Doğrusal eşitsizliklerin çözümü. kare eşitsizlikler

Doğrusal eşitsizlikler nasıl çözülür? Başlangıç ​​olarak, eşitsizlik basitleştirilmelidir: parantezleri açın, benzer terimler verin.

Bir değişkende doğrusal eşitsizlikleri çözme örneklerini düşünün.

Parantezleri genişletiyoruz. Parantezlerin önünde bir çarpan varsa, onu parantez içindeki her terimle çarpın. Parantezlerin önünde artı işareti varsa parantez içindeki karakterler değişmez. Parantezlerin önünde eksi işareti varsa parantez içindeki işaretler ters çevrilir.

Benzer terimler sunuyoruz.

ax + b≤cx + d biçiminde bir eşitsizlik elde ettik. Bilinmeyenleri bir tarafa, bilinenleri diğerine zıt işaretlerle aktarıyoruz (biri önce bilinmeyenleri bir tarafa, diğerinin bildiği ve ancak o zaman benzer terimleri getirebilir).

Eşitsizliğin her iki kısmını da x'in önündeki sayıya bölüyoruz. 8 sıfırdan büyük olduğundan eşitsizlik işareti değişmez:

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Doldurulan sayı doğrusunda -2 noktası işaretlendiğinden. -2'den eksi sonsuza kadar.

Eşitsizlik katı olmadığından ve nokta dolu olduğundan, cevabı köşeli parantez içinde -2 yazın.

Ondalık kesirlerden tam sayılara geçmek için eşitsizliğin her iki tarafını da 10 ile çarpabilirsiniz (bu gerekli değildir. Ondalık kesirlerle çalışabilirsiniz).

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Her iki taraf da pozitif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik işareti değişmez. Her terim 10 ile çarpılmalıdır. Bir çarpımı 10 ile çarparken çarpmanın birleşim özelliğini kullanırız yani sadece bir çarpanı 10 ile çarparız.

Parantezleri genişletmek:

İşte benzer terimler:

Bilinmeyenleri bir tarafa, bilinenleri zıt işaretlerle diğerine aktarıyoruz:

Eşitsizliğin her iki kısmını da x'in önündeki sayıya bölüyoruz. -6 negatif olduğundan, eşitsizlik tersine çevrilir:

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Fraksiyonu azaltmak:

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Eşitsizlik katı olduğundan, -2/3 sayı doğrusunda delinmiş bir nokta ile işaretliyoruz. Tarama sağa, artı sonsuz:

Eşitsizlik katı, nokta delinmiş, bu nedenle parantez içinde -2/3 yazın:

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Parantezleri genişletiyoruz. İki parantezin çarpımının önünde bir eksi işareti varsa, önce çarpma işlemini gerçekleştirmek ve ancak daha sonra parantezleri açmak, her terimin işaretini tersine değiştirmek uygundur:

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

İşte benzer terimler:

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Bilinmeyen - bir yönde, bilinen - diğerinde zıt işaretlerle:

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Başlık = "(! LANG: QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Eşitsizliğin her iki kısmını da x'in önündeki sayıya bölüyoruz. -10'dan beri<0, знак неравенства меняется на противоположный:

Eşitsizlik katı olduğundan, sayı doğrusu üzerinde noktalı bir nokta ile 1,6'yı işaretliyoruz. 1,6'dan tarama, sola, eksi sonsuza gider:

Eşitsizlik katı olduğundan ve nokta delindiğinden, yanıt olarak parantez içinde 1,6 yazın.

Eşitsizlik simgeleri hakkında bilmeniz gerekenler nelerdir? Simge ile eşitsizlik daha fazla (> ), veya az (< ) arandı sıkı. simgelerle daha fazla veya eşit (≥ ), daha az veya eşit (≤ ) arandı sıkı değil. Simge eşit değildir (≠ ) ayrı durur, ancak böyle bir simgeye sahip örneklerin de her zaman çözülmesi gerekir. Ve karar vereceğiz.)

Simgenin kendisinin karar süreci üzerinde çok az etkisi vardır. Ancak çözümün sonunda, son cevabı seçerken, simgenin anlamı tam olarak ortaya çıkıyor! Aşağıda örneklerle ne göreceğiz. Şakalar var...

Eşitsizlikler, eşitlik gibi sadık ve inançsız. Burada her şey basit, hile yok. 5 diyelim > 2 - doğru eşitsizlik. 5 < 2 yanlış.

Bu tür bir hazırlık eşitsizlikler için çalışır herhangi bir tür ve çok basit.) Sadece iki (sadece iki!) temel eylemi doğru bir şekilde gerçekleştirmeniz gerekiyor. Bu eylemler herkese tanıdık geliyor. Ancak karakteristik olan, bu eylemlerdeki pervazlar, eşitsizlikleri çözmedeki ana hatadır, evet ... Bu nedenle, bu eylemleri tekrarlamak gerekir. Bu eylemler şu şekilde adlandırılır:

Eşitsizliklerin özdeş dönüşümleri.

Eşitsizliklerin özdeş dönüşümleri, denklemlerin özdeş dönüşümlerine çok benzer. Aslında asıl sorun bu. Farklılıklar kafayı sıyırıp geçiyor ve ... geldi.) Bu nedenle, bu farklılıkları vurgulayacağım. Yani, eşitsizliklerin ilk özdeş dönüşümü:

1. Eşitsizliğin her iki tarafına da aynı sayıyı veya ifadeyi ekleyebilir (çıkartabilirsiniz). Kimse. Bu eşitsizlik işaretini değiştirmez.

Uygulamada, bu kural, eşitsizliğin sol tarafından sağ tarafa (ve tersi) işaret değişikliği ile terimlerin aktarılması olarak uygulanır. Eşitsizlikle değil, işaret değişikliğiyle! Bire bir kural, denklemler kuralıyla aynıdır. Ancak eşitsizliklerdeki aşağıdaki özdeş dönüşümler, denklemlerdekilerden önemli ölçüde farklıdır. Bu yüzden onları kırmızıyla vurguluyorum:

2. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı sayı ile çarpılabilir (bölünebilir).pozitifnumara. Herhangipozitif Değişmeyecek.

3. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı sayı ile çarpılabilir (bölünebilir).olumsuz numara. Herhangiolumsuznumara. Bundan eşitsizlik işaretitersine değişecektir.

Denklemin hemen hemen her şeyle çarpılabileceğini / bölünebileceğini hatırlarsınız (umarım ...). Ve herhangi bir sayı için ve x ile ifade için. Sadece sıfır değilse. Denklem onun için ne sıcak ne de soğuktur.) Değişmez. Ancak eşitsizlikler çarpma/bölmeye daha duyarlıdır.

Açıklayıcı örnek uzun hafıza için. Şüphesiz bir eşitsizlik yazalım:

5 > 2

Her iki tarafı da çarpın +3, elde ederiz:

15 > 6

Herhangi bir itiraz? İtiraz yok.) Ve orijinal eşitsizliğin her iki tarafını da ile çarparsak -3, elde ederiz:

15 > -6

Ve bu apaçık bir yalandır.) Tamamen yalan! Halkın aldatması! Ancak her şey yerine oturduğundan, eşitsizlik işaretini tam tersine değiştirmeye değer:

15 < -6

Yalanlar ve aldatma hakkında - sadece küfür etmiyorum.) "Eşitsizlik işaretini değiştirmeyi unuttum..."- o ev eşitsizlikleri çözme hatası Bu önemsiz ve karmaşık olmayan kural pek çok insanı incitmiştir! Unutulmuş ...) Yemin ederim. Belki hatırlanır...)

Özellikle dikkatli olanlar, eşitsizliğin x'li bir ifadeyle çarpılamayacağını fark edeceklerdir. Özenli saygı!) Neden olmasın? Cevap basit. Bu ifadenin işaretini x ile bilmiyoruz. Olumlu, olumsuz olabilir... Bu nedenle çarpma işleminden sonra hangi eşitsizliğin işaretini koyacağımızı bilmiyoruz. Değiştirmeli miyim, değiştirmemeli miyim? Bilinmeyen. Tabii ki, bu sınırlama (x ile bir ifade ile çarpma / eşitsizliğin bölünmesi yasağı) atlanabilir. Gerçekten ihtiyacın varsa. Ama bu diğer derslerin konusu.

Eşitsizliklerin tüm özdeş dönüşümleri budur. için çalıştıklarını bir kez daha hatırlatmama izin verin. herhangi eşitsizlikler Ve şimdi belirli türlere geçebilirsiniz.

Doğrusal eşitsizlikler. Çözüm, örnekler.

Doğrusal eşitsizlikler, x'in birinci dereceden olduğu ve x'e bölümün olmadığı eşitsizliklerdir. Tip:

x + 3 > 5x-5

Bu eşitsizlikler nasıl çözülür? Çok kolay çözülebilirler! Yani: yardımla en karışık doğrusal eşitsizliği azaltıyoruz doğrudan cevaba. Bütün çözüm bu. Çözümün ana noktalarını vurgulayacağım. Aptalca hatalardan kaçınmak için.)

Bu eşitsizliği çözeriz:

x + 3 > 5x-5

Doğrusal bir denklemle aynı şekilde çözüyoruz. Tek bir farkla:

Eşitsizliğin işaretini yakından takip ediyoruz!

İlk adım en yaygın olanıdır. X ile - sola, x olmadan - sağa ... Bu ilk özdeş dönüşüm, basit ve sorunsuz.) Sadece transfer edilen üyelerin işaretleri değişmeyi unutma.

Eşitsizlik işareti kalır:

x-5x > -5-3

İşte benzerleri.

Eşitsizlik işareti kalır:

4x > -8

Son özdeş dönüşümü uygulamak için kalır: her iki tarafı da -4'e bölün.

Bölünür olumsuz numara.

Eşitsizlik işareti tersine çevrilir:

x < 2

Cevap bu.

Tüm lineer eşitsizlikler bu şekilde çözülür.

Dikkat! 2. nokta beyaz çizilir, yani. boyasız. İçi boş. Bu, cevaba dahil olmadığı anlamına gelir! Onu bilerek çok sağlıklı çizdim. Böyle bir noktaya (boş, sağlıklı değil!)) Matematikte denir delinme noktası.

Eksen üzerindeki sayıların geri kalanı işaretlenebilir, ancak gerekli değildir. Eşitsizliğimizle ilgisi olmayan yabancı sayılar kafa karıştırıcı olabilir, evet... Sayılardaki artışın ok boyunca gittiğini hatırlamanız yeterlidir, yani. sayılar 3, 4, 5 vb. vardır Sağa iki ve sayılar 1, 0, -1, vb. - Sola.

eşitsizlik x < 2 - sıkı. X kesinlikle ikiden küçüktür. Şüpheniz varsa, kontrol basittir. Eşitsizliğe şüpheli bir sayı ekliyoruz ve "İki ikiden az mı? Elbette hayır!" diye düşünüyoruz. Aynen öyle. eşitsizlik 2 < 2 yanlış. Bir ikili yanıt olarak çalışmaz.

biri iyi mi Kesinlikle. Daha az ... Ve sıfır iyidir ve -17 ve 0.34 ... Evet, ikiden küçük tüm sayılar iyidir! Ve hatta 1.9999 .... En azından biraz, ama daha az!

Şimdi tüm bu sayıları sayı ekseninde işaretleyelim. Nasıl? Burada seçenekler var. İlk seçenek gölgelendirmedir. Fareyi resmin üzerine getirin (veya tabletteki resme dokunun) ve tüm x'lerin gölgeli alanının x koşuluyla eşleştiğini görün. < 2 ... Bu kadar.

İkinci örneği kullanarak ikinci seçeneği ele alalım:

x ≥ -0,5

Ekseni çizin, -0.5 sayısını işaretleyin. Bunun gibi:

Farkı fark ettiniz mi?) Eh, evet, fark etmemek çok zor... Bu nokta siyah! Boyalı. Bu, -0.5 olduğu anlamına gelir cevaba dahildir. Burada, bu arada, biri kontrol edilebilir ve kafası karışabilir. yerine koyuyoruz:

-0,5 ≥ -0,5

Nasıl yani? -0.5, -0.5'ten fazla değil! Ve daha fazla simge var ...

Yanlış bir şey yok. Katı olmayan bir eşitsizlikte, rozete uyan her şey iyidir. VE eşittir iyi ve daha fazla iyi. Bu nedenle, yanıta -0.5 dahildir.

Böylece eksende -0.5 işaretledik, -0.5'ten büyük tüm sayıları işaretlemek için kalır. Bu sefer uygun x değerlerinin alanını işaretliyorum yay(sözden yay) kuluçka yerine. İmleci resmin üzerine getirin ve bu yayı görün.

Gölgeleme ve kemerler arasında çok fazla fark yoktur. Öğretmenin dediği gibi yap. Öğretmen yoksa kemerler çizin. Daha karmaşık görevlerde, gölgeleme daha az nettir. Kafan karışabilir.

Doğrusal eşitsizlikler bu şekilde eksen üzerinde çizilir. devam etmek sonraki özellik eşitsizlikler

Eşitsizliklerin cevabının kaydedilmesi.

Denklemler iyiydi.) x'i bulduk ve cevabı yazdık, örneğin: x = 3. Eşitsizliklerde, cevapları kaydetmenin iki biçimi vardır. Bir - nihai eşitsizlik şeklinde. Basit durumlar için iyi. Örneğin:

x< 2.

Bu tam bir cevap.

Bazen aynı şeyi, ancak farklı bir biçimde, sayısal aralıklarla yazmak gerekir. Sonra kayıt çok bilimsel görünmeye başlar):

х ∈ (-∞; 2)

simgenin altında ∈ kelime saklanıyor "ait".

Kayıt şöyle okunur: x, eksi sonsuzdan ikiye kadar olan aralığa aittir içermiyor. Bu oldukça mantıklı. X, eksi sonsuzdan ikiye kadar tüm olası sayılardan herhangi bir sayı olabilir. İkili X olamaz, bu kelimenin bize söylediği şey "içermiyor".

Ve cevabın neresinde olduğunu görebilirsin "içermiyor"? Bu gerçek cevapta belirtilmiştir yuvarlak ikisinden hemen sonra parantez. İki tane dahil edilirse, parantez Meydan. Bunun gibi:]. Aşağıdaki örnekte böyle bir parantez kullanılmıştır.

Cevabı yazalım: x ≥ -0,5 aralıklarla:

x ∈ [-0.5; + ∞)

Okumak: x, eksi 0,5 aralığına aittir, dahil olmak üzere, artı sonsuz.

Sonsuzluk asla açılamaz. Bu bir sayı değil, bir semboldür. Bu nedenle, bu tür kayıtlarda sonsuzluk her zaman bir parantezin yanındadır.

Bu yazma şekli, birkaç aralıktan oluşan karmaşık cevaplar için uygundur. Ama - sadece son cevaplar için. Daha ileri bir çözümün beklendiği ara sonuçlarda, basit bir eşitsizlik biçimindeki olağan biçimi kullanmak daha iyidir. Bunu ilgili başlıklarda ele alacağız.

Eşitsizlikleri olan popüler işler.

Doğrusal eşitsizliklerin kendileri basittir. Bu nedenle, genellikle görevler daha karmaşık hale gelir. Yani, gerekli olduğunu düşünmek. Alışık değilseniz pek hoş değil.) Ama faydalı. Bu tür görevlere örnekler göstereceğim. Bunları öğrenmen için değil, bu gereksiz. Ve bu tür örneklerle tanışırken korkmamak için. Biraz düşünün - ve her şey basit!)

1. 3x - 3 eşitsizliğinin herhangi iki çözümünü bulun< 0

Ne yapacağınız çok net değilse, matematiğin ana kuralını hatırlayın:

Neyin gerekli olduğunu bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın!)

x < 1

Ne olmuş? Özel birşey yok. Bize ne soruyorlar? Bir eşitsizliği çözen iki özel sayı bulmamız isteniyor. Şunlar. cevaba uygun. 2 herhangi sayılar. Aslında bu utanç verici.) Bir çift 0 ve 0,5 uygundur. Bir çift -3 ve -8. Evet, bu çiftler sonsuzdur! Doğru cevap nedir ?!

Cevap: her şey! Her biri birden küçük olan herhangi bir sayı çifti, doğru cevap olurdu. Ne istediğini yaz. Daha ileri gidelim.

2. Eşitsizliği çözün:

4x - 3 ≠ 0

Bu formdaki görevler nadirdir. Ancak, yardımcı eşitsizlikler olarak, örneğin GDV'yi bulurken veya bir fonksiyonun tanım alanını bulurken sıklıkla karşılaşılır. Böyle bir doğrusal eşitsizlik, sıradan bir doğrusal denklem olarak çözülebilir. "=" işareti dışında yalnızca her yerde ( eşittir) işaretini koy" ≠ " (eşit değildir). Böylece cevaba bir eşitsizlik işaretiyle yaklaşacaksınız:

x ≠ 0,75

Daha fazlası karmaşık örnekler, farklı şekilde yapmak daha iyidir. Eşitsizliği eşitleyin. Bunun gibi:

4x - 3 = 0

Sakince öğretildiği gibi çözün ve cevabı alın:

x = 0.75

Ana şey, en sonunda, son cevabı yazarken, X'i bulduğumuzu unutmayın. eşitlik. Ve ihtiyacımız var - eşitsizlik. Bu nedenle, bu X'e ihtiyacımız yok.) Ve onu doğru simgeyle yazmamız gerekiyor:

x ≠ 0,75

Bu yaklaşım daha az hatayla sonuçlanır. Denklemleri otomatik olarak çözenler. Ve denklemleri çözmeyenler için eşitsizlikler aslında işe yaramaz ...) Popüler bir göreve başka bir örnek:

3. Eşitsizliğin en küçük tamsayı çözümünü bulun:

3 (x - 1) < 5x + 9

İlk olarak, sadece eşitsizliği çözüyoruz. Parantezleri açarız, aktarırız, benzerlerini veririz ... Alırız:

x > - 6

Yanlış !? İşaretleri takip ettiler mi? Ve üyelerin işaretlerinin arkasında ve eşitsizlik işaretinin arkasında ...

Tekrar düşünmek. Hem cevap hem de koşulla eşleşen belirli bir sayı bulmamız gerekiyor. "en küçük tam sayı". Hemen şafak sökmezse, herhangi bir sayıyı alıp tahmin edebilirsiniz. İki, eksi altıdan büyük mü? Kesinlikle! Daha küçük uygun bir sayı var mı? Tabii ki. Örneğin, sıfır -6'dan büyüktür. Ve daha da az? Mümkün olan en küçüğüne ihtiyacımız var! Eksi üç, eksi altıdan fazladır! Deseni zaten kavrayabilir ve aptalca sayıları sıralamayı bırakabilirsiniz, değil mi?)

-6'ya daha yakın bir sayı alıyoruz. Örneğin, -5. Cevap yürütülür, -5 > - 6. -5'ten küçük, -6'dan büyük başka bir sayı bulabilir misiniz? Örneğin, -5.5 ... Dur! bize söylendi tümçözüm! -5.5 yuvarlanmaz! Ve eksi altı? Ah-uh! Eşitsizlik katı, eksi 6, eksi 6'dan az değil!

Bu nedenle doğru cevap -5'tir.

Umarım bir değer seçimi ile genel çözüm temiz. Başka bir örnek:

4. Eşitsizliği çözün:

7 < 3x + 1 < 13

Nasıl! Bu ifadeye denir üçlü eşitsizlik Açıkçası, bu bir eşitsizlikler sistemi için kısaltılmış bir gösterimdir. Ama bu tür üçlü eşitsizlikler hala bazı görevlerde çözülmek zorunda... Herhangi bir sistem olmadan çözülüyor. Aynı özdeş dönüşümler için.

Bu eşitsizliği sadeleştirmek, saf bir xx'e getirmek gerekiyor. Ama ... Neyi nereye transfer etmek !? Şimdi sola-sağa kaymanın olduğunu hatırlamanın zamanı geldi. kısaltılmış form ilk özdeş dönüşüm.

Ve tam form şöyle geliyor: Denklemin (eşitsizlik) her iki tarafına herhangi bir sayı veya ifade ekleyebilir/çıkartabilirsiniz.

Burada üç bölüm var. Bu yüzden üç parçaya da aynı dönüşümleri uygulayacağız!

O halde eşitsizliğin ortasındaki 1'den kurtulalım. Tüm orta kısımdan bir çıkarın. Eşitsizliğin değişmemesi için kalan iki kısımdan 1 çıkarıyoruz. Bunun gibi:

7 -1< 3x + 1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Daha iyi, değil mi?) Üç parçayı da üçe bölmek kalır:

2 < x < 4

Bu kadar. Cevap bu. X, ikiden (dahil değil) dörde (dahil değil) kadar herhangi bir sayı olabilir. Bu cevap da aralıklarla yazılır, bu tür kayıtlar kare eşitsizliğinde olacaktır. İşte onlar en yaygın olanı.

Dersin sonunda en önemli şeyi tekrarlayacağım. Doğrusal eşitsizlikleri çözmedeki başarı, doğrusal denklemleri dönüştürme ve basitleştirme yeteneğine bağlıdır. eğer aynı anda eşitsizlik işaretine dikkat edin, hiçbir sorun olmayacak. Sana dilediğim şey bu. Sorun yok.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama testi. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Eşitsizlikler ve eşitsizlik sistemleri lise cebirinde öğretilen konulardan biridir. Zorluk açısından, en zoru değil, çünkü basit kuralları var (biraz sonra onlar hakkında). Kural olarak, okul çocukları eşitsizlik sistemlerinin çözümünü oldukça kolay öğrenir. Bu aynı zamanda öğretmenlerin öğrencilerini bu konuda basitçe "eğitmeleri" gerçeğinden de kaynaklanmaktadır. Ve bunu yapamazlar, çünkü gelecekte diğer matematiksel değerlerin kullanımı ile incelenir ve ayrıca OGE ve Birleşik Devlet Sınavında kontrol edilir. Okul ders kitaplarında, eşitsizlikler ve eşitsizlik sistemleri konusu çok ayrıntılı olarak açıklanmaktadır, bu nedenle çalışacaksanız, onlara başvurmak en iyisidir. Bu makale yalnızca büyük materyallerin yeniden anlatımıdır ve bazı eksiklikler olabilir.

Eşitsizlikler sistemi kavramı

Bilimsel dile dönersek, "eşitsizlikler sistemi" kavramına bir tanım verebiliriz. Birkaç eşitsizlikle temsil edilen böyle bir matematiksel modeldir. Bu modelden, elbette, bir çözüm gereklidir ve kapasitesi, görevde önerilen sistemin tüm eşitsizlikleri için genel cevap olacaktır (genellikle içinde yazılır, örneğin: "Eşitsizlikler sistemini çözün 4 x + 1> 2 ve 30 - x > 6 ... "). Ancak, çözüm türlerine ve yöntemlerine geçmeden önce başka bir şeyi anlamanız gerekir.

Eşitsizlik sistemleri ve denklem sistemleri

Yeni bir konuyu inceleme sürecinde, sıklıkla yanlış anlamalar ortaya çıkar. Bir yandan, her şey açık ve görevleri çözmeye başlamayı tercih ederim, ancak diğer yandan bazı anlar "gölgede" kalıyor, çok iyi anlaşılmıyorlar. Ayrıca, önceden edinilmiş bilgilerin bazı unsurları yenileriyle iç içe geçebilir. Hatalar genellikle bu örtüşmenin bir sonucu olarak ortaya çıkar.

Bu nedenle, konumuzun analizine geçmeden önce, denklemler ve eşitsizlikler arasındaki farkları, sistemlerini hatırlamak gerekir. Bunu yapmak için, bu matematiksel kavramların ne olduğunu bir kez daha netleştirmeniz gerekiyor. Bir denklem her zaman eşitliktir ve her zaman bir şeye eşittir (matematikte bu kelime "=" işaretiyle gösterilir). Eşitsizlik, bir miktarın diğerinden daha büyük veya daha az olduğu veya bunların aynı olmadığı ifadesini içeren bir modeldir. Bu nedenle, ilk durumda, eşitlikten ve ikincisinde, ismin kendisinden ne kadar açık olursa olsun, ilk verilerin eşitsizliği hakkında konuşmak uygundur. Denklem sistemleri ve eşitsizlikler pratik olarak birbirinden farklı değildir ve çözüm yöntemleri aynıdır. Tek fark, birincisinin eşitlikleri kullanması ve ikincisinin eşitsizlikleri uygulamasıdır.

eşitsizlik türleri

İki tür eşitsizlik vardır: sayısal ve bilinmeyen değişkenli. İlk tür, birbirine eşit olmayan sağlanan değerleri (sayıları) temsil eder, örneğin 8> 10. İkincisi, bilinmeyen bir değişken içeren (herhangi bir harfle gösterilen) eşitsizliklerdir. Latin alfabesi, çoğu zaman X). Bu değişkenin bulunması gerekir. Kaç tane olduğuna bağlı olarak, matematiksel model bir eşitsizlikler (bir değişkenli bir eşitsizlikler sistemi oluşturma) veya birkaç değişkenli (birkaç değişkenli bir eşitsizlikler sistemi oluşturma) arasında ayrım yapar.

Son iki tür, yapılarının derecesine ve çözümün karmaşıklık düzeyine göre basit ve karmaşık olarak ayrılır. Basit olanlara doğrusal eşitsizlikler de denir. Sırayla, katı ve katı olmayan olarak ayrılırlar. Katı olanlar, bir niceliğin zorunlu olarak ya daha az ya da daha çok olması gerektiğini "söylerler", bu nedenle bu, saf haliyle bir eşitsizliktir. Birkaç örnek verilebilir: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5, vb. Katı olmayanlar da eşitliği içerir. Yani, bir nicelik başka bir niceliğe ("≥" işareti) eşit veya daha büyük olabilir veya başka bir nicelikten ("≤" işareti) küçük veya ona eşit olabilir. Doğrusal eşitsizliklerde bile, değişken kökte değildir, karesi yoktur, hiçbir şeye bölünemez, bu yüzden onlara "basit" denir. Karmaşık değişkenler, bilinmeyen değişkenleri içerir ve yürütme gerektiren bulma daha fazla matematiksel işlemler. Genellikle kare, küp veya kök altında bulunurlar, modüler, logaritmik, kesirli vb. olabilirler. Ancak görevimiz eşitsizlik sistemlerinin çözümünü anlamak olduğundan, doğrusal eşitsizlikler sisteminden bahsedeceğiz. Ancak bundan önce, özellikleri hakkında birkaç söz söylenmelidir.

eşitsizliklerin özellikleri

Eşitsizliklerin özellikleri aşağıdaki hükümleri içerir:

1. İşlem kenarların sırasını tersine çevirmek ise eşitsizlik işareti tersine çevrilir (örneğin, t 1 ≤ t 2 ise, o zaman t 2 ≥ t 1).
2. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı sayıyı kendisine eklemenize izin verir (örneğin, t 1 ≤ t 2 ise, o zaman t 1 + sayı ≤ t 2 + sayı).
3. Aynı yönün işaretine sahip iki veya daha fazla eşitsizlik, sol ve sağ taraflarını toplamayı mümkün kılar (örneğin, t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4 ise, o zaman t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
4. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı pozitif sayı ile çarpılmasına veya bölünmesine izin verir (örneğin, t 1 ≤ t 2 ve sayı ≤ 0 ise, o zaman sayı · t 1 ≥ sayı · t 2).
5. Pozitif terimli ve aynı yönün işaretli iki veya daha fazla eşitsizliği kendi aralarında çarpmamıza izin verir (örneğin, eğer t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 sonra t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
6. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı negatif sayı ile çarpılmasına veya bölünmesine izin verir, ancak eşitsizliğin işareti değişir (örneğin, t 1 ≤ t 2 ve sayı ≤ 0 ise, o zaman t 1 ≥ t 2 sayısı) .
7. Tüm eşitsizlikler geçişlilik özelliğine sahiptir (örneğin, t 1 ≤ t 2 ve t 2 ≤ t 3 ise, o zaman t 1 ≤ t 3).

Şimdi, eşitsizliklerle ilgili teorinin ana hükümlerini inceledikten sonra, sistemlerini çözmek için doğrudan kuralların değerlendirilmesine geçebiliriz.

Eşitsizlik sistemlerini çözme. Genel bilgi. Çözümler

Yukarıda bahsedildiği gibi çözüm, verilen sistemin tüm eşitsizliklerine uyan değişkenin değerleridir. Eşitsizlik sistemlerini çözmek, sonuçta tüm sisteme bir çözüme yol açan veya hiçbir çözümü olmadığını kanıtlayan matematiksel eylemlerin uygulanmasıdır. Bu durumda, değişkenin boş bir sayısal kümeye atıfta bulunduğunu söylerler (şu şekilde yazılır: değişken harf∈ ("ait" işareti) ø ("boş küme" işareti), örneğin, x ∈ ø (şöyle okuyun: "" x "değişkeni boş kümeye aittir"). Eşitsizlik sistemlerini çözmenin birkaç yolu vardır: grafiksel, cebirsel, ikame yöntemi. Birkaç bilinmeyen değişkeni olan matematiksel modellere ait olduklarını belirtmekte fayda var. Yalnızca bir tane olması durumunda, boşluk yöntemi işe yarayacaktır.

grafik yolu

Birkaç bilinmeyenli (iki veya daha fazla) bir eşitsizlik sistemini çözmenize izin verir. Bu yöntem sayesinde doğrusal eşitsizlikler sistemi oldukça kolay ve hızlı bir şekilde çözülür, bu nedenle en yaygın yöntemdir. Bunun nedeni, bir grafik çizmenin matematiksel işlem yazma miktarını azaltmasıdır. Çok fazla iş yapıldığında ve biraz çeşitlilik istediğinizde, kalemden biraz dikkat dağıtmak, bir cetvelle bir kalem almak ve onların yardımıyla daha fazla eyleme geçmek özellikle keyifli hale gelir. Ancak Bu method Bazıları görevden ayrılmaları ve zihinsel aktivitelerini çizime çevirmeleri gerektiğinden hoşlanmazlar. Ancak, bu çok güçlü bir yoldur.

Eşitsizlikler sistemini grafiksel bir yöntemle çözmek için, her eşitsizliğin tüm terimlerini sol taraflarına aktarmak gerekir. İşaretler ters çevrilir, sağa sıfır yazılmalı, ardından her eşitsizlik ayrı ayrı yazılmalıdır. Sonuç olarak, eşitsizliklerden fonksiyonlar elde edilecektir. Bundan sonra, bir kalem ve bir cetvel çıkarabilirsiniz: şimdi ortaya çıkan her fonksiyonun bir grafiğini çizmeniz gerekiyor. Kesişme aralıklarında olacak tüm sayı kümesi, eşitsizlikler sistemine bir çözüm olacaktır.

cebirsel yol

Bilinmeyen iki değişkenli bir eşitsizlik sistemini çözmeyi sağlar. Ayrıca, eşitsizlikler aynı eşitsizlik işaretine sahip olmalıdır (yani, yalnızca "büyüktür" işaretini veya yalnızca "küçük" işaretini içermelidirler, vb.) Sınırlamalarına rağmen, bu yöntem de daha karmaşıktır. İki aşamada uygulanır.

İlki, bilinmeyen değişkenlerden birinden kurtulmaya yönelik eylemleri içerir. Önce onu seçmeniz, ardından bu değişkenin önünde sayıların olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. Eğer orada değillerse (değişken tek bir harf gibi görünecektir), o zaman hiçbir şeyi değiştirmeyiz, eğer varsa (değişkenin türü, örneğin, bu - 5y veya 12y olacaktır), o zaman gerekli her eşitsizlikte seçilen değişkenin önündeki sayının aynı olduğundan emin olmak için. Bunu yapmak için, eşitsizliklerin her terimini ortak bir faktörle çarpmanız gerekir, örneğin, ilk eşitsizlik 3y ve ikinci 5y içeriyorsa, o zaman ilk eşitsizliğin tüm terimlerini 5 ile çarpmanız gerekir ve saniye 3. Sırasıyla 15y ve 15y elde edersiniz.

Çözümün ikinci aşaması. Her bir eşitsizliğin sol tarafını, her terimin işaretinin tersi yönde bir değişiklikle sağ taraflarına aktarmak, sağa sıfır yazmak gerekir. Sonra eğlenceli kısım gelir: eşitsizliklerin eklenmesi sırasında seçilen değişkenden (başka bir şekilde "indirgeme" olarak adlandırılır) kurtulmak. Sonuç, çözülmesi gereken tek değişkenli bir eşitsizliktir. Bundan sonra, aynı şeyi sadece başka bir bilinmeyen değişkenle yapmalısınız. Elde edilen sonuçlar sistemin çözümü olacaktır.

İkame yöntemi

Yeni bir değişken eklemenin mümkün olduğu durumlarda bir eşitsizlik sistemini çözmenizi sağlar. Genellikle bu yöntem, eşitsizliğin bir terimindeki bilinmeyen değişken dördüncü güce yükseltildiğinde ve diğer terimde karesi alındığında kullanılır. Böylece bu yöntem, sistemdeki eşitsizlik derecesini azaltmayı amaçlamaktadır. Bu şekilde x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 örneğinin eşitsizliği aşağıdaki gibi çözülür. Yeni bir değişken tanıtıldı, örneğin t. "Let t = x 2" yazarlar, ardından model yeni bir biçimde yeniden yazılır. Bizim durumumuzda t 2 - t - 1 ≤0 elde ederiz. Bu eşitsizliğin aralıklar yöntemiyle (biraz sonra) çözülmesi, ardından X değişkenine geri dönmesi ve ardından aynısını başka bir eşitsizlikle yapması gerekir. Alınan cevaplar sistemin çözümü olacaktır.

Aralık yöntemi

Bu, eşitsizlik sistemlerini çözmenin en basit yoludur ve aynı zamanda evrensel ve yaygındır. Lisede ve hatta lisede kullanılır. Özü, öğrencinin bir deftere çizilen sayı doğrusunda eşitsizlik aralıkları araması gerçeğinde yatmaktadır (bu bir grafik değil, sadece sayıların olduğu sıradan bir satırdır). Eşitsizlik aralıklarının kesiştiği yerde, sisteme bir çözüm bulunur. Aralık yöntemini kullanmak için şu adımları izlemeniz gerekir:

1. Her eşitsizliğin tüm üyeleri, tersine bir işaret değişikliği ile sol tarafa aktarılır (sağda sıfır yazılır).
2. Eşitsizlikler ayrı ayrı yazılır, her birinin çözümü belirlenir.
3. Sayı doğrusunda eşitsizliklerin kesişimlerini bulun. Bu kavşaklarda bulunan tüm numaralar çözüm olacaktır.

Hangi yolu kullanmalı?

Açıkçası, en kolay ve en uygun görünen, ancak görevlerin belirli bir yöntem gerektirdiği zamanlar vardır. Çoğu zaman, bir grafik kullanarak veya aralık yöntemini kullanarak çözmeniz gereken içlerinde yazılır. Cebirsel yöntem ve ikame, oldukça karmaşık ve kafa karıştırıcı oldukları için çok nadiren kullanılır veya hiç kullanılmaz ve ayrıca, eşitsizlikleri değil, denklem sistemlerini çözmek için daha fazla kullanılırlar, bu nedenle grafikler ve aralıklar çizmeye başvurmalısınız. Matematiksel işlemlerin verimli ve hızlı bir şekilde yürütülmesine katkıda bulunamayacak ancak katkıda bulunabilecek görünürlük sağlarlar.

bir şey yolunda gitmezse

Cebirde belirli bir konunun incelenmesi sırasında, doğal olarak anlaşılmasıyla ilgili sorunlar ortaya çıkabilir. Ve bu normaldir, çünkü beynimiz anlamayacak şekilde tasarlanmıştır. karmaşık malzeme bir kerede. Genellikle bir paragrafı yeniden okumanız, bir öğretmenin yardımını kullanmanız veya tipik problemleri çözme alıştırması yapmanız gerekir. Bizim durumumuzda, örneğin şöyle görünürler: "3 x + 1 ≥ 0 ve 2 x - 1> 3 eşitsizlik sistemini çözün". Bu nedenle, kişisel bağlılık, dışarıdan yardım ve uygulama, herhangi bir karmaşık konunun anlaşılmasına yardımcı olur.

Reşebnik mi?

Ve reshebnik de çok uygundur, sadece ödevi aldatmak için değil, kendi kendine yardım için. Onlarda, bir çözümü olan eşitsizlik sistemlerini bulabilir, onlara (şablonlar olarak) bakabilir, çözümün yazarının görevle tam olarak nasıl başa çıktığını anlamaya çalışabilir ve ardından bunu bağımsız bir sırayla yapmaya çalışabilirsiniz.

sonuçlar

Cebir okuldaki en zor derslerden biridir. Peki, bu konuda ne yapabilirsin? Matematik her zaman böyle olmuştur: Bazı insanlar için kolay gelir, ancak diğerleri için zordur. Ama her durumda, unutulmamalıdır ki genel eğitim programı herhangi bir öğrencinin halledebileceği şekilde inşa edilmiştir. Ek olarak, çok sayıda asistan akılda tutulmalıdır. Bazılarından yukarıda bahsedilmiştir.

Şimdi a x + b doğrusal eşitsizliklerinin nasıl çözüldüğünü bulabiliriz.<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Bunları çözmenin ana yolu, ≠ 0'a ulaşmayı mümkün kılan eşdeğer dönüşümleri kullanmaktır. temel eşitsizlikler tür x

, ≥), p, istenen çözüm olan bir sayıdır ve a = 0 için - a formunun sayısal eşitsizliklerine

, ≥), orijinal eşitsizliğin çözümü hakkında bir sonuca varılır. Her şeyden önce analiz edeceğiz.

Doğrusal eşitsizliklerin çözümüne bir değişkende ve diğer konumlardan bakmak da zarar vermez. Bu nedenle, doğrusal bir eşitsizliği grafiksel olarak ve aralıklar yöntemiyle nasıl çözebileceğinizi de göstereceğiz.

Eşdeğer dönüşümleri kullanma

ax + b doğrusal eşitsizliğini çözmemiz gerektiğini varsayalım.<0 (≤, >, ≥). Eşdeğer eşitsizlik dönüşümlerini kullanarak bunun nasıl yapıldığını gösterelim.

Bu durumda yaklaşımlar, x değişkeninde a katsayısının sıfıra eşit veya eşitsiz olmasına bağlı olarak farklılık gösterir. Onları sırayla ele alalım. Ayrıca, düşünürken üç noktalı bir şemaya bağlı kalacağız: önce sürecin özünü, ardından doğrusal eşitsizliği çözme algoritmasını vereceğiz ve son olarak tipik örneklere çözümler vereceğiz.

İle başlayalım a x + b doğrusal eşitsizliğini çözmek için algoritma<0 (≤, >, ≥) için ≠ 0.

• İlk olarak, b sayısı, zıt işaretli eşitsizliğin sağ tarafına taşınır. Bu, a x eşdeğer eşitsizliğine geçmemizi sağlar.<−b (≤, >, ≥).
• İkinci olarak, elde edilen eşitsizliğin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir a sayısına bölünür. Ayrıca, a pozitif bir sayıysa eşitsizlik işareti korunur ve a negatif bir sayıysa eşitsizlik işareti tersine çevrilir. Sonuç, orijinal doğrusal eşitsizliğe eşdeğer olan temel bir eşitsizliktir, bu da cevaptır.

Sesli algoritmanın örneklerle nasıl kullanılacağını anlamaya devam ediyor. ≠ 0 için doğrusal eşitsizlikleri çözmek için nasıl kullanıldığını düşünün.

Örnek.

3 x + 12≤0 eşitsizliğini çözün.

Çözüm.

Bu lineer eşitsizlik için a = 3 ve b = 12'ye sahibiz. Açıkçası, x değişkenindeki a katsayısı sıfır değildir. Yukarıda verilen ilgili çözüm algoritmasını kullanalım.

İlk olarak, 12 terimini eşitsizliğin sağ tarafına aktarıyoruz, işaretini değiştirmeyi hatırlayarak, yani sağ tarafta −12 görünecek. Sonuç olarak, 3 x≤ − 12 eşdeğer eşitsizliğine ulaşıyoruz.

İkinci olarak, elde edilen eşitsizliğin her iki tarafını da 3'e böleriz, çünkü 3 pozitif bir sayı olduğundan eşitsizliğin işareti değişmez. Elimizde (3 x): 3≤ (−12): 3 var, bu da x≤ − 4 ile aynı.

Elde edilen temel eşitsizlik x≤ − 4, orijinal doğrusal eşitsizliğe eşdeğerdir ve istenen çözümdür.

Dolayısıyla, 3 x + 12≤0 doğrusal eşitsizliğinin çözümü, eksi dörtten küçük veya ona eşit herhangi bir gerçek sayıdır. Cevap, x≤ − 4 eşitsizliğine karşılık gelen sayısal bir aralık şeklinde, yani (−∞, −4] şeklinde de yazılabilir.

Doğrusal eşitsizliklerle çalışma becerisi kazanmış olduklarından, çözümleri açıklama yapılmadan kısaca yazılabilir. Bu durumda, başlangıçtaki doğrusal eşitsizlik önce yazılır ve çözümün her adımında elde edilen eşdeğer eşitsizliklerin altına yazılır:
3 x + 12≤0;
3 x≤ − 12;
x≤ − 4.

Yanıt vermek:

x≤ − 4 veya (−∞, −4].

Örnek.

−2.7 · z> 0 doğrusal eşitsizliğinin tüm çözümlerini belirtin.

Çözüm.

Burada, z değişkenindeki a katsayısı -2,7'dir. Ve b katsayısı açık bir biçimde yoktur, yani sıfıra eşittir. Bu nedenle, bir değişkenli doğrusal eşitsizliği çözmek için algoritmanın ilk adımının gerçekleştirilmesi gerekmez, çünkü sıfırın soldan sağa aktarılması orijinal eşitsizliğin biçimini değiştirmeyecektir.

-2,7 negatif bir sayı olduğundan, eşitsizliğin işaretini tersine çevirmeyi hatırlayarak eşitsizliğin her iki tarafını da -2,7'ye bölmek kalır. Sahibiz (−2.7 z): (- 2.7)<0:(−2,7) , ve sonra z<0 .

Şimdi kısaca:
−2.7 z> 0;
z<0 .

Yanıt vermek:

z<0 или (−∞, 0) .

Örnek.

eşitsizliği çöz .

Çözüm.

-5'e eşit x değişkeni için a katsayısı ve -15/22 fraksiyonuna karşılık gelen b katsayısı ile doğrusal bir eşitsizliği çözmemiz gerekiyor. Bilinen şemaya göre hareket ediyoruz: ilk önce, -15/22'yi zıt işaretle sağ tarafa aktarıyoruz, ardından eşitsizliğin her iki tarafını da -5 ile negatif bir sayıya bölüyoruz ve eşitsizliğin işaretini değiştiriyoruz. :

Sağ taraftaki son geçiş kullanır , sonra çalışır .

Yanıt vermek:

Şimdi a = 0 olduğu duruma dönüyoruz. Doğrusal eşitsizliği çözme ilkesi a x + b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Neye dayanıyor? Çok basit: eşitsizliğin çözümünün tanımı üzerine. Nasıl? İşte nasıl: orijinal doğrusal eşitsizliğin yerine x değişkeninin hangi değerini koyarsak koyalım, b biçiminde sayısal bir eşitsizlik elde ederiz.<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Yukarıdaki mantığı şu şekilde formüle edelim: doğrusal eşitsizlikleri çözmek için algoritma 0 x + b<0 (≤, >, ≥) :

• Sayısal eşitsizliği göz önünde bulundurun b<0 (≤, >, ≥) ve
• eğer doğruysa, orijinal eşitsizliğin çözümü herhangi bir sayıdır;
• doğru değilse, orijinal doğrusal eşitsizliğin çözümü yoktur.

Şimdi örneklerle çözelim.

Örnek.

0 x + 7> 0 eşitsizliğini çözün.

Çözüm.

x değişkeninin herhangi bir değeri için, 0 x + 7> 0 doğrusal eşitsizliği, 7> 0 sayısal eşitsizliğine dönüşür. Son eşitsizlik doğrudur, bu nedenle herhangi bir sayı orijinal eşitsizliğin bir çözümüdür.

Yanıt vermek:

çözüm herhangi bir sayıdır veya (−∞, + ∞).

Örnek.

Çözüm, 0 x − 12.7≥0 doğrusal eşitsizliğine sahip mi?

Çözüm.

x değişkeninin yerine herhangi bir sayı koyarsanız, orijinal eşitsizlik −12.7≥0 sayısal eşitsizliğine dönüşür ki bu yanlıştır. Bu, hiçbir sayının 0 x − 12.7≥0 doğrusal eşitsizliğinin çözümü olmadığı anlamına gelir.

Yanıt vermek:

hayır, değil.

Bu bölümün sonunda, katsayıları sıfır olan iki doğrusal eşitsizliğin çözümlerini inceleyelim.

Örnek.

0 x + 0> 0 ve 0 x + 0≥0 doğrusal eşitsizliklerinden hangisinin çözümü yoktur ve hangisinin sonsuz sayıda çözümü vardır?

Çözüm.

x değişkeni yerine herhangi bir sayı konulursa, ilk eşitsizlik 0> 0 ve ikinci - 0≥0 biçimini alacaktır. Birincisi yanlış, ikincisi doğru. Sonuç olarak, 0 x + 0> 0 doğrusal eşitsizliğinin çözümü yoktur ve 0 x + 0≥0 eşitsizliğinin sonsuz sayıda çözümü vardır, yani çözümü herhangi bir sayıdır.

Yanıt vermek:

0 x + 0> 0 eşitsizliğinin çözümü yoktur ve 0 x + 0≥0 eşitsizliğinin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Aralıklar yöntemiyle

Genel olarak, okul cebir dersinde aralıklar yöntemi çalışılır, daha sonra doğrusal eşitsizlikleri tek değişkenli çözme konusu işlenir. Ancak aralık yöntemi, doğrusal olanlar da dahil olmak üzere çeşitli eşitsizlikleri çözmenize izin verir. Bu nedenle, üzerinde duralım.

x değişkeninin sıfırdan farklı bir katsayısı ile doğrusal eşitsizlikleri çözmek için aralıklar yöntemini uygulamanın tavsiye edilir olduğuna hemen dikkat edin. Aksi takdirde, bir önceki paragrafın sonunda incelenen yöntemi kullanarak eşitsizliği çözme konusunda bir sonuca varmak daha hızlı ve daha uygundur.

Aralık yöntemi ima eder

• bizim durumumuzda, eşitsizliğin sol tarafına karşılık gelen işlevi tanıtmak - doğrusal fonksiyon y = bir x + b,
• alanı aralıklara bölen sıfırlarını bulmak,
• lineer eşitsizliğin çözümü hakkında bir sonuca varılan bu aralıklarda fonksiyonun değerlerine sahip olan işaretlerin belirlenmesi.

Bu anları toplayalım algoritma ax + b lineer eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini gösteren ,<0 (≤, >, ≥) a ≠ 0 için aralık yöntemiyle:

• a x + b = 0'ın çözüldüğü y = a x + b fonksiyonunun sıfırları bulunur. Bilindiği gibi, bir ≠ 0 için x 0 ile gösterdiğimiz benzersiz bir kökü vardır.
• Oluşturulur ve üzerinde x 0 koordinatına sahip bir nokta görüntülenir. Ayrıca, katı bir eşitsizlik çözülürse (işaretli< или >), o zaman bu nokta delinir (boş bir merkezle) ve katı değilse (≤ veya ≥ işaretiyle), sıradan bir nokta konur. Bu nokta koordinat çizgisini iki aralığa (−∞, x 0) ve (x 0, + ∞) böler.
• Bu aralıklarda y = ax + b fonksiyonunun işaretleri belirlenir. Bunun için (−∞, x 0) aralığının herhangi bir noktasında bu fonksiyonun değeri hesaplanır ve bu değerin işareti (−∞, x 0) aralığında istenen işaret olacaktır. Benzer şekilde (x 0, + ∞) aralığındaki işaret, bu aralığın herhangi bir noktasında y = a x + b fonksiyonunun değerinin işaretiyle çakışır. Ancak bu hesaplamalar olmadan yapabilir ve a katsayısının değerine göre işaretler hakkında sonuçlar çıkarabilirsiniz: a> 0 ise, o zaman (−∞, x 0) ve (x 0, + ∞) aralıklarında işaretler olacaktır. sırasıyla - ve + ve a > 0 ise + ve -.
• > veya ≥ işaretli eşitsizlik çözülürse, artı işareti olan aralığın üzerine tarama yapılır ve işaretlerle eşitsizlikler varsa< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Aralık yöntemiyle doğrusal bir eşitsizliği çözmenin bir örneğini düşünün.

Örnek.

−3 x + 12> 0 eşitsizliğini çözün.

Çözüm.

Aralık yöntemini analiz eder etmez, onu kullanacağız. Algoritmaya göre, önce −3 x + 12 = 0, −3 x = −12, x = 4 denkleminin kökünü buluyoruz. Sonra, bir koordinat çizgisi çizeriz ve üzerinde koordinat 4 olan bir noktayı işaretleriz ve katı eşitsizliği çözdüğümüz için bu nokta delinir:

Şimdi aralıklardaki işaretleri tanımlıyoruz. (−∞, 4) aralığındaki işareti belirlemek için, örneğin x = 3 için y = −3 x + 12 fonksiyonunun değerini hesaplayabilirsiniz. -3 · 3 + 12 = 3> 0'a sahibiz, yani bu aralıkta bir + işareti var. Başka bir aralıktaki (4, + ∞) işareti belirlemek için, örneğin x = 5 noktasında y = −3 x + 12 fonksiyonunun değerini hesaplayabilirsiniz. -3 5 + 12 = -3 var<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

> işareti ile eşitsizliği çözdüğümüz için + işareti ile boşluk üzerinden taramayı çiziyoruz, çizim şekli alıyor.

Ortaya çıkan görüntüden, istenen çözümün (−∞, 4) veya başka bir gösterimde x olduğu sonucuna varıyoruz.<4 .

Yanıt vermek:

(−∞, 4) veya x<4 .

grafiksel olarak

Tek değişkenli lineer eşitsizliklerin çözümünün geometrik yorumu hakkında fikir sahibi olmakta fayda var. Bunu elde etmek için, aynı sol tarafa sahip dört doğrusal eşitsizliği ele alalım: 0,5 x − 1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 ve 0,5 x − 1≥0, çözümleri x'tir<2 , x≤2 , x>2 ve x≥2 ve ayrıca y = 0,5 x − 1 doğrusal fonksiyonunun grafiğini gösterir.

bunu görmek kolay

• 0,5 x − 1 eşitsizliğinin çözümü<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• 0,5 x − 1≤0 eşitsizliğinin çözümü, y = 0,5 x − 1 fonksiyonunun grafiğinin Ox ekseninin altında olduğu veya onunla çakıştığı (başka bir deyişle, apsis ekseninin üstünde değil),
• benzer şekilde, 0,5 x − 1> 0 eşitsizliğinin çözümü, fonksiyonun grafiğinin Ox ekseninin üzerinde olduğu aralıktır (grafiğin bu kısmı kırmızı ile gösterilmiştir),
• 0,5 x − 1≥0 eşitsizliğinin çözümü, fonksiyonun grafiğinin apsis ekseninin üzerinde olduğu veya çakıştığı aralıktır.

Eşitsizlikleri çözmenin grafik yolu, özellikle doğrusaldır ve eşitsizliğin sol tarafına karşılık gelen fonksiyonun grafiğinin, eşitsizliğin sağ tarafına karşılık gelen fonksiyonun grafiğinin üstünde, altında, altında veya üstünde bulunmadığı aralıkların bulunmasını ifade eder. Doğrusal eşitsizlik durumumuzda, sol tarafa karşılık gelen fonksiyon y = a x + b ve sağ taraf y = 0'dır ve bu da Ox ekseni ile çakışmaktadır.

Sağlanan bilgiler göz önüne alındığında, formüle etmek kolaydır doğrusal eşitsizlikleri grafiksel olarak çözmek için algoritma:

• y = a x + b fonksiyonunun grafiği çizilir (şematik olarak yapabilirsiniz) ve
• a x + b eşitsizliğini çözerken<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• a x + b≤0 eşitsizliğinin çözümünde grafiğin Ox ekseninin altında veya çakıştığı yerde aralık belirlenir,
• a x + b> 0 eşitsizliğini çözerken, grafiğin Ox ekseninin üzerinde olduğu aralık belirlenir,
• a · x + b≥0 eşitsizliğini çözerken, grafiğin daha yüksek olduğu veya Ox ekseniyle çakıştığı aralık belirlenir.

Örnek.

eşitsizliği çöz grafiksel olarak.

Çözüm.

Doğrusal bir fonksiyonun grafiğinin bir taslağını çizin ... Bu, x'deki katsayı negatif olduğu için azalan düz bir çizgidir. Ayrıca apsis ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatına da ihtiyacımız var, bu denklemin köküdür. hangisine eşittir. İhtiyaçlarımız için Oy eksenini tasvir etmemize bile gerek yok. Yani şematik çizimimiz şöyle görünecek

Eşitsizliği > işaretiyle çözdüğümüz için fonksiyonun grafiğinin Ox ekseninin üzerinde olduğu aralıkla ilgileniyoruz. Anlaşılır olması için, grafiğin bu bölümünü kırmızı ile vurgularız ve bu bölüme karşılık gelen aralığı kolayca belirlemek için, şekildeki gibi, grafiğin seçilen bölümünün bulunduğu koordinat düzleminin parçasını kırmızı ile vurgulayın. altında:

Bizi ilgilendiren boşluk, Ox ekseninin kırmızı ile vurgulanan kısmıdır. Açıkçası bu açık bir sayı ışını ... Bu istenen çözümdür. Eşitsizliği > işaretiyle değil de katı olmayan eşitsizlik işareti ≥ ile çözersek, bu noktada fonksiyonun grafiğinden beri cevabı eklememiz gerekeceğini unutmayın. y = 7 ile aynı olan .y = 0 x + 7, Ox ekseni ile çakışır, koordinat düzleminde Ox eksenine paralel ve onun üzerinde uzanan düz bir çizgi tanımlar. Bu nedenle, 0 x + 7 eşitsizliği<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

Ve aynı y = 0 olan y = 0 x + 0 fonksiyonunun grafiği, Ox eksenine denk gelen düz bir çizgidir. Bu nedenle, 0 x + 0≥0 eşitsizliğinin çözümü tüm gerçek sayıların kümesidir.

Yanıt vermek:

ikinci eşitsizlik, çözümü herhangi bir gerçek sayıdır.

Eşitsizlikler Lineer'e İndirgeniyor

Eşdeğer dönüşümleri kullanan çok sayıda eşitsizlik, eşdeğer bir doğrusal eşitsizlik ile değiştirilebilir, başka bir deyişle, doğrusal bir eşitsizliğe indirgenebilir. Böyle eşitsizliklere denir doğrusala indirgeyen eşitsizlikler.

Okulda, doğrusal eşitsizliklerin çözümüyle neredeyse aynı anda, doğrusal eşitsizliklere indirgenen basit eşitsizlikleri de dikkate alırlar. Özel durumları temsil ederler tam eşitsizlikler yani sol ve sağ kısımlarında temsil eden veya temsil eden bütün ifadeler vardır. doğrusal iki terimli, veya ve tarafından onlara dönüştürülür. Açıklık sağlamak için, bu tür eşitsizliklere birkaç örnek veriyoruz: 5−2 x> 0,7 (x − 1) + 3≤4 x − 2 + x, .

Yukarıda belirtilenlere form olarak benzer olan eşitsizlikler her zaman doğrusal olanlara indirgenebilir. Bu, parantez açarak, benzer terimleri atarak, terimleri yerlerde yeniden düzenleyerek ve terimleri eşitsizliğin bir tarafından zıt işaretli diğerine aktararak yapılabilir.

Örneğin, 5−2 x> 0 eşitsizliğini lineer olana indirgemek için, sol tarafındaki terimleri yer yer yeniden düzenlemek yeterlidir, −2 x + 5> 0 elde ederiz. İkinci eşitsizlik 7 (x − 1) + 3≤4 x − 2 + x'i doğrusal bir eşitsizliğe azaltmak için, biraz daha harekete ihtiyacınız var: sol tarafta parantezleri açın 7 x − 7 + 3≤4 x − 2 + x, sonra Bunun için her iki tarafta da benzer terimler sunuyoruz 7x − 4≤5x − 2, ardından terimleri sağdan sola aktarıyoruz 7x − 4−5x + 2≤0 ve son olarak benzerlerini sunuyoruz sol taraftaki terimler 2 X − 2≤0. Benzer şekilde, üçüncü eşitsizlik de doğrusal bir eşitsizliğe indirgenebilir.

Bu tür eşitsizlikler her zaman doğrusala indirgenebileceğinden, bazı yazarlar bunları doğrusal olarak da adlandırmaktadır. Ama yine de onları doğrusala indirgenebilir olarak kabul edeceğiz.

Şimdi bu tür eşitsizliklerin neden doğrusal eşitsizliklerle birlikte ele alındığı ortaya çıkıyor. Ve çözümlerinin ilkesi kesinlikle aynıdır: eşdeğer dönüşümler gerçekleştirerek, istenen çözümler olan temel eşitsizliklere indirgenebilirler.

Bu tür bir eşitsizliği çözmek için önce onu doğrusal eşitsizliğe indirgeyebilir ve sonra bu doğrusal eşitsizliği çözebilirsiniz. Ancak bunu yapmak daha rasyonel ve daha uygundur:

• parantezleri genişlettikten sonra, eşitsizliğin solundaki değişkenle tüm terimleri ve sağdaki tüm sayıları toplayın,
• sonra benzer terimler verin,
• ve sonra - elde edilen eşitsizliğin her iki tarafını x'deki katsayıya bölün (tabii ki sıfırdan farklıysa). Bu cevabı verecektir.

Örnek.

5 (x + 3) + x≤6 (x − 3) +1 eşitsizliğini çözün.

Çözüm.

Önce parantezleri açıyoruz ve sonuç olarak 5 x + 15 + x≤6 x − 18 + 1 eşitsizliğine ulaşıyoruz. Şimdi benzer terimleri veriyoruz: 6 x + 15≤6 x − 17. Sonra terimleri sol taraftan aktarıyoruz, 6x + 15−6x + 17≤0 elde ediyoruz ve yine benzer terimleri getiriyoruz (ki bu bizi 0x + 32≤0 lineer eşitsizliğine götürüyor) ve 32≤0 elde ediyoruz. Böylece, orijinal eşitsizliğin hiçbir çözümü olmadığı sonucuna vardığımız yanlış sayısal eşitsizliğe geldik.

Yanıt vermek:

çözüm yok.

Sonuç olarak, doğrusal eşitsizliklere veya yukarıda ele alınan türden eşitsizliklere indirgenen birçok başka eşitsizlik olduğunu not ediyoruz. örneğin çözüm üstel eşitsizlik 5 2 x − 1 ≥1, 2 x − 1≥0 doğrusal eşitsizliğinin çözümüne indirgenir. Ancak bunun hakkında, ilgili formun eşitsizliklerinin çözümlerini inceleyerek konuşacağız.

Bibliyografya.

• Cebir: Araştırma. 8 cl için Genel Eğitim. kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E.: Eğitim, 2008 .-- 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Cebir: 9. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için. kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E.: Eğitim, 2009 .-- 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• AG Mordkovich Cebir. 8. sınıf. 2 de 1. Bölüm Öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları/ A.G. Mordkovich. - 11. baskı, Silindi. - E.: Mnemozina, 2009 .-- 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• AG Mordkovich Cebir. 9. sınıf 2 de Bölüm 1. Eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. baskı, Silindi. - E.: Mnemozina, 2011 .-- 222 s.: Hasta. ISBN 978-5-346-01752-3.
• AG Mordkovich Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. Derece 11. 2 de Bölüm 1. Eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı (profil seviyesi) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. baskı, Silindi. - E.: Mnemosina, 2008 .-- 287 s.: Hasta. ISBN 978-5-346-01027-2.

Örneğin, \ (x> 5 \) ifadesi bir eşitsizliktir.

Eşitsizlik türleri:

\ (a \) ve \ (b \) sayılarsa veya ise, eşitsizliğe denir sayısal... Aslında, bu sadece iki sayının bir karşılaştırmasıdır. Bu tür eşitsizlikler alt bölümlere ayrılır: sadık ve vefasız.

Örneğin:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\ (17 + 3 \ geq 115 \) geçersiz bir sayısal eşitsizliktir, çünkü \ (17 + 3 = 20 \) ve \ (20 \) \ (115 \)'den küçüktür (büyük veya eşit değildir).

\ (a \) ve \ (b \) bir değişken içeren ifadelerse, değişken eşitsizlik... Bu tür eşitsizlikler, içeriğe bağlı olarak türlere ayrılır:

Eşitsizliğin çözümü nedir?

Eşitsizlikte bir değişken yerine bir sayı yerine koyarsanız, sayısal bir sayıya dönüşecektir.

x için verilen değer, orijinal eşitsizliği gerçek sayısala çevirirse, buna denir. eşitsizliğin çözümü... Değilse, bu değer bir çözüm değildir. ve eşitsizliği çözmek- tüm çözümlerini bulmanız (veya var olmadığını göstermeniz) gerekir.

Örneğin,\ (7 \) sayısını \ (x + 6> 10 \) doğrusal eşitsizliğinin yerine koyarsak, doğru sayısal eşitsizliği elde ederiz: \ (13> 10 \). Ve \ (2 \) yerine koyarsak, yanlış bir sayısal eşitsizlik \ (8> 10 \) olacaktır. Yani, \ (7 \) orijinal eşitsizliğin bir çözümüdür, ancak \ (2 \) değildir.

Ancak, \ (x + 6> 10 \) eşitsizliğinin başka çözümleri de vardır. Gerçekten de, hem \ (5 \) hem de \ (12 \) ve \ (138 \) yerine koyarken doğru sayısal eşitsizlikleri elde ederiz ... Ve hepsini nasıl bulabiliriz? Muhtemel çözümler? Bunu yapmak için, bizim durumumuz için şunu kullanın:

\ (x + 6> 10 \) \ (| -6 \)
\ (x> 4 \)

Yani, dörtten büyük herhangi bir sayı bize uyacaktır. Şimdi cevabı yazmanız gerekiyor. Eşitsizliklerin çözümleri, kural olarak, sayısal olarak yazılır ve ayrıca sayısal eksende gölgeleme ile işaretlenir. Bizim durumumuz için, elimizde:

Yanıt vermek: \ (x \ in (4; + \ elli) \)

Eşitsizliğin işareti ne zaman değişir?

Öğrencilerin içine düşmekten çok hoşlandığı, eşitsizliklerle ilgili büyük bir tuzak vardır:

Bir eşitsizliği negatif bir sayı ile çarparken (veya bölerken), tersi değişir ("çok"tan "az"a, "fazla veya eşit"ten "daha az veya eşit"e vb.)

Bu neden oluyor? Bunu anlamak için sayısal eşitsizliğin \ (3> 1 \) dönüşümlerine bakalım. Doğru, üç gerçekten birden fazla. İlk önce, herhangi bir pozitif sayı ile çarpmaya çalışalım, örneğin iki:

\ (3> 1 \) \ (| \ cdot2 \)
\(6>2\)

Gördüğünüz gibi, çarpma işleminden sonra eşitsizlik doğru kalır. Ve hangi pozitif sayıyı çarparsak çarpalım, her zaman doğru eşitsizliği elde edeceğiz. Şimdi negatif bir sayı ile çarpmaya çalışalım, örneğin eksi üç:

\ (3> 1 \) \ (| \ cdot (-3) \)
\(-9>-3\)

Eşitsizliğin yanlış olduğu ortaya çıktı, çünkü eksi dokuz eksi üçten az! Yani, eşitsizliğin doğru olması için (bu, çarpmanın negatif ile dönüşümünün "yasal" olduğu anlamına gelir), karşılaştırma işaretini şu şekilde tersine çevirmeniz gerekir: \ (- 9<− 3\).
Bölme ile aynı olacak, kendiniz kontrol edebilirsiniz.

Yukarıda yazılan kural sadece sayısal eşitsizlikler için değil tüm eşitsizlik türleri için geçerlidir.

Yanıt vermek: \ (x \ in (-1; \ elli) \)

Eşitsizlikler ve DHS

Eşitsizliklerin yanı sıra denklemler, x değerleri üzerinde kısıtlamalara sahip olabilir. Buna göre, DHS'ye göre kabul edilemez olan değerler karar boşluğundan çıkarılmalıdır.

Örnek: \ (\ sqrt (x + 1) eşitsizliğini çözün<3\)

Çözüm: Sol tarafın \ (3 \'den küçük olması için, radikal ifadenin \ (9 \)'dan küçük olması gerektiği açıktır (sonuçta, \ (9 \) sadece \ (3 \)'den). Alırız:

\ (x + 1<9\) \(|-1\)
\ (x<8\)

Her şey? \ (8 \)'den küçük herhangi bir x değeri bize uyar mı? Değil! Çünkü, örneğin gereksinime uygun görünen \ (- 5 \) değerini alırsak, negatif bir sayının kökünü hesaplamamıza yol açacağından, orijinal eşitsizliğe bir çözüm olmayacaktır.

\ (\ kare (-5 + 1)<3\)
\ (\ kare (-4)<3\)

Bu nedenle, x değerleri üzerindeki kısıtlamaları da hesaba katmalıyız - kökün altında negatif bir sayı olacak şekilde olamaz. Böylece, x için ikinci şartımız var:

\ (x + 1 \ geq0 \)
\ (x \ geq-1 \)

Ve x'in nihai çözüm olması için, her iki gereksinimi de aynı anda karşılaması gerekir: (çözüm olması için) \ (8 \)'den küçük ve (prensipte geçerli olması için) \ (- 1 \)'den büyük olmalıdır. Sayı eksenini çizerek, son cevabımız var:

Yanıt vermek: \ (\ sol [-1; 8 \ sağ) \)