Talimatlar

Eğer kosinüsü bulmanız gerekiyorsa köşe keyfi bir üçgende kosinüs teoremini kullanmak gerekir:
açı dar ise: çünkü? = (a2 + b2 - c2) / (2ab);
eğer açı: çünkü? = (c2 - a2 - b2) / (2ab), burada a, b köşeye bitişik kenarların uzunlukları, c köşenin karşısındaki kenarın uzunluğudur.

faydalı tavsiye

Kosinüsün matematiksel gösterimi cos'dur.
Kosinüs değeri 1'den büyük veya -1'den küçük olamaz.

Kaynaklar:

• açının kosinüsü nasıl hesaplanır
• Trigonometrik fonksiyonlar birim çemberde

Kosinüs temel trigonometrik açı fonksiyonudur. Kosinüsü belirleme yeteneği, vektör cebrinde vektörlerin farklı eksenlerdeki izdüşümlerini tanımlarken kullanışlı olacaktır.

Talimatlar

cos? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c)

A, b, c kenarları sırasıyla 3, 4, 5 mm'ye eşit olan bir üçgen var.

Bulmak kosinüs büyük kenarlar arasında kalan köşe.

Tarafın karşısındaki açıyı a by? olarak belirtiriz, Sonra, yukarıda türetilen formüle göre, elimizde:

cos? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (4? +5? -3?) / (2 * 4 * 5) = (16 + 25-9) / 40 = 32/40 = 0,8

Cevap: 0.8.

Üçgen dikdörtgen ise, bulmak için kosinüs ve açı, herhangi bir kenarın sadece ikisinin uzunluğunu bilmek için yeterlidir ( kosinüs dik açı 0'a eşittir).

Kenarları a, b, c olan bir dik üçgen olsun, burada c hipotenüs olsun.

Tüm seçenekleri ele alalım:

a ve b (üçgen) kenarlarının uzunlukları biliniyorsa cos'u bulun

Ek olarak Pisagor teoremini kullanalım:

cos? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (b? + b? + а? -а?) / (2 * b * v (b? + а?)) = (2 * b?) / (2 * b * v (b? + A?)) = B / v (b? + A?)

Elde edilen formülün doğru olması için, onu Örnek 1'den değiştiriyoruz, yani.

Bazı temel hesaplamalar yaptıktan sonra şunları elde ederiz:

Benzer şekilde bulunur kosinüs dikdörtgen olarak üçgen diğer durumlarda:

A ve c'yi (hipotenüs ve karşı bacak) biliyoruz, cos'u buluyoruz?

cos? = (b? + c? -а?) / (2 * b * c) = (с? -а? + с? -а?) / (2 * с * v (с? -а?)) = (2 * s? -2 * a?) / (2 * s * v (s? -A?)) = V (s? -A?) / S.

Örnekteki a = 3 ve c = 5 değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz:

Bilinen b ve c (hipotenüs ve bitişik bacak).

Cos'u bul?

Benzer yaparak (örnek 2 ve 3 dönüşümlerde gösterilmiştir), bu durumda şunu elde ederiz. kosinüs v üçgençok basit bir formül kullanılarak hesaplanır:

Elde edilen formülün basitliği basit bir şekilde açıklanabilir: aslında, köşeye bitişik mi? bacak hipotenüsün bir izdüşümüdür, uzunluğu hipotenüsün uzunluğunun cos ? ile çarpımına eşittir.

İlk örnekten b = 4 ve c = 5 değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz:

Bu, tüm formüllerimizin doğru olduğu anlamına gelir.

İpucu 5: Bir dik üçgende dar açı nasıl bulunur

Düz karboniküçgen muhtemelen tarihsel açıdan en ünlü geometrik şekillerden biridir. Pisagorcu "pantolon" sadece "Eureka!" ile rekabet edebilir. Arşimet.

İhtiyacın olacak

• - bir üçgenin çizimi;
• - hükümdar;
• - iletki.

Talimatlar

Üçgenin açılarının toplamı 180 derecedir. dikdörtgen şeklinde üçgen bir açı (dik açı) her zaman 90 derece olacak ve geri kalanı keskin olacak, yani. her biri 90 dereceden az. Dikdörtgende hangi köşeyi belirlemek için üçgen düz ise üçgenin kenarlarını cetvelle ölçün ve en büyüğünü bulun. Hipotenüstür (AB) ve dik açının (C) karşısında bulunur. Diğer iki kenar bir dik açı ve bacaklar oluşturur (AC, BC).

Hangi açının dar olduğunu belirledikten sonra, açıyı hesaplamak için iletkiyi kullanabilir veya matematiksel formülleri kullanarak hesaplayabilirsiniz.

Bir iletki kullanarak açının değerini belirlemek için, üst kısmını (A harfi ile belirtin) iletki ortasındaki cetvel üzerindeki özel bir işaretle hizalayın, AC'nin ayağı üst kenarı ile çakışmalıdır. Hipotenüsün AB olduğu noktayı iletkinin yarım daire şeklinde işaretleyin. Bu noktadaki değer, açının derece cinsinden değerine karşılık gelir. İletki üzerinde 2 değer belirtilirse, o zaman dar açı için daha küçük bir tane, künt bir tane - daha büyük bir tane seçmeniz gerekir.

Elde edilen değeri Bradis referans kitaplarından bulun ve elde edilen sayısal değerin hangi açıya karşılık geldiğini belirleyin. Bu yöntem büyükannelerimiz tarafından kullanıldı.

Bizimkinde, trigonometrik formülleri hesaplama işlevi ile almak yeterlidir. Örneğin, yerleşik Windows hesap makinesi. "Hesap Makinesi" uygulamasını başlatın, "Görünüm" menü öğesinde "Mühendislik" öğesini seçin. İstenen açının sinüsünü hesaplayın, örneğin günah (A) = BC / AB = 2/4 = 0,5

Hesap makinesini şu şekilde değiştir: ters fonksiyonlar hesap makinesi ekranında INV düğmesine tıklayarak, ardından arksinüs işlevi düğmesine (ekranda günah olarak birinci derece eksi olarak gösterilir) tıklayın. Hesaplama penceresinde aşağıdaki yazı görünecektir: asind (0,5) = 30. istenilen açının değeri 30 derecedir.

Kaynaklar:

• Bradis tabloları (sinüsler, kosinüsler)

Matematikte kosinüs teoremi en çok üçüncü kenarı açı ve iki kenarı bulmak gerektiğinde kullanılır. Bununla birlikte, bazen problemin durumu tam tersi şekilde belirlenir: verilen üç kenar için açıyı bulmak gerekir.

Talimatlar

Size iki kenarının uzunlukları ve bir açısının değeri bilinen bir üçgen verildiğini hayal edin. Bu üçgenin tüm açıları birbirine eşit değildir ve kenarları da boyut olarak farklıdır. γ açısı, bu şekil olan AB ile gösterilen üçgenin kenarının karşısında yer alır. Bu açıdan ve ayrıca AC ve BC'nin kalan kenarlarından geçerek, kosinüs teoremini kullanarak üçgenin bilinmeyen tarafını, temelinde aşağıdaki formülü türeterek bulabilirsiniz:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2bc * cosγ, burada a = BC, b = AB, c = AC
Kosinüs teoremi ayrıca genelleştirilmiş Pisagor teoremi olarak da adlandırılır.

Şimdi şeklin üç tarafının da verildiğini, ancak γ açısının bilinmediğini hayal edin. a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2bc * cosγ formunu bilerek, bu ifadeyi γ açısı istenen değer olacak şekilde dönüştürün: b ^ 2 + c ^ 2 = 2bc * cosγ + a ^ 2.
Ardından yukarıdaki denklemi biraz farklı bir forma dönüştürün: b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2 = 2bc * cosγ.
O halde bu ifade aşağıdakine dönüştürülmelidir: cosγ = √b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2 / 2bc.
Formüldeki sayıları değiştirmek ve hesaplamaları yapmak için kalır.

γ ile gösterilen kosinüsü bulmak için, bunun ters kosinüs adı verilen ters trigonometrik cinsinden ifade edilmesi gerekir. m sayısının ters kosinüsü, γ açısının kosinüsünün m'ye eşit olduğu γ açısının değeridir. y = arccos m işlevi azalıyor. Örneğin, bir γ açısının kosinüsünün bir yarıya eşit olduğunu hayal edin. Daha sonra γ açısı ters kosinüs cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanabilir:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60 °, burada m = 1/2.
Benzer şekilde, diğer iki tarafı bilinmeyen üçgenin kalan açılarını da bulabilirsiniz.

Sinüs ve kosinüs, "düz çizgiler" olarak adlandırılan iki trigonometrik fonksiyondur. Diğerlerinden daha sık hesaplanmaları gerekiyor ve bugün her birimizin bu sorunu çözmek için önemli bir seçenek seçeneği var. Aşağıda en çok bazıları basit yollar.

Talimatlar

Başka bir hesaplama yöntemi yoksa bir iletki, kurşun kalem ve kağıt parçası kullanın. Kosinüs tanımlarından biri, dik açılı bir üçgende dar açılarla verilir - bu açının karşısındaki bacağın uzunluğu ile uzunluk arasındaki orana eşittir. Köşelerinden birinin sağ (90°) ve diğerinin hesaplamak istediğiniz köşe olduğu bir üçgen çizin. Bu durumda, kenarların uzunluğu önemli değil - onları ölçmeniz daha uygun olacak şekilde çizin. İstenen bacağın ve hipotenüsün uzunluğunu ölçün ve birinciyi ikinciye bölün. uygun bir şekilde.

İnternet erişiminiz varsa, Nigma arama motorunda yerleşik hesap makinesini kullanarak trigonometrik işlevlere değer verme yeteneğinden yararlanın. Örneğin, 20 ° 'lik bir açının kosinüsünü hesaplamak istiyorsanız, yükleme ana sayfa servis http://nigma.ru "kosinüs 20" arama sorgusu alanına yazın ve "Bul!" düğmesine basın. "Dereceleri" atlayabilir ve "kosinüs" kelimesini cos ile değiştirebilirsiniz - her durumda, arama motoru sonucu 15 ondalık basamak doğrulukla gösterecektir (0,39692620785908).

İnternet erişimi yoksa, Windows işletim sistemiyle yüklenen standart programı açın. Bu, örneğin, kazan ve r tuşlarına aynı anda basılarak, ardından calc komutunu girerek ve Tamam düğmesine tıklayarak yapılabilir. Burada trigonometrik fonksiyonları hesaplamak için "mühendislik" veya "bilimsel" (işletim sistemi sürümüne bağlı olarak) adlı bir arayüz vardır - hesap makinesi menüsünün "Görünüm" bölümünde istediğiniz öğeyi seçin. Ardından açının değerini girin ve program arayüzünde cos butonuna tıklayın.

İlgili videolar

8. İpucu: Bir Dik Üçgende Açılar Nasıl Belirlenir

Dikdörtgen, köşeler ve kenarlar arasındaki belirli oranlarla karakterize edilir. Bazılarının değerlerini bilerek, diğerlerini hesaplayabilirsiniz. Bunun için, sırayla, geometri aksiyomlarına ve teoremlerine dayanan formüller kullanılır.

Öğretmenler her öğrencinin hesaplama yapabilmesi, trigonometrik formülleri bilmesi gerektiğine inanır, ancak her öğretmen sinüs ve kosinüsün ne olduğunu açıklamaz. Anlamları nedir, nerede kullanılırlar? Neden üçgenlerden bahsediyoruz, ama ders kitabında bir daire çiziliyor? Tüm gerçekleri birbirine bağlamaya çalışalım.

Okul konusu

Trigonometri eğitimi genellikle lisenin 7-8. sınıflarında başlar. Bu sırada öğrencilere sinüs ve kosinüsün ne olduğu anlatılır, bu fonksiyonları kullanarak geometrik problemleri çözmeleri sunulur. Daha sonra, daha karmaşık formüller ve cebirsel olarak dönüştürülmesi gereken ifadeler (çift ve yarım açı formülleri, kuvvet fonksiyonları), trigonometrik bir daire ile çalışma yapılır.

Ancak öğretmenler, kullanılan kavramların anlamını ve formüllerin uygulanabilirliğini her zaman net bir şekilde açıklamaktan uzaktır. Bu nedenle öğrenci bu konudaki noktayı çoğu zaman görmez ve ezberlenen bilgiler çabuk unutulur. Ancak, bir lise öğrencisine bir kez açıklamaya değer, örneğin, işlev ve salınım hareketi arasındaki bağlantı ve mantıksal bağlantı uzun yıllar hatırlanacak ve konunun yararsızlığı ile ilgili şakalar geçmişte kalacak. .

kullanım

Merak için, fiziğin çeşitli dallarına bir göz atalım. Merminin menzilini belirlemek istiyor musunuz? Yoksa bir nesne ile belirli bir yüzey arasındaki sürtünme kuvvetini mi hesaplıyorsunuz? Sarkacı sallamak, camdan geçen ışınları izlemek, indüksiyonu hesaplamak? Trigonometrik kavramlar hemen hemen her formülde görünür. Peki sinüs ve kosinüs nedir?

Tanımlar

Açının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranı, kosinüs ise bitişik bacağın aynı hipotenüse oranıdır. Burada kesinlikle karmaşık bir şey yok. Belki de öğrenciler genellikle trigonometrik tabloda gördükleri değerlerle karıştırılıyor, çünkü orada karekökler görünüyor. Evet onlardan ondalık kesirler almak pek uygun değil ama matematikte bütün sayıların eşit olması gerektiğini kim söylemiş?

Aslında, trigonometri problem kitaplarında komik bir ipucu bulabilirsiniz: buradaki cevapların çoğu eşittir ve en kötü durumda iki veya üçün kökünü içerir. Sonuç basittir: Cevabınızda "çok katlı" bir kesir alırsanız, çözümü hesaplamalarda veya akıl yürütmede hatalar için iki kez kontrol edin. Ve büyük olasılıkla onları bulacaksınız.

Hatırlanacak şeyler

Herhangi bir bilimde olduğu gibi, trigonometri de öğrenilmesi gereken verilere sahiptir.

İlk olarak, hatırla Sayısal değerler sinüsler için, 0 ve 90 dik üçgenin kosinüslerinin yanı sıra 30, 45 ve 60 derece. Bu göstergeler, on okul probleminden dokuzunda bulunur. Ders kitabında bu değerleri gözetleyerek çok zaman kaybedeceksiniz ve teste ya da sınava hiç bakacak yer kalmayacak.

Unutulmamalıdır ki, her iki fonksiyonun değeri bir taneyi geçemez. Hesaplamanın herhangi bir yerinde 0-1 aralığının dışında bir değer alırsanız, durun ve sorunu yeniden çözün.

Sinüs ve kosinüsün karelerinin toplamı bire eşittir. Değerlerden birini zaten bulduysanız, geri kalanını bulmak için bu formülü kullanın.

teoremler

Temel trigonometride iki ana teorem vardır: sinüsler ve kosinüsler.

Birincisi, bir üçgenin her bir kenarının karşı açının sinüsüne oranının aynı olduğunu söylüyor. İkincisi, herhangi bir kenarın karesi, kalan iki kenarın kareleri toplanarak ve bunların çift çarpımı, aralarındaki açının kosinüsü ile çarpılarak elde edilebilir.

Böylece, 90 derecelik bir açının değerini kosinüs teoremine koyarsak, Pisagor teoremini elde ederiz. Şimdi, dik açılı bir üçgen olmayan bir şeklin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, artık endişelenmenize gerek yok - ele alınan iki teorem, sorunun çözümünü önemli ölçüde basitleştirecektir.

Hedefler ve hedefler

Basit bir gerçeği fark ettiğinizde trigonometri öğrenmek çok daha kolay hale gelir: Yaptığınız tüm eylemler tek bir hedefe ulaşmaya yöneliktir. Bir üçgenin herhangi bir parametresi, onun hakkında en az bilgiyi biliyorsanız bulunabilir - bir açının değeri ve iki kenarın uzunluğu veya örneğin üç kenar olabilir.

Herhangi bir açının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını belirlemek için bu veriler yeterlidir, onların yardımıyla şeklin alanını kolayca hesaplayabilirsiniz. Hemen hemen her zaman, cevap olarak belirtilen değerlerden biri gereklidir ve bunları aynı formülleri kullanarak bulabilirsiniz.

Trigonometri öğrenmede tutarsızlıklar

Öğrencilerin kaçınmayı tercih ettiği anlaşılmaz sorulardan biri, trigonometrideki çeşitli kavramlar arasında bağlantı bulmaktır. Üçgenlerin açıların sinüslerini ve kosinüslerini incelemek için kullanıldığı anlaşılıyor, ancak bazı nedenlerden dolayı atamalar genellikle bir daire ile şekilde bulunur. Ek olarak, ne bir daireye ne de üçgenlere dışsal bir benzerliği olmayan, sinüzoid adı verilen tamamen anlaşılmaz dalga benzeri bir grafik vardır.

Ayrıca, açılar önce derece, sonra radyan cinsinden ölçülür ve basitçe 3.14 (ölçü birimi olmadan) olarak yazılan Pi sayısı, bir nedenden dolayı formüllerde 180 dereceye karşılık gelen görünür. Bütün bunlar birbiriyle nasıl ilişkilidir?

Birimler

Pi neden tam olarak 3.14? Bu anlamın ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bu, yarım daire üzerinde bir yaya uyan yarıçapların sayısıdır. Dairenin çapı 2 santimetre ise çevresi 3.14 * 2 veya 6.28'dir.

İkinci nokta: "radyan" ve "yarıçap" kelimeleri arasındaki benzerliği fark etmiş olabilirsiniz. Gerçek şu ki, bir radyan, çemberin merkezinden bir yarıçap uzunluğundaki bir yaya çizilen açının değerine sayısal olarak eşittir.

Şimdi edinilen bilgileri birleştirelim ve neden trigonometride koordinat ekseninin tepesinde "Pi'nin yarısı" ve solda - "Pi" yazıldığını anlayalım. Yarım daire 180 derece veya 3.14 radyan olduğundan, bu radyan cinsinden ölçülen açısal bir değerdir. Ve derecelerin olduğu yerde sinüsler ve kosinüsler vardır. Parçaları merkeze ve koordinat eksenine erteleyerek, istenen noktadan üçgeni çizmek kolaydır.

Geleceğe bakalım

Okulda öğrenilen trigonometri, kulağa garip gelse de düz bir çizginin düz bir çizgi olduğu doğrusal bir koordinat sistemi ile ilgilenir.

Ama daha fazlası var karmaşık yollar boşlukla çalışın: buradaki üçgenin açılarının toplamı 180 dereceden fazla olacak ve görüşümüze göre düz çizgi gerçek bir yay gibi görünecektir.

Sözlerden eylemlere geçelim! Bir elma al. Yukarıdan bakıldığında üçgen oluşturacak şekilde bıçakla üç kesim yapın. Ortaya çıkan elma dilimini çıkarın ve kabuğun bittiği "kaburgalara" bakın. Hiç düz değiller. Elinizdeki meyve şartlı olarak yuvarlak olarak adlandırılabilir ve şimdi, kesilen parçanın alanını bulabileceğiniz formüllerin ne kadar karmaşık olması gerektiğini hayal edin. Ancak bazı uzmanlar bu tür sorunları günlük olarak çözmektedir.

Hayatta trigonometrik fonksiyonlar

Gezegenimizin yüzeyinde A noktasından B noktasına giden en kısa uçak rotasının belirgin bir yay şekline sahip olduğunu fark ettiniz mi? Nedeni basit: Dünya bir top şeklindedir, bu da üçgenlerin yardımıyla fazla hesap yapamayacağınız anlamına gelir - burada daha karmaşık formüller kullanmanız gerekir.

Dar açının sinüsü / kosinüsü, uzayla ilgili hiçbir konuda göz ardı edilemez. Burada bir dizi faktörün bir araya gelmesi ilginçtir: gezegenlerin daireler, elipsler ve çeşitli yörüngeler boyunca hareketini hesaplarken trigonometrik fonksiyonlar gereklidir. karmaşık şekiller; roketlerin, uyduların, mekiklerin fırlatılması, araştırma araçlarının yerinden çıkarılması süreci; uzak yıldızların gözlemi ve insanların yakın gelecekte ulaşamayacakları galaksilerin incelenmesi.

Genel olarak, trigonometriye sahip bir kişinin faaliyet alanı çok geniştir ve görünüşe göre sadece zamanla genişleyecektir.

Çözüm

Bugün sinüs ve kosinüsün ne olduğunu öğrendik veya en azından tekrarladık. Bunlar korkmanıza gerek olmayan kavramlardır - sadece istersiniz ve anlamlarını anlarsınız. Trigonometrinin bir hedef olmadığını, yalnızca gerçek insan ihtiyaçlarını karşılamak için kullanılabilecek bir araç olduğunu unutmayın: evler inşa edin, trafik güvenliğini sağlayın, hatta evrenin enginliğini keşfedin.

Aslında, bilimin kendisi sıkıcı görünebilir, ancak kendi hedeflerinize ulaşmanın, kendinizi gerçekleştirmenin bir yolunu bulur bulmaz, öğrenme süreci ilginç hale gelecek ve kişisel motivasyonunuz artacaktır.

Olarak ev ödevi kişisel olarak ilginizi çeken çalışma alanında trigonometrik fonksiyonları uygulamanın yollarını bulmaya çalışın. Hayal edin, hayal gücünüzü çalıştırın ve o zaman muhtemelen yeni bilginin gelecekte sizin için faydalı olacağı ortaya çıkacaktır. Ve ayrıca, matematik için yararlıdır genel gelişme düşünmek.

İlk olarak, yarıçapı 1 ve merkezi (0; 0) olan bir daire düşünün. Herhangi bir αЄR için 0A yarıçapı çizilebilir, böylece 0A ile 0x ekseni arasındaki açının radyan ölçüsü α'ya eşit olur. Saat yönünün tersine yön pozitif olarak kabul edilir. A yarıçapının sonunun koordinatları (a, b) olsun.

sine'un tanımı

Tanım: Tanımlanan şekilde inşa edilen birim yarıçapın ordinatına eşit b sayısı sinα olarak gösterilir ve α açısının sinüsü olarak adlandırılır.

Örnek: sin 3π cos3π / 2 = 0 0 = 0

kosinüsün belirlenmesi

Tanım: Açıklanan şekilde inşa edilen birim yarıçapın ucunun apsisine eşit olan a sayısı, cosα olarak gösterilir ve α açısının kosinüsü olarak adlandırılır.

Örnek: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

Bu örnekler, bir açının sinüs ve kosinüs tanımını, birim yarıçapın ve birim çemberin sonunun koordinatları cinsinden kullanır. Daha görsel bir temsil için, bir birim daire çizip üzerine karşılık gelen noktaları ertelemek ve ardından kosinüsünü hesaplamak için apsislerini hesaplamak ve sinüsü hesaplamak için koordinatlarını hesaplamak gerekir.

tanjant tanımı

Tanım: x ≠ π / 2 + πk, kЄZ için tgx = sinx / cosx işlevine x açısının kotanjantı denir. tgx fonksiyonunun tanım kümesi, x = π / 2 + πn, nЄZ hariç tüm gerçek sayılardır.

Örnek: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Bu örnek öncekine benzer. Bir açının tanjantını hesaplamak için, bir noktanın ordinatını apsisine bölün.

kotanjant tanımı

Tanım: x ≠ πk, kЄZ için ctgx = cosx / sinx işlevine x açısının kotanjantı denir. ctgx fonksiyonunun tanım kümesi = -x = πk, kЄZ noktaları hariç tüm gerçek sayılar.

Sıradan bir dik açılı üçgen üzerinde bir örnek düşünün

Kosinüs, sinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunu daha açık hale getirmek için. y açısına sahip sıradan bir dik üçgen üzerinde bir örnek düşünün ve a, b, c kenarları... Hipotenüs c, sırasıyla bacaklar a ve b. Hipotenüs c ile bacak b y arasındaki açı.

Tanım: Y açısının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranıdır: siny = a / c

Tanım: Y açısının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır: rahat = v / s

Tanım: Y açısının tanjantı, karşı bacağın bitişik olana oranıdır: tgy = a / b

Tanım: Y açısının kotanjantı, bitişik bacağın karşıdakine oranıdır: ctgy = w / a

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant da trigonometrik fonksiyonlar olarak adlandırılır. Her açının kendi sinüsü ve kosinüsü vardır. Ve hemen hemen herkesin kendi tanjantı ve kotanjantı vardır.

Bize bir açı verildiğinde sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını bildiğimize inanılıyor! Ve tam tersi. Sırasıyla bir sinüs veya başka bir trigonometrik fonksiyon verildiğinde açıyı biliyoruz. Her açı için trigonometrik fonksiyonların tanımlandığı özel tablolar bile oluşturulmuştur.

Öğrencilerin en çok zorlandıkları matematik dallarından biri de trigonometridir. Şaşırtıcı değil: Bu bilgi alanında özgürce ustalaşmak için uzamsal düşünmeye, sinüsleri, kosinüsleri, tanjantları, kotanjantları formüllerle bulma, ifadeleri basitleştirme ve pi'yi hesaplamalarda kullanabilme yeteneğine ihtiyacınız var. Ek olarak, teoremleri ispatlarken trigonometri uygulayabilmeniz gerekir ve bu da ya gelişmiş bir matematiksel hafıza ya da karmaşık mantıksal zincirleri çıkarabilme becerisi gerektirir.

trigonometrinin kökenleri

Bu bilimle tanışma, bir açının sinüsünü, kosinüsünü ve tanjantını belirlemekle başlamalıdır, ancak önce trigonometrinin genel olarak ne yaptığını bulmanız gerekir.

Tarihsel olarak, dik açılı üçgenler, matematik biliminin bu dalında ana araştırma konusuydu. 90 derecelik bir açının varlığı, söz konusu şeklin tüm parametrelerinin değerlerini iki tarafta ve bir köşede veya iki açıda ve bir tarafta belirlemeye izin veren çeşitli işlemlerin yapılmasını mümkün kılar. Geçmişte insanlar bu kalıbı fark ettiler ve bina yapımında, navigasyonda, astronomide ve hatta sanatta aktif olarak kullanmaya başladılar.

İlk aşama

Başlangıçta, insanlar yalnızca dik açılı üçgenler örneğinde açıların ve kenarların ilişkisinden bahsetti. Daha sonra, kullanım sınırlarını genişletmeyi mümkün kılan özel formüller keşfedildi. Günlük yaşam matematiğin bu bölümünün

Bugün okulda trigonometri çalışması, dik açılı üçgenlerle başlar, daha sonra kazanılan bilgiler öğrenciler tarafından fizikte ve soyut çözmede kullanılır. trigonometrik denklemler, lisede başlayan çalışma.

Küresel trigonometri

Daha sonra bilim bir sonraki gelişme düzeyine ulaştığında, farklı kuralların geçerli olduğu küresel geometride sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjantlı formüller kullanılmaya başlandı ve bir üçgendeki açıların toplamı her zaman 180 dereceden fazlaydı. Bu bölüm okulda çalışılmamıştır, ancak en azından dünyanın yüzeyi ve diğer herhangi bir gezegenin yüzeyi dışbükey olduğu için varlığını bilmek gerekir, bu da herhangi bir yüzey işaretlemesinin üç boyutlu olarak "kemerli" olacağı anlamına gelir. uzay.

Küreyi ve ipi alın. İpi gergin olacak şekilde küre üzerindeki herhangi iki noktaya takın. Dikkat edin - bir yay şeklini aldı. Jeodezi, astronomi ve diğer teorik ve uygulamalı alanlarda kullanılan küresel geometri, bu tür formlarla ilgilenir.

sağ üçgen

Trigonometri kullanmanın yolları hakkında biraz bilgi sahibi olduktan sonra, sinüs, kosinüs, tanjantın ne olduğunu, onların yardımıyla hangi hesaplamaların yapılabileceğini ve bu durumda hangi formüllerin kullanılacağını daha iyi anlamak için temel trigonometriye dönelim.

İlk adım, dik açılı üçgen ile ilgili kavramları anlamaktır. İlk olarak, hipotenüs 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. En uzun olanıdır. Pisagor teoremine göre sayısal değerinin diğer iki kenarın karelerinin toplamının köküne eşit olduğunu hatırlıyoruz.

Örneğin, iki kenar sırasıyla 3 ve 4 santimetre ise, hipotenüsün uzunluğu 5 santimetredir. Bu arada, eski Mısırlılar bunu yaklaşık dört buçuk bin yıl önce biliyorlardı.

Dik açı oluşturan kalan iki kenara bacak denir. Ayrıca bir dikdörtgen koordinat sisteminde bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğu unutulmamalıdır.

Tanım

Son olarak, geometrik tabanın sağlam bir şekilde anlaşılmasıyla, bir açının sinüs, kosinüs ve tanjant tanımına dönülebilir.

Bir açının sinüsü, karşı bacağın (yani karşı tarafın) oranıdır. istenilen açı) hipotenüs için. Bir açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.

Ne sinüs ne de kosinüsün birden büyük olamayacağını unutmayın! Niye ya? Hipotenüs varsayılan olarak en uzun olduğu için, bacak ne kadar uzun olursa olsun, hipotenüsten daha kısa olacaktır, bu da oranlarının her zaman birden küçük olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, bir problemin cevabında 1'den büyük bir değere sahip bir sinüs veya kosinüs varsa, hesaplamalarda veya akıl yürütmede bir hata olup olmadığına bakın. Bu cevap kesinlikle yanlıştır.

Son olarak, bir açının tanjantı, karşı kenarın bitişik kenara oranıdır. Sinüsü kosinüsle bölmek aynı sonucu verecektir. Bakın: formüle göre kenar uzunluğunu hipotenüse bölüyoruz, sonra ikinci kenar uzunluğuna bölüp hipotenüsle çarpıyoruz. Böylece, tanjant tanımındaki ile aynı ilişkiyi elde ederiz.

Kotanjant, sırasıyla, köşeye bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Birimi teğete bölerek aynı sonucu elde ederiz.

Böylece sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant nedir tanımlarını düşündük ve formülleri yapabiliriz.

En basit formüller

Trigonometride formüller olmadan yapamazsınız - sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant onlarsız nasıl bulunur? Ancak bu, sorunları çözerken tam olarak gerekli olan şeydir.

Trigonometri öğrenmeye başlarken bilmeniz gereken ilk formül, bir açının sinüs ve kosinüs karelerinin toplamının bire eşit olduğunu söyler. Bu formül Pisagor teoreminin doğrudan bir sonucudur, ancak açıyı bilmek istiyorsanız, kenarı değil zaman kazandırır.

Birçok öğrenci, okul problemlerini çözerken de çok popüler olan ikinci formülü hatırlayamıyor: bir açının tanjantının karesi ile toplamının bire bölümü, açının kosinüsünün karesine eşittir. Daha yakından bakın: sonuçta, bu ilk formüldekiyle aynı ifadedir, kimliğin yalnızca her iki tarafı kosinüsün karesine bölünmüştür. Basit bir matematiksel işlemin trigonometrik formülü tamamen tanınmaz hale getirdiği ortaya çıktı. Unutmayın: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunu, dönüşüm kurallarını ve birkaç temel formülü bilerek, istediğiniz zaman kendiniz bir kağıt üzerinde gerekli daha karmaşık formülleri çıkarabilirsiniz.

Çift açılı formüller ve argümanların eklenmesi

Öğrenmeniz gereken iki formül daha, açıların toplamı ve farkı için sinüs ve kosinüs değerleri ile ilgilidir. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Lütfen ilk durumda sinüs ve kosinüsün iki kez çarpıldığını ve ikinci durumda sinüs ve kosinüsün ikili çarpımının eklendiğini unutmayın.

Çift açılı argümanlarla ilişkili formüller de vardır. Tamamen öncekilerden türetilmiştir - bir eğitim olarak, alfa açısını beta açısına eşit alarak onları kendiniz almaya çalışın.

Son olarak, çift açılı formüllerin sinüs, kosinüs ve tanjant alfa derecelerini düşürmek için dönüştürülebileceğini unutmayın.

teoremler

Temel trigonometrideki iki ana teorem sinüs teoremi ve kosinüs teoremidir. Bu teoremlerin yardımıyla sinüs, kosinüs ve tanjantın nasıl bulunacağını ve dolayısıyla şeklin alanını ve her bir kenarın büyüklüğünü vb. nasıl bulacağınızı kolayca anlayabilirsiniz.

Sinüs teoremi, bir üçgenin her bir kenarının uzunluğunu karşı açının değerine bölerek aynı sayıyı elde ettiğimizi belirtir. Üstelik bu sayı, çevrelenmiş dairenin, yani verilen üçgenin tüm noktalarını içeren dairenin iki yarıçapına eşit olacaktır.

Kosinüs teoremi Pisagor teoremini herhangi bir üçgene yansıtarak genelleştirir. İki tarafın karelerinin toplamından, yanlarındaki açının çift kosinüsü ile çarpılan çarpımlarını çıkarın - elde edilen değer üçüncü tarafın karesine eşit olacaktır. Böylece, Pisagor teoremi, kosinüs teoreminin özel bir durumu olarak ortaya çıkıyor.

İstem dışı hatalar

Sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu bilsek bile, en basit hesaplamalarda dikkat dağınıklığı veya hata nedeniyle hata yapmak kolaydır. Bu tür hatalardan kaçınmak için en popüler olanlara bir göz atalım.

İlk olarak, nihai sonuç elde edilene kadar sıradan kesirleri ondalık sayılara dönüştürmemelisiniz - cevabı formda bırakabilirsiniz. ortak kesir koşulda aksi belirtilmedikçe. Böyle bir dönüşüm bir hata olarak adlandırılamaz, ancak görevin her aşamasında, yazarın fikrine göre kısaltılması gereken yeni köklerin ortaya çıkabileceği unutulmamalıdır. Bu durumda gereksiz matematiksel işlemlerle zaman kaybedersiniz. Bu özellikle üç veya ikinin kökü gibi değerler için geçerlidir, çünkü her adımda problemlerde bulunurlar. Aynı şey "çirkin" sayıların yuvarlanması için de geçerlidir.

Ayrıca, kosinüs teoreminin herhangi bir üçgen için geçerli olduğunu, ancak Pisagor teoremi için geçerli olmadığını unutmayın! Kenarların çift çarpımını aralarındaki açının kosinüsüyle çarpımından çıkarmayı yanlışlıkla unutursanız, yalnızca tamamen yanlış bir sonuç elde etmekle kalmaz, aynı zamanda konuyu tam olarak anlamadığınızı da gösterirsiniz. Bu, dikkatsiz bir hatadan daha kötü.

Üçüncüsü, sinüsler, kosinüsler, tanjantlar, kotanjantlar için 30 ve 60 derecelik açıların değerlerini karıştırmayın. Bu değerleri hatırlayın, çünkü 30 derecenin sinüsü, 60'ın kosinüsüne eşittir ve bunun tersi de geçerlidir. Onları karıştırmak kolaydır, bunun sonucunda kaçınılmaz olarak hatalı bir sonuç alırsınız.

Uygulama

Pek çok öğrenci trigonometri öğrenmeye başlamak için acele etmiyor çünkü uygulamalı anlamını bilmiyorlar. Bir mühendis veya astronom için sinüs, kosinüs, tanjant nedir? Bunlar, uzak yıldızlara olan mesafeyi hesaplayabileceğiniz, bir göktaşı düşüşünü tahmin edebileceğiniz, başka bir gezegene araştırma sondası gönderebileceğiniz kavramlardır. Onlar olmadan bir bina inşa etmek, bir araba tasarlamak, bir yüzeydeki yükü veya bir nesnenin yörüngesini hesaplamak imkansızdır. Ve bunlar sadece en bariz örnekler! Ne de olsa trigonometri, müzikten tıbba kadar her yerde şu veya bu biçimde kullanılmaktadır.

Nihayet

Yani sinüs, kosinüs, tanjantsınız. Bunları hesaplamalarda kullanabilir ve okul problemlerini başarıyla çözebilirsiniz.

Trigonometrinin tüm amacı, üçgenin bilinmeyen parametrelerinin bilinen parametreler kullanılarak hesaplanması gerektiği gerçeğine dayanır. Bu parametrelerden altı tanesi vardır: üç kenarın uzunlukları ve üç açının büyüklükleri. Görevlerdeki tüm fark, farklı girdilerin verilmesidir.

Artık bacakların veya hipotenüsün bilinen uzunluklarına göre sinüs, kosinüs ve tanjantı nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Bu terimler bir orandan başka bir şey ifade etmediğinden ve oran bir kesir olduğundan, trigonometrik bir problemin ana amacı sıradan bir denklemin veya bir denklem sisteminin köklerini bulmaktır. Ve burada sıradan okul matematiği size yardımcı olacaktır.

Sinüs, kullanımı tek bir geometri ile sınırlı olmayan temel trigonometrik fonksiyonlardan biridir. Mühendislik hesaplayıcıları gibi trigonometrik fonksiyonları hesaplama tabloları her zaman elinizin altında değildir ve bazen çeşitli problemleri çözmek için sinüs hesaplaması gerekir. Genel olarak sinüsü hesaplamak, çizim becerilerinizi ve trigonometrik kimlik bilginizi sağlamlaştırmanıza yardımcı olacaktır.

cetvel ve kalem oyunları

Basit problem: Kağıt üzerine çizilen bir açının sinüsü nasıl bulunur? Çözüm için sıradan bir cetvel, bir üçgen (veya pergel) ve bir kurşun kaleme ihtiyacınız olacak. Bir açının sinüsünü hesaplamanın en basit yolu, dik açılı bir üçgenin uzak ayağını uzun kenara - hipotenüs - bölmektir. Bu nedenle, önce açının tepesinden keyfi bir mesafede ışınlardan birine dik bir çizgi çizerek dik açılı bir üçgenin şekline göre dar açıyı tamamlamanız gerekir. Bir büro üçgenine ihtiyacımız olan açıyı tam olarak 90 ° gözlemlemeniz gerekecek.

Pusula kullanmak biraz daha doğrudur ancak daha uzun sürer. Işınlardan birinde, belirli bir mesafede 2 nokta işaretlemeniz, pusuladaki yarıçapı, yaklaşık olarak noktalar arasındaki mesafeye eşit olarak ayarlamanız ve bu doğruların kesişimleri elde edilene kadar bu noktalarda merkezleri olan yarım daireler çizmeniz gerekir. Dairelerimizin kesişme noktalarını birbirine bağlayarak, köşemizin ışınına kesin bir diklik elde ederiz, sadece çizgiyi başka bir ışınla kesişene kadar uzatmak için kalır.

Ortaya çıkan üçgende, bir cetvelle köşenin karşısındaki tarafı ve ışınlardan birinin uzun tarafını ölçmeniz gerekir. Birinci boyutun ikinciye oranı, dar açının sinüsünün istenen değeri olacaktır.

90 ° 'den büyük bir açı için sinüsü bulun

Geniş bir açı için görev çok daha zor değil. Yukarıdan bir ışın çizmeniz gerekiyor ters taraf ilgi açısının ışınlarından biriyle düz bir çizgi oluşturmak için bir cetvel kullanmak. Elde edilen dar açı ile, yukarıda açıklandığı gibi ilerlemelisiniz, birlikte 180 ° gelişmiş bir açı oluşturan bitişik açıların sinüsleri eşittir.

Diğer trigonometrik fonksiyonlardan sinüs hesaplama

Açının diğer trigonometrik fonksiyonlarının değerleri veya en azından üçgenin kenar uzunlukları biliniyorsa sinüsü hesaplamak da mümkündür. Trigonometrik özdeşlikler bu konuda bize yardımcı olacaktır. Yaygın örneklere bakalım.

Bir açının bilinen bir kosinüsü için sinüs nasıl bulunur? Pisagor teoreminden gelen ilk trigonometrik özdeşlik, aynı açının sinüs ve kosinüs karelerinin toplamının bire eşit olduğunu belirtir.

Bilinen bir açının tanjantına sahip sinüs nasıl bulunur? Teğet, uzaktaki bacağın yakındakine bölünmesiyle veya sinüsün kosinüsle bölünmesiyle elde edilir. Böylece sinüs, kosinüs ve tanjantın ürünü olacak ve sinüsün karesi bu ürünün karesi olacaktır. Karedeki kosinüsü birinci trigonometrik kimliğe göre bir ve kare sinüs arasındaki farkla değiştiriyoruz ve basit manipülasyonlar kullanarak denklemi sinüsü hesaplamak için sırasıyla teğet üzerinden kare sinüs hesaplamasına getiriyoruz, elde edilen sonuçtan kökü çıkarmamız gerekecek.

Bir açının bilinen bir kotanjantına sahip sinüs nasıl bulunur? Kotanjant değeri, köşeye yakın bacağın uzunluğunu uzak bacağın uzunluğuna bölerek ve ayrıca kosinüsü sinüse bölerek hesaplanabilir, yani kotanjant, tanjanta göre ters bir fonksiyondur. 1 sayısı. Sinüs hesaplamak için tg α = 1 / ctg α formülü ile tanjantı hesaplayabilir ve ikinci seçenekteki formülü kullanabilirsiniz. Ayrıca, tanjant ile analoji yaparak, şöyle görünecek olan doğrudan bir formül de türetebilirsiniz.

Bir üçgenin üç tarafındaki sinüs nasıl bulunur

Karşı açının kosinüsünün trigonometrik fonksiyonunu kullanarak bilinen iki kenar boyunca herhangi bir üçgenin bilinmeyen kenarının uzunluğunu bulmak için bir formül vardır. Şuna benziyor.