Rădăcină pătrată. Ghid cuprinzător (2019)

Gradul de rădăcină n dintr-un număr real A, Unde n- un număr natural, se numește un astfel de număr real X, n a cărui putere este egală cu A.

rădăcină de grad n din număr A indicat prin simbol. Conform acestei definitii.

Găsirea rădăcinii n gradul dintre A numită extragerea rădăcinilor. Număr A se numește număr rădăcină (expresie), n- un indicator al rădăcinii. Pentru ciudat n există o rădăcină n-a putere pentru orice număr real A. Chiar n există o rădăcină n-gradul numai pentru număr nenegativ A. Pentru a elimina ambiguitatea rădăcinii n gradul dintre A, se introduce conceptul de rădăcină aritmetică n gradul dintre A.

Conceptul de rădăcină aritmetică de gradul N

Dacă n- număr natural mai mare decât 1 , atunci există și un singur număr nenegativ X, astfel încât egalitatea să fie valabilă. Acest număr X numită rădăcină aritmetică n a-a putere a unui număr nenegativ A si se noteaza. Număr A numit numărul rădăcină n- un indicator al rădăcinii.

Deci, conform definiției, notația , unde , înseamnă, în primul rând, că și, în al doilea rând, că , i.e. .

Conceptul de grad cu exponent rațional

Gradul cu exponent natural: lat A este un număr real și n este un număr natural mai mare decât unu n-a-a putere a unui număr A sunați la lucru n multiplicatori, fiecare dintre care este egal cu A, adică . Număr A- baza gradului, n- exponent. Exponent cu exponent zero: prin definiție, dacă , atunci . Puterea zero a unui număr 0 nu are sens. Putere cu un exponent întreg negativ: prin definiție, dacă și n este un număr natural, atunci . Gradul cu un exponent fracționar: prin definiție, dacă și n- numar natural, m este un număr întreg, atunci .

Operații cu rădăcini.

În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcina aritmetică (expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorului:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:

4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de n ori și ridicați simultan numărul rădăcinii la a n-a putere, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de n ori și, în același timp, extrageți rădăcina gradului al n-lea din numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:

Extinderea conceptului de grad. Până acum, am luat în considerare grade doar cu un indicator natural; dar operațiile cu puteri și rădăcini pot duce și la exponenți negativi, zero și fracționari. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.

Gradul cu exponent negativ. Puterea unui număr cu un exponent negativ (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului negativ:

Acum formula a m: a n \u003d a m - n poate fi folosită nu numai pentru m mai mare decât n, ci și pentru m mai mic decât n.

EXEMPLU a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Dacă dorim ca formula a m: a n = a m - n să fie valabilă pentru m = n , trebuie să definim gradul zero.

Gradul cu exponent zero. Gradul oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3 / 5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina gradului al n-lea din puterea a m a acestui număr a:

Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.

Cazul 1

Unde a ≠ 0 nu există.

Într-adevăr, dacă presupunem că x este un anumit număr, atunci, conform definiției operației de împărțire, avem: a = 0 · x, i.e. a = 0, ceea ce contrazice condiția: a ≠ 0

Cazul 2

Orice număr.

Într-adevăr, dacă presupunem că această expresie este egală cu un număr x, atunci conform definiției operației de împărțire, avem: 0 = 0 · x . Dar această egalitate este valabilă pentru orice număr x, care trebuia demonstrat.

Într-adevăr,

Soluție. Luați în considerare trei cazuri principale:

1) x = 0 - această valoare nu satisface această ecuație

2) pentru x > 0 obținem: x / x = 1, adică. 1 = 1, de unde rezultă că x este orice număr; dar dat fiind că în cazul nostru x > 0 , răspunsul este x > 0 ;

3) la x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

in acest caz nu exista solutie. Deci x > 0.

Exemple:

\(\sqrt(16)=2\) deoarece \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) ,pentru că \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

Cum se calculează rădăcina gradului al n-lea?

Pentru a calcula rădăcina \(n\)-a, trebuie să vă puneți întrebarea: ce număr la gradul \(n\)-lea va da sub rădăcină?

de exemplu. Calculați a \(n\)-a rădăcină: a)\(\sqrt(16)\); b) \(\sqrt(-64)\); c) \(\sqrt(0,00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

a) Ce număr la \(4\)-a putere va da \(16\)? Evident, \(2\). Asa de:

b) Ce număr la \(3\)-a putere va da \(-64\)?

\(\sqrt(-64)=-4\)

c) Ce număr va da \(0,00001\) puterii \(5\)-a?

\(\sqrt(0,00001)=0,1\)

d) Ce număr de gradul \(3\)-al-lea va da \(8000\)?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) Ce număr la \(4\)-a putere va da \(\frac(1)(81)\)?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

Noi am revizuit cel mai mult exemple simple cu o rădăcină de gradul \(n\)-lea. Pentru a rezolva mai multe sarcini provocatoare cu rădăcini \(n\)-th - este vital să le cunoaștem.

Exemplu. Calculati:

Rădăcina a n-a și rădăcina pătrată sunt legate?

În orice caz, orice rădăcină de orice grad este doar un număr, deși scris într-o formă neobișnuită pentru tine.

Singularitatea rădăcinii a n-a

O rădăcină \(n\)-a cu \(n\) impar poate fi luată din orice număr, chiar și negativ (vezi exemplele de la început). Dar dacă \(n\) este par (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), atunci o astfel de rădăcină este extrasă numai dacă \( a ≥ 0\) (apropo, rădăcina pătrată are același lucru). Acest lucru se datorează faptului că extragerea unei rădăcini este opusul exponențiației.

Și ridicarea la o putere pară face ca și un număr negativ pozitiv. Într-adevăr, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Prin urmare, nu putem obține un număr negativ sub rădăcina unui grad par. Aceasta înseamnă că nu putem extrage o astfel de rădăcină dintr-un număr negativ.

O putere impară nu are astfel de restricții - un număr negativ ridicat la o putere impară va rămâne negativ: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) ) \ cdot(-2)=-32\). Prin urmare, sub rădăcina unui grad impar, puteți obține un număr negativ. Aceasta înseamnă că este posibil să-l extragi și dintr-un număr negativ.

În acest articol vă vom prezenta conceptul de rădăcină a unui număr. Vom acţiona secvenţial: vom începe cu rădăcina pătrată, de la ea se trece la descrierea rădăcinii cubice, după care vom generaliza conceptul de rădăcină prin definirea rădăcinii de gradul al n-lea. În același timp, vom introduce definiții, notație, vom da exemple de rădăcini și vom oferi explicațiile și comentariile necesare.

Rădăcină pătrată, rădăcină pătrată aritmetică

Pentru a înțelege definiția rădăcinii unui număr, și în special a rădăcinii pătrate, trebuie să aveți . În acest moment, vom întâlni adesea a doua putere a unui număr - pătratul unui număr.

Sa incepem cu definiții de rădăcină pătrată.

Definiție

Rădăcina pătrată a lui a este numărul al cărui pătrat este un .

Pentru a aduce exemple de rădăcini pătrate, luați mai multe numere, de exemplu, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , și pătrați-le, obținem numerele 25 , 0.09 , 0.09 și respectiv 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3)2 =0,3 0,3=0,09 şi 02 =00=0). Apoi, după definiția de mai sus, 5 este rădăcina pătrată a lui 25, -0,3 și 0,3 sunt rădăcinile pătrate a lui 0,09 și 0 este rădăcina pătrată a lui zero.

Trebuie remarcat faptul că nu pentru niciun număr există a , al cărui pătrat este egal cu a . Și anume, pentru orice număr negativ a, nu există un număr real b al cărui pătrat să fie egal cu a. Într-adevăr, egalitatea a=b 2 este imposibilă pentru orice a negativ, deoarece b 2 este un număr nenegativ pentru orice b . Prin urmare, pe mulțimea numerelor reale nu există rădăcină pătrată a unui număr negativ. Cu alte cuvinte, pe mulțimea numerelor reale, rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită și nu are sens.

Aceasta duce la o întrebare logică: „Există o rădăcină pătrată a lui a pentru orice a nenegativ”? Raspunsul este da. Rațiunea acestui fapt poate fi considerată o metodă constructivă folosită pentru a găsi valoarea rădăcinii pătrate.

Atunci apare următoarea întrebare logică: „Care este numărul tuturor rădăcinilor pătrate ale unui număr nenegativ dat a - unu, doi, trei sau chiar mai mult”? Iată răspunsul la acesta: dacă a este zero, atunci singura rădăcină pătrată a lui zero este zero; dacă a este un număr pozitiv, atunci numărul de rădăcini pătrate din numărul a este egal cu doi, iar rădăcinile sunt . Să argumentăm acest lucru.

Să începem cu cazul a=0 . Să arătăm mai întâi că zero este într-adevăr rădăcina pătrată a lui zero. Aceasta rezultă din egalitatea evidentă 0 2 =0·0=0 și din definiția rădăcinii pătrate.

Acum să demonstrăm că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero. Să folosim metoda opusă. Să presupunem că există un număr diferit de zero b care este rădăcina pătrată a lui zero. Atunci trebuie îndeplinită condiția b 2 =0, ceea ce este imposibil, deoarece pentru orice b diferit de zero valoarea expresiei b 2 este pozitivă. Am ajuns la o contradicție. Acest lucru demonstrează că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero.

Să trecem la cazurile în care a este un număr pozitiv. Mai sus am spus că există întotdeauna o rădăcină pătrată a oricărui număr nenegativ, fie b rădăcina pătrată a lui a. Să presupunem că există un număr c , care este și rădăcina pătrată a lui a . Atunci, prin definiția rădăcinii pătrate, sunt valabile egalitățile b 2 =a și c 2 =a, din care rezultă că b 2 −c 2 =a−a=0, dar întrucât b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , atunci (b−c) (b+c)=0 . Egalitatea rezultată în vigoare proprietățile acțiunilor cu numere reale posibil numai când b−c=0 sau b+c=0 . Astfel numerele b și c sunt egale sau opuse.

Dacă presupunem că există un număr d, care este o altă rădăcină pătrată a numărului a, atunci prin raționamente similare celor deja date, se demonstrează că d este egal cu numărul b sau cu numărul c. Deci, numărul de rădăcini pătrate ale unui număr pozitiv este două, iar rădăcinile pătrate sunt numere opuse.

Pentru confortul lucrului cu rădăcini pătrate, rădăcina negativă este „separată” de cea pozitivă. În acest scop, introduce definiția rădăcinii pătrate aritmetice.

Definiție

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr nenegativ a este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a .

Pentru rădăcina pătrată aritmetică a numărului a se acceptă notația. Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice. Se mai numește și semnul radicalului. Prin urmare, puteți auzi parțial atât „rădăcină”, cât și „radical”, ceea ce înseamnă același obiect.

Numărul de sub semnul rădăcinii pătrate aritmetice se numește numărul rădăcinii, și expresia de sub semnul rădăcinii - expresie radicală, în timp ce termenul „număr radical” este adesea înlocuit cu „expresie radicală”. De exemplu, în notație, numărul 151 este un număr radical, iar în notație, expresia a este o expresie radicală.

Când citiți, cuvântul „aritmetică” este adesea omis, de exemplu, intrarea este citită ca „rădăcină pătrată a șapte virgulă douăzeci și nouă sutimi”. Cuvântul „aritmetică” se pronunță doar atunci când vor să sublinieze că vorbim despre rădăcina pătrată pozitivă a unui număr.

În lumina notației introduse, din definiția rădăcinii pătrate aritmetice rezultă că pentru orice număr nenegativ a .

Rădăcinile pătrate ale unui număr pozitiv a se scriu folosind semnul aritmetic al rădăcinii pătrate ca și . De exemplu, rădăcinile pătrate ale lui 13 sunt și . Rădăcina pătrată aritmetică a lui zero este zero, adică . Pentru numerele negative a, nu vom atașa semnificații intrărilor până când nu studiem numere complexe. De exemplu, expresiile și sunt lipsite de sens.

Pe baza definiției rădăcinii pătrate, sunt dovedite proprietățile rădăcinilor pătrate, care sunt adesea folosite în practică.

Pentru a încheia această subsecțiune, observăm că rădăcinile pătrate ale unui număr sunt soluții de forma x 2 =a față de variabila x .

rădăcină cub de

Definiția rădăcinii cubice al numărului a este dat în mod similar cu definiția rădăcinii pătrate. Numai că se bazează pe conceptul de cub al unui număr, nu de pătrat.

Definiție

Rădăcina cubă a lui a se numește un număr al cărui cub este egal cu a.

Să aducem exemple de rădăcini cubice. Pentru a face acest lucru, luați mai multe numere, de exemplu, 7 , 0 , −2/3 , și cubează-le: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Apoi, pe baza definiției rădăcinii cubice, putem spune că numărul 7 este rădăcina cubă a lui 343, 0 este rădăcina cubă a lui zero și −2/3 este rădăcina cubă a lui −8/27.

Se poate demonstra că rădăcina cubă a numărului a, spre deosebire de rădăcina pătrată, există întotdeauna și nu numai pentru a nenegativ, ci și pentru orice număr real a. Pentru a face acest lucru, puteți folosi aceeași metodă pe care am menționat-o atunci când studiem rădăcina pătrată.

Mai mult, există o singură rădăcină cubă a unui număr dat a. Să demonstrăm ultima afirmație. Pentru a face acest lucru, luați în considerare trei cazuri separat: a este un număr pozitiv, a=0 și a este un număr negativ.

Este ușor de arătat că pentru a pozitiv, rădăcina cubă a lui a nu poate fi nici negativă, nici zero. Într-adevăr, fie b rădăcina cubă a lui a , atunci prin definiție putem scrie egalitatea b 3 =a . Este clar că această egalitate nu poate fi adevărată pentru b negativ și pentru b=0, deoarece în aceste cazuri b 3 =b·b·b va fi un număr negativ sau, respectiv, zero. Deci rădăcina cubă a unui număr pozitiv a este un număr pozitiv.

Acum să presupunem că în plus față de numărul b mai există o rădăcină cubă din numărul a, să o notăm c. Atunci c 3 =a. Prin urmare, b 3 −c 3 =a−a=0 , dar b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(aceasta este formula de înmulțire prescurtată diferenta de cuburi), de unde (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Egalitatea rezultată este posibilă numai când b−c=0 sau b 2 +b c+c 2 =0 . Din prima egalitate avem b=c , iar a doua egalitate nu are soluții, deoarece partea stângă este un număr pozitiv pentru orice numere pozitive b și c ca suma a trei termeni pozitivi b 2 , b c și c 2 . Aceasta dovedește unicitatea rădăcinii cubice a unui număr pozitiv a.

Pentru a=0, singura rădăcină cubă a lui a este zero. Într-adevăr, dacă presupunem că există un număr b , care este o rădăcină cubă diferită de zero a lui zero, atunci egalitatea b 3 =0 trebuie să fie valabilă, ceea ce este posibil numai când b=0 .

Pentru negativ a , se poate argumenta similar cu cazul pentru pozitiv a . În primul rând, arătăm că rădăcina cubă a unui număr negativ nu poate fi egală nici cu un număr pozitiv, nici cu zero. În al doilea rând, presupunem că există o a doua rădăcină cubă a unui număr negativ și arătăm că va coincide în mod necesar cu primul.

Deci, există întotdeauna o rădăcină cubă a oricărui număr real dat a și numai unul.

Să dăm Definiția rădăcinii cubice aritmetice.

Definiție

Rădăcină cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ al cărui cub este egal cu a.

Rădăcina cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se notează ca , semnul se numește semnul rădăcinii cubice aritmetice, numărul 3 din această notație se numește indicator de rădăcină. Numărul de sub semnul rădăcinii este numărul rădăcinii, expresia de sub semnul rădăcinii este expresie radicală.

Deși rădăcina cubului aritmetic este definită numai pentru numere nenegative a, este, de asemenea, convenabil să folosiți intrări în care numerele negative sunt sub semnul rădăcinii cubice aritmetice. Le vom înțelege astfel: , unde a este un număr pozitiv. De exemplu, .

Vom vorbi despre proprietățile rădăcinilor cubice în articolul general proprietățile rădăcinilor.

Calcularea valorii unei rădăcini cubice se numește extragerea unei rădăcini cubice, această acțiune este discutată în articolul extragerea rădăcinilor: metode, exemple, soluții.

Pentru a încheia această subsecțiune, spunem că rădăcina cubă a lui a este o soluție de forma x 3 =a.

Rădăcina a N-a, rădăcina aritmetică a lui n

Generalizăm conceptul de rădăcină dintr-un număr - introducem determinarea rădăcinii a n-a pentru n.

Definiție

a n-a rădăcină a lui a este un număr a cărui putere a n-a este egală cu a.

Din această definiție este clar că rădăcina primului grad din numărul a este numărul a însuși, deoarece atunci când studiem gradul cu un indicator natural, am luat un 1 \u003d a.

Mai sus, am luat în considerare cazuri speciale ale rădăcinii de gradul al n-lea pentru n=2 și n=3 - rădăcina pătrată și rădăcina cubă. Adică rădăcina pătrată este rădăcina gradului al doilea, iar rădăcina cubă este rădăcina gradului al treilea. Pentru a studia rădăcinile gradului al n-lea pentru n=4, 5, 6, ..., este convenabil să le împărțiți în două grupuri: primul grup - rădăcinile de grade pare (adică pentru n=4, 6 , 8, ...), al doilea grup - rădăcinile grade impare (adică pentru n=5, 7, 9, ... ). Acest lucru se datorează faptului că rădăcinile de grade pare sunt similare cu rădăcina pătrată, iar rădăcinile de grade impare sunt similare cu rădăcina cubică. Să ne ocupăm de ei pe rând.

Să începem cu rădăcinile, ale căror puteri sunt numerele pare 4, 6, 8, ... După cum am spus deja, ele sunt similare cu rădăcina pătrată a numărului a. Adică, rădăcina oricărui grad par din numărul a există numai pentru a nenegativ. Mai mult, dacă a=0, atunci rădăcina lui a este unică și egală cu zero, iar dacă a>0, atunci există două rădăcini de grad par din numărul a și sunt numere opuse.

Să justificăm ultima afirmație. Fie b o rădăcină de grad par (o notăm ca 2·m, unde m este un număr natural) din a. Să presupunem că există un număr c - o altă rădăcină de 2 m a lui a . Atunci b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Dar știm de forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), atunci (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Din această egalitate rezultă că b−c=0 , sau b+c=0 , sau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Primele două egalități înseamnă că numerele b și c sunt egale sau b și c sunt opuse. Și ultima egalitate este valabilă numai pentru b=c=0, deoarece partea stângă conține o expresie care este nenegativă pentru orice b și c ca sumă de numere nenegative.

În ceea ce privește rădăcinile de gradul al n-lea pentru n impar, ele sunt similare cu rădăcina cubă. Adică, rădăcina oricărui grad impar din numărul a există pentru orice număr real a, iar pentru un număr dat a este unică.

Unicitatea rădăcinii de grad impar 2·m+1 din numărul a se dovedește prin analogie cu demonstrarea unicității rădăcinii cubice din a . Doar aici în loc de egalitate a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) o egalitate de forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Expresia din ultima paranteză poate fi rescrisă ca b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). De exemplu, pentru m=2 avem b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Când a și b sunt ambele pozitive sau ambele negative, produsul lor este un număr pozitiv, atunci expresia b 2 +c 2 +b·c , care se află în parantezele celui mai înalt grad de imbricare, este pozitivă ca sumă pozitivă. numere. Acum, trecând succesiv la expresiile din paranteze ale gradelor anterioare de imbricare, ne asigurăm că acestea sunt și pozitive ca sume de numere pozitive. Ca rezultat, obținem că egalitatea b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 posibil numai când b−c=0 , adică atunci când numărul b este egal cu numărul c .

Este timpul să ne ocupăm de notarea rădăcinilor gradului al n-lea. Pentru aceasta, este dat determinarea rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea.

Definiție

Rădăcina aritmetică a gradului al n-lea al unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ, a cărui putere a n-a este egală cu a.

Acest articol este o colecție de informații detaliate care tratează subiectul proprietăților rădăcinilor. Având în vedere subiectul, vom începe cu proprietățile, vom studia toate formulările și vom da dovezi. Pentru a consolida subiectul, vom lua în considerare proprietățile gradului al n-lea.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Proprietăți rădăcină

Vom vorbi despre proprietăți.

1. Proprietate numere înmulțite Ași b, care este reprezentat ca egalitatea a · b = a · b . Poate fi reprezentat ca multiplicatori, pozitivi sau egali cu zero a 1 , a 2 , … , a k ca a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
2. din privat a: b =   a: b, a ≥ 0, b > 0, se poate scrie și sub această formă a b = a b ;
3. Proprietate din puterea unui număr A cu un exponent par a 2 m = a m pentru orice număr A, de exemplu, o proprietate din pătratul unui număr a 2 = a .

În oricare dintre ecuațiile prezentate, puteți schimba părțile înainte și după semnul liniuței, de exemplu, egalitatea a · b = a · b este transformată ca a · b = a · b . Proprietățile de egalitate sunt adesea folosite pentru a simplifica ecuații complexe.

Dovada primelor proprietăți se bazează pe definiția rădăcinii pătrate și a proprietăților puterilor cu exponent natural. Pentru a fundamenta a treia proprietate, este necesar să ne referim la definiția modulului unui număr.

În primul rând, este necesar să se demonstreze proprietățile rădăcinii pătrate a · b = a · b . Conform definiției, este necesar să se considere că a b este un număr, pozitiv sau egal cu zero, care va fi egal cu a bîn timpul construcției într-un pătrat. Valoarea expresiei a · b este pozitivă sau egală cu zero ca produs al numerelor nenegative. Proprietatea gradului de înmulțire a numerelor ne permite să reprezentăm egalitatea sub forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . După definiția rădăcinii pătrate a 2 \u003d a și b 2 \u003d b, apoi a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

În mod similar, se poate dovedi că din produs k multiplicatori a 1 , a 2 , … , a k va fi egal cu produsul rădăcinilor pătrate ale acestor factori. Într-adevăr, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Din această egalitate rezultă că a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Să ne uităm la câteva exemple pentru a consolida subiectul.

Exemplul 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 și 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 . 2 (1) .

Este necesar să se demonstreze proprietatea rădăcinii pătrate aritmetice a coeficientului: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Proprietatea vă permite să scrieți egalitatea a: b 2 \u003d a 2: b 2 și a 2: b 2 \u003d a: b, în ​​timp ce a: b este un număr pozitiv sau egal cu zero. Această expresie va fi dovada.

De exemplu, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 și 30, 121 = 30, 121.

Luați în considerare proprietatea rădăcinii pătrate a pătratului unui număr. Se poate scrie ca o egalitate ca a 2 = a Pentru a demonstra această proprietate, este necesar să luăm în considerare în detaliu mai multe egalități pentru a ≥ 0 iar la A< 0 .

Evident, pentru a ≥ 0, egalitatea a 2 = a este adevărată. La A< 0 egalitatea a 2 = - a va fi adevărată. De fapt, în acest caz − a > 0și (− a) 2 = a 2 . Putem concluziona că a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 2

5 2 = 5 = 5 și - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .

Proprietatea dovedită va ajuta la justificarea a 2 m = a m , unde A- real, și m-numar natural. Într-adevăr, proprietatea de exponențiere ne permite să înlocuim gradul a 2 m expresie (sunt) 2, atunci a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Exemplul 3

3 8 = 3 4 = 3 4 și (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Proprietățile rădăcinii a n-a

Mai întâi trebuie să luați în considerare principalele proprietăți ale rădăcinilor de gradul al n-lea:

1. Proprietate din produsul numerelor Ași b, care sunt pozitive sau egale cu zero, pot fi exprimate ca egalitatea a b n = a n b n , această proprietate este valabilă pentru produs k numere a 1 , a 2 , … , a k ca a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
2. dintr-un număr fracționar are proprietatea a b n = a n b n , unde A este orice număr real care este pozitiv sau egal cu zero și b este un număr real pozitiv;
3. Pentru orice Ași numere pare n = 2 m a 2 m 2 m = a este adevărată, iar pentru impar n = 2 m − 1 egalitatea a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a este îndeplinită.
4. Proprietatea de extragere din a m n = a n m , unde A- orice număr, pozitiv sau egal cu zero, nși m sunt numere naturale, această proprietate poate fi reprezentată și ca . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
5. Pentru orice a nenegativ și arbitrar nși m, care sunt naturale, se poate defini și egalitatea justă a m n · m = a n ;
6. proprietatea gradului n din puterea unui număr A, care este pozitiv sau egal cu zero, în natură m, definit prin egalitatea a m n = a n m ;
7. Proprietatea comparației care au aceiași exponenți: pentru orice numere pozitive Ași b astfel încât A< b , inegalitatea a n< b n ;
8. Proprietatea comparațiilor care au aceleași numere sub rădăcină: dacă mși n- numere naturale care m > n, apoi la 0 < a < 1 inegalitatea a m > a n este valabilă, iar pentru a > 1 a m< a n .

Egalitățile de mai sus sunt valabile dacă părțile înainte și după semnul egal sunt inversate. Ele pot fi folosite și în această formă. Acesta este adesea folosit în timpul simplificării sau transformării expresiilor.

Dovada proprietăților de mai sus ale rădăcinii se bazează pe definiția, proprietățile gradului și definiția modulului unui număr. Aceste proprietăți trebuie dovedite. Dar totul este în ordine.

1. În primul rând, vom demonstra proprietățile rădăcinii de gradul al n-lea din produsul a · b n = a n · b n . Pentru Ași b, care sunteți pozitiv sau zero , valoarea a n · b n este de asemenea pozitivă sau egală cu zero, deoarece este o consecință a înmulțirii numerelor nenegative. Proprietatea unui produs de putere naturală ne permite să scriem egalitatea a n · b n n = a n n · b n n . Prin definiția rădăcinii n gradul a n n = a și b n n = b , prin urmare, a n · b n n = a · b . Egalitatea rezultată este exact ceea ce trebuia să fie demonstrat.

Această proprietate este dovedită în mod similar pentru produs k factori: pentru numere nenegative a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Iată exemple de utilizare a proprietății root n a-a putere din produs: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 și 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. Să demonstrăm proprietatea rădăcinii coeficientului a b n = a n b n . La a ≥ 0și b > 0 condiția a n b n ≥ 0 este îndeplinită, iar a n b n n = a n n b n n = a b .

Să arătăm exemple:

Exemplul 4

8 27 3 = 8 3 27 3 și 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Pentru pasul următor, este necesar să se demonstreze proprietățile gradului al n-lea de la număr la grad n. Reprezentăm aceasta ca o egalitate a 2 m 2 m = a și a 2 m - 1 2 m - 1 = a pentru orice real A si naturala m. La a ≥ 0 obținem a = a și a 2 m = a 2 m , ceea ce demonstrează egalitatea a 2 m 2 m = a , iar egalitatea a 2 m - 1 2 m - 1 = a este evidentă. La A< 0 obţinem respectiv a = - a şi a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Ultima transformare a numărului este valabilă în funcție de proprietatea gradului. Acesta este ceea ce demonstrează egalitatea a 2 m 2 m \u003d a, iar a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a va fi adevărată, deoarece - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m este considerată pentru un impar grad - 1 pentru orice număr c , pozitiv sau egal cu zero.

Pentru a consolida informațiile primite, luați în considerare câteva exemple de utilizare a proprietății:

Exemplul 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5 ) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 și (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Să demonstrăm următoarea egalitate a m n = a n · m . Pentru a face acest lucru, trebuie să schimbați numerele dinaintea semnului egal și după acesta în locuri a n · m = a m n . Aceasta va indica intrarea corectă. Pentru A , ceea ce este pozitiv sau egal cu zero , din forma a m n este un număr pozitiv sau egal cu zero. Să ne întoarcem la proprietatea de a ridica o putere la o putere și la definiție. Cu ajutorul lor, puteți transforma egalități sub forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Aceasta dovedește proprietatea considerată a unei rădăcini dintr-o rădăcină.

Alte proprietăți sunt dovedite în mod similar. Într-adevăr, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

De exemplu, 7 3 5 = 7 5 3 și 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Să demonstrăm următoarea proprietate a m n · m = a n . Pentru a face acest lucru, este necesar să arătăm că un n este un număr care este pozitiv sau egal cu zero. Când este ridicat la o putere n m este a m. Dacă numărul A este pozitiv sau zero, atunci n gradul dintre A este un număr pozitiv sau egal cu zero Mai mult, a n · m n = a n n m , care urma să fie demonstrat.

Pentru a consolida cunoștințele dobândite, luați în considerare câteva exemple.

1. Să demonstrăm următoarea proprietate - proprietatea rădăcinii puterii formei a m n = a n m . Este evident că la a ≥ 0 gradul a n m este un număr nenegativ. Mai mult, ea n-gradul este egal cu a m, într-adevăr, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Aceasta dovedește proprietatea considerată a gradului.

De exemplu, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Trebuie să dovedim asta pentru orice numere pozitive Ași b A< b . Se consideră inegalitatea a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Prin urmare, un n< b n при A< b .

De exemplu, dăm 12 4< 15 2 3 4 .

1. Luați în considerare proprietatea rădăcină n- gradul. În primul rând, luați în considerare prima parte a inegalității. La m > nși 0 < a < 1 adevărat a m > a n . Să presupunem că a m ≤ a n . Proprietățile vor simplifica expresia la a n m · n ≤ a m m · n . Atunci, conform proprietăților unui grad cu exponent natural, inegalitatea a n m n m n ≤ a m m n m n este satisfăcută, adică a n ≤ a m. Valoarea obtinuta la m > nși 0 < a < 1 nu se potrivește cu proprietățile de mai sus.

În același mod, se poate dovedi că m > nși a > 1 condiție a m< a n .

Pentru a consolida proprietățile de mai sus, luați în considerare câteva exemple specifice. Luați în considerare inegalitățile folosind numere specifice.

Exemplul 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informatii inclusiv numele, numărul de telefon, adresa E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi informatii personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.