Funcție derivată folosind definiția. Ce este un derivat? Semnificație mecanică și geometrică

Când omul a făcut primul pași independențiîn studiul analizei matematice și începe să pună întrebări incomode, nu mai este atât de ușor să scapi de expresia că „calcul diferențial a fost găsit în varză”. Prin urmare, a sosit momentul să câștigăm hotărâre și să dezvăluim secretul nașterii. tabele derivate și reguli de diferențiere... Un început a fost făcut în articol asupra sensului derivatului, pe care vă recomand cu căldură să-l studiați, pentru că acolo tocmai am luat în considerare conceptul de derivat și am început să facem clic pe probleme de pe subiect. Aceeași lecție are o orientare practică pronunțată, în plus,

exemplele considerate mai jos, în principiu, pot fi stăpânite și pur formal (de exemplu, când nu există timp/dorință de a pătrunde în esența derivatului). De asemenea, este foarte de dorit (dar din nou nu este necesar) să puteți găsi derivate prin metoda „obișnuită” - cel puțin la nivelul a două lecții de bază: Cum găsesc derivatul? și Derivată a unei funcții complexe.

Dar ceva de care cu siguranță nu te poți descurca acum este fără limitele funcțiilor... Trebuie să ÎNȚELEGI care este limita și să le poți rezolva, măcar la nivel intermediar. Și totul pentru că derivatul

funcția într-un punct este determinată de formula:

Vă reamintesc notația și termenii: ei cheamă increment de argument;

- increment de functie;

- acestea sunt simboluri SINGURE („delta” nu poate fi „smuls” din „x” sau „joc”).

Evident, este o variabilă „dinamică”, este o constantă și rezultatul calculării limitei - număr (uneori - „plus” sau „minus” infinit).

Ca un punct, puteți lua în considerare ORICE valoare care îi aparține domenii de definire funcția în care există derivata.

Notă: clauza „în care există derivatul” - în general esenţial! Deci, de exemplu, punctul, deși este inclus în domeniul definiției funcției, dar derivata

Nu există acolo. Prin urmare formula

Nu se aplică în acest moment

iar o formulare scurtă fără calificare ar fi incorectă. Fapte similare sunt valabile și pentru alte funcții cu „limitări” ale graficului, în special pentru sinusul invers și cosinusul invers.

Astfel, după înlocuire, obținem a doua formulă de lucru:

Atenție la circumstanțele insidioase care poate deruta ceainicul: în această limită, „x”, fiind însăși variabila independentă, joacă rolul unui figurant, iar „dinamica” se stabilește din nou prin increment. Rezultatul calculării limitei

este funcția derivată.

Pe baza celor de mai sus, vom formula condițiile pentru două probleme tipice:

- Găsi derivată la punct folosind definiția derivatei.

- Găsi funcţie derivată folosind definiția derivatei. Această versiune, conform observațiilor mele, este mult mai comună și va fi punctul central.

Diferența fundamentală dintre sarcini este că în primul caz este necesar să se găsească numărul (opțional, infinit), iar în al doilea -

funcţie. În plus, derivatul poate să nu existe deloc.

Cum ?

Întocmește raportul și calculează limita.

De unde a venit tabel de derivate și reguli de diferențiere ? Datorită singurei limite

Pare magie, dar în

realitate - delectare și fără fraudă. La lectie Ce este un derivat? Am început să iau în considerare exemple specifice, în care, folosind definiția, am găsit derivatele unei funcții liniare și pătratice. În scopul unei încălziri educaționale, vom continua să deranjăm tabelul derivatelor perfecționarea algoritmului și a soluțiilor tehnice:

De fapt, se cere să se dovedească un caz special al derivatei unei funcții de putere, care apare de obicei în tabelul:.

Soluția este formalizată tehnic în două moduri. Să începem cu prima abordare, deja familiară: scara începe cu o scândură, iar funcția derivată începe cu derivata la punct.

Luați în considerare un punct (specific) care îi aparține domenii de definire funcția în care există derivata. Să setăm incrementul în acest moment (desigur, nu depășind o / o-s) și compuneți incrementul corespunzător al funcției:

Să calculăm limita:

Incertitudinea 0:0 este eliminată printr-o tehnică standard, considerată încă din secolul I î.Hr. Să ne înmulțim

numărător și numitor pe expresie conjugată :

Tehnica de rezolvare a unei astfel de limite este discutată în detaliu în lecția introductivă. despre limitele funcţiilor.

Deoarece puteți selecta ORICE punct al intervalului ca calitate

Apoi, după ce am efectuat înlocuirea, obținem:

Încă o dată, să ne bucurăm de logaritmi:

Găsiți derivata unei funcții folosind definiția derivatei

Soluție: Luați în considerare o abordare diferită pentru promovarea aceleiași probleme. Este exact la fel, dar mai rațional din punct de vedere al designului. Ideea este să scapi de

indice și folosiți o literă în loc de o literă.

Luați în considerare un punct arbitrar care îi aparține domenii de definire funcția (interval) și setați incrementul în ea. Dar aici, apropo, ca în majoritatea cazurilor, puteți face fără rezerve, deoarece funcția logaritmică este diferențiabilă în orice punct din domeniul definiției.

Apoi, incrementul corespunzător al funcției:

Să găsim derivata:

Ușurința de proiectare este echilibrată de confuzia care poate

apar la începători (și nu numai). La urma urmei, suntem obișnuiți cu faptul că litera „X” se schimbă în limită! Dar aici totul este diferit: - o statuie antică, dar - un vizitator viu, care se plimbă vioi pe coridorul muzeului. Adică, „x” este „un fel de constantă”.

Voi comenta eliminarea incertitudinii pas cu pas:

(1) Folosim proprietatea logaritmului.

(2) Împărțiți numărătorul la numitor în paranteze.

(3) La numitor, înmulțim artificial și împărțim cu „x”, astfel încât

profita de limita minunata , în timp ce ca infinitezimal vorbește.

Răspuns: prin definiția unei derivate:

Sau prescurtat:

Îmi propun să proiectăm independent încă două formule tabelare:

Găsiți derivata prin definiție

În acest caz, este convenabil să aduceți imediat incrementul compilat la un numitor comun. O mostră aproximativă a temei la sfârșitul lecției (prima metodă).

Găsiți derivata prin definiție

Și aici totul trebuie redus la o limită remarcabilă. Decizia se oficializează în a doua modalitate.

O serie de altele derivate tabulare... O listă completă poate fi găsită în manualul școlar sau, de exemplu, volumul I din Fichtengolz. Nu văd prea mult rost în a rescrie dovezi ale regulilor de diferențiere de cărți - sunt, de asemenea, generate

formulă.

Trecerea la sarcinile din viața reală: Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții folosind definiția derivatei

Soluție: utilizați primul stil de design. Luați în considerare un punct care îi aparține și setați incrementul de argument în el. Apoi, incrementul corespunzător al funcției:

Poate că unii cititori nu au înțeles încă pe deplin principiul după care ar trebui făcută o creștere. Luăm un punct (număr) și găsim valoarea funcției din el: , adică în funcție

în loc de „x” ar trebui înlocuit. Acum luăm

Increment de funcție compilat poate fi benefic să simplificăm imediat... Pentru ce? Facilitați și scurtați soluția la limită.

Folosim formule, extindem parantezele și abreviam tot ceea ce poate fi abreviat:

Curcanul este eviscerat, nicio problemă cu friptura:

În cele din urmă:

Deoarece puteți alege orice număr real ca calitate, vom efectua înlocuirea și vom obține .

Răspuns : prin definitie.

În scopul verificării, găsim derivata folosind regulile

diferențiere și tabele:

Este întotdeauna util și plăcut să cunoașteți în prealabil răspunsul corect, așa că este mai bine să diferențiați mental sau pe o schiță funcția propusă într-un mod „rapid” chiar la începutul soluției.

Găsiți derivata unei funcții după definiția derivatei

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Rezultatul se află la suprafață:

Înapoi la stilul # 2: Exemplul 7

Să aflăm imediat ce ar trebui să se întâmple. De regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Soluție: luați în considerare un punct arbitrar care îi aparține, setați argumentul increment în el și compuneți incrementul

Să găsim derivata:

(1) Folosim formula trigonometrică

(2) Deschidem parantezele sub sinus și dăm termeni similari sub cosinus.

(3) Anulăm termenii sub sinus și împărțim numărătorul la numitorul sub termenul cosinus.

(4) Din cauza sinusului impar, am scos „minus”. Sub cosinus

indica faptul că termenul.

(5) Efectuăm înmulțirea artificială la numitor pentru a folosi prima limită minunată... Astfel, incertitudinea este eliminată, pieptănăm rezultatul.

Răspuns: prin definiție După cum puteți vedea, principala dificultate a problemei luate în considerare se bazează pe

complexitatea limitei în sine + o ușoară particularitate a ambalajului. În practică, există ambele metode de proiectare, așa că descriu ambele abordări cât mai detaliat posibil. Sunt egale, dar cu toate acestea, în impresia mea subiectivă, este mai oportun ca ceainicele să respecte opțiunea 1 cu „x zero”.

Folosind definiția, găsiți derivata funcției

Aceasta este o sarcină independentă. Eșantionul este conceput în același spirit ca exemplul anterior.

Să analizăm o versiune mai rară a problemei:

Găsiți derivata unei funcții într-un punct folosind definiția unei derivate.

În primul rând, care ar trebui să fie rezultatul final? Număr Să calculăm răspunsul în modul standard:

Soluție: din punct de vedere al clarității, această sarcină este mult mai ușoară, deoarece în formulă în loc de

se are în vedere sensul specific.

Să setăm incrementul la punctul și să compunem incrementul corespunzător al funcției:

Să calculăm derivata în punctul:

Folosim o formulă foarte rară pentru diferența de tangente si inca o data vom reduce solutia la prima

limita minunata:

Răspuns: prin definiția derivatei la punct.

Problema nu este atât de greu de rezolvat și „în vedere generala„- este suficient să înlocuiți cu sau pur și simplu, în funcție de metoda de proiectare. În acest caz, desigur, nu obțineți un număr, ci o funcție derivată.

Exemplul 10 Folosind definiția, găsiți derivata funcției la punct

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself.

Problema bonus finală este destinată în primul rând studenților cu studii avansate de analiză matematică, dar nici pe ceilalți nu va răni:

Funcția va fi diferențiabilă la punctul?

Soluție: este evident că o funcție definită pe bucăți este continuă într-un punct, dar va fi diferențiabilă acolo?

Algoritmul de rezolvare, și nu numai pentru funcțiile pe bucăți, este următorul:

1) Găsiți derivata din stânga în acest punct:.

2) Găsiți derivata din dreapta în acest punct:.

3) Dacă derivatele unilaterale sunt finite și coincid:

, atunci funcția este diferențiabilă în punctul și

geometric, există o tangentă comună (vezi partea teoretică a lecției Definiția și semnificația unui derivat).

Dacă doi sensuri diferite: (dintre care unul se poate dovedi infinit), atunci funcția nu este diferențiabilă la punct.

Dacă ambele derivate unilaterale sunt egale cu infinitul

(chiar și cu semne diferite), atunci funcția nu

diferențiabil într-un punct, dar există o derivată infinită și o tangentă verticală comună la grafic (vezi Exemplul de lecție 5Ecuația normală) .

Notă: astfel, între întrebările „Va fi diferențiabilă funcția într-un punct?” și „Există o derivată la un punct?” este o diferenta!

Totul este foarte simplu!

1) La găsirea derivatei din stânga, incrementul argumentului este negativ: și o parabolă este situată la stânga punctului, deci incrementul funcției este:

Și limita corespunzătoare din partea stângă este egală numeric cu derivata din stânga în punctul în cauză:

2) În dreapta punctului se află graficul dreptei, iar incrementul argumentului este pozitiv:. Deci, creșterea funcției este:

Limita dreapta si derivata dreapta intr-un punct:

3) Derivatele unilaterale sunt finite și diferite:

Răspuns: funcția nu este diferențiabilă într-un punct.

Este și mai ușor să dovedești cazul de carte a nediferențiabilității modulului la punctul pe care l-am subliniat deja în termeni generali lectie teoretica despre derivata.

Unele funcții definite pe bucăți sunt diferențiabile în punctele „joncțiunii” graficului, de exemplu, catdog

are o derivată comună și o tangentă comună (axa absciselor) într-un punct. Curbă, da diferențiabilă! Cei interesați se pot asigura de acest lucru singuri folosind exemplul exemplului tocmai rezolvat.

Pe acest hibrid amuzant, vom termina povestea =) Soluții și răspunsuri:

Exemplul 3: Soluție: Luați în considerare un punct care aparține domeniului funcției. Să ne instalăm

acest punct se incrementează și se compune incrementul corespunzător al funcției:

Să găsim derivata în punctul:

Deoarece orice punct al domeniului definiției funcției poate fi ales ca calitate, atunci

Răspuns: prin definiția derivatului

Exemplul 4: Soluție: luați în considerare un punct arbitrar care îi aparține și setați o creștere în el. Apoi, incrementul corespunzător al funcției:

Să găsim derivata:

Folosind limita minunată

Răspuns: prin definiție

Exemplul 6: Soluție: luați în considerare un punct care îi aparține și setați incrementul argumentului în acesta. Apoi, incrementul corespunzător al funcției:

Răspuns : prin definitie

Exemplul 10: Soluție: Să setăm incrementul la punct. Apoi, funcția crește:

Să calculăm derivata în punctul:

Să înmulțim numărătorul și numitorul cu expresia conjugată:

Răspuns: prin definiția derivatei la punct

Este foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, ne vom gândi imediat funcție inversă... Care funcție este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este un număr:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scrieți în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur, .

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Exponentul și logaritmul natural sunt funcții unic simple din punctul de vedere al derivatei. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Regulile de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a unei derivate.

Asta e tot. Cum altfel să numim acest proces într-un singur cuvânt? Nu o derivare... Diferenţialul de matematică se numeşte acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul differentia - diferență. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, avem nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este mutată în afara semnului derivatei.

Dacă este un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența:.

Să demonstrăm. Lasă, sau mai ușor.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

1. la punct;
2. la punct;
3. la punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece este o funcție liniară, vă amintiți?);

Derivatul unei opere

Totul este la fel aici: introducem o nouă funcție și găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Aflați derivatele funcțiilor și;
2. Aflați derivata funcției în punct.

Solutii:

Derivată a funcției exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale, nu doar exponentul (ai uitat ce este?).

Deci, unde este un număr.

Cunoaștem deja derivata funcției, așa că hai să încercăm să aruncăm funcția noastră într-o nouă bază:

Pentru aceasta vom folosi regula simpla:. Atunci:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este dificilă.

S-a întâmplat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata exponentului: așa cum a fost, rămâne, a apărut doar un multiplicator, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu poate fi scris în mai multe formă simplă... Prin urmare, în răspuns îl lăsăm în această formă.

Rețineți că aici este câtul a două funcții, așa că aplicăm regula corespunzătoare de diferențiere:

În acest exemplu, produsul a două funcții:

Derivată a unei funcții logaritmice

Aici este similar: știți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi unul arbitrar al logaritmului cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să aduceți acest logaritm la bază. Cum schimbi baza logaritmului? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum, în loc de noi vom scrie:

Numitorul este doar o constantă (număr constant, fără variabilă). Derivatul este foarte simplu:

Derivatele funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată la examen, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă logaritmul ți se pare dificil, citește subiectul „Logaritmi” și totul va trece), dar din punct de vedere al matematicii, cuvântul „dificil” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă transportoare mică: doi oameni stau și fac un fel de acțiune cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Se dovedește un astfel de obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătra numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (baton de ciocolată), îi găsesc cosinusul (înveliș), iar apoi pătrați ceea ce am (îl legați cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, facem prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o altă a doua acțiune cu rezultatul primei.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru exemplul nostru,.

S-ar putea foarte bine să facem aceleași acțiuni în ordine inversă: mai întâi pătrați și apoi caut cosinusul numărului rezultat:. Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când schimbați ordinea acțiunilor, funcția se schimbă.

Al doilea exemplu: (la fel). ...

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită Funcția „externă”., și acțiunea luată mai întâi - respectiv Funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

1. Care este prima acțiune de luat? Mai întâi, vom calcula sinusul și abia apoi îl vom ridica la un cub. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
   Și funcția originală este compoziția lor:.
2. Intern:; extern:.
   Examinare: .
3. Intern:; extern:.
   Examinare: .
4. Intern:; extern:.
   Examinare: .
5. Intern:; extern:.
   Examinare: .

schimbăm variabile și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată - căutați un derivat. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplul original, arată astfel:

Alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit o regulă oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Totul pare a fi simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern:;

Extern:;

2) Intern:;

(doar nu încercați să reduceți până acum! Nimic nu poate fi scos de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern:;

Extern:;

Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă cu trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și din ea extragem și rădăcina, adică executăm a treia acțiune (punem un baton de ciocolată în un înveliș și puneți-l într-o servietă cu o panglică). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: oricum, vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim toate acestea.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați pașii. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să luăm un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența de acțiuni - ca și înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să definim un curs de acțiune.

1. O expresie radicală. ...

2. Rădăcină. ...

3. Sinusul. ...

4. Pătrat. ...

5. Pune totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Derivata unei functii- raportul dintre creșterea funcției și creșterea argumentului cu o creștere infinit de mică a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferențiere:

Constanta este mutată în afara semnului derivat:

Derivat al sumei:

Derivată a lucrării:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim functia "interna", gasim derivata ei.
2. Definim funcția „externă”, găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

Procesul de găsire a derivatei unei funcții se numește diferenţiere. Derivata trebuie găsită într-o serie de probleme în cursul analizei matematice. De exemplu, atunci când găsiți extremul și punctele de inflexiune ale graficului funcției.

Cum să găsești?

Pentru a găsi derivata unei funcții, trebuie să cunoașteți tabelul de derivate ale funcțiilor elementare și să aplicați regulile de bază de diferențiere:

1. Deplasarea constantei dincolo de semnul derivatei: $$ (Cu) "= C (u)" $$
2. Derivată a sumei / diferenței de funcții: $$ (u \ pm v) "= (u)" \ pm (v) "$$
3. Derivată a produsului a două funcții: $$ (u \ cdot v) "= u" v + uv "$$
4. Derivată a fracției: $$ \ bigg (\ frac (u) (v) \ bigg) "= \ frac (u" v - uv ") (v ^ 2) $$
5. Derivata unei functii complexe: $$ (f (g (x))) "= f" (g (x)) \ cdot g "(x) $$

Exemple de soluții

Este absolut imposibil să rezolvi probleme fizice sau exemple în matematică fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul al acesteia. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte din analiza matematica. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este un derivat, ce este fizic și sens geometric Cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f (x) dat într-un anumit interval (a, b) ... Punctele х și х0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea unui argument - diferența dintre valorile acestuia x-x0 ... Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiție derivată:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

În caz contrar, se poate scrie astfel:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce:

derivata funcției într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției în acest punct.

Semnificația fizică a derivatului: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, încă de pe vremea școlii, toată lumea știe că viteza este o cale privată. x = f (t) si timpul t ... Viteza medie pe o perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Regula unu: scoateți o constantă

Constanta poate fi mutată în afara semnului derivatei. Mai mult, trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați ca regulă - dacă puteți simplifica expresia, asigurați-vă că simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme, ci mai degrabă vom lua în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata unei funcții:

Regula trei: derivata produsului de funcții

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Este important să spunem aici despre calculul derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar cu derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata funcției externe față de argumentul intermediar, apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar imediat față de variabila independentă.

Regula a patra: derivata coeficientului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:

Am încercat să vă spunem despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Pentru orice întrebare pe aceasta și alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. Pe termen scurt Vă putem ajuta să rezolvați cel mai dificil test și să rezolvați sarcini, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcularea derivatelor.

Dacă urmărim definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la incrementul argumentului Δ X:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să calculați folosind această formulă, să zicem, derivata unei funcții f(X) = X 2 + (2X+ 3) e X Păcat X... Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că așa-numitele funcții elementare pot fi distinse de întreaga varietate de funcții. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și introduse în tabel. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. Mai mult, memorarea lor nu este deloc dificilă – de aceea sunt elementare.

Deci, derivatele funcțiilor elementare:

Dacă funcția elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi mutate în afara semnului derivatei. De exemplu:

(2X 3) ’= 2 · ( X 3) '= 2 3 X 2 = 6X 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Astfel, vor apărea noi funcții, care nu mai sunt deosebit de elementare, dar și diferențiabile după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Lăsați funcțiile f(X) și g(X), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare diferența f − g poate fi rescris ca sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(X) = X 2 + sin x; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funcţie f(X) Este suma a două funcții elementare, prin urmare:

f ’(X) = (X 2 + păcat X)’ = (X 2) ’+ (păcat X)’ = 2X+ cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(X). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Răspuns:
f ’(X) = 2X+ cos x;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivatul unei opere

Matematica este o știință logică, așa că mulți cred că, dacă derivata sumei este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„> este egal cu produsul derivatelor. Dar te pricep! Derivata produsului este calculată folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar adesea trecută cu vederea. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = X 3 cos x; g(X) = (X 2 + 7X- 7) e X .

Funcţie f(X) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3) ‘cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (- păcat X) = X 2 (3cos X − X Păcat X)

Functia g(X) primul factor este puțin mai complicat, dar schema generală nu se schimbă de la aceasta. Evident, primul factor al funcției g(X) este un polinom, iar derivata sa este derivata sumei. Noi avem:

g ’(X) = ((X 2 + 7X- 7) e X)’ = (X 2 + 7X- 7) ’ e X + (X 2 + 7X- 7) ( e X)’ = (2X+ 7) e X + (X 2 + 7X- 7) e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) e X .

Răspuns:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X Păcat X);
g ’(X) = X(X+ 9) e X .

Rețineți că în ultimul pas, derivata este factorizată. În mod formal, nu trebuie să faceți acest lucru, cu toate acestea, majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a investiga funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi clarificate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții f(X) și g(X), și g(X) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(X) = f(X)/g(X). Pentru o astfel de funcție, puteți găsi și o derivată:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Dar așa! Acesta este unul dintre cele mai multe formule complexe- nu poți să-ți dai seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați cu exemple specifice.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Prin tradiție, factorizarea numărătorului în factori va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(X) = păcat Xși înlocuiți variabila X să spunem mai departe X 2 + ln X... Se va dovedi f(X) = păcat ( X 2 + ln X) Este o funcție complexă. Are și un derivat, dar nu va funcționa pentru a-l găsi conform regulilor discutate mai sus.

Cum să fii? În astfel de cazuri, înlocuirea variabilei și formula pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(X) = f ’(t) · t', dacă X este înlocuit cu t(X).

De regulă, cu înțelegerea acestei formule, situația este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este, de asemenea, mai bine să o explicați cu exemple specifice, cu descriere detaliata fiecare pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = păcat ( X 2 + ln X)

Rețineți că dacă în funcție f(X) în loc de expresia 2 X+ 3 va fi ușor X atunci se va dovedi functie elementara f(X) = e X... Prin urmare, facem o substituție: fie 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t... Căutăm derivata unei funcții complexe prin formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2X+ 3. Obținem:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Acum să ne ocupăm de funcția g(X). Evident, trebuie să înlocuiți X 2 + ln X = t... Noi avem:

g ’(X) = g ’(t) · t’= (Păcat t)’ · t’= Cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = X 2 + ln X... Atunci:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X) ’= Cos ( X 2 + ln X) (2 X + 1/X).

Asta e tot! După cum puteți vedea din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
f ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) Ca ( X 2 + ln X).

Foarte des în lecțiile mele folosesc cuvântul „accident vascular cerebral” în loc de termenul „derivat”. De exemplu, primul al sumei este egal cu suma curselor. Este mai clar? Asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se rezumă la a scăpa chiar de aceste accidente vasculare cerebrale conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la derivata exponentului cu exponentul rațional:

(X n)’ = n · X n − 1

Puțini știu care este rolul n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este X 0,5. Dar dacă există ceva fantezist la rădăcină? Din nou, aceasta se va dovedi a fi o funcție complexă - astfel de construcții le place să cedeze lucrări de control si examene.

Sarcină. Aflați derivata unei funcții:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Acum facem un înlocuitor: let X 2 + 8X − 7 = t... Găsim derivata prin formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5) ' t„= 0,5 t−0,5 t ’.

Facem înlocuirea inversă: t = X 2 + 8X- 7. Avem:

f ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X- 7) −0,5 X 2 + 8X- 7) ’= 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini: