Bisectoarea unui triunghi împarte latura opusă în relație. Bisectoarea unui triunghi și proprietățile sale

Bisectoarea unui triunghi este un segment care împarte unghiul triunghiului în două unghiuri egale. De exemplu, dacă unghiul triunghiului este de 120 0, atunci trasând bisectoarea, vom construi două unghiuri de 60 0 fiecare.

Și deoarece există trei unghiuri într-un triunghi, pot fi trase trei bisectoare. Toate au un punct de delimitare. Acest punct este centrul cercului înscris în triunghi. Într-un alt mod, acest punct de intersecție este numit incentrul triunghiului.

Când două bisectoare ale unghiurilor interior și exterior se intersectează, se obține un unghi de 90 0. Colțul exterior dintr-un triunghi este unghiul adiacent colțului interior al triunghiului.

Orez. 1. Triunghi cu 3 bisectoare

Bisectoarea împarte partea opusă în două segmente de linie care sunt conectate la laturi:

$$ (CL \ peste (LB)) = (AC \ peste (AB)) $$

Punctele bisectoarei sunt echidistante de laturile colțului, ceea ce înseamnă că sunt la aceeași distanță de laturile colțului. Adică, dacă din orice punct al bisectoarei coborâm perpendicularele pe fiecare parte a unghiului triunghiului, atunci aceste perpendiculare vor fi egale.

Dacă desenați mediana, bisectoarea și înălțimea dintr-un vârf, atunci mediana va fi segmentul cel mai lung, iar înălțimea va fi cea mai scurtă.

Unele proprietăți ale bisectoarei

În anumite tipuri de triunghiuri, bisectoarea are proprietăți speciale. Acest lucru se aplică în primul rând triunghiului isoscel. Această figură are două laturi identice, iar a treia se numește bază.

Dacă din vârful unghiului unui triunghi isoscel se desenează o bisectoare la bază, atunci aceasta va avea proprietățile atât ale înălțimii, cât și ale medianei. În consecință, lungimea bisectoarei coincide cu lungimea medianei și înălțimea.

Definitii:

• Înălţime- perpendiculara coborâtă de la vârful triunghiului spre latura opusă ..
• Median- un segment care leagă vârful triunghiului și mijlocul laturii opuse.

Orez. 2. Bisectoare într-un triunghi isoscel

Acest lucru se aplică și unui triunghi echilateral, adică unui triunghi în care toate cele trei laturi sunt egale.

Sarcină de exemplu

Într-un triunghi ABC: BR este bisectoarea, unde AB = 6 cm, BC = 4 cm și RC = 2 cm Scădeți lungimea celei de-a treia laturi.

Orez. 3. Bisectoare într-un triunghi

Soluţie:

Bisectoarea împarte latura triunghiului într-o anumită proporție. Să folosim această proporție și să exprimăm AR. Apoi vom găsi lungimea celei de-a treia laturi ca fiind suma segmentelor în care această latură a fost împărțită de bisectoare.

• $ (AB \ peste (BC)) = (AR \ peste (RC)) $
• $ RC = (6 \ peste (4)) * 2 = 3 cm $

Apoi întregul segment AC = RC + AR

AC = 3 + 2 = 5 cm.

Evaluări totale primite: 107.

Care este bisectoarea unghiului unui triunghi? La această întrebare, unii oameni scot din limbă cu faimosul șobolan alergând pe la colțuri și împărțind colțul în jumătate. „Dacă răspunsul ar trebui să fie „umoristic”, atunci poate că este corect. Dar din punct de vedere științific, răspunsul la această întrebare ar trebui să sune cam așa: pornind de la vârful colțului și împărțindu-l pe acesta din urmă în două părți egale." În geometrie, această figură este, de asemenea, percepută ca un segment al bisectoarei înainte de a se intersecta cu latura opusă a triunghiului. Aceasta nu este o concepție greșită. Și ce se mai știe despre bisectoarea unghiului, în afară de definiția ei?

Ca orice loc geometric al punctelor, are propriile sale caracteristici. Prima dintre ele este mai degrabă, nici măcar o trăsătură, ci o teoremă, care poate fi exprimată pe scurt după cum urmează: „Dacă bisectoarea împarte latura opusă în două părți, atunci raportul lor va corespunde raportului dintre laturile celui mare. triunghi."

A doua proprietate pe care o are: punctul de intersecție al bisectoarelor tuturor unghiurilor se numește incentru.

Al treilea semn: bisectoarele unui colț interior și două colțuri exterioare ale unui triunghi se intersectează în centrul unuia dintre cele trei cercuri înscrise în el.

A patra proprietate a bisectoarei unghiului unui triunghi este că, dacă fiecare dintre ele este egală, atunci acesta din urmă este isoscel.

Cea de-a cincea trăsătură se referă și la un triunghi isoscel și este principalul punct de referință pentru recunoașterea lui în desen de către bisectoare și anume: într-un triunghi isoscel, joacă simultan rolul de mediană și de înălțime.

Bisectoarea unui unghi poate fi trasată folosind o busolă și o riglă:

A șasea regulă spune că este imposibil să construiești un triunghi folosind acesta din urmă numai cu bisectoarele disponibile, la fel cum este imposibil să construiești o dublare a unui cub, pătrarea unui cerc și trisecția unui unghi în acest fel. Strict vorbind, acestea sunt toate proprietățile bisectoarei unghiului unui triunghi.

Dacă ați citit cu atenție paragraful anterior, atunci poate că vă interesează o singură frază. "Ce este o trisecție a unui unghi?" - probabil întrebi. Trisectorul este puțin similar cu bisectoarea, dar dacă o desenați pe ultima, atunci unghiul va fi împărțit în două părți egale, iar atunci când construiți trisecția - în trei. Desigur, bisectoarea unghiului este mai ușor de reținut, deoarece trisecția nu este predată la școală. Dar, de dragul completității, vă voi spune despre asta.

Trisectorul, după cum spuneam, nu poate fi construit doar cu busolă și riglă, ci poate fi creat folosind regulile Fujita și câteva curbe: melcul lui Pascal, cvadrix, concoid Nicomede, secțiuni conice,

Problemele de trisecție unghiulară pot fi rezolvate cu ușurință folosind Nevisis.

În geometrie, există o teoremă despre trisectoarele unui unghi. Se numește teorema Morley (Morley). Ea afirmă că punctele de intersecție ale trisectoarelor mijlocii ale fiecărui colț vor fi vârfuri

Micul triunghi negru din interiorul celui mare va fi întotdeauna echilateral. Această teoremă a fost descoperită de omul de știință britanic Frank Morley în 1904.

Iată cât de multe puteți învăța despre împărțirea unui unghi: trisectorul și bisectoarea unui unghi necesită întotdeauna explicații detaliate. Dar aici s-au dat multe definiții nedezvăluite încă de mine: melcul lui Pascal, concoidul Nicomede etc. Fii sigur, se pot scrie mai multe despre ele.

Astăzi va fi o lecție foarte ușoară. Vom lua în considerare un singur obiect - bisectoarea unui unghi - și vom demonstra cea mai importantă proprietate a acestuia, care ne va fi foarte utilă în viitor.

Doar nu vă relaxați: uneori elevii care doresc să obțină un punctaj mare la același OGE sau USE, în prima lecție, nu pot nici măcar să formuleze cu exactitate definiția bisectoarei.

Și în loc să facem sarcini cu adevărat interesante, pierdem timpul cu lucruri atât de simple. Prin urmare, citiți, vedeți - și puneți-l în funcțiune. :)

Pentru început, o întrebare puțin ciudată: ce este un unghi? Așa este: un unghi sunt doar două raze care ies din același punct. De exemplu:

După cum puteți vedea din imagine, colțurile pot fi ascuțite, obtuze, drepte - nu contează acum. Adesea, pentru comoditate, pe fiecare rază este marcat un punct suplimentar și se spune că avem un unghi $ AOB $ în fața noastră (scris ca $ \ unghi AOB $).

Căpitanul evidenței pare să sugereze că, pe lângă razele $ OA $ și $ OB $, puteți trage oricând o grămadă de raze din punctul $ O $. Dar printre ei va fi unul special - este cel care este numit bisectoare.

Definiție. Bisectoarea unui unghi este o rază care iese din partea de sus a acelui unghi și traversează unghiul.

Pentru unghiurile de mai sus, bisectoarele vor arăta astfel:

Exemple de bisectoare pentru unghiuri acute, obtuze și drepte

Deoarece în desenele reale este departe de a fi întotdeauna evident că o anumită rază (în cazul nostru este raza $ OM $) împarte unghiul inițial în două unghiuri egale, în geometrie se obișnuiește să se marcheze unghiuri egale cu același număr de arce. (în desenul nostru, acesta este 1 arc pentru un unghi ascuțit, doi pentru contondent, trei pentru direct).

Bine, ne-am dat seama de definiție. Acum trebuie să înțelegeți ce proprietăți are bisectoarea.

Proprietatea principală a bisectoarei unui unghi

De fapt, o bisectoare are o grămadă de proprietăți. Și cu siguranță ne vom uita la ele în lecția următoare. Dar există un truc pe care trebuie să-l înțelegi chiar acum:

Teorema. Bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante de laturile unui unghi dat.

Tradus din matematică în rusă, aceasta înseamnă două fapte simultan:

1. Orice punct situat pe bisectoarea unui anumit unghi se află la aceeași distanță de laturile acestui unghi.
2. Și invers: dacă un punct se află la aceeași distanță de laturile unui unghi dat, atunci este garantat să se afle pe bisectoarea acestui unghi.

Înainte de a demonstra aceste afirmații, să clarificăm un punct: cum se numește, de fapt, distanța de la un punct la o latură a unghiului? Aici, definiția bună de modă veche a distanței de la un punct la o linie ne va ajuta:

Definiție. Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea unei perpendiculare trasate de la un punct dat la acea dreaptă.

De exemplu, luați în considerare linia $ l $ și un punct $ A $ care nu se află pe această linie. Desenați o perpendiculară $ AH $, unde $ H \ în l $. Atunci lungimea acestei perpendiculare va fi distanța de la punctul $ A $ la dreapta $ l $.

Deoarece un unghi este doar două fascicule și fiecare fascicul este o bucată dintr-o linie dreaptă, este ușor să determinați distanța de la un punct la laturile unghiului. Sunt doar două perpendiculare:

Asta e tot! Acum știm ce este distanța și ce este o bisectoare. Prin urmare, proprietatea principală poate fi demonstrată.

După cum am promis, să împărțim dovada în două părți:

1. Distanțele de la un punct de pe bisectoare la laturile unghiului sunt aceleași

Considerăm un unghi arbitrar cu vârf $ O $ și bisectoare $ OM $:

Să demonstrăm că chiar acest punct $ M $ se află la aceeași distanță de laturile colțului.

Dovada. Desenați perpendiculare din punctul $ M $ către laturile colțului. Să le numim $ M ((H) _ (1)) $ și $ M ((H) _ (2)) $:

Desenați perpendiculare pe părțile laterale ale colțului

Am două triunghi dreptunghic: $ \ vartriunghi OM ((H) _ (1)) $ și $ \ vartriunghi OM ((H) _ (2)) $. Au o ipotenuză comună $ OM $ și unghiuri egale:

1. $ \ unghi MO ((H) _ (1)) = \ unghi MO ((H) _ (2)) $ prin condiție (deoarece $ OM $ este bisectoare);
2. $ \ unghi M ((H) _ (1)) O = \ unghi M ((H) _ (2)) O = 90 () ^ \ circ $ prin construcție;
3. $ \ unghi OM ((H) _ (1)) = \ unghi OM ((H) _ (2)) = 90 () ^ \ circ - \ unghi MO ((H) _ (1)) $, deoarece suma Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt întotdeauna de 90 de grade.

În consecință, triunghiurile sunt egale în latură și două unghiuri adiacente (vezi semnele de egalitate a triunghiurilor). Prin urmare, în special, $ M ((H) _ (2)) = M ((H) _ (1)) $, adică. distanţele de la punctul $ O $ până la laturile colţului sunt într-adevăr egale. Q.E.D.:)

2. Dacă distanțele sunt egale, atunci punctul se află pe bisectoare

Acum situația este inversată. Să fie dat un unghi $ O $ și un punct $ M $ echidistant de laturile acestui unghi:

Să demonstrăm că raza $ OM $ este o bisectoare, adică $ \ unghi MO ((H) _ (1)) = \ unghi MO ((H) _ (2)) $.

Dovada. Pentru început, să desenăm chiar această rază $ OM $, altfel nu va fi nimic de demonstrat:

A cheltuit raza $ OM $ în colț

Din nou avem două triunghiuri dreptunghiulare: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ și $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. Ele sunt în mod evident egale pentru că:

1. Hipotenuza $ OM $ - total;
2. Picioarele $ M ((H) _ (1)) = M ((H) _ (2)) $ prin condiție (la urma urmei, punctul $ M $ este echidistant de laturile colțului);
3. Picioarele rămase sunt și ele egale, deoarece prin teorema lui Pitagora $ OH_ (1) ^ (2) = OH_ (2) ^ (2) = O ((M) ^ (2)) - MH_ (1) ^ (2) $.

Prin urmare, triunghiurile $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ și $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $ sunt pe trei laturi. În special, unghiurile lor sunt egale: $ \ unghi MO ((H) _ (1)) = \ unghi MO ((H) _ (2)) $. Și asta înseamnă doar că $ OM $ este o bisectoare.

În încheierea demonstrației, notăm unghiurile egale rezultate cu arce roșii:

Bisectoarea împarte $ \ unghiul ((H) _ (1)) O ((H) _ (2)) $ în două egale

După cum puteți vedea, nimic complicat. Am demonstrat că bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante de laturile acestui unghi. :)

Acum că ne-am hotărât mai mult sau mai puțin asupra terminologiei, este timpul să trecem la un nou nivel. În lecția următoare, vom analiza proprietățile mai complexe ale bisectoarei și vom învăța cum să le folosim pentru a rezolva probleme reale.

Bisectoarea unui triunghi este un concept geometric comun care nu provoacă dificultăți deosebite în studiu. Având cunoștințe despre proprietățile sale, multe probleme pot fi rezolvate fără prea multe dificultăți. Ce este bisectoarea? Vom încerca să familiarizăm cititorul cu toate secretele acestei linii matematice.

In contact cu

Esența conceptului

Numele conceptului provine de la folosirea cuvintelor în latină, al căror sens este „bi” – doi, „sectio” – tăiat. Ele indică în mod special sens geometric concepte – împărțirea spațiului dintre grinzi în două părți egale.

Bisectoarea unui triunghi este un segment care provine din partea de sus a figurii, iar celălalt capăt este situat pe latura opusă acestuia, împărțind spațiul în două părți egale.

Pentru memorarea asociativă rapidă a conceptelor matematice de către elevi, mulți profesori folosesc o terminologie diferită, care este afișată în versuri sau asociații. Desigur, această definiție este recomandată copiilor mai mari.

Cum este desemnată această linie dreaptă? Aici ne bazăm pe regulile de desemnare a segmentelor sau razelor. Dacă vorbim despre desemnarea bisectoarei unghiului unei figuri triunghiulare, atunci este de obicei scris ca un segment, ale cărui capete sunt vârf și punctul de intersecție cu latura opusă vârfului... Mai mult, începutul desemnării este scris tocmai de sus.

Atenţie! Câte bisectoare are un triunghi? Răspunsul este evident: sunt atâtea câte trei vârfuri.

Proprietăți

Pe lângă definiție, în manualul școlar puteți găsi nu atât de multe proprietăți ale acestui concept geometric. Prima proprietate a bisectoarei unui triunghi, care este introdusă școlarilor, este centrul înscrisului, iar a doua, direct legată de acesta, este proporționalitatea segmentelor. Linia de jos este următoarea:

1. Oricare ar fi linia de despărțire, există puncte pe ea care sunt la aceeasi distanta de laturi care alcătuiesc spațiul dintre grinzi.
2. Pentru a înscrie un cerc într-o figură triunghiulară, este necesar să se determine punctul în care aceste segmente se vor intersecta. Acesta este punctul central al cercului.
3. Părțile laturii unei figuri geometrice triunghiulare, în care linia de despărțire o desparte, sunt proporțional cu laturile unghiulare.

Vom încerca să aducem restul caracteristicilor în sistem și să prezentăm fapte suplimentare care vor ajuta la înțelegerea mai bună a meritelor acestui concept geometric.

Lungime

Unul dintre tipurile de probleme care provoacă dificultăți pentru școlari este găsirea lungimii bisectoarei unghiului unui triunghi. Prima opțiune, care conține lungimea sa, conține următoarele date:

• cantitatea de spațiu dintre raze, din vârful căruia iese acest segment;
• lungimile laturilor care formează acest unghi.

Pentru a rezolva problema se foloseste formula, al cărui sens este de a găsi raportul dintre produsul dublat al valorilor laturilor care formează unghiul cu cosinusul jumătății sale și suma laturilor.

Să luăm în considerare un exemplu concret. Să presupunem că este dată o figură ABC, în care un segment este desenat din unghiul A și intersectează latura BC în punctul K. Valoarea lui A se notează cu Y. Pe baza acesteia, AK = (2 * AB * AC * cos (Y / 2)) / (AB + AC).

A doua versiune a problemei, în care se determină lungimea bisectoarei unui triunghi, conține următoarele date:

• se cunosc semnificațiile tuturor laturilor figurii.

La rezolvarea unei probleme de acest tip, inițial determina semiperimetrul... Pentru a face acest lucru, adăugați valorile tuturor laturilor și împărțiți în jumătate: p = (AB + BC + AC) / 2. Apoi, aplicăm formula de calcul, care a fost folosită pentru a determina lungimea acestui segment în problema anterioară. Este necesar doar să faceți unele modificări la esența formulei în conformitate cu noii parametri. Deci, este necesar să se găsească raportul dintre rădăcina dublată de gradul doi din produsul lungimilor laturilor care se învecinează cu vârful de semiperimetru și diferența dintre semiperimetrul și lungimea laturii opuse. la suma laturilor care alcătuiesc unghiul. Adică AK = (2٦AB * AC * p * (p-BC)) / (AB + AC).

Atenţie! Pentru a stăpâni mai ușor materialul, te poți referi la poveștile comice disponibile pe internet care povestesc despre „aventurile” acestei linii drepte.

Colțurile interioare ale unui triunghi se numesc bisectoarea triunghiului.
Bisectoarea unghiului unui triunghi este, de asemenea, înțeleasă ca segmentul dintre vârful său și punctul de intersecție al bisectoarei cu latura opusă a triunghiului.
Teorema 8. Trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.
Într-adevăr, să considerăm mai întâi punctul P de intersecție a două bisectoare, de exemplu, AK 1 și VK 2. Acest punct este la fel de îndepărtat de laturile AB și AC, deoarece se află pe bisectoarea unghiului A și este la fel de îndepărtat de laturile AB și BC, ca aparținând bisectoarei unghiului B. Prin urmare, este la fel de îndepărtat de laturile AB și BC. laturile AC și BC și aparține astfel celei de-a treia bisectoare SK 3, adică în punctul P se intersectează toate cele trei bisectoare.
Proprietățile bisectoarelor unghiurilor interior și exterior ale unui triunghi
Teorema 9. Bisectoare colțul interior un triunghi împarte latura opusă în părți proporționale cu laturile adiacente.
Dovada. Se consideră triunghiul ABC și bisectoarea unghiului său B. Se trasează prin vârful C dreapta CM, paralelă cu bisectoarea BK, până când se intersectează în punctul M cu prelungirea laturii AB. Deoarece VK este bisectoarea unghiului ABC, atunci ∠ AVK = ∠ KBC. În plus, ∠ ABK = ∠ BMC, ca unghiuri corespunzătoare pentru liniile paralele, și ∠ KBC = ∠ BCM, ca unghiuri de încrucișare pentru liniile paralele. Prin urmare, ∠ ВСМ = ∠ ВМС și, prin urmare, triunghiul ВСМ este isoscel, de unde ВС = ВМ. Prin teorema pe drepte paralele care intersectează laturile unui unghi, avem AK: KC = AB: BM = AB: BC, după cum este necesar.
Teorema 10 Bisectoarea unghiului exterior B al triunghiului ABC are o proprietate similară: segmentele AL și CL de la vârfurile A și C până la punctul L de intersecție a bisectoarei cu continuarea laturii AC sunt proporționale cu laturile lui. triunghiul: AL: CL= AB: BC.
Această proprietate se demonstrează în același mod ca și precedenta: în figură este trasată o dreaptă auxiliară SM, paralelă cu bisectoarea BL. Unghiurile BMC și BCM sunt egale, ceea ce înseamnă că laturile BM și BC ale triunghiului BMC sunt egale. De la care ajungem la concluzia AL: CL = AB: BC.

Teorema d4. (prima formulă pentru bisectoare): Dacă în triunghiul ABC segmentul AL este bisectoarea unghiului A, atunci AL? = AB AC - LB LC.

Dovada: Fie M punctul de intersecție al dreptei AL cu cercul circumscris triunghiului ABC (Fig. 41). Unghiul BAM este egal cu unghiul MAC prin convenție. Unghiurile BMA și BCA sunt egale ca unghiuri înscrise care se sprijină pe aceeași coardă. Aceasta înseamnă că triunghiurile BAM și LAC sunt similare în două unghiuri. Prin urmare, AL: AC = AB: AM. Prin urmare, AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Ceea ce trebuia să fie dovedit. Notă: pentru o teoremă asupra segmentelor de acorduri care se intersectează într-un cerc și asupra unghiurilor înscrise, vezi subiectul cerc și cerc.

Teorema d5. (a doua formulă pentru bisectoare): Într-un triunghi ABC cu laturile AB = a, AC = b și unghiul A egal cu 2? și bisectoarea l, este valabilă următoarea egalitate:
l = (2ab / (a ​​+ b)) cos ?.

Dovada: Fie ABC un triunghi dat, AL bisectoarea ei (Fig. 42), a = AB, b = AC, l = AL. Atunci S ABC = S ALB + S ALC. Prin urmare absin2? = alsin? + blsin?<=>2absină? = (a + b) lsin?<=>l = 2 (ab / (a ​​+ b)) cos ?. Teorema este demonstrată.