Ce este un derivat?

Tabel de derivate.

Derivata este unul dintre conceptele principale ale matematicii superioare. În această lecție, vom introduce acest concept. Să ne cunoaștem, fără formulări și dovezi matematice stricte.

Această introducere vă va permite să:

Înțelegeți esența sarcinilor simple cu o derivată;

Rezolvați cu succes aceste sarcini foarte simple;

Pregătiți-vă pentru lecții derivate mai serioase.

În primul rând, o surpriză plăcută.

Definiția strictă a derivatei se bazează pe teoria limitelor, iar treaba este destul de complicată. Este supărător. Dar aplicarea practică a derivatului, de regulă, nu necesită cunoștințe atât de extinse și profunde!

Pentru a finaliza cu succes majoritatea sarcinilor de la școală și universitate, este suficient să știi doar câțiva termeni- să înțeleagă sarcina și doar câteva reguli- pentru a o rezolva. Si asta e. Asta ma face fericit.

Să ne cunoaștem?)

Termeni și denumiri.

Există multe operații matematice în matematica elementară. Adunare, scădere, înmulțire, exponențiere, logaritm etc. Dacă la aceste operații se adaugă încă o operație, matematica elementară devine mai mare. Această nouă operațiune se numește diferenţiere. Definiția și semnificația acestei operațiuni vor fi discutate în lecții separate.

Aici este important să înțelegem că diferențierea este doar o operație matematică asupra unei funcții. Luăm orice funcție și, după anumite reguli, o transformăm. Rezultatul este o nouă funcție. Această nouă funcție se numește: derivat.

Diferenţiere- acţiune asupra unei funcţii.

Derivat este rezultatul acestei acțiuni.

La fel ca, de exemplu, sumă este rezultatul adunării. Sau privat este rezultatul diviziunii.

Cunoscând termenii, puteți înțelege cel puțin sarcinile.) Formularea este următoarea: găsiți derivata unei funcții; ia derivata; diferențierea funcției; calcula derivata etc. E tot la fel. Desigur, există sarcini mai complexe, în care găsirea derivatei (diferențierea) va fi doar unul dintre pașii în rezolvarea sarcinii.

Derivata este notată printr-o liniuță în dreapta sus, deasupra funcției. Ca aceasta: y" sau f"(x) sau Sf) etc.

citit y stroke, ef stroke din x, es stroke din te, bine ai inteles...)

Un prim poate desemna, de asemenea, derivata unei anumite funcții, de exemplu: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" etc. Adesea, derivata este notată prin diferențiale, dar nu vom lua în considerare o astfel de notație în această lecție.

Să presupunem că am învățat să înțelegem sarcinile. Nu a mai rămas nimic - să înveți cum să le rezolvi.) Permiteți-mi să vă reamintesc din nou: găsirea derivatei este transformarea unei funcţii după anumite reguli. Aceste reguli sunt surprinzător de puține.

Pentru a găsi derivata unei funcții, trebuie să știi doar trei lucruri. Trei piloni pe care se sprijină toată diferențierea. Iată cele trei balene:

1. Tabel de derivate (formule de diferențiere).

3. Derivata unei functii complexe.

Să începem în ordine. În această lecție, vom lua în considerare tabelul derivatelor.

Tabel de derivate.

Lumea are un număr infinit de funcții. Printre acest set există funcții care sunt cele mai importante pentru aplicație practică. Aceste funcții se află în toate legile naturii. Din aceste funcții, cum ar fi cărămizile, puteți construi toate celelalte. Această clasă de funcții este numită functii elementare. Aceste funcții sunt studiate la școală - liniară, pătratică, hiperbolă etc.

Diferențierea funcțiilor „de la zero”, adică. pe baza definiției derivatei și a teoriei limitelor - un lucru destul de consumator de timp. Și matematicienii sunt oameni, da, da!) Așa că și-au simplificat viața (și pe noi). Au calculat derivatele functii elementare pentru noi. Rezultatul este un tabel de derivate, unde totul este gata.)

Iată, această farfurie pentru cele mai populare funcții. Stânga - funcție elementară, dreapta - derivata ei.

	Funcţie y	Derivată a funcției y y"
1	C (constant)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n este orice număr)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	A X
	e X
5	Buturuga A X
	ln x ( a = e)

Vă recomand să acordați atenție celui de-al treilea grup de funcții din acest tabel de derivate. Derivata unei funcții de putere este una dintre cele mai comune formule, dacă nu cea mai comună! Indicația este clară?) Da, este de dorit să cunoașteți pe de rost tabelul derivatelor. Apropo, acest lucru nu este atât de dificil pe cât ar părea. Încercați să rezolvați mai multe exemple, tabelul în sine va fi amintit!)

Găsirea valorii tabelare a derivatei, după cum înțelegeți, nu este cea mai dificilă sarcină. Prin urmare, foarte des în astfel de sarcini există cipuri suplimentare. Fie în formularea sarcinii, fie în funcția originală, care nu pare să fie în tabel...

Să ne uităm la câteva exemple:

1. Aflați derivata funcției y = x 3

Nu există o astfel de funcție în tabel. Dar există o derivată a funcției putere în vedere generala(grupa a treia). În cazul nostru, n=3. Deci înlocuim triplul în loc de n și notăm cu atenție rezultatul:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Cam despre asta e.

Răspuns: y" = 3x 2

2. Aflați valoarea derivatei funcției y = sinx în punctul x = 0.

Această sarcină înseamnă că trebuie mai întâi să găsiți derivata sinusului și apoi să înlocuiți valoarea x = 0 la acest derivat. E in ordinea asta!În caz contrar, se întâmplă să înlocuiască imediat zero în funcția originală... Ni se cere să găsim nu valoarea funcției originale, ci valoarea derivatul său. Derivatul, permiteți-mi să vă reamintesc, este deja o funcție nouă.

Pe placă găsim sinusul și derivata corespunzătoare:

y" = (sinx)" = cosx

Înlocuiți zero în derivată:

y"(0) = cos 0 = 1

Acesta va fi răspunsul.

3. Diferențiați funcția:

Ce inspiră?) Nu există nici măcar aproape o asemenea funcție în tabelul derivatelor.

Permiteți-mi să vă reamintesc că a diferenția o funcție înseamnă pur și simplu a găsi derivata acestei funcții. Dacă uitați de trigonometria elementară, găsirea derivatei funcției noastre este destul de supărătoare. Masa nu ajuta...

Dar dacă vedem că funcția noastră este cosinus al unui unghi dublu, atunci totul devine imediat mai bine!

Da Da! Amintiți-vă că transformarea funcției originale înainte de diferenţiere destul de acceptabil! Și se întâmplă să facă viața mult mai ușoară. Conform formulei pentru cosinusul unui unghi dublu:

Acestea. funcția noastră complicată nu este altceva decât y = cox. Și aceasta este o funcție de tabel. Primim imediat:

Răspuns: y" = - sin x.

Exemplu pentru absolvenți avansați și studenți:

4. Găsiți derivata unei funcții:

Nu există o astfel de funcție în tabelul derivatelor, desigur. Dar dacă vă amintiți matematica elementară, acțiunile cu puteri... Atunci este foarte posibil să simplificați această funcție. Ca aceasta:

Și x la puterea unei zecimi este deja o funcție tabelară! Al treilea grup, n=1/10. Direct după formula și scrieți:

Asta e tot. Acesta va fi răspunsul.

Sper că odată cu prima balenă a diferențierii - tabelul derivatelor - totul este clar. Rămâne să ne ocupăm de cele două balene rămase. În lecția următoare, vom învăța regulile de diferențiere.

• Tabel de derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice

Derivate ale funcțiilor simple

Explicaţie:
Derivata arată rata la care valoarea funcției se schimbă atunci când argumentul se schimbă. Deoarece numărul nu se modifică în niciun fel în nicio condiție, rata modificării sale este întotdeauna zero.

2. Derivată a unei variabile egal cu unu
x' = 1

Explicaţie:
Cu fiecare creștere a argumentului (x) cu unu, valoarea funcției (rezultatul calculului) crește cu aceeași valoare. Astfel, rata de modificare a valorii funcției y = x este exact egală cu rata de modificare a valorii argumentului.

3. Derivata unei variabile si a unui factor este egala cu acest factor
сx´ = с
Exemplu:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explicaţie:
În acest caz, de fiecare dată argumentul funcției ( X) valoarea lui (y) crește în Cu o singura data. Astfel, rata de modificare a valorii funcției în raport cu rata de modificare a argumentului este exact egală cu valoarea Cu.

De unde rezultă că
(cx + b)" = c
adică diferența funcției liniare y=kx+b este egală cu panta dreptei (k).

5. Derivată de putere a unei variabile este egal cu produsul dintre numărul acestei puteri și variabila din putere, redus cu unu
(x c)"= cx c-1, cu condiția ca x c și cx c-1 să fie definite și c ≠ 0
Exemplu:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Pentru a memora formula:
Luați exponentul variabilei „în jos” ca multiplicator și apoi micșorați exponentul însuși cu unul. De exemplu, pentru x 2 - doi a fost înainte de x, iar apoi puterea redusă (2-1 = 1) ne-a dat doar 2x. Același lucru s-a întâmplat și pentru x 3 - coborâm triplul, îl reducem cu unul, iar în loc de cub avem un pătrat, adică 3x 2 . Puțin „neștiințific”, dar foarte ușor de reținut.

6.Derivată de fracție 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Exemplu:
Deoarece o fracție poate fi reprezentată ca ridicând la o putere negativă
(1/x)" = (x -1)" , atunci puteți aplica formula din regula 5 din tabelul derivatelor
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivată de fracție cu o variabilă de grad arbitrarîn numitor
(1/x c)" = - c/x c+1
Exemplu:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. derivat de rădăcină(derivată a variabilei sub rădăcină pătrată)
(√x)" = 1 / (2√x) sau 1/2 x -1/2
Exemplu:
(√x)" = (x 1/2)" astfel încât să puteți aplica formula de la regula 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivată a unei variabile sub o rădăcină a unui grad arbitrar
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Cum să găsesc derivatul?

Reguli de diferențiere.

Pentru a găsi derivata oricărei funcții, trebuie să stăpânești doar trei concepte:

2. Reguli de diferențiere.

3. Derivata unei functii complexe.

Este în ordinea aceea. Este un indiciu.)

Desigur, ar fi frumos să aveți o idee despre derivat în general). Despre ce este un derivat și cum se lucrează cu un tabel de derivate - este accesibil în lecția anterioară. Aici ne vom ocupa de regulile de diferențiere.

Diferențierea este operația de găsire a unei derivate. Nu mai este nimic în spatele acestui termen. Acestea. expresii „găsește derivata unei funcții”și "funcție de diferențiere"- Asta e lafel.

Expresie „reguli de diferențiere” se referă la găsirea derivatei din operatii aritmetice. Această înțelegere ajută foarte mult la evitarea terciului în cap.

Să ne concentrăm și să ne amintim toate operațiile aritmetice. Sunt patru). Adunare (suma), scădere (diferență), înmulțire (produs) și împărțire (cot). Iată-le, regulile de diferențiere:

Placa arată cinci reguli asupra patru operatii aritmetice. Nu am calculat greșit.) Doar că regula 4 este un corolar elementar al regulii 3. Dar este atât de populară încât are sens să o notezi (și să reții!) ca o formulă independentă.

Sub notație Uși V unele (absolut orice!) funcții sunt implicate U(x)și V(x).

Să ne uităm la câteva exemple. În primul rând, cele mai simple.

Aflați derivata funcției y=sinx - x 2

Aici avem diferență două funcţii elementare. Aplicam regula 2. Vom presupune ca sinx este o functie U, iar x 2 este o funcție v. Avem tot dreptul să scriem:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Deja mai bine, nu?) Rămâne să găsim derivatele sinusului și pătratul lui x. Există un tabel derivat pentru aceasta. Căutăm doar în tabel funcțiile de care avem nevoie ( sinxși x2), uită-te la derivatele lor și notează răspunsul:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Cam despre asta e. Regula 1 de diferențiere a sumei funcționează exact în același mod.

Dacă avem mai mulți termeni? E în regulă.) Împărțim funcția în termeni și căutăm derivata fiecărui termen, indiferent de ceilalți. De exemplu:

Aflați derivata funcției y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Simțiți-vă liber să scrieți:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

La sfârșitul lecției, voi oferi sfaturi pentru a face viața mai ușoară atunci când diferențiez.)

Sfaturi practice:

1. Înainte de diferențiere, ne uităm să vedem dacă este posibil să simplificăm funcția inițială.

2. În exemple confuze, pictăm soluția în detaliu, cu toate parantezele și liniile.

3. La diferențierea fracțiilor cu un număr constant la numitor, transformăm împărțirea în înmulțire și folosim regula 4.

Primul nivel

Derivată de funcție. Ghid cuprinzător (2019)

Imaginează-ți un drum drept care trece printr-o zonă deluroasă. Adică merge în sus și în jos, dar nu se întoarce la dreapta sau la stânga. Dacă axa este îndreptată orizontal de-a lungul drumului și vertical, atunci linia drumului va fi foarte similară cu graficul unei funcții continue:

Axa este un anumit nivel de înălțime zero, în viață folosim nivelul mării.

Înaintând pe un astfel de drum, ne mișcăm și în sus sau în jos. Mai putem spune: atunci când argumentul se schimbă (deplasarea de-a lungul axei absciselor), valoarea funcției se modifică (deplasarea de-a lungul axei ordonatelor). Acum să ne gândim cum să determinăm „abruptul” drumului nostru? Care ar putea fi această valoare? Foarte simplu: cât de mult se va schimba înălțimea la deplasarea înainte pe o anumită distanță. La urma urmei, pe zone diferite drum, înaintând (de-a lungul abscisei) cu un kilometru, vom urca sau vom coborî un număr diferit de metri față de nivelul mării (de-a lungul ordonatei).

Indică progresul înainte (a se citi „delta x”).

Litera greacă (delta) este folosită în mod obișnuit în matematică ca prefix care înseamnă „schimbare”. Adică - aceasta este o schimbare de amploare, - o schimbare; atunci ce este? Așa e, o schimbare de dimensiune.

Important: expresia este o singură entitate, o variabilă. Nu ar trebui să rupeți niciodată „delta” din „x” sau din orice altă literă! Adică, de exemplu, .

Deci, am mers înainte, pe orizontală, mai departe. Dacă comparăm linia drumului cu graficul unei funcții, atunci cum notăm creșterea? Cu siguranță, . Adică, atunci când mergem înainte, ne ridicăm mai sus.

Este ușor de calculat valoarea: dacă la început eram la înălțime, iar după mișcare eram la înălțime, atunci. Dacă punctul final s-a dovedit a fi mai mic decât punctul de început, va fi negativ - asta înseamnă că nu urcăm, ci coborăm.

Înapoi la „abrupte”: aceasta este o valoare care indică cât de mult (abrupt) crește înălțimea atunci când se avansează pe unitate de distanță:

Să presupunem că pe o anumită porțiune de potecă, la înaintarea cu km, drumul urcă cu km. Atunci abruptul în acest loc este egal. Și dacă drumul, la înaintarea cu m, s-a scufundat cu km? Atunci panta este egală.

Acum luați în considerare vârful unui deal. Dacă luați începutul secțiunii la jumătate de kilometru până în vârf, iar sfârșitul - o jumătate de kilometru după ea, puteți vedea că înălțimea este aproape aceeași.

Adică, conform logicii noastre, se dovedește că panta aici este aproape egală cu zero, ceea ce în mod clar nu este adevărat. Multe se pot schimba la doar câteva mile distanță. Zonele mai mici trebuie luate în considerare pentru o evaluare mai adecvată și mai precisă a abruptului. De exemplu, dacă măsurați modificarea înălțimii când vă deplasați cu un metru, rezultatul va fi mult mai precis. Dar chiar și această precizie poate să nu fie suficientă pentru noi - la urma urmei, dacă există un stâlp în mijlocul drumului, ne putem strecura pur și simplu prin el. Ce distanță ar trebui să alegem atunci? Centimetru? Milimetru? Mai puțin este mai bine!

V viata reala măsurarea distanței la cel mai apropiat milimetru este mai mult decât suficientă. Dar matematicienii luptă întotdeauna spre perfecțiune. Prin urmare, conceptul a fost infinitezimal, adică valoarea modulo este mai mică decât orice număr pe care îl putem numi. De exemplu, spui: o trilionime! Cu cât mai puțin? Și împărțiți acest număr la - și va fi și mai puțin. etc. Dacă vrem să scriem că valoarea este infinit de mică, scriem astfel: (citim „x tinde spre zero”). Este foarte important de înțeles că acest număr nu este egal cu zero! Dar foarte aproape de ea. Aceasta înseamnă că poate fi împărțit în.

Conceptul opus infinitului mic este infinit de mare (). Probabil l-ați întâlnit deja când lucrați la inegalități: acest număr este mai mare ca modul decât orice număr la care vă puteți gândi. Dacă găsiți cel mai mare număr posibil, înmulțiți-l cu doi și obțineți și mai mult. Iar infinitul este chiar mai mult decât ceea ce se întâmplă. De fapt, infinit de mare și infinit de mici sunt inverse unul față de celălalt, adică la și invers: la.

Acum înapoi la drumul nostru. Panta calculată în mod ideal este panta calculată pentru un segment infinit de mic al traseului, adică:

Observ că, cu o deplasare infinit de mică, modificarea înălțimii va fi, de asemenea, infinit de mică. Dar permiteți-mi să vă reamintesc că infinit mic nu înseamnă egal cu zero. Dacă împărțiți numere infinitezimale între ele, puteți obține un număr complet obișnuit, de exemplu. Adică, o valoare mică poate fi exact de două ori mai mare decât alta.

De ce toate astea? Drumul, abruptul... Nu mergem într-un miting, dar învățăm matematică. Și în matematică totul este exact la fel, doar numit diferit.

Conceptul de derivat

Derivata unei funcții este raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la o creștere infinitezimală a argumentului.

Creştereîn matematică se numește schimbare. Cât de mult s-a schimbat argumentul () la deplasarea de-a lungul axei se numește increment de argumentși notat cu Cât de mult s-a schimbat funcția (înălțimea) la deplasarea înainte de-a lungul axei cu o distanță se numește creșterea funcției si este marcat.

Deci, derivata unei funcții este relația cu când. Derivata o notăm cu aceeași literă ca și funcția, doar cu o contur din dreapta sus: sau pur și simplu. Deci, să scriem formula derivată folosind aceste notații:

Ca și în analogia cu drumul, aici, când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă.

Dar derivata este egală cu zero? Cu siguranță. De exemplu, dacă conducem pe un drum orizontal plat, abruptul este zero. Într-adevăr, înălțimea nu se schimbă deloc. Deci, cu derivata: derivata unei funcții constante (constante) este egală cu zero:

deoarece incrementul unei astfel de funcții este zero pentru oricare.

Să luăm exemplul din vârful dealului. S-a dovedit că este posibil să se aranjeze capetele segmentului pe laturile opuse ale vârfului astfel încât înălțimea la capete să fie aceeași, adică segmentul este paralel cu axa:

Dar segmentele mari sunt un semn de măsurare inexactă. Ne vom ridica segmentul paralel cu el însuși, apoi lungimea acestuia va scădea.

În final, când suntem infinit aproape de vârf, lungimea segmentului va deveni infinit de mică. Dar, în același timp, a rămas paralel cu axa, adică diferența de înălțime la capete este egală cu zero (nu tinde, dar este egală cu). Deci derivata

Acest lucru poate fi înțeles după cum urmează: când stăm în vârf, o mică deplasare la stânga sau la dreapta ne schimbă neglijabil înălțimea.

Există și o explicație pur algebrică: în stânga vârfului, funcția crește, iar în dreapta, scade. După cum am aflat deja mai devreme, atunci când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă. Dar se schimbă lin, fără sărituri (pentru că drumul nu își schimbă brusc panta nicăieri). Prin urmare, între negativ și valori pozitive trebuie sa fie. Va fi acolo unde funcția nici nu crește, nici nu scade - în punctul de vârf.

Același lucru este valabil și pentru vale (zona în care funcția scade în stânga și crește în dreapta):

Mai multe despre creșteri.

Deci schimbăm argumentul într-o valoare. Ne schimbăm de la ce valoare? Ce a devenit el (argumentul) acum? Putem alege orice punct, iar acum vom dansa din el.

Luați în considerare un punct cu o coordonată. Valoarea funcției din ea este egală. Apoi facem aceeași creștere: creștem coordonatele cu. Care este argumentul acum? Foarte usor: . Care este valoarea funcției acum? Unde merge argumentul, funcția merge acolo: . Cum rămâne cu creșterea funcției? Nimic nou: aceasta este încă suma cu care s-a schimbat funcția:

Exersați găsirea incrementelor:

1. Găsiți incrementul funcției într-un punct cu un increment al argumentului egal cu.
2. Același lucru pentru o funcție într-un punct.

