Tipul locului de muncă: 7

Condiție

Linia y = 3x + 2 este tangentă la graficul funcției y = -12x ^ 2 + bx-10. Găsiți b, având în vedere că abscisa punctului de atingere este mai mică decât zero.

Soluţie

Fie x_0 abscisa punctului de pe graficul funcției y = -12x ^ 2 + bx-10, prin care trece tangenta la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. Pe de altă parte, punctul tangentei aparține atât graficului funcției. iar tangenta, adică -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. Obținem sistemul de ecuații \ începe (cazuri) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ end (cazuri)

Rezolvând acest sistem, obținem x_0 ^ 2 = 1, ceea ce înseamnă fie x_0 = -1, fie x_0 = 1. Conform condiției, abscisa punctului de atingere este mai mică decât zero, deci x_0 = -1, apoi b = 3 + 24x_0 = -21.

Răspuns

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric derivat. Funcția grafică tangentă

Condiție

Linia y = -3x + 4 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y = -x ^ 2 + 5x-7. Găsiți abscisa punctului de atingere.

Soluţie

Panta dreptei către graficul funcției y = -x ^ 2 + 5x-7 într-un punct arbitrar x_0 este egală cu y "(x_0). Dar y" = - 2x + 5, deci y "(x_0). ) = - 2x_0 + 5. Angular coeficientul dreptei y = -3x + 4, specificat în condiție, este egal cu -3. Dreptele paralele au aceeași pantă.De aceea, găsim o astfel de valoare a x_0 care = -2x_0 + 5 = -3.

Se obține: x_0 = 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. Nivel de profil". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Tema: Sensul geometric al derivatului. Funcția grafică tangentă

Condiție

Soluţie

Din figură, determinăm că tangenta trece prin punctele A (-6; 2) și B (-1; 1). Notăm cu C (-6; 1) punctul de intersecție al dreptelor x = -6 și y = 1, iar cu \alpha unghiul ABC (în figură se poate observa că este acut). Apoi linia AB formează un unghi obtuz \ pi - \ alpha cu direcția pozitivă a axei Ox.

După cum știți, tg (\ pi - \ alpha) va fi valoarea derivatei funcției f (x) în punctul x_0. observa asta tg \ alpha = \ frac (AC) (CB) = \ frac (2-1) (- 1 - (- 6)) = \ frac15. De aici, folosind formulele de reducere, obținem: tg (\ pi - \ alpha) = -tg \ alpha = - \ frac15 = -0,2.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. Nivel de profil". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Tema: Sensul geometric al derivatului. Funcția grafică tangentă

Condiție

Linia y = -2x-4 este tangentă la graficul funcției y = 16x ^ 2 + bx + 12. Găsiți b, având în vedere că abscisa punctului de atingere este mai mare decât zero.

Soluţie

Fie x_0 abscisa unui punct de pe graficul funcției y = 16x ^ 2 + bx + 12, prin care

este o tangentă la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y "(x_0) = 32x_0 + b = -2. Pe de altă parte, punctul tangentei aparține atât graficului funcției. iar tangenta, adică 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 = - 2x_0-4. Obținem sistemul de ecuații \ începe (cazuri) 32x_0 + b = -2, \\ 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 = -2x_0-4. \ end (cazuri)

Rezolvând sistemul, obținem x_0 ^ 2 = 1, ceea ce înseamnă fie x_0 = -1, fie x_0 = 1. Conform condiției, abscisa punctului de atingere este mai mare decât zero, deci x_0 = 1, apoi b = -2-32x_0 = -34.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. Nivel de profil". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Tema: Sensul geometric al derivatului. Funcția grafică tangentă

Condiție

În figura este prezentat graficul funcției y = f (x), definită pe intervalul (-2; 8). Determinați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta y = 6.

Soluţie

Linia y = 6 este paralelă cu axa Ox. Prin urmare, găsim puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa Ox. Pe această diagramă, astfel de puncte sunt puncte extreme (puncte de maxim sau minim). După cum puteți vedea, există 4 puncte extreme.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. Nivel de profil". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Tema: Sensul geometric al derivatului. Funcția grafică tangentă

Condiție

Linia y = 4x-6 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y = x ^ 2-4x + 9. Găsiți abscisa punctului de atingere.

Soluţie

Panta tangentei la graficul funcției y = x ^ 2-4x + 9 într-un punct arbitrar x_0 este egală cu y "(x_0). Dar y" = 2x-4, deci y "(x_0) = 2x_0 -4. Panta tangentei y = 4x-7, specificata in conditie, este 4. Dreptele paralele au aceeasi panta.De aceea, gasim valoarea x_0 astfel incat 2x_0-4 = 4. Se obtine: x_0 = 4. .

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. Nivel de profil". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Tema: Sensul geometric al derivatului. Funcția grafică tangentă

Condiție

Figura prezintă graficul funcției y = f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x_0. Aflați valoarea derivatei funcției f (x) în punctul x_0.

Soluţie

Din figură, determinăm că tangenta trece prin punctele A (1; 1) și B (5; 4). Notăm cu C (5; 1) punctul de intersecție al dreptelor x = 5 și y = 1, iar cu \alpha unghiul BAC (în figură se poate observa că este acut). Apoi linia dreaptă AB formează un unghi \ alfa cu direcția pozitivă a axei Ox.

Tangentă Este o linie dreaptă care trece printr-un punct de pe curbă și coincide cu acesta în acest punct până la primul ordin (Fig. 1).

O altă definiție: aceasta este poziția limită a secantei la Δ X→0.

Explicație: Luați o linie dreaptă care intersectează curba în două puncte: Ași b(Vezi figura). Aceasta este o secanta. O vom roti în sensul acelor de ceasornic până când va găsi un singur punct comun cu curba. Aceasta ne va da o linie tangentă.

Definiție strictă a tangentei:

Funcția grafică tangentă f diferentiabil la punct XO, este o dreaptă care trece prin punctul ( XO; f(XO)) si avand panta f′( XO).

Panta are o linie dreaptă a formei y =kx +b... Coeficient k si este pantă această linie dreaptă.

Panta este egală cu tangenta unghi ascutit format din această linie dreaptă cu axa absciselor:

Aici unghiul α este unghiul dintre linia dreaptă y =kx +bși direcția pozitivă (adică în sens invers acelor de ceasornic) a abscisei. Se numeste unghiul de înclinare al dreptei(Fig. 1 și 2).

Dacă unghiul de înclinare este drept y =kx +b acută, atunci panta este un număr pozitiv. Graficul este în creștere (Fig. 1).

Dacă unghiul de înclinare este drept y =kx +b obtuz, atunci panta este negativă. Graficul este în scădere (Fig. 2).

Dacă linia dreaptă este paralelă cu axa absciselor, atunci unghiul de înclinare al dreptei este zero. În acest caz, panta dreptei este, de asemenea, zero (deoarece tangenta lui zero este zero). Ecuația dreptei va avea forma y = b (Fig. 3).

Dacă unghiul de înclinare al unei drepte este de 90º (π / 2), adică este perpendicular pe axa absciselor, atunci linia dreaptă este dată de egalitate x =c, Unde c- un număr real (fig. 4).

Ecuația unei tangente la un grafic al unei funcțiiy = f(X) la punct XO:

Exemplu: Găsiți ecuația tangentei la graficul funcției f(X) = X 3 – 2X 2 + 1 în punctul cu abscisa 2.

Soluție.

Urmăm algoritmul.

1) Punct de atingere XO este egal cu 2. Calculați f(XO):

f(XO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Găsiți f′( X). Pentru a face acest lucru, aplicăm formulele de diferențiere prezentate în secțiunea anterioară. Conform acestor formule, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Mijloace:

f′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Acum folosiți valoarea rezultată f′( X), calculăm f′( XO):

f′( XO) = f′ (2) = 3 ∙ 2 2 - 4 ∙ 2 = 12 - 8 = 4.

3) Deci, avem toate datele necesare: XO = 2, f(XO) = 1, f ′( XO) = 4. Înlocuiți aceste numere în ecuația tangentei și găsiți soluția finală:

y = f(XO) + f′( XO) (x - x о) = 1 + 4 ∙ (x - 2) = 1 + 4x - 8 = –7 + 4x = 4x - 7.

Răspuns: y = 4x - 7.

Ecuația unei tangente la un grafic al unei funcții

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Regiunea Chelyabinsk

Ecuația unei tangente la un grafic al unei funcții

Articolul a fost publicat cu sprijinul Complexului Hotelier ITAKA +. Stând în orașul constructorilor de nave Severodvinsk, nu vă veți confrunta cu problema găsirii unei locuințe temporare. , pe site complex hotelier„ITAKA +” http://itakaplus.ru, puteți închiria ușor și rapid un apartament în oraș, pentru orice perioadă, cu plata zilnică.

În stadiul actual de dezvoltare a educației, una dintre sarcinile sale principale este formarea unei personalități care gândesc creativ. Capacitatea studenților de a fi creativi poate fi dezvoltată numai dacă aceștia sunt implicați sistematic în fundamentele activităților de cercetare. Fundamentul pentru utilizarea de către studenți a puterilor, abilităților și talentelor lor creative este cunoștințele și abilitățile cu drepturi depline. În acest sens, problema formării unui sistem de cunoștințe și abilități de bază pe fiecare subiect al cursului de matematică școlară este de o importanță nu mică. În același timp, abilitățile cu drepturi depline ar trebui să fie scopul didactic nu al sarcinilor individuale, ci al sistemului lor atent gândit. În sensul cel mai larg, un sistem este înțeles ca un set de elemente interconectate care interacționează care au integritate și o structură stabilă.

Luați în considerare o metodologie pentru a-i învăța pe elevi cum să întocmească o ecuație a unei tangente la un grafic al unei funcții. În esență, toate problemele de găsire a ecuației tangentei se reduc la necesitatea de a selecta dintr-o mulțime (mănunchi, familie) de drepte acelea dintre ele care satisfac o anumită cerință - sunt tangente la graficul unei anumite funcții. Mai mult, setul de linii din care se efectuează selecția poate fi specificat în două moduri:

a) un punct situat pe planul xOy (mănunchi central de drepte);
b) panta (mănunchiul paralel de drepte).

În acest sens, la studierea subiectului „Tangentă la graficul unei funcții” pentru a izola elementele sistemului, am identificat două tipuri de sarcini:

1) probleme pe tangente, date de punctul prin care trece;
2) problema pe dreapta tangentă dată de panta acesteia.

Învățarea rezolvării problemelor pe o dreaptă tangentă s-a realizat folosind algoritmul propus de A.G. Mordkovici. Diferența sa fundamentală față de cele deja cunoscute este că abscisa punctului tangentei se notează cu litera a (în loc de x0) și, prin urmare, ecuația tangentei ia forma

y = f (a) + f "(a) (x - a)

(comparați cu y = f (x 0) + f „(x 0) (x - x 0)). Această tehnică metodică, în opinia noastră, permite elevilor să înțeleagă mai rapid și mai ușor acolo unde sunt scrise coordonatele punctului curent în ecuația generală a dreptei tangente și unde sunt punctele de contact.

Algoritm pentru întocmirea ecuației tangentei la graficul funcției y = f (x)

1. Desemnați abscisa punctului de tangență cu litera a.
2. Găsiți f (a).
3. Găsiți f „(x) și f” (a).
4. Înlocuiți numerele găsite a, f (a), f „(a) în ecuația generală a dreptei tangente y = f (a) = f” (a) (x - a).

Acest algoritm poate fi compilat pe baza auto-selectării operațiilor de către elevi și a secvenței de implementare a acestora.

Practica a arătat că rezolvarea secvenţială a fiecăreia dintre problemele cheie cu ajutorul unui algoritm permite formarea abilităţilor de a scrie în etape ecuaţia tangentei la graficul unei funcţii, iar paşii algoritmului servesc drept referinţă. puncte pentru acțiuni. Această abordare corespunde teoriei formării etapei a acțiunilor mentale, dezvoltată de P.Ya. Galperin și N.F. Talizina.

În primul tip de sarcini au fost identificate două sarcini cheie:

• tangenta trece printr-un punct de pe curbă (sarcina 1);
• tangenta trece printr-un punct care nu se află pe curbă (problema 2).

Sarcina 1. Realizați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul M (3; - 2).

Soluţie. Punctul M (3; - 2) este punctul de tangență, deoarece

1.a = 3 - abscisa punctului de tangenta.
2.f (3) = - 2.
3. f „(x) = x 2 - 4, f” (3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - ecuația tangentei.

Problema 2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y = - x 2 - 4x + 2 care trece prin punctul M (- 3; 6).

Soluţie. Punctul M (- 3; 6) nu este un punct tangent, deoarece f (- 3) 6 (fig. 2).

2.f (a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f" (a) = - 2a - 4.
4.y = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) este ecuația dreptei tangente.

Tangenta trece prin punctul M (- 3; 6), prin urmare, coordonatele ei satisfac ecuația tangentei.

6 = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Dacă a = - 4, atunci ecuația tangentei este y = 4x + 18.

Dacă a = - 2, atunci ecuația tangentei are forma y = 6.

În al doilea tip, sarcinile cheie vor fi următoarele:

• tangenta este paralelă cu o dreaptă (problema 3);
• tangenta trece la un anumit unghi la dreapta dată (sarcina 4).

Problema 3. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor la graficul funcției y = x 3 - 3x 2 + 3, paralele cu dreapta y = 9x + 1.

Soluţie.

1.a - abscisa punctului de tangenta.
2.f (a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f" (a) = 3a 2 - 6a.

Dar, pe de altă parte, f "(a) = 9 (condiția de paralelism). Prin urmare, este necesar să se rezolve ecuația 3a 2 - 6a = 9. Rădăcinile sale sunt a = - 1, a = 3 (Fig. 3). ).

4,1) a = - 1;
2) f (- 1) = - 1;
3) f "(- 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - ecuația tangentei;

1) a = 3;
2) f (3) = 3;
3) f „(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x - 24 - ecuația tangentei.

Problema 4. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = 0,5x 2 - 3x + 1, trecând cu un unghi de 45 ° la dreapta y = 0 (Fig. 4).

Soluţie. Din condiția f „(a) = tan 45 °, găsim a: a - 3 = 1^ a = 4.

1.a = 4 - abscisa punctului de tangenta.
2.f (4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f „(4) = 4 - 3 = 1.
4.y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x - 7 - ecuația tangentei.

Este ușor de demonstrat că rezolvarea oricărei alte probleme se rezumă la rezolvarea uneia sau mai multor probleme cheie. Luați în considerare următoarele două sarcini ca exemplu.

1. Scrieți ecuațiile tangentelor la parabola y = 2x 2 - 5x - 2, dacă tangentele se intersectează în unghi drept și una dintre ele atinge parabola într-un punct cu abscisa 3 (Fig. 5).

Soluţie. Deoarece abscisa punctului de atingere este dată, prima parte a soluției este redusă la sarcina cheie 1.

1.a = 3 - abscisa punctului de tangenta a uneia dintre laturile unghiului drept.
2.f (3) = 1.
3. f „(x) = 4x - 5, f” (3) = 7.
4.y = 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 - ecuația primei drepte tangente.

Lasă a - unghiul de înclinare al primei tangente. Deoarece tangentele sunt perpendiculare, atunci este unghiul de înclinare al celei de-a doua tangente. Din ecuația y = 7x - 20 a primei tangente, avem tg a = 7. Găsiți

Aceasta înseamnă că panta celei de-a doua tangente este.

Soluția ulterioară se reduce la sarcina cheie 3.

Fie B (c; f (c)) punctul de tangență al celei de-a doua drepte, atunci

1. - abscisa celui de-al doilea punct de contact.
2.
3.
4.
- ecuaţia celei de-a doua tangente.

Notă. Panta unei drepte tangente poate fi găsită mai ușor dacă elevii cunosc raportul dintre coeficienții dreptelor perpendiculare k 1 k 2 = - 1.

2. Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor comune la graficele funcțiilor

Soluţie. Sarcina se reduce la găsirea abscisei punctelor de tangență ale tangentelor comune, adică la rezolvarea problemei cheie 1 în formă generală, întocmirea unui sistem de ecuații și soluția ulterioară a acestuia (Fig. 6).

1. Fie a abscisa punctului de tangență situat pe graficul funcției y = x 2 + x + 1.
2.f (a) = a 2 + a + 1.
3. f „(a) = 2a + 1.
4.y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) = (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Fie c abscisa punctului de tangență situat pe graficul funcției
2.
3. f „(c) = c.
4.

Din moment ce tangentele sunt comune, atunci

Deci y = x + 1 și y = - 3x - 3 sunt tangente comune.

Scopul principal al sarcinilor luate în considerare este pregătirea elevilor pentru auto-recunoașterea tipului de sarcină cheie atunci când rezolvă probleme mai complexe care necesită anumite abilități de cercetare (capacitatea de a analiza, compara, generaliza, formula o ipoteză etc.). Aceste sarcini includ orice sarcină în care sarcina cheie este inclusă ca componentă. Să considerăm, ca exemplu, problema (invers cu problema 1) de a găsi o funcție prin familia tangentelor sale.

3. Pentru care b și c sunt dreptele y = x și y = - 2x tangente la graficul funcției y = x 2 + bx + c?

Soluţie.

Fie t abscisa punctului de tangență al dreptei y = x cu parabola y = x 2 + bx + c; p este abscisa punctului de tangență al dreptei y = - 2x cu parabola y = x 2 + bx + c. Atunci ecuația tangentei y = x ia forma y = (2t + b) x + c - t 2, iar ecuația tangentei y = - 2x ia forma y = (2p + b) x + c - p 2.

Să compunem și să rezolvăm sistemul de ecuații

Răspuns:

Sarcini pentru soluție independentă

1. Scrieți ecuațiile tangentelor trasate la graficul funcției y = 2x 2 - 4x + 3 în punctele de intersecție ale graficului cu dreapta y = x + 3.

Răspuns: y = - 4x + 3, y = 6x - 9,5.

2. La ce valori ale lui a trece tangenta trasată la graficul funcției y = x 2 - ax în punctul graficului cu abscisa x 0 = 1 prin punctul M (2; 3)?

Răspuns: a = 0,5.

3. Pentru ce valori ale lui p linia y = px - 5 atinge curba y = 3x 2 - 4x - 2?

Răspuns: p 1 = - 10, p 2 = 2.

4. Aflați toate punctele comune ale graficului funcției y = 3x - x 3 și tangenta trasată la acest grafic prin punctul P (0; 16).

Răspuns: A (2; - 2), B (- 4; 52).

5. Aflați cea mai scurtă distanță dintre parabola y = x 2 + 6x + 10 și linia dreaptă

Răspuns:

6. Pe curba y = x 2 - x + 1 găsiți punctul în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta y - 3x + 1 = 0.

Răspuns: M (2; 3).

7. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y = x 2 + 2x - | 4x | care îl atinge în două puncte. Faceți un desen.

Răspuns: y = 2x - 4.

8. Demonstrați că dreapta y = 2x - 1 nu intersectează curba y = x 4 + 3x 2 + 2x. Găsiți distanța dintre punctele lor cele mai apropiate.

Răspuns:

9. Pe parabola y = x 2 se iau două puncte cu abscisa x 1 = 1, x 2 = 3. Prin aceste puncte se trasează o dreaptă secantă. În ce punct al parabolei tangenta la aceasta va fi paralelă cu secantei desenate? Scrieți ecuațiile secantei și tangentei.

Raspuns: y = 4x - 3 - ecuatie secanta; y = 4x - 4 - ecuația tangentei.

10. Aflați unghiul q între tangentele la graficul funcției y = x 3 - 4x 2 + 3x + 1, trasate în punctele cu abscisele 0 și 1.

Răspuns: q = 45 °.

11. În ce puncte formează tangenta la graficul funcției un unghi de 135 ° cu axa Ox?

Răspuns: A (0; - 1), B (4; 3).

12.În punctul A (1; 8) la curbă se trasează o tangentă. Aflați lungimea dreptei tangente dintre axele de coordonate.

Răspuns:

13. Scrieți ecuația tuturor tangentelor comune la graficele funcțiilor y = x 2 - x + 1 și y = 2x 2 - x + 0,5.

Răspuns: y = - 3x și y = x.

14. Aflați distanța dintre tangentele la graficul funcției paralel cu axa absciselor.

Răspuns:

15. Determinați în ce unghiuri intersectează parabola y = x 2 + 2x - 8 axa absciselor.

Răspuns: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (- 6).

16. Pe graficul funcției găsiți toate punctele, tangenta la fiecare dintre acestea la acest grafic intersectează semiaxele pozitive ale coordonatelor, decupând segmente egale din ele.

Răspuns: A (- 3; 11).

17. Linia y = 2x + 7 și parabola y = x 2 - 1 se întâlnesc în punctele M și N. Aflați punctul de intersecție K al dreptelor tangente la parabolă în punctele M și N.

Răspuns: K (1; - 9).

18. Pentru ce valori ale lui b este linia y = 9x + b tangentă la graficul funcției y = x 3 - 3x + 15?

Raspunsul 1; 31.

19. Pentru ce valori ale lui k linia y = kx - 10 are un singur punct comun cu graficul funcției y = 2x 2 + 3x - 2? Pentru valorile găsite ale lui k, determinați coordonatele punctului.

Răspuns: k 1 = - 5, A (- 2; 0); k2 = 11, B (2; 12).

20. La ce valori ale lui b trece tangenta trasată la graficul funcției y = bx 3 - 2x 2 - 4 în punctul cu abscisa x 0 = 2 prin punctul M (1; 8)?

Răspuns: b = - 3.

21. O parabolă cu vârful pe axa Ox atinge linia dreaptă care trece prin punctele A (1; 2) și B (2; 4), în punctul B. Aflați ecuația parabolei.

Răspuns:

22. La ce valoare a coeficientului k atinge parabola y = x 2 + kx + 1 de axa Ox?

Răspuns: k = q 2.

23. Aflați unghiurile dintre dreapta y = x + 2 și curba y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Aflați distanța dintre tangentele generatoarelor la graficul funcției cu direcția pozitivă a axei Ox, un unghi de 45 °.

Răspuns:

30. Aflați locul vârfurilor tuturor parabolelor de forma y = x 2 + ax + b atingând dreapta y = 4x - 1.

Răspuns: linia y = 4x + 3.

Literatură

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra și începutul analizei: 3600 de probleme pentru școlari și cei care intră în universități. - M., Butarda, 1999.
2. Mordkovich A. Al patrulea seminar pentru tineri profesori. Subiectul este „Aplicații derivate”. - M., „Matematică”, Nr. 21/94.
3. Formarea de cunoștințe și deprinderi pe baza teoriei asimilării etapei a acțiunilor mentale. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talizina. - M., Universitatea de Stat din Moscova, 1968.

Instrucțiuni

Determinați panta tangentei la curbă în punctul M.
Curba care reprezintă graficul funcției y = f (x) este continuă într-o vecinătate a punctului M (inclusiv punctul M însuși).

Dacă valoarea f ’(x0) nu există, atunci fie nu există o linie tangentă, fie rulează vertical. Având în vedere acest lucru, prezența derivatei funcției în punctul x0 se datorează existenței unei tangente neverticale în contact cu graficul funcției în punctul (x0, f (x0)). În acest caz, panta tangentei va fi f "(x0). Astfel, sensul geometric al derivatei devine clar - calculul pantei tangentei.

Aflați valoarea abscisei punctului de tangență, care este indicată de litera „a”. Dacă coincide cu punctul tangent dat, atunci „a” va fi coordonata sa x. Determinați valoarea funcții f (a) prin substituirea în ecuație funcții valoarea abscisei.

Aflați prima derivată a ecuației funcții f '(x) și introduceți valoarea punctului „a”.

Luați ecuația generală a tangentei, care este definită ca y = f (a) = f (a) (x - a) și înlocuiți valorile găsite ale lui a, f (a), f "(a) în ca rezultat, soluția graficului va fi găsită și tangentă.

Rezolvați problema într-un mod diferit dacă punctul tangent specificat nu coincide cu punctul tangent. În acest caz, este necesar să înlocuiți „a” în ecuația tangentă în loc de numere. După aceea, înlocuiți literele „x” și „y” cu valoarea coordonatelor punctului dat. Rezolvați ecuația rezultată în care „a” este necunoscut. Puneți valoarea rezultată în ecuația tangentei.

Faceți ecuația dreptei tangente cu litera „a” dacă ecuația este dată în enunțul problemei funcțiiși ecuația dreptei paralele în raport cu tangentei dorite. După aceea, aveți nevoie de derivat funcții, astfel încât coordonata în punctul „a”. Introduceți valoarea corespunzătoare în ecuația tangentei și rezolvați funcția.

Luați în considerare următoarea figură:

Acesta descrie o funcție y = f (x), care este diferențiabilă în punctul a. Punctul marcat M cu coordonatele (a; f (a)). O secantă MR este trasată printr-un punct arbitrar P (a + ∆x; f (a + ∆x)) al graficului.

Dacă acum punctul P este deplasat conform graficului către punctul M, atunci linia MR se va roti în jurul punctului M. În acest caz, ∆x va tinde spre zero. Prin urmare, putem formula definiția tangentei la graficul funcției.

Funcția grafică tangentă

Tangenta la graficul funcției este poziția limită a secantei atunci când incrementul argumentului tinde spre zero. Trebuie înțeles că existența derivatei funcției f în punctul x0 înseamnă că în acest punct al graficului există tangentă către el.

În acest caz, panta tangentei va fi egală cu derivata acestei funcții în acest punct f '(x0). Acesta este sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul functiei f diferentiabila in punctul x0 este o dreapta care trece prin punctul (x0; f (x0)) si avand panta f '(x0).

Ecuația tangentei

Să încercăm să obținem ecuația tangentei la graficul unei funcții f în punctul A (x0; f (x0)). Ecuația unei drepte cu panta k are următoarea vedere:

Deoarece panta noastră este egală cu derivata f '(x0), atunci ecuația ia următoarea formă: y = f '(x0)* x + b.

Acum să calculăm valoarea lui b. Pentru a face acest lucru, folosim faptul că funcția trece prin punctul A.

f (x0) = f ’(x0) * x0 + b, de aici exprimăm b și obținem b = f (x0) - f’ (x0) * x0.

Înlocuiți valoarea rezultată în ecuația tangentei:

y = f ’(x0) * x + b = f’ (x0) * x + f (x0) - f ’(x0) * x0 = f (x0) + f’ (x0) * (x - x0).

y = f (x0) + f ’(x0) * (x - x0).

Luați în considerare următorul exemplu: găsiți ecuația tangentei la graficul funcției f (x) = x 3 - 2 * x 2 + 1 în punctul x = 2.

2.f (x0) = f (2) = 2 2 - 2 * 2 2 + 1 = 1.

3.f '(x) = 3 * x 2 - 4 * x.

4.f '(x0) = f' (2) = 3 * 2 2 - 4 * 2 = 4.

5. Înlocuiți valorile obținute în formula tangentei, obținem: y = 1 + 4 * (x - 2). Expandând parantezele și dând termeni similari, obținem: y = 4 * x - 7.

Răspuns: y = 4 * x - 7.

Schema generala de intocmire a unei ecuatii tangente la graficul funcției y = f (x):

1. Determinați x0.

2. Calculați f (x0).

3. Calculați f '(x)