Cet article donne une idée de la façon d'écrire l'équation d'un plan passant par un point donné dans un espace tridimensionnel perpendiculaire à une droite donnée. Analysons l'algorithme donné en utilisant l'exemple de la résolution de problèmes typiques.

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Trouver l'équation d'un plan passant par un point donné de l'espace perpendiculaire à une droite donnée

Soit un espace tridimensionnel et un système de coordonnées rectangulaires O x y z qui y sont donnés. Le point М 1 (x 1, y 1, z 1), la droite a et le plan α passant par le point М 1 perpendiculaire à la droite a sont également donnés. Il faut écrire l'équation du plan .

Avant de commencer à résoudre ce problème, rappelons le théorème de géométrie du programme des années 10-11, qui se lit comme suit :

Définition 1

Un seul plan perpendiculaire à la ligne droite spécifiée passe par un point donné dans l'espace tridimensionnel.

Voyons maintenant comment trouver l'équation de ce plan unique passant par le point d'origine et perpendiculaire à la ligne donnée.

Il est possible d'écrire l'équation générale d'un plan si les coordonnées d'un point appartenant à ce plan sont connues, ainsi que les coordonnées du vecteur normal du plan.

La condition du problème nous donne les coordonnées x 1, y 1, z 1 du point M 1, par lequel passe le plan α. Si nous déterminons les coordonnées du vecteur normal du plan , nous pourrons alors écrire l'équation souhaitée.

Le vecteur normal du plan , puisqu'il est non nul et se trouve sur la droite a perpendiculaire au plan α, sera n'importe quel vecteur directeur de la droite a. Ainsi, le problème de trouver les coordonnées du vecteur normal du plan se transforme en problème de déterminer les coordonnées du vecteur directeur de la droite a.

La détermination des coordonnées du vecteur directeur de la droite a peut être effectuée par différentes méthodes : elle dépend de la variante de spécification de la droite a dans les conditions initiales. Par exemple, si la droite a dans l'énoncé du problème est donnée par des équations canoniques de la forme

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ou des équations paramétriques de la forme :

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

alors le vecteur directeur de la droite aura pour coordonnées a x, a y et a z. Dans le cas où la droite a est représentée par deux points М 2 (x 2, y 2, z 2) et М 3 (x 3, y 3, z 3), alors les coordonnées du vecteur directeur seront définies comme (x3 - x2, y3 - y2 , z3 - z2).

Définition 2

Algorithme pour trouver l'équation d'un plan passant par un point donné perpendiculaire à une droite donnée :

Déterminer les coordonnées du vecteur directeur de la droite a : a → = (a x, a y, a z) ;

On détermine les coordonnées du vecteur normal du plan comme les coordonnées du vecteur directeur de la droite a :

n → = (A, B, C), où A = a x, B = a y, C = a z;

On écrit l'équation du plan passant par le point М 1 (x 1, y 1, z 1) et ayant un vecteur normal n → = (A, B, C) sous la forme A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Ce sera l'équation requise d'un plan qui passe par un point donné dans l'espace et qui est perpendiculaire à une ligne droite donnée.

L'équation générale résultante du plan: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 permet d'obtenir l'équation du plan en segments ou l'équation normale du plan.

Résolvons quelques exemples en utilisant l'algorithme obtenu ci-dessus.

Exemple 1

Un point M 1 (3, - 4, 5) est donné, par lequel passe le plan, et ce plan est perpendiculaire à la ligne de coordonnées O z.

Solution

le vecteur directeur de la ligne de coordonnées O z sera le vecteur de coordonnées k = (0, 0, 1). Par conséquent, le vecteur normal du plan a des coordonnées (0, 0, 1). Écrivons l'équation du plan passant par un point donné M 1 (3, - 4, 5) dont le vecteur normal a pour coordonnées (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 z - 5 = 0

Réponse: z - 5 = 0.

Considérons une autre façon de résoudre ce problème :

Exemple 2

Un plan perpendiculaire à la droite O z sera donné par une équation générale incomplète du plan de la forme C z + D = 0, C ≠ 0. Définissons les valeurs de C et D : celles auxquelles le plan passe par un point donné. Substituez les coordonnées de ce point dans l'équation C z + D = 0, nous obtenons : C · 5 + D = 0. Celles. nombres, C et D sont liés par le rapport - D C = 5. En prenant C = 1, on obtient D = - 5.

Substituez ces valeurs dans l'équation C z + D = 0 et obtenez l'équation recherchée du plan perpendiculaire à la droite O z et passant par le point M 1 (3, - 4, 5).

Cela ressemblera à : z - 5 = 0.

Réponse: z - 5 = 0.

Exemple 3

Égaliser le plan passant par l'origine et perpendiculaire à la ligne x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Solution

Sur la base des conditions du problème, on peut affirmer que le vecteur directeur d'une ligne droite donnée peut être considéré comme un vecteur normal n → d'un plan donné. Ainsi : n → = (- 3, - 7, 2). Écrivons l'équation du plan passant par le point O (0, 0, 0) et ayant un vecteur normal n → = (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Nous avons obtenu l'équation requise d'un plan passant par l'origine perpendiculaire à une droite donnée.

Réponse:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Exemple 4

Un système de coordonnées rectangulaires O x y z dans l'espace tridimensionnel est donné, il contient deux points A (2, - 1, - 2) et B (3, - 2, 4). Le plan α passe par le point A perpendiculaire à la droite A B. Il faut formuler l'équation du plan en segments.

Solution

Le plan α est perpendiculaire à la droite А В, alors le vecteur А В → sera le vecteur normal du plan α. Les coordonnées de ce vecteur sont déterminées comme la différence entre les coordonnées correspondantes des points B (3, - 2, 4) et A (2, - 1, - 2) :

A B → = (3 - 2, - 2 - (- 1), 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1, - 1, 6)

L'équation générale du plan s'écrira ainsi :

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Composons maintenant l'équation requise du plan en segments :

x - y + 6 z + 9 = 0 x - y + 6 z = - 9 x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Réponse:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Il faut aussi noter qu'il existe des problèmes dont l'exigence est d'écrire l'équation d'un plan passant par un point donné et perpendiculaire à deux plans donnés. En général, la solution à ce problème est de former une équation pour un plan passant par un point donné perpendiculaire à une droite donnée, puisque deux plans sécants définissent une ligne droite.

Exemple 5

Un système de coordonnées rectangulaires O x y z est donné, dans lequel se trouve le point M 1 (2, 0, - 5). Les équations de deux plans 3 x + 2 y + 1 = 0 et x + 2 z - 1 = 0, qui se coupent le long de la droite a, sont également données. Il faut établir une équation pour le plan passant par le point M 1 perpendiculaire à la droite a.

Solution

Déterminons les coordonnées du vecteur directeur de la droite a. Il est perpendiculaire à la fois au vecteur normal n 1 → (3, 2, 0) du plan n → (1, 0, 2) et au vecteur normal 3 x + 2 y + 1 = 0 du plan x + 2 z - 1 = 0.

Ensuite, nous prenons le produit vectoriel des vecteurs n 1 → et n 2 → comme vecteur directeur α → ligne a :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4, - 6, - 2 )

Ainsi, le vecteur n → = (4, - 6, - 2) sera le vecteur normal du plan perpendiculaire à la droite a. Écrivons l'équation requise du plan :

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Réponse: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

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Supposons que vous ayez besoin de trouver l'équation d'un plan passant par trois points donnés qui ne se trouvent pas sur une ligne droite. En désignant leurs vecteurs de rayon traversant et le vecteur de rayon actuel traversant, nous pouvons facilement obtenir l'équation souhaitée sous forme vectorielle. En effet, les vecteurs doivent être coplanaires (ils se situent tous dans le plan souhaité). Par conséquent, le produit scalaire vectoriel de ces vecteurs doit être égal à zéro :

C'est l'équation du plan passant par ces trois points sous forme vectorielle.

En passant aux coordonnées, on obtient l'équation en coordonnées :

Si ces trois points se trouvent sur une ligne droite, alors les vecteurs seraient colinéaires. Par conséquent, les éléments correspondants des deux dernières lignes du déterminant dans l'équation (18) seraient proportionnels et le déterminant est identiquement égal à zéro. Par conséquent, l'équation (18) deviendrait une identité pour toutes les valeurs de x, y et z. Géométriquement, cela signifie qu'un plan passe par chaque point de l'espace, dans lequel se trouvent également trois points donnés.

Remarque 1. Le même problème peut être résolu sans utiliser de vecteurs.

Désignant respectivement les coordonnées de ces trois points, nous écrivons l'équation de tout plan passant par le premier point :

Pour obtenir l'équation du plan recherché, il faut exiger que l'équation (17) soit satisfaite par les coordonnées de deux autres points :

À partir des équations (19), il est nécessaire de déterminer le rapport de deux coefficients au troisième et d'entrer les valeurs trouvées dans l'équation (17).

Exemple 1. Faites l'équation du plan passant par les points.

L'équation du plan passant par le premier de ces points sera :

Les conditions de passage du plan (17) par deux autres points et le premier point sont :

En ajoutant la deuxième équation à la première, on trouve :

En remplaçant dans la deuxième équation, on obtient :

En substituant dans l'équation (17) au lieu de A, B, C, respectivement, 1, 5, -4 (nombres proportionnels à eux), on obtient :

Exemple 2. Faites l'équation du plan passant par les points (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

L'équation de tout plan passant par le point (0, 0, 0) sera]

Les conditions de passage de ce plan par les points (1, 1, 1) et (2, 2, 2) sont :

En réduisant la deuxième équation par 2, on voit que pour déterminer deux relations inconnues a une équation avec

De là, nous obtenons. En substituant maintenant dans l'équation du plan au lieu de sa valeur, on trouve :

C'est l'équation du plan désiré ; cela dépend de l'arbitraire

quantités B, C (à savoir, du rapport, c'est-à-dire qu'il y a un nombre infini de plans passant par trois points donnés (trois points donnés se trouvent sur une ligne droite).

Remarque 2. Le problème consistant à tracer un plan passant par trois points donnés qui ne se trouvent pas sur une ligne droite est facilement résolu dans vue générale si on utilise des déterminants. En effet, puisque dans les équations (17) et (19) les coefficients A, B, C ne peuvent être simultanément égaux à zéro, alors, considérant ces équations comme un système homogène à trois inconnues A, B, C, on écrit un condition d'existence d'une solution de ce système, différente de zéro (Partie 1, Chapitre VI, Section 6):

En élargissant ce déterminant par les éléments de la première ligne, on obtient une équation du premier degré par rapport aux coordonnées courantes, qui sera satisfaite, en particulier, par les coordonnées de ces trois points.

Ce dernier peut également être vérifié directement, si l'on substitue les coordonnées de l'un de ces points au lieu de dans l'équation écrite à l'aide du déterminant. Sur le côté gauche, on obtient un déterminant, dont soit les éléments de la première ligne sont des zéros, soit il y a deux lignes identiques. Ainsi, l'équation écrite représente un plan passant par ces trois points.

Premier niveau

Coordonnées et vecteurs. Guide complet (2019)

Dans cet article, nous allons commencer une discussion sur une "baguette magique" qui vous permettra de réduire de nombreux problèmes de géométrie à une simple arithmétique. Ce "bâton" peut vous faciliter la vie, surtout dans le cas où vous vous sentez en insécurité dans la construction de figures spatiales, de coupes, etc. Tout cela demande une certaine imagination et des compétences pratiques. La méthode, que nous commencerons à considérer ici, vous permettra de vous abstraire presque complètement de toutes sortes de constructions et de raisonnements géométriques. La méthode s'appelle "Méthode des coordonnées"... Dans cet article, nous examinerons les questions suivantes :

1. Avion coordonné
2. Points et vecteurs dans le plan
3. Construire un vecteur à partir de deux points
4. Longueur du vecteur (distance entre deux points)
5. Coordonnées du milieu
6. Produit scalaire de vecteurs
7. Angle entre deux vecteurs

Je pense que vous avez déjà deviné pourquoi la méthode des coordonnées s'appelle ainsi? Il est vrai qu'il a reçu un tel nom, puisqu'il opère non pas avec des objets géométriques, mais avec leurs caractéristiques numériques (coordonnées). Et la transformation elle-même, qui permet de passer de la géométrie à l'algèbre, consiste à introduire un système de coordonnées. Si la figure d'origine était plate, alors les coordonnées sont en deux dimensions, et si la figure est en trois dimensions, alors les coordonnées sont en trois dimensions. Dans cet article, nous ne considérerons que le cas bidimensionnel. Et l'objectif principal de l'article est de vous apprendre à utiliser quelques techniques de base de la méthode des coordonnées (elles s'avèrent parfois utiles pour résoudre des problèmes de planimétrie dans la partie B de l'examen). Les deux sections suivantes sur ce sujet sont consacrées à la discussion des méthodes de résolution du problème C2 (le problème de la stéréométrie).

Par où serait-il logique de commencer à discuter de la méthode des coordonnées ? Probablement du concept de système de coordonnées. Rappelez-vous quand vous l'avez rencontrée pour la première fois. Il me semble qu'en 7e, quand tu as appris l'existence d'une fonction linéaire, par exemple. Permettez-moi de vous rappeler que vous l'avez construit point par point. Te souviens tu? Vous avez choisi un nombre arbitraire, l'avez substitué dans la formule et calculé de cette façon. Par exemple, si, alors, si, alors, etc. Qu'avez-vous obtenu à la fin ? Et vous avez reçu des points avec des coordonnées : et. Ensuite, vous avez dessiné une "croix" (système de coordonnées), choisi une échelle dessus (combien de cellules vous aurez comme segment unitaire) et marqué dessus les points que vous avez reçus, que vous avez ensuite connectés avec une ligne droite, la ligne résultante est le graphe de la fonction.

Il y a plusieurs points ici qui devraient vous être expliqués un peu plus en détail :

1. Vous choisissez un seul segment pour des raisons de commodité, de sorte que tout s'intègre parfaitement et de manière compacte dans l'image.

2. On suppose que l'axe va de gauche à droite et que l'axe va de bas en haut.

3. Ils se coupent à angle droit et le point de leur intersection s'appelle l'origine. Il est indiqué par une lettre.

4. En écrivant les coordonnées d'un point, par exemple, à gauche entre parenthèses se trouve la coordonnée du point le long de l'axe, et à droite, le long de l'axe. En particulier, cela signifie simplement qu'au point

5. Afin de définir n'importe quel point sur l'axe de coordonnées, vous devez spécifier ses coordonnées (2 nombres)

6. Pour n'importe quel point de l'axe,

7. Pour tout point de l'axe,

8. L'axe est appelé axe des abscisses.

9. L'axe s'appelle l'axe des y.

Passons maintenant à l'étape suivante avec vous : marquez deux points. Relions ces deux points par un segment. Et nous mettrons la flèche comme si nous traçions un segment de point à point : c'est-à-dire que nous rendrons notre segment orienté !

Rappelez-vous, comment s'appelle une ligne directionnelle ? C'est vrai, ça s'appelle un vecteur !

Ainsi, si l'on relie un point à un point, de plus, le début sera le point A, et la fin sera le point B, alors nous obtenons un vecteur. Tu as aussi fait cette formation en 8e, tu te souviens ?

Il s'avère que les vecteurs, comme les points, peuvent être désignés par deux nombres : ces nombres sont appelés les coordonnées du vecteur. La question est : pensez-vous qu'il nous suffit de connaître les coordonnées du début et de la fin du vecteur pour trouver ses coordonnées ? Il s'avère que oui ! Et cela se fait très simplement :

Ainsi, puisque le point dans le vecteur est le début et a est la fin, le vecteur a les coordonnées suivantes :

Par exemple, si, alors les coordonnées du vecteur

Faisons maintenant l'inverse, trouvons les coordonnées du vecteur. Que devons-nous changer pour cela ? Oui, vous devez intervertir le début et la fin : maintenant le début du vecteur sera au point, et la fin sera au point. Puis:

Regardez attentivement, comment sont les vecteurs et? Leur seule différence réside dans les signes dans les coordonnées. Ils sont opposés. Il est d'usage d'écrire ce fait comme ceci :

Parfois, s'il n'est pas spécifiquement spécifié quel point est le début du vecteur et quel est la fin, alors les vecteurs ne sont pas indiqués par deux lettres majuscules, mais par une minuscule, par exemple :, etc.

Maintenant un peu entraine toi vous-même et trouvez les coordonnées des vecteurs suivants :

Examen:

Maintenant, résolvez le problème un peu plus difficilement :

Vektor avec na-cha-lom au point a co-or-di-na-ty. Nay-di-ces points abs-cis-su.

Tout de même est assez prosaïque : Soit les coordonnées d'un point. Puis

J'ai composé le système par définition de ce que sont les coordonnées d'un vecteur. Alors le point a des coordonnées. On s'intéresse à l'abscisse. Puis

Réponse:

Que pouvez-vous faire d'autre avec les vecteurs ? Oui, presque tout est pareil qu'avec les nombres ordinaires (sauf que vous ne pouvez pas diviser, mais vous pouvez multiplier de deux manières, dont nous parlerons ici un peu plus tard)

1. Les vecteurs peuvent être ajoutés les uns aux autres
2. Les vecteurs peuvent être soustraits les uns des autres
3. Les vecteurs peuvent être multipliés (ou divisés) par un nombre arbitraire non nul
4. Les vecteurs peuvent être multipliés les uns par les autres

Toutes ces opérations ont une représentation géométrique très claire. Par exemple, la règle du triangle (ou du parallélogramme) pour l'addition et la soustraction :

Le vecteur se dilate ou se contracte ou change de direction lorsqu'il est multiplié ou divisé par un nombre :

Cependant, nous nous intéresserons ici à la question de savoir ce qui se passe avec les coordonnées.

1. Lors de l'addition (soustraction) de deux vecteurs, nous ajoutons (soustrayons) leurs coordonnées élément par élément. C'est-à-dire:

2. En multipliant (divisant) un vecteur par un nombre, toutes ses coordonnées sont multipliées (divisées) par ce nombre :

Par exemple:

· Nay-di-te somme de co-or-di-nat vek-to-ra.

Trouvons d'abord les coordonnées de chacun des vecteurs. Ils ont tous les deux la même origine - le point d'origine. Leurs fins sont différentes. Puis, . Calculons maintenant les coordonnées du vecteur Ensuite, la somme des coordonnées du vecteur résultant est.

Réponse:

Résolvez maintenant vous-même le problème suivant :

Trouver la somme des coordonnées d'un vecteur

Nous vérifions:

Considérons maintenant le problème suivant : nous avons deux points sur le plan de coordonnées. Comment trouver la distance entre eux? Soit le premier point et le second. Notons la distance entre eux à travers. Faisons le dessin suivant pour plus de clarté :

Ce que j'ai fait? j'ai d'abord connecté points et, et aussi d'un point j'ai tracé une ligne parallèle à l'axe, et d'un point j'ai tracé une ligne parallèle à l'axe. Se sont-ils croisés en un point, formant ainsi une figure merveilleuse ? En quoi est-ce remarquable ? Oui, toi et moi savons presque tout sur triangle rectangle... Eh bien, le théorème de Pythagore - bien sûr. Le segment recherché est l'hypoténuse de ce triangle, et les segments sont les jambes. Quelles sont les coordonnées d'un point ? Oui, ils sont faciles à trouver sur l'image : Étant donné que les segments sont parallèles aux axes et, par conséquent, leurs longueurs sont faciles à trouver : si vous notez les longueurs des segments, respectivement, par, alors

Utilisons maintenant le théorème de Pythagore. On connait les longueurs des jambes, on va retrouver l'hypoténuse :

Ainsi, la distance entre deux points est la racine de la somme des carrés des différences par rapport aux coordonnées. Ou - la distance entre deux points est la longueur de la ligne qui les relie. Il est facile de voir que la distance entre les points est indépendante de la direction. Puis:

De cela, nous tirons trois conclusions :

Entraînons-nous un peu à calculer la distance entre deux points :

Par exemple, si, alors la distance entre et est égale à

Ou allons-y différemment : trouver les coordonnées du vecteur

Et trouver la longueur du vecteur :

Comme vous pouvez le voir, la même chose !

Maintenant, entraînez-vous vous-même :

Tâche : trouver la distance entre les points spécifiés :

Nous vérifions:

Voici quelques problèmes supplémentaires pour la même formule, bien qu'ils semblent un peu différents :

1. Nay-di-te carré-rat de la longueur du siècle-à-ra.

2. Nay-di-te carré-rat de la longueur du siècle-à-ra

Je pense que tu l'as fait facilement avec eux ? Nous vérifions:

1. Et ceci est pour l'attention) Nous avons déjà trouvé les coordonnées des vecteurs et plus tôt :. Alors le vecteur a des coordonnées. Le carré de sa longueur sera :

2. Trouvez les coordonnées du vecteur

Alors le carré de sa longueur est

Rien de compliqué, non ? Arithmétique simple, rien de plus.

Les tâches suivantes ne peuvent pas être catégorisées sans ambiguïté, elles sont plus susceptibles d'être une érudition générale et la capacité de dessiner des images simples.

1. Nay-di-te sinus d'un angle sur-coupe, co-uni-nya-yu-shch-ième point, avec l'axe des abscisses.

et

Qu'allons-nous faire ici ? Vous devez trouver le sinus de l'angle entre et l'axe. Et où sait-on chercher un sinus ? A droite, dans un triangle rectangle. Alors, que devons-nous faire? Construisez ce triangle !

Puisque les coordonnées du point sont et, le segment est égal, et le segment. Il faut trouver le sinus de l'angle. Permettez-moi de vous rappeler que le sinus est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse, alors

Que nous reste-t-il à faire ? Trouvez l'hypoténuse. Vous pouvez le faire de deux manières : par le théorème de Pythagore (les jambes sont connues !) ou par la formule de la distance entre deux points (en fait, la même chose que la première manière !). Je vais prendre la deuxième voie :

Réponse:

La prochaine tâche vous semblera encore plus facile. Elle - sur les coordonnées du point.

Objectif 2. Per-pen-di-ku-lar est abaissé de la pointe à l'axe des abscisses. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

Faisons un dessin :

La base de la perpendiculaire est le point où elle croise l'axe des abscisses (axe), pour moi c'est le point. La figure montre qu'il a des coordonnées :. Nous nous intéressons à l'abscisse, c'est-à-dire à la composante "x". C'est égal.

Réponse: .

Objectif 3. Dans les conditions du problème précédent, trouvez la somme des distances d'un point aux axes de coordonnées.

La tâche est généralement élémentaire, si l'on sait quelle est la distance d'un point aux axes. Tu sais? J'espère, mais je te rappelle quand même :

Alors, sur ma photo, située un peu plus haut, j'en ai déjà dessiné une telle perpendiculaire ? A quel axe s'agit-il ? A l'axe. Et alors à quoi est égale sa longueur ? C'est égal. Maintenant, dessinez vous-même la perpendiculaire à l'axe et trouvez sa longueur. Ce sera égal, non? Alors leur somme est égale.

Réponse: .

Tâche 4. Dans les conditions du problème 2, trouver l'ordonnée du point symétrique du point par rapport à l'axe des abscisses.

Je pense que vous comprenez intuitivement ce qu'est la symétrie? De nombreux objets en possèdent : de nombreux bâtiments, tables, avions, de nombreuses formes géométriques : une boule, un cylindre, un carré, un losange, etc. En gros, la symétrie peut être comprise comme suit : une figure est constituée de deux (ou plus) moitiés identiques. Cette symétrie est dite axiale. Qu'est-ce donc qu'un axe ? C'est exactement la ligne le long de laquelle une figure peut, relativement parlant, être "coupée" en moitiés identiques (dans cette image, l'axe de symétrie est une ligne droite) :

Revenons maintenant à notre problème. Nous savons que nous cherchons un point symétrique par rapport à l'axe. Alors cet axe est l'axe de symétrie. Cela signifie que nous devons marquer un point pour que l'axe coupe le segment en deux parties égales. Essayez de marquer un tel point vous-même. Comparez maintenant avec ma solution :

Avez-vous fait la même chose ? Bon! Au point trouvé, on s'intéresse à l'ordonnée. elle est égale

Réponse:

Dites-moi maintenant, après avoir réfléchi aux secondes, quelle sera l'abscisse d'un point symétrique du point A par rapport à l'ordonnée ? Quelle est ta réponse? Bonne réponse: .

En général, la règle peut être écrite comme ceci :

Un point symétrique à un point par rapport à l'axe des abscisses a pour coordonnées :

Un point symétrique à un point par rapport à l'axe des ordonnées a des coordonnées :

Eh bien, maintenant c'est complètement effrayant tâche: trouver les coordonnées d'un point qui est symétrique à un point, par rapport à l'origine. Vous pensez d'abord par vous-même, puis regardez mon dessin !

Réponse:

À présent problème de parallélogramme :

Problème 5 : Les points sont ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Points Nay-di-te ou-di-na-tu.

Vous pouvez résoudre ce problème de deux manières : la logique et la méthode des coordonnées. Je vais d'abord appliquer la méthode des coordonnées, puis je vous dirai comment vous pouvez en décider autrement.

Il est bien clair que l'abscisse du point est égale à. (elle se trouve sur la perpendiculaire tracée d'un point à l'axe des abscisses). Il faut trouver l'ordonnée. Profitons du fait que notre figure est un parallélogramme, ce qui veut dire ça. Trouvez la longueur du segment en utilisant la formule de la distance entre deux points :

On abaisse la perpendiculaire reliant le point à l'axe. Le point d'intersection sera marqué d'une lettre.

La longueur du segment est. (trouver le problème lui-même, où nous avons discuté de ce point), alors nous trouverons la longueur du segment par le théorème de Pythagore :

La longueur de la ligne est exactement la même que son ordonnée.

Réponse: .

Une autre solution (je vais juste donner une image qui l'illustre)

Progression de la solution :

1. Conduite

2. Trouvez les coordonnées du point et la longueur

3. Prouvez-le.

Un de plus problème de longueur de segment:

Les points apparaissent-la-are-sya ver-shi-na-mi tre-coal-ni-ka. Nay-di-te est la longueur de sa ligne médiane, paral-lel-noy.

Vous souvenez-vous de la ligne médiane d'un triangle ? Alors cette tâche est élémentaire pour vous. Si vous ne vous en souvenez pas, alors je vous le rappelle : la ligne médiane du triangle est la ligne qui relie les points médians côtés opposés... Elle est parallèle à la base et égale à la moitié de celle-ci.

La base est un segment de ligne. Nous avons dû chercher sa longueur plus tôt, elle est égale. Ensuite, la longueur de la ligne médiane est égale à moitié.

Réponse: .

Commentaire : ce problème peut être résolu d'une autre manière, sur laquelle nous reviendrons un peu plus tard.

En attendant, voici quelques tâches pour vous, pratiquez-les, elles sont assez simples, mais elles vous aident à "prendre la main" en utilisant la méthode des coordonnées !

1. Les points sont les ver-shi-na-mi tra-petsii. Nay-di-te est la longueur de sa ligne médiane.

2. Points et are-la-is-sya ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Points Nay-di-te ou-di-na-tu.

3. Nay-di-te longueur à partir de la coupe, co-single-nya-yu-shch-go point et

4. Zone Nay-di-te de la belle fi-gu-ry sur l'avion co-or-di-nat-noy.

5. Le cercle dont le centre est na-cha-le ko-or-di-nat passe par le point. Nay-di-te son ra-di-us.

6. Nai-di-te ra-di-us du cercle, décrit-san-noy près du rect-coal-ni-ka, les sommets de ko-to-ro-go ont une coopérative -di-na -vous co-vétérinaire-mais

Solutions:

1. On sait que la ligne médiane d'un trapèze est égale à la demi-somme de ses bases. La base est égale, et la base est. Puis

Réponse:

2. La façon la plus simple de résoudre ce problème est de remarquer cela (la règle du parallélogramme). Calculer les coordonnées des vecteurs et n'est pas difficile :. Lorsque des vecteurs sont ajoutés, les coordonnées sont ajoutées. A alors des coordonnées. Le point a également les mêmes coordonnées, puisque l'origine du vecteur est le point avec les coordonnées. On s'intéresse à l'ordonnée. C'est égal.

Réponse:

3. On agit immédiatement selon la formule de la distance entre deux points :

Réponse:

4. Regardez l'image et dites-moi, entre quelles deux formes se trouve la zone ombrée « pris en sandwich » ? Il est pris en sandwich entre deux carrés. Ensuite, l'aire du chiffre requis est égale à l'aire du grand carré moins l'aire du petit. Le côté du petit carré est un segment de droite reliant les points et sa longueur est

Alors l'aire du petit carré est

On fait de même avec un grand carré : son côté est un segment reliant les points et sa longueur est

Alors l'aire du grand carré est

On retrouve l'aire de la figure recherchée par la formule :

Réponse:

5. Si le cercle a pour centre l'origine des coordonnées et passe par un point, alors son rayon sera exactement égal à la longueur du segment (faites un dessin et vous comprendrez pourquoi c'est évident). Trouvons la longueur de ce segment :

Réponse:

6. On sait que le rayon d'un cercle circonscrit à un rectangle est égal à la moitié de sa diagonale. Trouvons la longueur de l'une des deux diagonales (après tout, dans un rectangle, elles sont égales !)

Réponse:

Eh bien, avez-vous tout réglé ? Ce n'était pas très difficile à comprendre, n'est-ce pas ? La règle ici est la suivante : être capable de créer une image visuelle et simplement de « lire » toutes les données à partir de celle-ci.

Il nous en reste très peu. Il y a littéralement deux autres points dont j'aimerais discuter.

Essayons de résoudre ce problème simple. Soit deux points et soit donné. Trouvez les coordonnées du milieu du segment. La solution à ce problème est la suivante : laissez le point être le milieu souhaité, alors il a les coordonnées :

C'est-à-dire: les coordonnées du milieu du segment = la moyenne arithmétique des coordonnées correspondantes des extrémités du segment.

Cette règle est très simple et ne pose généralement pas de difficultés aux étudiants. Voyons quelles tâches et comment il est utilisé :

1. Nay-di-te ou-di-na-tu-re-di-us from-cut, co-uni-nya-yu-shch-go point et

2. Les points apparaissent-la-are-sya ver-shi-na-mi-you-rekh-coal-no-ka. Nay-di-te ou-di-na-tu points de pe-re-se-ch-niya son dia-go-na-lei.

3. Nay-di-ces abs-cis-su centre-tra du cercle, décrit-san-noy près du rect-coal-no-ka, les sommets du ko-that-ro-go ont co-op- di-na-vous co-vétérinaire-mais.

Solutions:

1. Le premier problème est juste un classique. Nous agissons immédiatement pour déterminer le milieu du segment. Il a des coordonnées. L'ordonnée est.

Réponse:

2. Il est facile de voir que le quadrangle donné est un parallélogramme (même un losange !). Vous pouvez le prouver vous-même en calculant les longueurs des côtés et en les comparant les uns aux autres. Que sais-je d'un parallélogramme ? Ses diagonales sont réduites de moitié par le point d'intersection ! Ah ! Alors le point d'intersection des diagonales c'est quoi ? C'est le milieu de n'importe laquelle des diagonales ! Je choisirai notamment la diagonale. Alors le point a des coordonnées L'ordonnée du point est égale à.

Réponse:

3. Quel est le centre du cercle circonscrit au rectangle ? Il coïncide avec le point d'intersection de ses diagonales. Que savez-vous des diagonales d'un rectangle ? Ils sont égaux et l'intersection est réduite de moitié. La tâche a été réduite à la précédente. Prenez la diagonale, par exemple. Alors si est le centre du cercle circonscrit, alors est le milieu. Recherche de coordonnées : L'abscisse est égale.

Réponse:

Maintenant entraînez-vous un peu vous-même, je vais juste donner les réponses à chaque problème afin que vous puissiez vous tester.

1. Nai-di-te ra-di-us du cercle, décrit-san-noy autour du triangle, les sommets du co-to-ro-go ont co-or-di-no messieurs

2. Nai-di-te ou-di-na-tu centre-tra du cercle, décris-san-noy autour du triangle-nik, les sommets de ko-to-ro-go ont des coordonnées

3. Comment-ra-di-u-sa devrait-il y avoir un cercle avec un centre au point de sorte qu'il touche l'axe abs-cissa ?

4. Nay-di-te ou-di-na-tu points de réensemencement de l'axe et de coupure, co-uni-nya-yu-shch-go point et

Réponses:

Avez-vous réussi? Je l'espère vraiment ! Maintenant - la dernière poussée. Soyez particulièrement prudent maintenant. Le matériel que je vais maintenant expliquer est directement lié non seulement à tâches simples sur la méthode des coordonnées de la partie B, mais on la retrouve aussi partout dans le problème C2.

Laquelle de mes promesses n'ai-je pas encore tenu ? Vous vous souvenez des opérations sur les vecteurs que j'ai promis d'introduire et de celles que j'ai finalement introduites ? Suis-je sûr de n'avoir rien oublié ? Oublié! J'ai oublié d'expliquer ce que signifie la multiplication des vecteurs.

Il existe deux façons de multiplier un vecteur par un vecteur. Selon la méthode choisie, nous obtiendrons des objets de nature différente :

Le produit vectoriel est assez délicat. Comment le faire et à quoi cela sert-il, nous en discuterons avec vous dans le prochain article. Et dans celui-ci, nous nous concentrerons sur le produit scalaire.

Il y a déjà deux façons de le calculer :

Comme vous l'avez deviné, le résultat devrait être le même ! Voyons donc d'abord la première façon :

Produit scalaire en termes de coordonnées

Trouver : - la notation commune des produits scalaires

La formule de calcul est la suivante :

C'est-à-dire que le produit scalaire = la somme des produits des coordonnées des vecteurs !

Exemple:

Nai di te

Solution:

Trouvons les coordonnées de chacun des vecteurs :

On calcule le produit scalaire par la formule :

Réponse:

Tu vois, absolument rien de compliqué !

Eh bien, maintenant essayez-le vous-même :

Nay-di-te scalar-noe pro-iz-ve-de-de-vek-to-moat et

as-tu réussi ? Peut-être avez-vous remarqué une petite prise ? Allons vérifier:

Les coordonnées des vecteurs sont les mêmes que dans la tâche précédente ! Réponse: .

En plus de la coordonnée, il existe une autre façon de calculer le produit scalaire, à savoir, à travers les longueurs des vecteurs et le cosinus de l'angle entre eux :

Indique l'angle entre les vecteurs et.

C'est-à-dire que le produit scalaire est égal au produit des longueurs des vecteurs et du cosinus de l'angle entre eux.

Pourquoi avons-nous besoin de cette deuxième formule, si nous avons la première, qui est beaucoup plus simple, au moins il n'y a pas de cosinus dedans. Et c'est nécessaire pour que l'on puisse déduire des première et deuxième formules comment trouver l'angle entre les vecteurs !

Souvenons-nous ensuite de la formule de la longueur du vecteur !

Ensuite, si je remplace ces données dans la formule du produit scalaire, j'obtiens :

Mais autrement :

Alors qu'est-ce que toi et moi avons eu ? Nous avons maintenant une formule pour calculer l'angle entre deux vecteurs ! Parfois, il est également écrit comme ceci par souci de concision :

C'est-à-dire que l'algorithme de calcul de l'angle entre les vecteurs est le suivant :

1. Calculer le produit scalaire en termes de coordonnées
2. Trouver les longueurs des vecteurs et les multiplier
3. Divisez le résultat du point 1 par le résultat du point 2

Entraînons-nous avec des exemples :

1. Nay-di-te est l'angle entre le siècle-à-ra-mi et. Donnez la réponse en gra-du-sakh.

2. Dans les conditions du problème précédent, trouvez le cosinus entre les vecteurs

Faisons ceci : je vais vous aider à résoudre le premier problème et essayer de faire le second vous-même ! Je suis d'accord? Alors commençons !

1. Ces vecteurs sont nos anciennes connaissances. Nous avons déjà compté leur produit scalaire et c'était égal. Leurs coordonnées sont :,. Puis on trouve leurs longueurs :

On cherche alors le cosinus entre les vecteurs :

Quel est le cosinus de l'angle ? C'est le coin.

Réponse:

Résolvez maintenant vous-même le deuxième problème, puis nous comparerons ! Je vais seulement vous donner une solution très courte :

2. a des coordonnées, a des coordonnées.

Soit l'angle entre les vecteurs et, alors

Réponse:

Il est à noter que les tâches directement sur les vecteurs et la méthode des coordonnées dans la partie B travail d'examen sont assez rares. Cependant, la grande majorité des problèmes C2 peuvent être facilement résolus en introduisant un système de coordonnées. Vous pouvez donc considérer cet article comme la base sur la base de laquelle nous réaliserons des constructions assez astucieuses dont nous aurons besoin pour résoudre des problèmes complexes.

COORDONNÉES ET VECTEURS. MOYEN ROUGE

Toi et moi continuons à étudier la méthode des coordonnées. Dans la dernière partie, nous avons dérivé un certain nombre de formules importantes qui vous permettent de :

1. Trouver les coordonnées vectorielles
2. Trouver la longueur d'un vecteur (alternativement : la distance entre deux points)
3. Ajouter, soustraire des vecteurs. Multipliez-les par un nombre réel
4. Trouver le milieu d'un segment de droite
5. Calculer le produit scalaire des vecteurs
6. Trouver l'angle entre les vecteurs

Bien sûr, toute la méthode des coordonnées ne rentre pas dans ces 6 points. Elle est au cœur d'une science telle que la géométrie analytique, avec laquelle il faut se familiariser à l'université. Je veux juste construire une fondation qui vous permettra de résoudre les problèmes dans un seul état. examen. Nous avons compris les tâches de la partie B dans Maintenant, il est temps de passer à un nouveau niveau qualitatif ! Cet article sera consacré à la méthode de résolution des problèmes C2, dans lesquels il serait raisonnable de passer à la méthode des coordonnées. Cette rationalité est déterminée par ce qu'il faut trouver dans le problème, et quel chiffre est donné. Donc, j'utiliserais la méthode des coordonnées si les questions sont:

1. Trouver l'angle entre deux plans
2. Trouver l'angle entre une droite et un plan
3. Trouver l'angle entre deux droites
4. Trouver la distance d'un point à un plan
5. Trouver la distance d'un point à une ligne droite
6. Trouver la distance d'une ligne droite à un plan
7. Trouver la distance entre deux droites

Si la figure donnée dans l'énoncé du problème est un corps de révolution (bille, cylindre, cône...)

Les formes appropriées pour la méthode des coordonnées sont :

1. Parallélépipède rectangulaire
2. Pyramide (triangulaire, quadrangulaire, hexagonale)

Aussi dans mon expérience il est inapproprié d'utiliser la méthode des coordonnées pour:

1. Trouver les sections transversales
2. Calculer le volume des corps

Cependant, il convient de noter d'emblée que trois situations "défavorables" à la méthode des coordonnées sont assez rares en pratique. Dans la plupart des tâches, il peut devenir votre sauveur, surtout si vous n'êtes pas très fort dans les constructions en trois dimensions (qui sont parfois assez complexes).

Quels sont tous les chiffres que j'ai énumérés ci-dessus? Ils ne sont plus plats, comme par exemple un carré, un triangle, un cercle, mais en trois dimensions ! En conséquence, nous devons considérer non pas un système de coordonnées à deux dimensions, mais à trois dimensions. Il se construit assez facilement : juste en plus des axes d'abscisse et d'ordonnée, nous allons introduire un axe de plus, l'axe applicatif. La figure montre schématiquement leur position relative :

Tous sont perpendiculaires entre eux, se coupent en un point, que nous appellerons l'origine. L'axe des abscisses, comme précédemment, sera noté, l'axe des ordonnées -, et l'axe d'application entré -.

Si auparavant chaque point du plan était caractérisé par deux nombres - l'abscisse et l'ordonnée, alors chaque point de l'espace est déjà décrit par trois nombres - l'abscisse, l'ordonnée, s'appliquent. Par exemple:

En conséquence, l'abscisse du point est égale, l'ordonnée est, et l'appliqué est.

Parfois, l'abscisse d'un point est aussi appelée la projection du point sur l'axe des abscisses, l'ordonnée est la projection du point sur l'axe des ordonnées, et l'applicatif est la projection du point sur l'axe applicatif. Par conséquent, si un point est spécifié, alors un point avec des coordonnées :

s'appelle la projection d'un point sur un plan

s'appelle la projection d'un point sur un plan

Une question naturelle se pose : toutes les formules dérivées pour le cas bidimensionnel sont-elles valables dans l'espace ? La réponse est oui, ils sont justes et se ressemblent. Pour un petit détail. Je pense que vous avez déjà deviné pour lequel. Nous devrons ajouter un terme supplémentaire à toutes les formules, qui est responsable de l'axe d'application. À savoir.

1. Si deux points sont donnés :, alors :

• Coordonnées vectorielles :
• Distance entre deux points (ou longueur du vecteur)
• Le milieu du segment a des coordonnées

2. Si deux vecteurs sont donnés : et, alors :

• Leur produit scalaire est :
• Le cosinus de l'angle entre les vecteurs est :

Cependant, l'espace n'est pas si simple. Comme vous pouvez l'imaginer, l'ajout d'une coordonnée supplémentaire introduit une variété importante dans le spectre des figures « vivant » dans cet espace. Et pour poursuivre la narration, j'ai besoin d'introduire, grosso modo, une "généralisation" de la ligne droite. Cette « généralisation » est le plan. Que savez-vous d'un avion ? Essayez de répondre à la question, qu'est-ce qu'un avion ? C'est très difficile à dire. Cependant, nous avons tous une idée intuitive de ce à quoi cela ressemble :

En gros, c'est une sorte de "feuille" sans fin nichée dans l'espace. "Infini" doit être compris que le plan s'étend dans toutes les directions, c'est-à-dire que son aire est égale à l'infini. Cependant, cette explication "sur les doigts" ne donne pas la moindre idée de la structure de l'avion. Et cela nous intéressera.

Rappelons l'un des axiomes de base de la géométrie :

• une droite passe par deux points différents du plan, d'ailleurs un seul :

Ou son homologue dans l'espace :

Bien sûr, vous vous souvenez comment dériver l'équation d'une droite à partir de deux points donnés, ce n'est pas du tout difficile : si le premier point a des coordonnées : et le second, alors l'équation de la droite sera la suivante :

Vous avez vécu ça en 7e. Dans l'espace, l'équation d'une droite ressemble à ceci : avons deux points de coordonnées :, alors l'équation d'une droite qui les traverse a la forme :

Par exemple, une droite passe par les points :

Comment cela doit-il être compris ? Il faut le comprendre comme suit : un point se trouve sur une droite si ses coordonnées satisfont au système suivant :

Nous ne nous intéresserons pas beaucoup à l'équation de la droite, mais il faut faire attention à la notion très importante de vecteur directeur d'une droite. - tout vecteur non nul se trouvant sur la ligne donnée ou parallèle à celle-ci.

Par exemple, les deux vecteurs sont des vecteurs de direction d'une ligne droite. Soit un point situé sur une droite, et son vecteur direction. Alors l'équation de la droite peut s'écrire sous la forme suivante :

Encore une fois, je ne serai pas très intéressé par l'équation d'une droite, mais j'ai vraiment besoin que vous vous rappeliez ce qu'est un vecteur direction ! Encore: c'est N'IMPORTE QUEL vecteur non nul situé sur une ligne droite ou parallèle à celle-ci.

Retirer équation d'un plan en trois points donnés n'est plus si anodin, et généralement cette question n'est pas abordée dans un cours de lycée. Mais en vain! Cette technique est vitale lorsque nous utilisons la méthode des coordonnées pour résoudre des problèmes complexes. Cependant, je suppose que vous êtes désireux d'apprendre quelque chose de nouveau ? De plus, vous pourrez impressionner votre professeur à l'université lorsqu'il s'avérera que vous savez déjà comment faire avec la méthodologie qui est habituellement étudiée dans le cadre de la géométrie analytique. Alors, commençons.

L'équation d'un plan n'est pas trop différente de l'équation d'une droite sur un plan, à savoir, elle a la forme :

certains nombres (pas tous égaux à zéro), mais des variables, par exemple : etc. Comme vous pouvez le voir, l'équation du plan n'est pas très différente de l'équation d'une droite (fonction linéaire). Cependant, rappelez-vous ce que vous et moi avons dit? Nous avons dit que si nous avons trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite, alors l'équation du plan peut être uniquement reconstruite à partir d'eux. Mais comment? Je vais essayer de t'expliquer.

Puisque l'équation du plan a la forme :

Et les points appartiennent à ce plan, alors en substituant les coordonnées de chaque point dans l'équation du plan, nous devrions obtenir la bonne identité :

Ainsi, il devient nécessaire de résoudre trois équations même avec des inconnues ! Dilemme! Cependant, vous pouvez toujours supposer que (pour cela, vous devez diviser par). On obtient ainsi trois équations à trois inconnues :

Cependant, nous ne résoudrons pas un tel système, mais écrirons une expression mystérieuse qui en découle :

Équation d'un plan passant par trois points donnés

\ [\ gauche | (\ begin (tableau) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ fin (tableau)) \ droite | = 0 \]

Arrêter! Qu'est-ce que c'est? Certains très module inhabituel! Cependant, l'objet que vous voyez devant vous n'a rien à voir avec le module. Cet objet est appelé déterminant de troisième ordre. Désormais, lorsque vous traiterez de la méthode des coordonnées sur un plan, vous rencontrerez très souvent ces mêmes déterminants. Qu'est-ce qu'un déterminant de troisième ordre ? Curieusement, ce n'est qu'un nombre. Il reste à comprendre quel nombre spécifique nous allons comparer avec le déterminant.

Écrivons d'abord le déterminant du troisième ordre sous une forme plus générale :

Où sont quelques chiffres. De plus, par le premier index, nous entendons le numéro de ligne et par index - le numéro de colonne. Par exemple, cela signifie que le nombre donné est à l'intersection de la deuxième ligne et de la troisième colonne. Mettons question suivante: comment va-t-on exactement calculer un tel déterminant ? C'est-à-dire, quel numéro spécifique allons-nous y faire correspondre ? Pour le déterminant du troisième ordre, il existe une règle heuristique (visuelle) du triangle, elle ressemble à ceci :

1. Le produit des éléments de la diagonale principale (du coin supérieur gauche au coin inférieur droit) le produit des éléments qui forment le premier triangle "perpendiculaire" au produit diagonal principal des éléments qui forment le deuxième triangle "perpendiculaire" à la diagonale principale
2. Le produit des éléments de la diagonale secondaire (du coin supérieur droit vers le bas à gauche) le produit des éléments formant le premier triangle "perpendiculaire" à la diagonale secondaire produit des éléments formant le deuxième triangle "perpendiculaire" au secondaire diagonale
3. Alors le déterminant est égal à la différence entre les valeurs obtenues à l'étape et

Si nous écrivons tout cela en nombre, alors nous obtenons l'expression suivante :

Néanmoins, vous n'avez pas besoin de mémoriser la méthode de calcul sous cette forme, il suffit de garder juste les triangles et l'idée même de ce qui s'ajoute à quoi et ce qui est ensuite soustrait à quoi).

Illustrons la méthode du triangle avec un exemple :

1. Calculez le déterminant :

Voyons ce que nous ajoutons et ce que nous soustrayons :

Les termes qui viennent avec un "plus":

C'est la diagonale principale : le produit des éléments est

Le premier triangle, « perpendiculaire à la diagonale principale : le produit des éléments est

Le deuxième triangle, "perpendiculaire à la diagonale principale : le produit des éléments est

Additionnez trois nombres :

Termes qui viennent avec un "moins"

C'est une diagonale latérale : le produit des éléments est

Le premier triangle, "perpendiculaire à la diagonale latérale : le produit des éléments est

Deuxième triangle, "perpendiculaire à la diagonale latérale : le produit des éléments est

Additionnez trois nombres :

Il ne reste plus qu'à soustraire à la somme des termes plus la somme des termes moins :

De cette façon,

Comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de compliqué et de surnaturel dans le calcul des déterminants du troisième ordre. Il est juste important de se souvenir des triangles et de ne pas faire d'erreurs arithmétiques. Essayez maintenant de le calculer vous-même :

Nous vérifions:

1. Premier triangle perpendiculaire à la diagonale principale :
2. Deuxième triangle perpendiculaire à la diagonale principale :
3. Somme des termes avec plus :
4. Premier triangle perpendiculaire à la diagonale latérale :
5. Deuxième triangle perpendiculaire à la diagonale secondaire :
6. Somme des termes avec moins :
7. La somme des termes avec un plus moins la somme des termes avec un moins :

Voici quelques autres déterminants pour vous, calculez vous-même leurs valeurs et comparez-les avec les réponses :

Réponses:

Eh bien, est-ce que tout a coïncidé ? Super, alors vous pouvez passer à autre chose ! S'il y a des difficultés, mon conseil est le suivant: sur Internet, il existe de nombreux programmes pour calculer le déterminant en ligne. Tout ce dont vous avez besoin est de trouver votre propre déterminant, de le calculer vous-même, puis de le comparer avec ce que le programme calcule. Et ainsi de suite jusqu'à ce que les résultats commencent à coïncider. Je suis sûr que ce moment ne tardera pas à venir !

Revenons maintenant au déterminant que j'ai écrit lorsque j'ai parlé de l'équation d'un plan passant par trois points donnés :

Tout ce dont vous avez besoin est de calculer sa valeur directement (en utilisant la méthode des triangles) et de mettre le résultat à zéro. Naturellement, comme ce sont des variables, vous obtiendrez une expression qui en dépend. C'est cette expression qui sera l'équation du plan passant par trois points donnés qui ne se trouvent pas sur une droite !

Illustrons cela avec un exemple simple :

1. Construire l'équation du plan passant par les points

Composons le déterminant de ces trois points :

Simplifions :

Maintenant on le calcule directement par la règle des triangles :

\ [(\ gauche | (\ début (tableau) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (array)) \ droite | = \ gauche ((x + 3) \ droite) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ gauche ((z + 1) \ droite) + \ gauche ((y - 2) \ droite) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

Ainsi, l'équation du plan passant par les points a la forme :

Essayez maintenant de résoudre un problème vous-même, puis nous en discuterons :

2. Trouvez l'équation du plan passant par les points

Eh bien, discutons maintenant de la solution :

On compose le déterminant :

Et on calcule sa valeur :

Alors l'équation du plan a la forme :

Soit, ayant réduit de, on obtient :

Maintenant deux tâches pour la maîtrise de soi :

1. Construire l'équation d'un plan passant par trois points :

Réponses:

Tout a-t-il coïncidé ? Encore une fois, s'il y a certaines difficultés, alors mon conseil est le suivant : vous prenez trois points de votre tête (avec un degré élevé de probabilité, ils ne se trouveront pas sur la même ligne droite), vous construisez un avion le long d'eux. Et puis vous vous vérifiez en ligne. Par exemple, sur le site :

Cependant, à l'aide de déterminants, nous ne construirons pas seulement l'équation du plan. N'oubliez pas que je vous ai dit que ce n'est pas seulement le produit scalaire qui est défini pour les vecteurs. Il existe également un produit vectoriel, ainsi qu'un produit mixte. Et si le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre, alors le produit vectoriel de deux vecteurs sera un vecteur, et ce vecteur sera perpendiculaire à ceux donnés :

De plus, son module sera égal à l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs et. Nous aurons besoin de ce vecteur pour calculer la distance d'un point à une ligne droite. Comment peut-on calculer le produit vectoriel des vecteurs et, si leurs coordonnées sont données ? Le déterminant du troisième ordre vient à nouveau à notre secours. Cependant, avant de passer à l'algorithme de calcul du produit vectoriel, je dois faire une petite parenthèse lyrique.

Cette digression concerne les vecteurs de base.

Ils sont schématisés sur la figure :

Pourquoi pensez-vous qu'ils sont appelés basiques? Le fait est que :

Ou sur la photo :

La validité de cette formule est évidente, car :

Produit vectoriel

Je peux maintenant commencer à introduire le produit croisé :

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur qui se calcule selon la règle suivante :

Donnons maintenant quelques exemples de calcul d'un produit croisé :

Exemple 1 : Trouvez le produit vectoriel de vecteurs :

Solution : je compose un déterminant :

Et je le calcule :

Maintenant, à partir de la notation en termes de vecteurs de base, je vais revenir à la notation habituelle d'un vecteur :

De cette façon:

Essayez maintenant.

Prêt? Nous vérifions:

Et traditionnellement deux tâches de contrôle :

1. Trouvez le produit vectoriel des vecteurs suivants :
2. Trouvez le produit vectoriel des vecteurs suivants :

Réponses:

Produit mixte de trois vecteurs

La dernière construction dont j'ai besoin est un produit mixte de trois vecteurs. C'est, comme un scalaire, un nombre. Il y a deux façons de le calculer. - par un déterminant, - par un produit mixte.

A savoir, prenons trois vecteurs :

Ensuite, le produit mixte de trois vecteurs, désigné par, peut être calculé comme suit :

1. - c'est-à-dire que le produit mixte est le produit scalaire d'un vecteur par le produit vectoriel de deux autres vecteurs

Par exemple, le produit mixte de trois vecteurs est :

Essayez de le calculer vous-même grâce au produit croisé et assurez-vous que les résultats correspondent !

Et encore - deux exemples pour une solution indépendante :

Réponses:

Sélection du système de coordonnées

Eh bien, nous avons maintenant toutes les bases de connaissances nécessaires pour résoudre des problèmes stéréométriques complexes en géométrie. Cependant, avant de passer directement aux exemples et algorithmes pour leur solution, je pense qu'il sera utile de s'attarder sur une autre question : comment exactement choisir un système de coordonnées pour une figure particulière. Après tout, c'est le choix de la position relative du système de coordonnées et de la figure dans l'espace qui déterminera in fine la lourdeur des calculs.

Permettez-moi de vous rappeler que dans cette section, nous examinons les formes suivantes :

1. Parallélépipède rectangulaire
2. Prisme droit (triangulaire, hexagonal...)
3. Pyramide (triangulaire, quadrangulaire)
4. Tétraèdre (identique à la pyramide triangulaire)

Pour une boîte ou un cube rectangulaire, je vous recommande la construction suivante :

C'est-à-dire que je placerai la figure "dans le coin". Le cube et le parallélépipède sont de très belles formes. Pour eux, vous pouvez toujours trouver facilement les coordonnées de ses sommets. Par exemple, si (comme indiqué sur l'image)

alors les coordonnées des sommets sont les suivantes :

Bien sûr, vous n'avez pas besoin de vous en souvenir, mais il est souhaitable de se rappeler comment placer au mieux un cube ou un parallélépipède rectangle.

Prisme droit

Le prisme est une figure plus nuisible. Il peut être positionné dans l'espace de différentes manières. Cependant, l'option suivante me semble la plus acceptable :

Prisme triangulaire:

C'est-à-dire que nous mettons l'un des côtés du triangle entièrement sur l'axe et que l'un des sommets coïncide avec l'origine.

Prisme hexagonal :

C'est-à-dire que l'un des sommets coïncide avec l'origine et que l'un des côtés se trouve sur l'axe.

Pyramide quadrangulaire et hexagonale :

Une situation similaire à un cube : aligner les deux côtés de la base avec les axes de coordonnées, aligner un des sommets avec l'origine. La seule petite difficulté sera de calculer les coordonnées du point.

Pour une pyramide hexagonale - la même chose que pour un prisme hexagonal. La tâche principale, encore une fois, sera de trouver les coordonnées du sommet.

Tétraèdre (pyramide triangulaire)

La situation est très similaire à celle que j'ai donnée pour un prisme triangulaire : un sommet coïncide avec l'origine, un côté se trouve sur l'axe des coordonnées.

Eh bien, maintenant vous et moi sommes enfin sur le point de résoudre les problèmes. De ce que j'ai dit au tout début de l'article, vous pouvez tirer la conclusion suivante : la plupart des problèmes C2 sont divisés en 2 catégories : les problèmes de coin et les problèmes de distance. Tout d'abord, nous examinerons le problème de trouver un angle. Ils sont à leur tour divisés en les catégories suivantes(à mesure que la difficulté augmente) :

Trouver des coins

1. Trouver l'angle entre deux droites
2. Trouver l'angle entre deux plans

Considérons ces tâches dans l'ordre : commencez par trouver l'angle entre deux droites. Eh bien, rappelez-vous, est-ce que vous et moi n'avons pas déjà résolu des exemples similaires ? Souvenez-vous, nous avions déjà quelque chose de similaire... Nous cherchions un angle entre deux vecteurs. Je vous rappellerai, si deux vecteurs sont donnés : et, alors l'angle entre eux se trouve à partir du rapport :

Maintenant, nous avons un objectif - trouver l'angle entre deux lignes droites. Passons à l'"image plate":

Combien d'angles obtenons-nous lorsque deux droites se coupent ? Autant de choses. Certes, seuls deux d'entre eux ne sont pas égaux, tandis que d'autres leur sont verticaux (et coïncident donc avec eux). Alors quel angle doit-on considérer comme l'angle entre deux droites : ou ? Ici la règle est : l'angle entre deux droites n'est toujours pas supérieur à degrés... C'est-à-dire que sous deux angles, nous choisirons toujours l'angle avec la plus petite mesure de degré. C'est-à-dire que sur cette image, l'angle entre deux droites est égal. Afin de ne pas s'embêter à trouver le plus petit des deux angles à chaque fois, des mathématiciens rusés ont suggéré d'utiliser le module. Ainsi, l'angle entre deux droites est déterminé par la formule :

Vous, en tant que lecteur attentif, devriez avoir une question : où, en fait, obtenons-nous ces mêmes nombres dont nous avons besoin pour calculer le cosinus d'un angle ? Réponse : nous les prendrons à partir des vecteurs directeurs des droites ! Ainsi, l'algorithme pour trouver l'angle entre deux droites est le suivant :

1. Nous appliquons la formule 1.

Ou plus en détail :

1. On cherche les coordonnées du vecteur direction de la première droite
2. On cherche les coordonnées du vecteur direction de la deuxième droite
3. Calculer le module de leur produit scalaire
4. On cherche la longueur du premier vecteur
5. On cherche la longueur du deuxième vecteur
6. Multiplier les résultats du point 4 par les résultats du point 5
7. Divisez le résultat du point 3 par le résultat du point 6. On obtient le cosinus de l'angle entre les droites
8. Si résultat donné permet de calculer l'angle exactement, nous le recherchons
9. Sinon, on écrit par le cosinus inverse

Eh bien, c'est maintenant le moment de passer aux problèmes : je vais démontrer la solution des deux premiers en détail, je vais présenter la solution d'un autre dans forme courte, et pour les deux derniers problèmes je ne donnerai que des réponses, vous devez effectuer vous-même tous les calculs pour eux.

Tâches:

1. Dans le bon tet-ra-ed-re, nay-di-ces angle entre vous-donc-ce tet-ra-ed-ra et le visage de med-di-a-noy bo-kovy.

2. Dans le pi-ra-mi-de droitier à six charbons, les côtés de l'os-no-va-nia sont égaux et les côtes sont égales, trouvez l'angle entre les lignes droites et.

3. Les longueurs de tous les bords du bon pi-ra-mi-dy du charbon four-you-rekh sont égales les unes aux autres. Nay-di-ces angle entre les lignes droites et si from-cut est you-co-that donné pi-ra-mi-dy, le point est se-re-di-na sa bo-ko- deuxième côte

4. Sur le bord du cube du point de-me-che-na de sorte que Nay-di-te soit l'angle entre les lignes droites et

5. Point - se-re-di-sur les bords du cube Nay-di-te angle entre les lignes droites et.

Ce n'est pas un hasard si j'ai organisé les tâches dans cet ordre. Alors que vous n'avez pas encore eu le temps de vous lancer dans la navigation dans la méthode des coordonnées, j'analyserai moi-même les figures les plus "problématiques", et je vous laisserai vous occuper du cube le plus simple ! Progressivement, vous devrez apprendre à travailler avec tous les chiffres, j'augmenterai la complexité des tâches de thème en thème.

Commençons à résoudre les problèmes :

1. Dessinez un tétraèdre, placez-le dans le système de coordonnées comme je l'ai suggéré plus tôt. Le tétraèdre étant régulier, toutes ses faces (y compris la base) sont des triangles réguliers. Comme on ne nous donne pas la longueur du côté, je peux la prendre égale. Je pense que vous comprenez que l'angle ne dépendra pas vraiment de combien notre tétraèdre est "étiré" ?. Je vais aussi dessiner la hauteur et la médiane dans le tétraèdre. En chemin, je dessinerai sa base (elle nous sera aussi utile).

Je dois trouver l'angle entre et. Que savons-nous? Nous ne connaissons que la coordonnée du point. Cela signifie que nous devons également trouver les coordonnées des points. Pensons maintenant : un point est le point d'intersection des hauteurs (ou bissectrices ou médianes) du triangle. Un point est un point surélevé. Le point est le milieu du segment. Ensuite, enfin, nous devons trouver: coordonnées des points:.

Commençons par le plus simple : les coordonnées des points. Regardez l'image : Il est clair que l'application du point est égale à zéro (le point se trouve sur le plan). Son ordonnée est (depuis - la médiane). Il est plus difficile de trouver son abscisse. Cependant, cela se fait facilement sur la base du théorème de Pythagore : Considérez un triangle. Son hypoténuse est égale, et l'une des jambes est égale Alors :

Enfin, nous avons :.

Trouvons maintenant les coordonnées du point. Il est clair que son application est encore égale à zéro, et son ordonnée est la même que celle d'un point, c'est-à-dire. Trouvons son abscisse. Cela se fait assez trivialement si vous vous souvenez que les hauteurs d'un triangle équilatéral sont divisées par le point d'intersection en proportion compter du haut. Puisque :, alors l'abscisse recherchée du point, égale à la longueur du segment, est égale à :. Ainsi, les coordonnées du point sont égales :

Trouvons les coordonnées du point. Il est clair que son abscisse et son ordonnée coïncident avec l'abscisse et l'ordonnée du point. Et l'application est égale à la longueur du segment. - c'est l'une des jambes du triangle. L'hypoténuse d'un triangle est un segment - une jambe. Il est recherché à partir des considérations que j'ai mises en évidence en gras :

Le point est le milieu du segment de droite. Ensuite, nous devons nous souvenir de la formule pour les coordonnées du milieu du segment :

Ça y est, nous pouvons maintenant rechercher les coordonnées des vecteurs de direction :

Bon, tout est prêt : on substitue toutes les données dans la formule :

De cette façon,

Réponse:

Vous ne devriez pas être intimidé par des réponses aussi "effrayantes": pour les problèmes C2, c'est une pratique courante. Je serais plutôt surpris de la "bonne" réponse dans cette partie. Aussi, comme vous l'avez remarqué, je n'ai pratiquement eu recours à rien d'autre que le théorème de Pythagore et la propriété des hauteurs d'un triangle équilatéral. C'est-à-dire que pour résoudre le problème stéréométrique, j'ai utilisé le minimum de stéréométrie. Le gain en cela est en partie « éteint » par des calculs assez lourds. Mais ils sont assez algorithmiques !

2. Dessinons une pyramide hexagonale régulière avec un système de coordonnées, ainsi que sa base :

Nous devons trouver l'angle entre les lignes et. Ainsi, notre tâche se réduit à trouver les coordonnées des points :. Nous allons trouver les coordonnées des trois derniers sur la petite image, et nous allons trouver la coordonnée du sommet à travers la coordonnée du point. Travaillez en masse, mais vous devez commencer!

a) Coordonnée : il est clair que son application et son ordonnée sont égales à zéro. Cherchons l'abscisse. Pour ce faire, considérons un triangle rectangle. Hélas, nous n'y connaissons que l'hypoténuse, qui est égale à. On va essayer de trouver la jambe (car il est clair que la longueur de jambe doublée nous donnera l'abscisse du point). Comment pouvons-nous la trouver? Rappelons-nous quel genre de figure nous avons à la base de la pyramide ? C'est un hexagone régulier. Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie que tous les côtés et tous les angles sont égaux. Je devrais trouver un tel coin. Des idées? Il y a beaucoup d'idées, mais il y a une formule :

La somme des angles d'un n-gon régulier est .

Ainsi, la somme des angles d'un hexagone régulier est égale à des degrés. Alors chacun des angles est égal à :

Nous regardons à nouveau la photo. Il est clair que le segment est la bissectrice de l'angle. Alors l'angle est égal à degrés. Puis:

Alors où.

Il a donc des coordonnées

b) Maintenant, nous pouvons facilement trouver la coordonnée du point :.

c) Trouvez les coordonnées du point. Comme son abscisse coïncide avec la longueur du segment, elle est égale à. Trouver l'ordonnée n'est pas non plus très difficile: si nous connectons les points et notons le point d'intersection de la ligne droite, disons, par. (Construction facile à faire soi-même). Alors Ainsi, l'ordonnée du point B est égale à la somme des longueurs des segments. Regardons à nouveau le triangle. Puis

Alors depuis Alors le point a des coordonnées

d) Maintenant, nous trouvons les coordonnées du point. Considérons un rectangle et prouvez que Ainsi, les coordonnées du point sont :

e) Il reste à trouver les coordonnées du sommet. Il est clair que son abscisse et son ordonnée coïncident avec l'abscisse et l'ordonnée du point. Trouvons l'applicateur. Depuis. Considérons un triangle rectangle. Par l'énoncé du problème, le bord latéral. C'est l'hypoténuse de mon triangle. Ensuite, la hauteur de la pyramide est la jambe.

Alors le point a des coordonnées :

Très bien, j'ai les coordonnées de tous les points d'intérêt pour moi. Recherche des coordonnées des vecteurs directeurs des droites :

On cherche l'angle entre ces vecteurs :

Réponse:

Encore une fois, pour résoudre ce problème, je n'ai utilisé aucune astuce sophistiquée, à l'exception de la formule de la somme des angles d'un n-gone régulier, ainsi que de la détermination du cosinus et du sinus d'un triangle rectangle.

3. Comme nous ne connaissons pas encore les longueurs des côtes de la pyramide, je les considérerai égales à un. Ainsi, puisque TOUS les bords, et pas seulement les latéraux, sont égaux les uns aux autres, alors à la base de la pyramide et moi se trouve un carré, et les bords latéraux sont des triangles réguliers. Dessinons une telle pyramide, ainsi que sa base sur un plan, en marquant toutes les données données dans le texte du problème :

Nous recherchons l'angle entre et. Je ferai des calculs très brefs lorsque je chercherai les coordonnées des points. Vous devrez les "déchiffrer":

b) - le milieu du segment. Ses coordonnées :

c) Je vais trouver la longueur du segment par le théorème de Pythagore dans un triangle. Je le trouverai dans un triangle par le théorème de Pythagore.

Coordonnées :

d) est le milieu du segment. Ses coordonnées sont égales

e) Coordonnées vectorielles

f) Coordonnées vectorielles

g) Recherche d'un angle :

Le cube est la figure la plus simple. Je suis sûr que vous pouvez le découvrir par vous-même. Les réponses aux problèmes 4 et 5 sont les suivantes :

Trouver l'angle entre une droite et un plan

Eh bien, le temps des tâches simples est révolu ! Maintenant, les exemples seront encore plus compliqués. Pour trouver l'angle entre une droite et un plan, nous allons procéder comme suit :

1. A partir de trois points on construit l'équation du plan
   ,
   en utilisant un déterminant de troisième ordre.
2. On cherche les coordonnées du vecteur directeur de la droite par deux points :
3. On applique la formule pour calculer l'angle entre une droite et un plan :

Comme vous pouvez le voir, cette formule est très similaire à celle que nous avons utilisée pour trouver les angles entre deux droites. La structure du côté droit est la même, et sur la gauche nous recherchons maintenant le sinus, pas le cosinus, comme auparavant. Eh bien, une action désagréable a été ajoutée - la recherche de l'équation de l'avion.

ne reportons pas solution d'exemples :

1. Os-no-va-no-em prix direct-nous sommes-la-est-égal-mais-pauvre-ric-ny triangulaire-nick Vous-donc-ce prix-nous sommes égaux. Nai di te angle entre droit et plat

2. En rectangle pa-ra-le-le-pi-pe-de de l'ouest Nay-di-te angle entre droite et plan

3. Dans le bon prisme à six charbons, toutes les arêtes sont égales. Non, c'est l'angle entre la ligne droite et le plan.

4. Dans le pi-ra-mi-de triangulaire droitier avec os-no-va-ni-c'est l'angle connu des côtes Nay-di-te, ob-ra-zo-van -planéité du fil de l'os-no -va-nia et droit, pro-ho-dya-shi à travers le se-re-di-us des côtes et

5. Les longueurs de toutes les nervures de la pyramide à quatre coins correcte avec le sommet sont égales les unes aux autres. Nay-di-te est l'angle entre une ligne droite et un plan, si le point est se-re-di-na bo-ko-th côtes pi-ra-mi-dy.

Encore une fois, je vais résoudre les deux premiers problèmes en détail, le troisième - brièvement, et je vous laisse les deux derniers à résoudre vous-même. De plus, vous avez déjà traité des pyramides triangulaires et quadrangulaires, mais pas encore des prismes.

Solutions:

1. Représentons le prisme, ainsi que sa base. Combinons-le avec le système de coordonnées et marquons toutes les données données dans l'énoncé du problème :

Je m'excuse pour le non-respect des proportions, mais pour résoudre le problème, cela, en fait, n'est pas si important. L'avion n'est que le "mur arrière" de mon prisme. Il est assez facile de deviner que l'équation d'un tel plan a la forme :

Cependant, cela peut être montré directement:

Choisissons arbitrairement trois points sur ce plan : par exemple,.

Composons l'équation du plan :

Un exercice pour vous : calculez vous-même ce déterminant. L'AS-tu fait? Alors l'équation plane a la forme :

Ou simplement

De cette façon,

Pour résoudre l'exemple, j'ai besoin de trouver les coordonnées du vecteur de direction d'une ligne droite. Le point ayant coïncidé avec l'origine, les coordonnées du vecteur vont simplement coïncider avec les coordonnées du point.Pour ce faire, nous trouvons d'abord les coordonnées du point.

Pour ce faire, considérons un triangle. Dessinons la hauteur (c'est la médiane et la bissectrice) à partir du sommet. Puisque, alors l'ordonnée du point est égale à. Afin de trouver l'abscisse de ce point, nous devons calculer la longueur du segment. Par le théorème de Pythagore on a :

Alors le point a des coordonnées :

Un point est « relevé » d'un point :

Alors les coordonnées du vecteur :

Réponse:

Comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de fondamentalement difficile à résoudre de tels problèmes. En fait, le procédé simplifie encore la "rectitude" d'une forme telle qu'un prisme. Passons maintenant à l'exemple suivant :

2. Dessinez un parallélépipède, dessinez un plan et une ligne droite, et dessinez également séparément sa base inférieure:

On trouve d'abord l'équation du plan : Coordonnées de trois points qui s'y trouvent :

(les deux premières coordonnées ont été obtenues de manière évidente, et vous pouvez facilement trouver la dernière coordonnée de l'image du point). On compose alors l'équation du plan :

On calcule :

On cherche les coordonnées du vecteur direction : Il est clair que ses coordonnées coïncident avec les coordonnées du point, n'est-ce pas ? Comment trouver les coordonnées ? Ce sont les coordonnées du point, rehaussées d'une unité dans l'axe de l'application ! ... Ensuite, nous recherchons l'angle requis:

Réponse:

3. Dessinez une pyramide hexagonale régulière, puis dessinez un plan et une ligne droite à l'intérieur.

Ici même dessiner un plan est problématique, sans parler de la solution de ce problème, mais la méthode des coordonnées s'en moque ! C'est dans sa polyvalence que réside son principal avantage !

L'avion passe par trois points :. Nous recherchons leurs coordonnées :

un) . Dessinez vous-même les coordonnées des deux derniers points. La solution au problème avec une pyramide hexagonale sera utile pour cela !

2) On construit l'équation du plan :

On cherche les coordonnées du vecteur :. (revoyez le problème de la pyramide triangulaire !)

3) Vous cherchez un angle :

Réponse:

Comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de surnaturellement difficile dans ces tâches. Il faut juste faire très attention aux racines. Pour les deux derniers problèmes, je ne donnerai que des réponses :

Comme vous pouvez le voir, la technique de résolution des problèmes est la même partout : la tâche principale est de trouver les coordonnées des sommets et de les substituer dans certaines formules. Il nous reste à considérer une autre classe de problèmes pour le calcul des angles, à savoir :

Calculer des angles entre deux plans

L'algorithme de résolution sera le suivant :

1. Par trois points, on cherche l'équation du premier plan :
2. Pour les trois autres points, on cherche l'équation du deuxième plan :
3. On applique la formule :

Comme vous pouvez le voir, la formule est très similaire aux deux précédentes, à l'aide desquelles nous avons recherché les angles entre des droites et entre une droite et un plan. Donc, se souvenir de celui-ci ne sera pas difficile pour vous. Passons directement à l'analyse des tâches :

1. Cent-ro-na de l'os-no-va-nia du prisme triangulaire droitier est égal, et la diagonale du grand visage est égale. Non, c'est l'angle entre le plan et le plan du prisme.

2. Dans le bon four-you-rekh-coal-noy pi-ra-mi-de, dont tous les bords sont égaux, trouvez le sinus de l'angle entre le plan et le plan to-stu, pro-ho- dya-shchey à travers le point per-pen-di-ku-lar-mais tout droit.

3. Dans le prisme de charbon quatre-you-rekh-correct, les côtés de l'os-no-va-nia sont égaux et les côtés sont égaux. Sur le bord il y a un point pour que. Trouver l'angle entre le plan-à-sti-mi et

4. Dans le prisme à quatre coins droit, les côtés de l'os-no-va-nia sont égaux et les bords latéraux sont égaux. Sur le bord de-me-che-au point de sorte que Nay-di-te soit l'angle entre plan-à-st-mi et.

5. Dans le cube nay-di-te ko-si-nus de l'angle entre le plan-ko-sti-mi et

Solutions aux problèmes :

1. Je dessine un prisme triangulaire régulier (à la base - un triangle équilatéral) et marque dessus les plans qui apparaissent dans l'énoncé du problème :

Il faut trouver les équations de deux plans : L'équation de la base est triviale : vous pouvez composer le déterminant correspondant par trois points, mais je vais composer l'équation tout de suite :

Maintenant, nous allons trouver l'équation Point a des coordonnées Point - Puisque c'est la médiane et la hauteur du triangle, il est facile de le trouver dans un triangle par le théorème de Pythagore. Alors le point a des coordonnées : Trouver l'application du point Pour ce faire, considérons un triangle rectangle

On obtient alors les coordonnées suivantes : Établir l'équation du plan.

On calcule l'angle entre les plans :

Réponse:

2. Faire un dessin :

Le plus difficile est de comprendre ce qu'est ce plan mystérieux, passant par un point perpendiculairement. Eh bien, le principal est qu'est-ce que c'est? L'essentiel est l'attention ! En effet, la ligne est perpendiculaire. La droite est également perpendiculaire. Alors le plan passant par ces deux droites sera perpendiculaire à la droite et, soit dit en passant, passera par le point. Ce plan passe également par le sommet de la pyramide. Puis l'avion désiré - Et l'avion nous a déjà été donné. On cherche les coordonnées des points.

Trouver la coordonnée du point à travers le point. De la petite figure il est facile de déduire que les coordonnées du point seront les suivantes : Que reste-t-il maintenant à trouver pour trouver les coordonnées du sommet de la pyramide ? Vous devez également calculer sa hauteur. Cela se fait en utilisant le même théorème de Pythagore : d'abord, prouver que (trivialement à partir de petits triangles formant un carré à la base). Puisque par condition, on a :

Maintenant tout est prêt : les coordonnées du sommet :

On compose l'équation du plan :

Vous êtes déjà spécial dans le calcul des déterminants. Vous pouvez facilement obtenir :

Ou bien (si on multiplie les deux parties par la racine de deux)

On trouve maintenant l'équation du plan :

(Tu n'as pas oublié comment on obtient l'équation de l'avion, non ? Si tu ne comprends pas d'où vient ce moins un, alors reviens à la définition de l'équation de l'avion ! C'est juste qu'avant ça tournait que l'origine des coordonnées appartenait à mon avion !)

On calcule le déterminant :

(Vous pouvez voir que l'équation du plan coïncide avec l'équation de la droite passant par les points et ! Réfléchissez pourquoi !)

Calculons maintenant l'angle :

Il faut trouver le sinus :

Réponse:

3. Une question délicate : à votre avis, qu'est-ce qu'un prisme rectangulaire ? C'est juste un parallélépipède que vous connaissez bien ! Faites un dessin tout de suite ! Il est même possible de ne pas représenter le socle séparément, il y a peu d'intérêt à en tirer ici :

Le plan, comme nous l'avons noté plus haut, s'écrit sous la forme d'une équation :

Maintenant, nous préparons l'avion

On compose immédiatement l'équation du plan :

Vous cherchez un angle :

Maintenant les réponses aux deux derniers problèmes :

Eh bien, il est maintenant temps de faire une pause, car vous et moi sommes formidables et avons fait un excellent travail !

Coordonnées et vecteurs. Niveau avancé

Dans cet article, nous allons discuter avec vous d'une autre classe de problèmes pouvant être résolus à l'aide de la méthode des coordonnées : les problèmes de distance. À savoir, vous et moi considérerons cas suivants:

1. Calcul de la distance entre les lignes croisées.

J'ai ordonné ces tâches au fur et à mesure que leur complexité augmente. Il s'avère être le plus facile à trouver distance du point au plan, et le plus difficile est de trouver distance entre les lignes de croisement... Même si, bien sûr, rien n'est impossible ! Ne tardons pas et passons immédiatement à l'examen de la première classe de problèmes :

Calcul de la distance d'un point à un plan

De quoi avons-nous besoin pour résoudre ce problème ?

1. Coordonnées des points

Ainsi, dès que nous obtenons toutes les données nécessaires, nous appliquons la formule :

Vous devriez déjà savoir comment on construit l'équation du plan à partir des problèmes précédents que j'ai abordés dans la dernière partie. Passons aux tâches tout de suite. Le schéma est le suivant: 1, 2, je vous aide à résoudre, et en détail, 3, 4 - seulement la réponse, vous prenez la décision vous-même et comparez. Commençons!

Tâches:

1. Étant donné un cube. La longueur du bord du cube est. Nay-di-te distance-i-ni de se-re-di-us de-couper à plat-à-sti

2. Compte tenu de la droite-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-kovoe bord side-ro-na os-no-va-nia est égal. Nay-di-te distance-i-nie du point au plan-à-sti où - se-re-di-na côtes.

3. Dans le pi-ra-mi-de triangulaire droitier avec os-but-va-ni, le bord bo-kov est égal et le côté-ro-na is-no-va- est égal à. Nay-di-te distance-i-nye du sommet à l'avion.

4. Dans un prisme régulier à six charbons, toutes les arêtes sont égales. Nay-di-te distance-i-nye d'un point à un plan.

Solutions:

1. Dessinez un cube avec des arêtes unitaires, construisez un segment et un plan, notez le milieu du segment par la lettre

.

Tout d'abord, commençons par un simple : trouver les coordonnées d'un point. Depuis lors (rappelez-vous les coordonnées du milieu du segment !)

Maintenant, nous composons l'équation du plan par trois points

\ [\ gauche | (\ begin (tableau) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ end (tableau)) \ right | = 0 \]

Maintenant je peux commencer à chercher la distance :

2. Recommencez avec le dessin, sur lequel nous marquons toutes les données !

Pour la pyramide, il serait utile de dessiner sa base séparément.

Même le fait que je dessine comme un poulet avec une patte ne nous empêche pas de résoudre facilement ce problème !

Il est maintenant facile de trouver les coordonnées d'un point

Puisque les coordonnées du point, alors

2. Puisque les coordonnées du point a sont le milieu du segment, alors

Nous pouvons également trouver les coordonnées de deux autres points sur le plan sans aucun problème. Nous composons l'équation du plan et la simplifions :

\ [\ gauche | (\ gauche | (\ début (tableau) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \ \ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ end (array)) \ right |) \ right | = 0 \]

Puisque le point a des coordonnées :, alors nous calculons la distance :

Réponse (très rare !) :

Eh bien, compris ? Il me semble que tout ici est aussi technique que dans les exemples que nous avons envisagés avec vous dans la partie précédente. Je suis donc sûr que si vous maîtrisez ce matériau, il ne vous sera pas difficile de résoudre les deux problèmes restants. Je vais juste donner les réponses :

Calcul de la distance d'une droite à un plan

En fait, il n'y a rien de nouveau ici. Comment situer une ligne et un plan l'un par rapport à l'autre ? Ils ont toutes les possibilités : se croisent, ou une droite est parallèle au plan. Selon vous, quelle est la distance d'une droite au plan avec lequel cette droite coupe ? Il me semble qu'il est clair ici qu'une telle distance est égale à zéro. Un cas sans intérêt.

Le deuxième cas est plus délicat : ici la distance est déjà non nulle. Cependant, puisque la ligne est parallèle au plan, alors chaque point de la ligne est équidistant de ce plan :

De cette façon:

Et cela signifie que ma tâche a été réduite à la précédente : on cherche les coordonnées d'un point quelconque sur une droite, on cherche l'équation de l'avion, on calcule la distance d'un point à l'avion. En fait, de telles tâches sont extrêmement rares à l'examen. J'ai réussi à trouver un seul problème, et les données qu'il contenait étaient telles que la méthode des coordonnées ne lui était pas très applicable !

Passons maintenant à un autre, beaucoup plus classe importante Tâches:

Calcul de la distance d'un point à une droite

De quoi avons nous besoin?

1. Coordonnées du point à partir duquel on cherche la distance :

2. Coordonnées de n'importe quel point situé sur une ligne droite

3. Coordonnées du vecteur directeur d'une droite

Quelle formule utilisons-nous ?

Que signifie pour vous le dénominateur d'une fraction donnée et cela devrait être clair : c'est la longueur du vecteur directeur d'une ligne droite. Il y a un numérateur très délicat ici ! L'expression signifie le module (longueur) du produit vectoriel des vecteurs et Comment calculer le produit vectoriel, nous avons étudié dans la partie précédente du travail. Rafraîchissez vos connaissances, elles nous seront très utiles maintenant !

Ainsi, l'algorithme de résolution des problèmes sera le suivant :

1. On cherche les coordonnées du point à partir duquel on cherche la distance :

2. On cherche les coordonnées de n'importe quel point de la droite dont on cherche la distance :

3. Construire un vecteur

4. Construire le vecteur de direction de la ligne droite

5. Calculer le produit croisé

6. On cherche la longueur du vecteur résultant :

7. Calculez la distance :

Nous avons beaucoup de travail, et les exemples seront assez complexes ! Alors maintenant concentrez toute votre attention !

1. Dana est un pi-ra-mi-da triangulaire droit-vil-naya avec un sommet. Cent-ro-na os-no-va-nia pi-ra-mi-dy est égal, vous-donc-c'est égal. Nay-di-ces distance-i-nye du se-re-di-ny de la côte bo-ko-th à la ligne droite, où les points et sont les se-re-di-ny des côtes et ainsi de suite -de- vétérinaire-mais.

2. Les longueurs des côtes et le rectangle pa-ral-le-le-pi-pe-da sont égales, respectivement, et Nay-di-ces distance du haut vers le droit

3. Dans le prisme droit à six charbons, tous les bords d'un essaim sont à égale distance d'un point à une ligne droite.

Solutions:

1. Nous réalisons un dessin soigné sur lequel nous marquons toutes les données :

Nous avons beaucoup de travail avec vous ! Tout d'abord, je voudrais décrire en mots ce que nous allons rechercher et dans quel ordre :

1. Coordonnées des points et

2. Coordonnées des points

3. Coordonnées des points et

4. Coordonnées des vecteurs et

5. Leur produit croisé

6. La longueur du vecteur

7. La longueur du produit vectoriel

8. Distance de à

Eh bien, nous avons beaucoup de travail à faire! On s'y met en retroussant nos manches !

1. Pour trouver les coordonnées de la hauteur de la pyramide, nous devons connaître les coordonnées du point. Son application est égale à zéro et l'ordonnée est égale à l'abscisse, elle est égale à la longueur du segment. Puisque est la hauteur d'un triangle équilatéral, il est divisé en relation, en comptant depuis le haut, désormais. Enfin, nous avons les coordonnées :

Coordonnées des points

2. - le milieu du segment

3. - le milieu du segment

Milieu du segment

4.Coordonnées

Coordonnées vectorielles

5. Nous calculons le produit croisé :

6. La longueur du vecteur : le plus simple est de remplacer le segment par la ligne médiane du triangle, ce qui signifie qu'il est égal à la moitié de la base. De sorte que.

7. On considère la longueur du produit vectoriel :

8. Enfin, on trouve la distance :

Ouf, c'est ça ! Honnêtement, la solution à ce problème en utilisant des méthodes traditionnelles (par des constructions) serait beaucoup plus rapide. Mais là, j'ai tout réduit à un algorithme tout fait ! Je pense que l'algorithme de solution est clair pour vous? Par conséquent, je vais vous demander de résoudre vous-même les deux problèmes restants. Comparons les réponses ?

Encore une fois, je le répète : il est plus facile (plus rapide) de résoudre ces problèmes par des constructions, et de ne pas recourir à la méthode des coordonnées. J'ai démontré cette solution uniquement pour vous montrer une méthode universelle qui vous permet de "ne rien compléter".

Enfin, considérons la dernière classe de problèmes :

Calcul de la distance entre les lignes croisées

Ici, l'algorithme de résolution de problèmes sera similaire au précédent. Ce que nous avons:

3. Tout vecteur reliant les points des première et deuxième droites :

Comment trouve-t-on la distance entre les droites ?

La formule est la suivante :

Le numérateur est le module du produit mixte (nous l'avons introduit dans la partie précédente), et le dénominateur est le même que dans la formule précédente (le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs des droites, la distance entre laquelle nous recherchons).

je te rappelle que

ensuite la formule de la distance peut être réécrite comme:

Une sorte de déterminant divisé par un déterminant ! Bien que, pour être honnête, je n'ai pas le temps pour les blagues ici ! Cette formule, en effet, est très lourde et conduit à des calculs assez compliqués. Si j'étais vous, je ne l'utiliserais qu'en dernier recours !

Essayons de résoudre plusieurs problèmes en utilisant la méthode ci-dessus :

1. Dans le prisme triangulaire correct, tous les bords sont égaux, trouvez la distance entre les lignes droites et.

2. Étant donné un prisme triangulaire droitier, tous les bords de l'os-no-va-tion d'un essaim sont des côtes égales et des côtes se-re-di-well yav-la-et-sya square-ra-tom. Nay-di-te distance-i-nie entre straight-we-mi et

Je décide du premier, et en fonction de cela, vous décidez du second !

1. Dessinez un prisme et marquez les lignes droites et

Coordonnées du point C : puis

Coordonnées des points

Coordonnées vectorielles

Coordonnées des points

Coordonnées vectorielles

Coordonnées vectorielles

\ [\ left ((B, \ overrightarrow (A (A_1)) \ overrightarrow (B (C_1))) \ right) = \ left | (\ begin (array) (* (20) (l)) (\ begin (array) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ end (array)) \\ (\ begin (array) ( * (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array)) \\ (\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (array)) \ end (array)) \ right | = \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

On considère le produit croisé entre les vecteurs et

\ [\ overrightarrow (A (A_1)) \ cdot \ overrightarrow (B (C_1)) = \ left | \ begin (array) (l) \ begin (array) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) & (\ overrightarrow j) & (\ overrightarrow k) \ end (array) \\\ begin (array ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array) \\\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (array) \ end (array) \ right | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

Calculons maintenant sa longueur :

Réponse:

Essayez maintenant de terminer la deuxième tâche avec soin. La réponse sera :.

Coordonnées et vecteurs. Brève description et formules de base

Un vecteur est un segment de droite orienté. - le début du vecteur, - la fin du vecteur.
Le vecteur est noté ou.

Valeur absolue vecteur - la longueur du segment représentant le vecteur. Il est indiqué comme.

Coordonnées vectorielles :

,
où sont les extrémités du vecteur \ displaystyle a.

Somme des vecteurs :.

Produit de vecteurs :

Produit scalaire de vecteurs :

Dans le cadre de ce matériel, nous analyserons comment trouver l'équation d'un plan si nous connaissons les coordonnées de ses trois points différents qui ne se trouvent pas sur une ligne droite. Pour ce faire, nous devons nous rappeler ce qu'est un système de coordonnées rectangulaires dans l'espace tridimensionnel. Pour commencer, nous présentons le principe de base de cette équation et montrons comment l'utiliser exactement pour résoudre des problèmes spécifiques.

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Tout d'abord, nous devons nous souvenir d'un axiome, qui ressemble à ceci :

Définition 1

Si trois points ne coïncident pas les uns avec les autres et ne se trouvent pas sur une ligne droite, alors dans l'espace tridimensionnel, un seul plan les traverse.

En d'autres termes, si nous avons trois points différents dont les coordonnées ne coïncident pas et qui ne peuvent pas être reliés par une ligne droite, alors nous pouvons définir un plan qui le traverse.

Disons que nous avons un système de coordonnées rectangulaires. On le note O x y z. Il contient trois points M de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), qui ne peuvent pas être connectés une ligne droite. Sur la base de ces conditions, nous pouvons écrire l'équation de l'avion dont nous avons besoin. Il existe deux approches pour résoudre ce problème.

1. La première approche utilise l'équation générale du plan. Sous forme littérale, il s'écrit A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Il peut être utilisé pour définir un certain plan alpha dans un système de coordonnées rectangulaires, qui passe par le premier point spécifié M 1 (x 1, y 1, z 1). Il s'avère que le vecteur normal du plan α aura les coordonnées A, B, C.

Définition de N

Connaissant les coordonnées du vecteur normal et les coordonnées du point par lequel passe le plan, on peut écrire l'équation générale de ce plan.

Nous partirons de là à l'avenir.

Ainsi, selon les conditions du problème, on a les coordonnées du point désiré (voire trois) par lequel passe l'avion. Pour trouver l'équation, vous devez calculer les coordonnées de son vecteur normal. On le note n →.

Rappelons la règle : tout vecteur non nul d'un plan donné est perpendiculaire au vecteur normal du même plan. On a alors que n → sera perpendiculaire aux vecteurs composés des points originaux M 1 M 2 → et M 1 M 3 →. On peut alors noter n → comme le produit vectoriel de la forme M 1 M 2 → · M 1 M 3 →.

Puisque M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) et M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (les preuves de ces égalités sont données dans l'article consacré au calcul des coordonnées d'un vecteur à partir des coordonnées de points), alors il s'avère que :

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z un

Si nous calculons le déterminant, alors nous obtenons les coordonnées du vecteur normal n → dont nous avons besoin. Maintenant, nous pouvons écrire l'équation désirée du plan passant par trois points donnés.

2. La deuxième approche pour trouver l'équation passant par M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) est basé sur un concept tel que la coplanarité des vecteurs.

Si nous avons un ensemble de points M (x, y, z), alors dans un système de coordonnées rectangulaires ils définissent un plan pour des points donnés M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ), M 3 (x 3, y 3, z 3) uniquement si les vecteurs M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = ( x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) et M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) seront coplanaires.

Sur le schéma, cela ressemblera à ceci :

Cela signifiera que le produit mixte des vecteurs M 1 M →, M 1 M 2 →, M 1 M 3 → sera égal à zéro : M 1 M → M 1 M 2 → M 1 M 3 → = 0, puisqu'il est la condition principale de coplanarité : M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1 ) et M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Écrivons l'équation résultante sous forme de coordonnées :

Après avoir calculé le déterminant, nous pourrons obtenir l'équation plane souhaitée pour trois points M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3 , y 3, z 3).

A partir de l'équation résultante, vous pouvez passer à l'équation du plan en segments ou à l'équation normale du plan, si les conditions du problème l'exigent.

Dans le paragraphe suivant, nous donnerons des exemples de la façon dont ces approches sont mises en œuvre dans la pratique.

Exemples de tâches pour établir une équation d'un plan passant par 3 points

Auparavant, nous avons identifié deux approches qui peuvent être utilisées pour trouver l'équation souhaitée. Voyons comment ils sont appliqués à la résolution de problèmes et quand choisir chacun.

Exemple 1

Il y a trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite, avec les coordonnées M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Égaliser l'avion à travers eux.

Solution

Nous utilisons les deux méthodes alternativement.

1. Trouvons les coordonnées des deux vecteurs dont nous avons besoin M 1 M 2 →, M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 M 1 M 3 → = 6, 1, 0

Calculons maintenant leur produit croisé. Dans ce cas, nous ne décrirons pas les calculs du déterminant :

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

On obtient le vecteur normal du plan, qui passe par les trois points requis : n → = (- 5, 30, 2). Ensuite, nous devons prendre l'un des points, par exemple M 1 (- 3, 2, - 1), et écrire l'équation du plan avec le vecteur n → = (- 5, 30, 2). On obtient que : - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

C'est l'équation du plan dont nous avons besoin, qui passe par trois points.

2. Nous utilisons une approche différente. On écrit l'équation d'un plan à trois points M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) dans le forme suivante :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Ici, vous pouvez remplacer les données de l'énoncé du problème. Puisque x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, au final on obtient :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Nous avons l'équation dont nous avons besoin.

Réponse:- 5 x + 30 y + 2 z - 73.

Mais que se passe-t-il si les points donnés se trouvent toujours sur une ligne droite et que nous devons établir une équation plane pour eux ? Ici, je dois dire tout de suite que cette condition ne sera pas tout à fait correcte. Un nombre infini d'avions peut passer par de tels points, il est donc impossible de calculer une seule réponse. Considérons un tel problème afin de prouver l'inexactitude d'une telle formulation de la question.

Exemple 2

Nous avons un système de coordonnées rectangulaires dans un espace tridimensionnel dans lequel trois points sont placés avec les coordonnées M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) ... Il est nécessaire de formuler une équation pour le plan qui le traverse.

Solution

Utilisons la première méthode et commençons par calculer les coordonnées de deux vecteurs M 1 M 2 → et M 1 M 3 →. Calculons leurs coordonnées : M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Le produit vectoriel sera égal à :

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Puisque M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, alors nos vecteurs seront colinéaires (lire l'article à leur sujet si vous avez oublié la définition de ce concept). Ainsi, les points initiaux M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) sont sur la même droite, et notre problème a infiniment de nombreuses options répondent.

Si nous utilisons la deuxième méthode, nous obtenons :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 0 ≡ 0

Il résulte également de l'égalité résultante que les points donnés M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) sont sur la même droite .

Si vous voulez trouver au moins une réponse à ce problème parmi la variété infinie de ses options, vous devez suivre ces étapes :

1. Écrivez l'équation de la droite M 1 M 2, M 1 M 3 ou M 2 M 3 (si nécessaire, consultez le matériel sur cette action).

2. Prenons le point M 4 (x 4, y 4, z 4), qui ne se trouve pas sur la droite M 1 M 2.

3. Écrivez l'équation du plan qui passe par trois points différents M 1, M 2 et M 4, ne se trouvant pas sur une ligne droite.

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Dans cette leçon, nous verrons comment utiliser le déterminant pour composer équation plane... Si vous ne savez pas ce qu'est un déterminant, passez à la première partie de la leçon - "Matrices et déterminants". Sinon, vous risquez de ne rien comprendre au contenu d'aujourd'hui.

Équation plane à trois points

Pourquoi l'équation du plan est-elle nécessaire? C'est simple : le sachant, on peut facilement calculer des angles, des distances et autres conneries dans le problème C2. En général, cette équation est indispensable. Par conséquent, nous formulons le problème :

Tâche. Trois points sont donnés dans l'espace qui ne se trouvent pas sur une ligne droite. Leurs coordonnées :

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Il faut formuler l'équation du plan passant par ces trois points. De plus, l'équation devrait ressembler à:

Ax + Par + Cz + D = 0

où les nombres A, B, C et D sont les coefficients qu'il faut effectivement trouver.

Eh bien, comment obtenir l'équation du plan si seules les coordonnées des points sont connues ? Le moyen le plus simple est de substituer les coordonnées dans l'équation Ax + By + Cz + D = 0. Vous obtenez un système de trois équations, qui est facile à résoudre.

De nombreux étudiants trouvent cette solution extrêmement fastidieuse et peu fiable. L'utilisation de l'année dernière en mathématiques a montré que la probabilité de faire une erreur de calcul est vraiment élevée.

Par conséquent, les enseignants les plus avancés ont commencé à rechercher des solutions plus simples et plus élégantes. Et ils l'ont trouvé ! Certes, la réception obtenue est plutôt liée aux mathématiques supérieures. Personnellement, j'ai dû fouiller dans toute la liste fédérale des manuels scolaires pour m'assurer que nous avons le droit d'utiliser cette technique sans aucune justification ni preuve.

Équation du plan par le déterminant

Assez de paroles, passons aux choses sérieuses. Pour commencer, un théorème sur la relation entre le déterminant d'une matrice et l'équation d'un plan.

Théorème. Soit les coordonnées de trois points par lesquels le plan doit être tracé : M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Alors l'équation de ce plan peut s'écrire à travers le déterminant :

Par exemple, essayons de trouver une paire d'avions qui se produisent réellement dans les problèmes C2. Jetez un œil à la vitesse à laquelle tout compte :

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1,0,0);
C 1 = (1, 1, 1);

Nous composons le déterminant et l'assimilons à zéro :

Développer le déterminant :

a = 1 1 (z - 1) + 0 0 x + (-1) 1 y = z - 1 - y ;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a - b = z - 1 - y - (−x) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1 ;
d = 0 x - y + z - 1 = 0 ;

Comme vous pouvez le voir, lors du calcul du nombre d, j'ai "peigné" un peu l'équation pour que les variables x, y et z passent à séquence correcte... C'est tout! L'équation du plan est prête !

Tâche. Égaliser le plan par les points :

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

On substitue immédiatement les coordonnées des points dans le déterminant :

Développez à nouveau le déterminant :

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a - b = z - (x + y) = z - x - y;
d = 0 z - x - y = 0 ⇒ x + y - z = 0 ;

Ainsi, l'équation du plan est obtenue à nouveau ! Encore une fois, à la dernière étape, nous avons dû changer les signes dedans pour obtenir une formule plus "belle". Il n'est pas du tout nécessaire de le faire dans la présente solution, mais c'est toujours recommandé - afin de simplifier la solution ultérieure du problème.

Comme vous pouvez le voir, l'équation de l'avion est maintenant beaucoup plus facile. Nous substituons les points dans la matrice, calculons le déterminant - et c'est tout, l'équation est prête.

Cela pourrait mettre fin à la leçon. Cependant, de nombreux étudiants oublient constamment ce qui se trouve à l'intérieur du déterminant. Par exemple, quelle ligne contient x 2 ou x 3, et quelle ligne ne contient que x. Pour enfin aller au fond des choses, traçons d'où vient chaque nombre.

D'où vient la formule déterminante ?

Voyons donc d'où vient une équation aussi dure avec un déterminant. Cela vous aidera à vous en souvenir et à l'appliquer avec succès.

Tous les plans qui se rencontrent dans le problème C2 sont spécifiés par trois points. Ces points sont toujours marqués sur le dessin, voire indiqués directement dans le texte du problème. Dans tous les cas, pour composer une équation, nous devons écrire leurs coordonnées :

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Considérons un autre point de notre plan avec des coordonnées arbitraires :

T = (x, y, z)

Nous prenons n'importe quel point du premier triple (par exemple, le point M) et en tirons des vecteurs vers chacun des trois points restants. On obtient trois vecteurs :

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Nous allons maintenant composer une matrice carrée à partir de ces vecteurs et assimiler son déterminant à zéro. Les coordonnées des vecteurs deviendront des lignes de la matrice - et nous obtiendrons le même déterminant, qui est indiqué dans le théorème :

Cette formule signifie que le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs MN, MK et MT est égal à zéro. Par conséquent, les trois vecteurs se trouvent dans le même plan. En particulier, un point arbitraire T = (x, y, z) est exactement ce que nous recherchions.

Remplacement des points et des chaînes de qualificateur

Les qualificateurs ont d'excellentes propriétés qui facilitent encore plus solution au problème C2... Par exemple, peu nous importe à partir de quel point dessiner les vecteurs. Par conséquent, les déterminants suivants donnent la même équation plane que celle ci-dessus :

Vous pouvez également intervertir les lignes de l'identifiant. Dans ce cas, l'équation restera inchangée. Par exemple, beaucoup de gens aiment écrire une ligne avec les coordonnées du point T = (x; y; z) tout en haut. S'il vous plaît, si cela vous convient :

Certaines personnes sont confuses que l'une des lignes contienne des variables x, y et z, qui ne disparaissent pas lorsque les points sont substitués. Mais ils ne devraient pas disparaître non plus ! En remplaçant les nombres dans le déterminant, vous devriez obtenir la construction suivante :

Ensuite, le déterminant est développé selon le schéma donné au début de la leçon, et l'équation standard du plan est obtenue :

Ax + Par + Cz + D = 0

Jetez un œil à un exemple. Il est le dernier de la leçon d'aujourd'hui. Je vais délibérément inverser les lignes pour m'assurer que la réponse est la même équation plane.

Tâche. Égaliser le plan par les points :

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Ainsi, nous considérons 4 points :

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Commençons par composer un déterminant standard et égalisons-le à zéro :

Développer le déterminant :

a = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y ;
b = (-1) 1 (x - 1) + 1 (-1) (z - 1) + 0 0 y = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z ;
d = a - b = y - (2 - x - z) = y - 2 + x + z = x + y + z - 2;
d = 0 x + y + z - 2 = 0 ;

Ça y est, nous avons la réponse : x + y + z - 2 = 0.

Maintenant, réorganisons quelques lignes dans le qualificatif et voyons ce qui se passe. Par exemple, écrivons une ligne avec les variables x, y, z, non pas en bas, mais en haut :

On rouvre le déterminant obtenu :

a = (x - 1) 1 (-1) + (z - 1) (-1) 1 + y 0 0 = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z ;
b = (z - 1) 1 0 + y (-1) (-1) + (x - 1) 1 0 = y;
d = a - b = 2 - x - z - y ;
d = 0 2 - x - y - z = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0 ;

Nous avons exactement la même équation du plan : x + y + z - 2 = 0. Cela signifie que cela ne dépend vraiment pas de l'ordre des lignes. Il reste à écrire la réponse.

Ainsi, nous nous sommes assurés que l'équation du plan ne dépend pas de la séquence des droites. Vous pouvez effectuer des calculs similaires et prouver que l'équation du plan ne dépend pas du point dont nous soustrayons les coordonnées du reste des points.

Dans le problème considéré ci-dessus, nous avons utilisé le point B 1 = (1, 0, 1), mais il était tout à fait possible de prendre C = (1, 1, 0) ou D 1 = (0, 1, 1). En général, tout point dont les coordonnées sont connues se trouvant sur le plan souhaité.