În secțiunea anterioară, dedicată analizei semnificației geometrice a unei integrale definite, am obținut o serie de formule pentru calcularea ariei unui trapez curbiliniu:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nenegativă y = f (x) pe segmentul [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nepozitivă y = f (x) pe segmentul [ a ; b] .

Aceste formule sunt aplicabile pentru rezolvarea relativă sarcini simple. De fapt, de multe ori trebuie să lucrăm cu forme mai complexe. În acest sens, vom dedica această secțiune analizei algoritmilor pentru calcularea ariei figurilor, care sunt limitate de funcții într-o formă explicită, de exemplu. cum ar fi y = f(x) sau x = g(y) .

Fie definite şi continue funcţiile y = f 1 (x) şi y = f 2 (x) pe segmentul [ a ; b ] și f 1 (x) ≤ f 2 (x) pentru orice valoare x din [ a ; b] . Apoi formula pentru calcularea ariei figurii G, delimitate de linii x = a , x = b , y = f 1 (x) și y = f 2 (x) vor arăta ca S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

O formulă similară va fi aplicabilă pentru aria figurii delimitată de liniile y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) și x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ cd (g 2 (y) - g 1 (y) dy .

Dovada

Vom analiza trei cazuri pentru care formula va fi valabilă.

În primul caz, ținând cont de proprietatea de aditivitate a zonei, suma ariilor figurii originale G și a trapezului curbiliniu G 1 este egală cu aria figurii G 2 . Înseamnă că

Prin urmare, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Putem efectua ultima tranziție folosind a treia proprietate a integralei definite.

În al doilea caz, egalitatea este adevărată: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1(x))dx

Ilustrația grafică va arăta astfel:

Dacă ambele funcții sunt nepozitive, obținem: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx . Ilustrația grafică va arăta astfel:

Să trecem la considerarea cazului general când y = f 1 (x) și y = f 2 (x) intersectează axa O x .

Punctele de intersecție le vom nota ca x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Aceste puncte rup segmentul [ a ; b ] în n părţi x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , unde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Prin urmare,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx = = ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx

Putem face ultima tranziție folosind a cincea proprietate a integralei definite.

Să ilustrăm cazul general pe grafic.

Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x poate fi considerată dovedită.

Și acum să trecem la analiza exemplelor de calcul a ariei figurilor care sunt limitate de liniile y \u003d f (x) și x \u003d g (y) .

Luând în considerare oricare dintre exemple, vom începe cu construcția unui grafic. Imaginea ne va permite să reprezentăm forme complexe ca combinații de forme mai simple. Dacă întâmpinați probleme la trasarea graficelor și a figurilor pe ele, puteți studia secțiunea privind funcțiile elementare de bază, transformarea geometrică a graficelor funcțiilor, precum și trasarea în timp ce examinați o funcție.

Exemplul 1

Este necesar să se determine aria figurii, care este limitată de parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 și linii drepte y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Soluţie

Să trasăm liniile pe grafic în sistemul de coordonate carteziene.

Pe intervalul [ 1 ; 4] graficul parabolei y = - x 2 + 6 x - 5 este situat deasupra dreptei y = - 1 3 x - 1 2 . În acest sens, pentru a obține un răspuns, folosim formula obținută mai devreme, precum și metoda de calcul a unei integrale definite folosind formula Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Răspuns: S (G) = 13

Să ne uităm la un exemplu mai complex.

Exemplul 2

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Soluţie

În acest caz, avem o singură linie dreaptă paralelă cu axa x. Acesta este x = 7 . Acest lucru ne cere să găsim noi înșine a doua limită de integrare.

Să construim un grafic și să punem pe el liniile date în starea problemei.

Având un grafic în fața ochilor, putem determina cu ușurință că limita inferioară de integrare va fi abscisa punctului de intersecție al graficului cu o linie dreaptă y \u003d x și o semi-parabolă y \u003d x + 2. Pentru a găsi abscisa, folosim egalitățile:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ ODG x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ ODG

Rezultă că abscisa punctului de intersecție este x = 2.

Vă atragem atenția asupra faptului că în exemplul general din desen, liniile y = x + 2 , y = x se intersectează în punctul (2 ; 2) , astfel încât astfel de calcule detaliate pot părea redundante. Am adus aici soluție detaliată doar pentru că mai mult cazuri dificile soluția poate să nu fie atât de evidentă. Aceasta înseamnă că este mai bine să calculați întotdeauna coordonatele intersecției liniilor analitic.

Pe intervalul [ 2 ; 7 ] graficul funcţiei y = x este situat deasupra graficului funcţiei y = x + 2 . Aplicați formula pentru a calcula suprafața:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) dx = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Răspuns: S (G) = 59 6

Exemplul 3

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de graficele funcțiilor y \u003d 1 x și y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Soluţie

Să desenăm linii pe grafic.

Să definim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale dreptelor prin echivalarea expresiilor 1 x și - x 2 + 4 x - 2 . Cu condiția ca x să nu fie egal cu zero, egalitatea 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 devine echivalentă cu ecuația de gradul al treilea - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 cu coeficienți întregi . Puteți reîmprospăta memoria algoritmului de rezolvare a unor astfel de ecuații, referindu-vă la secțiunea „Rezolvarea ecuațiilor cubice”.

Rădăcina acestei ecuații este x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Împărțind expresia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 la binomul x - 1, obținem: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Putem găsi rădăcinile rămase din ecuația x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Am găsit un interval x ∈ 1; 3 + 13 2 , unde G este inclus deasupra liniei albastre și sub linia roșie. Acest lucru ne ajută să determinăm aria formei:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Răspuns: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemplul 4

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de curbele y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 și de axa x.

Soluţie

Să punem toate liniile pe grafic. Putem obține graficul funcției y = - log 2 x + 1 din graficul y = log 2 x dacă îl plasăm simetric față de axa x și îl mutăm cu o unitate în sus. Ecuația axei x y \u003d 0.

Să notăm punctele de intersecție ale dreptelor.

După cum se poate vedea din figură, graficele funcțiilor y \u003d x 3 și y \u003d 0 se intersectează în punctul (0; 0) . Acest lucru se datorează faptului că x \u003d 0 este singura rădăcină reală a ecuației x 3 \u003d 0.

x = 2 este singura rădăcină a ecuației - log 2 x + 1 = 0 , deci graficele funcțiilor y = - log 2 x + 1 și y = 0 se intersectează în punctul (2 ; 0) .

x = 1 este singura rădăcină a ecuației x 3 = - log 2 x + 1 . În acest sens, graficele funcțiilor y \u003d x 3 și y \u003d - log 2 x + 1 se intersectează în punctul (1; 1) . Ultima afirmație poate să nu fie evidentă, dar ecuația x 3 \u003d - log 2 x + 1 nu poate avea mai mult de o rădăcină, deoarece funcția y \u003d x 3 este strict în creștere, iar funcția y \u003d - log 2 x + 1 este strict în scădere.

Următorul pas implică mai multe opțiuni.

Opțiunea numărul 1

Putem reprezenta figura G ca suma a două trapeze curbilinii situate deasupra axei absciselor, primul fiind situat sub linia mediană pe segmentul x ∈ 0; 1 , iar al doilea este sub linia roșie pe segmentul x ∈ 1 ; 2. Aceasta înseamnă că aria va fi egală cu S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opțiunea numărul 2

Figura G poate fi reprezentată ca diferența a două figuri, dintre care prima este situată deasupra axei x și sub linia albastră de pe segmentul x ∈ 0; 2 , iar al doilea este între liniile roșii și albastre de pe segmentul x ∈ 1 ; 2. Acest lucru ne permite să găsim zona astfel:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

În acest caz, pentru a găsi aria, va trebui să utilizați o formulă de forma S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fapt, liniile care delimitează forma pot fi reprezentate ca funcții ale argumentului y.

Să rezolvăm ecuațiile y = x 3 și - log 2 x + 1 în raport cu x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Obținem zona necesară:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Răspuns: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemplul 5

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Soluţie

Desenați o linie pe diagramă cu o linie roșie, dată de funcția y = x . Desenați linia y = - 1 2 x + 4 în albastru și marcați linia y = 2 3 x - 3 în negru.

Observați punctele de intersecție.

Aflați punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x și y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i este soluția ecuației x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 este soluția ecuației ⇒ (4 ; 2) punctul de intersecție i y = x și y = - 1 2 x + 4

Aflați punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y = x și y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verificați: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 este soluția ecuației ⇒ (9; 3) punctul și intersecția y = x și y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 nu este o soluție a ecuației

Aflați punctul de intersecție al dreptelor y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) punctul de intersecție y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3

Metoda numărul 1

Reprezentăm aria figurii dorite ca sumă a ariilor figurilor individuale.

Atunci aria figurii este:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda numărul 2

Aria figurii originale poate fi reprezentată ca suma celorlalte două figuri.

Apoi rezolvăm ecuația liniei pentru x și numai după aceea aplicăm formula pentru calcularea ariei figurii.

y = x ⇒ x = y 2 linie roșie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linie neagră y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Deci zona este:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

După cum puteți vedea, valorile se potrivesc.

Răspuns: S (G) = 11 3

Rezultate

Pentru a găsi aria unei figuri care este limitată de linii date, trebuie să trasăm linii pe un plan, să găsim punctele lor de intersecție și să aplicăm formula pentru găsirea zonei. În această secțiune, am analizat cele mai comune opțiuni pentru sarcini.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Cum se introduc formule matematice pe site?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este cel descris în articol: formulele matematice sunt ușor de introdus în site sub formă de imagini pe care Wolfram Alpha le generează automat. Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este depășit din punct de vedere moral.

Dacă, pe de altă parte, utilizați în mod constant formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax, o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) încărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă este mai complicată și consumatoare de timp și vă va permite să accelerați încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă, deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează exemplul meu și în 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și sau imediat după etichetă . Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă lipiți al doilea cod, atunci paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript de la terți, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice în paginile dvs. web.

Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod constant de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp este numit o iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Se dovedește un set format din 20 de cuburi mai mici rămase. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem buretele Menger.

Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri

Ne întoarcem acum la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție, vom analiza o sarcină tipică și cea mai comună. Cum se utilizează o integrală definită pentru a calcula aria unei figuri plane. În cele din urmă, cei care caută sens în matematica superioară - să-l găsească. Nu stii niciodata. Va trebui să ne apropiem în viață zona cabana la tara funcții elementare și găsiți-i aria folosind o integrală definită.

Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:

1) Înțelegeți integrala nedefinită cel puțin la un nivel intermediar. Astfel, manechinii ar trebui să citească mai întâi lecția Nu.

2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Puteți stabili relații prietenoase calde cu anumite integrale de pe pagină Integrala definita. Exemple de soluții.

De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atât de multe cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați aria folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, mult mai mult problemă de actualitate vor fi cunoștințele și abilitățile tale de desen. În acest sens, este util să perfecționați grafica principalului functii elementare, și, cel puțin, să fie capabil să construiască o linie dreaptă, parabolă și hiperbolă. Acest lucru se poate face (mulți au nevoie) cu ajutorul material metodologicși articole despre transformările geometrice ale graficelor.

De fapt, toată lumea este familiarizată cu problema găsirii zonei folosind o integrală definită încă de la școală și vom merge puțin înaintea programului școlar. Acest articol s-ar putea să nu existe deloc, dar adevărul este că problema apare în 99 de cazuri din 100, când un elev este chinuit de un turn urât cu entuziasm stăpânind un curs de matematică superioară.

Materialele acestui atelier sunt prezentate simplu, detaliat și cu un minim de teorie.

Să începem cu un trapez curbiliniu.

Trapez curbiliniu numită figură plată mărginită de axa , linii drepte și graficul unei funcții continuă pe un segment care nu își schimbă semnul pe acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai puțin abscisă:

Atunci aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală. Orice integrală definită (care există) are un foarte bun sens geometric. La lectie Integrala definita. Exemple de soluții Am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.

Acesta este, integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită . Integrandul definește o curbă pe planul care se află deasupra axei (cei care doresc pot finaliza desenul), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de sarcină. În primul rând și moment crucial soluții – desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.

Când construiești un desen, recomand următoarea comandă: primul este mai bine să construiți toate liniile (dacă există) și numai Atunci- parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Graficele de funcții sunt mai profitabile de construit punct cu punct, tehnica construcției punctuale poate fi găsită în material de referinta Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material care este foarte util în legătură cu lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem un desen (rețineți că ecuația definește axa):

Nu voi ecloza un trapez curbiliniu, este evident despre ce zonă vorbim aici. Solutia continua asa:

Pe segment se află graficul funcției peste axă, De aceea:

Răspuns:

Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz , consultați prelegerea Integrala definita. Exemple de soluții.

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 2

Calculați aria figurii delimitată de liniile , și axa

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce trebuie făcut dacă este localizat trapezul curbiliniu sub ax?

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluţie: Hai să facem un desen:

Dacă se află trapezul curbiliniu sub axă(sau cel puțin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită prin formula:
În acest caz:

Atenţie! Nu confunda cele două tipuri de sarcini:

1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare, trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 4

Găsiți aria unei figuri plate delimitate de linii , .

Soluţie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică. Rezolvam ecuatia:

Prin urmare, limita inferioară a integrării, limita superioară a integrării.
Cel mai bine este să nu utilizați această metodă dacă este posibil..

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești liniile punct cu punct, în timp ce limitele integrării se află ca „de la sine”. Tehnica de construcție punct cu punct pentru diferite diagrame este discutată în detaliu în ajutor Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Ne întoarcem la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Hai sa facem un desen:

Repet că, la construcția punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.

Și acum formula de lucru: Dacă există o funcție continuă pe interval mai mare sau egal o funcție continuă, apoi aria figurii delimitată de graficele acestor funcții și linii drepte, poate fi găsită prin formula:

Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează ce diagramă este SUS(față de alt grafic), și care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:

Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.
Pe segmentul , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este un caz special al formulei . Deoarece axa este dată de ecuația , iar graficul funcției este situat nu mai sus topoare, atunci

Și acum câteva exemple pentru o decizie independentă

Exemplul 5

Exemplul 6

Găsiți aria figurii încadrată de liniile , .

În cursul rezolvării problemelor pentru calcularea ariei folosind o anumită integrală, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din cauza neatenției... a găsit zona figurii greșite, așa s-a încurcat servitorul tău ascultător de mai multe ori. Iată un caz real:

Exemplul 7

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Soluţie: Să facem mai întâi un desen:

… Eh, desenul a ieșit prost, dar totul pare să fie lizibil.

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru.(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch”, că trebuie să găsiți zona figurii care este umbrită. în verde!

Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite. Într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic în linie dreaptă;

2) Pe segmentul de deasupra axei este un grafic de hiperbolă.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Răspuns:

Să trecem la o sarcină mai semnificativă.

Exemplul 8

Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile într-o formă „școală” și să realizăm un desen punct cu punct:

Din desen se vede că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară? Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce? Poate ? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că. Sau rădăcină. Dacă nu am înțeles deloc graficul corect?

În astfel de cazuri, trebuie să petrecem timp suplimentar și să rafinați limitele integrării analitic.

Să găsim punctele de intersecție ale dreptei și ale parabolei.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:


,

Într-adevăr, .

Soluția ulterioară este banală, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai ușoare.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Ei bine, în încheierea lecției, vom considera două sarcini mai dificile.

Exemplul 9

Calculați aria figurii delimitată de drepte , ,

Soluţie: Desenați această figură în desen.

La naiba, am uitat să semnez programul și refac poza, scuze, nu hotz. Nu un desen, pe scurt, azi este o zi =)

Pentru o construcție punctuală, trebuie să știți aspect sinusoide (și, în general, este util să știți grafice ale tuturor funcţiilor elementare), precum și unele valori sinus, acestea pot fi găsite în tabel trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este permisă construirea unui desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare trebuie să fie afișate în principiu corect.

Aici nu sunt probleme cu limitele de integrare, acestea decurg direct din condiția: - „x” se schimbă de la zero la „pi”. Luăm o altă decizie:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:

De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atât de multe cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați aria folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, așa că cunoștințele și abilitățile tale de desen vor fi o problemă mult mai relevantă. În acest sens, este util să reîmprospătați memoria graficelor principalelor funcții elementare și, cel puțin, să puteți construi o linie dreaptă și o hiperbolă.

Un trapez curbiliniu este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și un grafic al unei funcții continue pe un segment care nu își schimbă semnul în acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai puțin abscisă:

Atunci aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună.

În ceea ce privește geometria, integrala definită este AREA.

Acesta este, integrala definită (dacă există) corespunde geometric aria unei figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită . Integrandul definește o curbă pe planul care se află deasupra axei (cei care doresc pot finaliza desenul), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de sarcină. Primul și cel mai important moment al deciziei este construirea unui desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.

Când construiești un plan, recomand următoarea ordine: primul este mai bine să construiți toate liniile (dacă există) și numai Atunci- parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Graficele de funcții sunt mai profitabile de construit punctual.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem un desen (rețineți că ecuația definește axa):

Pe segment se află graficul funcției peste axă, De aceea:

Răspuns:

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule clar nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluţie: Hai să facem un desen:

Dacă se află trapezul curbiliniu sub axă(sau cel puțin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită prin formula:

În acest caz:

Atenţie! Nu confunda cele două tipuri de sarcini:

1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare, trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 4

Găsiți aria unei figuri plate delimitate de linii , .

Soluţie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică. Rezolvam ecuatia:

Prin urmare, limita inferioară a integrării, limita superioară a integrării.

Cel mai bine este să nu utilizați această metodă dacă este posibil..

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești liniile punct cu punct, în timp ce limitele integrării se află ca „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Ne întoarcem la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Hai sa facem un desen:

Și acum formula de lucru: Dacă există o funcție continuă pe interval mai mare sau egal o funcție continuă, apoi aria figurii delimitată de graficele acestor funcții și linii drepte, poate fi găsită prin formula:

Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează ce diagramă este SUS(față de alt grafic), și care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:

Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.
Pe segmentul , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Exemplul 4

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Soluţie: Să facem mai întâi un desen:

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru.(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch”, că trebuie să găsiți zona figurii care este umbrită în verde!

Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite.

Într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic în linie dreaptă;

2) Pe segmentul de deasupra axei este un grafic de hiperbolă.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Sarcina 1(la calculul ariei unui trapez curbiliniu).

În sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian xOy, este dată o cifră (a se vedea figura), delimitată de axa x, linii drepte x \u003d a, x \u003d b (un trapez curbiliniu. Este necesar să se calculeze aria lui \ u200b\u200btrapezul curbiliniu.
Soluţie. Geometria ne oferă rețete pentru calcularea ariilor poligoanelor și a unor părți ale unui cerc (sector, segment). Folosind considerații geometrice, vom putea găsi doar o valoare aproximativă a ariei necesare, argumentând după cum urmează.

Să împărțim segmentul [a; b] (baza unui trapez curbiliniu) în n părți egale; această partiție este fezabilă cu ajutorul punctelor x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Să tragem linii prin aceste puncte paralele cu axa y. Apoi, trapezul curbiliniu dat va fi împărțit în n părți, în coloane înguste. Aria întregului trapez este egală cu suma ariilor coloanelor.

Luați în considerare separat coloana k-a, adică trapez curbiliniu, a cărui bază este un segment. Să-l înlocuim cu un dreptunghi cu aceeași bază și înălțime egală cu f(x k) (vezi figura). Aria dreptunghiului este \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), unde \(\Delta x_k \) este lungimea segmentului; este firesc să considerăm produsul compilat ca o valoare aproximativă a ariei coloanei k-a.

Dacă procedăm acum la fel cu toate celelalte coloane, atunci ajungem la următorul rezultat: aria S a unui trapez curbiliniu dat este aproximativ egală cu aria S n a unei figuri în trepte formată din n dreptunghiuri (vezi figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aici, de dragul uniformității notației, considerăm că a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - lungimea segmentului , \(\Delta x_1 \) - lungimea segmentului , etc; în timp ce, după cum am convenit mai sus, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Deci, \(S \approx S_n \), iar această egalitate aproximativă este cu atât mai precisă, cu atât n este mai mare.
Prin definiție, se presupune că aria dorită a trapezului curbiliniu este egală cu limita secvenței (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Sarcina 2(despre mutarea unui punct)
Se mișcă în linie dreaptă punct material. Dependența vitezei de timp este exprimată prin formula v = v(t). Aflați deplasarea unui punct în intervalul de timp [a; b].
Soluţie. Dacă mișcarea ar fi uniformă, atunci problema s-ar rezolva foarte simplu: s = vt, i.e. s = v(b-a). Pentru mișcarea neuniformă, trebuie să folosiți aceleași idei pe care s-a bazat soluția problemei anterioare.
1) Împărțiți intervalul de timp [a; b] în n părți egale.
2) Luați în considerare un interval de timp și presupuneți că în acest interval de timp viteza a fost constantă, cum ar fi la momentul t k . Deci, presupunem că v = v(t k).
3) Găsiți valoarea aproximativă a deplasării punctului pe intervalul de timp, această valoare aproximativă va fi notată cu s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Aflați valoarea aproximativă a deplasării s:
\(s \aprox S_n \) unde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Deplasarea necesară este egală cu limita secvenței (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Să rezumam. Soluțiile diferitelor probleme au fost reduse la același model matematic. Multe probleme din diverse domenii ale științei și tehnologiei duc la același model în procesul de soluționare. Deci, acest model matematic ar trebui studiat special.

Conceptul de integrală definită

Să dăm o descriere matematică a modelului care a fost construit în cele trei probleme luate în considerare pentru funcția y = f(x), care este continuă (dar nu neapărat nenegativă, așa cum sa presupus în problemele luate în considerare) pe segmentul [ A; b]:
1) împărțiți segmentul [a; b] în n părţi egale;
2) suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculați $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

În cursul analizei matematice, s-a dovedit că această limită există în cazul unei funcții continue (sau continue pe bucăți). El este numit o integrală definită a funcției y = f(x) peste segmentul [a; b]și se notează astfel:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Numerele a și b se numesc limite de integrare (inferioară și respectiv superioară).

Să revenim la sarcinile discutate mai sus. Definiția zonei dată în problema 1 poate fi acum rescrisă după cum urmează:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aici S este aria trapezului curbiliniu prezentat în figura de mai sus. Acesta este ce sensul geometric al integralei definite.

Definiția deplasării s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu viteza v = v(t) pe intervalul de timp de la t = a la t = b, dată în problema 2, poate fi rescrisă astfel:

Formula Newton - Leibniz

Pentru început, să răspundem la întrebarea: care este relația dintre o integrală definită și o antiderivată?

Răspunsul poate fi găsit în problema 2. Pe de o parte, deplasarea s a unui punct care se deplasează de-a lungul unei drepte cu viteza v = v(t) pe un interval de timp de la t = a la t = b și se calculează prin formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Pe de alta parte, coordonata punctului de miscare este antiderivata pentru viteza - sa o notam s(t); deci deplasarea s este exprimată prin formula s = s(b) - s(a). Ca rezultat, obținem:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
unde s(t) este antiderivată pentru v(t).

Următoarea teoremă a fost demonstrată în cursul analizei matematice.
Teorema. Dacă funcția y = f(x) este continuă pe segmentul [a; b], apoi formula
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
unde F(x) este antiderivată pentru f(x).

Această formulă este de obicei numită formula Newton-Leibnizîn onoarea fizicianului englez Isaac Newton (1643-1727) și a filozofului german Gottfried Leibniz (1646-1716), care l-au primit independent unul de celălalt și aproape simultan.

În practică, în loc să scrie F(b) - F(a), ei folosesc notația \(\left. F(x)\right|_a^b \) (uneori se numește dubla substitutie) și, în consecință, rescrieți formula Newton-Leibniz în această formă:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Calculând o integrală definită, găsiți mai întâi antiderivată și apoi efectuați o dublă substituție.

Pe baza formulei Newton-Leibniz, se pot obține două proprietăți ale unei integrale definite.

Proprietatea 1. Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calcularea ariilor figurilor plane folosind o integrală definită

Folosind integrala, puteți calcula aria nu numai a trapezelor curbilinie, ci și a figurilor plane de tip mai complex, cum ar fi cea prezentată în figură. Figura P este mărginită de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor continue y = f(x), y = g(x), iar pe segmentul [a; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este valabilă. Pentru a calcula aria S a unei astfel de figuri, vom proceda după cum urmează:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Deci, aria S a figurii mărginită de liniile drepte x = a, x = b și graficele funcțiilor y = f(x), y = g(x), continuă pe segment și astfel încât pentru orice x din segmentul [a; b] inegalitatea \(g(x) \leq f(x) \) este satisfăcută, se calculează prin formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții