Cum să rezolvi corect ecuațiile raționale. „rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”

Continuăm discuția despre rezolvarea ecuatiilor... În acest articol, ne vom opri asupra ecuații raționaleși principiile rezolvării ecuațiilor raționale într-o variabilă. Mai întâi, să ne dăm seama ce fel de ecuații sunt numite raționale, să dăm definiția întregii ecuații raționale și fracționale, să dăm exemple. În plus, vom obține algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor raționale și, desigur, vom lua în considerare soluțiile exemplelor tipice cu toate explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Pe baza definițiilor exprimate, vom da mai multe exemple de ecuații raționale. De exemplu, x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, toate sunt ecuații raționale.

Din exemplele prezentate, se poate observa că ecuațiile raționale, precum și ecuațiile de alte tipuri, pot fi fie cu o variabilă, fie cu două, trei etc. variabile. În paragrafele următoare vom vorbi despre rezolvarea ecuațiilor raționale într-o variabilă. Rezolvarea ecuațiilor în două variabileși un număr mare dintre ele merită o atenție specială.

Pe lângă împărțirea ecuațiilor raționale la numărul de variabile necunoscute, ele sunt, de asemenea, împărțite în numere întregi și fracționale. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiție.

Ecuația rațională se numește întreg dacă ambele părți din stânga și din dreapta sunt expresii raționale întregi.

Definiție.

Dacă cel puțin una dintre părțile unei ecuații raționale este o expresie fracțională, atunci o astfel de ecuație se numește fracționat rațional(sau rațional fracțional).

Este clar că ecuațiile întregi nu conțin împărțirea printr-o variabilă; dimpotrivă, ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă (sau o variabilă în numitor). Deci 3 x + 2 = 0 și (x + y) (3 x 2 −1) + x = −y + 0,5 Sunt ecuații raționale întregi, ambele părți ale acestora sunt expresii întregi. A și x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1): 5 sunt exemple de ecuații raționale fracționale.

În încheierea acestei secțiuni, să acordăm atenție faptului că ecuațiile liniare și ecuațiile patratice cunoscute până în acest moment sunt ecuații raționale întregi.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Una dintre principalele abordări pentru rezolvarea ecuațiilor întregi este reducerea acestora la echivalent ecuații algebrice... Acest lucru se poate realiza întotdeauna prin efectuarea următoarelor transformări echivalente ale ecuației:

• mai întâi, expresia din partea dreaptă a întregii ecuații originale este transferată în partea stângă cu semnul opus pentru a obține zero în partea dreaptă;
• după aceea, în partea stângă a ecuației, rezultatul vedere standard.

Rezultatul este o ecuație algebrică care este echivalentă cu întreaga ecuație originală. Deci, în cele mai simple cazuri, rezolvarea ecuațiilor întregi se reduce la rezolvarea ecuațiilor liniare sau pătratice, iar în cazul general - la rezolvarea unei ecuații algebrice de gradul n. Pentru claritate, să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile întregii ecuații 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) −3.

Soluţie.

Să reducem soluția acestei întregi ecuații la soluția unei ecuații algebrice echivalente cu ea. Pentru a face acest lucru, în primul rând, transferăm expresia din partea dreaptă în stânga, ca urmare, ajungem la ecuație 3 (x + 1) (x − 3) −x (2 x − 1) + 3 = 0... Și, în al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă într-un polinom al formei standard, efectuând următoarele: 3 (x + 1) (x − 3) −x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) −2 x 2 + x + 3 = 3 x 2 −9 x + 3 x − 9−2 x 2 + x + 3 = x 2 −5 x − 6... Astfel, rezolvarea întregii ecuații inițiale se reduce la rezolvarea ecuației pătratice x 2 −5 · x − 6 = 0.

Îi calculăm discriminantul D = (- 5) 2 −4 1 (−6) = 25 + 24 = 49, este pozitiv, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale, pe care le găsim prin formula pentru rădăcinile ecuației pătratice:

Pentru o încredere deplină, vom evolua verificarea rădăcinilor găsite ale ecuației... Mai întâi, verificăm rădăcina 6, înlocuim-o cu variabila x în ecuația întregă originală: 3 (6 + 1) (6−3) = 6 (2 6−1) −3, care este același, 63 = 63. Aceasta este o egalitate numerică validă, deci x = 6 este într-adevăr rădăcina ecuației. Acum verificăm rădăcina −1, avem 3 (−1 + 1) (−1−3) = (- 1) (2 (−1) −1) −3, de unde, 0 = 0. Pentru x = −1, ecuația originală sa transformat și într-o egalitate numerică adevărată, prin urmare, x = −1 este și rădăcina ecuației.

Răspuns:

6 , −1 .

De asemenea, trebuie remarcat aici că termenul „gradul întregii ecuații” este asociat cu reprezentarea întregii ecuații sub forma unei ecuații algebrice. Să dăm o definiție adecvată:

Definiție.

Gradul întregii ecuații se numește gradul unei ecuații algebrice echivalente cu aceasta.

Conform acestei definiții, întreaga ecuație din exemplul precedent este de gradul doi.

Pe aceasta s-ar putea termina cu rezolvarea unor ecuații raționale întregi, dacă nu o singură, dar... După cum se știe, soluția ecuațiilor algebrice de grad mai mare decât al doilea este asociată cu dificultăți semnificative, iar pentru ecuațiile de grad mai mare decât a patra, nu există deloc formule generale de rădăcină. Prin urmare, pentru a rezolva ecuații întregi de gradul al treilea, al patrulea și de gradul superior, de multe ori trebuie să recurgem la alte metode de rezolvare.

În astfel de cazuri, o abordare a rezolvării întregii ecuații raționale pe baza metoda factorizării... În acest caz, se respectă următorul algoritm:

• în primul rând, se asigură că există zero în partea dreaptă a ecuației, pentru aceasta, expresia este transferată din partea dreaptă a întregii ecuații la stânga;
• apoi, expresia rezultată din stânga este reprezentată ca un produs al mai multor factori, ceea ce vă permite să mergeți la un set de mai multe ecuații mai simple.

Algoritmul dat pentru rezolvarea întregii ecuații prin factorizare necesită o explicație detaliată folosind un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați întreaga ecuație (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) = 2 x (x 2 −10 x + 13).

Soluţie.

Mai întâi, ca de obicei, transferăm expresia din partea dreaptă în partea stângă a ecuației, fără a uita să schimbăm semnul, obținem (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) - 2 x (x 2 −10 x + 13) = 0. Aici este destul de evident că nu este recomandabil să transformați partea stângă a ecuației rezultate într-un polinom de forma standard, deoarece aceasta va da o ecuație algebrică de gradul al patrulea al formei. x 4 −12 x 3 + 32 x 2 −16 x − 13 = 0, a cărui soluție este dificilă.

Pe de altă parte, este evident că în partea stângă a ecuației rezultate se poate x 2 −10 · x + 13, reprezentându-l astfel ca un produs. Noi avem (x 2 −10 x + 13) (x 2 −2 x − 1) = 0... Ecuația rezultată este echivalentă cu întreaga ecuație originală și, la rândul său, poate fi înlocuită cu un set de două ecuații pătratice x 2 −10 x + 13 = 0 și x 2 −2 x − 1 = 0. Găsirea rădăcinilor lor conform formulelor rădăcinilor binecunoscute prin discriminant nu este dificilă, rădăcinile sunt egale. Ele sunt rădăcinile dorite ale ecuației originale.

Răspuns:

Este util și pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi noua metoda de injectare variabila... În unele cazuri, vă permite să mergeți la ecuații al căror grad este mai mic decât gradul întregii ecuații originale.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile reale ale ecuației raționale (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = −2 (x 2 + 3 x − 4).

Soluţie.

Reducerea acestei ecuații raționale la o ecuație algebrică nu este, ca să spunem ușor, o idee nu foarte bună, deoarece în acest caz vom ajunge la necesitatea rezolvării unei ecuații de gradul al patrulea care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, va trebui să cauți o altă soluție.

Aici este ușor de observat că puteți introduce o nouă variabilă y și o puteți înlocui cu expresia x 2 + 3 · x. Această înlocuire ne conduce la întreaga ecuație (y + 1) 2 + 10 = −2 ecuația y 2 + 4 y + 3 = 0. Rădăcinile acestei ecuații y = −1 și y = −3 sunt ușor de găsit, de exemplu, ele pot fi selectate pe baza unei teoreme inverse teoremei lui Vieta.

Acum trecem la a doua parte a metodei de introducere a unei noi variabile, adică la înlocuirea inversă. Efectuând schimbarea inversă, obținem două ecuații x 2 + 3 x = −1 și x 2 + 3 x = −3, care pot fi rescrise ca x 2 + 3 x + 1 = 0 și x 2 + 3 x + 3 = 0. Folosind formula pentru rădăcinile ecuației pătratice, găsim rădăcinile primei ecuații. Și a doua ecuație pătratică nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul ei este negativ (D = 3 2 −4 · 3 = 9−12 = −3).

Răspuns:

În general, atunci când avem de-a face cu ecuații întregi de grade înalte, trebuie să fim întotdeauna pregătiți să căutăm o metodă non-standard sau un truc artificial pentru rezolvarea lor.

Rezolvarea ecuațiilor fracționale raționale

În primul rând, va fi util să ne dăm seama cum să rezolvăm ecuații raționale fracționale de forma, unde p (x) și q (x) sunt expresii raționale întregi. Și apoi vom arăta cum să reducem soluția ecuațiilor raționale fracționale rămase la soluția ecuațiilor de forma indicată.

Una dintre abordările de rezolvare a ecuației se bazează pe următoarea afirmație: fracția numerică u/v, unde v este un număr diferit de zero (altfel vom întâlni un număr care nu este definit), este egală cu zero dacă și numai dacă este numărătorul este egal cu zero, atunci este, dacă și numai dacă u = 0. În virtutea acestei afirmații, soluția ecuației se reduce la îndeplinirea a două condiții p (x) = 0 și q (x) ≠ 0.

Această concluzie corespunde următoarelor un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale... Pentru a rezolva o ecuație rațională fracțională de formă, aveți nevoie

• rezolvați întreaga ecuație rațională p (x) = 0;
• și verificați dacă condiția q (x) ≠ 0 este îndeplinită pentru fiecare rădăcină găsită și
• dacă este satisfăcută, atunci această rădăcină este rădăcina ecuației originale;
• dacă nu, atunci această rădăcină este străină, adică nu este rădăcina ecuației originale.

Să ne uităm la un exemplu de utilizare a algoritmului sunat atunci când rezolvăm o ecuație rațională fracțională.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Aceasta este o ecuație fracțională rațională de forma, unde p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 −2 = 0.

Conform algoritmului de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale de acest fel, trebuie mai întâi să rezolvăm ecuația 3 x − 2 = 0. Este o ecuație liniară a cărei rădăcină este x = 2/3.

Rămâne să verificăm această rădăcină, adică să verificăm dacă îndeplinește condiția 5 · x 2 −2 ≠ 0. Înlocuiți în expresia 5 · x 2 −2 în loc de x numărul 2/3, obținem. Condiția este îndeplinită, prin urmare x = 2/3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

2/3 .

Soluția unei ecuații raționale fracționale poate fi abordată dintr-o poziție ușor diferită. Această ecuație este echivalentă cu întreaga ecuație p (x) = 0 pe variabila x a ecuației inițiale. Adică poți să te ții de asta algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale :

• se rezolvă ecuația p (x) = 0;
• găsiți ODZ a variabilei x;
• luați rădăcinile care aparțin intervalului de valori admisibile - acestea sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

De exemplu, să rezolvăm o ecuație rațională fracțională folosind acest algoritm.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Mai întâi, rezolvați ecuația pătratică x 2 −2 x − 11 = 0. Rădăcinile sale pot fi calculate folosind formula rădăcinii pentru un al doilea coeficient chiar, avem D 1 = (- 1) 2 −1 (−11) = 12, și .

În al doilea rând, găsim ODV-ul variabilei x pentru ecuația originală. Este format din toate numerele pentru care x 2 + 3 x ≠ 0, care este același x (x + 3) ≠ 0, de unde x ≠ 0, x ≠ −3.

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite la primul pas sunt incluse în ODZ. Evident ca da. Prin urmare, ecuația originală rațională fracțională are două rădăcini.

Răspuns:

Rețineți că această abordare este mai avantajoasă decât prima dacă este ușor de găsit GDV și este mai ales benefică dacă, în acest caz, rădăcinile ecuației p (x) = 0 sunt iraționale, de exemplu, sau raționale, dar cu un numărător și/sau numitor destul de mare, de exemplu, 127/1101 și -31/59. Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, verificarea condiției q (x) ≠ 0 va necesita eforturi de calcul semnificative și este mai ușor să excludeți rădăcinile străine din ODZ.

În alte cazuri, la rezolvarea ecuației, mai ales când rădăcinile ecuației p (x) = 0 sunt întregi, este mai avantajos să se folosească primul dintre algoritmii prezentați. Adică, este recomandabil să găsiți imediat rădăcinile întregii ecuații p (x) = 0 și apoi să verificați dacă condiția q (x) ≠ 0 este îndeplinită pentru ele, mai degrabă decât să găsiți ODV și apoi să rezolvați ecuația p (x) = 0 pe acest ODV ... Acest lucru se datorează faptului că în astfel de cazuri este de obicei mai ușor să faceți o verificare decât să găsiți un LDO.

Să luăm în considerare soluția a două exemple pentru a ilustra nuanțele specificate.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

În primul rând, găsim rădăcinile întregii ecuații (2 x − 1) (x − 6) (x 2 −5 x + 14) (x + 1) = 0, compusă folosind numărătorul fracției. Partea stângă a acestei ecuații este produsul, iar partea dreaptă este zero, prin urmare, conform metodei de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare, această ecuație este echivalentă cu un set de patru ecuații 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 −5 x + 14 = 0, x + 1 = 0. Trei dintre aceste ecuații sunt liniare și una pătrată, le putem rezolva. Din prima ecuație găsim x = 1/2, din a doua - x = 6, din a treia - x = 7, x = −2, din a patra - x = −1.

Cu rădăcinile găsite, este destul de ușor să le verificați dacă numitorul fracției din partea stângă a ecuației inițiale dispare cu ele și, dimpotrivă, nu este atât de ușor să determinați ODV, deoarece aceasta va necesită rezolvarea unei ecuații algebrice de gradul cinci. Prin urmare, vom abandona găsirea ODZ în favoarea verificării rădăcinilor. Pentru a face acest lucru, le înlocuim pe rând în loc de variabila x în expresie x 5 −15 x 4 + 57 x 3 −13 x 2 + 26 x + 112 obținute după înlocuire și comparați-le cu zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 + 26 (1/2) + 112 = 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 + 57 6 3 −13 6 2 + 26 6 + 112 = 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 + 57 7 3 −13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 + 57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2) + 112 = −720 ≠ 0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 + 57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26 (−1) + 112 = 0.

Astfel, 1/2, 6 și -2 sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale, iar 7 și -1 sunt rădăcini străine.

Răspuns:

1/2 , 6 , −2 .

Exemplu.

Aflați rădăcinile ecuației raționale fracționale.

Soluţie.

În primul rând, găsim rădăcinile ecuației (5 x 2 −7 x − 1) (x − 2) = 0... Această ecuație echivalează cu o combinație de două ecuații: ecuația pătratică 5 · x 2 −7 · x − 1 = 0 și liniară x − 2 = 0. Folosind formula pentru rădăcinile ecuației pătratice, găsim două rădăcini, iar din a doua ecuație avem x = 2.

Verificarea dacă numitorul nu dispare pentru valorile găsite ale lui x este destul de neplăcută. Și este destul de simplu să determinați intervalul de valori admisibile ale variabilei x în ecuația originală. Prin urmare, vom acționa prin intermediul ODZ.

În cazul nostru, ODZ a variabilei x a ecuației raționale fracționale inițiale este alcătuită din toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția x 2 + 5 · x − 14 = 0 este îndeplinită. Rădăcinile acestei ecuații pătratice sunt x = −7 și x = 2, din care concluzionăm despre ODZ: este alcătuită din tot x astfel încât.

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite și x = 2 aparțin intervalului de valori admisibile. Rădăcinile - aparțin, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației originale, iar x = 2 - nu aparține, prin urmare, aceasta este o rădăcină străină.

Răspuns:

De asemenea, va fi util să ne oprim separat asupra cazurilor când există un număr în numărător într-o ecuație rațională fracțională de formă, adică atunci când p (x) este reprezentat de un număr. în care

• dacă acest număr este diferit de zero, atunci ecuația nu are rădăcini, deoarece fracția este zero dacă și numai dacă numărătorul ei este zero;
• dacă acest număr este zero, atunci rădăcina ecuației este orice număr din ODZ.

Exemplu.

Soluţie.

Deoarece numărătorul fracției din partea stângă a ecuației este un număr diferit de zero, la nu x valoarea acestei fracții poate fi egală cu zero. Prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Răspuns:

fara radacini.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Numătorul fracției din stânga acestei ecuații raționale fracționale conține zero, deci valoarea acestei fracții este zero pentru orice x pentru care are sens. Cu alte cuvinte, soluția acestei ecuații este orice valoare a lui x din ODV-ul acestei variabile.

Rămâne de determinat acest interval de valori admisibile. Include toate astfel de valori ale lui x pentru care x 4 + 5 · x 3 ≠ 0. Soluțiile ecuației x 4 + 5 x 3 = 0 sunt 0 și −5, deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x + 5) = 0 și, la rândul său, este echivalentă cu combinația a două ecuații x 3 = 0 și x + 5 = 0, de unde sunt vizibile aceste rădăcini. Prin urmare, intervalul căutat de valori admisibile este orice x, cu excepția x = 0 și x = -5.

Astfel, o ecuație rațională fracțională are infinit de soluții, care sunt orice alte numere decât zero și minus cinci.

Răspuns:

În cele din urmă, este timpul să vorbim despre rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale arbitrare. Ele pot fi scrise ca r (x) = s (x), unde r (x) și s (x) sunt expresii raționale și cel puțin una dintre ele este fracțională. Privind în viitor, să spunem că soluția lor se reduce la soluția ecuațiilor de o formă care ne este deja familiară.

Se știe că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus conduce la o ecuație echivalentă; prin urmare, ecuația r (x) = s (x) este echivalentă cu ecuația r (x) - s (x) = 0.

Știm, de asemenea, că puteți avea oricare care este identic egal cu această expresie. Astfel, putem transforma întotdeauna expresia rațională din partea stângă a ecuației r (x) - s (x) = 0 într-o fracție rațională identic egală a formei.

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r (x) = s (x) la ecuație, iar soluția ei, așa cum am aflat mai sus, se reduce la rezolvarea ecuației p (x) = 0.

Dar aici este imperativ să se țină seama de faptul că, atunci când înlocuiți r (x) - s (x) = 0 cu, și în continuare cu p (x) = 0, intervalul de valori admisibile ale variabilei x se poate extinde .

Prin urmare, ecuația inițială r (x) = s (x) și ecuația p (x) = 0, la care am ajuns, se pot dovedi a fi inechitabile, iar prin rezolvarea ecuației p (x) = 0 putem obțineți rădăcini care vor fi rădăcini străine ale ecuației originale r (x) = s (x). Este posibil să se identifice și să nu includă în răspuns rădăcini străine fie prin efectuarea unei verificări, fie prin verificarea faptului că acestea aparțin ODZ a ecuației inițiale.

Să rezumam aceste informații în un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale r (x) = s (x)... Pentru a rezolva ecuația rațională fracțională r (x) = s (x), aveți nevoie

• Obțineți zero în dreapta transferând expresia din partea dreaptă cu semnul opus.
• Efectuați acțiuni cu fracții și polinoame în partea stângă a ecuației, transformând-o astfel într-o fracție rațională a formei.
• Rezolvați ecuația p (x) = 0.
• Pentru a identifica și exclude rădăcinile străine, ceea ce se face prin înlocuirea lor în ecuația originală sau prin verificarea apartenenței lor la ODS a ecuației originale.

Pentru o mai mare claritate, arătăm întregul lanț de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale:
.

Să ne uităm la soluțiile la câteva exemple cu o explicație detaliată a progresului soluției pentru a clarifica blocul de informații dat.

Exemplu.

Rezolvați ecuația rațională fracțională.

Soluţie.

Vom acționa în conformitate cu algoritmul de soluție tocmai obținut. Și mai întâi, transferăm termenii din partea dreaptă a ecuației în stânga, ca rezultat, trecem la ecuație.

În al doilea pas, trebuie să convertim expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației rezultate în forma unei fracții. Pentru a face acest lucru, reducem fracțiile raționale la un numitor comun și simplificăm expresia rezultată:. Așa că ajungem la ecuație.

În pasul următor, trebuie să rezolvăm ecuația −2 x − 1 = 0. Aflați x = −1 / 2.

Rămâne de verificat dacă numărul găsit -1/2 este o rădăcină străină a ecuației originale. Pentru a face acest lucru, puteți verifica sau găsi ODV-ul variabilei x din ecuația originală. Să demonstrăm ambele abordări.

Să începem prin a verifica. Înlocuiți −1/2 în ecuația originală pentru x pentru a obține la fel, −1 = −1. Substituția dă egalitatea numerică corectă, prin urmare, x = −1 / 2 este rădăcina ecuației originale.

Acum vom arăta cum se realizează ultimul punct al algoritmului prin ODZ. Gama de valori admisibile ale ecuației originale este mulțimea tuturor numerelor, cu excepția −1 și 0 (pentru x = −1 și x = 0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina x = −1 / 2 găsită la pasul anterior aparține ODZ, prin urmare, x = −1 / 2 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

−1/2 .

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Trebuie să rezolvăm o ecuație fracțională rațională, să parcurgem toți pașii algoritmului.

În primul rând, transferăm termenul din partea dreaptă în partea stângă, obținem.

În al doilea rând, transformăm expresia din partea stângă:. Ca rezultat, ajungem la ecuația x = 0.

Rădăcina sa este evidentă - este zero.

La al patrulea pas, rămâne să aflăm dacă rădăcina găsită se află în afara ecuației raționale fracționale originale. Când îl înlocuiți în ecuația originală, obțineți expresia. Evident, nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. De unde concluzionăm că 0 este o rădăcină străină. Prin urmare, ecuația originală nu are rădăcini.

7, ceea ce duce la ecuație. Din aceasta putem concluziona că expresia din numitorul părții stângi ar trebui să fie egală cu cea din partea dreaptă, adică. Acum scădem din ambele părți ale tripluului:. Prin analogie, de unde și mai departe.

Verificarea arată că ambele rădăcini găsite sunt rădăcinile ecuației raționale fracționale originale.

Răspuns:

Bibliografie.

• Algebră: studiu. pentru 8 cl. educatie generala. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educaţie, 2008 .-- 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovici Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Manual pentru elevi institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, Șters. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 p .: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru invatamantul general. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009 .-- 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Smirnova Anastasia Iurievna

Tip de lecție: o lecție de învățare a materialelor noi.

Forma de organizare activități de învățare : frontal, individual.

Scopul lecției: introducerea unui nou tip de ecuații - ecuații raționale fracționale, pentru a da o idee despre algoritmul de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale.

Obiectivele lecției.

Educational:

• formarea conceptului de ecuație rațională fracțională;
• luați în considerare un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, inclusiv condiția pentru egalitatea fracției la zero;
• învață rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale prin algoritm.

În curs de dezvoltare:

• să creeze condiții pentru formarea deprinderilor de aplicare a cunoștințelor dobândite;
• să promoveze dezvoltarea interesului cognitiv al elevilor pentru materie;
• dezvoltarea capacității elevilor de a analiza, compara și trage concluzii;
• dezvoltarea abilităților de control reciproc și autocontrol, atenție, memorie, vorbire și scris, independență.

Educational:

• educarea interesului cognitiv în materie;
• promovarea independenței în rezolvarea problemelor educaționale;
• stimularea voinței și perseverenței pentru a obține rezultatele finale.

Echipament: manual, tablă, creioane.