Solutii:

În puncte diferite, cu același increment al argumentului, incrementul funcției va fi diferit. Aceasta înseamnă că derivata din fiecare punct are propria lui (am discutat despre asta chiar de la început - abruptul drumului în diferite puncte este diferit). Prin urmare, atunci când scriem o derivată, trebuie să indicăm în ce moment:

Funcția de putere.

O funcție de putere se numește o funcție în care argumentul este într-o oarecare măsură (logic, nu?).

Și - în orice măsură: .

Cel mai simplu caz este când exponentul este:

Să-i găsim derivata la un punct. Amintiți-vă definiția unei derivate:

Deci argumentul se schimbă de la la. Care este incrementul funcției?

Creșterea este. Dar funcția în orice punct este egală cu argumentul său. Asa de:

Derivata este:

Derivata lui este:

b) Acum considerăm funcția pătratică (): .

Acum să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că valoarea creșterii poate fi neglijată, deoarece este infinit de mică și, prin urmare, nesemnificativă pe fundalul unui alt termen:

Deci, avem o altă regulă:

c) Continuăm seria logică: .

Această expresie poate fi simplificată în diferite moduri: deschideți prima paranteză folosind formula pentru înmulțirea prescurtată a cubului sumei sau descompuneți întreaga expresie în factori folosind formula pentru diferența de cuburi. Încercați să o faceți singur în oricare dintre modurile sugerate.

Deci, am primit următoarele:

Și să ne amintim asta din nou. Aceasta înseamnă că putem neglija toți termenii care conțin:

Primim: .

d) Reguli similare pot fi obținute pentru puteri mari:

e) Rezultă că această regulă poate fi generalizată pentru o funcție de putere cu un exponent arbitrar, nici măcar un număr întreg:

Puteți formula regula cu cuvintele: „gradul este prezentat ca coeficient, apoi scade cu”.

Vom demonstra această regulă mai târziu (aproape la sfârșit). Acum să ne uităm la câteva exemple. Aflați derivata funcțiilor:

1. (în două moduri: prin formula și folosind definiția derivatei - prin numărarea incrementului funcției);

1. . Credeți sau nu, aceasta este o funcție de putere. Dacă aveți întrebări precum „Cum este? Și unde este gradul? ”, Ține minte subiectul“ ”!
   Da, da, rădăcina este și ea un grad, doar unul fracționar:.
   Deci al nostru Rădăcină pătrată este doar un grad cu un exponent:
   .
   Căutăm derivata folosind formula recent învățată:

   Dacă în acest moment a devenit din nou neclar, repetați subiectul „” !!! (aproximativ un grad cu un indicator negativ)

2. . Acum exponentul:

   Și acum prin definiție (ai uitat încă?):
   ;
   .
   Acum, ca de obicei, neglijăm termenul care conține:
   .

3. . Combinație de cazuri anterioare: .

funcții trigonometrice.

Aici vom folosi un fapt din matematica superioară:

Când expresia.

Dovada o vei invata in primul an de institut (si pentru a ajunge acolo trebuie sa treci bine examenul). Acum o voi arăta doar grafic:

Vedem că atunci când funcția nu există - punctul de pe grafic este perforat. Dar cu cât este mai aproape de valoare, cu atât funcția este mai aproape de aceasta.

În plus, puteți verifica această regulă cu un calculator. Da, da, nu te sfii, ia un calculator, încă nu suntem la examen.

Deci să încercăm: ;

Nu uitați să comutați calculatorul în modul Radians!

etc. Vedem că cu cât este mai mic, cu atât valoarea raportului este mai aproape de.

a) Luați în considerare o funcție. Ca de obicei, găsim creșterea acestuia:

Să transformăm diferența de sinusuri într-un produs. Pentru a face acest lucru, folosim formula (amintiți-vă de subiectul „”):.

Acum derivata:

Să facem o înlocuire: . Apoi, pentru infinit de mic, este și infinit de mic: . Expresia pentru ia forma:

Și acum ne amintim asta cu expresia. Și, de asemenea, ce se întâmplă dacă o valoare infinit de mică poate fi neglijată în sumă (adică la).

Deci obținem următoarea regulă: derivata sinusului este egală cu cosinusul:

Acestea sunt derivate de bază („tabel”). Iată-le într-o singură listă:

Mai târziu le vom adăuga câteva, dar acestea sunt cele mai importante, deoarece sunt folosite cel mai des.

Practică:

1. Aflați derivata unei funcții într-un punct;
2. Aflați derivata funcției.

Solutii:

1. În primul rând, găsim derivata în formă generală și apoi îi înlocuim valoarea:
   ;
   .
2. Aici avem ceva similar cu o funcție de putere. Să încercăm să o aducem la
   vedere normala:
   .
   Ok, acum poți folosi formula:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Ce este????

Bine, ai dreptate, încă nu știm cum să găsim astfel de derivate. Aici avem o combinație de mai multe tipuri de funcții. Pentru a lucra cu ei, trebuie să înveți mai multe reguli:

Exponent și logaritm natural.

Există o astfel de funcție în matematică, a cărei derivată pentru oricare este egală cu valoarea funcției în sine pentru aceeași. Se numește „exponent” și este o funcție exponențială

Baza acestei funcții - o constantă - este o fracție zecimală infinită, adică un număr irațional (cum ar fi). Se numește „numărul Euler”, motiv pentru care este notat cu o literă.

Deci regula este:

Este foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să ne gândim imediat funcție inversă. Care este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este un număr:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu o bază) se numește unul „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur, .

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Exponentul și logaritmul natural sunt funcții care sunt unic simple în ceea ce privește derivata. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Ce reguli? Un alt termen nou, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Numai și totul. Care este un alt cuvânt pentru acest proces? Nu proizvodnovanie... Diferenţialul de matematică se numeşte însăşi incrementul funcţiei la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. Vom avea nevoie și de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatei.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Lasă, sau mai ușor.

Exemple.

Găsiți derivate ale funcțiilor:

1. la punct;
2. la punct;
3. la punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece este o funcție liniară, vă amintiți?);

Derivat al unui produs

Totul este similar aici: introducem o nouă funcție și găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Găsiți derivate ale funcțiilor și;
2. Aflați derivata unei funcții într-un punct.

Solutii:

Derivată a funcției exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponentul (ai uitat încă ce este?).

Deci unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să aducem funcția noastră la o nouă bază:

Pentru aceasta folosim regula simpla: . Atunci:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

S-a întâmplat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata exponentului: așa cum a fost, rămâne, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Găsiți derivate ale funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu există nicio modalitate de a-l nota în mai multe formă simplă. Prin urmare, în răspuns este lăsat în această formă.

Derivată a unei funcții logaritmice

Aici este similar: știți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un arbitrar din logaritm cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să aducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum în loc de vom scrie:

Numitorul s-a dovedit a fi doar o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivatul este foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examen, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce s-a întâmplat " functie complexa"? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arc tangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă logaritmul ți se pare dificil, citește subiectul „Logaritmi” și totul va funcționa), dar în materie de matematică, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă un transportor mic: doi oameni stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Se dovedește un astfel de obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii opuși în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătra numărul rezultat. Așadar, ne dau un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, facem prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce s-a întâmplat ca urmare a primei.

S-ar putea foarte bine să facem aceleași acțiuni în ordine inversă: mai întâi pătrați și apoi caut cosinusul numărului rezultat:. Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Cu alte cuvinte, O funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru primul exemplu, .

Al doilea exemplu: (la fel). .

Ultima acțiune pe care o facem va fi numită funcția „externă”., și acțiunea efectuată prima - respectiv funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, în funcție

1. Ce măsură vom lua mai întâi? Mai întâi calculăm sinusul și abia apoi îl ridicăm la un cub. Deci este o funcție internă, nu una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

schimbăm variabile și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage ciocolata - căutați derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. Pentru exemplul original, arată astfel:

Alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Totul pare a fi simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(doar nu încercați să reduceți până acum! Nu se scoate nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aici există o funcție complexă cu trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și încă extragem rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolată într-un ambalaj și cu o panglică într-o servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: oricum, vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența de acțiuni - ca și înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sinusul. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Derivată de funcție- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului cu o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferențiere:

Constanta este scoasă din semnul derivatei:

Derivată a sumei:

Produs derivat:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă”, găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă”, găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

În această lecție, vom învăța cum să aplicăm formule și reguli de diferențiere.

