Karmaşık bir fonksiyonun türevi. Çözüm örnekleri

Bu derste, nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. karmaşık bir fonksiyonun türevi. Ders, dersin mantıklı bir devamıdır Türev nasıl bulunur?üzerinde en basit türevleri analiz ettiğimiz ve ayrıca türev bulma kuralları ve türevleri bulmak için bazı teknik yöntemler hakkında bilgi sahibi olduk. Bu nedenle, fonksiyonların türevleri konusunda çok iyi değilseniz veya bu makalenin bazı noktaları tam olarak açık değilse, önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir ruh hali ayarlayın - materyal kolay değil, ancak yine de onu basit ve net bir şekilde sunmaya çalışacağım.

Pratikte, karmaşık bir fonksiyonun türevi ile çok sık uğraşmanız gerekir, hatta türevleri bulmak için görevler verildiğinde neredeyse her zaman söyleyebilirim.

Karmaşık bir işlevi ayırt etmek için tablodaki kurala (No. 5) bakarız:

Anlıyoruz. Öncelikle notasyona bir göz atalım. Burada iki işlevimiz var - ve ve işlev, mecazi olarak konuşursak, işlev içinde yuvalanmıştır. Bu tür bir işleve (bir işlev diğerinin içinde yuvalandığında) karmaşık işlev denir.

fonksiyonu arayacağım harici fonksiyon, ve işlev – iç (veya iç içe) işlev.

! Bu tanımlar teorik değildir ve ödevlerin nihai tasarımında yer almamalıdır. "Dış işlev", "iç" işlev gibi resmi olmayan ifadeleri yalnızca materyali anlamanızı kolaylaştırmak için kullanıyorum.

Durumu netleştirmek için şunları göz önünde bulundurun:

örnek 1

Bir fonksiyonun türevini bulun

Sinüs altında sadece "x" harfi değil, ifadenin tamamı var, bu nedenle tablodan türevi hemen bulmak işe yaramaz. İlk dört kuralı burada uygulamanın imkansız olduğunu da fark ediyoruz, bir fark var gibi görünüyor, ancak gerçek şu ki sinüsü “parçalamak” imkansız:

V bu örnek Zaten açıklamalarımdan, bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyon olduğu ve polinomun bir iç fonksiyon (gömme) ve bir harici fonksiyon olduğu sezgisel olarak açıktır.

İlk adım Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken yapılması gereken, Hangi fonksiyonun dahili, hangisinin harici olduğunu anlamak.

Ne zaman basit örnekler sinüsün altında bir polinomun iç içe olduğu açık görünüyor. Ama ya bariz değilse? Hangi işlevin harici, hangisinin dahili olduğu tam olarak nasıl belirlenir? Bunu yapmak için, zihinsel veya taslak üzerinde gerçekleştirilebilecek aşağıdaki tekniği kullanmayı öneriyorum.

Bir hesap makinesi ile ifadenin değerini hesaplamamız gerektiğini düşünelim (bir yerine herhangi bir sayı olabilir).

İlk önce neyi hesaplıyoruz? Her şeyden önce aşağıdaki eylemi gerçekleştirmeniz gerekecek: , bu nedenle polinom dahili bir işlev olacaktır:

ikinci olarak bulmanız gerekecek, bu nedenle sinüs - harici bir işlev olacaktır:

bizden sonra ANLAMAİç ve dış fonksiyonlarda sıra bileşik fonksiyon türev alma kuralına geldi.

Karar vermeye başlıyoruz. dersten Türev nasıl bulunur? Herhangi bir türevin çözümünün tasarımının her zaman böyle başladığını hatırlıyoruz - ifadeyi parantez içine alıyoruz ve sağ üste bir vuruş koyuyoruz:

Öncelikle dış fonksiyonun (sinüs) türevini bulun, türev tablosuna bakın temel fonksiyonlar ve şunu fark edin. "x" karmaşık bir ifadeyle değiştirilse bile tüm tablo formülleri geçerlidir, bu durumda:

Not iç işlev değişmedi dokunmuyoruz.

Eh, çok açık ki

Formülü uygulamanın nihai sonucu şöyle görünür:

Sabit faktör genellikle ifadenin başına yerleştirilir:

Herhangi bir yanlış anlama varsa kararı kağıda yazıp açıklamaları tekrar okuyun.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

Her zamanki gibi yazıyoruz:

Nerede harici bir fonksiyonumuz olduğunu ve nerede dahili bir fonksiyonumuz olduğunu buluruz. Bunu yapmak için (zihinsel olarak veya bir taslakta) ifadesinin değerini hesaplamaya çalışırız. İlk önce ne yapılması gerekiyor? Her şeyden önce, tabanın neye eşit olduğunu hesaplamanız gerekir: bu, polinomun dahili fonksiyon olduğu anlamına gelir:

Ve ancak o zaman üstelleştirme gerçekleştirilir, bu nedenle güç işlevi harici bir işlevdir:

Formüle göre, önce dış fonksiyonun türevini, bu durumda dereceyi bulmanız gerekir. Tabloda istenen formülü arıyoruz: Tekrar ediyoruz: herhangi bir tablo formülü yalnızca "x" için değil, aynı zamanda karmaşık bir ifade için de geçerlidir. Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu aşağıdaki gibidir:

Dış fonksiyonun türevini aldığımızda iç fonksiyonun değişmediğini tekrar vurguluyorum:

Şimdi geriye, iç fonksiyonun çok basit bir türevini bulmak ve sonucu biraz "taramak" kalıyor:

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendi kendine çözme için bir örnektir (cevap dersin sonunda).

Karmaşık bir fonksiyonun türevi anlayışını pekiştirmek için yorumsuz bir örnek vereceğim, kendi başınıza anlamaya çalışacağım, sebep, dış nerede ve iç fonksiyon nerede, görevler neden bu şekilde çözüldü?

Örnek 5

a) Bir fonksiyonun türevini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulun

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bir kökümüz var ve kökü ayırt edebilmek için bir derece olarak temsil edilmesi gerekiyor. Böylece, önce fonksiyonu farklılaşma için uygun forma getiriyoruz:

Fonksiyonu analiz ederek, üç terimin toplamının bir iç fonksiyon olduğu ve üs almanın bir dış fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz. Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uygularız:

Derece yine bir kök (kök) olarak temsil edilir ve iç fonksiyonun türevi için toplamı türevini almak için basit bir kural uygularız:

Hazır. Ayrıca ifadeyi parantez içinde ortak bir paydaya getirebilir ve her şeyi tek bir kesir olarak yazabilirsiniz. Tabii ki güzel, ama hantal uzun türevler elde edildiğinde, bunu yapmamak daha iyidir (kafanın karışması kolaydır, gereksiz bir hata yapar ve öğretmenin kontrol etmesi elverişsiz olacaktır).

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendi kendine çözme için bir örnektir (cevap dersin sonunda).

Bazen karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı yerine, bir bölümün türevini alma kuralının kullanılabileceğini belirtmek ilginçtir. , ama böyle bir çözüm komik bir sapıklık gibi görünebilir. İşte tipik bir örnek:

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bölümün türev alma kuralını kullanabilirsiniz. , ancak karmaşık bir fonksiyonun türev kuralı ile türevi bulmak çok daha karlı:

Fonksiyonu türev için hazırlıyoruz - türevin eksi işaretini alıyoruz ve kosinüsü paya yükseltiyoruz:

Kosinüs dahili bir fonksiyondur, üs alma harici bir fonksiyondur.
Kuralımızı kullanalım:

İç fonksiyonun türevini buluyoruz, kosinüsü sıfırlıyoruz:

Hazır. Ele alınan örnekte, işaretlerde kafa karıştırmamak önemlidir. Bu arada kuralıyla çözmeye çalışın , cevaplar eşleşmelidir.

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, kendi kendine çözme için bir örnektir (cevap dersin sonunda).

Şimdiye kadar, karmaşık bir işlevde yalnızca bir yuvalamanın olduğu durumları ele aldık. Pratik görevlerde, iç içe geçmiş bebekler gibi, 3 hatta 4-5 işlevin aynı anda iç içe geçtiği türevleri sıklıkla bulabilirsiniz.

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu işlevin eklerini anlıyoruz. Deneysel değeri kullanarak ifadeyi değerlendirmeye çalışıyoruz. Bir hesap makinesine nasıl güveniriz?

İlk önce, arksinüsünün en derin yuvalama olduğu anlamına gelen bulmanız gerekir:

Bu birliğin arksinüsü daha sonra karesi alınmalıdır:

Ve son olarak, yediyi güce yükseltiyoruz:

Yani, bu örnekte üç farklı fonksiyona ve iki yuvalamaya sahibiz, en içteki fonksiyon arksinüs ve en dıştaki fonksiyon üstel fonksiyondur.

karar vermeye başlıyoruz

Kurala göre, önce dış fonksiyonun türevini almanız gerekir. Türev tablosuna bakarız ve üstel fonksiyonun türevini buluruz: Tek fark, "x" yerine bu formülün geçerliliğini olumsuzlamayan karmaşık bir ifadeye sahip olmamızdır. Dolayısıyla, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralının uygulanmasının sonucu şudur:

Kısa çizginin altında yine zor bir işlevimiz var! Ama zaten daha kolay. İç fonksiyonun arksinüs ve dış fonksiyonun derece olduğunu görmek kolaydır. Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre, önce derecenin türevini almanız gerekir.

İlk seviye

Fonksiyon türevi. Kapsamlı rehber (2019)

Tepelik bir alandan geçen düz bir yol hayal edin. Yani yukarı aşağı hareket eder ama sağa sola dönmez. Eksen yol boyunca yatay ve dikey olarak yönlendirilirse, yol çizgisi sürekli bir fonksiyonun grafiğine çok benzer olacaktır:

Eksen, belirli bir sıfır yükseklik seviyesidir, hayatta deniz seviyesini olduğu gibi kullanırız.

Böyle bir yolda ilerlerken, biz de yukarı veya aşağı hareket ediyoruz. Şunu da söyleyebiliriz: argüman değiştiğinde (apsis ekseni boyunca hareket ederek), fonksiyonun değeri değişir (ordinat ekseni boyunca hareket ederek). Şimdi yolumuzun "dikliğini" nasıl belirleyeceğimizi düşünelim? Bu değer ne olabilir? Çok basit: Belirli bir mesafe ilerlerken yükseklik ne kadar değişecek? Sonuçta, üzerinde farklı bölgeler yol, (apsis boyunca) bir kilometre ilerlerken, deniz seviyesine göre (ordinat boyunca) farklı sayıda metre yükselecek veya düşeceğiz.

İlerlemeyi ifade ediyoruz ("delta x" okuyun).

Yunanca harf (delta), matematikte "değişim" anlamına gelen bir önek olarak yaygın olarak kullanılır. Yani - bu büyüklükte bir değişiklik, - bir değişiklik; o zaman ne? Bu doğru, boyutta bir değişiklik.

Önemli: ifade tek bir varlık, bir değişkendir. "x" veya başka bir harften "delta"yı asla koparmamalısın! Yani, örneğin, .

Böylece yatay olarak ilerledik. Yolun çizgisini bir fonksiyonun grafiğiyle karşılaştırırsak, yükselişi nasıl gösteririz? Kesinlikle, . Yani, ilerlerken daha yükseğe çıkarız.

Değeri hesaplamak kolaydır: eğer başlangıçta bir yükseklikteysek ve hareket ettikten sonra bir yükseklikteysek. Bitiş noktasının başlangıç ​​noktasından daha düşük olduğu ortaya çıkarsa, negatif olacaktır - bu, yükselmediğimiz, alçalmamız anlamına gelir.

"Dikliğe" geri dön: Bu, birim mesafe başına ilerlerken yüksekliğin ne kadar (dik) arttığını gösteren bir değerdir:

Farz edin ki yolun bir bölümünde km ilerlerken yol km yükselsin. O zaman bu yerdeki diklik eşittir. Ve yol, m ilerlerken, km batarsa? O zaman eğim eşittir.

Şimdi bir tepenin tepesini düşünün. Bölümün başlangıcını yarım kilometre tepeye, sonunu da - yarım kilometre sonra alırsanız, yüksekliğin neredeyse aynı olduğunu görebilirsiniz.

Yani, mantığımıza göre, buradaki eğimin neredeyse sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor ki bu kesinlikle doğru değil. Sadece birkaç mil ötede çok şey değişebilir. Daha yeterli ve doğru bir diklik tahmini için daha küçük alanların dikkate alınması gerekir. Örneğin bir metre ilerlerken yükseklikteki değişimi ölçerseniz sonuç çok daha doğru olacaktır. Ancak bu doğruluk bile bizim için yeterli olmayabilir - sonuçta, yolun ortasında bir direk varsa, basitçe içinden geçebiliriz. O zaman hangi mesafeyi seçmeliyiz? Santimetre? Milimetre? Daha az, daha iyi!

V gerçek hayat en yakın milimetreye olan mesafeyi ölçmek fazlasıyla yeterli. Ancak matematikçiler her zaman mükemmellik için çabalarlar. Bu nedenle, konsept sonsuz küçük yani modulo değeri, adlandırabileceğimiz herhangi bir sayıdan küçüktür. Örneğin, diyorsunuz ki: trilyonda bir! Ne kadar az? Ve bu sayıyı - ile bölersen, daha da az olur. Vb. Değerin sonsuz küçük olduğunu yazmak istersek şöyle yazarız: (“x sıfıra eğilimli” okuruz). anlamak çok önemli bu sayı sıfıra eşit değil! Ama ona çok yakın. Bu, bölünebileceği anlamına gelir.

Sonsuz küçük kavramının zıttı olan kavram sonsuz büyüktür (). Muhtemelen eşitsizlikler üzerinde çalışırken bununla karşılaşmışsınızdır: bu sayı, modül olarak aklınıza gelebilecek herhangi bir sayıdan daha fazladır. Mümkün olan en büyük sayıyı bulursanız, sadece iki ile çarpın ve daha da fazlasını elde edin. Ve sonsuzluk, olandan daha fazlasıdır. Aslında, sonsuz büyük ve sonsuz küçük birbirinin tersidir, yani at'ta ve tam tersi: at.

Şimdi yolumuza dönelim. İdeal olarak hesaplanan eğim, yolun sonsuz küçük bir parçası için hesaplanan eğimdir, yani:

Sonsuz küçük bir yer değiştirme ile yükseklikteki değişimin de sonsuz küçük olacağını not ediyorum. Ama size sonsuz küçüklüğün sıfıra eşit demek olmadığını hatırlatmama izin verin. Sonsuz küçük sayıları birbirine bölerseniz, örneğin tamamen sıradan bir sayı elde edebilirsiniz. Yani, küçük bir değer diğerinin tam olarak iki katı olabilir.

Bütün bunlar neden? Yol, diklik... Mitinge gitmiyoruz ama matematik öğreniyoruz. Ve matematikte her şey tamamen aynıdır, sadece farklı olarak adlandırılır.

türev kavramı

Bir fonksiyonun türevi, argümanın sonsuz küçük bir artışında fonksiyonun artışının argümanın artışına oranıdır.

artış matematikte değişim denir. Eksen boyunca hareket ederken argümanın () ne kadar değiştiğine denir. argüman artışı ve ile gösterilir Eksen boyunca bir mesafe ile ilerlerken fonksiyonun (yükseklik) ne kadar değiştiğine denir. fonksiyon artışı ve işaretlenir.

Yani, bir fonksiyonun türevi ne zaman ile olan ilişkisidir. Türevi, işlevle aynı harfle, yalnızca sağ üstten bir vuruşla belirtiriz: veya basitçe. Öyleyse, bu notasyonları kullanarak türev formülünü yazalım:

Yol analojisinde olduğu gibi burada da fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatiftir.

Ama türev sıfıra eşit mi? Kesinlikle. Örneğin düz, yatay bir yolda ilerliyorsak diklik sıfırdır. Gerçekten de, yükseklik hiç değişmez. Yani türev ile: bir sabit fonksiyonun (sabit) türevi sıfıra eşittir:

çünkü böyle bir fonksiyonun artışı herhangi biri için sıfırdır.

Tepe örneğini ele alalım. Segmentin uçlarını, tepenin karşı taraflarında, uçlardaki yükseklik aynı olacak, yani segment eksene paralel olacak şekilde düzenlemenin mümkün olduğu ortaya çıktı:

Ancak büyük segmentler yanlış ölçümün bir işaretidir. Segmentimizi kendisine paralel olarak yükselteceğiz, sonra uzunluğu azalacak.

Sonunda, tepeye sonsuz derecede yakın olduğumuzda, parçanın uzunluğu sonsuz derecede küçük olacaktır. Ancak aynı zamanda eksene paralel kaldı, yani uçlarındaki yükseklik farkı sıfıra eşittir (eğilim göstermez, ancak eşittir). yani türev

Bu şu şekilde anlaşılabilir: En tepede dururken, sola veya sağa küçük bir kayma, boyumuzu ihmal edilebilir şekilde değiştirir.

Ayrıca tamamen cebirsel bir açıklama var: üst kısmın solunda fonksiyon artar ve sağda azalır. Daha önce öğrendiğimiz gibi, fonksiyon arttığında türev pozitiftir ve azaldığında negatiftir. Ancak atlama olmadan sorunsuz bir şekilde değişir (çünkü yol eğimini hiçbir yerde keskin bir şekilde değiştirmez). Bu nedenle, olumsuz ile pozitif değerler olmalıdır. Bu, fonksiyonun ne arttığı ne de azaldığı - tepe noktasında olacaktır.

Aynısı vadi için de geçerlidir (fonksiyonun solda azaldığı ve sağda arttığı alan):

Artışlar hakkında biraz daha.

Bu yüzden argümanı bir değere değiştiriyoruz. Hangi değerden değişiyoruz? O (argüman) şimdi ne oldu? Herhangi bir noktayı seçebiliriz ve şimdi ondan dans edeceğiz.

Koordinatlı bir nokta düşünün. İçindeki fonksiyonun değeri eşittir. Sonra aynı artışı yapıyoruz: koordinatı artırın. Şimdi argüman nedir? Çok kolay: . Şimdi fonksiyonun değeri nedir? Argüman nereye giderse, işlev oraya gider: . Peki ya fonksiyon artışı? Yeni bir şey yok: Bu hala fonksiyonun değişme miktarıdır:

Artışları bulma alıştırması yapın:

1. Argümanın artışının eşit olduğu bir noktada fonksiyonun artışını bulun.
2. Bir noktada bir fonksiyon için aynı.

Çözümler:

Farklı noktalarda, argümanın aynı artışıyla, fonksiyonun artışı farklı olacaktır. Bu, her noktadaki türevin kendine ait olduğu anlamına gelir (bunu en başta tartıştık - farklı noktalarda yolun dikliği farklıdır). Bu nedenle, bir türev yazarken hangi noktada belirtmeliyiz:

Güç fonksiyonu.

Bir güç işlevi, argümanın bir dereceye kadar olduğu bir işlev olarak adlandırılır (mantıksal, değil mi?).

Ve - herhangi bir ölçüde: .

En basit durum, üssün olduğu zamandır:

Bir noktada türevini bulalım. Bir türevin tanımını hatırlayın:

Yani argümandan -'ye değişir. fonksiyon artışı nedir?

Artış Ancak herhangi bir noktada fonksiyon argümanına eşittir. Böyle:

Türev:

türevi şudur:

b) Şimdi ikinci dereceden () fonksiyonunu düşünün: .

Şimdi bunu hatırlayalım. Bu, artış değerinin sonsuz küçük olduğu ve bu nedenle başka bir terimin arka planına karşı önemsiz olduğu için ihmal edilebileceği anlamına gelir:

Yani, başka bir kuralımız var:

c) Mantıksal seriye devam ediyoruz: .

Bu ifade farklı şekillerde basitleştirilebilir: Toplamın küpünün kısaltılmış çarpımı için formülü kullanarak ilk parantez açın veya küplerin farkı formülünü kullanarak tüm ifadeyi çarpanlara ayırın. Önerilen yollardan herhangi biriyle kendiniz yapmaya çalışın.

Yani, aşağıdakileri aldım:

Ve bunu tekrar hatırlayalım. Bu, aşağıdakileri içeren tüm terimleri ihmal edebileceğimiz anlamına gelir:

elde ederiz: .

d) Büyük yetkiler için benzer kurallar elde edilebilir:

e) Bu kuralın, bir tamsayı bile değil, keyfi bir üslü bir kuvvet fonksiyonu için genelleştirilebileceği ortaya çıktı:

Kuralı şu kelimelerle formüle edebilirsiniz: “derece bir katsayı olarak öne çıkarılır ve sonra azalır”.

Bu kuralı daha sonra kanıtlayacağız (neredeyse en sonunda). Şimdi birkaç örneğe bakalım. Fonksiyonların türevini bulun:

1. (iki şekilde: formüle göre ve türevin tanımını kullanarak - fonksiyonun artışını sayarak);

1. . İster inanın ister inanmayın, bu bir güç işlevidir. “Nasıl yani? Ve derece nerede? ”, Konuyu hatırla“ ”!
   Evet, evet, kök de bir derecedir, yalnızca kesirli bir derecedir:
   Yani bizim karekökümüz sadece üslü bir kuvvettir:
   .
   Yakın zamanda öğrenilen formülü kullanarak türevi arıyoruz:

   Bu noktada tekrar belirsiz hale gelirse, "" konusunu tekrarlayın !!! (negatif göstergeli bir derece hakkında)

2. . Şimdi üs:

   Ve şimdi tanım yoluyla (henüz unuttunuz mu?):
   ;
   .
   Şimdi, her zamanki gibi, aşağıdakileri içeren terimi ihmal ediyoruz:
   .

3. . Önceki vakaların kombinasyonu: .

trigonometrik fonksiyonlar.

Burada yüksek matematikten bir gerçeği kullanacağız:

Ne zaman ifade.

Enstitünün ilk yılında ispatı öğreneceksiniz (ve oraya gitmek için sınavı iyi geçmeniz gerekiyor). Şimdi sadece grafiksel olarak göstereceğim:

İşlev olmadığında - grafikteki noktanın delindiğini görüyoruz. Ama değere ne kadar yakınsa fonksiyon da o kadar yakındır, işte bu “çaba”dır.

Ek olarak, bu kuralı bir hesap makinesi ile kontrol edebilirsiniz. Evet evet utanmayın elinize hesap makinesi alın daha sınava gelmedik.

Hadi deneyelim: ;

Hesap makinesini Radyan moduna geçirmeyi unutmayın!

vb. Oranın değeri ne kadar küçükse, o kadar yakın olduğunu görüyoruz.

a) Bir fonksiyon düşünün. Her zamanki gibi, artışını buluyoruz:

Sinüs farkını ürüne çevirelim. Bunu yapmak için formülü kullanıyoruz ("" konusunu hatırlayın):.

Şimdi türev:

Bir ikame yapalım: . O zaman, sonsuz küçük için, aynı zamanda sonsuz küçüktür: . ifadesi şu şekildedir:

Ve şimdi bunu ifadeyle hatırlıyoruz. Ayrıca, toplamda (yani, at) sonsuz küçük bir değer ihmal edilebilirse ne olur?

Böylece aşağıdaki kuralı elde ederiz: sinüsün türevi kosinüsüne eşittir:

Bunlar temel (“tablo”) türevlerdir. İşte bir listedeler:

Daha sonra bunlara birkaç tane daha ekleyeceğiz, ancak bunlar en sık kullanıldığı için en önemlileridir.

Uygulama:

1. Bir noktada bir fonksiyonun türevini bulun;
2. Fonksiyonun türevini bulun.

Çözümler:

1. İlk önce türevi buluyoruz Genel görünüm, ve sonra onun değerini değiştirin:
   ;
   .
2. Burada güç fonksiyonuna benzer bir şeyimiz var. Onu getirmeye çalışalım
   Normal görünüm:
   .
   Tamam, şimdi formülü kullanabilirsiniz:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Ne var????

Tamam, haklısın, hala bu tür türevleri nasıl bulacağımızı bilmiyoruz. Burada birkaç tip fonksiyonun bir kombinasyonuna sahibiz. Onlarla çalışmak için birkaç kural daha öğrenmeniz gerekir:

Üs ve doğal logaritma.

Matematikte, türevi herhangi biri için işlevin değerine eşit olan böyle bir işlev vardır. Buna "üs" denir ve üstel bir işlevdir.

Bu işlevin temeli - bir sabit - sonsuz bir ondalık kesirdir, yani irrasyonel bir sayıdır (gibi). Buna "Euler numarası" denir, bu yüzden bir harfle gösterilir.

Yani kural:

Hatırlaması çok kolay.

Neyse uzaklara gitmeyelim hemen düşünelim ters fonksiyon. Üstel fonksiyonun tersi nedir? Logaritma:

Bizim durumumuzda, taban bir sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani, tabanlı bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir notasyon kullanırız: bunun yerine yazarız.

Neye eşittir? Tabii ki, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. fonksiyonunun türevi nedir?

Yanıtlar: Üs ve doğal logaritma, türev açısından benzersiz şekilde basit olan fonksiyonlardır. Başka bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır, bunu daha sonra türev kurallarını inceledikten sonra inceleyeceğiz.

farklılaşma kuralları

Ne kuralları? Yine yeni bir terim mi?!...

farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Sadece ve her şey. Bu işlemin diğer adı nedir? Proizvodnovanie değil... Matematiğin diferansiyeline, fonksiyonun en fazla artışı denir. Bu terim Latin farklılığından gelir - farklılık. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken, örneğin ve gibi iki işlev kullanacağız. Artımları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplamda 5 kural vardır.

Sabit, türevin işaretinden çıkarılır.

Eğer - bir sabit sayı (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural şu ​​fark için de geçerlidir: .

Hadi kanıtlayalım. İzin ver ya da daha kolay.

Örnekler

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. noktada;
2. noktada;
3. noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (türev her noktada aynıdır, çünkü lineer bir fonksiyondur, hatırladınız mı?);

Bir ürünün türevi

Burada her şey benzer: yeni bir fonksiyon tanıtıyoruz ve artışını buluyoruz:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. Bir fonksiyonun bir noktada türevini bulun.

Çözümler:

üstel fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, sadece üssü değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (henüz ne olduğunu unuttunuz mu?).

Peki bir sayı nerede.

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, bu yüzden fonksiyonumuzu yeni bir tabana getirmeye çalışalım:

Bunun için kullanıyoruz basit kural: . O zamanlar:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün, üssün türevine çok benzer olduğu ortaya çıktı: olduğu gibi, sadece bir sayı olan, ancak bir değişken olmayan sadece bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan bir sayıdır, yani daha fazla yazmanın bir yolu yoktur. basit biçim. Bu nedenle, cevapta bu formda bırakılmıştır.

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

İşte benzer: doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip logaritmadan keyfi bir bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana getirmemiz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Sadece şimdi bunun yerine yazacağız:

Paydanın sadece bir sabit olduğu ortaya çıktı (değişkensiz sabit bir sayı). Türev çok basittir:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri sınavda neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık işlev" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil ve bir yay tanjantı değil. Bu işlevleri anlamak zor olabilir (logaritma size zor geliyorsa, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve her şey yoluna girecek), ancak matematik açısından "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir konveyör hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Böyle bir kompozit nesne ortaya çıkıyor: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata. Bir çikolatayı yemek için zıt adımları ters sırada yapmanız gerekir.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız ve sonra elde edilen sayının karesini alacağız. Yani, bize bir sayı veriyorlar (çikolata), kosinüsünü (sarıcı) buluyorum ve sonra elde ettiğimin karesini alıyorsun (bir kurdele ile bağla). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyona bir örnektir: değerini bulmak için, doğrudan değişkenle ilk eylemi yaptığımızda ve ardından birincinin sonucu olarak olanlarla ikinci bir eylemi yaptığımızda.

Aynı işlemleri ters sırada da yapabiliriz: önce sen kare, sonra ben ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım:. Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Karmaşık işlevlerin önemli bir özelliği: Eylemlerin sırası değiştiğinde işlev değişir.

Başka bir deyişle, Karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir.: .

İlk örnek için, .

İkinci örnek: (aynı). .

Yaptığımız son eylem çağrılacak "harici" işlev, ve ilk gerçekleştirilen eylem - sırasıyla "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, onları sadece materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi işlevin harici, hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış işlevlerin ayrılması, değişen değişkenlere çok benzer: örneğin, işlevde

1. İlk önce hangi işlemi yapacağız? Önce sinüsü hesaplıyoruz ve ancak o zaman onu bir küp haline getiriyoruz. Yani harici bir fonksiyon değil, dahili bir fonksiyondur.
   Ve asıl işlev onların bileşimidir: .
2. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
3. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
4. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
5. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .

değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ederiz.

Şimdi çikolatamızı çıkaracağız - türevi arayın. Prosedür her zaman tersine çevrilir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnek için şöyle görünür:

Başka bir örnek:

Öyleyse nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

Her şey basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili: ;

Harici: ;

2) Dahili: ;

(Şimdilik azaltmaya çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkarılmaz, hatırladınız mı?)

3) Dahili: ;

Harici: ;

Burada üç seviyeli bir karmaşık fonksiyon olduğu hemen açıktır: sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir fonksiyondur ve hala kökü ondan çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir sargıya koyuyoruz) ve bir evrak çantasında bir kurdele ile). Ancak korkmak için bir neden yok: her neyse, bu işlevi her zamanki gibi aynı sırayla “açacağız”: sondan.

Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi ayırt ederiz. Sonra hepsini çoğaltıyoruz.

Bu gibi durumlarda, eylemleri numaralandırmak uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla yapacağız? Bir örneğe bakalım:

Eylem ne kadar sonra gerçekleştirilirse, ilgili işlev o kadar "harici" olacaktır. Eylemlerin sırası - daha önce olduğu gibi:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Eylemin seyrini belirleyelim.

1. Radikal ifade. .

2. Kök. .

3. Sinüs. .

4. Kare. .

5. Hepsini bir araya getirmek:

TÜREV. KISACA ANA HAKKINDA

fonksiyon türevi- fonksiyonun artışının, argümanın sonsuz küçük bir artışıyla argümanın artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit, türevin işaretinden alınır:

Toplamın türevi:

türev ürün:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

1. "İç" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
2. "Dış" işlevi tanımlarız, türevini buluruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.

Karmaşık işlevler her zaman karmaşık bir işlevin tanımına uymaz. y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 biçiminde bir işlev varsa, y \u003d sin 2 x'in aksine karmaşık olarak kabul edilemez.

Bu makale, karmaşık bir işlev kavramını ve tanımını gösterecektir. Sonuçtaki çözüm örnekleriyle türevi bulmak için formüllerle çalışalım. Türev tablosu ve türev alma kurallarının kullanılması türev bulma süresini önemli ölçüde azaltır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Temel tanımlar

Karmaşık bir işlev, argümanı da bir işlev olan bir işlevdir.

Bu şekilde gösterilir: f (g (x)) . g (x) işlevinin bir f (g (x)) argümanı olarak kabul edildiğine sahibiz.

tanım 2

Bir f fonksiyonu varsa ve bir kotanjant fonksiyon ise, g(x) = ln x doğal logaritma fonksiyonudur. Karmaşık f (g (x)) fonksiyonunun arctg (lnx) olarak yazılacağını anlıyoruz. Veya g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3'ün tam bir rasyonel fonksiyon olarak kabul edildiği 4. güce yükseltilmiş bir fonksiyon olan f fonksiyonu, f (g (x)) \u003d (x) 2 + 2 x - 3) 4 .

Açıkçası g(x) yanıltıcı olabilir. y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 örneğinden, g değerinin kesirli bir küp köküne sahip olduğu görülebilir. Bu ifade y = f (f 1 (f 2 (x))) şeklinde gösterilebilir. Buradan f'nin bir sinüs fonksiyonu ve f 1'in altında bulunan bir fonksiyon olduğunu görüyoruz. kare kök, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - kesirli rasyonel fonksiyon.

tanım 3

Yuvalama derecesi herhangi bir doğal sayı ile tanımlanır ve y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) şeklinde yazılır.

tanım 4

Fonksiyon bileşimi kavramı, problem ifadesine göre iç içe geçmiş fonksiyonların sayısını ifade eder. Çözüm için, formun karmaşık bir fonksiyonunun türevini bulma formülü

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Örnekler

y = (2 x + 1) 2 biçimindeki karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun.

Çözüm

Geleneksel olarak f bir kare alma işlevidir ve g(x) = 2 x + 1 doğrusal bir işlev olarak kabul edilir.

Karmaşık bir fonksiyon için türev formülünü uygularız ve şunu yazarız:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Fonksiyonun basitleştirilmiş bir başlangıç ​​formuna sahip bir türev bulmak gerekir. Alırız:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Bu yüzden bizde var

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Sonuçlar eşleşti.

Bu tür problemleri çözerken, f ve g (x) formunun işlevinin nerede bulunacağını anlamak önemlidir.

Örnek 2

y \u003d sin 2 x ve y \u003d sin x 2 biçimindeki karmaşık fonksiyonların türevlerini bulmalısınız.

Çözüm

Fonksiyonun ilk girişi f'nin kare alma fonksiyonu ve g(x)'in sinüs fonksiyonu olduğunu söylüyor. O zaman bunu alırız

y "= (günah 2 x)" = 2 günah 2 - 1 x (günah x)" = 2 günah x cos x

İkinci giriş, f'nin bir sinüs fonksiyonu olduğunu ve g (x) = x 2'nin güç fonksiyonunu gösterdiğini gösterir. Karmaşık bir fonksiyonun çarpımı şu şekilde yazılabilir:

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (fn (x)))))) türevi için formül y "= f" (f 1 (f 2 (f 3)) olarak yazılacaktır (. . . ( fn (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (fn (x))))) f 2 " (f 3 (. . . (fn (x)) )) )) . . . fn "(x)

Örnek 3

y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm

Bu örnek, yazmanın ve işlevlerin yerini belirlemenin karmaşıklığını göstermektedir. O zaman y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) , burada f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) sinüs işlevidir, işlev 3 dereceye yükseltme, logaritması ve tabanı e olan bir fonksiyon, ark tanjantının bir fonksiyonu ve bir lineer fonksiyon.

Karmaşık bir fonksiyonun tanımı için formülden şunu elde ederiz:

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f)) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Ne bulacağını almak

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))), türev tablosundaki sinüsün türevi olarak, sonra f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)) ))))) ) = cos (ln 3 arktg (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) bir güç fonksiyonunun türevi olarak, sonra f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 arktg (2 x) = 3 ln 2 arktg (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))), logaritmik bir türev olarak, sonra f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) ark tanjantının bir türevi olarak, daha sonra f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. F 4 (x) \u003d 2 x türevini bulurken, 1 olan bir üs ile güç fonksiyonunun türevi formülünü kullanarak türevin işaretinden 2 çıkarın, ardından f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Ara sonuçları birleştiririz ve bunu elde ederiz.

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f)) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 arktan (2 x)) 3 ln 2 arktan (2 x) 1 arktan (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 arktan (2 x)) ln 2 arktan (2 x) arktan (2 x) (1 + 4 x 2)

Bu tür işlevlerin analizi, iç içe geçmiş bebekleri andırır. Türev tablosu kullanılarak türevlendirme kuralları her zaman açık bir şekilde uygulanamaz. Genellikle karmaşık fonksiyonların türevlerini bulmak için formülü uygulamanız gerekir.

Karmaşık bir görünüm ile karmaşık bir işlev arasında bazı farklılıklar vardır. Bunu ayırt etme yeteneği ile türevleri bulmak özellikle kolay olacaktır.

Örnek 4

Böyle bir örnek getirmek üzerinde düşünmek gerekir. y = tg 2 x + 3 tgx + 1 biçiminde bir fonksiyon varsa, o zaman g (x) = tgx , f (g) = g 2 + 3 g + 1 formunun karmaşık bir fonksiyonu olarak düşünülebilir. . Açıkçası, karmaşık türev için formülü uygulamak gerekir:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 tgx + 3; g " (x) = (tgx) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 tgx + 3 ) 1 çünkü 2 x = 2 tanx + 3 çünkü 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 biçimindeki bir fonksiyon, t g x 2 , 3 t g x ve 1 toplamına sahip olduğundan karmaşık kabul edilmez. Bununla birlikte, t g x 2 karmaşık bir işlev olarak kabul edilir, o zaman teğetin bir işlevi olan g (x) \u003d x 2 ve f biçiminde bir güç işlevi elde ederiz. Bunu yapmak için, miktara göre farklılaştırmanız gerekir. anladık

y " = (tgx 2 + 3 tgx + 1) " = (tgx 2) " + (3 tgx) " + 1 " == (tgx 2) " + 3 (tgx) " + 0 = (tgx 2) " + 3 çünkü 2 x

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmaya devam edelim (t g x 2) ":

f "(g (x)) \u003d (tg (g (x))) " \u003d 1 cos 2 g (x) \u003d 1 cos 2 (x 2) g " (x) \u003d (x 2) " \u003d 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (tgx 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Karmaşık işlevler, karmaşık işlevlere dahil edilebilir ve karmaşık işlevlerin kendileri, karmaşık formun karmaşık işlevleri olabilir.

Örnek 5

Örneğin, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) biçimindeki karmaşık bir işlevi ele alalım.

Bu fonksiyon y = f (g (x)) olarak temsil edilebilir, burada f değeri 3 tabanına göre logaritmanın bir fonksiyonudur ve g (x), h (x) formunun iki fonksiyonunun toplamı olarak kabul edilir. ) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 ve k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Açıkçası, y = f (h (x) + k (x)) .

h(x) fonksiyonunu düşünün. Bu, l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7'nin m (x) = e x 2 + 3 3'e oranıdır.

l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x), n (x) = x 2 + 7 ve p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , burada p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) sayısal katsayısı 3 olan karmaşık bir fonksiyondur ve p 1 a küp fonksiyonu, p 2 kosinüs fonksiyonu, p 3 (x) = 2 x + 1 - doğrusal fonksiyon.

m (x) = ex 2 + 3 3 = q (x) + r (x), q (x) = ex 2 ve r (x) = 3 3 olmak üzere iki fonksiyonun toplamı olduğunu bulduk, burada q (x) = q 1 (q 2 (x)) karmaşık bir fonksiyondur, q 1 üslü bir fonksiyondur, q 2 (x) = x 2 bir kuvvet fonksiyonudur.

Bu, h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) olduğunu gösterir. (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) biçimindeki bir ifadeye geçerken, işlevin karmaşık bir s (x) \ olarak temsil edildiği açıktır. u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) tamsayı rasyonel t (x) = x 2 + 1 ile, burada s 1 kare alma işlevidir ve s 2 (x) = ln x, e tabanı ile logaritmiktir .

Bundan, ifadenin k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) biçimini alacağı sonucu çıkar.

O zaman bunu alırız

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Fonksiyonun yapılarına göre türevlenirken ifadeyi sadeleştirmek için nasıl ve hangi formüllerin uygulanması gerektiği ortaya çıktı. Bu tür problemlere aşina olmak ve çözümlerini anlamak için bir fonksiyonun türevini alma, yani türevini bulma noktasına başvurmak gerekir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Buraya geldiğinizden beri, muhtemelen bu formülü ders kitabında görmeyi başardınız.

ve şöyle bir yüz yapın:

Dostum, merak etme! Aslında, her şeyi rezil etmek kolaydır. Kesinlikle her şeyi anlayacaksın. Sadece bir istek - makaleyi okuyun yavaşça Her adımı anlamaya çalışın. Mümkün olduğunca basit ve net yazdım, ancak yine de fikri incelemeniz gerekiyor. Ve makaledeki görevleri çözdüğünüzden emin olun.

Karmaşık fonksiyon nedir?

Başka bir daireye taşındığınızı ve bu nedenle eşyaları büyük kutulara koyduğunuzu hayal edin. biraz toplayalım küçük eşyalarörneğin okul kırtasiye malzemeleri. Onları büyük bir kutuya atarsanız, diğer şeylerin arasında kaybolurlar. Bunu önlemek için, önce bunları örneğin bir torbaya koyarsınız, daha sonra büyük bir kutuya koyarsınız ve ardından mühürlersiniz. Bu "en zor" süreç aşağıdaki şemada gösterilmiştir:

Görünüşe göre, matematik nerede? Üstelik karmaşık bir fonksiyon TAMAMEN AYNI şekilde oluşur! Sadece defterleri ve kalemleri değil, \ (x \) "paketliyoruz", farklı "paketler" ve "kutular" hizmet veriyor.

Örneğin, x'i alıp bir fonksiyona "paketleyelim":

Sonuç olarak, elbette \(\cos⁡x\) elde ederiz. Bu bizim "şey çantamız". Ve şimdi onu bir "kutuya" koyuyoruz - örneğin kübik bir fonksiyona paketliyoruz.

Sonunda ne olacak? Evet, doğru, bir "kutudaki şeyleri içeren paket", yani "kosinüs x küp" olacak.

Ortaya çıkan yapı karmaşık bir işlevdir. Bu basit olandan farklıdır BİRÇOK "etki" (paket) arka arkaya bir X'e uygulanır ve sanki "bir fonksiyondan bir fonksiyon" - "bir paket içinde bir paket" ortaya çıkıyor.

Okul kursunda, bu aynı “paketlerin” çok az türü vardır, sadece dört tane:

Şimdi x'i önce tabanı 7 olan bir üstel fonksiyona ve sonra bir trigonometrik fonksiyona "paketleyelim". Alırız:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Şimdi x'i iki kez "paketleyelim" trigonometrik fonksiyonlar, önce , sonra da :

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Basit, değil mi?

Şimdi fonksiyonları kendiniz yazın, burada x:
- ilk önce bir kosinüs içine “paketlenir” ve ardından tabanı \(3\) olan bir üstel fonksiyona “paketlenir”;
- önce beşinci güce, sonra teğete;
- ilk önce temel logaritmaya \(4\) , ardından \(-2\) gücüne gidin.

Makalenin sonunda bu sorunun yanıtlarına bakın.

Ama x'i iki değil üç kez "paketleyebilir miyiz"? Sorun yok! Ve dört, ve beş ve yirmi beş kez. Burada, örneğin, x'in \(4\) kez "paketlendiği" bir fonksiyon verilmiştir:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ancak bu tür formüller okul uygulamasında bulunmayacaktır (öğrenciler daha şanslıdır - daha zor olabilir☺).

Karmaşık bir işlevi "açma"

Önceki fonksiyona tekrar bakın. "Paketleme" sırasını anlayabiliyor musunuz? X'in önce neye doldurulduğu, sonra ne olduğu vb. sonuna kadar devam eder. Yani hangi fonksiyon hangisinde yuvalanmıştır? Bir parça kağıt alın ve ne düşündüğünüzü yazın. Bunu yukarıda yazdığımız gibi bir ok zinciri ile veya başka bir şekilde yapabilirsiniz.

Şimdi doğru cevap: önce x, \(4\)inci kuvvete "paketlendi", sonra sonuç sinüse paketlendi, sırayla logaritma tabanına \(2\) yerleştirildi ve sonunda tüm yapı güç beşlisine itildi.

Yani, diziyi TERS SIRADAN çözmek gerekir. Ve işte nasıl daha kolay yapılacağına dair bir ipucu: sadece X'e bakın - ondan dans etmeniz gerekiyor. Birkaç örneğe bakalım.

Örneğin, burada bir fonksiyon var: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). X'e bakarız - önce ona ne olur? Ondan alındı. Ve daha sonra? Sonucun tanjantı alınır. Ve sıra aynı olacak:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Başka bir örnek: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analiz ediyoruz - önce x'in küpü alındı ​​ve ardından sonuçtan kosinüs alındı. Böylece dizi şöyle olacaktır: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Dikkat edin, işlev ilkine benzer görünüyor (resimlerle birlikte). Ancak bu tamamen farklı bir fonksiyondur: burada x küpünde (yani, \(\cos⁡((xxx)))\) ve orada küpte kosinüs \(x\) (yani, \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Bu fark, farklı "paketleme" dizilerinden kaynaklanmaktadır.

Son örnek (ile önemli bilgi içinde): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Burada önce x ile aritmetik işlemler yaptığımız, ardından sonuçtan sinüsün alındığı açıktır: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Ve bu önemli nokta: aritmetik işlemlerin kendi başlarına birer fonksiyon olmamasına rağmen, burada aynı zamanda bir "paketleme" yolu olarak da işlev görürler. Bu inceliği biraz daha derinlemesine inceleyelim.

Yukarıda söylediğim gibi, basit işlevlerde x bir kez "paketlenir" ve karmaşık işlevlerde - iki veya daha fazla. Ayrıca, basit fonksiyonların herhangi bir kombinasyonu (yani, bunların toplamı, farkı, çarpması veya bölünmesi) de basit bir fonksiyondur. Örneğin, \(x^7\) basit bir fonksiyondur ve \(ctg x\) de öyledir. Bu nedenle, tüm kombinasyonları basit işlevlerdir:

\(x^7+ ctg x\) - basit,
\(x^7 ctg x\) basittir,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) basittir, vb.

Bununla birlikte, böyle bir kombinasyona bir fonksiyon daha uygulanırsa, iki “paket” olacağı için zaten karmaşık bir fonksiyon olacaktır. Şemaya bakın:

Tamam, şimdi devam edelim. "Sarma" işlevlerinin sırasını yazın:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Cevaplar yine yazının sonunda.

Dahili ve harici fonksiyonlar

İşlev iç içe yerleştirmeyi neden anlamamız gerekiyor? Bu bize ne veriyor? Mesele şu ki, böyle bir analiz olmadan yukarıda tartışılan fonksiyonların türevlerini güvenilir bir şekilde bulamayacağız.

Ve devam etmek için iki konsepte daha ihtiyacımız olacak: dahili ve harici fonksiyonlar. Bu çok basit bir şey, üstelik, onları yukarıda zaten analiz ettik: En baştaki analojimizi hatırlarsak, o zaman iç işlev “paket” ve dış işlev “kutu”. Şunlar. X'in ilk olarak "sarıldığı" şey bir iç işlevdir ve dahili olanın "sarıldığı" şey zaten dışsaldır. Eh, neden anlaşılabilir - dışarıda, harici anlamına geliyor.

İşte bu örnekte: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) işlevi dahilidir ve
- harici.

Ve bunda: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) dahilidir ve
- harici.

Karmaşık fonksiyonları analiz etmenin son uygulamasını yapın ve son olarak, her şeyin başladığı noktaya gidelim - karmaşık fonksiyonların türevlerini bulacağız:

Tablodaki boşlukları doldurun:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Bravo bize, hala bu konunun "patronuna" geldik - aslında, karmaşık bir fonksiyonun türevi ve özellikle makalenin başlangıcından bu çok korkunç formüle.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Bu formül şöyle okur:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi, dış fonksiyonun türevinin sabit iç fonksiyona göre türevi ile dahili fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.

Ve neyle ilgili olacağını anlamak için kelimelere göre hemen ayrıştırma şemasına bakın:

Umarım "türev" ve "ürün" terimleri zorluklara neden olmaz. "Karmaşık işlev" - zaten söktük. Yakalama, "dış fonksiyonun dahili sabite göre türevi"ndedir. Ne olduğunu?

Cevap: Bu, sadece dış fonksiyonun değiştiği, iç fonksiyonun aynı kaldığı dış fonksiyonun olağan türevidir. Hala temiz değil? Tamam, bir örnek alalım.

Diyelim ki bir \(y=\sin⁡(x^3)\) fonksiyonumuz var. Buradaki iç fonksiyonun \(x^3\) olduğu ve dış fonksiyonun
. Şimdi dış sabitin iç sabite göre türevini bulalım.

karmaşık türevler. Logaritmik türev.
üstel fonksiyonun türevi

Farklılaştırma tekniğimizi geliştirmeye devam ediyoruz. Bu derste, kapsanan materyali pekiştireceğiz, daha karmaşık türevleri ele alacağız ve ayrıca türevi bulmak için yeni hileler ve püf noktaları, özellikle logaritmik türev ile tanışacağız.

Hazırlık seviyesi düşük olan okuyucular makaleye başvurmalıdır. Türev nasıl bulunur? Çözüm örnekleri bu da becerilerinizi neredeyse sıfırdan geliştirmenize izin verecek. Ardından, sayfayı dikkatlice incelemeniz gerekir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, anla ve çöz Tümü verdiğim örnekler. Bu ders mantıksal olarak arka arkaya üçüncü derstir ve ustalaştıktan sonra, oldukça karmaşık işlevleri güvenle ayırt edeceksiniz. “Başka nerede? Yeter!”, çünkü tüm örnekler ve çözümler gerçek hayattan alınmıştır. kontrol işleri ve uygulamada sıklıkla karşılaşılmaktadır.

Tekrarla başlayalım. Derste Karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrıntılı yorumlarla bir dizi örnek inceledik. Diferansiyel hesabı ve matematiksel analizin diğer bölümlerini incelerken, çok sık türev almanız gerekecek ve örnekleri ayrıntılı olarak boyamak her zaman uygun (ve her zaman gerekli değildir) değildir. Bu nedenle, türevlerin sözlü olarak bulunmasında pratik yapacağız. Bunun için en uygun "adaylar", en basit karmaşık fonksiyonların türevleridir, örneğin:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi kuralına göre :

Gelecekte diğer matan konularını incelerken, böyle ayrıntılı bir kayıt çoğu zaman gerekli değildir, öğrencinin otomatik pilotta benzer türevleri bulabileceği varsayılır. Diyelim ki sabah saat 3'te telefon çaldı ve hoş bir ses sordu: "İki x'in tanjantının türevi nedir?". Bunu neredeyse anında ve kibar bir yanıt izlemelidir: .

İlk örnek hemen bağımsız bir çözüme yönelik olacaktır.

örnek 1

Aşağıdaki türevleri sözlü olarak tek adımda bulun, örneğin: . Görevi tamamlamak için sadece kullanmanız gerekir temel fonksiyonların türevleri tablosu(eğer daha önce hatırlamadıysa). Herhangi bir zorluk yaşarsanız, dersi tekrar okumanızı tavsiye ederim. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Dersin sonunda cevaplar

karmaşık türevler

Ön topçu hazırlığından sonra, 3-4-5 ek işlevli örnekler daha az korkutucu olacaktır. Belki aşağıdaki iki örnek bazılarına karmaşık gelebilir, ancak bunlar anlaşılırsa (birisi acı çeker), o zaman diferansiyel hesaptaki hemen hemen her şey bir çocuk şakası gibi görünecektir.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken, her şeyden önce, gereklidir. sağ YATIRIMLARI ANLAMAK. Şüphelerin olduğu durumlarda, size faydalı bir numarayı hatırlatıyorum: Örneğin, "x" deneysel değerini alıyoruz ve (zihinsel olarak veya taslakta) bu değeri "korkunç ifade" ile değiştirmeye çalışıyoruz.

1) İlk önce ifadeyi hesaplamamız gerekiyor, bu nedenle toplam en derin yuvalamadır.

2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:

4) Ardından kosinüsü küp haline getirin:

5) Beşinci adımda, fark:

6) Ve son olarak, en dıştaki fonksiyon kareköktür:

Karmaşık Fonksiyon Farklılaşma Formülü en dıştaki fonksiyondan en içtekine doğru ters sırada uygulanır. Karar veriyoruz:

Hata yok gibi...

(1) Karekökün türevini alıyoruz.

(2) Kuralı kullanarak farkın türevini alırız

(3) Üçlünün türevi sıfıra eşittir. İkinci terimde, derecenin (küp) türevini alıyoruz.

(4) Kosinüsün türevini alıyoruz.

(5) Logaritmanın türevini alıyoruz.

(6) Son olarak, en derin yuvalamanın türevini alıyoruz.

Çok zor görünebilir, ancak bu en acımasız örnek değil. Örneğin, Kuznetsov'un koleksiyonunu alın ve analiz edilen türevin tüm cazibesini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.

Aşağıdaki örnek, bağımsız bir çözüm içindir.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

İpucu: İlk önce doğrusallık kurallarını ve ürünün türev alma kuralını uyguluyoruz.

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Daha kompakt ve daha güzel bir şeye geçmenin zamanı geldi.
Bir örnekte iki değil üç fonksiyonun çarpımının verildiği bir durum için nadir değildir. Üç faktörün ürününün türevi nasıl bulunur?

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Önce bakıyoruz ama üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına çevirmek mümkün müdür? Örneğin, üründe iki polinomumuz olsaydı, parantezleri açabilirdik. Ancak bu örnekte tüm fonksiyonlar farklıdır: derece, üs ve logaritma.

Böyle durumlarda gerekli art ardaürün farklılaştırma kuralını uygula iki kere

İşin püf noktası, "y" için iki fonksiyonun çarpımını belirtmemizdir: ve "ve" için - logaritma:. Bu neden yapılabilir? bu mu - bu iki faktörün ürünü değil ve kural çalışmıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralı ikinci kez uygulamak kalıyor parantez için:

Yine de saptırabilir ve parantezlerden bir şey çıkarabilirsiniz, ancak bu durumda cevabı bu biçimde bırakmak daha iyidir - kontrol etmek daha kolay olacaktır.

Yukarıdaki örnek ikinci şekilde çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.

Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bağımsız bir çözüm için bir örnektir, örnekte ilk şekilde çözülmüştür.

Kesirlerle ilgili benzer örnekleri düşünün.

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada birkaç yoldan gidebilirsiniz:

Veya bunun gibi:

Ancak, her şeyden önce bölümün türev kuralını kullanırsak, çözüm daha kompakt bir şekilde yazılabilir. , tam payı alarak:

Prensip olarak örnek çözülür ve bu şekilde bırakılırsa hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, her zaman bir taslağı kontrol etmeniz önerilir, ancak cevabı basitleştirmek mümkün müdür? Payın ifadesini ortak bir paydaya getiriyoruz ve üç katlı kesirden kurtul:

Ek sadeleştirmelerin dezavantajı, türev bulurken değil, banal okul dönüşümlerinde hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan, öğretmenler genellikle görevi reddeder ve türevi “akla getirmek” ister.

Kendin yap çözümü için daha basit bir örnek:

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türev bulma tekniklerinde uzmanlaşmaya devam ediyoruz ve şimdi türev için “korkunç” bir logaritma önerildiğinde tipik bir durumu ele alacağız.

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada karmaşık bir fonksiyonun türev kuralını kullanarak uzun bir yol kat edebilirsiniz:

Ancak ilk adım sizi hemen umutsuzluğa sokar - kesirli bir dereceden hoş olmayan bir türev almanız ve ardından bir kesirden almanız gerekir.

Böyle önceki"fantezi" logaritmanın türevi nasıl alınır, daha önce iyi bilinen okul özellikleri kullanılarak basitleştirilmiştir:

! Elinizde pratik bir not defteri varsa, bu formülleri buraya kopyalayın. Bir defteriniz yoksa, onu bir kağıda yeniden çizin, çünkü dersin kalan örnekleri bu formüller etrafında dönecektir.

Çözümün kendisi şu şekilde formüle edilebilir:

Fonksiyonu dönüştürelim:

Türevini buluyoruz:

Fonksiyonun ön dönüşümü, çözümü büyük ölçüde basitleştirdi. Bu nedenle, türev için benzer bir logaritma önerildiğinde, her zaman “parçalanması” tavsiye edilir.

Ve şimdi bağımsız bir çözüm için birkaç basit örnek:

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Tüm dönüşümler ve cevaplar dersin sonunda.

logaritmik türev

Logaritmaların türevi çok tatlı bir müzikse, o zaman soru ortaya çıkar, bazı durumlarda logaritmayı yapay olarak düzenlemek mümkün müdür? Olabilmek! Ve hatta gerekli.

Örnek 11

Bir fonksiyonun türevini bulun

Son zamanlarda ele aldığımız benzer örnekler. Ne yapalım? Bölümün türev alma kuralını ve ardından ürünün türev alma kuralını art arda uygulayabilirsiniz. Bu yöntemin dezavantajı, hiç uğraşmak istemediğiniz üç katlı devasa bir kesir elde etmenizdir.

Ancak teoride ve pratikte logaritmik türev gibi harika bir şey var. Logaritmalar, her iki tarafa da "asılarak" yapay olarak düzenlenebilir:

Şimdi sağ tarafın logaritmasını mümkün olduğunca “çözmeniz” gerekiyor (formüller gözünüzün önünde mi?). Bu süreci ayrıntılı olarak anlatacağım:

Farklılaştırma ile başlayalım.
Her iki bölümü de bir vuruşla bitiriyoruz:

Sağ tarafın türevi oldukça basit, onun hakkında yorum yapmayacağım, çünkü bu metni okuyorsanız, güvenle halledebilmelisiniz.

Peki sol taraf?

sol tarafta bizde karmaşık fonksiyon. “Neden, logaritmanın altında bir “y” harfi var?” Sorusunu öngörüyorum.

Gerçek şu ki, bu "bir harf y" - KENDİ İŞLEVİDİR(çok açık değilse, örtük olarak belirtilen bir işlevin türevi makalesine bakın). Bu nedenle, logaritma harici bir fonksiyondur ve "y" bir dahili fonksiyondur. Ve bileşik fonksiyon türev alma kuralını kullanıyoruz :

Sol tarafta, sanki bir dalgayla sihirli değnek türevimiz var. Ayrıca, orantı kuralına göre, sol tarafın paydasından “y”yi sağ tarafın üstüne atıyoruz:

Ve şimdi, ayırt ederken ne tür bir "oyun" işlevinden bahsettiğimizi hatırlıyoruz? duruma bakalım:

Son cevap:

Örnek 12

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda bu türden bir örneğin örnek tasarımı.

Logaritmik türev yardımı ile 4-7 numaralı örneklerden herhangi birini çözmek mümkün oldu, başka bir şey de oradaki fonksiyonların daha basit olması ve belki de logaritmik türevin kullanımı çok haklı değil.

üstel fonksiyonun türevi

Bu işlevi henüz düşünmedik. Üstel bir işlev, sahip bir işlevdir. ve derece ve taban "x"e bağlıdır. Herhangi bir ders kitabında veya herhangi bir derste size verilecek klasik bir örnek:

Üstel bir fonksiyonun türevi nasıl bulunur?

Az önce ele alınan tekniği kullanmak gerekir - logaritmik türev. Her iki tarafa da logaritma asıyoruz:

Kural olarak, derece sağ taraftaki logaritmanın altından alınır:

Sonuç olarak, sağ tarafta standart formüle göre farklılaştırılacak iki fonksiyonun bir çarpımı var. .

Türevi buluyoruz, bunun için her iki parçayı da vuruşlar altına alıyoruz:

Sonraki adımlar kolaydır:

Nihayet:

Bazı dönüşümler tamamen net değilse, lütfen Örnek #11'in açıklamalarını dikkatlice tekrar okuyun.

V pratik görevlerüstel fonksiyon her zaman düşünülen ders örneğinden daha karmaşık olacaktır.

Örnek 13

Bir fonksiyonun türevini bulun

Logaritmik türevi kullanıyoruz.

Sağ tarafta bir sabitimiz var ve iki faktörün çarpımı var - "x" ve "x'in logaritmasının logaritması" (logaritmanın altına başka bir logaritma yerleştirilmiş). Bir sabitin türevini alırken, hatırladığımız gibi, araya girmemesi için onu türevin işaretinden hemen çıkarmak daha iyidir; ve elbette, tanıdık kuralı uygulayın :

Gördüğünüz gibi, logaritmik türevi uygulama algoritması herhangi bir özel numara veya püf noktası içermez ve üstel fonksiyonun türevini bulmak genellikle "eziyet" ile ilişkili değildir.