Când rezolvi multe probleme de matematică, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, liniare și inegalități de pătrat, ecuații fracționaleși ecuații care se reduc la pătratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre sarcinile menționate este următorul: este necesar să se stabilească ce tip de sarcină este rezolvată, să se rețină succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.
În mod evident, succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz, este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.
O situație diferită apare cu ecuații trigonometrice. Nu este greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea secvenței de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.
De aspect ecuații uneori este dificil de determinat tipul acesteia. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.
Pentru a rezolva ecuația trigonometrică, trebuie să încercăm:
1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „aceleași funcții”;
3. factorizați partea stângă a ecuației etc.
Considera metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.
I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice
Schema de rezolvare
Pasul 1. Exprimați funcția trigonometrică în termeni de componente cunoscute.
Pasul 2 Găsiți argumentul funcției folosind formule:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
Pasul 3 Găsiți o variabilă necunoscută.
Exemplu.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Decizie.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Substituție variabilă
Schema de rezolvare
Pasul 1. Aduceți ecuația în formă algebrică în raport cu unul dintre funcții trigonometrice.
Pasul 2 Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).
Pasul 3 Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.
Pasul 4 Faceți o înlocuire inversă.
Pasul 5 Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.
Exemplu.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Decizie.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 sau e = -3/2 nu satisface condiția |t| ≤ 1.
4) sin (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor
Schema de rezolvare
Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară folosind formulele de reducere a puterii:
sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Pasul 2 Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.
Exemplu.
cos2x + cos2x = 5/4.
Decizie.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ecuații omogene
Schema de rezolvare
Pasul 1. Aduceți această ecuație în formă
a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)
sau la vedere
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).
Pasul 2Împărțiți ambele părți ale ecuației la
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
și obțineți ecuația pentru tg x:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Pasul 3 Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.
Exemplu.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Decizie.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Fie tg x = t, atunci
t2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 sau t = -4, deci
tg x = 1 sau tg x = -4.
Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metoda de transformare a unei ecuatii folosind formule trigonometrice
Schema de rezolvare
Pasul 1. Folosind tot felul de formule trigonometrice, aduceți această ecuație la o ecuație care poate fi rezolvată prin metodele I, II, III, IV.
Pasul 2 Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.
Exemplu.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Decizie.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;
Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.
Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Ca rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Răspuns: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Abilitatea și abilitățile de a rezolva ecuații trigonometrice sunt foarte 
important, dezvoltarea lor necesită un efort considerabil, atât din partea elevului, cât și a profesorului.
Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme, așa cum spune, conține multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite la studierea elementelor de trigonometrie.
Ecuații trigonometrice ocupă un loc important în procesul de predare a matematicii și de dezvoltare a personalității în general.
Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Necesită cunoașterea formulelor de bază ale trigonometriei - suma pătratelor sinusului și cosinusului, expresia tangentei prin sinus și cosinus și altele. Pentru cei care le-au uitat sau nu le cunosc, recomandam citirea articolului „”.
Așadar, cunoaștem formulele trigonometrice de bază, este timpul să le punem în practică. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice cu abordarea corectă, este o activitate destul de interesantă, cum ar fi, de exemplu, rezolvarea unui cub Rubik.
Pe baza numelui în sine, este clar că o ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul se află sub semnul unei funcții trigonometrice.
Există așa-numitele ecuații trigonometrice simple. Iată cum arată: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Considera, cum se rezolvă astfel de ecuații trigonometrice, pentru claritate, vom folosi cercul trigonometric deja familiar.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
pat x = a
Orice ecuație trigonometrică se rezolvă în două etape: aducem ecuația la cea mai simplă formă și apoi o rezolvăm ca cea mai simplă ecuație trigonometrică.
Există 7 metode principale prin care se rezolvă ecuațiile trigonometrice.
Substituția variabilă și metoda substituției
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin factorizare
Reducerea la o ecuație omogenă
Rezolvarea ecuațiilor, prin trecerea la jumătate de unghi
Introducerea unui unghi auxiliar
Rezolvați ecuația 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0
Folosind formulele de reducere obținem:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Să înlocuim cos(x + /6) cu y pentru simplitate și să obținem ecuația pătratică obișnuită:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Rădăcinile cărora y 1 = 1, y 2 = 1/2
Acum să mergem înapoi
Înlocuim valorile găsite ale lui y și obținem două răspunsuri:
Cum se rezolvă ecuația sin x + cos x = 1?
Să mutam totul la stânga, astfel încât 0 să rămână în dreapta:
sin x + cos x - 1 = 0
Folosim identitățile de mai sus pentru a simplifica ecuația:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Să facem factorizarea:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Obținem două ecuații
O ecuație este omogenă față de sinus și cosinus dacă toți termenii ei față de sinus și cosinus sunt de același grad și același unghi. Pentru a rezolva o ecuație omogenă, procedați după cum urmează:
a) transferă toți membrii săi în partea stângă;
b) scoateți toți factorii comuni dintre paranteze;
c) egalează toți factorii și parantezele la 0;
d) între paranteze se obține o ecuație omogenă de grad mai mic care, la rândul ei, se împarte la un sinus sau cosinus într-un grad superior;
e) rezolvați ecuația rezultată pentru tg.
Rezolvați ecuația 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Să folosim formula sin 2 x + cos 2 x = 1 și să scăpăm de cele două deschise din dreapta:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Împărțiți la cosx:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Înlocuim tg x cu y și obținem o ecuație pătratică:
y 2 + 4y +3 = 0 ale căror rădăcini sunt y 1 =1, y 2 = 3
De aici găsim două soluții la ecuația inițială:
x 2 \u003d arctg 3 + k
Rezolvați ecuația 3sin x - 5cos x = 7
Să trecem la x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Mutând totul la stânga:
2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Împărțire la cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Pentru a lua în considerare, să luăm o ecuație de forma: a sin x + b cos x \u003d c,
unde a, b, c sunt niște coeficienți arbitrari și x este o necunoscută.
Împărțiți ambele părți ale ecuației la:
Acum coeficienții ecuației, conform formulelor trigonometrice, au proprietățile sin și cos și anume: modulul lor nu este mai mare de 1 și suma pătratelor = 1. Să-i notăm, respectiv, cos și sin, unde este așa-numitul unghi auxiliar. Atunci ecuația va lua forma:
cos * sin x + sin * cos x \u003d C
sau sin(x + ) = C
Soluția pentru această ecuație trigonometrică simplă este
x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, unde
Trebuie remarcat faptul că denumirile cos și sin sunt interschimbabile.
Rezolvați ecuația sin 3x - cos 3x = 1
În această ecuație, coeficienții sunt:
a \u003d, b \u003d -1, deci împărțim ambele părți la \u003d 2
Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare promovării cu succes a examenului la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 examen de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referinta, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru solutie sarcini provocatoare 2 părți ale examenului.
Ecuațiile trigonometrice nu sunt subiectul cel mai ușor. În mod dureros sunt diverse.) De exemplu, acestea:
sin2x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
etc...
Dar acești monștri trigonometrici (și toți ceilalți) au două caracteristici comune și obligatorii. În primul rând - nu o să credeți - există funcții trigonometrice în ecuații.) În al doilea rând: toate expresiile cu x sunt în cadrul acestor aceleaşi funcţii.Și numai acolo! Dacă x apare undeva in afara, De exemplu, sin2x + 3x = 3, aceasta va fi o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații necesită o abordare individuală. Aici nu le vom lua în considerare.
Nici în această lecție nu vom rezolva ecuații malefice.) Aici ne vom ocupa de cele mai simple ecuații trigonometrice. De ce? Da, pentru că decizia orice ecuațiile trigonometrice sunt formate din două etape. În prima etapă, ecuația malefica este redusă la una simplă prin diverse transformări. Pe al doilea - această ecuație cea mai simplă este rezolvată. Nici o alta cale.
Deci, dacă aveți probleme în a doua etapă, prima etapă nu are prea mult sens.)
Cum arată ecuațiile trigonometrice elementare?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Aici A reprezintă orice număr. Orice.
Apropo, în interiorul funcției poate să nu existe un x pur, ci un fel de expresie, cum ar fi:
cos(3x+π /3) = 1/2
etc. Acest lucru complică viața, dar nu afectează metoda de rezolvare a ecuației trigonometrice.
Cum se rezolvă ecuații trigonometrice?
Ecuațiile trigonometrice pot fi rezolvate în două moduri. Prima modalitate: folosind logica și un cerc trigonometric. Vom explora acest drum aici. A doua modalitate - folosirea memoriei și a formulelor - va fi luată în considerare în lecția următoare.
Prima modalitate este clară, de încredere și greu de uitat.) Este bună pentru a rezolva ecuații trigonometrice, inegalități și tot felul de exemple nestandardizate complicate. Logica este mai puternică decât memoria!
Rezolvăm ecuații folosind un cerc trigonometric.
Includem logica elementară și capacitatea de a folosi un cerc trigonometric. Nu poti!? Totuși... Îți va fi greu în trigonometrie...) Dar nu contează. Aruncă o privire la lecțiile „Cercul trigonometric ...... Ce este?” și „Numărarea unghiurilor pe un cerc trigonometric”. Totul este simplu acolo. Spre deosebire de manuale...)
Ah, stii!? Și chiar stăpâniți „Lucrare practică cu cerc trigonometric”!? Acceptă felicitări. Acest subiect vă va fi apropiat și de înțeles.) Ceea ce este deosebit de plăcut este că cercul trigonometric nu îi pasă ce ecuație rezolvați. Sinus, cosinus, tangent, cotangent - totul este la fel pentru el. Principiul soluției este același.
Deci luăm orice ecuație trigonometrică elementară. Cel putin asta:
cosx = 0,5
Trebuie să-l găsesc pe X. Vorbind în limbaj uman, ai nevoie găsiți unghiul (x) al cărui cosinus este 0,5.
Cum am folosit cercul înainte? Am desenat un colț pe el. În grade sau radiani. Și imediat văzut funcţiile trigonometrice ale acestui unghi. Acum să facem invers. Desenați un cosinus egal cu 0,5 pe cerc și imediat vom vedea injecţie. Rămâne doar să notăm răspunsul.) Da, da!
Desenăm un cerc și marchem cosinusul egal cu 0,5. Pe axa cosinusului, desigur. Ca aceasta:
Acum să desenăm unghiul pe care ni-l dă acest cosinus. Treceți mouse-ul peste imagine (sau atingeți imaginea de pe o tabletă) și vedea același colț X.
Care unghi are un cosinus de 0,5?
x \u003d π / 3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Unii oameni vor mormăi sceptici, da... Ei spun, a meritat să îngrădești cercul, când oricum totul este clar... Poți, desigur, mormăi...) Dar adevărul este că aceasta este o eroare. Răspuns. Sau mai degrabă inadecvat. Cunoscătorii cercului înțeleg că există încă o grămadă de unghiuri care dau și un cosinus egal cu 0,5.
Dacă întoarceți partea mobilă OA pentru o tură completă, punctul A va reveni la poziția inițială. Cu același cosinus egal cu 0,5. Acestea. unghiul se va schimba 360° sau 2π radiani și cosinus nu este. Noul unghi 60° + 360° = 420° va fi, de asemenea, o soluție pentru ecuația noastră, deoarece
Există un număr infinit de astfel de rotații complete... Și toate aceste unghiuri noi vor fi soluții la ecuația noastră trigonometrică. Și toate trebuie să fie scrise cumva. Toate.În caz contrar, decizia nu este luată în considerare, da...)
Matematica poate face acest lucru simplu și elegant. Într-un răspuns scurt, scrieți set infinit solutii. Iată cum arată ecuația noastră:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
voi descifra. Mai scrie semnificativ mai frumos decât să desenezi prost niște litere misterioase, nu?)
π /3 este același unghi ca și noi a văzut pe cerc şi determinat conform tabelului cosinusurilor.
2π este o tură completă în radiani.
n - acesta este numărul de complete, adică întreg revoluții. Este clar că n poate fi 0, ±1, ±2, ±3.... și așa mai departe. După cum este indicat de intrarea scurtă:
n ∈ Z
n aparține ( ∈ ) la mulțimea de numere întregi ( Z ). Apropo, în loc de scrisoare n pot fi folosite litere k, m, t etc.
Această notație înseamnă că puteți lua orice număr întreg n . Cel puțin -3, cel puțin 0, cel puțin +55. Ce vrei. Dacă introduceți acel număr în răspunsul dvs., obțineți un unghi specific, care cu siguranță va fi soluția ecuației noastre dure.)
Sau, cu alte cuvinte, x \u003d π / 3 este singura rădăcină a unei mulțimi infinite. Pentru a obține toate celelalte rădăcini, este suficient să adăugați orice număr de ture complete la π / 3 ( n ) în radiani. Acestea. 2πn radian.
Tot? Nu. Întind în mod special plăcerea. Pentru a ne aminti mai bine.) Am primit doar o parte din răspunsurile ecuației noastre. Voi scrie această primă parte a soluției după cum urmează:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - nu o singură rădăcină, este o serie întreagă de rădăcini, scrise sub formă scurtă.
Dar există și alte unghiuri care dau și un cosinus egal cu 0,5!
Să revenim la poza noastră, conform căreia am notat răspunsul. Iat-o:
Deplasați mouse-ul peste imagine și vedea un alt colt care dă, de asemenea, un cosinus de 0,5. Cu ce crezi că este egală? Triunghiurile sunt la fel... Da! Este egal cu unghiul X , reprezentat doar în sens negativ. Acesta este colțul -X. Dar am calculat deja x. π /3 sau 60°. Prin urmare, putem scrie în siguranță:
x 2 \u003d - π / 3
Și, desigur, adăugăm toate unghiurile care se obțin prin ture complete:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Asta e tot acum.) Într-un cerc trigonometric, noi a văzut(cine înțelege, desigur)) toate unghiuri care dau un cosinus egal cu 0,5. Și au notat aceste unghiuri într-o formă matematică scurtă. Răspunsul sunt două serii infinite de rădăcini:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Acesta este răspunsul corect.
Speranţă, principiul general de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice cu ajutorul unui cerc este de înțeles. Marcam cosinusul (sinus, tangent, cotangent) din ecuația dată pe cerc, desenăm unghiurile corespunzătoare și notăm răspunsul. Desigur, trebuie să vă dați seama ce fel de colțuri suntem a văzut pe cerc. Uneori nu este atât de evident. Ei bine, așa cum am spus, aici este necesară logica.)
De exemplu, să analizăm o altă ecuație trigonometrică:
Vă rugăm să rețineți că numărul 0,5 nu este singurul număr posibil din ecuații!) Este mai convenabil pentru mine să-l scriu decât rădăcinile și fracțiile.
Lucrăm după principiul general. Desenăm un cerc, marcam (pe axa sinusoidală, desigur!) 0,5. Desenăm deodată toate unghiurile corespunzătoare acestui sinus. Obținem această imagine:
Să ne ocupăm mai întâi de unghi. X în primul trimestru. Amintim tabelul sinusurilor și determinăm valoarea acestui unghi. Treaba este simplă:
x \u003d π / 6
Amintim rândurile complete și, cu conștiința curată, notăm prima serie de răspunsuri:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Jumătate din treabă este făcută. Acum trebuie să definim al doilea colt... Asta e mai complicat decât în cosinus, da... Dar logica ne va salva! Cum să determinați al doilea unghi prin x? Da Ușor! Triunghiurile din imagine sunt aceleași, iar colțul roșu X egal cu unghiul X . Numai că se numără din unghiul π în direcția negativă. De aceea este roșu.) Și pentru răspuns, avem nevoie de un unghi măsurat corect din semiaxa pozitivă OX, adică. dintr-un unghi de 0 grade.
Treceți cursorul peste imagine și vedeți totul. Am scos primul colt ca sa nu complic poza. Unghiul care ne interesează (desenat în verde) va fi egal cu:
π - x
x o știm π /6 . Deci al doilea unghi va fi:
π - π /6 = 5π /6
Din nou, ne amintim adăugarea de revoluții complete și notăm a doua serie de răspunsuri:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Asta e tot. Un răspuns complet constă din două serii de rădăcini:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ecuațiile cu tangentă și cotangentă pot fi rezolvate ușor folosind același principiu general pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Dacă, desigur, nu știi cum să desenezi tangenta și cotangente pe un cerc trigonometric.
În exemplele de mai sus, am folosit valoarea tabelară a sinusului și cosinusului: 0,5. Acestea. unul dintre acele semnificații pe care le cunoaște elevul trebuie sa. Acum să ne extindem capacitățile la toate celelalte valori. Decide, deci decide!)
Deci, să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea ecuație trigonometrică:
Nu există o astfel de valoare a cosinusului în tabelele scurte. Ignorăm cu răceală acest fapt teribil. Desenăm un cerc, marcam 2/3 pe axa cosinusului și desenăm unghiurile corespunzătoare. Primim această imagine.
Înțelegem, pentru început, cu un unghi în primul sfert. Pentru a ști cu ce este x, ar nota imediat răspunsul! Nu știm... Eșec!? Calm! Matematica nu-și lasă pe ale ei în necaz! Ea a inventat arc cosinus pentru acest caz. Nu stiu? Degeaba. Aflați. Este mult mai ușor decât credeți. Conform acestui link, nu există o singură vrajă complicată despre „funcțiile trigonometrice inverse”... Este de prisos în acest subiect.
Dacă știți, spuneți-vă: „X este un unghi al cărui cosinus este 2/3”. Și imediat, pur prin definiția arccosinusului, putem scrie:
Ne amintim despre revoluții suplimentare și notăm cu calm prima serie de rădăcini a ecuației noastre trigonometrice:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
A doua serie de rădăcini se scrie și ea aproape automat, pentru al doilea unghi. Totul este la fel, doar x (arccos 2/3) va fi cu minus:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Și toate lucrurile! Acesta este răspunsul corect. Chiar mai ușor decât cu valorile tabelare. Nu trebuie să vă amintiți nimic.) Apropo, cei mai atenți vor observa că această imagine cu soluția prin arc cosinus în esență, nu este diferit de imagine pentru ecuația cosx = 0,5.
Exact! Principiu general de aceea este comun! Am desenat în mod special două imagini aproape identice. Cercul ne arată unghiul X prin cosinusul său. Este un cosinus tabular sau nu - cercul nu știe. Ce fel de unghi este acesta, π / 3, sau ce fel de arc cosinus depinde de noi să decidem.
Cu un sinus același cântec. De exemplu:
Din nou desenăm un cerc, marcam sinusul egal cu 1/3, desenăm colțurile. Rezultă această imagine:
Și din nou imaginea este aproape aceeași ca pentru ecuație sinx = 0,5.Începem din nou de la colț în primul sfert. Cu ce este x egal dacă sinusul său este 1/3? Nici o problema!
Deci primul pachet de rădăcini este gata:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Să aruncăm o privire la al doilea unghi. În exemplul cu o valoare de tabel de 0,5, a fost egal cu:
π - x
Deci aici va fi exact la fel! Doar x este diferit, arcsin 1/3. Şi ce dacă!? Puteți scrie în siguranță al doilea pachet de rădăcini:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Acesta este un răspuns complet corect. Deși nu pare foarte familiar. Dar e de înțeles, sper.)
Așa se rezolvă ecuațiile trigonometrice folosind un cerc. Această cale este clară și de înțeles. El este cel care salvează în ecuațiile trigonometrice cu selecția rădăcinilor pe un interval dat, în inegalitățile trigonometrice - acestea sunt în general rezolvate aproape întotdeauna în cerc. Pe scurt, în orice sarcini care sunt puțin mai complicate decât cele standard.
Punerea în practică a cunoștințelor?
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice:
La început este mai simplu, direct pe această lecție.
Acum e mai greu.
Sugestie: aici trebuie să te gândești la cerc. Personal.)
Și acum nepretențioși în exterior ... Se mai numesc și cazuri speciale.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Sugestie: aici trebuie să vă dați seama într-un cerc unde există două serii de răspunsuri și unde există unul... Și cum să scrieți unul în loc de două serii de răspunsuri. Da, astfel încât să nu se piardă o singură rădăcină dintr-un număr infinit!)
Ei bine, destul de simplu):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Sugestie: aici trebuie să știți ce este arcsinus, arccosinus? Ce este arc tangentă, arc tangentă? Cel mai definiții simple. Dar nu trebuie să vă amintiți nicio valoare tabelară!)
Răspunsurile sunt, desigur, în dezordine):
x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Nu merge totul? S-a întâmplat. Citiți din nou lecția. Numai gânditor(există așa cuvânt învechit...) Și urmați linkurile. Legăturile principale sunt despre cerc. Fără el în trigonometrie - cum să traversezi drumul legat la ochi. Uneori funcționează.)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informatii inclusiv numele, numărul de telefon, adresa E-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi informatii personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
- Putem folosi, de asemenea, informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Menținerea confidențialității la nivel de companie
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.