Transformări ale graficelor funcțiilor unei variabile. Transformarea graficelor funcțiilor elementare

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Scopul lecției: Determinați modelele de transformare ale graficelor de funcții.

Sarcini:

Educational:

• Pentru a-i învăța pe elevi să construiască grafice de funcții prin transformarea graficului unei anumite funcții, folosind translație paralelă, compresie (întindere), tipuri diferite simetrie.

Educational:

• A menționa calitati personale elevi (capacitatea de a asculta), bunăvoință față de ceilalți, atenție, acuratețe, disciplină, capacitatea de a lucra în grup.
• Creșteți interesul față de subiect și nevoia de a dobândi cunoștințe.

În curs de dezvoltare:

• Dezvoltați imaginația spațială și gandire logica studenți, capacitatea de a naviga rapid în mediu; dezvolta inteligența, inventivitatea, antrenează memoria.

Echipament:

• Instalare multimedia: calculator, proiector.

Literatură:

1. Bashmakov, M.I. Matematică [Text]: manual pentru instituții timpurii. și avg. prof. educație / M. I. Bashmakov.- ed. a 5-a, corectată. - M.: Centrul de Editură „Academia”, 2012. - 256 p.
2. Bashmakov, M. I. Matematică. Cartea cu probleme [Text]: manual. indemnizatie pentru educatie. instituţii la început și avg. prof. Educație / M. I. Bashmakov.- M .: Centrul de editură „Academie”, 2012. - 416 p.

Planul lecției:

1. Moment organizatoric (3 min).
2. Actualizarea cunoștințelor (7 min).
3. Explicarea materialului nou (20 min).
4. Consolidarea materialului nou (10 min).
5. Rezumatul lecției (3 min).
6. Teme pentru acasă(2 minute).

În timpul orelor

1. Org. moment (3 min).

Verificarea celor prezenti.

Mesaj despre scopul lecției.

Principalele proprietăți ale funcțiilor ca dependențe între variabile nu ar trebui să se schimbe semnificativ atunci când se modifică metoda de măsurare a acestor mărimi, adică atunci când scara de măsurare și punctul de referință se modifică. Cu toate acestea, datorită unei alegeri mai raționale a metodei de măsurare a variabilelor, este de obicei posibilă simplificarea notării relației dintre ele, pentru a aduce această notație într-o formă standard. În limbajul geometric, schimbarea modului în care sunt măsurate mărimile înseamnă câteva transformări simple ale graficelor, pe care le vom studia acum.

2. Actualizarea cunoștințelor (7 min).

Înainte de a vorbi despre transformările grafice, să repetăm ​​materialul acoperit.

munca orală. (Diapozitivul 2).

Funcții date:

3. Descrieți graficele funcției: , , , .

3. Explicarea materialului nou (20 min).

Cele mai simple transformări ale graficelor sunt translația lor paralelă, compresia (întinderea) și unele tipuri de simetrie. Unele transformări sunt prezentate în tabel (Anexa 1), (Diapozitivul 3).

Lucru de grup.

Fiecare grup trasează funcțiile date și prezintă rezultatul pentru discuție.

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de locuri de muncă” în format PDF

Introducere

Transformarea graficelor unei funcții este unul dintre conceptele matematice de bază legate direct de activitățile practice. Transformarea graficelor de funcții se întâlnește pentru prima dată la algebră clasa a 9-a la studierea temei „Funcția cadranică”. Funcția pătratică este introdusă și studiată în strânsă legătură cu ecuațiile și inegalitățile pătratice. De asemenea, multe concepte matematice sunt luate în considerare prin metode grafice, de exemplu, în clasele 10-11, studiul unei funcții face posibilă găsirea domeniului de definire și domeniul de aplicare al funcției, zonele de scădere sau creștere, asimptote, intervale de semn constant etc. Această întrebare importantă este depusă și la GIA. Rezultă că construirea și transformarea graficelor de funcții este una dintre sarcinile principale ale predării matematicii la școală.

Cu toate acestea, pentru a reprezenta multe funcții, pot fi utilizate o serie de metode pentru a facilita construcția. Cele de mai sus definesc relevanţă teme de cercetare.

Obiect de studiu este studiul transformării graficelor în matematica școlară.

Subiect de studiu - procesul de construire și transformare a graficelor de funcții într-o școală secundară.

intrebare problematica: este posibil să construiți un grafic al unei funcții necunoscute, având abilitățile de a transforma grafic functii elementare?

Ţintă: trasarea unei funcții într-o situație necunoscută.

Sarcini:

1. Analizați materialul educațional privind problema studiată. 2. Identificați scheme de transformare a graficelor de funcții într-un curs de matematică școlar. 3. Selectați cele mai eficiente metode și instrumente pentru construirea și convertirea graficelor de funcții. 4. Să fie capabil să aplice această teorie în rezolvarea problemelor.

Cunoștințe, abilități și abilități de bază necesare:

Determinați valoarea funcției după valoarea argumentului în diverse moduri de specificare a funcției;

Construiți grafice ale funcțiilor studiate;

Descrieți comportamentul și proprietățile funcțiilor din grafic și, în cele mai simple cazuri, din formulă, găsiți cele mai mari și cele mai mici valori din graficul funcției;

Descrieri cu ajutorul funcțiilor diferitelor dependențe, reprezentarea lor grafică, interpretarea graficelor.

Parte principală

Partea teoretică

Ca grafic inițial al funcției y = f(x), voi alege o funcție pătratică y=x 2 . Voi lua în considerare cazuri de transformare a acestui grafic asociate cu modificări ale formulei care definește această funcție și voi trage concluzii pentru orice funcție.

1. Funcția y = f(x) + a

În noua formulă, valorile funcției (coordonatele punctelor din grafic) sunt modificate cu numărul a, în comparație cu valoarea funcției „veche”. Aceasta duce la o translație paralelă a graficului funcției de-a lungul axei OY:

sus dacă a > 0; jos dacă a< 0.

CONCLUZIE

Astfel, graficul funcției y=f(x)+a se obține din graficul funcției y=f(x) prin intermediul unei translații paralele de-a lungul axei ordonatelor cu unități în sus dacă a > 0 și prin a unități în jos dacă a< 0.

2. Funcția y = f(x-a),

În noua formulă, valorile argumentului (abscisele punctelor din grafic) sunt modificate cu numărul a, în comparație cu valoarea argumentului „veche”. Aceasta duce la un transfer paralel al graficului funcției de-a lungul axei OX: la dreapta dacă a< 0, влево, если a >0.

CONCLUZIE

Deci graficul funcției y= f(x - a) se obține din graficul funcției y=f(x) prin translație paralelă de-a lungul axei absciselor cu a unități la stânga dacă a > 0 și cu a unități la dreapta dacă a< 0.

3. Funcția y = k f(x), unde k > 0 și k ≠ 1

În noua formulă, valorile funcției (coordonatele punctelor graficului) se schimbă de k ori în comparație cu valoarea funcției „veche”. Aceasta duce la: 1) „întindere” de la punctul (0; 0) de-a lungul axei OY de k ori, dacă k > 1, 2) „compresie” până la punctul (0; 0) de-a lungul axei OY cu un factor de 0, dacă 0< k < 1.

CONCLUZIE

Prin urmare: pentru a construi un grafic al funcției y = kf(x), unde k > 0 și k ≠ 1, trebuie să înmulțiți ordonatele punctelor din graficul dat al funcției y = f(x) cu k. O astfel de transformare se numește întindere din punctul (0; 0) de-a lungul axei OY de k ori dacă k > 1; contracție la punctul (0; 0) de-a lungul axei OY cu un factor dacă 0< k < 1.

4. Funcția y = f(kx), unde k > 0 și k ≠ 1

În noua formulă, valorile argumentului (abscisele punctelor graficului) se schimbă de k ori în comparație cu valoarea „veche” a argumentului. Aceasta duce la: 1) „întindere” din punctul (0; 0) de-a lungul axei OX de 1/k ori dacă 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

CONCLUZIE

Și așa: pentru a construi un grafic al funcției y = f(kx), unde k > 0 și k ≠ 1, trebuie să înmulțiți abscisele punctelor din graficul dat al funcției y=f(x) cu k . O astfel de transformare se numește întindere din punctul (0; 0) de-a lungul axei OX de 1/k ori dacă 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Funcția y = - f (x).

În această formulă, valorile funcției (coordonatele punctelor din grafic) sunt inversate. Această modificare are ca rezultat o afișare simetrică a graficului original al funcției în jurul axei x.

CONCLUZIE

Pentru a construi un grafic al funcției y = - f (x), aveți nevoie de un grafic al funcției y = f (x)

reflectă simetric în jurul axei OX. O astfel de transformare se numește transformare de simetrie în jurul axei OX.

6. Funcția y = f (-x).

În această formulă, valorile argumentului (abscisele punctelor din grafic) sunt inversate. Această modificare are ca rezultat o afișare simetrică a graficului funcției originale în raport cu axa OY.

Un exemplu pentru funcția y \u003d - x², această transformare nu este vizibilă, deoarece această funcție este pară și graficul nu se schimbă după transformare. Această transformare este vizibilă atunci când funcția este impară și când nici par, nici impar.

7. Funcția y = |f(x)|.

În noua formulă, valorile funcției (coordonatele punctelor din grafic) sunt sub semnul modulului. Aceasta duce la dispariția unor părți din graficul funcției inițiale cu ordonate negative (adică cele situate în semiplanul inferior față de axa Ox) și o afișare simetrică a acestor părți în raport cu axa Ox.

8. Funcția y= f (|x|).

În noua formulă, valorile argumentului (abscisele punctelor din grafic) sunt sub semnul modulului. Aceasta duce la dispariția unor părți din graficul funcției inițiale cu abscise negative (adică cele situate în semiplanul stâng față de axa OY) și înlocuirea lor cu părți ale graficului original care sunt simetrice față de OY axă.

Partea practică

Luați în considerare câteva exemple de aplicare a teoriei de mai sus.

EXEMPLUL 1.

Soluţie. Să transformăm această formulă:

1) Să construim un grafic al funcției

EXEMPLUL 2.

Trasează funcția dată de formulă

Soluţie. Transformăm această formulă evidențiind pătratul binomului din acest trinom pătrat:

1) Să construim un grafic al funcției

2) Efectuați un transfer paralel al graficului construit la vector

EXEMPLUL 3.

SARCINA DE LA UTILIZARE Trasarea unei funcții pe bucăți

Graficul funcției Graficul funcției y=|2(x-3)2-2|; unu

Transfer paralel.

TRANSFER DE-A lungul AXEI Y

f(x) => f(x) - b
Să fie necesar să se traseze funcția y \u003d f (x) - b. Este ușor de observat că ordonatele acestui grafic pentru toate valorile lui x pe |b| unități mai mici decât ordonatele corespunzătoare ale graficului funcțiilor y = f(x) pentru b>0 și |b| unități mai multe - la b 0 sau în sus la b Pentru a reprezenta grafic funcția y + b = f(x), reprezentați grafic funcția y = f(x) și mutați axa x în |b| unități în sus pentru b>0 sau cu |b| unități în jos la b

TRANSFER DE-A lungul AXEI X

f(x) => f(x + a)
Fie necesară reprezentarea grafică a funcției y = f(x + a). Considerăm o funcție y = f(x), care la un moment dat x = x1 ia valoarea y1 = f(x1). În mod evident, funcția y = f(x + a) va lua aceeași valoare în punctul x2, a cărui coordonată este determinată din egalitatea x2 + a = x1, adică. x2 = x1 - a, iar egalitatea luată în considerare este valabilă pentru totalitatea tuturor valorilor din domeniul funcției. Prin urmare, graficul funcției y = f(x + a) poate fi obținut prin deplasarea paralelă a graficului funcției y = f(x) de-a lungul axei x la stânga cu |a| cele pentru a > 0 sau la dreapta de |a| unități pentru a Pentru a reprezenta grafic funcția y = f(x + a), reprezentați grafic funcția y = f(x) și mutați axa y în |a| unități la dreapta pentru a>0 sau |a| unități la stânga pentru a

Exemple:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Reflecţie.

GRAFICUL O FUNCȚIE A VEDERII Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Evident, funcțiile y = f(-x) și y = f(x) iau valori egale în puncte ale căror abscise sunt egale în valoare absolută, dar opuse în semn. Cu alte cuvinte, ordonatele graficului funcției y = f(-x) în regiunea valorilor pozitive (negative) ale lui x vor fi egale cu ordonatele graficului funcției y = f(x) cu valori negative (pozitive) x corespunzătoare în valoare absolută. Astfel, obținem următoarea regulă.
Pentru a reprezenta grafic funcția y = f(-x), ar trebui să reprezentați funcția y = f(x) și să o reflectați de-a lungul axei y. Graficul rezultat este graficul funcției y = f(-x)

GRAFICUL O FUNCȚIE A VEDERII Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ordonatele graficului funcției y = - f(x) pentru toate valorile argumentului sunt egale în valoare absolută, dar în semn opus ordonatelor graficului funcției y = f(x) pentru aceleași valori ale argumentului. Astfel, obținem următoarea regulă.
Pentru a reprezenta grafic funcția y = - f(x), ar trebui să reprezentați funcția y = f(x) și să o reflectați în jurul axei x.

Exemple:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformare.

DEFORMAREA GRAFULUI DE-A lungul AXEI Y

f(x) => kf(x)
Luați în considerare o funcție de forma y = kf(x), unde k > 0. Este ușor de observat că pentru valori egale ale argumentului, ordonatele graficului acestei funcții vor fi de k ori mai mari decât ordonatele lui graficul funcției y = f(x) pentru k > 1 sau de 1/k ori mai mic decât ordonatele graficului funcției y = f(x) pentru k ) sau micșorați ordonatele acesteia de 1/k ori pentru k
k > 1- întinderea de pe axa Bou
0 - compresie pe axa OX

DEFORMAREA GRAFICULUI DE-A lungul AXEI X

f(x) => f(kx)
Fie necesară reprezentarea grafică a funcției y = f(kx), unde k>0. Considerăm o funcție y = f(x), care ia valoarea y1 = f(x1) într-un punct arbitrar x = x1. În mod evident, funcția y = f(kx) ia aceeași valoare în punctul x = x2, a cărui coordonată este determinată de egalitatea x1 = kx2, iar această egalitate este valabilă pentru totalitatea tuturor valorilor lui x din domeniul functiei. În consecință, graficul funcției y = f(kx) este comprimat (pentru k 1) de-a lungul axei absciselor în raport cu graficul funcției y = f(x). Astfel, obținem regula.
Pentru a reprezenta grafic funcția y = f(kx), reprezentați grafic funcția y = f(x) și reduceți abscisa ei de k ori pentru k>1 (micșorați graficul de-a lungul abscisei) sau creșteți abscisa ei de 1/k ori pentru k
k > 1- compresie pe axa Oy
0 - întinderea de pe axa OY