Formule pentru cele mai simple ecuații. Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când lăsați o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informatii inclusiv numele, numărul de telefon, adresa E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la o competiție sau la un eveniment promoțional similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra acele programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, hotărâre judecătorească, în procedurile judiciare și/sau pe baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - pentru a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte motive importante din punct de vedere social.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm către terțul corespunzător - succesorul legal.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și abuzului, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respect pentru intimitatea ta la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, aducem regulile de confidențialitate și securitate angajaților noștri și monitorizăm cu strictețe implementarea măsurilor de confidențialitate.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când lăsați o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să raportăm oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la o competiție sau la un eveniment promoțional similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra acele programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinul instanței, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - să dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte motive importante din punct de vedere social.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm către terțul corespunzător - succesorul legal.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și abuzului, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respect pentru intimitatea ta la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, aducem regulile de confidențialitate și securitate angajaților noștri și monitorizăm cu strictețe implementarea măsurilor de confidențialitate.

Mulți probleme de matematică, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, liniare și inegalități de pătrat, ecuații fracționaleși ecuații care se reduc la pătratice. Principiul soluționării cu succes a fiecăreia dintre sarcinile menționate este următorul: este necesar să se stabilească ce tip de problemă care trebuie rezolvată, să se rețină succesiunea necesară de acțiuni care va duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.

Este evident că succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, este necesar să aveți abilități în a efectua transformări și calcule identice.

Situația este diferită cu ecuații trigonometrice. Stabilirea faptului că ecuația este trigonometrică nu este deloc dificilă. Apar dificultăți în determinarea succesiunii de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

De aspectul exterior ecuația este uneori dificil de determinat tipul ei. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea dorită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva ecuația trigonometrică, ar trebui să încercați:

1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „unghiuri egale”;
2. să aducă ecuația la „aceleași funcții”;
3. factorizează partea stângă a ecuației etc.

Considera metode de rezolvare de bază ecuații trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Schema de rezolvare

Pasul 1. Expres functie trigonometrica prin componente cunoscute.

Pasul 2. Găsiți argumentul unei funcții după formulele:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3. Găsiți o variabilă necunoscută.

Exemplu.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

Soluţie.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Răspuns: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Substituție variabilă

Schema de rezolvare

Pasul 1. Aduceți ecuația într-o formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2. Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3. Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4. Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5. Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

Soluţie.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x / 2) = t, unde | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2, nu satisface condiția | t | ≤ 1.

4) sin (x / 2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Schema de rezolvare

Pasul 1.Înlocuiți ecuația dată cu una liniară, folosind formulele de reducere a gradului pentru aceasta:

sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Soluţie.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Schema de rezolvare

Pasul 1. Aduceți această ecuație în formă

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la minte

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2.Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctan x + c = 0.

Pasul 3. Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Soluţie.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, deci

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π / 4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuatii folosind formule trigonometrice

Schema de rezolvare

Pasul 1. Folosind tot felul de formule trigonometrice, aduceți această ecuație la ecuația rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată prin metode cunoscute.

Exemplu.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Soluţie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π / 2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.

Avem x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; din a doua ecuație x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Capacitatea de a rezolva ecuații trigonometrice este foarte important, dezvoltarea lor necesită eforturi semnificative, atât din partea elevului, cât și din partea profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt legate de rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme, așa cum spune, conține multe cunoștințe și abilități care sunt dobândite la studierea elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de predare a matematicii și de dezvoltare a personalității în general.

Mai ai întrebări? Nu sunteți sigur cum să rezolvați ecuațiile trigonometrice?
Pentru a obține ajutor de la un tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online Integral pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive de construcție în spațiu
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”

Ce vom studia:
1. Ce sunt ecuațiile trigonometrice?

3. Două metode principale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Ecuații trigonometrice omogene.
5. Exemple.

Ce sunt ecuațiile trigonometrice?

Băieți, am studiat deja arcsinus, arccosinus, arctangent și arc cotangent. Acum să ne uităm la ecuațiile trigonometrice în general.

Ecuații trigonometrice - ecuații în care variabila este conținută sub semnul funcției trigonometrice.

Să repetăm ​​forma rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice:

1) Dacă | a | ≤ 1, atunci ecuația cos (x) = a are o soluție:

X = ± arccos (a) + 2πk

2) Dacă | a | ≤ 1, atunci ecuația sin (x) = a are o soluție:

3) Dacă | a | > 1, atunci ecuația sin (x) = a și cos (x) = a nu au soluții 4) Ecuația tan (x) = a are o soluție: x = arctan (a) + πk

5) Ecuația ctg (x) = a are o soluție: x = arcctg (a) + πk

Pentru toate formulele k este un număr întreg

Cele mai simple ecuații trigonometrice au forma: T (kx + m) = a, T- orice funcție trigonometrică.

Rezolvați ecuațiile: a) sin (3x) = √3 / 2

Soluţie:

A) Notăm 3x = t, apoi ne rescriem ecuația sub forma:

Soluția acestei ecuații va fi: t = ((- 1) ^ n) arcsin (√3 / 2) + πn.

Din tabelul de valori obținem: t = ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn.

Să revenim la variabila noastră: 3x = ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,

Atunci x = ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3

Răspuns: x = ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3, unde n este un număr întreg. (-1) ^ n - minus unu la a n-a putere.

Mai multe exemple de ecuații trigonometrice.

Soluţie:

A) De data aceasta vom trece direct la calcularea rădăcinilor ecuației imediat:

X / 5 = ± arccos (1) + 2πk. Atunci x / 5 = πk => x = 5πk

Răspuns: x = 5πk, unde k este un număr întreg.

B) O scriem sub forma: 3x- π / 3 = arctan (√3) + πk. Știm că: arctan (√3) = π / 3

3x- π / 3 = π / 3 + πk => 3x = 2π / 3 + πk => x = 2π / 9 + πk / 3

Răspuns: x = 2π / 9 + πk / 3, unde k este un număr întreg.

Rezolvați ecuațiile: cos (4x) = √2 / 2. Și găsiți toate rădăcinile din segment.

Soluţie:

Vom rezolva în vedere generala ecuația noastră: 4x = ± arccos (√2 ​​​​/ 2) + 2πk

4x = ± π / 4 + 2πk;

X = ± π / 16 + πk / 2;

Acum să vedem ce rădăcini vor cădea pe segmentul nostru. La k La k = 0, x = π / 16, am intrat în segmentul dat.
Cu k = 1, x = π / 16 + π / 2 = 9π / 16, au lovit din nou.
Pentru k = 2, x = π / 16 + π = 17π / 16, dar aici nu am lovit, ceea ce înseamnă că pentru k mare cu siguranță nu vom lovi nici.

Răspuns: x = π / 16, x = 9π / 16

Există două metode principale de soluție.

Să rezolvăm ecuația:

Soluţie:
Pentru a ne rezolva ecuația, vom folosi metoda introducerii unei noi variabile, notăm: t = tg (x).

Ca rezultat al înlocuirii, obținem: t 2 + 2t -1 = 0

Aflați rădăcinile ecuației pătratice: t = -1 și t = 1/3

Atunci tg (x) = - 1 și tg (x) = 1/3, am obținut cea mai simplă ecuație trigonometrică, găsiți-i rădăcinile.

X = arctan (-1) + πk = -π / 4 + πk; x = arctan (1/3) + πk.

Răspuns: x = -π / 4 + πk; x = arctan (1/3) + πk.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații

Rezolvați ecuații: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Soluţie:

Să folosim identitatea: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1

Ecuația noastră va lua forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Introduceți înlocuirea t = cos (x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Soluția ecuației noastre pătratice este rădăcinile: t = 2 și t = -1 / 2

Atunci cos (x) = 2 și cos (x) = - 1/2.

pentru că Cosinusul nu poate lua valori mai mari de unu, atunci cos (x) = 2 nu are rădăcini.

Pentru cos (x) = - 1/2: x = ± arccos (-1/2) + 2πk; x = ± 2π / 3 + 2πk

Răspuns: x = ± 2π / 3 + 2πk

Ecuații trigonometrice omogene.

Ecuații de formă

ecuații trigonometrice omogene de gradul doi.

Pentru a rezolva ecuația trigonometrică omogenă de gradul întâi, o împărțim la cos (x): Este imposibil de împărțit la cosinus dacă este egal cu zero, să ne asigurăm că nu este:
Fie cos (x) = 0, apoi asin (x) + 0 = 0 => sin (x) = 0, dar sinusul și cosinusul nu sunt egale cu zero în același timp, avem o contradicție, deci putem în siguranță împărțiți la zero.

Rezolvați ecuația:
Exemplu: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Soluţie:

Scoateți factorul comun: cos (x) (c0s (x) + sin (x)) = 0

Atunci trebuie să rezolvăm două ecuații:

Cos (x) = 0 și cos (x) + sin (x) = 0

Cos (x) = 0 pentru x = π / 2 + πk;

Luați în considerare ecuația cos (x) + sin (x) = 0 Împărțiți ecuația noastră la cos (x):

1 + tg (x) = 0 => tg (x) = - 1 => x = arctan (-1) + πk = -π / 4 + πk

Răspuns: x = π / 2 + πk și x = -π / 4 + πk

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice omogene de gradul doi?
Băieți, respectați întotdeauna aceste reguli!

1. Vezi cu ce este egal coeficientul a, dacă a = 0 atunci ecuația noastră va lua forma cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), un exemplu de rezolvare care pe diapozitivul precedent

2. Dacă a ≠ 0, atunci trebuie să împărțiți ambele părți ale ecuației la cosinusul la pătrat, obținem:

Schimbăm variabila t = tg (x) și obținem ecuația:

Rezolvați exemplul nr: 3

Împărțiți ambele părți ale ecuației la pătratul cosinus:

Modificați variabila t = tg (x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Aflați rădăcinile ecuației pătratice: t = -3 și t = 1

Atunci: tg (x) = - 3 => x = arctan (-3) + πk = -arctg (3) + πk

Tg (x) = 1 => x = π / 4 + πk

Răspuns: x = -arctg (3) + πk și x = π / 4 + πk

Rezolvați exemplul nr: 4

Soluţie:
Să ne transformăm expresia:

Suntem capabili să rezolvăm astfel de ecuații: x = - π / 4 + 2πk și x = 5π / 4 + 2πk

Răspuns: x = - π / 4 + 2πk și x = 5π / 4 + 2πk

Rezolvați exemplul nr.: 5

Soluţie:
Să ne transformăm expresia:

Introducem înlocuirea tg (2x) = t: 2 2 - 5t + 2 = 0

Soluția ecuației noastre pătratice va fi rădăcinile: t = -2 și t = 1/2

Atunci obținem: tg (2x) = - 2 și tg (2x) = 1/2
2x = -arctg (2) + πk => x = -arctg (2) / 2 + πk / 2

2x = arctan (1/2) + πk => x = arctan (1/2) / 2 + πk / 2

Răspuns: x = -arctg (2) / 2 + πk / 2 și x = arctan (1/2) / 2 + πk / 2

Sarcini pentru o soluție independentă.

A) sin (7x) = 1/2 b) cos (3x) = √3 / 2 c) cos (-x) = -1 d) tan (4x) = √3 e) ctg (0,5x) = -1,7

2) Rezolvați ecuațiile: sin (3x) = √3 / 2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segmentul [π / 2; π].

3) Rezolvați ecuația: ctg 2 (x) + 2ctg (x) + 1 = 0

4) Rezolvați ecuația: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos (x) = 0

5) Rezolvați ecuația: 3sin 2 (3x) + 10 sin (3x) cos (3x) + 3 cos 2 (3x) = 0

6) Rezolvați ecuația: cos 2 (2x) -1 - cos (x) = √3 / 2 -sin 2 (2x)

Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de orice nivel de complexitate se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Și în asta cel mai bun ajutor din nou se dovedește a fi un cerc trigonometric.

Să ne amintim definițiile cosinusului și sinusului.

Cosinusul unui unghi este abscisa (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații cu un unghi dat.

Sinusul unui unghi este ordonata (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații cu un unghi dat.

Direcția pozitivă a mișcării în cercul trigonometric este mișcarea în sens invers acelor de ceasornic. O rotație de 0 grade (sau 0 radiani) corespunde unui punct cu coordonatele (1; 0)

Vom folosi aceste definiții pentru a rezolva cele mai simple ecuații trigonometrice.

1. Să rezolvăm ecuația

Această ecuație este îndeplinită de toate aceste valori ale unghiului de rotație, care corespund punctelor cercului, a căror ordonată este egală cu.

Să marchem pe axa ordonatelor un punct cu o ordonată:

Să trasăm o linie orizontală paralelă cu axa absciselor până când se intersectează cu cercul. Obținem două puncte situate pe un cerc și având o ordonată. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație cu și radiani:

Dacă, lăsând punctul corespunzător unghiului de rotație cu radiani, ocolim un cerc complet, atunci vom ajunge la punctul corespunzător unghiului de rotație cu radiani și având aceeași ordonată. Adică, acest unghi de rotație satisface și ecuația noastră. Putem face câte revoluții „în gol” ne dorim, revenind în același punct, iar toate aceste valori ale unghiurilor ne vor satisface ecuația. Numărul de rotații „în gol” va fi notat cu litera (sau). Deoarece putem face aceste revoluții atât în ​​sens pozitiv, cât și în direcție negativă, (sau) putem lua orice valori întregi.

Adică, prima serie de soluții la ecuația originală are forma:

,, este mulțimea numerelor întregi (1)

În mod similar, a doua serie de soluții este:

, Unde , . (2)

După cum probabil ați ghicit, această serie de soluții se bazează pe punctul cercului corespunzător unghiului de rotație.

Aceste două serii de soluții pot fi combinate într-o singură intrare:

Dacă luăm această înregistrare (adică chiar), atunci obținem prima serie de soluții.

Dacă luăm această înregistrare (adică ciudată), atunci obținem a doua serie de soluții.

2. Acum să rezolvăm ecuația

Deoarece abscisa punctului cercului unitar este obținută prin rotirea printr-un unghi, marcați punctul cu abscisa pe axă:

Desenați o linie verticală paralelă cu axa până când se intersectează cu cercul. Obținem două puncte situate pe un cerc și având o abscisă. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație cu și radiani. Amintiți-vă că atunci când ne mișcăm în sensul acelor de ceasornic obținem unghi negativ cotitură:

Să notăm două serii de soluții:

,

,

(Ajungem la punctul dorit, trecând din cercul complet principal, adică.

Să combinăm aceste două serii într-o singură intrare:

3. Rezolvați ecuația

Linia tangentă trece prin punctul cu coordonatele (1,0) ale cercului unitar paralel cu axa OY

Marcam un punct pe el cu o ordonata egala cu 1 (cautam tangenta a caror unghiuri este 1):

Să conectăm acest punct cu originea coordonatelor cu o linie dreaptă și să marchem punctele de intersecție ale dreptei cu cercul unitar. Punctele de intersecție ale dreptei și ale cercului corespund unghiurilor de rotație pe și:

Deoarece punctele corespunzătoare unghiurilor de rotație care satisfac ecuația noastră se află la o distanță de radiani unul de celălalt, putem scrie soluția în felul următor:

4. Rezolvați ecuația

Linia cotangentă trece prin punctul cu coordonatele cercului unitar paralel cu axa.

Să notăm pe linia cotangentelor un punct cu abscisă -1:

Să conectăm acest punct cu originea coordonatelor unei linii drepte și să-l continuăm până la intersecția cu cercul. Această linie va intersecta cercul în punctele corespunzătoare unghiurilor de rotație cu și radiani:

Deoarece aceste puncte sunt separate unul de celălalt printr-o distanță egală cu, atunci decizie comună putem scrie această ecuație după cum urmează:

În exemplele date, ilustrând soluția celor mai simple ecuații trigonometrice, s-au folosit valori tabelare ale funcțiilor trigonometrice.

Cu toate acestea, dacă nu există o valoare tabelară în partea dreaptă a ecuației, atunci înlocuim valoarea în soluția generală a ecuației:

SOLUTII SPECIALE:

Notați pe cerc punctele a căror ordonată este egală cu 0:

Să marchem pe cerc un singur punct, a cărui ordonată este egală cu 1:

Să marchem pe cerc singurul punct, a cărui ordonată este egală cu -1:

Deoarece se obișnuiește să se indice valorile care sunt cele mai apropiate de zero, scriem soluția după cum urmează:

Notați pe cerc punctele a căror abscisă este egală cu 0:

5.
Să marchem pe cerc singurul punct, a cărui abscisă este egală cu 1:

Să marchem pe cerc singurul punct, a cărui abscisă este egală cu -1:

Și exemple puțin mai complexe:

1.

Sinusul este unul dacă argumentul este

Argumentul sinusului nostru este egal, deci obținem:

Împărțiți ambele părți ale egalității la 3:

Răspuns:

2.

Cosinusul este zero dacă argumentul cosinusului este

Argumentul cosinusului nostru este egal, deci obținem:

Să ne exprimăm, pentru aceasta ne deplasăm mai întâi la dreapta cu semnul opus:

Să simplificăm partea dreaptă:

Împărțiți ambele părți la -2:

Rețineți că semnul nu se schimbă în fața termenului, deoarece k poate lua orice valoare întreagă.

Răspuns:

Și, în sfârșit, urmăriți tutorialul video „Selectarea rădăcinilor într-o ecuație trigonometrică folosind un cerc trigonometric”

Astfel se încheie conversația despre rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Data viitoare vom vorbi despre cum să rezolvăm.