (x) = - 1/2 : x = ± arccos (-1/2) + 2πk ; x = ± 2π / 3 + 2πk

Réponse : x = ± 2π / 3 + 2πk

Équations trigonométriques homogènes.

Équations de la forme

équations trigonométriques homogènes du second degré.

Pour résoudre l'équation trigonométrique homogène du premier degré, on la divise par cos (x) : Il est impossible de diviser par cosinus s'il est égal à zéro, assurons-nous qu'il ne l'est pas :
Soit cos (x) = 0, alors asin (x) + 0 = 0 => sin (x) = 0, mais le sinus et le cosinus ne sont pas égaux à zéro en même temps, nous avons une contradiction, donc nous pouvons en toute sécurité diviser par zéro.

Résous l'équation:
Exemple : cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Solution:

Extraire le facteur commun : cos (x) (c0s (x) + sin (x)) = 0

Il faut alors résoudre deux équations :

Cos (x) = 0 et cos (x) + sin (x) = 0

Cos (x) = 0 pour x = / 2 + πk ;

Considérons l'équation cos (x) + sin (x) = 0 Divisez notre équation par cos (x) :

1 + tg (x) = 0 => tg (x) = - 1 => x = arctan (-1) + πk = -π / 4 + πk

Réponse : x = π / 2 + πk et x = -π / 4 + πk

Comment résoudre des équations trigonométriques homogènes du second degré ?
Les gars, respectez toujours ces règles !

1. Voyez à quoi est égal le coefficient a, si a = 0 alors notre équation prendra la forme cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), un exemple de résolution qui sur la diapositive précédente

2. Si a 0, alors vous devez diviser les deux membres de l'équation par le cosinus au carré, nous obtenons :

On change la variable t = tg (x) et on obtient l'équation :

Résoudre l'exemple n° : 3

Divisez les deux côtés de l'équation par le carré du cosinus :

Changer la variable t = tg (x) : t 2 + 2 t - 3 = 0

Trouvez les racines de l'équation quadratique : t = -3 et t = 1

Alors : tg (x) = - 3 => x = arctan (-3) + πk = -arctg (3) + πk

Tg (x) = 1 => x = / 4 + πk

Réponse : x = -arctg (3) + πk et x = π / 4 + πk

Résoudre l'exemple n° : 4

Solution:
Transformons notre expression :

On est capable de résoudre de telles équations : x = - π / 4 + 2πk et x = 5π / 4 + 2πk

Réponse : x = - π / 4 + 2πk et x = 5π / 4 + 2πk

Résoudre l'exemple n° : 5

Solution:
Transformons notre expression :

On introduit le remplacement tg (2x) = t : 2 2 - 5t + 2 = 0

La solution de notre équation quadratique sera les racines : t = -2 et t = 1/2

On obtient alors : tg (2x) = - 2 et tg (2x) = 1/2
2x = -arctg (2) + k => x = -arctg (2) / 2 + πk / 2

2x = arctan (1/2) + k => x = arctan (1/2) / 2 + πk / 2

Réponse : x = -arctg (2) / 2 + πk / 2 et x = arctan (1/2) / 2 + πk / 2

Tâches pour une solution indépendante.

A) sin (7x) = 1/2 b) cos (3x) = √3 / 2 c) cos (-x) = -1 d) tan (4x) = √3 e) ctg (0,5x) = -1,7

2) Résoudre les équations : sin (3x) = √3 / 2. Et trouver toutes les racines sur le segment [π / 2; ].

3) Résoudre l'équation : ctg 2 (x) + 2ctg (x) + 1 = 0

4) Résoudre l'équation : 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos (x) = 0

5) Résoudre l'équation : 3sin 2 (3x) + 10 sin (3x) cos (3x) + 3 cos 2 (3x) = 0

6) Résoudre l'équation : cos 2 (2x) -1 - cos (x) = √3 / 2 -sin 2 (2x)

Résoudre les équations trigonométriques les plus simples.

La résolution d'équations trigonométriques de tout niveau de complexité revient finalement à résoudre les équations trigonométriques les plus simples. Et dans ce meilleur assistant encore une fois, il s'agit d'un cercle trigonométrique.

Rappelons les définitions du cosinus et du sinus.

Le cosinus d'un angle est l'abscisse (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.

Le sinus d'un angle est l'ordonnée (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.

La direction positive du mouvement dans le cercle trigonométrique est un mouvement dans le sens antihoraire. Une rotation de 0 degrés (ou 0 radians) correspond à un point de coordonnées (1; 0)

Nous utiliserons ces définitions pour résoudre les équations trigonométriques les plus simples.

1. Résolvons l'équation

Cette équation est satisfaite par toutes ces valeurs de l'angle de rotation, qui correspondent aux points du cercle dont l'ordonnée est égale à.

Marquons sur l'axe des ordonnées un point avec une ordonnée :

Traçons une ligne horizontale parallèle à l'axe des abscisses jusqu'à ce qu'elle coupe le cercle. Nous obtenons deux points situés sur un cercle et ayant une ordonnée. Ces points correspondent aux angles de rotation de et radians :

Si nous, partant du point correspondant à l'angle de rotation en radians, faisons le tour d'un cercle complet, alors nous arriverons au point correspondant à l'angle de rotation en radians et ayant la même ordonnée. C'est-à-dire que cet angle de rotation satisfait également notre équation. On peut faire autant de tours "au ralenti" qu'on veut, en revenant au même point, et toutes ces valeurs d'angles satisferont notre équation. Le nombre de tours "au ralenti" sera désigné par la lettre (ou). Puisque nous pouvons faire ces révolutions à la fois dans le sens positif et dans le sens négatif, (ou) peut prendre n'importe quelle valeur entière.

C'est-à-dire que la première série de solutions de l'équation originale a la forme :

,, est l'ensemble des entiers (1)

De même, la deuxième série de solutions est :

, où , . (2)

Comme vous l'avez peut-être deviné, cette série de solutions est basée sur le point du cercle correspondant à l'angle de rotation par.

Ces deux séries de solutions peuvent être combinées en une seule entrée :

Si nous prenons cet enregistrement (c'est-à-dire pair), alors nous obtenons la première série de solutions.

Si nous prenons cet enregistrement (c'est-à-dire impair), alors nous obtenons la deuxième série de solutions.

2. Résolvons maintenant l'équation

Puisque est l'abscisse du point du cercle unité obtenu en tournant d'un angle, marquer le point avec l'abscisse sur l'axe :

Tracez une ligne verticale parallèle à l'axe jusqu'à ce qu'elle coupe le cercle. On obtient deux points se trouvant sur un cercle et ayant une abscisse. Ces points correspondent aux angles de rotation de et en radians. Rappelez-vous qu'en se déplaçant dans le sens des aiguilles d'une montre, nous obtenons angle négatif tournant:

Écrivons deux séries de solutions :

,

,

(Nous arrivons au point souhaité, en passant du cercle complet principal, c'est-à-dire.

Combinons ces deux séries en une seule entrée :

3. Résoudre l'équation

La tangente passe par le point de coordonnées (1,0) du cercle unité parallèle à l'axe OY

On y marque un point d'ordonnée égale à 1 (on cherche la tangente dont les angles sont 1) :

Relions ce point à l'origine des coordonnées avec une droite et marquons les points d'intersection de la droite avec le cercle unité. Les points d'intersection de la droite et du cercle correspondent aux angles de rotation sur et :

Puisque les points correspondant aux angles de rotation qui satisfont notre équation se trouvent à une distance de radians les uns des autres, nous pouvons écrire la solution de cette manière :

4. Résoudre l'équation

La ligne cotangente passe par le point dont les coordonnées du cercle unité sont parallèles à l'axe.

Marquons sur la droite des cotangentes un point d'abscisse -1 :

Relions ce point à l'origine des coordonnées d'une droite et continuons-le jusqu'à l'intersection avec le cercle. Cette droite coupera le cercle aux points correspondant aux angles de rotation de et radians :

Puisque ces points sont séparés les uns des autres par une distance égale à, alors décision commune on peut écrire cette équation de la manière suivante :

Dans les exemples donnés, illustrant la solution des équations trigonométriques les plus simples, des valeurs tabulaires de fonctions trigonométriques ont été utilisées.

Cependant, s'il n'y a pas de valeur tabulaire du côté droit de l'équation, alors nous substituons la valeur dans la solution générale de l'équation :

SOLUTIONS SPÉCIALES :

Notez sur le cercle les points dont l'ordonnée est égale à 0 :

Marquons sur le cercle un seul point dont l'ordonnée est égale à 1 :

Marquons sur le cercle le seul point dont l'ordonnée est égale à -1 :

Comme il est d'usage d'indiquer les valeurs les plus proches de zéro, nous écrivons la solution comme suit :

Notez sur le cercle les points dont l'abscisse est égale à 0 :

5.
Marquons sur le cercle le seul point dont l'abscisse est égale à 1 :

Marquons sur le cercle le seul point dont l'abscisse est égale à -1 :

Et des exemples un peu plus complexes :

1.

Le sinus est un si l'argument est

L'argument de notre sinus est égal, donc on obtient :

Divisez les deux côtés de l'égalité par 3 :

Réponse:

2.

Le cosinus est nul si l'argument du cosinus est

L'argument de notre cosinus est égal, donc on obtient :

Exprimons, pour cela on se déplace d'abord vers la droite avec le signe opposé :

Simplifions le côté droit :

Divisez les deux parties par -2 :

Notez que le signe ne change pas devant le terme, puisque k peut prendre n'importe quelle valeur entière.

Réponse:

Et enfin, regardez le didacticiel vidéo "Sélectionner des racines dans une équation trigonométrique à l'aide d'un cercle trigonométrique"

Ceci conclut la conversation sur la résolution des équations trigonométriques les plus simples. La prochaine fois, nous parlerons de la façon de résoudre.