En basit denklemlerin formülleri. Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Sitede bir başvuru gönderdiğinizde, toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil E-posta vb.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

tarafımızdan toplanmıştır kişisel bilgi sizinle iletişime geçmemize ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
Zaman zaman, size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - hukuka, yargı düzenine, yasal işlemlere ve/veya kamudan gelen talep veya taleplere dayalı olarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için gerekli veya uygun olduğunu belirlersek hakkınızdaki bilgileri ifşa edebiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
Zaman zaman, size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

Gerekli olması durumunda - yasaya, yargı düzenine, yasal işlemlere ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarının kamuya açık taleplerine veya taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için gerekli veya uygun olduğunu belirlersek hakkınızdaki bilgileri ifşa edebiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Çoğunu çözerken Matematik problemleri, özellikle 10. sınıftan önce gerçekleşenler, hedefe götürecek eylemlerin sırası açıkça tanımlanmıştır. Bu tür problemler, örneğin, doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri, doğrusal ve kare eşitsizlikler, kesirli denklemler ve ikinci dereceden olana indirgeyen denklemler. Bahsedilen görevlerin her birinin başarılı bir şekilde çözülmesi ilkesi şu şekildedir: çözülen sorunun ne tür olduğunu belirlemek, istenen sonuca götürecek gerekli eylem sırasını hatırlamak, yani. yanıtlayın ve bu adımları izleyin.

Açıkçası, belirli bir sorunu çözmedeki başarı veya başarısızlık, esas olarak, çözülmekte olan denklemin türünün ne kadar doğru belirlendiğine, çözümünün tüm aşamalarının sırasının ne kadar doğru bir şekilde yeniden üretildiğine bağlıdır. Elbette bu durumda aynı dönüşümleri ve hesaplamaları yapabilecek becerilere sahip olmak gerekir.

ile farklı bir durum ortaya çıkar. trigonometrik denklemler. Denklemin trigonometrik olduğu gerçeğini tespit etmek zor değil. Doğru cevaba götürecek eylemlerin sırasını belirlerken zorluklar ortaya çıkar.

İle dış görünüş denklemler bazen türünü belirlemek zordur. Ve denklemin türünü bilmeden, birkaç düzine trigonometrik formülden doğru olanı seçmek neredeyse imkansızdır.

Trigonometrik denklemi çözmek için şunu denemeliyiz:

1. denklemde yer alan tüm fonksiyonları "aynı açılara" getirin;
2. denklemi "aynı işlevlere" getirin;
3. Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırın, vb.

Düşünmek temel çözüm yöntemleri trigonometrik denklemler.

I. En basit trigonometrik denklemlere indirgeme

Çözüm şeması

Aşama 1. ifade etmek trigonometrik fonksiyon Bilinen bileşenler aracılığıyla.

Adım 2 Formülleri kullanarak işlev bağımsız değişkenini bulun:

çünkü x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

günah x = a; x \u003d (-1) n arksin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = bir; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Aşama 3 Bilinmeyen bir değişken bulun.

Örnek.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Çözüm.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Cevap: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Değişken ikame

Çözüm şeması

Aşama 1. Denklemi trigonometrik fonksiyonlardan birine göre cebirsel bir forma getirin.

Adım 2 Ortaya çıkan işlevi t değişkeni ile belirtin (gerekirse, t'ye kısıtlamalar getirin).

Aşama 3 Elde edilen cebirsel denklemi yazın ve çözün.

4. Adım Ters bir ikame yapın.

Adım 5 En basit trigonometrik denklemi çözün.

Örnek.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Çözüm.

1) 2(1 - günah 2 (x/2)) - 5gün (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Günah (x/2) = t olsun, burada |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 veya e = -3/2 |t| koşulunu sağlamaz. ≤ 1.

4) günah (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Cevap: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Denklem sırasını azaltma yöntemi

Çözüm şeması

Aşama 1. Güç azaltma formüllerini kullanarak bu denklemi doğrusal bir denklemle değiştirin:

günah 2 x \u003d 1/2 (1 - çünkü 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Adım 2 Elde edilen denklemi I ve II yöntemlerini kullanarak çözün.

Örnek.

cos2x + cos2x = 5/4.

Çözüm.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) çünkü 2x + 1/2 + 1/2 çünkü 2x = 5/4;

3/2 çünkü 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Cevap: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. homojen denklemler

Çözüm şeması

Aşama 1. Bu denklemi forma getirin

a) a sin x + b cos x = 0 (birinci dereceden homojen denklem)

ya da görünüme

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci dereceden homojen denklem).

Adım 2 Denklemin her iki tarafını da

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ve tg x için denklemi alın:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Aşama 3 Denklemi bilinen yöntemleri kullanarak çözün.

Örnek.

5sin 2 x + 3sin x çünkü x - 4 = 0.

Çözüm.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

günah 2 x + 3sin x çünkü x - 4cos 2 x \u003d 0 / çünkü 2 x ≠ 0.

2) tg 2x + 3tgx - 4 = 0.

3) tg x = t olsun, o zaman

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 veya t = -4, yani

tg x = 1 veya tg x = -4.

Birinci denklemden x = π/4 + πn, n Є Z; ikinci denklemden x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Cevap: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Trigonometrik formüller kullanarak bir denklemi dönüştürme yöntemi

Çözüm şeması

Aşama 1. Her türlü trigonometrik formülü kullanarak bu denklemi I, II, III, IV yöntemleriyle çözülebilecek bir denklem haline getirin.

Adım 2 Bilinen yöntemleri kullanarak elde edilen denklemi çözün.

Örnek.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Çözüm.

1) (günah x + günah 3x) + günah 2x = 0;

2sin 2x çünkü x + günah 2x = 0.

2) günah 2x (2cos x + 1) = 0;

günah 2x = 0 veya 2cos x + 1 = 0;

Birinci denklemden 2x = π/2 + πn, n Є Z; ikinci denklemden cos x = -1/2.

elimizde x = π/4 + πn/2, n Є Z var; ikinci denklemden x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Sonuç olarak, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Cevap: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Trigonometrik denklemleri çözme yeteneği ve becerileri çok önemli, gelişimleri hem öğrenci hem de öğretmen açısından büyük çaba gerektirir.

Stereometri, fizik vb. Birçok problem trigonometrik denklemlerin çözümü ile ilişkilidir.Bu tür problemleri çözme süreci, olduğu gibi, trigonometri elemanlarını incelerken edinilen bilgi ve becerilerin çoğunu içerir.

Trigonometrik denklemler, matematik öğretimi ve genel olarak kişilik gelişimi sürecinde önemli bir yer tutar.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? Trigonometrik denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "En basit trigonometrik denklemlerin çözümü"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

1C'den 10. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometrideki problemleri çözüyoruz. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel yapıcı 6.1"

Ne öğreneceğiz:
1. Trigonometrik denklemler nelerdir?

3. Trigonometrik denklemleri çözmek için iki ana yöntem.
4. Homojen trigonometrik denklemler.
5. Örnekler.

Trigonometrik denklemler nelerdir?

Arkadaşlar, biz zaten arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjantı inceledik. Şimdi genel olarak trigonometrik denklemlere bakalım.

Trigonometrik denklemler - değişkenin trigonometrik fonksiyonun işareti altında bulunduğu denklemler.

En basit trigonometrik denklemleri çözme şeklini tekrarlıyoruz:

1) |а|≤ 1 ise, o zaman cos(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) |а|≤ 1 ise, sin(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

3) Eğer |a| > 1, o zaman sin(x) = a ve cos(x) = a denkleminin çözümü yoktur 4) tg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arcctg(a)+ πk

Tüm formüller için k bir tamsayıdır

En basit trigonometrik denklemler şu şekildedir: Т(kx+m)=a, T- herhangi bir trigonometrik fonksiyon.

Örnek.

Denklemleri çözün: a) sin(3x)= √3/2

Çözüm:

A) 3x=t'yi gösterelim, sonra denklemimizi şu şekilde yeniden yazacağız:

Bu denklemin çözümü şöyle olacaktır: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Değer tablosundan şunu elde ederiz: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Değişkenimize geri dönelim: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Sonra x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cevap: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n bir tamsayıdır. (-1)^n - eksi bir üzeri n.

Daha fazla trigonometrik denklem örneği.

Denklemleri çözün: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Çözüm:

A) Bu sefer doğrudan denklemin köklerinin hesaplanmasına gideceğiz:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. O zaman x/5= πk => x=5πk

Cevap: x=5πk, burada k bir tamsayıdır.

B) 3x- π/3=arctg(√3)+ πk şeklinde yazıyoruz. Bunu biliyoruz: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cevap: x=2π/9 + πk/3, burada k bir tamsayıdır.

Denklemleri çözün: cos(4x)= √2/2. Ve segmentteki tüm kökleri bulun.

Çözüm:

içinde karar vereceğiz Genel görünüm denklemimiz: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Şimdi segmentimize hangi köklerin düştüğünü görelim. k için k=0, x= π/16 için verilen segment içindeyiz.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ile tekrar vururlar.
k=2 için x= π/16+ π=17π/16, ama burada vurmadık, yani büyük k için de vurmayacağız.

Cevap: x= π/16, x= 9π/16

İki ana çözüm yöntemi.

En basit trigonometrik denklemleri düşündük, ancak daha karmaşık olanları var. Bunları çözmek için yeni bir değişken tanıtma yöntemi ve çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır. Örneklere bakalım.

Denklemi çözelim:

Çözüm:
Denklemimizi çözmek için, t=tg(x) ile gösterilen yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanıyoruz.

Değiştirme sonucunda şunu elde ederiz: t 2 + 2t -1 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulun: t=-1 ve t=1/3

Sonra tg(x)=-1 ve tg(x)=1/3, en basit trigonometrik denklemi elde ettik, köklerini bulalım.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Cevap: x= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Bir denklem çözme örneği

Denklemleri çözün: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Çözüm:

Şu özdeşliği kullanalım: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Denklemimiz şöyle olur: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) ikamesini tanıtalım: 2t 2 -3t - 2 = 0

İkinci dereceden denklemimizin çözümü köklerdir: t=2 ve t=-1/2

Sonra cos(x)=2 ve cos(x)=-1/2.

Çünkü kosinüs birden büyük değerler alamaz, bu durumda cos(x)=2'nin kökü yoktur.

cos(x)=-1/2 için: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cevap: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen trigonometrik denklemler.

Tanım: a sin(x)+b cos(x) biçimindeki denklemlere birinci dereceden homojen trigonometrik denklemler denir.

formun denklemleri

ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemler.

Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için onu cos(x)'e böleriz: Sıfıra eşitse kosinüs ile bölmek imkansızdır, bunun böyle olmadığından emin olalım:
cos(x)=0 olsun, sonra asin(x)+0=0 => sin(x)=0 olsun, ancak sinüs ve kosinüs aynı anda sıfıra eşit değil, bir çelişki elde ettik, böylece güvenle bölebiliriz sıfır tarafından.

Denklemi çözün:
Örnek: cos 2 (x) + günah(x) cos(x) = 0

Çözüm:

Ortak çarpanı çıkarın: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

O zaman iki denklemi çözmemiz gerekiyor:

cos(x)=0 ve cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk için Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 denklemini düşünün Denklemimizi cos(x)'e bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cevap: x= π/2 + πk ve x= -π/4+πk

İkinci dereceden homojen trigonometrik denklemler nasıl çözülür?
Beyler, her zaman bu kurallara uyun!

1. A katsayısının neye eşit olduğunu görün, eğer a \u003d 0 ise, denklemimiz cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) şeklini alacaktır, bunun bir örneği önceki çözümdedir. kayma

2. Eğer a≠0 ise, denklemin her iki bölümünü de kare kosinüs ile bölmeniz gerekir, şunu elde ederiz:

t=tg(x) değişkenini değiştirirsek şu denklemi elde ederiz:

Örnek #:3'ü çözün

Denklemi çözün:
Çözüm:

Denklemin her iki tarafını kosinüs karesine bölün:

t=tg(x) değişkeninde değişiklik yapıyoruz: t 2 + 2 t - 3 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulun: t=-3 ve t=1

O halde: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Cevap: x=-arctg(3) + πk ve x= π/4+ πk

Çöz Örnek #:4

Denklemi çözün:

Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:

Şu denklemleri çözebiliriz: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Cevap: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Çöz Örnek #:5

Denklemi çözün:

Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 değiştirmeyi tanıtıyoruz

İkinci dereceden denklemimizin çözümü kökleri olacaktır: t=-2 ve t=1/2

Sonra şunu elde ederiz: tg(2x)=-2 ve tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= yaytg(1/2) + πk => x=yay(1/2)/2+ πk/2

Cevap: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ve x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Bağımsız çözüm için görevler.

1) Denklemi çözün

A) günah(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Denklemleri çözün: sin(3x)= √3/2. Ve [π/2; π].

3) Denklemi çözün: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Denklemi çözün: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Denklemi çözün: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Denklemi çözün: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

En basit trigonometrik denklemlerin çözümü.

Herhangi bir karmaşıklık seviyesindeki trigonometrik denklemlerin çözümü, nihayetinde en basit trigonometrik denklemleri çözmeye gelir. ve bunda en iyi yardımcı yine trigonometrik bir daire olduğu ortaya çıkıyor.

Kosinüs ve sinüs tanımlarını hatırlayın.

Bir açının kosinüsü, belirli bir açıyla dönmeye karşılık gelen birim çember üzerindeki bir noktanın apsisidir (yani eksen boyunca koordinat).

Bir açının sinüsü, belirli bir açıyla dönmeye karşılık gelen birim çember üzerindeki bir noktanın ordinatıdır (yani eksen boyunca koordinat).

Trigonometrik daire boyunca pozitif hareket yönü, saat yönünün tersine hareket olarak kabul edilir. 0 derecelik (veya 0 radyan) bir dönüş, (1; 0) koordinatlarına sahip bir noktaya karşılık gelir.

Bu tanımları en basit trigonometrik denklemleri çözmek için kullanırız.

1. Denklemi çözün

Bu denklem, ordinatı eşit olan dairenin noktalarına karşılık gelen dönme açısının tüm değerleri ile karşılanır.

Y ekseninde ordinatlı bir noktayı işaretleyelim:

Daire ile kesişene kadar x eksenine paralel yatay bir çizgi çizin. Bir daire üzerinde uzanan ve bir ordinatı olan iki nokta elde edeceğiz. Bu noktalar, ve radyanların dönüş açılarına karşılık gelir:

Radyan başına dönme açısına karşılık gelen noktadan ayrıldıktan sonra tam bir daire etrafında dönersek, radyan başına dönme açısına karşılık gelen ve aynı ordinata sahip bir noktaya geleceğiz. Yani bu dönme açısı da denklemimizi sağlıyor. Aynı noktaya dönerek istediğimiz kadar "boşta" dönüş yapabiliriz ve tüm bu açı değerleri denklemimizi tatmin edecektir. "Boş" devir sayısı harf (veya) ile gösterilir. Bu dönüşleri hem pozitif hem de negatif yönde yapabildiğimiz için (veya ) herhangi bir tamsayı değeri alabilir.

Yani, orijinal denklemin ilk çözüm serisi şu şekildedir:

, , - tamsayılar kümesi (1)

Benzer şekilde, ikinci çözüm serisi şu şekildedir:

, nerede , . (2)

Tahmin ettiğiniz gibi, bu çözüm serisi, dairenin dönme açısına karşılık gelen noktasına dayanmaktadır.

Bu iki çözüm serisi tek bir girişte birleştirilebilir:

Bu girişi alırsak (yani, hatta), o zaman ilk çözüm serisini elde ederiz.

Bu girişi alırsak (yani, tek), o zaman ikinci çözüm serisini elde ederiz.

2. Şimdi denklemi çözelim

Açı döndürülerek birim çemberin noktasının apsisi elde edildiğinden, eksen üzerinde apsis ile bir nokta işaretliyoruz:

Daire ile kesişene kadar eksene paralel dikey bir çizgi çizin. Bir daire üzerinde uzanan ve apsisi olan iki nokta elde edeceğiz. Bu noktalar ve radyanların dönüş açılarına karşılık gelir. Saat yönünde hareket ederken şunu hatırlayın: negatif açı rotasyon:

İki dizi çözüm yazıyoruz:

(Ana tam daireden geçerek doğru noktaya geliyoruz, yani.

Bu iki diziyi tek bir gönderide birleştirelim:

3. Denklemi çözün

Teğet çizgisi, OY eksenine paralel birim çemberin koordinatları (1,0) olan noktadan geçer.

Üzerinde bir ordinatı 1'e eşit olan bir noktayı işaretleyin (açıların 1 olduğu tanjantını arıyoruz):

Bu noktayı düz bir çizgi ile orijine bağlayın ve doğrunun birim çemberle kesişme noktalarını işaretleyin. Doğrunun ve dairenin kesişme noktaları ve üzerindeki dönüş açılarına karşılık gelir:

Denklemimizi sağlayan dönüş açılarına karşılık gelen noktalar radyan uzaklıkta olduğundan çözümü şu şekilde yazabiliriz:

4. Denklemi çözün

Kotanjant doğrusu, birim çemberin koordinatları eksene paralel olan noktadan geçer.

Kotanjant çizgisinde apsis -1 ile bir noktayı işaretliyoruz:

Bu noktayı düz çizginin başlangıcına bağlayın ve daire ile kesişene kadar devam edin. Bu çizgi, daireyi ve radyanların dönüş açılarına karşılık gelen noktalarda kesecektir: