Derivată a unei funcții complexe. Exemple de soluții

În această lecție, vom învăța cum să găsim derivata unei functii complexe. Lecția este o continuare logică a lecției Cum să găsesc derivatul?, pe care am analizat cele mai simple derivate, și, de asemenea, ne-am familiarizat cu regulile de diferențiere și unele metode tehnice de găsire a derivatelor. Astfel, dacă nu ești foarte bun cu derivatele de funcții sau unele puncte din acest articol nu sunt în totalitate clare, atunci citește mai întâi lecția de mai sus. Vă rugăm să acordați o dispoziție serioasă - materialul nu este ușor, dar voi încerca totuși să îl prezint simplu și clar.

În practică, trebuie să te ocupi de derivata unei funcții complexe foarte des, chiar aș spune aproape întotdeauna, când ți se dau sarcini să găsești derivate.

Ne uităm în tabel la regula (nr. 5) pentru diferențierea unei funcții complexe:

Noi înțelegem. În primul rând, să aruncăm o privire asupra notației. Aici avem două funcții - și , iar funcția, la figurat vorbind, este imbricată în funcția . O funcție de acest fel (când o funcție este imbricată în alta) se numește funcție complexă.

Voi apela funcția functie externa, și funcția – funcție interioară (sau imbricată)..

! Aceste definiții nu sunt teoretice și nu ar trebui să apară în proiectarea finală a sarcinilor. Folosesc expresiile informale „funcție externă”, funcție „internă” doar pentru a vă facilita înțelegerea materialului.

Pentru a clarifica situația, luați în considerare:

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții

Sub sinus, avem nu doar litera „x”, ci întreaga expresie, așa că găsirea derivatei imediat din tabel nu va funcționa. De asemenea, observăm că este imposibil să aplicați primele patru reguli aici, pare să existe o diferență, dar adevărul este că este imposibil să „sfiți” sinusul:

ÎN acest exemplu deja din explicațiile mele este intuitiv clar că o funcție este o funcție complexă, iar polinomul este o funcție internă (încorporare) și o funcție externă.

Primul pas, care trebuie efectuată atunci când găsirea derivatei unei funcții complexe este să înțelegeți ce funcție este internă și care este externă.

Când exemple simple pare clar că un polinom este imbricat sub sinus. Dar dacă nu este evident? Cum să determinați exact ce funcție este externă și care este internă? Pentru a face acest lucru, vă propun să folosiți următoarea tehnică, care poate fi efectuată mental sau pe ciornă.

Să ne imaginăm că trebuie să calculăm valoarea expresiei cu un calculator (în loc de unul, poate exista orice număr).

Ce calculăm mai întâi? Pentru inceput va trebui să efectuați următoarea acțiune: , deci polinomul va fi o funcție internă:

În al doilea rând va trebui să găsiți, deci sinusul - va fi o funcție externă:

După ce noi A INTELEGE Cu funcții interioare și exterioare, este timpul să aplici regula de diferențiere a funcției compuse.

Începem să decidem. De la lecție Cum să găsesc derivatul? ne amintim că proiectarea soluției oricărei derivate începe întotdeauna astfel - includem expresia între paranteze și punem o contur în dreapta sus:

La început găsiți derivata funcției externe (sinus), uitați-vă la tabelul derivatelor functii elementare si observati ca. Toate formulele tabelare sunt aplicabile chiar dacă „x” este înlocuit cu o expresie complexă, în acest caz:

Rețineți că funcția interioară nu s-a schimbat, nu o atingem.

Ei bine, este destul de evident că

Rezultatul final al aplicării formulei arată astfel:

Factorul constant este de obicei plasat la începutul expresiei:

Dacă există vreo neînțelegere, notați decizia pe hârtie și citiți din nou explicațiile.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Ca întotdeauna, scriem:

Ne dăm seama unde avem o funcție externă și unde este una internă. Pentru a face acest lucru, încercăm (mental sau pe o schiță) să calculăm valoarea expresiei pentru . Ce trebuie făcut mai întâi? În primul rând, trebuie să calculați cu ce baza este egală:, ceea ce înseamnă că polinomul este funcția internă:

Și, numai atunci se realizează exponențiarea, prin urmare, funcția de putere este o funcție externă:

Conform formulei, mai întâi trebuie să găsiți derivata funcției externe, în acest caz, gradul. Căutăm formula dorită în tabel:. Repetăm ​​din nou: orice formulă tabelară este valabilă nu numai pentru „x”, ci și pentru o expresie complexă. Astfel, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:

Subliniez din nou că atunci când luăm derivata funcției exterioare, funcția interioară nu se modifică:

Acum rămâne să găsiți o derivată foarte simplă a funcției interioare și să „pieptănați” puțin rezultatul:

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției).

Pentru a consolida înțelegerea derivatei unei funcții complexe, voi da un exemplu fără comentarii, încercați să vă dați seama singur, raționați, unde este externul și unde este funcția internă, de ce sarcinile sunt rezolvate astfel?

Exemplul 5

a) Aflați derivata unei funcții

b) Aflați derivata funcției

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici avem o rădăcină, iar pentru a diferenția rădăcina, aceasta trebuie reprezentată ca un grad. Astfel, mai întâi aducem funcția în forma potrivită pentru diferențiere:

Analizând funcția, ajungem la concluzia că suma a trei termeni este o funcție internă, iar exponențiația este o funcție externă. Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe:

Gradul este din nou reprezentat ca un radical (rădăcină), iar pentru derivata funcției interne, aplicăm o regulă simplă de diferențiere a sumei:

Gata. De asemenea, puteți aduce expresia la un numitor comun între paranteze și scrieți totul ca o fracție. Este frumos, desigur, dar atunci când se obțin derivate lungi greoaie, este mai bine să nu faci acest lucru (este ușor să te confuzi, să faci o greșeală inutilă și profesorul va fi incomod să verifice).

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției).

Este interesant de observat că uneori, în loc de regula de diferențiere a unei funcții complexe, se poate folosi regula de diferențiere a unui coeficient. , dar o astfel de soluție ar arăta ca o perversiune amuzantă. Iată un exemplu tipic:

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți folosi regula de diferențiere a coeficientului , dar este mult mai profitabil să găsim derivata prin regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Pregătim funcția pentru diferențiere - scoatem semnul minus al derivatei și ridicăm cosinusul la numărător:

Cosinusul este o funcție internă, exponențiația este o funcție externă.
Să folosim regula noastră:

Găsim derivata funcției interioare, resetăm cosinusul înapoi în jos:

Gata. În exemplul luat în considerare, este important să nu vă confundați în semne. Apropo, încercați să o rezolvați cu regula , răspunsurile trebuie să se potrivească.

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției).

Până acum, am luat în considerare cazurile în care am avut un singur cuib într-o funcție complexă. În sarcinile practice, puteți găsi adesea derivate, în care, precum păpușile de cuibărit, una în cealaltă, 3 sau chiar 4-5 funcții sunt imbricate deodată.

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Înțelegem atașamentele acestei funcții. Încercăm să evaluăm expresia folosind valoarea experimentală. Cum am conta pe un calculator?

Mai întâi trebuie să găsiți, ceea ce înseamnă că arcsinusul este cel mai adânc cuib:

Acest arcsinus al unității ar trebui apoi să fie la pătrat:

Și, în sfârșit, îi ridicăm pe cei șapte la putere:

Adică, în acest exemplu avem trei funcții diferite și două imbricare, în timp ce funcția cea mai interioară este arcsinus, iar funcția cea mai exterioară este funcția exponențială.

Începem să decidem

Conform regulii, mai întâi trebuie să luați derivata funcției externe. Ne uităm la tabelul de derivate și aflăm derivata funcției exponențiale: Singura diferență este că în loc de „x” avem o expresie complexă, care nu anulează validitatea acestei formule. Deci, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe este următorul:

Sub liniuță, avem din nou o funcție dificilă! Dar deja este mai ușor. Este ușor de observat că funcția interioară este arcsinus și funcția exterioară este gradul. Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, mai întâi trebuie să luați derivata gradului.

Primul nivel

Derivată de funcție. Ghid cuprinzător (2019)

Imaginează-ți un drum drept care trece printr-o zonă deluroasă. Adică merge în sus și în jos, dar nu se întoarce la dreapta sau la stânga. Dacă axa este îndreptată orizontal de-a lungul drumului și vertical, atunci linia drumului va fi foarte similară cu graficul unei funcții continue:

Axa este un anumit nivel de înălțime zero, în viață folosim nivelul mării.

Înaintând pe un astfel de drum, ne mișcăm și în sus sau în jos. Mai putem spune: atunci când argumentul se schimbă (deplasarea de-a lungul axei absciselor), valoarea funcției se modifică (deplasarea de-a lungul axei ordonatelor). Acum să ne gândim cum să determinăm „abruptul” drumului nostru? Care ar putea fi această valoare? Foarte simplu: cât de mult se va schimba înălțimea la deplasarea înainte pe o anumită distanță. La urma urmei, pe zone diferite drum, înaintând (de-a lungul abscisei) cu un kilometru, vom urca sau vom coborî un număr diferit de metri față de nivelul mării (de-a lungul ordonatei).

Indică progresul înainte (a se citi „delta x”).

Litera greacă (delta) este folosită în mod obișnuit în matematică ca prefix care înseamnă „schimbare”. Adică - aceasta este o schimbare de amploare, - o schimbare; atunci ce este? Așa e, o schimbare de dimensiune.

Important: expresia este o singură entitate, o variabilă. Nu ar trebui să rupeți niciodată „delta” din „x” sau din orice altă literă! Adică, de exemplu, .

Deci, am mers înainte, pe orizontală, mai departe. Dacă comparăm linia drumului cu graficul unei funcții, atunci cum notăm creșterea? Cu siguranță, . Adică, atunci când mergem înainte, ne ridicăm mai sus.

Este ușor de calculat valoarea: dacă la început eram la înălțime, iar după mișcare eram la înălțime, atunci. Dacă punctul final s-a dovedit a fi mai mic decât punctul de început, va fi negativ - asta înseamnă că nu urcăm, ci coborăm.

Înapoi la „abrupte”: aceasta este o valoare care indică cât de mult (abrupt) crește înălțimea atunci când se avansează pe unitate de distanță:

Să presupunem că pe o anumită porțiune de potecă, la înaintarea cu km, drumul urcă cu km. Atunci abruptul în acest loc este egal. Și dacă drumul, la înaintarea cu m, s-a scufundat cu km? Atunci panta este egală.

Acum luați în considerare vârful unui deal. Dacă luați începutul secțiunii la jumătate de kilometru până în vârf, iar sfârșitul - o jumătate de kilometru după ea, puteți vedea că înălțimea este aproape aceeași.

Adică, conform logicii noastre, se dovedește că panta aici este aproape egală cu zero, ceea ce în mod clar nu este adevărat. Multe se pot schimba la doar câteva mile distanță. Zonele mai mici trebuie luate în considerare pentru o estimare mai adecvată și mai precisă a abruptului. De exemplu, dacă măsurați modificarea înălțimii când vă deplasați cu un metru, rezultatul va fi mult mai precis. Dar chiar și această precizie poate să nu fie suficientă pentru noi - la urma urmei, dacă există un stâlp în mijlocul drumului, ne putem strecura pur și simplu prin el. Ce distanță ar trebui să alegem atunci? Centimetru? Milimetru? Mai puțin este mai bine!

ÎN viata reala măsurarea distanței la cel mai apropiat milimetru este mai mult decât suficientă. Dar matematicienii luptă întotdeauna spre perfecțiune. Prin urmare, conceptul a fost infinitezimal, adică valoarea modulo este mai mică decât orice număr pe care îl putem numi. De exemplu, spui: o trilionime! Cu cât mai puțin? Și împărțiți acest număr la - și va fi și mai puțin. etc. Dacă vrem să scriem că valoarea este infinit de mică, scriem astfel: (citim „x tinde spre zero”). Este foarte important de înțeles că acest număr nu este egal cu zero! Dar foarte aproape de ea. Aceasta înseamnă că poate fi împărțit în.

Conceptul opus infinitului mic este infinit de mare (). Probabil l-ați întâlnit deja când lucrați la inegalități: acest număr este mai mare ca modul decât orice număr la care vă puteți gândi. Dacă găsiți cel mai mare număr posibil, înmulțiți-l cu doi și obțineți și mai mult. Iar infinitul este chiar mai mult decât ceea ce se întâmplă. De fapt, infinit de mare și infinit de mici sunt inverse unul față de celălalt, adică la și invers: la.

Acum înapoi la drumul nostru. Panta calculată în mod ideal este panta calculată pentru un segment infinit de mic al traseului, adică:

Observ că, cu o deplasare infinit de mică, modificarea înălțimii va fi, de asemenea, infinit de mică. Dar permiteți-mi să vă reamintesc că infinit mic nu înseamnă egal cu zero. Dacă împărțiți numere infinitezimale între ele, puteți obține un număr complet obișnuit, de exemplu. Adică, o valoare mică poate fi exact de două ori mai mare decât alta.

De ce toate astea? Drumul, abruptul... Nu mergem într-un miting, dar învățăm matematică. Și în matematică totul este exact la fel, doar numit diferit.

Conceptul de derivat

Derivata unei funcții este raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la o creștere infinitezimală a argumentului.

Creştereîn matematică se numește schimbare. Cât de mult s-a schimbat argumentul () la deplasarea de-a lungul axei se numește increment de argumentși notat cu Cât de mult s-a schimbat funcția (înălțimea) la deplasarea înainte de-a lungul axei cu o distanță se numește creșterea funcției si este marcat.

Deci, derivata unei funcții este relația cu când. Derivata o notăm cu aceeași literă ca și funcția, doar cu o contur din dreapta sus: sau pur și simplu. Deci, să scriem formula derivată folosind aceste notații:

Ca și în analogia cu drumul, aici, când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă.

Dar derivata este egală cu zero? Cu siguranță. De exemplu, dacă conducem pe un drum orizontal plat, abruptul este zero. Într-adevăr, înălțimea nu se schimbă deloc. Deci, cu derivata: derivata unei funcții constante (constante) este egală cu zero:

deoarece incrementul unei astfel de funcții este zero pentru oricare.

Să luăm exemplul din vârful dealului. S-a dovedit că este posibil să se aranjeze capetele segmentului pe laturile opuse ale vârfului astfel încât înălțimea la capete să fie aceeași, adică segmentul este paralel cu axa:

Dar segmentele mari sunt un semn de măsurare inexactă. Ne vom ridica segmentul paralel cu el însuși, apoi lungimea acestuia va scădea.

În final, când suntem infinit aproape de vârf, lungimea segmentului va deveni infinit de mică. Dar, în același timp, a rămas paralel cu axa, adică diferența de înălțime la capete este egală cu zero (nu tinde, dar este egală cu). Deci derivata

Acest lucru poate fi înțeles după cum urmează: când stăm în vârf, o mică deplasare la stânga sau la dreapta ne schimbă neglijabil înălțimea.

Există și o explicație pur algebrică: în stânga vârfului, funcția crește, iar în dreapta, scade. După cum am aflat deja mai devreme, atunci când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă. Dar se schimbă lin, fără sărituri (pentru că drumul nu își schimbă brusc panta nicăieri). Prin urmare, între negativ și valori pozitive trebuie să fie. Va fi acolo unde funcția nici nu crește, nici nu scade - în punctul de vârf.

Același lucru este valabil și pentru vale (zona în care funcția scade în stânga și crește în dreapta):

Mai multe despre creșteri.

Deci schimbăm argumentul într-o valoare. Ne schimbăm de la ce valoare? Ce a devenit el (argumentul) acum? Putem alege orice punct, iar acum vom dansa din el.

Luați în considerare un punct cu o coordonată. Valoarea funcției din ea este egală. Apoi facem aceeași creștere: creștem coordonatele cu. Care este argumentul acum? Foarte usor: . Care este valoarea funcției acum? Unde merge argumentul, funcția merge acolo: . Cum rămâne cu creșterea funcției? Nimic nou: aceasta este încă suma cu care s-a schimbat funcția:

Exersați găsirea incrementelor:

1. Găsiți incrementul funcției într-un punct cu un increment al argumentului egal cu.
2. Același lucru pentru o funcție într-un punct.

Solutii:

În puncte diferite, cu același increment al argumentului, incrementul funcției va fi diferit. Aceasta înseamnă că derivata din fiecare punct are propria lui (am discutat despre acest lucru chiar de la început - abruptul drumului în diferite puncte este diferit). Prin urmare, atunci când scriem o derivată, trebuie să indicăm în ce moment:

Funcția de putere.

O funcție de putere se numește o funcție în care argumentul este într-o oarecare măsură (logic, nu?).

Și - în orice măsură: .

Cel mai simplu caz este când exponentul este:

Să-i găsim derivata la un punct. Amintiți-vă definiția unei derivate:

Deci argumentul se schimbă de la la. Care este incrementul funcției?

Creșterea este. Dar funcția în orice punct este egală cu argumentul său. De aceea:

Derivata este:

Derivata lui este:

b) Acum considerăm funcția pătratică (): .

Acum să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că valoarea incrementului poate fi neglijată, deoarece este infinit de mică și, prin urmare, nesemnificativă pe fundalul unui alt termen:

Deci, avem o altă regulă:

c) Continuăm seria logică: .

Această expresie poate fi simplificată în diferite moduri: deschideți prima paranteză folosind formula pentru înmulțirea prescurtată a cubului sumei sau descompuneți întreaga expresie în factori folosind formula pentru diferența de cuburi. Încercați să o faceți singur în oricare dintre modurile sugerate.

Deci, am primit următoarele:

Și să ne amintim asta din nou. Aceasta înseamnă că putem neglija toți termenii care conțin:

Primim: .

d) Reguli similare pot fi obținute pentru puteri mari:

e) Rezultă că această regulă poate fi generalizată pentru o funcție de putere cu un exponent arbitrar, nici măcar un număr întreg:

Puteți formula regula cu cuvintele: „gradul este prezentat ca coeficient, apoi scade cu”.

Vom demonstra această regulă mai târziu (aproape la sfârșit). Acum să ne uităm la câteva exemple. Aflați derivata funcțiilor:

1. (în două moduri: prin formula și folosind definiția derivatei - prin numărarea incrementului funcției);

1. . Credeți sau nu, aceasta este o funcție de putere. Dacă aveți întrebări precum „Cum este? Și unde este gradul? ”, Ține minte subiectul“ ”!
   Da, da, rădăcina este și ea un grad, doar unul fracționar:.
   Deci rădăcina noastră pătrată este doar o putere cu un exponent:
   .
   Căutăm derivata folosind formula recent învățată:

   Dacă în acest moment a devenit din nou neclar, repetați subiectul „” !!! (aproximativ un grad cu un indicator negativ)

2. . Acum exponentul:

   Și acum prin definiție (ai uitat încă?):
   ;
   .
   Acum, ca de obicei, neglijăm termenul care conține:
   .

3. . Combinație de cazuri anterioare: .

funcții trigonometrice.

Aici vom folosi un fapt din matematica superioară:

Când expresia.

Dovada o vei invata in primul an de institut (si pentru a ajunge acolo trebuie sa treci bine examenul). Acum o voi arăta doar grafic:

Vedem că atunci când funcția nu există - punctul de pe grafic este perforat. Dar cu cât este mai aproape de valoare, cu atât funcția este mai aproape de aceasta.

În plus, puteți verifica această regulă cu un calculator. Da, da, nu te sfii, ia un calculator, încă nu suntem la examen.

Deci să încercăm: ;

Nu uitați să comutați calculatorul în modul Radians!

etc. Vedem că cu cât este mai mic, cu atât valoarea raportului este mai aproape de.

a) Luați în considerare o funcție. Ca de obicei, găsim creșterea acestuia:

Să transformăm diferența de sinusuri într-un produs. Pentru a face acest lucru, folosim formula (amintiți-vă de subiectul „”):.

Acum derivata:

Să facem o înlocuire: . Apoi, pentru infinit de mic, este și infinit de mic: . Expresia pentru ia forma:

Și acum ne amintim asta cu expresia. Și, de asemenea, ce se întâmplă dacă o valoare infinit de mică poate fi neglijată în sumă (adică la).

Deci obținem următoarea regulă: derivata sinusului este egală cu cosinusul:

Acestea sunt derivate de bază („tabel”). Iată-le într-o singură listă:

Mai târziu le vom adăuga câteva, dar acestea sunt cele mai importante, deoarece sunt folosite cel mai des.

Practică:

1. Aflați derivata unei funcții într-un punct;
2. Aflați derivata funcției.

Solutii:

1. Mai întâi găsim derivata în vedere generala, apoi înlocuiți-i valoarea:
   ;
   .
2. Aici avem ceva similar cu o funcție de putere. Să încercăm să o aducem la
   vedere normala:
   .
   Ok, acum poți folosi formula:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Ce este????

Bine, ai dreptate, încă nu știm cum să găsim astfel de derivate. Aici avem o combinație de mai multe tipuri de funcții. Pentru a lucra cu ei, trebuie să înveți mai multe reguli:

Exponent și logaritm natural.

Există o astfel de funcție în matematică, a cărei derivată pentru oricare este egală cu valoarea funcției în sine pentru aceeași. Se numește „exponent” și este o funcție exponențială

Baza acestei funcții - o constantă - este o fracție zecimală infinită, adică un număr irațional (cum ar fi). Se numește „numărul Euler”, motiv pentru care este notat cu o literă.

Deci regula este:

Este foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să ne gândim imediat funcție inversă. Care este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este un număr:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu o bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur, .

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Exponentul și logaritmul natural sunt funcții care sunt unic simple în ceea ce privește derivata. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Ce reguli? Un alt termen nou, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Numai și totul. Care este un alt cuvânt pentru acest proces? Nu proizvodnovanie... Diferenţialul de matematică se numeşte însăşi incrementul funcţiei la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. Vom avea nevoie și de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatei.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Lasă, sau mai ușor.

Exemple.

Găsiți derivate ale funcțiilor:

1. la punct;
2. la punct;
3. la punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece este o funcție liniară, vă amintiți?);

Derivat al unui produs

Totul este similar aici: introducem o nouă funcție și găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Găsiți derivate ale funcțiilor și;
2. Aflați derivata unei funcții într-un punct.

Solutii:

Derivată a funcției exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponentul (ai uitat încă ce este?).

Deci unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să aducem funcția noastră la o nouă bază:

Pentru asta folosim regula simpla: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

S-a întâmplat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata exponentului: așa cum a fost, rămâne, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Găsiți derivate ale funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu există nicio modalitate de a-l nota în mai multe formă simplă. Prin urmare, în răspuns este lăsat în această formă.

Derivată a unei funcții logaritmice

Aici este similar: știți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un arbitrar din logaritm cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să aducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum în loc de noi vom scrie:

Numitorul s-a dovedit a fi doar o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivatul este foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examen, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arc tangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă logaritmul ți se pare dificil, citește subiectul „Logaritmi” și totul va funcționa), dar în materie de matematică, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă un transportor mic: doi oameni stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul înfășoară un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Se dovedește un astfel de obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii opuși în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătra numărul rezultat. Așadar, ne dau un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, facem prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce s-a întâmplat ca urmare a primei.

Putem face aceiași pași în ordine inversă: mai întâi pătrați, apoi caut cosinusul numărului rezultat:. Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Cu alte cuvinte, O funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru primul exemplu, .

Al doilea exemplu: (la fel). .

Ultima acțiune pe care o facem va fi numită funcția „externă”., și acțiunea efectuată prima - respectiv funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, în funcție

1. Ce măsuri vom lua mai întâi? Mai întâi calculăm sinusul și abia apoi îl ridicăm la un cub. Deci este o funcție internă, nu una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

schimbăm variabile și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage ciocolata - căutați derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. Pentru exemplul original, arată astfel:

Alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Totul pare a fi simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(doar nu încercați să reduceți până acum! Nu se scoate nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aici există o funcție complexă cu trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și încă extragem rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolată într-un ambalaj și cu o panglică într-o servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: oricum, vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența de acțiuni - ca și înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sinusul. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Derivată de funcție- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului cu o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferențiere:

Constanta este scoasă din semnul derivatei:

Derivată a sumei:

Produs derivat:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă”, găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă”, găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

Funcțiile complexe nu se potrivesc întotdeauna cu definiția unei funcții complexe. Dacă există o funcție de forma y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, atunci nu poate fi considerată complexă, spre deosebire de y \u003d sin 2 x.

Acest articol va arăta conceptul de funcție complexă și identificarea acesteia. Să lucrăm cu formule pentru găsirea derivatei cu exemple de soluții în concluzie. Utilizarea tabelului de derivate și a regulilor de diferențiere reduc semnificativ timpul de găsire a derivatei.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definiții de bază

O funcție complexă este o funcție al cărei argument este și o funcție.

Se notează astfel: f (g (x)) . Avem că funcția g (x) este considerată un argument f (g (x)) .

Definiția 2

Dacă există o funcție f și este o funcție cotangentă, atunci g(x) = ln x este funcția logaritmului natural. Obținem că funcția complexă f (g (x)) va fi scrisă ca arctg (lnx). Sau o funcție f, care este o funcție ridicată la a 4-a putere, unde g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 este considerată o funcție rațională întreagă, obținem că f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Evident, g(x) poate fi complicat. Din exemplul y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, se poate observa că valoarea lui g are o rădăcină cubă cu o fracție. Această expresie poate fi notată ca y = f (f 1 (f 2 (x))) . De unde avem că f este o funcție sinus, iar f 1 este o funcție situată sub rădăcină pătrată, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - funcție rațională fracțională.

Definiția 3

Gradul de cuibărit este definit de orice număr natural și se scrie ca y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . (f n (x)))))) .

Definiția 4

Conceptul de compoziție a funcției se referă la numărul de funcții imbricate conform enunțului problemei. Pentru soluție, formula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe a formei

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Exemple

Aflați derivata unei funcții complexe de forma y = (2 x + 1) 2 .

Soluţie

Prin convenție, f este o funcție la pătrat, iar g(x) = 2 x + 1 este considerată o funcție liniară.

Aplicam formula derivata pentru o functie complexa si scriem:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Este necesar să găsiți o derivată cu o formă inițială simplificată a funcției. Primim:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Prin urmare, avem asta

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultatele s-au potrivit.

Când rezolvați probleme de acest fel, este important să înțelegeți unde va fi localizată funcția formei f și g (x).

Exemplul 2

Ar trebui să găsiți derivatele funcțiilor complexe de forma y \u003d sin 2 x și y \u003d sin x 2.

Soluţie

Prima intrare a funcției spune că f este funcția de pătrat și g(x) este funcția sinus. Atunci obținem asta

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

A doua intrare arată că f este o funcție sinus, iar g (x) = x 2 denotă funcția de putere. Rezultă că produsul unei funcții complexe poate fi scris ca

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Formula pentru derivata y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (fn (x)))))) va fi scrisă ca y "= f" (f 1 (f 2 (f 3) (. . . . ( fn (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (fn (x))))) f 2 " (f 3 (. . . (fn (x)) )) )) . . . f n "(x)

Exemplul 3

Aflați derivata funcției y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Soluţie

Acest exemplu arată complexitatea scrierii și determinării locației funcțiilor. Atunci y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) indică, unde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) este funcția sinus, funcția de ridicare la 3 grade, o funcție cu un logaritm și baza e, o funcție de arc tangente și una liniară.

Din formula pentru definirea unei funcții complexe, avem că

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Obține ce să găsești

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ca derivată a sinusului în tabelul derivatelor, apoi f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 arctg (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ca derivată a unei funcții de putere, apoi f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 arctg (2 x) = 3 ln 2 arctg (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) ca derivată logaritmică, apoi f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) ca derivată a arc-tangentei, apoi f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Când găsiți derivata f 4 (x) \u003d 2 x, scoateți 2 din semnul derivatei folosind formula pentru derivata funcției de putere cu un exponent care este 1, apoi f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Combinăm rezultatele intermediare și obținem asta

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 arctan (2 x)) 3 ln 2 arctan (2 x) 1 arctan (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 arctan (2 x)) ln 2 arctan (2 x) arctan (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza unor astfel de funcții seamănă cu păpușile de cuib. Regulile de diferențiere nu pot fi întotdeauna aplicate explicit folosind un tabel derivat. Adesea trebuie să aplicați formula pentru găsirea derivatelor funcțiilor complexe.

Există unele diferențe între o vedere complexă și o funcție complexă. Cu o capacitate clară de a distinge acest lucru, găsirea derivatelor va fi deosebit de ușoară.

Exemplul 4

Este necesar să luăm în considerare aducerea unui astfel de exemplu. Dacă există o funcție de forma y = tg 2 x + 3 tgx + 1 , atunci poate fi considerată ca o funcție complexă de forma g (x) = tgx , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Evident, este necesar să se aplice formula pentru derivatul complex:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 tgx + 3; g " (x) = (tgx) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 tgx + 3 ) 1 cos 2 x = 2 tanx + 3 cos 2 x

O funcție de forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nu este considerată complexă, deoarece are suma t g x 2 , 3 t g x și 1 . Cu toate acestea, t g x 2 este considerată o funcție complexă, atunci obținem o funcție de putere de forma g (x) \u003d x 2 și f, care este o funcție a tangentei. Pentru a face acest lucru, trebuie să faceți diferența în funcție de cantitate. Înțelegem asta

y " = (tgx 2 + 3 tgx + 1) " = (tgx 2) " + (3 tgx) " + 1 " == (tgx 2) " + 3 (tgx) " + 0 = (tgx 2) " + 3 cos 2 x

Să trecem la găsirea derivatei unei funcții complexe (t g x 2) ":

f "(g (x)) \u003d (tg (g (x))) " \u003d 1 cos 2 g (x) \u003d 1 cos 2 (x 2) g " (x) \u003d (x 2) " \u003d 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (tgx 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Obținem că y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funcțiile complexe pot fi incluse în funcții complexe, iar funcțiile complexe însele pot fi funcții complexe ale formei complexe.

Exemplul 5

De exemplu, să considerăm o funcție complexă de forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Această funcție poate fi reprezentată ca y = f (g (x)), unde valoarea lui f este o funcție a logaritmului de bază 3, iar g (x) este considerată suma a două funcții de forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 și k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Evident, y = f (h (x) + k (x)) .

Se consideră funcția h(x) . Acesta este raportul dintre l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 la m (x) = e x 2 + 3 3

Avem că l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) este suma a două funcții n (x) = x 2 + 7 și p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , unde p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) este o funcție complexă cu un coeficient numeric de 3, iar p 1 este un cub funcția, p 2 funcție cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 - funcție liniară.

Am constatat că m (x) = ex 2 + 3 3 = q (x) + r (x) este suma a două funcții q (x) = ex 2 și r (x) = 3 3 , unde q (x) = q 1 (q 2 (x)) este o funcție complexă, q 1 este o funcție cu exponent, q 2 (x) = x 2 este o funcție de putere.

Aceasta arată că h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Când treceți la o expresie de forma k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), este clar că funcția este reprezentată ca un complex s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) cu un întreg rațional t (x) = x 2 + 1, unde s 1 este o funcție la pătrat și s 2 (x) = ln x este logaritmică cu bază e.

Rezultă că expresia va lua forma k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Atunci obținem asta

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Conform structurilor funcției, a devenit clar cum și ce formule trebuie aplicate pentru a simplifica expresia atunci când este diferențiată. Pentru a vă familiariza cu astfel de probleme și pentru a înțelege soluția lor, este necesar să ne referim la punctul diferențierii unei funcții, adică găsirea derivatei acesteia.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

De când ați venit aici, probabil că ați reușit deja să vedeți această formulă în manual

si fa o fata ca aceasta:

Prietene, nu-ți face griji! De fapt, totul este simplu de dezonorat. Cu siguranță vei înțelege totul. O singură cerere - citiți articolul încet incearca sa intelegi fiecare pas. Am scris cât se poate de simplu și de clar, dar trebuie totuși să aprofundezi în idee. Și asigurați-vă că rezolvați sarcinile din articol.

Ce este o funcție complexă?

Imaginați-vă că vă mutați într-un alt apartament și, prin urmare, împachetați lucrurile în cutii mari. Să adunăm câteva obiecte mici precum papetărie școlare. Dacă doar le arunci într-o cutie imensă, se vor pierde printre altele. Pentru a evita acest lucru, le pui mai întâi, de exemplu, într-o pungă, pe care apoi o pui într-o cutie mare, după care o sigilezi. Acest proces „cel mai greu” este prezentat în diagrama de mai jos:

S-ar părea, unde merge matematica? Și în plus, o funcție complexă se formează EXACT ÎN ACELAȘI mod! Numai că „împachetăm” nu caiete și pixuri, ci \ (x \), în timp ce diferite „pachete” și „cutii” servesc.

De exemplu, să luăm x și să-l „împachetăm” într-o funcție:

Ca rezultat, obținem, desigur, \(\cos⁡x\). Acesta este „sacul nostru de lucruri”. Și acum îl punem într-o „cutie” - îl ambalăm, de exemplu, într-o funcție cubică.

Ce se va întâmpla până la urmă? Da, așa e, va exista un „pachet cu lucruri într-o cutie”, adică „cosinus de x cub”.

Construcția rezultată este o funcție complexă. Diferă de cel simplu prin aceea Mai multe „impacturi” (pachete) sunt aplicate unui X la rândși se dovedește, parcă, „o funcție dintr-o funcție” - „un pachet într-un pachet”.

În cursul școlar, există foarte puține tipuri de aceleași „pachete”, doar patru:

Acum să „împachetăm” x mai întâi într-o funcție exponențială cu baza 7 și apoi într-o funcție trigonometrică. Primim:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Și acum să „împachetăm” x de două ori funcții trigonometrice, mai întâi în , și apoi în :

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Simplu, nu?

Acum scrieți singur funcțiile, unde x:
- mai întâi este „împachetat” într-un cosinus, apoi într-o funcție exponențială cu baza \(3\);
- mai întâi la puterea a cincea, iar apoi la tangentă;
- primul la logaritmul de bază \(4\) , apoi la puterea \(-2\).

Vezi răspunsurile la această întrebare la sfârșitul articolului.

Dar putem „împacheta” x nu de două, ci de trei ori? Nici o problemă! Și de patru, și cinci și de douăzeci și cinci de ori. Iată, de exemplu, o funcție în care x este „ambalat” \(4\) ori:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Dar astfel de formule nu se vor găsi în practica școlară (elevii sunt mai norocoși - pot fi mai dificili☺).

„Despachetarea” unei funcții complexe

Priviți din nou funcția anterioară. Vă puteți da seama care este secvența „împachetare”? În ce a fost îndesat X mai întâi, în ce apoi și așa mai departe până la sfârșit. Adică, ce funcție este imbricată în care? Ia o bucată de hârtie și notează ce crezi. Puteți face acest lucru cu un lanț de săgeți, așa cum am scris mai sus, sau în orice alt mod.

Acum, răspunsul corect este: mai întâi x a fost „împachetat” în puterea \(4\)-a, apoi rezultatul a fost împachetat în sinus, acesta, la rândul său, a fost plasat în baza logaritmului \(2\) și în la sfârșit, întreaga construcție a fost împinsă în puterea de cinci.

Adică este necesar să derulezi secvența ÎN ORDINE INVERSĂ. Și iată un indiciu cum să o faci mai ușor: uită-te doar la X - trebuie să dansezi din el. Să ne uităm la câteva exemple.

De exemplu, iată o funcție: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Ne uităm la X - ce se întâmplă cu el mai întâi? Luat de la el. Și apoi? Se ia tangenta rezultatului. Și succesiunea va fi aceeași:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Un alt exemplu: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analizăm - mai întâi x a fost cubit, iar apoi cosinusul a fost luat din rezultat. Deci succesiunea va fi: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Atenție, funcția pare să fie similară cu prima (unde cu poze). Dar aceasta este o funcție complet diferită: aici în cubul x (adică \(\cos⁡((xxx)))\), iar acolo în cub cosinusul \(x\) (adică \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Această diferență apare din diferite secvențe de „împachetare”.

Ultimul exemplu (cu Informații importanteîn ea): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Este clar că aici am efectuat mai întâi operații aritmetice cu x, apoi sinusul a fost luat din rezultat: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Și asta punct important: în ciuda faptului că operațiile aritmetice nu sunt funcții în sine, aici acționează și ca un mod de „împachetare”. Să ne adâncim puțin în această subtilitate.

După cum am spus mai sus, în funcțiile simple x este „împachetat” o dată, iar în funcțiile complexe - două sau mai multe. Mai mult, orice combinație de funcții simple (adică suma, diferența, înmulțirea sau împărțirea lor) este și o funcție simplă. De exemplu, \(x^7\) este o funcție simplă, la fel și \(ctg x\). Prin urmare, toate combinațiile lor sunt funcții simple:

\(x^7+ ctg x\) - simplu,
\(x^7 ctg x\) este simplu,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) este simplu și așa mai departe.

Cu toate acestea, dacă se aplică încă o funcție unei astfel de combinații, aceasta va fi deja o funcție complexă, deoarece vor exista două „pachete”. Vezi diagrama:

Bine, hai să continuăm cu asta acum. Scrieți secvența funcțiilor de „împachetare”:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Răspunsurile sunt din nou la sfârșitul articolului.

Funcții interne și externe

De ce trebuie să înțelegem imbricarea funcțiilor? Ce ne oferă asta? Ideea este că fără o astfel de analiză nu vom putea găsi în mod fiabil derivatele funcțiilor discutate mai sus.

Și pentru a merge mai departe, vom avea nevoie de încă două concepte: funcții interne și externe. Acesta este un lucru foarte simplu, în plus, de fapt, le-am analizat deja mai sus: dacă ne amintim analogia de la început, atunci funcția interioară este „pachetul”, iar cea exterioară este „cutia”. Acestea. ceea ce este „înfășurat” X este o funcție internă, iar ceea ce este „învelit” interiorul este deja extern. Ei bine, este de înțeles de ce - este afară, înseamnă exterior.

Aici, în acest exemplu: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funcția \(\log_2⁡x\) este internă și
- extern.

Și în aceasta: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) este intern și
- extern.

Efectuați ultima practică de analiză a funcțiilor complexe și, în final, să trecem la punctul pentru care totul a început - vom găsi derivate ale funcțiilor complexe:

Completați golurile din tabel:

Derivată a unei funcții complexe

Bravo nouă, tot am ajuns la „șeful” acestui subiect - de fapt, derivatul unei funcții complexe, și mai precis, la acea formulă foarte groaznică de la începutul articolului.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Această formulă se citește astfel:

Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei functiei externe fata de functia interna constanta si derivata functiei interne.

Și uitați-vă imediat la schema de parsare, conform cuvintelor, pentru a înțelege la ce să vă raportați:

Sper ca termenii „derivat” și „produs” să nu creeze dificultăți. „Funcție complexă” - am demontat deja. Captura este în „derivatul funcției externe în raport cu constanta internă”. Ce este?

Răspuns: aceasta este derivata obișnuită a funcției exterioare, în care doar funcția exterioară se modifică, în timp ce cea interioară rămâne aceeași. Încă neclar? Bine, să luăm un exemplu.

Să presupunem că avem o funcție \(y=\sin⁡(x^3)\). Este clar că funcția interioară aici este \(x^3\), iar cea exterioară
. Să găsim acum derivata exteriorului în raport cu constanta interioară.

derivate complexe. Derivată logaritmică.
Derivată a funcției exponențiale

Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul acoperit, vom lua în considerare derivate mai complexe și, de asemenea, ne vom familiariza cu noi trucuri și trucuri pentru găsirea derivatei, în special, cu derivata logaritmică.

Acei cititori care au un nivel scăzut de pregătire ar trebui să consulte articolul Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții ceea ce vă va permite să vă ridicați abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina Derivată a unei funcții complexe, înțelegeți și rezolvați toate exemplele pe care le-am dat. Această lecție este în mod logic a treia la rând, iar după ce o stăpânești, vei diferenția cu încredere funcții destul de complexe. Nu este de dorit să rămâneți la poziția „Unde altundeva? Și asta e de ajuns!”, deoarece toate exemplele și soluțiile sunt preluate din real lucrări de controlși des întâlnite în practică.

Să începem cu repetarea. La lecție Derivată a unei funcții complexe am luat în considerare o serie de exemple cu comentarii detaliate. În timpul studierii calculului diferențial și a altor secțiuni ale analizei matematice, va trebui să diferențiezi foarte des și nu este întotdeauna convenabil (și nu întotdeauna necesar) să pictezi exemple în detaliu. Prin urmare, vom exersa în găsirea orală a derivaților. Cei mai potriviți „candidați” pentru aceasta sunt derivate ale celei mai simple funcții complexe, de exemplu:

Conform regulii de diferenţiere a unei funcţii complexe :

Când studiați alte subiecte de matan în viitor, o înregistrare atât de detaliată nu este de cele mai multe ori necesară, se presupune că studentul este capabil să găsească derivate similare pe pilotul automat. Să ne imaginăm că la ora 3 dimineața a sunat telefonul, iar o voce plăcută a întrebat: „Care este derivata tangentei a doi x?”. Aceasta ar trebui să fie urmată de un răspuns aproape instantaneu și politicos: .

Primul exemplu va fi destinat imediat unei soluții independente.

Exemplul 1

Găsiți pe cale orală următoarele derivate, într-un singur pas, de exemplu: . Pentru a finaliza sarcina, trebuie doar să utilizați tabel de derivate ale funcțiilor elementare(dacă nu și-a amintit deja). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția Derivată a unei funcții complexe.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Răspunsuri la sfârșitul lecției

Derivate complexe

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 atașamente de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Poate că următoarele două exemple le vor părea complicate unora, dar dacă sunt înțelese (cineva suferă), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea ca o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar dreaptaÎNȚELEGE INVESTIȚII. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc un truc util: luăm valoarea experimentală „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau pe ciornă) să substituim această valoare în „expresia groaznică”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, astfel încât suma este cea mai adâncă cuibărit.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas, diferența:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula de diferențiere a funcției complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Se pare că nu este nicio eroare...

(1) Luăm derivata rădăcinii pătrate.

(2) Luăm derivata diferenței folosind regula

(3) Derivata tripluului este egala cu zero. În al doilea termen, luăm derivata gradului (cubul).

(4) Luăm derivata cosinusului.

(5) Luăm derivata logaritmului.

(6) În cele din urmă, luăm derivatul celui mai adânc cuibărit.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia tot farmecul și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la examen pentru a verifica dacă studentul înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pentru o soluție de sine stătătoare.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai compact și mai frumos.
Nu este neobișnuit pentru o situație în care produsul nu a două, ci a trei funcții este dat într-un exemplu. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

În primul rând, ne uităm, dar este posibil să transformăm produsul a trei funcții într-un produs a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea deschide parantezele. Dar în acest exemplu, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri, este necesar succesiv aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că pentru „y” notăm produsul a două funcții: , iar pentru „ve” - logaritmul:. De ce se poate face asta? Este - acesta nu este produsul a doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

Puteți încă perverti și să scoateți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul de mai sus poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, în probă se rezolvă în primul mod.

Luați în considerare exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge în mai multe moduri:

Sau cam asa:

Dar soluția poate fi scrisă mai compact dacă, în primul rând, folosim regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat în această formă, nu va fi o greșeală. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați o ciornă, dar este posibil să simplificați răspunsul? Aducem expresia numărătorului la un numitor comun și scăpați de fracția cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea unui derivat, ci la banale transformări școlare. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim tehnicile de găsire a derivatei, iar acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „teribil” pentru diferențiere

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți parcurge un drum lung, folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Dar chiar primul pas te cufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei o derivată neplăcută de un grad fracționar și apoi și dintr-o fracție.

De aceea inainte de cum să luați derivatul logaritmului „fantezist”, acesta este anterior simplificat folosind proprietăți școlare binecunoscute:

! Dacă aveți un caiet de practică la îndemână, copiați aceste formule chiar acolo. Dacă nu ai caiet, desenează-le pe o foaie de hârtie, deoarece restul exemplelor lecției se vor învârti în jurul acestor formule.

Soluția în sine poate fi formulată astfel:

Să transformăm funcția:

Găsim derivata:

Transformarea preliminară a funcției în sine a simplificat foarte mult soluția. Astfel, atunci când se propune un logaritm similar pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „defalci”.

Și acum câteva exemple simple pentru o soluție independentă:

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Toate transformările și răspunsurile la sfârșitul lecției.

derivată logaritmică

Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci se pune întrebarea, este posibil în unele cazuri să se organizeze logaritmul în mod artificial? Poate sa! Și chiar necesar.

Exemplul 11

Aflați derivata unei funcții

Exemple similare pe care le-am luat în considerare recent. Ce sa fac? Se poate aplica succesiv regula de diferențiere a coeficientului, iar apoi regula de diferențiere a produsului. Dezavantajul acestei metode este că obțineți o fracțiune uriașă de trei etaje, cu care nu doriți să vă ocupați deloc.

Dar în teorie și practică există un lucru atât de minunat precum derivata logaritmică. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „atârnând” pe ambele părți:

Acum trebuie să „descompuneți” cât mai mult posibil logaritmul din partea dreaptă (formule în fața ochilor?). Voi descrie acest proces în detaliu:

Să începem cu diferențierea.
Încheiem ambele părți cu o lovitură:

Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu îl voi comenta, pentru că dacă citiți acest text, ar trebui să îl puteți gestiona cu încredere.

Dar partea stângă?

Pe partea stângă avem functie complexa. Prevăd întrebarea: „De ce, există o literă „y” sub logaritm?”.

Faptul este că această „o litera y” - ESTE O FUNCȚIE în sine(dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivată a unei funcții specificată implicit). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „y” este o funcție internă. Și folosim regula de diferențiere a funcției compuse :

Pe partea stângă, parcă de un val bagheta magica avem o derivată. În plus, conform regulii proporției, aruncăm „y” de la numitorul părții stângi în partea de sus a părții drepte:

Și acum ne amintim despre ce fel de „joc”-funcție am vorbit la diferențiere? Să ne uităm la starea:

Răspuns final:

Exemplul 12

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Exemplu de proiect al unui exemplu de acest tip la sfârșitul lecției.

Cu ajutorul derivatei logaritmice s-a putut rezolva oricare dintre exemplele nr. 4-7, un alt lucru este că funcțiile de acolo sunt mai simple și, poate, utilizarea derivatei logaritmice nu este foarte justificată.

Derivată a funcției exponențiale

Nu am luat în considerare această funcție încă. O funcție exponențială este o funcție care are iar gradul și baza depind de "x". Un exemplu clasic care vă va fi dat în orice manual sau la orice prelegere:

Cum se află derivata unei funcții exponențiale?

Este necesar să se folosească tehnica tocmai considerată - derivata logaritmică. Agățăm logaritmi pe ambele părți:

De regulă, gradul este scos de sub logaritmul din partea dreaptă:

Ca urmare, în partea dreaptă avem un produs a două funcții, care va fi diferențiat conform formulei standard .

Găsim derivata, pentru aceasta includem ambele părți sub linii:

Următorii pași sunt simpli:

In cele din urma:

Dacă o transformare nu este complet clară, vă rugăm să recitiți cu atenție explicațiile din Exemplul #11.

ÎN sarcini practice funcția exponențială va fi întotdeauna mai complicată decât exemplul de prelegere considerat.

Exemplul 13

Aflați derivata unei funcții

Folosim derivata logaritmică.

În partea dreaptă avem o constantă și produsul a doi factori - „x” și „logaritmul logaritmului lui x” (un alt logaritm este imbricat sub logaritm). Când diferențiem o constantă, așa cum ne amintim, este mai bine să o scoateți imediat din semnul derivatei, astfel încât să nu stea în cale; și, bineînțeles, aplicați regula familiară :

După cum puteți vedea, algoritmul de aplicare a derivatei logaritmice nu conține niciun truc sau truc special, iar găsirea derivatei funcției exponențiale nu este de obicei asociată cu „chin”.