Bir üçgenin açıortay, karşı tarafı ilişkiye göre böler. Bir üçgenin açıortay ve özellikleri

Bir üçgenin açıortay, üçgenin açısını iki eşit açıya bölen bir doğru parçasıdır. Örneğin, üçgenin açısı 120 0 ise, o zaman açıortay çizerek, her biri 60 0 olan iki açı oluşturacağız.

Ve bir üçgende üç açı olduğu için üç bisektör çizilebilir. Hepsinin bir kesme noktası var. Bu nokta, üçgende yazılı dairenin merkezidir. Başka bir şekilde, bu kesişme noktasına üçgenin merkezi denir.

İç ve dış açıların iki bisektörü kesiştiğinde 90 0'lık bir açı elde edilir. Bir üçgende dış köşe, üçgenin iç köşesine bitişik olan açıdır.

Pirinç. 1. 3 bisektörlü üçgen

Bisektör, karşı tarafı, kenarlara bağlı iki doğru parçasına böler:

$$ (CL \ üst (LB)) = (AC \ üst (AB)) $$

Bisektörün noktaları köşenin kenarlarından eşit uzaklıkta, yani köşenin kenarlarından aynı uzaklıkta. Yani, açıortayın herhangi bir noktasından üçgenin açısının her iki tarafına dikleri indirirsek, bu dikler eşit olacaktır.

Bir tepe noktasından ortanca, açıortay ve yükseklik çizerseniz, ortanca en uzun parça ve yükseklik en kısa parça olacaktır.

Bisektörün bazı özellikleri

Bazı üçgen türlerinde açıortayın özel özellikleri vardır. Bu öncelikle ikizkenar üçgen için geçerlidir. Bu figürün iki özdeş tarafı vardır ve üçüncüsü taban olarak adlandırılır.

Bir ikizkenar üçgenin tepe noktasından tabana bir açıortay çizilirse, hem yükseklik hem de medyan özelliklerine sahip olacaktır. Buna göre açıortayın uzunluğu, ortancanın uzunluğu ve yüksekliği ile çakışmaktadır.

Tanımlar:

• Yükseklik- üçgenin tepesinden karşı tarafa düşen dik ..
• Medyan- üçgenin üst tarafını ve karşı tarafın ortasını birleştiren bir segment.

Pirinç. 2. İkizkenar üçgende Bisektör

Bu aynı zamanda bir eşkenar üçgen, yani üç kenarı da eşit olan bir üçgen için geçerlidir.

Örnek görev

Bir ABC üçgeninde: BR açıortaydır, burada AB = 6 cm, BC = 4 cm ve RC = 2 cm Üçüncü kenarın uzunluğunu çıkarın.

Pirinç. 3. Bir üçgende Bisektör

Çözüm:

Bisektör, üçgenin kenarını belirli bir oranda böler. Bu oranı kullanalım ve AR'yi ifade edelim. Sonra üçüncü kenarın uzunluğunu, bu kenarın açıortay tarafından bölündüğü bölümlerin toplamı olarak bulacağız.

• $ (AB \ üst (BC)) = (AR \ üst (RC)) $
• $ RC = (6 \ üzeri (4)) * 2 = 3 cm $

Sonra tüm segment AC = RC + AR

AC = 3 + 2 = 5 cm.

Alınan toplam puan: 107.

Bir üçgenin açıortayı nedir? Bu soruya, kötü şöhretli farenin köşeyi dönüp köşeyi ikiye bölerek ağzından çıkanlar var. "Cevap "mizahi" olacaksa, belki doğrudur. Ama bilimsel açıdan bakıldığında, bu sorunun cevabı şöyle olmalı: köşenin tepesinden başlayıp ikincisini iki eşit parçaya bölerek. " Geometride bu şekil, üçgenin karşı tarafıyla kesişmeden önce açıortayın bir parçası olarak da algılanır. Bu bir yanlış anlama değildir. Ve açıortay hakkında tanımı dışında başka ne biliniyor?

Noktaların herhangi bir geometrik yeri gibi, kendine has özellikleri vardır. Bunlardan birincisi daha çok bir özellik bile değil, kısaca şöyle ifade edilebilecek bir teoremdir: "Eğer açıortay karşı tarafı ikiye bölerse, oranları büyük olanın kenarlarının oranına tekabül edecektir. üçgen."

Sahip olduğu ikinci özellik: tüm açıların açıortaylarının kesişme noktasına incenter denir.

Üçüncü işaret: Bir üçgenin bir iç ve iki dış köşesinin açıortayı, içindeki üç yazılı daireden birinin merkezinde kesişir.

Bir üçgenin açıortayının dördüncü özelliği, eğer her biri eşitse, ikincisinin ikizkenar olmasıdır.

Beşinci özellik ayrıca bir ikizkenar üçgen ile ilgilidir ve açıortaylar tarafından çizimde tanınması için ana referans noktasıdır, yani: bir ikizkenar üçgende, aynı anda bir medyan ve bir yükseklik rolünü oynar.

Bir açının açıortay bir pusula ve cetvel kullanılarak çizilebilir:

Altıncı kural, bir küpün iki katına çıkarılması, bir dairenin karesinin alınması ve bir açının bu şekilde üçe bölünmesinin imkansız olması gibi, yalnızca mevcut açıortaylarla ikincisini kullanarak bir üçgen oluşturmanın imkansız olduğunu söyler. Kesin konuşmak gerekirse, bunlar bir üçgenin açıortayının tüm özellikleridir.

Önceki paragrafı dikkatlice okursanız, belki de bir cümleyle ilgileniyorsunuzdur. "Bir açının üç bölümü nedir?" - muhtemelen soruyorsun. Trisektör, bisektöre biraz benzer, ancak sonuncuyu çizerseniz, açı iki eşit parçaya bölünecek ve triseksiyon yapılırken - üçe bölünecektir. Doğal olarak, açıortayın hatırlanması daha kolaydır, çünkü okulda triseksiyon öğretilmez. Ama bütünlük adına, size bundan bahsedeceğim.

Trisektör, dediğim gibi, sadece bir pusula ve cetvelle oluşturulamaz, Fujita kuralları ve bazı eğriler kullanılarak oluşturulabilir: Pascal'ın salyangozu, kuadrix, Nicomede konkoid, konik kesitler,

Açı triseksiyon problemleri nevisis kullanılarak kolayca çözülebilir.

Geometride, bir açının trisektörleri hakkında bir teorem vardır. Morley (Morley) teoremi olarak adlandırılır. Her köşenin orta trisektörlerinin kesişme noktalarının köşeler olacağını belirtir.

Büyük olanın içindeki küçük siyah üçgen her zaman eşkenar olacaktır. Bu teorem, 1904'te İngiliz bilim adamı Frank Morley tarafından keşfedildi.

Bir açıyı bölme hakkında öğrenebilecekleriniz şunlardır: Bir açının tribektörü ve bisektörü her zaman ayrıntılı açıklamalar gerektirir. Ancak burada henüz tarafımdan açıklanmayan birçok tanım verildi: Pascal'ın salyangozu, Nicomedes conchoid, vb. Emin olun onlar hakkında daha çok şey yazılabilir.

Bugün çok kolay bir ders olacak. Sadece bir nesneyi - bir açının açıortayını - ele alacağız ve gelecekte bizim için çok yararlı olacak en önemli özelliğini kanıtlayacağız.

Rahatlamayın: bazen aynı OGE veya USE'den yüksek puan almak isteyen öğrenciler, ilk derste bilesektörün tanımını doğru bir şekilde formüle edemezler.

Ve gerçekten ilginç işler yapmak yerine, böyle basit şeylerle zaman harcıyoruz. Bu nedenle okuyun, görün - ve hizmete alın. :)

Yeni başlayanlar için biraz garip bir soru: açı nedir? Bu doğru: açı, aynı noktadan çıkan iki ışındır. Örneğin:

Resimden de görebileceğiniz gibi, köşeler keskin, geniş, düz olabilir - şimdi önemli değil. Çoğu zaman, kolaylık olması için, her ışın üzerinde ek bir nokta işaretlenir ve önümüzde $ AOB $ açısının olduğunu söylerler ($ \ açı AOB $ olarak yazılır).

Açıklığın kaptanı, $ OA $ ve $ OB $ ışınlarına ek olarak, $ O $ noktasından her zaman bir demet ışın çizebileceğinizi ima ediyor gibi görünüyor. Ama aralarında özel bir tane olacak - bisektör denilen o.

Tanım. Bir açının açıortay, o açının tepesinden çıkan ve açıyı ikiye bölen bir ışındır.

Yukarıdaki açılar için açıortaylar şöyle görünecektir:

Dar, geniş ve dik açılar için açıortay örnekleri

Gerçek çizimlerde, belirli bir ışının (bizim durumumuzda $ OM $ ışınıdır) ilk açıyı iki eşit açıya böldüğü her zaman açık olmaktan uzak olduğundan, geometride eşit açıları aynı sayıda yay ile işaretlemek gelenekseldir. (çizimimizde bu, dar açı için 1 yay, kör açı için iki, doğrudan açı için üç yaydır).

Tamam, tanımı bulduk. Şimdi bisektörün hangi özelliklere sahip olduğunu anlamanız gerekiyor.

Bir açının açıortayının ana özelliği

Aslında, bir bisektörün birçok özelliği vardır. Ve bir sonraki derste kesinlikle onlara bakacağız. Ancak şu anda anlamanız gereken bir numara var:

Teorem. Bir açının açıortay, belirli bir açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir.

Matematikten Rusçaya çevrildiğinde, bu aynı anda iki gerçek anlamına gelir:

1. Belirli bir açının açıortayı üzerinde bulunan herhangi bir nokta, bu açının kenarlarından aynı uzaklıkta bulunur.
2. Ve tam tersi: bir nokta belirli bir açının kenarlarından aynı uzaklıkta bulunuyorsa, bu açının açıortayı üzerinde olması garanti edilir.

Bu ifadeleri kanıtlamadan önce, bir noktayı açıklığa kavuşturalım: Aslında, bir noktadan bir açının kenarına olan mesafeye ne denir? Burada, bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin eski moda tanımı bize yardımcı olacaktır:

Tanım. Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı, verilen bir noktadan o doğruya çizilen bir dikmenin uzunluğudur.

Örneğin, $ l $ doğrusunu ve bu doğru üzerinde yer almayan bir $ A $ noktasını ele alalım. Dik bir $ AH $ çizin, burada $ H \ içinde l $. O zaman bu dikin uzunluğu $ A $ noktasından $ l $ düz çizgisine olan mesafe olacaktır.

Bir açı sadece iki kiriş olduğundan ve her kiriş düz bir çizginin parçası olduğundan, bir noktadan açının kenarlarına olan mesafeyi belirlemek kolaydır. Bunlar sadece iki dikeydir:

Bu kadar! Artık mesafenin ve bisektörün ne olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, ana özellik kanıtlanabilir.

Söz verdiğimiz gibi, ispatı iki bölüme ayıralım:

1. Ortaortay üzerindeki bir noktadan açının kenarlarına olan uzaklıklar aynıdır.

$ O $ tepe noktası ve $ OM $ açıortayı ile rastgele bir açı düşünün:

Bu $ M $ noktasının köşenin kenarlarından aynı uzaklıkta olduğunu ispatlayalım.

Kanıt. $ M $ noktasından köşenin kenarlarına dikler çizin. Onlara $ M ((H) _ (1)) $ ve $ M ((H) _ (2)) $ diyelim:

Köşenin kenarlarına dikey çizin

iki tane var sağ üçgen: $ \ değişken OM ((H) _ (1)) $ ve $ \ değişken OM ((H) _ (2)) $. Ortak bir hipotenüs $ OM $ ve eşit açıları vardır:

1. $ \ MO açısı ((H) _ (1)) = \ MO açısı ((H) _ (2)) $ koşula göre ($ OM $ bir açıortay olduğu için);
2. $ \ açı M ((H) _ (1)) O = \ açı M ((H) _ (2)) O = 90 () ^ \ circ $ yapımına göre;
3. $ \ OM açısı ((H) _ (1)) = \ OM açısı ((H) _ (2)) = 90 () ^ \ circ - \ açısı MO ((H) _ (1)) $, çünkü toplama Bir dik üçgenin dar açıları her zaman 90 derecedir.

Sonuç olarak, üçgenler kenarlarda ve iki bitişik açıda eşittir (üçgenlerin eşitliğinin işaretlerine bakın). Bu nedenle, özellikle $ M ((H) _ (2)) = M ((H) _ (1)) $, yani. $ O $ noktasından köşenin kenarlarına olan mesafeler gerçekten eşittir. Q.E.D. :)

2. Mesafeler eşitse, nokta ortay üzerindedir.

Şimdi durum tersine döndü. $ O $ açısı ve bu açının kenarlarından eşit uzaklıkta $ M $ noktası verilsin:

$OM $ ışınının bir açıortay olduğunu ispatlayalım, yani, $ \ MO açısı ((H) _ (1)) = \ MO açısı ((H) _ (2)) $.

Kanıt. Başlamak için, bu çok ışını $ OM $ çizelim, aksi takdirde kanıtlayacak hiçbir şey olmayacak:

$ OM $ ışınını köşede harcadı

Yine iki dik üçgenimiz var: $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ ve $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $. Açıkça eşittirler çünkü:

1. Hipotenüs $ OM $ - toplam;
2. Bacaklar $ M ((H) _ (1)) = M ((H) _ (2)) $ koşula göre (sonuçta $ M $ noktası köşenin kenarlarından eşit uzaklıktadır);
3. Kalan bacaklar da eşittir, çünkü Pisagor teoremi ile $ OH_ (1) ^ (2) = OH_ (2) ^ (2) = O ((M) ^ (2)) - MH_ (1) ^ (2) $.

Bu nedenle, $ \ vartriangle OM ((H) _ (1)) $ ve $ \ vartriangle OM ((H) _ (2)) $ üçgenleri üç taraftadır. Özellikle açıları eşittir: $ \ açısı MO ((H) _ (1)) = \ açısı MO ((H) _ (2)) $. Ve bu sadece $ OM $'ın bir bisektör olduğu anlamına gelir.

Kanıtın sonunda, elde edilen eşit açıları kırmızı yaylarla işaretliyoruz:

Bisektör $ \ açısını ((H) _ (1)) O ((H) _ (2)) $'ı iki eşit parçaya böler

Gördüğünüz gibi, karmaşık bir şey yok. Bir açının açıortayının, bu açının kenarlarına eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri olduğunu kanıtladık. :)

Artık terminolojiye az çok karar verdiğimize göre, yeni bir düzeye geçme zamanı. Bir sonraki derste, açıortayın daha karmaşık özelliklerini analiz edeceğiz ve bunları gerçek problemleri çözmek için nasıl kullanacağımızı öğreneceğiz.

Bir üçgenin açıortay, çalışmada herhangi bir özel zorluğa neden olmayan yaygın bir geometrik kavramdır. Özellikleri hakkında bilgi sahibi olarak, birçok problem çok zorlanmadan çözülebilir. bisektör nedir? Okuyucuyu bu matematiksel çizginin tüm sırlarıyla tanıştırmaya çalışacağız.

Temas halinde

kavramın özü

Kavramın adı, anlamı "bi" - iki, "sectio" - kesim olan Latince kelimelerin kullanımından geldi. Özellikle işaret ediyorlar geometrik anlam kavramlar - kirişler arasındaki boşluğu bölme iki eşit parçaya.

Üçgenin bisektörü, şeklin üst kısmından başlayan ve diğer ucu, boşluğu iki eşit parçaya bölerken diğer ucu da karşısındaki tarafta bulunan bir segmenttir.

Öğrenciler tarafından matematiksel kavramların hızlı çağrışımsal ezberlenmesi için birçok öğretmen, ayetlerde veya çağrışımlarda gösterilen farklı terminoloji kullanır. Tabii ki, bu tanım daha büyük çocuklar için önerilir.

Bu düz çizgi nasıl belirlenir? Burada segmentleri veya ışınları belirtmek için kurallara güveniyoruz. Üçgen bir figürün açısının açıortayının belirlenmesinden bahsediyorsak, genellikle uçları olan bir segment olarak yazılır. tepe noktası ve tepe noktasının karşısındaki tarafla kesişme noktası... Ayrıca, atamanın başlangıcı tam olarak üstten yazılmıştır.

Dikkat! Bir üçgenin kaç tane bisektörü vardır? Cevap açık: Ne kadar üç tepe varsa o kadar var.

Özellikler

Tanıma ek olarak, okul ders kitabında bu geometrik kavramın pek çok özelliğini bulamazsınız. Okul çocuklarına tanıtılan bir üçgenin açıortayının ilk özelliği, yazılı olanın merkezidir ve onunla doğrudan ilgili olan ikincisi, bölümlerin orantılılığıdır. Sonuç aşağıdaki gibidir:

1. Bölme çizgisi ne olursa olsun, üzerinde noktalar vardır. yanlardan aynı uzaklıkta kirişler arasındaki boşluğu oluşturur.
2. Üçgen bir şekle bir daire çizebilmek için, bu doğru parçalarının kesişeceği noktayı belirlemek gerekir. Bu dairenin merkez noktasıdır.
3. Ayırma çizgisinin onu böldüğü üçgen geometrik şeklin kenarının parçaları, açılı kenarlarla orantılı.

Geri kalan özellikleri sisteme getirmeye çalışacağız ve bu geometrik kavramın esasını daha iyi anlamamıza yardımcı olacak ek gerçekler sunacağız.

Uzunluk

Okul çocukları için zorluklara neden olan sorun türlerinden biri, bir üçgenin açıortayının uzunluğunu bulmaktır. Uzunluğunu içeren ilk seçenek aşağıdaki verileri içerir:

• bu segmentin tepesinden çıktığı ışınlar arasındaki boşluk miktarı;
• bu açıyı oluşturan kenarların uzunlukları.

Sorunu çözmek formül kullanılır, anlamı, açıyı oluşturan kenarların değerlerinin iki katının, yarısının kosinüsü ile kenarların toplamına oranını bulmaktır.

Belirli bir örneği ele alalım. A açısından bir doğru parçasının çizildiği ve BC kenarını K noktasında kestiği bir ABC şekli verildiğini varsayalım. A'nın değeri Y ile gösterilir. Buna göre AK = (2 * AB * AC * cos (Y) / 2)) / (AB + AC).

Bir üçgenin açıortay uzunluğunun belirlendiği problemin ikinci versiyonu aşağıdaki verileri içerir:

• şeklin tüm taraflarının anlamları bilinmektedir.

Bu tür bir sorunu çözerken, başlangıçta yarı çevreyi belirle... Bunu yapmak için, tüm tarafların değerlerini ekleyin ve ikiye bölün: p = (AB + BC + AC) / 2. Ardından, önceki problemde bu segmentin uzunluğunu belirlemek için kullanılan hesaplama formülünü uygularız. Sadece yeni parametrelere göre formülün özünde bazı değişiklikler yapmak gerekir. O halde, tepe noktasına bitişik olan kenarların uzunluklarının yarım çevre ile çarpımından ve yarım çevre ile köşe uzunluğu arasındaki farktan ikinci derecenin iki katına çıkan kök oranını bulmak gerekir. açıyı oluşturan kenarların toplamına zıt kenar. Yani AK = (2٦AB * AC * p * (p-BC)) / (AB + AC).

Dikkat! Malzemede ustalaşmayı kolaylaştırmak için, bu düz çizginin "maceralarını" anlatan İnternette bulunan komik hikayelere başvurabilirsiniz.

Bir üçgenin iç köşelerine üçgenin açıortay denir.
Bir üçgenin açıortay aynı zamanda köşesi ile açıortayın üçgenin karşı tarafı ile kesişme noktası arasındaki doğru parçası olarak da anlaşılır.
Teorem 8. Bir üçgenin üç bisektörü bir noktada kesişir.
Aslında, ilk önce iki açıortayın kesiştiği P noktasını ele alalım, örneğin AK 1 ve VK 2. Bu nokta, A açısının açıortayı üzerinde bulunduğu için AB ve AC kenarlarından eşit derecede uzaktır ve B açısının açıortayına ait olduğu için AB ve BC kenarlarından eşit derecede uzaktır. Dolayısıyla, eşit derecede uzaktadır. AC ve BC kenarları ve dolayısıyla üçüncü açıortay SK 3'e aittir, yani P noktasında üç ortay da kesişir.
Bir üçgenin iç ve dış açılarının açıortaylarının özellikleri
Teorem 9. Açıortay iç köşe bir üçgen, karşı tarafı bitişik taraflarla orantılı parçalara böler.
Kanıt. ABC üçgenini ve B açısının açıortayını düşünün. C köşesi boyunca, BK açıortayına paralel olan CM doğrusunu, AB kenarının uzantısıyla M noktasında kesişene kadar çizin. VK, ABC açısının açıortayı olduğundan, ∠ AVK = ∠ KBC. Ayrıca, paralel düz çizgiler için karşılık gelen açılar olarak ∠ ABK = ∠ BMC ve paralel çizgiler için çapraz geçiş açıları olarak ∠ KBC = ∠ BCM. Dolayısıyla, ∠ ВСМ = ∠ ВМС ve dolayısıyla ВСМ üçgeni ikizkenardır, bu nedenle ВС = ВМ. Bir açının kenarlarını kesen paralel doğrular üzerindeki teoremle, kanıtlamamız gereken AK: KC = AB: BM = AB: BC'ye sahibiz.
Teorem 10 ABC üçgeninin B dış açısının açıortayı da benzer bir özelliğe sahiptir: A ve C köşelerinden AC kenarının devamı ile açıortayın kesiştiği L noktasına kadar olan AL ve CL parçaları, kenarlarıyla orantılıdır. üçgen: AL: CL= AB: M.Ö.
Bu özellik, öncekiyle aynı şekilde kanıtlanmıştır: şekilde, BL bisektörüne paralel olarak bir yardımcı çizgi SM çizilir. BMC ve BCM'nin açıları eşittir, yani BMC üçgeninin BM ve BC'sinin kenarları eşittir. Buradan AL: CL = AB: BC sonucuna varıyoruz.

Teorem d4. (ortay için ilk formül): ABC üçgeninde AL doğru parçası A açısının açıortayı ise, o zaman AL? = AB AC - LB LC.

Kanıt: M, AL düz çizgisinin ABC üçgeni etrafında çevrelenmiş daire ile kesişme noktası olsun (Şek. 41). BAM açısı, kural olarak MAC açısına eşittir. BMA ve BCA açıları, aynı kiriş üzerinde duran yazılı açılar kadar eşittir. Bu, BAM ve LAC üçgenlerinin iki açıdan benzer olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, AL: AC = AB: AM. Dolayısıyla, AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Kanıtlanması gereken şey buydu. Not: Bir daire içinde kesişen kirişlerin parçaları ve yazılı açılar üzerine bir teorem için daire ve daire konusuna bakın.

Teorem d5. (ortay için ikinci formül): Kenarları AB = a, AC = b ve A açısı 2'ye eşit olan bir ABC üçgeninde? ve bisektör l, aşağıdaki eşitlik geçerlidir:
l = (2ab / (a ​​​​+ b)) çünkü ?.

Kanıt: ABC belirli bir üçgen, AL onun açıortayı (Şekil 42), a = AB, b = AC, l = AL olsun. O zaman S ABC = S ALB + S ALC. Bu nedenle absin2? = alsin? + blsin?<=>2absin?Çünkü? = (a + b) lsin?<=>l = 2 (ab / (a ​​​​+ b)) çünkü ?. Teorem ispatlandı.