Exemple. Găsiți derivate ale funcțiilor.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Aplicarea Regulii eu, formule 4, 2 și 1. Primim:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Rezolvăm similar, folosind aceleași formule și formula 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Aplicarea Regulii eu, formule 3, 5 și 6 și 1.

Aplicarea Regulii IV, formule 5 și 1 .

În al cincilea exemplu, conform regulii eu derivata sumei este egală cu suma derivatelor și tocmai am găsit derivata primului termen (exemplu 4 ), prin urmare, vom găsi derivate al 2-leași al 3-lea termeni, și pentru 1 termen, putem scrie imediat rezultatul.

Diferențierea al 2-leași al 3-lea termeni conform formulei 4 . Pentru a face acest lucru, transformăm rădăcinile gradului al treilea și al patrulea în numitori în puteri cu exponenți negativi și apoi, conform 4 formula, găsim derivatele puterilor.

Uita-te la exemplu dat si rezultatul. Ai prins modelul? Bine. Aceasta înseamnă că avem o formulă nouă și o putem adăuga la tabelul nostru de derivate.

Să rezolvăm al șaselea exemplu și să obținem încă o formulă.

Folosim regula IV si formula 4 . Reducem fracțiile rezultate.

Ne uităm la această funcție și derivata ei. Desigur, ați înțeles modelul și sunteți gata să numiți formula:

Învățați formule noi!

Exemple.

1. Găsiți incrementul argumentului și incrementul funcției y= x2, dacă valoarea initiala argumentul a fost egal 4 , și noul 4,01 .

Soluţie.

Noua valoare a argumentului x \u003d x 0 + Δx. Înlocuiți datele: 4.01=4+Δx, de unde și incrementul argumentului Δх=4,01-4=0,01. Creșterea unei funcții, prin definiție, este egală cu diferența dintre valorile noi și anterioare ale funcției, adică Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Din moment ce avem o funcție y=x2, atunci Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Răspuns: increment de argument Δх=0,01; creșterea funcției Δy=0,0801.

A fost posibil să găsiți incrementul funcției într-un alt mod: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.

2. Aflați unghiul de înclinare al tangentei la graficul funcției y=f(x) la punct x 0, dacă f "(x 0) \u003d 1.

Soluţie.

Valoarea derivatei la punctul de contact x 0și este valoarea tangentei pantei tangentei ( sens geometric derivat). Noi avem: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, deoarece tg45°=1.

Răspuns: tangenta la graficul acestei functii formeaza un unghi cu directia pozitiva a axei Ox, egal cu 45°.

3. Deduceți formula derivatei unei funcții y=xn.

Diferenţiere este actul de a găsi derivata unei funcții.

La găsirea derivatelor, se folosesc formule care au fost derivate pe baza definiției derivatei, în același mod în care am derivat formula pentru gradul derivat: (x n)" = nx n-1.

Iată formulele.

Tabel de derivate va fi mai ușor de memorat pronunțând formulări verbale:

1. Derivata unei valori constante este zero.

2. Cursa X este egală cu unu.

3. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei.

4. Derivata unui grad este egală cu produsul exponentului acestui grad cu gradul cu aceeași bază, dar exponentul este cu unul mai puțin.

5. Derivata rădăcinii este egală cu una împărțită la două din aceleași rădăcini.

6. Derivata unității împărțită la x este minus unu împărțit la x pătrat.

7. Derivata sinusului este egală cu cosinusul.

8. Derivata cosinusului este egală cu minus sinus.

9. Derivata tangentei este egală cu unu împărțit la pătratul cosinusului.

10. Derivata cotangentei este minus unu împărțit la pătratul sinusului.

Noi predam reguli de diferențiere.

1. Derivata sumei algebrice este egală cu suma algebrică a termenilor derivați.

2. Derivata produsului este egală cu produsul derivatei primului factor cu al doilea plus produsul primului factor cu derivata celui de-al doilea.

3. Derivata lui „y” împărțită la „ve” este egală cu o fracție, în numărătorul căreia „y este o lovitură înmulțită cu „ve” minus „y, înmulțit cu o lovitură”, iar la numitor - „ve pătrat ”.

4. Un caz special al formulei 3.

Să învățăm împreună!

Pagina 1 din 1 1