Birçok Matematik problemleri, özellikle 10. sınıftan önce gerçekleşenler, hedefe götürecek eylemlerin sırası açıkça tanımlanmıştır. Bu tür problemler, örneğin, doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri, doğrusal ve kare eşitsizlikler, kesirli denklemler ve ikinci dereceden hale gelen denklemler. Bahsedilen görevlerin her birinin başarılı bir şekilde çözülmesi ilkesi şu şekildedir: ne tür bir sorunun çözüleceğini belirlemek, istenen sonuca götürecek gerekli eylem sırasını hatırlamak, yani. yanıtlayın ve şu adımları izleyin.
Belirli bir problemi çözmedeki başarı veya başarısızlığın, esas olarak çözülmekte olan denklemin tipinin ne kadar doğru belirlendiğine, çözümünün tüm aşamalarının sırasının ne kadar doğru bir şekilde yeniden üretildiğine bağlı olduğu açıktır. Elbette aynı dönüşümleri ve hesaplamaları yapma becerisine sahip olmak gerekir.
ile durum farklıdır trigonometrik denklemler. Denklemin trigonometrik olduğu gerçeğini belirlemek hiç de zor değil. Doğru cevaba götürecek eylemlerin sırasını belirlemede zorluklar ortaya çıkar.
İle dış görünüş denklemin türünü belirlemek bazen zordur. Ve denklemin türünü bilmeden, onlarca trigonometrik formülden istediğinizi seçmek neredeyse imkansızdır.
Trigonometrik denklemi çözmek için şunu denemelisiniz:
1. denklemde yer alan tüm fonksiyonları "eşit açılara" getirin;
2. denklemi "aynı işlevlere" getirmek;
3. Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırın, vb.
Düşünmek trigonometrik denklemleri çözmek için temel yöntemler.
I. En basit trigonometrik denklemlere indirgeme
Çözüm şeması
Aşama 1. Bir trigonometrik fonksiyonu bilinen bileşenler cinsinden ifade edin.
Adım 2. Bir fonksiyonun argümanını formüllerle bulun:
çünkü x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.
günah x = a; x = (-1) n arksin a + πn, n Є Z.
tgx = bir; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = bir; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Aşama 3. Bilinmeyen değişkeni bulun.
Örnek.
2 cos (3x - π / 4) = -√2.
Çözüm.
1) çünkü (3x - π / 4) = -√2 / 2.
2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;
3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;
x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;
x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.
Cevap: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.
II. Değişken ikame
Çözüm şeması
Aşama 1. Denklemi aşağıdakilerden birine göre cebirsel bir forma indirgeyin trigonometrik fonksiyonlar.
Adım 2. Ortaya çıkan işlevi t değişkeni ile belirtin (gerekirse, t'ye kısıtlamalar getirin).
Aşama 3. Elde edilen cebirsel denklemi yazın ve çözün.
Adım 4. Ters değiştirme yapın.
Adım 5. En basit trigonometrik denklemi çözün.
Örnek.
2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.
Çözüm.
1) 2 (1 - günah 2 (x / 2)) - 5gün (x / 2) - 5 = 0;
2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.
2) Günah (x / 2) = t olsun, burada |t | ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 veya e = -3/2, koşulunu sağlamaz |t | ≤ 1.
4) günah (x / 2) = 1.
5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Cevap: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Denklem sırasını azaltma yöntemi
Çözüm şeması
Aşama 1. Bunun için derece azaltma formüllerini kullanarak verilen denklemi doğrusal olanla değiştirin:
günah 2 x = 1/2 (1 - çünkü 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Adım 2. Elde edilen denklemi I ve II yöntemlerini kullanarak çözün.
Örnek.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Çözüm.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) çünkü 2x + 1/2 + 1/2 çünkü 2x = 5/4;
3/2 çünkü 2x = 3/4;
2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;
x = ± π / 6 + πn, n Є Z.
Cevap: x = ± π / 6 + πn, n Є Z.
IV. homojen denklemler
Çözüm şeması
Aşama 1. Bu denklemi forma getirin
a) a sin x + b cos x = 0 (birinci dereceden homojen denklem)
ya da akla
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci derecenin homojen denklemi).
Adım 2. Denklemin her iki tarafını da
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
ve tg x için denklemi alın:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctan x + c = 0.
Aşama 3. Denklemi bilinen yöntemleri kullanarak çözün.
Örnek.
5sin 2 x + 3sin x çünkü x - 4 = 0.
Çözüm.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;
günah 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2x + 3tgx - 4 = 0.
3) tg x = t olsun, o zaman
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 veya t = -4, yani
tg x = 1 veya tg x = -4.
Birinci denklemden x = π / 4 + πn, n Є Z; ikinci denklemden x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Cevap: x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Trigonometrik formüller kullanarak bir denklemi dönüştürme yöntemi
Çözüm şeması
Aşama 1. Her türlü trigonometrik formülleri kullanarak, bu denklemi I, II, III, IV yöntemleriyle çözülen denkleme getirin.
Adım 2. Elde edilen denklemi bilinen yöntemlerle çözün.
Örnek.
günah x + günah 2x + günah 3x = 0.
Çözüm.
1) (günah x + günah 3x) + günah 2x = 0;
2sin 2x çünkü x + günah 2x = 0.
2) günah 2x (2cos x + 1) = 0;
günah 2x = 0 veya 2cos x + 1 = 0;
Birinci denklemden 2x = π / 2 + πn, n Є Z; ikinci denklemden cos x = -1/2.
elimizde x = π / 4 + πn / 2, n Є Z var; ikinci denklemden x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.
Sonuç olarak, x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.
Cevap: x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.
Trigonometrik denklemleri çözme yeteneği çok 
önemli, gelişimleri hem öğrenci hem de öğretmen açısından önemli çabalar gerektirir.
Stereometri, fizik vb. Birçok problem trigonometrik denklemlerin çözümü ile bağlantılıdır.Bu tür problemleri çözme süreci, olduğu gibi, trigonometri elemanlarını incelerken edinilen birçok bilgi ve beceriyi içerir.
Trigonometrik Denklemler matematiğin öğrenme sürecinde ve genel olarak kişilik gelişiminde önemli bir yer tutar.
Hala sorularınız mı var? Trigonometrik denklemlerin nasıl çözüleceğinden emin değil misiniz?
Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.
İlk ders ücretsiz!
site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Temel trigonometri formülleri hakkında bilgi gerektirir - sinüs ve kosinüsün karelerinin toplamı, teğetin sinüs ve kosinüs yoluyla ifadesi ve diğerleri. Unutanlar veya bilmeyenler için "" makalesini okumanızı öneririz.
Yani, temel trigonometrik formülleri biliyoruz, onları pratikte kullanma zamanı. trigonometrik denklemleri çözme Doğru yaklaşımla, örneğin bir Rubik küpünü çözmek gibi oldukça heyecan verici bir aktivitedir.
Adından yola çıkarak, bir trigonometrik denklemin, bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonun işareti altında olduğu bir denklem olduğu açıktır.
Sözde en basit trigonometrik denklemler vardır. Görünüşleri şöyle: sinx = a, cos x = a, tg x = a. Düşünmek böyle trigonometrik denklemler nasıl çözülür, netlik için zaten tanıdık trigonometrik daireyi kullanacağız.
günah = bir
çünkü x = bir
tg x = bir
karyola x = bir
Herhangi bir trigonometrik denklem iki aşamada çözülür: denklemi en basit forma getiriyoruz ve sonra onu en basit trigonometrik denklem olarak çözüyoruz.
Trigonometrik denklemlerin çözüldüğü 7 ana yöntem vardır.
Değişken Değiştirme ve Değiştirme Yöntemi
Trigonometrik denklemleri çarpanlara ayırma yoluyla çözme
Homojen bir denkleme indirgeme
Yarım açıya giderek denklemleri çözme
Yardımcı bir köşe tanıtın
2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0 denklemini çözün
İndirgeme formüllerini kullanarak şunları elde ederiz:
2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0
Basitlik için cos (x + / 6)'yı y ile değiştirin ve normal ikinci dereceden denklemi elde edin:
2y 2 - 3y + 1 + 0
Kimin kökleri y 1 = 1, y 2 = 1/2
Şimdi ters sırada gidelim
Bulunan y değerlerini yerine koyarız ve iki cevap alırız:
sin x + cos x = 1 denklemi nasıl çözülür?
0 sağda kalacak şekilde her şeyi sola hareket ettirin:
günah x + cos x - 1 = 0
Denklemi basitleştirmek için yukarıdaki özdeşlikleri kullanalım:
günah x - 2 günah 2 (x / 2) = 0
Çarpanlara ayırma işlemini yapıyoruz:
2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 günah 2 (x / 2) = 0
2sin (x / 2) * = 0
iki denklem elde ederiz
Bir denklem, sinüs ve kosinüs açısından tüm terimleri aynı açının aynı kuvvetine sahipse, sinüs ve kosinüs açısından homojendir. Homojen bir denklemi çözmek için aşağıdakileri yapın:
a) tüm üyelerini sol tarafa aktarmak;
b) tüm ortak çarpanları parantez içinden çıkarın;
c) tüm faktörleri ve parantezleri 0'a eşitleyin;
d) parantez içinde daha az derecede homojen bir denklem elde edilir, sırayla en yüksek derecede sinüs veya kosinüs'e bölünür;
e) tg için elde edilen denklemi çözün.
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 denklemini çözün
sin 2 x + cos 2 x = 1 formülünü kullanalım ve sağdaki açık ikiden kurtulalım:
3sin 2 x + 4 günah x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
günah 2 x + 4 günah x cos x + 3 cos 2 x = 0
cos x'e böl:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
tg x'i y ile değiştirin ve ikinci dereceden bir denklem elde edin:
y 2 + 4y +3 = 0, kökleri y 1 = 1, y 2 = 3
Buradan orijinal denkleme iki çözüm buluyoruz:
x 2 = arktan 3 + k
3sin x - 5cos x = 7 denklemini çözün
x / 2'ye geçiyoruz:
6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)
Her şeyi sola taşıyın:
2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0
cos (x / 2) ile bölün:
tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0
Dikkate almak için şu formun bir denklemini alın: a sin x + b cos x = c,
burada a, b, c bazı keyfi katsayılardır ve x bilinmemektedir.
Denklemin her iki tarafını da bölün:
Şimdi, trigonometrik formüllere göre denklemin katsayıları, sin ve cos özelliklerine sahiptir, yani: modülleri 1'den fazla değildir ve karelerin toplamı = 1'dir. Bunları sırasıyla cos ve sin olarak gösterelim, nerede sözde yardımcı açı. O zaman denklem şu şekli alacaktır:
çünkü * günah x + günah * çünkü x = С
veya günah (x +) = C
Bu en basit trigonometrik denklemin çözümü
x = (-1) k * arksin С - + k, burada
cos ve sin'in birbirinin yerine kullanıldığını unutmayın.
sin 3x - cos 3x = 1 denklemini çözün
Bu denklemde katsayılar:
a =, b = -1, yani her iki tarafı da = 2'ye böleriz
"A Alın" video kursu, matematik sınavını 60-65 puan arasında başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Tüm görevleri tamamla 1-13 Profil sınavı matematik. Matematikte Temel sınavı geçmek için de uygundur. Sınavı 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!
10-11. sınıflar ve öğretmenler için sınava hazırlık kursu. Matematik sınavının 1. bölümünü (ilk 12 problem) ve problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu sınavda 70 puandan fazla ve ne yüz puanlık bir öğrenci ne de bir beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.
İhtiyacınız olan tüm teori. Hızlı yollar sınavın çözümleri, tuzakları ve sırları. Bölüm 1'in ilgili tüm görevlerini FIPI'nin Görevler Bankası'ndan sökün. Kurs, 2018 sınavının gereksinimlerini tam olarak karşılamaktadır.
Kurs, her biri 2,5 saat olan 5 büyük konu içerir. Her konu sıfırdan, basit ve anlaşılır şekilde verilir.
Yüzlerce sınav ödevi. Kelime problemleri ve olasılık teorisi. Problemleri çözmek için basit ve hatırlaması kolay algoritmalar. Geometri. teori, referans malzemesi, her türlü sınav ödevlerinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, yardımcı hile sayfaları, uzamsal hayal gücünü geliştirme. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Tıkanmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların görsel açıklaması. Cebir. Kökler, dereceler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Çözümün temeli zor görevler Sınavın 2 bölümü.
Trigonometrik denklemler en kolay konu değildir. Acı verici bir şekilde çeşitlidirler.) Örneğin, böyle:
günah 2 x + cos3x = ctg5x
günah (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Vb...
Ancak bu (ve diğer tüm) trigonometrik canavarların iki ortak ve zorunlu özelliği vardır. Birincisi - inanmayacaksınız - denklemlerde trigonometrik fonksiyonlar var.) İkincisi: x'li tüm ifadeler bulunur. aynı işlevlerin içinde. Ve sadece orada! x herhangi bir yerde görünüyorsa dıştan,Örneğin, sin2x + 3x = 3, bu zaten karma tip bir denklem olacaktır. Bu tür denklemler bireysel bir yaklaşım gerektirir. Onları burada dikkate almayacağız.
Bu derste de şeytani denklemleri çözmeyeceğiz.) Burada ele alacağız. en basit trigonometrik denklemler. Niye ya? evet çünkü çözüm herhangi trigonometrik denklemlerin iki aşaması vardır. İlk aşamada şer denklemi çeşitli dönüşümlerle basite indirgenir. İkincisinde, bu en basit denklem çözülür. Başka yol yok.
Yani ikinci aşamada sorun yaşıyorsanız ilk aşama pek bir anlam ifade etmiyor.)
Temel trigonometrik denklemler neye benziyor?
günah = bir
cosx = bir
tgx = bir
ctgx = bir
Burada a herhangi bir sayıyı ifade eder. Kimse.
Bu arada, fonksiyonun içinde saf bir x olmayabilir, ancak bir tür ifade olabilir, örneğin:
çünkü (3x + π / 3) = 1/2
vb. Bu hayatı zorlaştırır, ancak trigonometrik denklemi çözme yöntemini etkilemez.
Trigonometrik denklemler nasıl çözülür?
Trigonometrik denklemler iki şekilde çözülebilir. İlk yol: mantık ve trigonometrik daire kullanmak. Burada bu yolu ele alacağız. İkinci yol - hafıza ve formüllerin kullanılması - bir sonraki derste tartışılacaktır.
İlk yol açık, güvenilir ve unutulması zor.) Trigonometrik denklemleri, eşitsizlikleri ve her türlü zor standart dışı örneği çözmek için iyidir. Mantık bellekten daha güçlüdür!)
Trigonometrik çember kullanarak denklem çözme.
Temel mantığı ve trigonometrik daireyi kullanma yeteneğini dahil ediyoruz. Nasıl bilmiyorum!? Ancak... Trigonometride sizin için zor...) Ama önemli değil. "Trigonometrik daire ...... Nedir?" derslerine bir göz atın. ve "Trigonometrik bir daire üzerinde açıları sayma". Orada her şey basit. Öğreticilerden farklı olarak ...)
Ah bilirsin !? Ve hatta "Trigonometrik daire ile pratik çalışma" konusunda ustalaştı!? Tebrikler. Bu konu size yakın ve anlaşılır olacaktır.) Özellikle sevindirici olan trigonometrik çember, hangi denklemi çözdüğünüzle ilgilenmez. Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant - onun için her şey birdir. Tek bir çözüm ilkesi vardır.
Yani herhangi bir temel trigonometrik denklemi alıyoruz. En azından bu:
cosx = 0,5
X'i bulmamız gerekiyor. İnsani açıdan, ihtiyacınız kosinüsü 0,5 olan açıyı (x) bulun.
Çemberi daha önce nasıl kullandık? Üzerine bir köşe çektik. Derece veya radyan cinsinden. Ve derhal görülen bu açının trigonometrik fonksiyonları. Şimdi tersini yapalım. Çemberin üzerine 0,5'e eşit bir kosinüs çizelim ve hemen görmek enjeksiyon. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor.) Evet, evet!
Bir daire çizin ve kosinüsü 0,5 olarak işaretleyin. Tabii ki kosinüs ekseninde. Bunun gibi:
Şimdi bu kosinüsün bize verdiği açıyı çizelim. Fare imlecini çizimin üzerine getirin (veya tablette resme dokunun) ve görmek bu köşe X.
Kosinüs 0,5 hangi açıdır?
x = π / 3
çünkü 60 °= çünkü ( π / 3) = 0,5
Birisi şüpheyle kıkırdayacak, evet ... Diyorlar ki, her şey zaten açıkken çembere değdi mi ... Elbette kıkırdayabilirsin ...) Ama gerçek şu ki bu hatalı bir cevap. Daha doğrusu yetersiz. Çemberin uzmanları, burada hala 0,5'e eşit bir kosinüs veren bir sürü açı olduğunu anlıyorlar.
OA'nın hareketli tarafını çevirirseniz tam dönüş, A noktası orijinal konumuna geri dönecektir. Aynı kosinüs 0,5'e eşit. Şunlar. açı değişecek 360 ° veya 2π radyan ve kosinüs değildir. Yeni 60 ° + 360 ° = 420 ° açısı da denklemimizin çözümü olacaktır, çünkü
Sonsuz sayıda böyle tam dönüş yapabilirsiniz ... Ve tüm bu yeni açılar trigonometrik denklemimizin çözümleri olacak. Ve hepsi bir şekilde yanıt olarak yazılmalıdır. Her şey. Aksi halde karar sayılmaz, evet...)
Matematik bunu basit ve zarif bir şekilde nasıl yapacağını bilir. Tek bir kısa cevapla yazın sonsuz setçözümler. Denklemimiz için böyle görünüyor:
x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
deşifre edeceğim. Hala yaz anlamlı bir şekilde bazı gizemli harfleri aptalca çizmekten daha hoş, değil mi?)
π / 3 - bu bizim aynı köşemiz testereçember üzerinde ve tanımlanmış kosinüs tablosuna göre.
2π radyan cinsinden tam bir devrimdir.
n tam sayısıdır, yani tüm devrimler. Açıktır ki n 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... vb. olabilir. Kısa bir notla belirtildiği gibi:
n ∈ Z
n ait ( ∈ ) tamsayılar kümesine ( Z ). Bu arada, mektup yerine n harfler iyi kullanılabilir k, m, t vb.
Bu giriş, herhangi bir bütünü alabileceğiniz anlamına gelir. n ... En az -3, en az 0, en az +55. Ne istiyorsunuz. Bu sayıyı cevabınıza eklerseniz, kesinlikle zorlu denklemimizi çözecek belirli bir açı elde edersiniz.)
Veya başka bir deyişle, x = π / 3 sonsuz kümenin tek köküdür. Diğer tüm kökleri elde etmek için, π / 3'e herhangi bir sayıda tam devir eklemek yeterlidir ( n ) radyan cinsinden. Şunlar. 2π n radyan.
Her şey? Numara. Kasten zevki uzatırım. Daha iyi hatırlamak için.) Denklemimizin cevaplarının sadece bir kısmını aldık. Çözümün bu ilk bölümünü aşağıdaki gibi yazacağım:
x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - tek bir kök değil, kısa biçimde yazılmış bir dizi köktür.
Ancak kosinüsü 0,5 veren açılar da vardır!
Cevabı yazmak için kullanılan resmimize geri dönelim. İşte orada:
Fareyi resmin üzerine getirin ve görmek başka bir köşe ayrıca 0,5 kosinüs verir. Sizce neye eşittir? Üçgenler aynı... Evet! köşeye eşittir x , sadece olumsuz yönde geri koyun. bu köşe -X. Ama biz zaten x'i bulduk. π / 3 veya 60 °. Bu nedenle, güvenle yazabiliriz:
x 2 = - π / 3
Tabii ki, tam devirlerle elde edilen tüm açıları ekliyoruz:
x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z
Şimdi bu kadar.) Trigonometrik çemberde, biz testere(kim anlar elbette)) Tümü 0,5'e eşit bir kosinüs veren açılar. Ve bu açıları kısa matematiksel formda yazdılar. Cevap iki sonsuz dizi kök üretti:
x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z
Bu doğru cevap.
Umut, trigonometrik denklemleri çözmenin genel prensibi bir daire kullanmak açıktır. Verilen denklemden kosinüsü (sinüs, tanjant, kotanjant) daire üzerinde işaretliyoruz, buna karşılık gelen açıları çiziyoruz ve cevabı yazıyoruz. Tabii bizim ne tür köşeler olduğumuzu anlamanız gerekiyor. testere daire üzerinde. Bazen o kadar açık değildir. Peki, burada mantık gerekli dedim.)
Örneğin, başka bir trigonometrik denkleme bakalım:
Lütfen denklemlerde 0,5 sayısının tek olası sayı olmadığını unutmayın!) Bunu yazmak benim için kökler ve kesirlerden daha uygun.
Genel prensibe göre çalışıyoruz. Bir daire çizin, işaretleyin (elbette sinüs ekseninde!) 0,5. Bu sinüse karşılık gelen tüm açıları bir kerede çiziyoruz. Aşağıdaki resmi alalım:
Önce açıyla ilgilenmek x ilk çeyrekte. Sinüs tablosunu hatırlıyoruz ve bu açının değerini belirliyoruz. Bu basit bir mesele:
x = π / 6
Tüm dönüşleri hatırlıyoruz ve net bir vicdanla ilk cevap dizisini yazıyoruz:
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Yarısı bitti. Ama şimdi tanımlamamız gerekiyor ikinci köşe... Bu kosinüslerden daha kurnaz, evet ... Ama mantık bizi kurtaracak! İkinci açı nasıl belirlenir x aracılığıyla? Evet Kolay! Resimdeki üçgenler aynı ve kırmızı köşe x açıya eşit x ... Sadece negatif yönde π açısından ölçülür. Bu nedenle, kırmızıdır.) Ve cevap için pozitif OX yarı ekseninden doğru ölçülen bir açıya ihtiyacımız var, yani. 0 derecelik bir açıyla.
İmleci resmin üzerine getirin ve her şeyi görün. Resmi karmaşıklaştırmamak için ilk köşeyi kaldırdım. İlgilendiğimiz açı (yeşille çizilmiş) şuna eşit olacaktır:
π - x
x onu biliyoruz π / 6 ... Bu nedenle, ikinci açı şöyle olacaktır:
π - π / 6 = 5π / 6
Tam devirlerin eklenmesini tekrar hatırlıyoruz ve ikinci dizi yanıtları yazıyoruz:
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Bu kadar. Tam cevap iki dizi kökten oluşur:
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Tanjant ve kotanjantlı denklemler, trigonometrik denklemleri çözmek için aynı genel ilke kullanılarak kolayca çözülebilir. Tabii ki, trigonometrik bir daire üzerinde teğet ve kotanjant çizmeyi biliyorsanız.
Yukarıdaki örneklerde sinüs ve kosinüs değeri tablosunu kullandım: 0,5. Şunlar. öğrencinin bildiği anlamlardan biri mutlak.Şimdi yeteneklerimizi genişletelim diğer tüm değerler. Karar verin, karar verin!)
Diyelim ki bu trigonometrik denklemi çözmemiz gerekiyor:
Kısa tablolarda böyle bir kosinüs değeri yoktur. Bu korkunç gerçeği soğukkanlılıkla görmezden geliyoruz. Bir daire çizin, kosinüs ekseninde 2/3'ü işaretleyin ve karşılık gelen açıları çizin. Sadece böyle bir resim elde ediyoruz.
Bir başlangıç için, ilk çeyrekte bir açıyla çözelim. X'in ne olduğunu bilseydim, cevabı hemen yazarlardı! Bilmiyoruz... Başarısızlık!? Sakinlik! Matematik kendi başını belaya sokmaz! Bu dava için arkosinler buldu. Bilmemek? Boşuna. Öğrenin, düşündüğünüzden çok daha kolay. Bu bağlantının altında, "ters trigonometrik fonksiyonlar" hakkında tek bir hileli büyü yoktur... Bu konuda bu gereksizdir.
Bilginiz varsa, kendinize şunu söylemeniz yeterlidir: "X, kosinüsü 2/3 olan açıdır". Ve hemen, tamamen arkozin tanımına göre şunu yazabilirsiniz:
Ek dönüşleri hatırlıyoruz ve trigonometrik denklemimizin ilk kök dizisini sakince yazıyoruz:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
İkinci kök dizisi de ikinci açı için neredeyse otomatik olarak kaydedilir. Her şey aynı, sadece x (arccos 2/3) eksi ile olacak:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Ve hepsi bu! Bu doğru cevap. Tablo değerlerinden bile daha kolay. Hiçbir şey hatırlamanıza gerek yok.) Bu arada, en dikkatli olanlar bu resmin ters kosinüs yoluyla çözümle olduğunu fark edecektir. özünde, cosx = 0,5 denklemi için resimden farklı değildir.
Aynen öyle! Genel prensip bunun için ve genel! Özellikle hemen hemen aynı iki resim çizdim. Daire bize açıyı gösterir x kosinüsüne göre. Tablo bir kosinüs veya değil - daire bilmiyor. Bu açı nedir, π / 3 veya ne tür bir ters kosinüs - bu bize kalmış.
Sinüs ile aynı şarkı indir. Örneğin:
Daireyi tekrar çizin, sinüsü 1/3'e eşit olarak işaretleyin, köşeleri çizin. Resim şuna benziyor:
Ve yine resim denklemdekiyle hemen hemen aynı sinx = 0,5. Yine, ilk çeyrekte köşeden başlayın. Sinüsü 1/3 ise x nedir? Sorun yok!
Böylece ilk kök paketi hazır:
x 1 = arksin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
İkinci köşe ile ilgileniyoruz. 0,5 tablo değerine sahip örnekte şuydu:
π - x
Yani burada tamamen aynı olacak! Sadece x farklıdır, arcsin 1/3. Ne olmuş!? İkinci kök paketini güvenle yazabilirsiniz:
x 2 = π - arksin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Bu kesinlikle doğru bir cevap. Pek tanıdık gelmese de. Ama anlaşılmıştır umarım.)
Trigonometrik denklemler bir daire kullanılarak bu şekilde çözülür. Bu yol açık ve anlaşılırdır. Belirli bir aralıkta, trigonometrik eşitsizliklerde kök seçimi ile trigonometrik denklemlerde tasarruf eden kişidir - genellikle neredeyse her zaman bir daire içinde çözülürler. Kısacası, standart olanlardan biraz daha zor olan herhangi bir görevde.
Bilgimizi pratikte uygulayalım mı?)
Trigonometrik denklemleri çözün:
İlk başta, bu dersten daha basit.
Şimdi daha zor.
İpucu: Çember üzerinde düşünmeniz gereken yer burasıdır. Şahsen.)
Ve şimdi görünüşte iddiasızlar ... Ayrıca özel durumlar olarak da adlandırılıyorlar.
günah = 0
günah = 1
cosx = 0
cosx = -1
İpucu: burada iki dizi cevabın olduğu bir daire içinde ve birinin nerede olduğunu bulmanız gerekiyor ... Ve iki dizi cevap yerine bir tane nasıl yazılacağını. Evet, sonsuz sayının tek bir kökü bile kaybolmasın diye!)
Eh, çok basit olanlar):
günah = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
İpucu: Burada arksinüs, arkkozin nedir bilmeniz gerekiyor? Ark tanjantı, ark kotanjantı nedir? en basit tanımlar... Ancak herhangi bir tablo değerini hatırlamanıza gerek yok!)
Cevaplar elbette bir karmaşa):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Dersi tekrar okuyun. Bir tek düşünceli(bu kadar eski bir kelime var...) Ve linkleri takip edin. Ana bağlantılar daire ile ilgilidir. Onsuz, trigonometride, gözü bağlı bir şekilde karşıdan karşıya geçmek gibi. Bazen işe yarar.)
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama testi. Öğrenme - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Sitede bir istek bıraktığınızda, toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil E-posta vb.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- tarafımızdan toplanmıştır kişisel bilgi sizinle iletişime geçmemize ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
- Zaman zaman önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer promosyon etkinliğine katılırsanız, bu programları yönetmek için verdiğiniz bilgileri kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara ifşa edilmesi
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, mahkeme kararına, mahkeme işlemlerinde ve / veya kamudan gelen talep veya taleplere dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer sosyal açıdan önemli nedenlerle gerekli veya uygun olduğunu belirlersek sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri uygun üçüncü tarafa - yasal halef - aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik kurallarını getiriyoruz ve gizlilik önlemlerinin uygulanmasını titizlikle izliyoruz.