Rasyonel denklemler nasıl doğru çözülür. "kesirli rasyonel denklemlerin çözümü"

hakkında konuşmaya devam ediyoruz denklemlerin çözümü. Bu yazıda, üzerinde duracağız rasyonel denklemler ve tek değişkenli rasyonel denklemleri çözme ilkeleri. İlk olarak, ne tür denklemlere rasyonel denildiğini bulalım, tamsayılı rasyonel ve kesirli rasyonel denklemlerin bir tanımını verelim ve örnekler verelim. Ayrıca, rasyonel denklemleri çözmek için algoritmalar elde edeceğiz ve elbette, gerekli tüm açıklamalarla birlikte tipik örneklerin çözümlerini ele alacağız.

Sayfa gezintisi.

Sesli tanımlara dayanarak, birkaç rasyonel denklem örneği veriyoruz. Örneğin, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , tümü rasyonel denklemlerdir.

Gösterilen örneklerden, rasyonel denklemlerin yanı sıra diğer türdeki denklemlerin de bir değişkenli veya iki, üç vb. değişkenler. Aşağıdaki paragraflarda, tek değişkenli rasyonel denklemleri çözmekten bahsedeceğiz. İki değişkenli denklemleri çözme ve çok sayıda olmaları özel ilgiyi hak ediyor.

Rasyonel denklemleri bilinmeyen değişken sayısına bölmenin yanı sıra tamsayı ve kesirli olarak da ayrılırlar. Karşılık gelen tanımları verelim.

Tanım.

Rasyonel denklem denir tüm, hem sol hem de sağ kısımları tamsayı rasyonel ifadelerse.

Tanım.

Rasyonel bir denklemin bölümlerinden en az biri kesirli bir ifade ise, böyle bir denkleme denir. kesirli rasyonel(veya kesirli rasyonel).

Tamsayılı denklemlerin bir değişkenle bölme içermediği açıktır; aksine, kesirli rasyonel denklemler mutlaka bir değişkenle (veya paydadaki bir değişkenle) bölme içerir. Yani 3 x+2=0 ve (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 tam rasyonel denklemlerdir, her ikisi de tamsayı ifadeleridir. A ve x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 kesirli rasyonel denklemlerin örnekleridir.

Bu paragrafı bitirirken, şu anda bilinen lineer denklemlerin ve ikinci dereceden denklemlerin tam rasyonel denklemler olduğuna dikkat edelim.

Tüm denklemleri çözme

Tüm denklemleri çözmenin ana yaklaşımlarından biri, denklemlerin eşdeğere indirgenmesidir. cebirsel denklemler. Bu, her zaman denklemin aşağıdaki eşdeğer dönüşümleri gerçekleştirilerek yapılabilir:

• ilk olarak, orijinal tamsayı denkleminin sağ tarafındaki ifade, sağ tarafta sıfır almak için zıt işaretli sol tarafa aktarılır;
• bundan sonra, denklemin sol tarafında, elde edilen standart görünüm.

Sonuç, orijinal bütün denkleme eşdeğer bir cebirsel denklemdir. Bu nedenle, en basit durumlarda, tüm denklemlerin çözümü, doğrusal veya ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ve genel durumda - n dereceli bir cebirsel denklemin çözümüne indirgenir. Netlik için, örneğin çözümünü analiz edelim.

Örnek.

Tüm denklemin köklerini bulun 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Çözüm.

Bu denklemin tamamının çözümünü eşdeğer bir cebirsel denklemin çözümüne indirgeyelim. Bunu yapmak için öncelikle ifadeyi sağdan sola aktarıyoruz, sonuç olarak denkleme ulaşıyoruz. 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. İkinci olarak, sol tarafta oluşan ifadeyi gerekli işlemleri yaparak standart formun polinomuna dönüştürüyoruz: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Böylece, orijinal tamsayı denkleminin çözümü, ikinci dereceden x 2 −5·x−6=0 denkleminin çözümüne indirgenir.

Diskriminantını hesaplayın D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, pozitiftir, yani denklemin ikinci dereceden denklemin köklerinin formülüyle bulduğumuz iki gerçek kökü vardır:

Tamamen emin olmak için yapalım denklemin bulunan köklerinin kontrol edilmesi. İlk önce, kök 6'yı kontrol ediyoruz, orijinal tamsayı denklemindeki x değişkeni yerine onu değiştiriyoruz: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3 aynı olan 63=63 . Bu geçerli bir sayısal denklemdir, dolayısıyla x=6 gerçekten denklemin köküdür. Şimdi -1 kökünü kontrol ediyoruz, 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, nereden, 0=0 . x=−1 için orijinal denklem de gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştü, bu nedenle x=−1 aynı zamanda denklemin köküdür.

Cevap:

6 , −1 .

Burada, "tüm bir denklemin gücü" teriminin, tüm denklemin cebirsel bir denklem biçiminde temsil edilmesiyle ilişkili olduğu da belirtilmelidir. İlgili tanımı veriyoruz:

Tanım.

Bütün denklemin derecesi buna eşdeğer bir cebirsel denklemin derecesini adlandırın.

Bu tanıma göre, önceki örnekteki denklemin tamamı ikinci dereceye sahiptir.

Bu konuda, biri olmasa da, tüm rasyonel denklemlerin çözümü ile bitirilebilir, ancak .... Bilindiği gibi, ikinci dereceden daha yüksek dereceli cebirsel denklemlerin çözümü önemli zorluklarla ilişkilidir ve dördüncü dereceden daha yüksek dereceli denklemler için kökler için genel bir formül yoktur. Bu nedenle, üçüncü, dördüncü ve daha yüksek dereceli denklemlerin tamamını çözmek için genellikle başka çözüm yöntemlerine başvurmak gerekir.

Bu gibi durumlarda, bazen tüm rasyonel denklemleri temel alarak çözme yaklaşımı çarpanlara ayırma yöntemi. Aynı zamanda, aşağıdaki algoritma izlenir:

• ilk önce denklemin sağ tarafında sıfıra sahip olmaya çalışırlar, bunun için ifadeyi tüm denklemin sağ tarafından sola aktarırlar;
• daha sonra, sol taraftaki sonuç ifadesi, bir dizi daha basit denkleme gitmenize izin veren birkaç faktörün bir ürünü olarak sunulur.

Tüm denklemi çarpanlara ayırma yoluyla çözmek için yukarıdaki algoritma, bir örnek kullanarak ayrıntılı bir açıklama gerektirir.

Örnek.

Tüm denklemi çöz (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Çözüm.

İlk olarak, her zamanki gibi, işareti değiştirmeyi unutmadan, denklemin sağ tarafından sol tarafına ifadeyi aktarıyoruz, (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Burada, elde edilen denklemin sol tarafını standart formun bir polinomuna dönüştürmenin tavsiye edilmediği oldukça açıktır, çünkü bu, formun dördüncü derecesinin cebirsel bir denklemini verecektir. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0çözümü zor olan.

Öte yandan, x 2 −10·x+13'ün elde edilen denklemin sol tarafında bulunabileceği ve böylece onu bir ürün olarak temsil edebileceği açıktır. Sahibiz (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ortaya çıkan denklem, orijinal denklemin tamamına eşdeğerdir ve sırayla, iki ikinci dereceden denklem x 2 −10·x+13=0 ve x 2 −2·x−1=0 ile değiştirilebilir. Diskriminant aracılığıyla bilinen kök formüllerini kullanarak köklerini bulmak zor değildir, kökler eşittir. Orijinal denklemin istenen kökleridir.

Cevap:

Tüm rasyonel denklemleri çözmek için de yararlıdır. yeni bir değişken tanıtma yöntemi. Bazı durumlarda, derecesi orijinal tamsayı denkleminin derecesinden daha düşük olan denklemlere geçilmesine izin verir.

Örnek.

Rasyonel bir denklemin gerçek köklerini bulun (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Çözüm.

Tüm bu rasyonel denklemi cebirsel bir denkleme indirgemek, en hafif tabirle çok iyi bir fikir değil, çünkü bu durumda rasyonel kökleri olmayan dördüncü dereceden bir denklemi çözme ihtiyacına geleceğiz. Bu nedenle, başka bir çözüm aramanız gerekecek.

Burada yeni bir y değişkeni tanıtabileceğinizi ve x 2 +3 x ifadesini onunla değiştirebileceğinizi görmek kolaydır. Böyle bir değiştirme bizi (y+1) 2 +10=−2 (y−4) denkleminin tamamına götürür, bu, −2 (y−4) ifadesini sola aktardıktan ve oluşan ifadenin müteakip dönüşümünden sonra orada, y 2 +4 y+3=0 denklemine indirgenir. Bu y=−1 ve y=−3 denkleminin köklerini bulmak kolaydır, örneğin, Vieta teoreminin ters teoremine dayanarak bulunabilirler.

Şimdi yeni bir değişken tanıtma yönteminin ikinci kısmına, yani ters ikame yapma yöntemine geçelim. Ters ikameyi gerçekleştirdikten sonra, x 2 +3 x=−1 ve x 2 +3 x=−3 olmak üzere iki denklem elde ederiz, bunlar x 2 +3 x+1=0 ve x 2 +3 x+3 olarak yeniden yazılabilir. =0 . İkinci dereceden denklemin köklerinin formülüne göre, ilk denklemin köklerini buluruz. Ve ikinci ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur, çünkü diskriminantı negatiftir (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Cevap:

Genel olarak, tüm yüksek dereceli denklemlerle uğraşırken, bunları çözmek için standart olmayan bir yöntem veya yapay bir teknik aramaya her zaman hazır olmalıyız.

Kesirli rasyonel denklemlerin çözümü

İlk olarak, p(x) ve q(x)'in rasyonel tamsayı ifadeleri olduğu formun kesirli rasyonel denklemlerinin nasıl çözüleceğini anlamak faydalı olacaktır. Sonra kalan kesirli rasyonel denklemlerin çözümünün belirtilen formdaki denklemlerin çözümüne nasıl indirileceğini göstereceğiz.

Denklemi çözme yaklaşımlarından biri aşağıdaki ifadeye dayanmaktadır: v'nin sıfır olmayan bir sayı olduğu u / v sayısal kesri (aksi takdirde tanımlanmamış olan ile karşılaşacağız), ancak ve ancak payı varsa sıfırdır. sıfır ise, ancak ve ancak u=0 ise. Bu ifade sayesinde, denklemin çözümü, p(x)=0 ve q(x)≠0 olmak üzere iki koşulun yerine getirilmesine indirgenir.

Bu sonuç aşağıdakilerle tutarlıdır kesirli rasyonel bir denklemi çözmek için algoritma. Formun kesirli rasyonel bir denklemini çözmek için

• tüm rasyonel denklemi p(x)=0 ;
• ve bulunan her kök için q(x)≠0 koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin.
• eğer doğruysa, bu kök orijinal denklemin köküdür;
• değilse, bu kök yabancıdır, yani orijinal denklemin kökü değildir.

Kesirli rasyonel bir denklemi çözerken sesli algoritma kullanma örneğini analiz edelim.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

Bu formun kesirli rasyonel bir denklemidir, burada p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Bu tür kesirli rasyonel denklemleri çözme algoritmasına göre, önce 3·x−2=0 denklemini çözmemiz gerekir. Bu, kökü x=2/3 olan doğrusal bir denklemdir.

Geriye bu kökü kontrol etmek, yani 5·x 2 −2≠0 koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek kalıyor. 5 x 2 −2 ifadesinde x yerine 2/3 sayısını değiştiririz, elde ederiz. Koşul karşılanır, yani x=2/3 orijinal denklemin köküdür.

Cevap:

2/3 .

Bir kesirli rasyonel denklemin çözümüne biraz farklı bir konumdan yaklaşılabilir. Bu denklem, orijinal denklemin x değişkeni üzerindeki tüm p(x)=0 denklemine eşdeğerdir. Yani, bunu takip edebilirsiniz kesirli rasyonel bir denklemi çözmek için algoritma :

• p(x)=0 denklemini çöz;
• ODZ değişkeni x'i bulun;
• kabul edilebilir değerler bölgesine ait kökleri alın - bunlar orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleridir.

Örneğin, bu algoritmayı kullanarak bir kesirli rasyonel denklemi çözelim.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

İlk olarak, x 2 −2·x−11=0 ikinci dereceden denklemi çözüyoruz. Kökleri, ikinci bir katsayı için kök formülü kullanılarak hesaplanabilir, elimizde D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, ve .

İkinci olarak, orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sini buluyoruz. x 2 +3 x≠0 olan, x (x+3)≠0 ile aynı olan, x≠0 , x≠−3 olan tüm sayılardan oluşur.

İlk adımda bulunan köklerin ODZ'ye dahil edilip edilmediğini kontrol etmek için kalır. Açıkçası evet. Bu nedenle, orijinal kesirli rasyonel denklemin iki kökü vardır.

Cevap:

ODZ kolayca bulunursa, bu yaklaşımın birincisinden daha karlı olduğuna ve özellikle p(x)=0 denkleminin köklerinin irrasyonel, örneğin , veya rasyonel, ancak oldukça büyük olması durumunda faydalı olduğuna dikkat edin. pay ve/veya payda, örneğin, 127/1101 ve -31/59 . Bunun nedeni, bu gibi durumlarda q(x)≠0 koşulunun kontrol edilmesinin önemli hesaplama çabalarını gerektirmesi ve yabancı kökleri ODZ'den hariç tutmanın daha kolay olmasıdır.

Diğer durumlarda, denklemi çözerken, özellikle p(x)=0 denkleminin kökleri tamsayı olduğunda, yukarıdaki algoritmalardan ilkini kullanmak daha avantajlıdır. Yani, tüm denklemin köklerini hemen bulmak tavsiye edilir p(x)=0 , ve sonra onlar için q(x)≠0 koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin ve ODZ'yi bulun ve ardından denklemi çözün. bu ODZ'de p(x)=0. Bunun nedeni, bu gibi durumlarda kontrol yapmanın genellikle ODZ'yi bulmaktan daha kolay olmasıdır.

Öngörülen nüansları göstermek için iki örneğin çözümünü düşünün.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

İlk önce tüm denklemin köklerini buluruz. (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, kesrin payı kullanılarak derlenir. Bu denklemin sol tarafı bir çarpımdır ve sağ tarafı sıfırdır, bu nedenle, denklemleri çarpanlara ayırma yöntemine göre, bu denklem dört denklem setine eşdeğerdir 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Bu denklemlerden üçü lineer, biri ikinci dereceden, onları çözebiliriz. Birinci denklemden x=1/2, ikinciden - x=6, üçüncüden - x=7, x=−2, dördüncüden - x=−1'i buluyoruz.

Bulunan köklerle, orijinal denklemin sol tarafındaki kesrin paydasının kaybolmadığını kontrol etmek oldukça kolaydır ve ODZ'yi belirlemek o kadar kolay değildir, çünkü bu, bir beşinci dereceden cebirsel denklem. Bu nedenle, kökleri kontrol etmek için ODZ'yi bulmayı reddedeceğiz. Bunu yapmak için, ifadedeki x değişkeni yerine onları sırayla değiştiririz. x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, ikameden sonra elde edilir ve bunları sıfırla karşılaştırın: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 -13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Böylece, 1/2, 6 ve -2 orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleridir ve 7 ve -1 yabancı köklerdir.

Cevap:

1/2 , 6 , −2 .

Örnek.

Bir kesirli rasyonel denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

İlk önce denklemin köklerini buluruz. (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Bu denklem iki denklemden oluşan bir sete eşdeğerdir: kare 5·x 2 −7·x−1=0 ve doğrusal x−2=0 . İkinci dereceden denklemin köklerinin formülüne göre iki kök buluyoruz ve ikinci denklemden x = 2'ye sahibiz.

Bulunan x değerlerinde paydanın kaybolmadığını kontrol etmek oldukça tatsız. Ve orijinal denklemde x değişkeninin kabul edilebilir değer aralığını belirlemek oldukça basittir. Bu nedenle ODZ üzerinden hareket edeceğiz.

Bizim durumumuzda, orijinal kesirli rasyonel denklemin x değişkeninin ODZ'si, x 2 +5·x−14=0 koşulunun sağlandığı sayılar dışında tüm sayılardan oluşur. Bu ikinci dereceden denklemin kökleri x=−7 ve x=2'dir, buradan ODZ hakkında sonuca varırız: tüm x'lerden oluşur, öyle ki .

Geriye, bulunan köklerin ve x=2'nin kabul edilebilir değerler bölgesine ait olup olmadığını kontrol etmek kalıyor. Kökler - aittir, bu nedenle, orijinal denklemin kökleridir ve x=2 ait değildir, bu nedenle yabancı bir köktür.

Cevap:

Ayrıca, formun kesirli rasyonel bir denkleminin payda bir sayı içerdiği, yani p (x)'in bir sayı ile temsil edildiği durumlar üzerinde ayrı ayrı durmak faydalı olacaktır. nerede

• bu sayı sıfırdan farklıysa, o zaman denklemin kökleri yoktur, çünkü kesir sıfırdır, ancak ve ancak payı sıfır ise;
• bu sayı sıfır ise, denklemin kökü ODZ'den herhangi bir sayıdır.

Örnek.

Çözüm.

Denklemin sol tarafındaki kesrin payında sıfır olmayan bir sayı olduğundan, hiçbir x için bu kesrin değeri sıfıra eşit olamaz. Dolayısıyla bu denklemin kökü yoktur.

Cevap:

kök yok.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

Bu kesirli rasyonel denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfırdır, dolayısıyla mantıklı olduğu herhangi bir x için bu kesrin değeri sıfırdır. Başka bir deyişle, bu denklemin çözümü, bu değişkenin DPV'sinden herhangi bir x değeridir.

Geriye bu kabul edilebilir değerler aralığını belirlemek kalıyor. x 4 +5 x 3 ≠0 olan tüm x değerlerini içerir. x 4 +5 x 3 \u003d 0 denkleminin çözümleri 0 ve −5'tir, çünkü bu denklem x 3 (x + 5) \u003d 0 denklemine eşdeğerdir ve sırayla kombinasyona eşdeğerdir. bu köklerin görülebildiği iki denklemden x 3 \u003d 0 ve x +5=0 . Bu nedenle, istenen kabul edilebilir değerler aralığı, x=0 ve x=−5 dışında herhangi bir x'tir.

Böylece, kesirli rasyonel bir denklemin, sıfır ve eksi beş dışında herhangi bir sayı olan sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap:

Son olarak, keyfi kesirli rasyonel denklemleri çözmek hakkında konuşmanın zamanı geldi. r(x)=s(x) şeklinde yazılabilirler, burada r(x) ve s(x) rasyonel ifadelerdir ve bunlardan en az biri kesirlidir. İleriye baktığımızda, çözümlerinin bize zaten aşina olduğumuz formun denklemlerini çözmeye indirgendiğini söylüyoruz.

Denklemin bir kısmından zıt işaretli başka bir terime aktarılmasının eşdeğer bir denkleme yol açtığı bilinmektedir, dolayısıyla r(x)=s(x) denklemi r(x)−s denklemine eşdeğerdir. (x)=0 .

Ayrıca, herhangi birinin bu ifadeye özdeş olarak eşit olabileceğini de biliyoruz. Böylece, r(x)−s(x)=0 denkleminin sol tarafındaki rasyonel ifadeyi her zaman formun özdeş olarak eşit rasyonel bir kesrine dönüştürebiliriz.

Böylece orijinal kesirli rasyonel denklemden r(x)=s(x) denklemine gideriz ve çözümü, yukarıda öğrendiğimiz gibi, p(x)=0 denklemini çözmeye indirgenir.

Ancak burada, r(x)−s(x)=0 ile ve ardından p(x)=0 ile değiştirilirken, x değişkeninin izin verilen değer aralığının genişleyebileceği gerçeğini hesaba katmak gerekir. .

Bu nedenle, orijinal r(x)=s(x) denklemi ile geldiğimiz p(x)=0 denklemi eşdeğer olmayabilir ve p(x)=0 denklemini çözerek kök alabiliriz. bu, orijinal r(x)=s(x) denkleminin yabancı kökleri olacaktır. Ya kontrol ederek ya da orijinal denklemin ODZ'sine ait olduklarını kontrol ederek, cevaba yabancı kökleri tanımlamak ve dahil etmemek mümkündür.

Bu bilgileri özetliyoruz kesirli rasyonel denklemi çözmek için algoritma r(x)=s(x). Kesirli rasyonel denklemi r(x)=s(x) çözmek için,

• Karşıt işaretli ifadeyi sağ taraftan hareket ettirerek sağda sıfır alın.
• Denklemin sol tarafında kesirler ve polinomlarla eylemler gerçekleştirin, böylece onu formun rasyonel bir fraksiyonuna dönüştürün.
• p(x)=0 denklemini çözün.
• Orijinal denklemde ikame edilerek veya orijinal denklemin ODZ'sine ait olduklarını kontrol ederek yapılan yabancı kökleri tanımlayın ve hariç tutun.

Daha fazla netlik için, kesirli rasyonel denklemleri çözme zincirinin tamamını göstereceğiz:
.

Verilen bilgi bloğunu açıklığa kavuşturmak için çözümün ayrıntılı bir açıklaması ile birkaç örneğin çözümlerini inceleyelim.

Örnek.

Bir kesirli rasyonel denklemi çözün.

Çözüm.

Az önce elde edilen çözüm algoritmasına göre hareket edeceğiz. Ve önce denklemin sağ tarafındaki terimleri sol tarafa aktarıyoruz, sonuç olarak denkleme geçiyoruz.

İkinci adımda, elde edilen denklemin sol tarafındaki kesirli rasyonel ifadeyi bir kesir formuna dönüştürmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için, rasyonel kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesini gerçekleştirir ve ortaya çıkan ifadeyi basitleştiririz: . Böylece denkleme geliyoruz.

Bir sonraki adımda, -2·x−1=0 denklemini çözmemiz gerekiyor. x=−1/2'yi bulun.

Bulunan −1/2 sayısının orijinal denklemin yabancı bir kökü olup olmadığını kontrol etmek için kalır. Bunu yapmak için, orijinal denklemin ODZ değişkeni x'i kontrol edebilir veya bulabilirsiniz. Her iki yaklaşımı da gösterelim.

Bir çekle başlayalım. Orijinal denklemde x değişkeni yerine −1/2 sayısını değiştiririz, aynı olan −1=−1 elde ederiz. İkame doğru sayısal eşitliği verir, bu nedenle x=−1/2 orijinal denklemin köküdür.

Şimdi algoritmanın son adımının ODZ üzerinden nasıl gerçekleştirildiğini göstereceğiz. Orijinal denklemin kabul edilebilir değerlerinin aralığı, -1 ve 0 dışındaki tüm sayıların kümesidir (x=−1 ve x=0 olduğunda, kesirlerin paydaları kaybolur). Önceki adımda bulunan x=−1/2 kökü ODZ'ye aittir, bu nedenle x=−1/2 orijinal denklemin köküdür.

Cevap:

−1/2 .

Başka bir örnek düşünelim.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

Kesirli rasyonel bir denklemi çözmemiz gerekiyor, algoritmanın tüm adımlarını geçelim.

İlk olarak, terimi sağdan sola aktarırız, elde ederiz.

İkinci olarak, sol tarafta oluşan ifadeyi dönüştürüyoruz: . Sonuç olarak, x=0 denklemine ulaşırız.

Kökü açıktır - sıfırdır.

Dördüncü adımda, bulunan kökün orijinal kesirli rasyonel denklem için bir dış kök olup olmadığını bulmak kalır. Orijinal denklemde ikame edildiğinde ifade elde edilir. Açıkçası, sıfıra bölme içerdiğinden mantıklı değil. Buradan 0'ın yabancı bir kök olduğu sonucuna varıyoruz. Bu nedenle, orijinal denklemin kökü yoktur.

7 , bu denkleme yol açar . Bundan, sol tarafın paydasındaki ifadenin sağ taraftan eşit olması gerektiği sonucuna varabiliriz, yani . Şimdi üçlünün her iki kısmından da çıkarıyoruz: . Analoji ile, nereden ve daha fazlası.

Kontrol, bulunan her iki kökün de orijinal kesirli rasyonel denklemin kökleri olduğunu gösteriyor.

Cevap:

Bibliyografya.

• Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Cebir. 8. sınıf. 14:00 Bölüm 1. Öğrenci ders kitabı Eğitim Kurumları/ A.G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - E.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Cebir: 9. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E. : Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Smirnova Anastasia Yurievna

Ders türü: ders yeni malzeme öğrenme.

Organizasyon şekli Öğrenme aktiviteleri : önden, bireysel.

Dersin amacı: yeni bir tür denklemi tanıtmak - kesirli rasyonel denklemler, kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma hakkında bir fikir vermek.

Dersin Hedefleri.

öğretici:

• kesirli rasyonel bir denklem kavramının oluşumu;
• kesrin sıfıra eşit olması koşulu da dahil olmak üzere kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma düşünün;
• Algoritmaya göre kesirli rasyonel denklemlerin çözümünü öğretmek.

Geliştirme:

• edinilen bilgiyi uygulama becerilerinin oluşumu için koşullar yaratmak;
• öğrencilerin konuya yönelik bilişsel ilgilerinin gelişimini teşvik etmek;
• öğrencilerin analiz etme, karşılaştırma ve sonuç çıkarma becerilerini geliştirmek;
• karşılıklı kontrol ve öz kontrol, dikkat, hafıza, sözlü ve yazılı konuşma, bağımsızlık becerilerinin gelişimi.

beslemek:

• konuya bilişsel ilgi eğitimi;
• eğitim sorunlarının çözümünde bağımsızlık eğitimi;
• nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azim eğitimi.

Teçhizat: ders kitabı, karatahta, boya kalemi.

Ders kitabı "Cebir 8". Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorov, S.A.Telyakovsky tarafından düzenlendi. Moskova "Aydınlanma". 2010

Bu konu için beş saat ayrılmıştır. Bu ders ilk. Ana şey, kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritmayı incelemek ve bu algoritmayı alıştırmalarda çalışmaktır.

Dersler sırasında

1. Organizasyonel an.

Selam beyler! Bugün dersimize bir dörtlükle başlamak istiyorum:
Hayatı herkes için kolaylaştırmak için
Ne karar verilecek, ne olabilir,
Gülümse, herkese iyi şanslar
Sorun ne olursa olsun
Birbirlerine gülümsediler, yarattılar iyi ruh hali ve işe başladı.

Denklemler tahtaya yazılır, dikkatlice bakın. Bu denklemlerin hepsini çözebilir misin? Hangileri değil ve neden?

Sol ve sağ tarafları kesirli rasyonel ifadeler olan denklemlere kesirli rasyonel denklemler denir. Bugün derste ne çalışacağımızı düşünüyorsun? Dersin konusunu formüle edin. Böylece defterleri açıp “Kesirli rasyonel denklemlerin çözümü” dersinin konusunu yazıyoruz.

2. Bilginin gerçekleşmesi. Ön anket, sınıfla sözlü çalışma.

Ve şimdi yeni bir konuyu incelemek için ihtiyaç duyduğumuz ana teorik materyali tekrarlayacağız. Lütfen gelecek soruları cevaplayın:

1. denklem nedir? ( Değişken veya değişkenlerle eşitlik.)
2. 1 numaralı denkleme ne denir? ( Doğrusal.) Lineer denklemleri çözme yöntemi. ( Bilinmeyen her şeyi denklemin soluna, tüm sayıları sağa taşıyın. Gibi terimler getirin. Bilinmeyen çarpanı bulun).
3. Denklem 3'ün adı nedir? ( Meydan.) İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri. (P formüller hakkında)
4. Oran nedir? ( İki ilişkinin eşitliği.) Oranın ana özelliği. ( Oran doğruysa, uç terimlerinin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir..)
5. Denklemleri çözmek için hangi özellikler kullanılır? ( 1. Denklemde, işaretini değiştirerek terimi bir kısımdan diğerine aktarırsak, verilene eşdeğer bir denklem elde ederiz. 2. Denklemin her iki kısmı da sıfır olmayan aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse, verilen denkleme eşdeğer bir denklem elde edilir..)
6. Bir kesir ne zaman sıfıra eşittir? ( Pay sıfır ve payda sıfır olmadığında kesir sıfırdır.)

3. Yeni malzemenin açıklaması.

Defterlerde ve tahtada 2 numaralı denklemi çözün.

Cevap: 10.

Oranın temel özelliğini kullanarak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (Numara 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Defterlerde ve tahtada 4 numaralı denklemi çözün.

Cevap: 1,5.

Denklemin her iki tarafını payda ile çarparak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeyi deneyebilirsin? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Cevap: 3;4.

7 numaralı denklem türündeki denklemlerin çözümünü aşağıdaki derslerde ele alacağız.

Bunun neden olduğunu açıkla? Neden bir durumda üç, diğerinde iki kök var? Bu kesirli rasyonel denklemin kökleri hangi sayılardır?

Şimdiye kadar öğrenciler yabancı kök kavramıyla tanışmadılar, bunun neden olduğunu anlamak onlar için gerçekten çok zor. Sınıfta kimse bu duruma net bir açıklama getiremiyorsa öğretmen yönlendirici sorular sorar.

• 2 ve 4 numaralı denklemler 5.6 numaralı denklemlerden nasıl farklıdır? ( Sayının paydasındaki 2 ve 4 numaralı denklemlerde, No. 5-6 - değişkenli ifadeler.)
• Denklemin kökü nedir? ( Denklemin gerçek bir eşitlik haline geldiği değişkenin değeri.)
• Bir sayının bir denklemin kökü olup olmadığını nasıl öğrenebilirim? ( kontrol et.)

Bazı öğrenciler bir test yaparken sıfıra bölmek zorunda olduklarını fark ederler. 0 ve 5 sayılarının bu denklemin kökleri olmadığı sonucuna varıyorlar. Soru ortaya çıkıyor: Bu hatayı ortadan kaldıran kesirli rasyonel denklemleri çözmenin bir yolu var mı? Evet, bu yöntem kesrin sıfıra eşit olması şartına dayanmaktadır.

Kesirli rasyonel denklemleri bu şekilde çözmek için bir algoritma formüle etmeye çalışalım. Çocuklar algoritmayı kendileri formüle ederler.

Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:

1. Her şeyi sola taşıyın.
2. Kesirleri ortak bir paydaya getirin.
3. Bir sistem oluşturun: Pay sıfır olduğunda ve payda sıfır olmadığında bir kesir sıfırdır.
4. Denklemi çözün.
5. Yabancı kökleri hariç tutmak için eşitsizliği kontrol edin.
6. Cevabı yazın.

4. Yeni materyalin birincil kavranması.

Çiftler halinde çalışın. Öğrenciler, denklemin türüne bağlı olarak denklemi nasıl çözeceklerini kendileri seçerler. "Cebir 8" ders kitabından görevler, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b, c); 601(a, e). Öğretmen görevin performansını kontrol eder, ortaya çıkan soruları cevaplar ve düşük performans gösteren öğrencilere yardım sağlar. Kendi kendine test: Cevaplar tahtaya yazılır.

b) 2 - yabancı kök. Cevap:3.

c) 2 - yabancı kök. Cevap: 1.5.

a) Cevap: -12.5.

5. Ev ödevi beyanı.

1. Ders kitabından 25. maddeyi okuyun, 1-3 arası örnekleri analiz edin.
2. Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritmayı öğrenin.
3. 600 (d, e) numaralı defterlerde çözün; 601 (g, h).

6. Dersi özetlemek.

Böylece, bugün kesirli rasyonel denklemlerle tanıştığımız derste, bu denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik. Farklı yollar. Kesirli rasyonel denklemler nasıl çözülürse çözülsün, ne akılda tutulmalıdır? Kesirli rasyonel denklemlerin "kurnazlığı" nedir?

Hepinize teşekkürler, ders bitti.

Konuyla ilgili sunum ve ders: "Rasyonel denklemler. Algoritma ve rasyonel denklemleri çözme örnekleri"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

8. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Makarychev Yu.N. Mordkovich A.G. ders kitabı için el kitabı.

İrrasyonel denklemlere giriş

$r(x)$ olsun rasyonel ifade. Böyle bir ifade, $x$ değişkeninde basit bir polinom veya polinomların bir oranı olabilir (rasyonel sayılarda olduğu gibi bölme işlemi tanıtılır).
$r(x)=0$ denklemi denir rasyonel denklem.
$p(x)$ ve $q(x)$ rasyonel ifadeler olduğu $p(x)=q(x)$ biçimindeki herhangi bir denklem de rasyonel denklem.

Rasyonel denklemleri çözme örneklerini düşünün.

Çözüm.
Tüm ifadeleri sol tarafa taşıyalım: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Sıradan sayılar denklemin sol tarafında gösterilseydi, iki kesri ortak bir paydaya getirirdik.
Şunu yapalım: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Şu denklemi elde ettik: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Bir kesir, ancak ve ancak kesrin payı sıfır ve payda sıfırdan farklıysa sıfırdır. Sonra payı ayrı ayrı sıfıra eşitleyin ve payın köklerini bulun.
$3(x^2+2x-3)=0$ veya $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Şimdi kesrin paydasını kontrol edelim: $(x-3)*x≠0$.
Bu sayılardan en az biri sıfıra eşit olduğunda iki sayının çarpımı sıfıra eşittir. Ardından: $x≠0$ veya $x-3≠0$.
$x≠0$ veya $x≠3$.
Pay ve paydada elde edilen kökler uyuşmuyor. Yani yanıt olarak payın her iki kökünü de yazıyoruz.
Cevap: $x=1$ veya $x=-3$.

Birdenbire, payın köklerinden biri paydanın köküyle çakıştıysa, dışlanmalıdır. Bu tür köklere yabancı denir!

Rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:

Örnek 2
Denklemi çözün: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Çözüm.
Algoritmanın noktalarına göre çözeceğiz.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Payı sıfıra eşitleyin: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Paydayı sıfıra eşitleyin:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ve $x=-1$.
$x=1$ köklerinden biri payın köküyle çakıştı, o zaman yanıt olarak onu yazmıyoruz.
Cevap: $x=-1$.

Değişkenlerin değişimi yöntemini kullanarak rasyonel denklemleri çözmek uygundur. Hadi gösterelim.

Örnek 3
Denklemi çözün: $x^4+12x^2-64=0$.

Çözüm.
Bir ikame sunuyoruz: $t=x^2$.
O zaman denklemimiz şu şekli alacaktır:
$t^2+12t-64=0$ sıradan bir ikinci dereceden denklemdir.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Ters bir değiştirme yapalım: $x^2=4$ veya $x^2=-16$.
İlk denklemin kökleri bir çift sayıdır $x=±2$. İkincisinin kökü yoktur.
Cevap: $x=±2$.

Örnek 4
Denklemi çözün: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Çözüm.
Yeni bir değişken tanıtalım: $t=x^2+x+1$.
O zaman denklem şu şekilde olacaktır: $t=\frac(15)(t+2)$.
Ardından, algoritmaya göre hareket edeceğiz.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - kökler eşleşmiyor.
Bir ters ikame sunuyoruz.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Her denklemi ayrı ayrı çözelim:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - hayır kökler.
Ve ikinci denklem: $x^2+x-2=0$.
Bu denklemin kökleri $x=-2$ ve $x=1$ sayıları olacaktır.
Cevap: $x=-2$ ve $x=1$.

Örnek 5
Denklemi çözün: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Çözüm.
Bir değiştirme sunuyoruz: $t=x+\frac(1)(x)$.
O zamanlar:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ veya $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Şu denklemi elde ettik: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Bu denklemin kökleri çifttir:
$t=-3$ ve $t=2$.
Ters ikameyi tanıtalım:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Ayrı ayrı karar vereceğiz.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
İkinci denklemi çözelim:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Bu denklemin kökü $x=1$ sayısıdır.
Cevap: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Bağımsız çözüm için görevler

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir başvuru gönderdiğinizde, toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil E-posta vb.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• tarafımızdan toplanmıştır kişisel bilgi sizinle iletişime geçmemize ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman, size önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - hukuka, yargı düzenine, yasal işlemlere ve/veya kamudan gelen talep veya taleplere dayalı olarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir açıklamanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek de sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Bu denklemi basitleştirmek için en küçük ortak payda kullanılır. Bu yöntem, verilen denklemi denklemin her iki tarafına birer rasyonel ifadeyle yazamadığınızda (ve çapraz çarpma yöntemini kullandığınızda) kullanılır. Bu yöntem, size 3 veya daha fazla kesirli rasyonel bir denklem verildiğinde kullanılır (iki kesir olması durumunda çapraz çarpma daha iyidir).