Manual „Algebra 8”. Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorov, editat de S.A. Telyakovsky. Moscova „Educație”. 2010

Cinci ore sunt dedicate acestui subiect. Această lecție este prima. Principalul lucru este să studiezi algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale și să elaborezi acest algoritm în exerciții.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Buna baieti! Astăzi aș dori să încep lecția noastră cu un catren:
Pentru a face viața mai ușoară tuturor,
Ce s-ar decide, ce ar fi,
Zâmbește, succes tuturor
Oricare ar fi problema,
Au zâmbit unul altuia, și-au creat o dispoziție bună și au început să lucreze.

Ecuațiile sunt scrise pe tablă, priviți-le cu atenție. Puteți rezolva toate aceste ecuații? Care nu sunt și de ce?

Ecuațiile în care părțile stânga și dreaptă sunt expresii raționale fracționale se numesc ecuații raționale fracționale. Ce crezi că vom învăța astăzi la lecție? Formulați subiectul lecției. Deci, deschidem caiete și notăm subiectul lecției „Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”.

2. Actualizarea cunoștințelor. Sondaj frontal, lucru oral cu clasa.

Și acum vom repeta principalul material teoretic de care avem nevoie pentru a studia un subiect nou. Te rugăm să răspunzi la următoarele întrebări:

1. Ce este o ecuație? ( Egalitatea cu variabile sau variabile.)
2. Cum se numește ecuația #1? ( Liniar.) O metodă de rezolvare a ecuațiilor liniare. ( Mutați totul cu necunoscutul în partea stângă a ecuației, toate numerele la dreapta. Dați termeni similari. Găsiți un factor necunoscut).
3. Cum se numește ecuația #3? ( Pătrat.) Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice. (P despre formule)
4. Ce este proporția? ( Egalitatea a două relații.) Principala proprietate a proporției. ( Dacă proporția este corectă, atunci produsul termenilor săi extremi este egal cu produsul termenilor medii.)
5. Ce proprietăți sunt folosite pentru a rezolva ecuații? ( 1. Dacă în ecuație să transferați termenul dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, atunci obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată. 2. Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, atunci se obține o ecuație care este echivalentă cu numărul dat.)
6. Când este fracția zero? ( Fracția este zero când numărătorul este zero și numitorul nu este zero.)

3. Explicarea noului material.

Rezolvați ecuația numărul 2 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 10.

Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi folosind principala proprietate a proporției? (Nr. 5).

(x-2) (x-4) = (x + 2) (x + 3)

x 2 -4x-2x + 8 = x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Rezolvați ecuația numărul 4 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 1,5.

Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul? (Nr. 6).

x 2 -7x + 12 = 0

D = 1 ›0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Răspuns: 3;4.

Vom lua în considerare soluția unor ecuații precum ecuația numărul 7 în lecțiile următoare.

Explicați de ce s-a întâmplat asta? De ce într-un caz există trei rădăcini, în celelalte două? Ce numere sunt rădăcinile acestei ecuații fracționale-raționale?

Până acum, studenții nu au întâlnit conceptul de rădăcină străină; le este foarte greu să înțeleagă de ce s-a întâmplat acest lucru. Dacă nimeni din clasă nu poate da o explicație clară a acestei situații, atunci profesorul pune întrebări de conducere.

• Cum diferă ecuațiile 2 și 4 de ecuațiile 5 și 6? ( În ecuațiile nr. 2 și 4 la numitorul numărului, nr. 5-6 - expresii cu o variabilă.)
• Care este rădăcina unei ecuații? ( Valoarea variabilei la care ecuația devine o egalitate adevărată.)
• Cum știi dacă un număr este rădăcina unei ecuații? ( Faceți o verificare.)

La efectuarea testului, unii elevi observă că trebuie să împartă la zero. Ei concluzionează că numerele 0 și 5 nu sunt rădăcinile acestei ecuații. Apare întrebarea: există o modalitate de a rezolva ecuații raționale fracționale care ar elimina această eroare? Da, această metodă se bazează pe condiția egalității fracției la zero.

Să încercăm să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale în acest fel. Copiii formulează ei înșiși algoritmul.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale:

1. Mutați totul spre stânga.
2. Aduceți fracțiile la un numitor comun.
3. Faceți un sistem: fracția este zero când numărătorul este zero și numitorul nu este zero.
4. Rezolvați ecuația.
5. Verificați inegalitatea pentru a exclude rădăcinile străine.
6. Înregistrați-vă răspunsul.

4. Înțelegerea primară a materialului nou.

Lucrați în perechi. Elevii aleg modul de rezolvare a ecuației în mod independent, în funcție de tipul de ecuație. Sarcini din manualul „Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600 (b, c); Nr. 601 (a, e). Profesorul controlează punerea în aplicare a sarcinii, răspunde la întrebările care apar și oferă asistență elevilor cu performanțe slabe. Autotest: Răspunsurile sunt scrise pe tablă.

b) 2 - rădăcină străină. Raspuns: 3.

c) 2 - rădăcină străină. Răspuns: 1.5.

a) Răspuns: -12,5.

5. Declarație de teme.

1. Citiți paragraful 25 din manual, analizați exemplele 1-3.
2. Învață un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale.
3. Rezolvați în caietele Nr. 600 (d, e); Nr. 601 (g, h).

6. Rezumând lecția.

Deci, astăzi, în lecție, ne-am întâlnit cu ecuații raționale fracționale, am învățat cum să rezolvăm aceste ecuații căi diferite... Indiferent de metoda de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, ce trebuie reținut? Care este „insidiositatea” ecuațiilor raționale fracționale?

Vă mulțumesc tuturor, lecția s-a terminat.

Prezentare și lecție pe tema: "Ecuații raționale. Algoritm și exemple de rezolvare a ecuațiilor raționale"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a VIII-a
Manual pentru manualul Makarychev Yu.N. Manual pentru manualul Mordkovich A.G.

Introducerea ecuațiilor iraționale

Fie $ r (x) $ expresie rațională... O astfel de expresie poate fi un polinom simplu în variabila $ x $ sau un raport de polinoame (se introduce operația de împărțire, ca la numerele raționale).
Se numește ecuația $ r (x) = 0 $ ecuație rațională.
Orice ecuație de forma $ p (x) = q (x) $, unde $ p (x) $ și $ q (x) $ sunt expresii raționale, va fi de asemenea ecuație rațională.

Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor raționale.

Soluţie.
Mutați toate expresiile în partea stângă: $ \ frac (5x-3) (x-3) - \ frac (2x-3) (x) = 0 $.
Dacă numerele obișnuite ar fi reprezentate în partea stângă a ecuației, atunci am aduce cele două fracții la un numitor comun.
Să facem asta: $ \ frac ((5x-3) * x) ((x-3) * x) - \ frac ((2x-3) * (x-3)) ((x-3) * x ) = \ frac (5x ^ 2-3x- (2x ^ 2-6x-3x + 9)) ((x-3) * x) = \ frac (3x ^ 2 + 6x-9) ((x-3) * x) = \ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) $.
Obținem ecuația: $ \ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) = 0 $.

O fracție este zero dacă și numai dacă numărătorul fracției este zero și numitorul este diferit de zero. Apoi echivalăm separat numărătorul cu zero și găsim rădăcinile numărătorului.
$ 3 (x ^ 2 + 2x-3) = 0 $ sau $ x ^ 2 + 2x-3 = 0 $.
$ x_ (1,2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (4-4 * (- 3))) (2) = \ frac (-2 ± 4) (2) = 1; -3 $.
Acum să verificăm numitorul fracției: $ (x-3) * x ≠ 0 $.
Produsul a două numere este zero când cel puțin unul dintre aceste numere este zero. Atunci: $ x ≠ 0 $ sau $ x-3 ≠ 0 $.
$ x ≠ 0 $ sau $ x ≠ 3 $.
Rădăcinile obținute la numărător și numitor nu se potrivesc. Deci, ca răspuns, notăm ambele rădăcini ale numărătorului.
Răspuns: $ x = 1 $ sau $ x = -3 $.

Dacă dintr-o dată, una dintre rădăcinile numărătorului coincide cu rădăcina numitorului, atunci ar trebui exclusă. Astfel de rădăcini se numesc outsideri!

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

Exemplul 2.
Rezolvați ecuația: $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) = \ frac (6) (x ^ 2-1) $.

Soluţie.
Vom rezolva în funcție de punctele algoritmului.
1. $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) (x ^ 2-1) = 0 $.
2. $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) (x ^ 2-1) = \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) ((x-1) (x + 1)) = \ frac (3x (x + 1) +4 (x-1) -6) ((x -1) (x + 1)) = $ $ = \ frac (3x ^ 2 + 3x + 4x-4-6) ((x-1) (x + 1)) = \ frac (3x ^ 2 + 7x- 10) ((x-1) (x + 1)) $.
$ \ frac (3x ^ 2 + 7x-10) ((x-1) (x + 1)) = 0 $.
3. Echivalează numărătorul cu zero: $ 3x ^ 2 + 7x-10 = 0 $.
$ x_ (1,2) = \ frac (-7 ± \ sqrt (49-4 * 3 * (- 10))) (6) = \ frac (-7 ± 13) (6) = - 3 \ frac ( 1) (3); 1 $.
4. Echivalează numitorul cu zero:
$ (x-1) (x + 1) = 0 $.
$ x = 1 $ și $ x = -1 $.
Una dintre rădăcinile $ x = 1 $ a coincis cu rădăcina numărătorului, apoi nu o scriem ca răspuns.
Răspuns: $ x = -1 $.

Este convenabil să se rezolve ecuații raționale folosind metoda schimbării variabilelor. Să demonstrăm asta.

Exemplul 3.
Rezolvați ecuația: $ x ^ 4 + 12x ^ 2-64 = 0 $.

Soluţie.
Să introducem înlocuirea: $ t = x ^ 2 $.
Atunci ecuația noastră va lua forma:
$ t ^ 2 + 12t-64 = 0 $ - ecuația pătratică obișnuită.
$ t_ (1,2) = \ frac (-12 ± \ sqrt (12 ^ 2-4 * (- 64))) (2) = \ frac (-12 ± 20) (2) = - 16; 4 dolari.
Să introducem schimbarea inversă: $ x ^ 2 = 4 $ sau $ x ^ 2 = -16 $.
Rădăcinile primei ecuații sunt o pereche de numere $ x = ± 2 $. Al doilea nu are rădăcini.
Răspuns: $ x = ± 2 $.

Exemplul 4.
Rezolvați ecuația: $ x ^ 2 + x + 1 = \ frac (15) (x ^ 2 + x + 3) $.
Soluţie.
Să introducem o nouă variabilă: $ t = x ^ 2 + x + 1 $.
Atunci ecuația ia forma: $ t = \ frac (15) (t + 2) $.
În continuare vom acționa conform algoritmului.
1. $ t- \ frac (15) (t + 2) = 0 $.
2. $ \ frac (t ^ 2 + 2t-15) (t + 2) = 0 $.
3. $ t ^ 2 + 2t-15 = 0 $.
$ t_ (1,2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (4-4 * (- 15))) (2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (64)) (2) = \ frac ( -2 ± 8) (2) = - 5; 3 dolari.
4. $ t ≠ -2 $ - rădăcinile nu se potrivesc.
Să introducem înlocuirea inversă.
$ x ^ 2 + x + 1 = -5 $.
$ x ^ 2 + x + 1 = 3 $.
Să rezolvăm fiecare ecuație separat:
$ x ^ 2 + x + 6 = 0 $.
$ x_ (1,2) = \ frac (-1 ± \ sqrt (1-4 * (- 6))) (2) = \ frac (-1 ± \ sqrt (-23)) (2) $ - nu rădăcini.
Și a doua ecuație: $ x ^ 2 + x-2 = 0 $.
Rădăcinile acestei ecuații vor fi numerele $ x = -2 $ și $ x = 1 $.
Răspuns: $ x = -2 $ și $ x = 1 $.

Exemplul 5.
Rezolvați ecuația: $ x ^ 2 + \ frac (1) (x ^ 2) + x + \ frac (1) (x) = 4 $.

Soluţie.
Să introducem înlocuirea: $ t = x + \ frac (1) (x) $.
Atunci:
$ t ^ 2 = x ^ 2 + 2 + \ frac (1) (x ^ 2) $ sau $ x ^ 2 + \ frac (1) (x ^ 2) = t ^ 2-2 $.
Obținem ecuația: $ t ^ 2-2 + t = 4 $.
$ t ^ 2 + t-6 = 0 $.
Rădăcinile acestei ecuații sunt perechea:
$ t = -3 $ și $ t = 2 $.
Să introducem înlocuirea inversă:
$ x + \ frac (1) (x) = - 3 $.
$ x + \ frac (1) (x) = 2 $.
O vom rezolva separat.
$ x + \ frac (1) (x) + 3 = 0 $.
$ \ frac (x ^ 2 + 3x + 1) (x) = 0 $.
$ x_ (1,2) = \ frac (-3 ± \ sqrt (9-4)) (2) = \ frac (-3 ± \ sqrt (5)) (2) $.
Să rezolvăm a doua ecuație:
$ x + \ frac (1) (x) -2 = 0 $.
$ \ frac (x ^ 2-2x + 1) (x) = 0 $.
$ \ frac ((x-1) ^ 2) (x) = 0 $.
Rădăcina acestei ecuații este numărul $ x = 1 $.
Răspuns: $ x = \ frac (-3 ± \ sqrt (5)) (2) $, $ x = 1 $.

Sarcini pentru soluție independentă

1. $ \ frac (3x + 2) (x) = \ frac (2x + 3) (x + 2) $.

2. $ \ frac (5x) (x + 2) - \ frac (20) (x ^ 2 + 2x) = \ frac (4) (x) $.
3. $ x ^ 4-7x ^ 2-18 = 0 $.
4. $ 2x ^ 2 + x + 2 = \ frac (8) (2x ^ 2 + x + 4) $.
5. $ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 3 $.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când lăsați o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informatii inclusiv numele, numărul de telefon, adresa E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la o competiție sau la un eveniment promoțional similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra acele programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, hotărâre judecătorească, în procedurile judiciare și/sau pe baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - pentru a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte motive importante din punct de vedere social.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm către terțul corespunzător - succesorul legal.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și abuzului, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respect pentru intimitatea ta la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, aducem regulile de confidențialitate și securitate angajaților noștri și monitorizăm cu strictețe implementarea măsurilor de confidențialitate.

Cel mai mic numitor comun este folosit pentru a simplifica această ecuație. Această metodă este utilă atunci când nu puteți scrie o ecuație dată cu o expresie rațională de fiecare parte a ecuației (și folosiți metoda încrucișată). Această metodă este folosită atunci când vi se oferă o ecuație rațională cu 3 sau mai multe fracții (în cazul a două fracții, este mai bine să utilizați înmulțirea încrucișată).