Instrucțiuni

Dacă trebuie să găsiți cosinusul colţîntr-un triunghi arbitrar, este necesar să se folosească teorema cosinusului:
dacă unghiul este ascuțit: cos? = (a2 + b2 - c2) / (2ab);
dacă unghi: cos? = (c2 - a2 - b2) / (2ab), unde a, b sunt lungimile laturilor adiacente colțului, c este lungimea laturii opuse colțului.

Sfat util

Notația matematică pentru cosinus este cos.
Valoarea cosinusului nu poate fi mai mare de 1 sau mai mică de -1.

Surse:

• Cum se calculează cosinusul unui unghi
• Funcții trigonometrice pe cercul unitar

Cosinus este funcția de bază a unghiului trigonometric. Capacitatea de a determina cosinusul va fi utilă în algebra vectorială atunci când definiți proiecțiile vectorilor pe diferite axe.

Instrucțiuni

cos? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c)

Există un triunghi cu laturile a, b, c egale cu 3, 4, 5 mm, respectiv.

Găsi cosinus colţul închis între laturile mari.

Notăm unghiul opus laturii a cu?, Apoi, conform formulei derivate mai sus, avem:

cos? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (4? +5? -3?) / (2 * 4 * 5) = (16 + 25-9) / 40 = 32/40 = 0,8

Răspuns: 0,8.

Dacă triunghiul este dreptunghiular, atunci pentru a găsi cosinus iar unghiul este suficient pentru a cunoaște lungimile doar a două laturi ( cosinus unghi drept este egal cu 0).

Să fie un triunghi dreptunghic cu laturile a, b, c, unde c este ipotenuza.

Să luăm în considerare toate opțiunile:

Aflați cos?Dacă lungimile laturilor a și b (triunghi) sunt cunoscute

În plus, să folosim teorema lui Pitagora:

cos? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (b? + b? + а? -а?) / (2 * b * v (b? + а?)) = (2 * b?) / (2 * b * v (b? + A?)) = B / v (b? + A?)

Pentru ca formula obținută să fie corectă, înlocuim în ea din Exemplul 1, adică.

După ce am făcut câteva calcule elementare, obținem:

În mod similar, se găsește cosinusîn formă dreptunghiulară triunghi in alte cazuri:

Cunoaștem a și c (ipotenuza și catetul opus), găsim cos?

cos? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (с? -а? + с? -а?) / (2 * с * v (с? -а?)) = (2 * s? -2 * a?) / (2 * s * v (s? -A?)) = V (s? -A?) / S.

Înlocuind valorile a = 3 și c = 5 din exemplu, obținem:

Cunoscuți b și c (ipotenuză și cateta adiacentă).

Găsiți cosul?

Făcând transformări similare (prezentate în exemplele 2 și 3), obținem asta în acest caz cosinus v triunghi se calculează folosind o formulă foarte simplă:

Simplitatea formulei derivate poate fi explicată într-un mod elementar: de fapt, adiacent colțului? catetul este o proiecție a ipotenuzei, lungimea sa este egală cu lungimea ipotenuzei înmulțită cu cos ?.

Înlocuind valorile b = 4 și c = 5 din primul exemplu, obținem:

Aceasta înseamnă că toate formulele noastre sunt corecte.

Sfat 5: Cum să găsiți un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Drept carbonic triunghiul este probabil una dintre cele mai cunoscute, din punct de vedere istoric, forme geometrice. „Pantalonii” pitagoreici nu pot concura decât cu „Eureka!” Arhimede.

Vei avea nevoie

• - desenarea unui triunghi;
• - rigla;
• - raportor.

Instrucțiuni

Unghiurile unui triunghi se adună până la 180 de grade. În formă dreptunghiulară triunghi un unghi (unghi drept) va fi întotdeauna de 90 de grade, iar restul va fi ascuțit, adică. mai puțin de 90 de grade fiecare. Pentru a determina ce colț dintr-un dreptunghi triunghi este drept, măsurați laturile triunghiului cu o riglă și găsiți-o pe cea mai mare. Este ipotenuza (AB) și este situată opus unghiului drept (C). Celelalte două laturi formează un unghi drept și picioare (AC, BC).

După ce ați determinat ce unghi este ascuțit, puteți fie să utilizați raportorul pentru a calcula unghiul, fie să îl calculați folosind formule matematice.

Pentru a determina valoarea unghiului folosind un raportor, aliniați partea superioară a acestuia (notați-l cu litera A) cu un semn special pe rigla din centrul raportorului, piciorul AC ar trebui să coincidă cu marginea superioară. Marcați pe partea semicirculară a raportorului punctul prin care ipotenuza este AB. Valoarea în acest punct corespunde valorii unghiului în grade. Dacă pe raportor sunt indicate 2 valori, atunci pentru un unghi acut trebuie să alegeți unul mai mic, pentru unul contondent - unul mai mare.

Găsiți valoarea obținută în cărțile de referință Bradis și stabiliți cărui unghi îi corespunde valoarea numerică obținută. Această metodă a fost folosită de bunicile noastre.

La noi, este suficient să luăm cu funcția de calcul formule trigonometrice. De exemplu, calculatorul Windows încorporat. Porniți aplicația „Calculator”, în elementul de meniu „Vizualizare”, selectați elementul „Inginerie”. Calculați sinusul unghiului dorit, de exemplu, sin (A) = BC / AB = 2/4 = 0,5

Comutați calculatorul la funcții inverse făcând clic pe butonul INV de pe afișajul calculatorului, apoi faceți clic pe butonul funcției arcsinus (indicat pe afișaj ca sin în minus de gradul I). În fereastra de calcul va apărea următoarea inscripție: asind (0,5) = 30. valoarea unghiului dorit este de 30 de grade.

Surse:

• Tabelele Bradis (sinusuri, cosinusuri)

Teorema cosinusului în matematică este folosită cel mai des atunci când este necesar să se găsească a treia latură după unghi și două laturi. Cu toate acestea, uneori, starea problemei este stabilită invers: este necesar să se găsească unghiul pentru trei laturi date.

Instrucțiuni

Imaginați-vă că vi se oferă un triunghi pentru care sunt cunoscute lungimile a două laturi și valoarea unui unghi. Toate unghiurile acestui triunghi nu sunt egale între ele, iar laturile sale sunt, de asemenea, diferite ca mărime. Unghiul γ se află opus laturii triunghiului, denumit AB, care este această figură. Prin acest unghi, precum și prin laturile rămase AC și BC, puteți găsi acea latură a triunghiului, care este necunoscută, folosind teorema cosinusului, deducând următoarea formulă pe baza ei:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2bc * cosγ, unde a = BC, b = AB, c = AC
Teorema cosinusului se mai numește și teorema generalizată a lui Pitagora.

Acum imaginați-vă că toate cele trei laturi ale figurii sunt date, dar unghiul γ este necunoscut. Știind că forma a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2bc * cosγ, transformați această expresie astfel încât unghiul γ să devină valoarea dorită: b ^ 2 + c ^ 2 = 2bc * cosγ + a ^ 2.
Apoi convertiți ecuația de mai sus într-o formă ușor diferită: b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2 = 2bc * cosγ.
Atunci această expresie ar trebui convertită în cea de mai jos: cosγ = √b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2 / 2bc.
Rămâne să înlocuiți numerele în formulă și să efectuați calculele.

Pentru a găsi cosinusul, notat cu γ, acesta trebuie exprimat în termeni de trigonometric invers, numit cosinus invers. Cosinusul invers al numărului m este valoarea unghiului γ pentru care cosinusul unghiului γ este egal cu m. Funcția y = arccos m este descrescătoare. Imaginați-vă, de exemplu, că cosinusul unui unghi γ este egal cu o jumătate. Atunci unghiul γ poate fi definit în termeni de cosinus invers după cum urmează:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60 °, unde m = 1/2.
În mod similar, puteți găsi restul unghiurilor triunghiului cu alte două laturi necunoscute.

Sinusul și cosinusul sunt două funcții trigonometrice numite „linii drepte”. Ele trebuie calculate mai des decât altele, iar astăzi fiecare dintre noi are o gamă considerabilă de opțiuni pentru a rezolva această problemă. Mai jos sunt unele dintre cele mai multe moduri simple.

Instrucțiuni

Utilizați un raportor, un creion și o bucată de hârtie dacă nu sunt disponibile alte mijloace de calcul. Una dintre definițiile cosinusului este dată prin unghiuri ascuțite într-un triunghi dreptunghic - este egală cu raportul dintre lungimea catetei opusă acestui unghi și lungime. Desenați un triunghi în care unul dintre colțuri este drept (90 °), iar celălalt este colțul pe care doriți să îl calculați. În acest caz, lungimea laturilor nu contează - desenați-le în așa fel încât să vă fie mai convenabil să măsurați. Măsurați lungimea catetei și ipotenuzei dorite și împărțiți primul la al doilea la oricare într-un mod convenabil.

Profitați de capacitatea de a evalua funcțiile trigonometrice folosind calculatorul încorporat în motorul de căutare Nigma, dacă aveți acces la Internet. De exemplu, dacă doriți să calculați cosinusul unui unghi de 20 °, atunci încărcați pagina principala serviciu http://nigma.ru introduceți în câmpul de căutare „cosinus 20” și apăsați butonul „Găsiți!”. Puteți omite „grade” și înlocuiți cuvântul „cosinus” cu cos - în orice caz, motorul de căutare va afișa rezultatul cu o precizie de 15 zecimale (0,939692620785908).

Deschideți programul standard - instalat cu sistemul de operare Windows, dacă nu există acces la Internet. Acest lucru se poate face, de exemplu, apăsând simultan tastele win și r, apoi introducând comanda calc și făcând clic pe butonul OK. Pentru a calcula funcțiile trigonometrice, aici există o interfață numită „ingineresc” sau „științific” (în funcție de versiunea sistemului de operare) - selectați elementul dorit în secțiunea „Vizualizare” a meniului calculatorului. După aceea, introduceți valoarea unghiului at și faceți clic pe butonul cos din interfața programului.

Videoclipuri similare

Sfat 8: Cum să determinați unghiurile într-un triunghi dreptunghic

Dreptunghiular se caracterizează prin anumite rapoarte între colțuri și laturi. Cunoscând valorile unora dintre ele, puteți calcula altele. Pentru aceasta se folosesc formule bazate, la randul lor, pe axiomele si teoremele geometriei.

Profesorii cred că fiecare elev ar trebui să poată efectua calcule, să cunoască formule trigonometrice, dar nu fiecare profesor explică ce sunt sinusul și cosinusul. Care este semnificația lor, unde sunt folosite? De ce vorbim despre triunghiuri, dar în manual este desenat un cerc? Să încercăm să conectăm toate faptele împreună.

Materia școlară

Studiul trigonometriei începe de obicei în clasa a VII-a-8 de liceu. În acest moment, elevilor li se explică ce sunt sinusul și cosinusul, li se oferă să rezolve probleme geometrice folosind aceste funcții. Mai târziu, mai mult formule complexeși expresii care trebuie transformate în mod algebric (formule dublu și jumătate de unghi, funcții de putere), se lucrează cu un cerc trigonometric.

Cu toate acestea, profesorii sunt departe de a fi întotdeauna capabili să explice clar sensul conceptelor utilizate și aplicabilitatea formulelor. Prin urmare, elevul adesea nu vede rostul acestui subiect, iar informațiile memorate sunt rapid uitate. Cu toate acestea, merită să-i explici unui elev de liceu o dată, de exemplu, legătura dintre funcție și mișcarea oscilativă, iar conexiunea logică va fi amintită de mulți ani, iar glumele despre inutilitatea subiectului vor deveni un lucru din trecut. .

Utilizare

De dragul curiozității, să aruncăm o privire asupra diferitelor ramuri ale fizicii. Doriți să determinați raza de acțiune a proiectilului? Sau calculezi forța de frecare dintre un obiect și o anumită suprafață? Balanțând pendulul, urmărind razele care trec prin sticlă, calculând inducția? Conceptele trigonometrice apar în aproape orice formulă. Deci, ce sunt sinusul și cosinusul?

Definiții

Sinusul unghiului este raportul catetului opus față de ipotenuză, cosinusul este raportul catetei adiacente și aceeași ipotenuză. Nu este absolut nimic complicat aici. Poate că studenții sunt de obicei confuzi de valorile pe care le văd în tabelul trigonometric, deoarece acolo apar rădăcini pătrate. Da, nu este foarte convenabil să obțineți fracții zecimale din ele, dar cine a spus că toate numerele din matematică ar trebui să fie egale?

De fapt, în cărțile de probleme de trigonometrie, puteți găsi un indiciu amuzant: majoritatea răspunsurilor de aici sunt pare și, în cel mai rău caz, conțin rădăcina a doi sau trei. Concluzia este simplă: dacă obțineți o fracțiune „cu mai multe etaje” în răspunsul dvs., verificați soluția pentru erori în calcule sau în raționament. Și cel mai probabil le vei găsi.

Lucruri de amintit

Ca în orice știință, trigonometria are date care trebuie învățate.

În primul rând, amintiți-vă valori numerice pentru sinusuri, cosinusuri ale unui triunghi dreptunghic 0 și 90, precum și 30, 45 și 60 de grade. Acești indicatori se regăsesc în nouă din zece probleme școlare. Privind aceste valori în manual, veți pierde mult timp și nu va fi deloc unde să vă uitați la test sau examen.

Trebuie reținut că valoarea ambelor funcții nu poate depăși una. Dacă oriunde în calcul obțineți o valoare în afara intervalului 0-1, opriți și remediați problema.

Suma pătratelor sinusului și cosinusului este egală cu unu. Dacă ați găsit deja una dintre valori, utilizați această formulă pentru a găsi restul.

Teoreme

Există două teoreme principale în trigonometrie de bază: sinusuri și cosinusuri.

Primul spune că raportul dintre fiecare latură a unui triunghi și sinusul unghiului opus este același. Al doilea este că pătratul oricărei laturi poate fi obținut adunând pătratele celor două laturi rămase și scăzând produsul lor dublu, înmulțit cu cosinusul unghiului aflat între ele.

Astfel, dacă înlocuim valoarea unui unghi de 90 de grade în teorema cosinusului, obținem ... teorema lui Pitagora. Acum, dacă trebuie să calculați aria unei figuri care nu este un triunghi dreptunghic, nu trebuie să vă mai faceți griji - cele două teoreme luate în considerare vor simplifica semnificativ soluția problemei.

Ținte și obiective

Învățarea trigonometriei devine mult mai ușoară când îți dai seama de un fapt simplu: toate acțiunile pe care le faci au ca scop atingerea unui singur obiectiv. Orice parametri ai unui triunghi pot fi găsiți dacă cunoașteți cele mai puține informații despre acesta - poate fi valoarea unui unghi și lungimea a două laturi sau, de exemplu, trei laturi.

Pentru a determina sinusul, cosinusul, tangenta oricărui unghi, aceste date sunt suficiente, cu ajutorul lor puteți calcula cu ușurință aria figurii. Aproape întotdeauna, una dintre valorile menționate este necesară ca răspuns și le puteți găsi folosind aceleași formule.

Incoerențe în învățarea trigonometriei

Una dintre întrebările de neînțeles pe care elevii preferă să le evite este găsirea unei legături între diferitele concepte din trigonometrie. S-ar părea că triunghiurile sunt folosite pentru a studia sinusurile și cosinusurile unghiurilor, dar din anumite motive denumirile se găsesc adesea în figura cu un cerc. În plus, există un grafic sub formă de undă complet de neînțeles numit sinusoid, care nu are nicio asemănare exterioară nici cu un cerc, nici cu triunghiuri.

Mai mult, unghiurile se măsoară în grade, apoi în radiani, iar numărul Pi, scris simplu ca 3,14 (fără unități de măsură), din anumite motive apare în formule, corespunzător la 180 de grade. Cum se leagă toate acestea între ele?

Unități

De ce Pi este exact 3.14? Îți amintești care este acest sens? Acesta este numărul de raze care se potrivesc într-un arc pe jumătate de cerc. Dacă diametrul cercului este de 2 centimetri, circumferința este de 3,14 * 2 sau 6,28.

Al doilea punct: este posibil să fi observat asemănarea dintre cuvintele „radian” și „rază”. Faptul este că un radian este numeric egal cu valoarea unghiului trasat din centrul cercului pe un arc cu o lungime de o rază.

Acum să combinăm cunoștințele dobândite și să înțelegem de ce vârful de pe axa de coordonate în trigonometrie este scris „Pi în jumătate”, iar în stânga - „Pi”. Aceasta este o valoare unghiulară măsurată în radiani, deoarece un semicerc are 180 de grade sau 3,14 radiani. Și acolo unde sunt grade, sunt sinusuri și cosinusuri. Triunghiul poate fi desenat cu ușurință din punctul dorit, amânând segmentele spre centru și pe axa de coordonate.

Să privim în viitor

Trigonometria, studiată la școală, se ocupă de un sistem de coordonate rectiliniu, unde, oricât de ciudat ar suna, o linie dreaptă este o linie dreaptă.

Dar sunt mai multe moduri complexe lucrați cu spațiul: suma unghiurilor triunghiului de aici va fi mai mare de 180 de grade, iar linia dreaptă din punctul nostru de vedere va arăta ca un arc real.

Să trecem de la vorbe la fapte! Luați un măr. Faceți trei tăieturi cu cuțitul pentru a forma un triunghi când este privit de sus. Scoateți felia de măr rezultată și priviți „coastele” unde se termină coaja. Nu sunt drepte deloc. Fructul din mâinile tale poate fi numit în mod condiționat rotund și acum imaginați-vă cât de complexe trebuie să fie formulele, cu ajutorul cărora puteți găsi zona piesei decupate. Dar unii specialiști rezolvă zilnic astfel de probleme.

Funcții trigonometrice în viață

Ați observat că cea mai scurtă rută aeriană de la punctul A la punctul B de pe suprafața planetei noastre are o formă de arc pronunțată? Motivul este simplu: Pământul are forma unei mingi, ceea ce înseamnă că nu poți calcula mare lucru cu ajutorul triunghiurilor - aici trebuie să folosești formule mai complexe.

Sinusul/cosinusul unui unghi ascuțit nu poate fi renunțat la nicio materie legată de spațiu. Este interesant că aici converg o mulțime de factori: funcțiile trigonometrice sunt necesare atunci când se calculează mișcarea planetelor de-a lungul cercurilor, elipselor și diferitelor traiectorii mai mult forme complexe; procesul de lansare de rachete, sateliți, navete, dezaocare vehicule de cercetare; observarea stelelor îndepărtate și studiul galaxiilor la care oamenii nu le vor putea ajunge în viitorul apropiat.

În general, domeniul de activitate al unei persoane care deține trigonometrie este foarte larg și, aparent, se va extinde doar în timp.

Concluzie

Astăzi am învățat, sau cel puțin am repetat ce sunt sinusul și cosinusul. Acestea sunt concepte de care nu trebuie să-ți fie frică - vrei doar și le vei înțelege semnificația. Amintiți-vă că trigonometria nu este un scop, ci doar un instrument care poate fi folosit pentru a răspunde nevoilor umane reale: construiți case, asigurați siguranța traficului, chiar explorați vastitatea universului.

Într-adevăr, știința în sine poate părea plictisitoare, dar de îndată ce vei găsi în ea o modalitate de a-ți atinge propriile obiective, autorealizarea, procesul de învățare va deveni interesant, iar motivația ta personală va crește.

La fel de teme pentru acasăîncercați să găsiți modalități de a aplica funcții trigonometrice în domeniul de lucru care vă interesează personal. Imaginați-vă, porniți-vă imaginația și atunci probabil se va dovedi că noile cunoștințe vă vor fi utile în viitor. Și în plus, matematica este utilă dezvoltare generală gândire.

Mai întâi, luăm în considerare un cerc cu raza 1 și centrul la (0; 0). Pentru orice αЄR, raza 0A poate fi desenată astfel încât măsura în radiani a unghiului dintre 0A și axa 0x să fie egală cu α. Direcția în sens invers acelor de ceasornic este considerată pozitivă. Fie că capătul razei A are coordonatele (a, b).

Definiţia sine

Definiție: Numărul b, egal cu ordonata razei unității, construită în modul descris, se notează sinα și se numește sinusul unghiului α.

Exemplu: sin 3π cos3π / 2 = 0 0 = 0

Determinarea cosinusului

Definiție: Numărul a, egal cu abscisa capătului razei unității, construită în modul descris, se notează cosα și se numește cosinusul unghiului α.

Exemplu: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

Aceste exemple folosesc definiția sinusului și cosinusului unui unghi în termeni de coordonatele sfârșitului razei unității și ale cercului unitar. Pentru o reprezentare mai vizuală, este necesar să desenați un cerc unitar și să amânați punctele corespunzătoare pe acesta, apoi să calculați abscisele lor pentru a calcula cosinusul și ordonatele pentru a calcula sinusul.

Definiţia tangent

Definiție: Funcția tgx = sinx / cosx pentru x ≠ π / 2 + πk, kЄZ, se numește cotangenta unghiului x. Domeniul funcției tgx este toate numerele reale, cu excepția x = π / 2 + πn, nЄZ.

Exemplu: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Acest exemplu este similar cu cel precedent. Pentru a calcula tangenta unui unghi, împărțiți ordonata unui punct la abscisa acestuia.

Definiţia cotangent

Definiție: Funcția ctgx = cosx / sinx pentru x ≠ πk, kЄZ se numește cotangenta unghiului x. Domeniul funcției ctgx = -toate numerele reale cu excepția punctelor x = πk, kЄZ.

Luați în considerare un exemplu pe un triunghi dreptunghic obișnuit

Pentru a fi mai clar ce sunt cosinus, sinus, tangentă și cotangentă. Luați în considerare un exemplu pe un triunghi dreptunghic obișnuit cu unghiul y și laturile a, b, c... Hipotenuza c, catetele a și, respectiv, b. Unghiul dintre ipotenuza c și catetul b y.

Definiție: Sinusul unghiului y este raportul catetului opus față de ipotenuză: siny = a / c

Definiție: Cosinusul unghiului y este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză: cozy = v / s

Definiție: Tangenta unghiului y este raportul dintre catetul opus față de cel alăturat: tgy = a / b

Definiție: Cotangenta unghiului y este raportul dintre catetul adiacent și cel opus: ctgy = w / a

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt numite și funcții trigonometrice. Fiecare unghi are propriul sinus și cosinus. Și aproape fiecare are propria tangentă și cotangentă.

Se crede că dacă ni se dă un unghi, atunci îi cunoaștem sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta! Si invers. Având în vedere un sinus, sau, respectiv, orice altă funcție trigonometrică, cunoaștem unghiul. Chiar și tabele speciale au fost create în care sunt descrise funcțiile trigonometrice pentru fiecare unghi.

Una dintre ramurile matematicii cu care elevii fac față celor mai mari dificultăți este trigonometria. Nu este surprinzător: pentru a stăpâni liber această zonă de cunoaștere, aveți nevoie de gândire spațială, capacitatea de a găsi sinusuri, cosinus, tangente, cotangente prin formule, simplifica expresii și puteți utiliza pi în calcule. În plus, trebuie să fiți capabil să aplicați trigonometria atunci când demonstrați teoreme, iar acest lucru necesită fie o memorie matematică dezvoltată, fie capacitatea de a deduce lanțuri logice complexe.

Originile trigonometriei

Cunoașterea acestei științe ar trebui să înceapă cu determinarea sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi, dar mai întâi trebuie să vă dați seama ce face trigonometria în general.

Din punct de vedere istoric, triunghiurile dreptunghiulare au fost obiectul principal de cercetare în această ramură a științei matematice. Prezența unui unghi de 90 de grade face posibilă efectuarea diferitelor operații care permit determinarea valorilor tuturor parametrilor figurii în cauză pe două laturi și un colț sau pe două unghiuri și o latură. În trecut, oamenii au observat acest model și au început să-l folosească în mod activ în construcția de clădiri, navigație, în astronomie și chiar în artă.

Primul stagiu

Inițial, oamenii au vorbit despre relația dintre unghiuri și laturi exclusiv pe exemplul triunghiurilor dreptunghiulare. Apoi au fost descoperite formule speciale care au făcut posibilă extinderea limitelor de utilizare în Viata de zi cu zi a acestei secţiuni de matematică.

Studiul trigonometriei la școală începe astăzi cu triunghiuri dreptunghiulare, după care cunoștințele dobândite sunt folosite de studenți la fizică și rezolvarea abstractelor. ecuații trigonometrice, muncă cu care începe în liceu.

Trigonometrie sferică

Mai târziu, când știința a ajuns la următorul nivel de dezvoltare, formulele cu sinus, cosinus, tangentă, cotangentă au început să fie folosite în geometria sferică, unde se aplică reguli diferite, iar suma unghiurilor dintr-un triunghi este întotdeauna mai mare de 180 de grade. Această secțiune nu este studiată la școală, dar este necesar să știm despre existența ei cel puțin pentru că suprafața pământului, precum și suprafața oricărei alte planete, este convexă, ceea ce înseamnă că orice marcaj de suprafață va fi „arcuit” în trei dimensiuni. spaţiu.

Luați globul și sfoara. Atașați sfoara la oricare două puncte de pe glob, astfel încât să fie întins. Atenție - a luat forma unui arc. Geometria sferică, care este folosită în geodezie, astronomie și alte domenii teoretice și aplicate, se ocupă de astfel de forme.

Triunghi dreptunghic

După ce am învățat puțin despre modalitățile de utilizare a trigonometriei, să revenim la trigonometria de bază pentru a înțelege mai bine ce sunt sinus, cosinus, tangentă, ce calcule pot fi efectuate cu ajutorul lor și ce formule să folosiți în acest caz.

Primul pas este să înțelegeți conceptele legate de un triunghi dreptunghic. În primul rând, ipotenuza este latura opusă unghiului de 90 de grade. Este cel mai lung. Ne amintim că, conform teoremei lui Pitagora, valoarea sa numerică este egală cu rădăcina sumei pătratelor celorlalte două laturi.

De exemplu, dacă cele două laturi au 3, respectiv 4 centimetri, lungimea ipotenuzei este de 5 centimetri. Apropo, egiptenii antici știau despre asta în urmă cu aproximativ patru mii și jumătate de ani.

Cele două laturi rămase, care formează un unghi drept, se numesc picioare. În plus, trebuie amintit că suma unghiurilor dintr-un triunghi într-un sistem de coordonate dreptunghiular este de 180 de grade.

Definiție

În cele din urmă, cu o înțelegere fermă a bazei geometrice, se poate apela la definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi.

Sinusul unui unghi este raportul dintre piciorul opus (adică partea opusă unghiul dorit) la ipotenuză. Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Amintiți-vă că nici sinus, nici cosinus nu pot fi mai mari decât unu! De ce? Deoarece ipotenuza este implicit cea mai lungă. Indiferent de cât de lungă catetul, acesta va fi mai scurt decât ipotenuza, ceea ce înseamnă că raportul lor va fi întotdeauna mai mic de unu. Astfel, dacă aveți un sinus sau cosinus cu o valoare mai mare de 1 în răspunsul la o problemă, căutați o eroare în calcule sau raționament. Acest răspuns este cu siguranță greșit.

În cele din urmă, tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Împărțirea sinusului la cosinus va da același rezultat. Uite: conform formulei, împărțim lungimea laturii cu ipotenuză, apoi împărțim cu lungimea celei de-a doua laturi și înmulțim cu ipotenuză. Astfel, obținem aceeași relație ca și în definiția tangentei.

Cotangenta, respectiv, este raportul dintre latura adiacentă colțului și latura opusă. Același rezultat îl obținem împărțind unitatea la tangentă.

Deci, am luat în considerare definițiile a ceea ce este sinus, cosinus, tangentă și cotangentă și putem face formulele.

Cele mai simple formule

În trigonometrie, nu puteți face fără formule - cum să găsiți sinus, cosinus, tangentă, cotangentă fără ele? Dar exact acest lucru este necesar atunci când rezolvați probleme.

Prima formulă pe care trebuie să o știți când începeți să învățați trigonometria spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este egală cu unu. Această formulă este o consecință directă a teoremei lui Pitagora, dar economisește timp dacă vrei să cunoști unghiul, nu latura.

Mulți elevi nu își pot aminti a doua formulă, care este, de asemenea, foarte populară atunci când rezolvă probleme școlare: suma lui unu și pătratul tangentei unui unghi este egală cu unul împărțit la pătratul cosinusului unghiului. Aruncă o privire mai atentă: la urma urmei, aceasta este aceeași afirmație ca în prima formulă, doar ambele părți ale identității au fost împărțite la pătratul cosinusului. Se dovedește că o simplă operație matematică face formula trigonometrică complet de nerecunoscut. Amintiți-vă: știind ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, regulile de transformare și câteva formule de bază, puteți oricând să deduceți pe o coală de hârtie formulele mai complexe necesare.

Formule cu unghi dublu și adăugare de argumente

Încă două formule pe care trebuie să le învățați sunt legate de valorile sinusului și cosinusului pentru suma și diferența unghiurilor. Ele sunt prezentate în figura de mai jos. Vă rugăm să rețineți că, în primul caz, sinusul și cosinusul sunt înmulțite de ambele ori, iar în al doilea, produsul pe perechi dintre sinus și cosinus se adaugă.

Există și formule asociate cu argumente cu unghi dublu. Sunt complet derivate din cele anterioare - ca antrenament, încercați să le obțineți singur, luând unghiul alfa egal cu unghiul beta.

În cele din urmă, rețineți că formulele cu unghi dublu pot fi transformate pentru a reduce gradul de sinus, cosinus și tangentă alfa.

Teoreme

Cele două teoreme principale în trigonometrie de bază sunt teorema sinusului și teorema cosinusului. Cu ajutorul acestor teoreme, puteți înțelege cu ușurință cum să găsiți sinusul, cosinusul și tangenta și, prin urmare, aria figurii și mărimea fiecărei laturi etc.

Teorema sinusului spune că împărțirea lungimii fiecărei laturi a unui triunghi la valoarea unghiului opus dă același număr. Mai mult, acest număr va fi egal cu două raze ale cercului circumscris, adică cercul care conține toate punctele triunghiului dat.

Teorema cosinusului generalizează teorema lui Pitagora prin proiectarea ei pe orice triunghi. Se pare că din suma pătratelor celor două laturi, scădeți produsul lor, înmulțit cu cosinusul dublu al unghiului adiacent acestora - valoarea rezultată va fi egală cu pătratul celei de-a treia laturi. Astfel, teorema lui Pitagora se dovedește a fi un caz special al teoremei cosinusului.

Erori neatenționate

Chiar și știind ce sunt sinus, cosinus și tangentă, este ușor să faci o greșeală din cauza distragerii atenției sau a unei erori în cele mai simple calcule. Pentru a evita astfel de greșeli, să aruncăm o privire la cele mai populare.

În primul rând, nu ar trebui să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale până când nu se obține rezultatul final - puteți lăsa răspunsul sub forma fracție comună cu excepția cazului în care se prevede altfel în condiție. O astfel de transformare nu poate fi numită eroare, dar trebuie amintit că în fiecare etapă a sarcinii pot apărea noi rădăcini, care, conform ideii autorului, ar trebui scurtate. În acest caz, veți pierde timpul cu operații matematice inutile. Acest lucru este valabil mai ales pentru valori precum rădăcina lui trei sau doi, deoarece se găsesc în probleme la fiecare pas. Același lucru este valabil și pentru rotunjirea numerelor „urâte”.

Mai mult, rețineți că teorema cosinusului se aplică oricărui triunghi, dar nu teorema lui Pitagora! Dacă uitați din greșeală să scădeți produsul dublu al laturilor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele, nu numai că veți obține un rezultat complet greșit, dar veți demonstra și o lipsă totală de înțelegere a subiectului. Acest lucru este mai rău decât o greșeală neglijentă.

În al treilea rând, nu confundați valorile pentru unghiuri de 30 și 60 de grade pentru sinusuri, cosinus, tangente, cotangente. Amintiți-vă aceste valori, deoarece sinusul de 30 de grade este egal cu cosinusul lui 60 și invers. Este ușor să le confundați, în urma căruia veți obține inevitabil un rezultat eronat.

Aplicație

Mulți studenți nu se grăbesc să înceapă să învețe trigonometria, deoarece nu înțeleg sensul aplicat al acesteia. Ce este sinusul, cosinusul, tangenta pentru un inginer sau astronom? Acestea sunt concepte datorită cărora puteți calcula distanța până la stelele îndepărtate, puteți prezice căderea unui meteorit, puteți trimite o sondă de cercetare pe o altă planetă. Fără ele, este imposibil să construiești o clădire, să proiectezi o mașină, să calculezi sarcina pe o suprafață sau traiectoria unui obiect. Și acestea sunt doar exemplele cele mai evidente! La urma urmei, trigonometria într-o formă sau alta este folosită peste tot, de la muzică la medicină.

In cele din urma

Deci ești sinus, cosinus, tangentă. Le puteți folosi în calcule și rezolva cu succes problemele școlare.

Întregul punct al trigonometriei se rezumă la faptul că parametrii necunoscuți ai triunghiului trebuie să fie calculați folosind parametrii cunoscuți. Există șase dintre acești parametri: lungimile celor trei laturi și mărimile celor trei unghiuri. Toată diferența dintre sarcini este că sunt date diferite intrări.

Acum știți cum să găsiți sinusul, cosinusul, tangenta pe baza lungimii cunoscute ale catetelor sau ipotenuzei. Deoarece acești termeni nu înseamnă altceva decât un raport, iar un raport este o fracție, scopul principal al unei probleme trigonometrice este de a găsi rădăcinile unei ecuații obișnuite sau ale unui sistem de ecuații. Și aici matematica școlară obișnuită te va ajuta.

Sinusul este una dintre funcțiile trigonometrice de bază, a cărei utilizare nu se limitează la o singură geometrie. Tabelele pentru calcularea funcțiilor trigonometrice, cum ar fi calculatoarele de inginerie, nu sunt întotdeauna la îndemână, iar calcularea sinusului este uneori necesară pentru a rezolva diverse probleme. În general, calcularea sinusului vă va ajuta să vă consolidați abilitățile de desen și cunoștințele despre identitățile trigonometrice.

Jocuri cu riglă și creion

Problemă simplă: cum să găsești sinusul unui unghi desenat pe hârtie? Pentru rezolvare, veți avea nevoie de o riglă obișnuită, un triunghi (sau busole) și un creion. Cel mai simplu mod de a calcula sinusul unui unghi este împărțirea catetului îndepărtat al unui triunghi cu unghi drept la latura lungă - ipotenuza. Astfel, mai întâi trebuie să completați unghiul ascuțit la forma unui triunghi dreptunghic trasând o linie perpendiculară pe una dintre raze la o distanță arbitrară de vârful unghiului. Va trebui să observați unghiul exact de 90 °, pentru care avem nevoie de un triunghi clerical.

Utilizarea unei busole este puțin mai precisă, dar va dura mai mult. Pe una dintre raze, trebuie să marcați 2 puncte la o anumită distanță, să reglați raza pe busolă, aproximativ egală cu distanța dintre puncte și să desenați semicercuri cu centre în aceste puncte până când sunt obținute intersecțiile acestor linii. Conectând punctele de intersecție ale cercurilor noastre între ele, obținem o perpendiculară strictă pe raza colțului nostru, rămâne doar să extindem linia până când se intersectează cu o altă rază.

În triunghiul rezultat, trebuie să măsurați latura opusă colțului cu o riglă și latura lungă pe una dintre raze. Raportul dintre prima dimensiune și a doua va fi valoarea dorită a sinusului unghiului ascuțit.

Aflați sinusul pentru un unghi mai mare de 90 °

Pentru un unghi obtuz, sarcina nu este mult mai dificilă. Trebuie să desenați o rază de sus spre partea opusă folosind o riglă pentru a forma o linie dreaptă cu una dintre razele unghiului de interes. Cu unghiul acut obținut, ar trebui să procedați așa cum este descris mai sus, sinusurile unghiurilor adiacente, care împreună formează un unghi dezvoltat de 180 °, sunt egale.

Calcularea sinusului din alte funcții trigonometrice

De asemenea, este posibil să se calculeze sinusul dacă sunt cunoscute valorile altor funcții trigonometrice ale unghiului sau cel puțin lungimile laturilor triunghiului. Identitățile trigonometrice ne vor ajuta în acest sens. Să ne uităm la exemple comune.

Cum să găsiți sinusul pentru un cosinus cunoscut al unui unghi? Prima identitate trigonometrică, bazată pe teorema lui Pitagora, afirmă că suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este egală cu unu.

Cum să găsiți sinusul la o tangentă cunoscută a unui unghi? Tangenta se obține prin împărțirea catetului îndepărtat la cel apropiat sau prin împărțirea sinusului la cosinus. Astfel, sinusul va fi produsul cosinusului și tangentei, iar pătratul sinusului va fi pătratul acestui produs. Înlocuim cosinusul din pătrat cu diferența dintre unu și sinusul pătrat în funcție de prima identitate trigonometrică și, folosind manipulări simple, aducem ecuația la calculul sinusului pătrat prin tangentă, respectiv, pentru a calcula sinusul, va trebui să extragem rădăcina din rezultatul obţinut.

Cum să găsiți sinusul cu o cotangentă cunoscută a unui unghi? Valoarea cotangentei poate fi calculată împărțind lungimea piciorului din apropierea colțului la lungimea piciorului îndepărtat, precum și împărțind cosinusul la sinus, adică cotangentea este o funcție inversă tangentei relativ la numărul 1. Pentru a calcula sinusul, puteți calcula tangenta cu formula tg α = 1 / ctg α și utilizați formula din a doua opțiune. De asemenea, puteți obține o formulă directă prin analogie cu tangenta, care va arăta astfel.

Cum să găsești sinusul pe trei laturi ale unui triunghi

Există o formulă pentru a găsi lungimea laturii necunoscute a oricărui triunghi, nu doar dreptunghiular, de-a lungul a două laturi cunoscute folosind funcția trigonometrică a cosinusului unghiului opus. Arata cam asa.