Qu'est-ce qu'un dérivé ?

Tableau dérivé.

La dérivée est l'un des principaux concepts des mathématiques supérieures. Dans cette leçon, nous présenterons ce concept. Faisons connaissance, sans formulations ni preuves mathématiques strictes.

Cette initiation vous permettra de :

Comprendre l'essence des tâches simples avec un dérivé ;

Réussir à résoudre ces tâches très simples ;

Préparez-vous à des leçons dérivées plus sérieuses.

Tout d'abord, une agréable surprise.

La définition stricte de la dérivée est basée sur la théorie des limites, et la chose est assez compliquée. C'est bouleversant. Mais l'application pratique de la dérivée, en règle générale, ne nécessite pas de connaissances aussi étendues et approfondies!

Pour réussir la plupart des tâches à l'école et à l'université, il suffit de savoir juste quelques termes- comprendre la tâche, et juste quelques règles- pour le résoudre. Et c'est tout. Ceci me rend heureux.

apprendrons-nous à nous connaître ?)

Termes et désignations.

Il existe de nombreuses opérations mathématiques en mathématiques élémentaires. Addition, soustraction, multiplication, exponentiation, logarithme, etc. Si une opération de plus est ajoutée à ces opérations, les mathématiques élémentaires deviennent plus élevées. Cette nouvelle opération s'appelle différenciation. La définition et la signification de cette opération seront discutées dans des leçons séparées.

Ici, il est important de comprendre que la différenciation n'est qu'une opération mathématique sur une fonction. Nous prenons n'importe quelle fonction et, selon certaines règles, nous la transformons. Le résultat est une nouvelle fonction. Cette nouvelle fonction s'appelle : dérivé.

Différenciation- action sur une fonction.

Dérivé est le résultat de cette action.

Tout comme, par exemple, somme est le résultat de l'addition. Ou privé est le résultat de la division.

Connaissant les termes, vous pouvez au moins comprendre les tâches.) Le libellé est le suivant : trouver la dérivée d'une fonction ; prendre la dérivée ; différencier la fonction; calculer la dérivée etc. C'est tout même. Bien sûr, il existe des tâches plus complexes, où trouver la dérivée (différenciation) ne sera qu'une des étapes de la résolution de la tâche.

La dérivée est indiquée par un tiret en haut à droite au-dessus de la fonction. Comme ça: y" ou f"(x) ou St) etc.

lis y course, ef course de x, es course de te, ben tu as compris...)

Un nombre premier peut également désigner la dérivée d'une fonction particulière, par exemple : (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" etc. Souvent, la dérivée est notée à l'aide de différentiels, mais nous ne considérerons pas une telle notation dans cette leçon.

Supposons que nous ayons appris à comprendre les tâches. Il ne reste plus rien - pour apprendre à les résoudre.) Permettez-moi de vous rappeler à nouveau : trouver la dérivée est transformation d'une fonction selon certaines règles. Ces règles sont étonnamment peu nombreuses.

Pour trouver la dérivée d'une fonction, il suffit de connaître trois choses. Trois piliers sur lesquels repose toute différenciation. Voici les trois baleines :

1. Tableau des dérivées (formules de différenciation).

3. Dérivée d'une fonction complexe.

Commençons dans l'ordre. Dans cette leçon, nous allons considérer le tableau des dérivées.

Tableau dérivé.

Le monde a un nombre infini de fonctions. Parmi cet ensemble, il y a des fonctions qui sont les plus importantes pour application pratique. Ces fonctions siègent dans toutes les lois de la nature. A partir de ces fonctions, comme à partir de briques, vous pouvez construire toutes les autres. Cette classe de fonctions est appelée fonctions élémentaires. Ce sont ces fonctions qui sont étudiées à l'école - linéaires, quadratiques, hyperboles, etc.

Différenciation des fonctions "from scratch", c'est-à-dire basé sur la définition de la dérivée et la théorie des limites - une chose plutôt chronophage. Et les mathématiciens sont des gens aussi, oui, oui !) Alors ils ont simplifié leur vie (et nous). Ils ont calculé les dérivées fonctions élémentairesà nous. Le résultat est un tableau de dérivées, où tout est prêt.)

La voici, cette plaque pour les fonctions les plus populaires. A gauche une fonction élémentaire, à droite sa dérivée.

	Fonction y	Dérivée de la fonction y y"
1	C (constante)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n est n'importe quel nombre)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	péché x	(sinx)" = cosx
	parce que x	(cos x)" = - sin x
	TG x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	un X
	e X
5	Journal un X
	en x ( un = e)

Je recommande de prêter attention au troisième groupe de fonctions dans ce tableau des dérivées. La dérivée d'une fonction puissance est l'une des formules les plus courantes, sinon la plus courante ! L'indice est-il clair?) Oui, il est souhaitable de connaître par cœur le tableau des dérivés. Soit dit en passant, ce n'est pas aussi difficile que cela puisse paraître. Essayez de résoudre plus d'exemples, le tableau lui-même restera dans les mémoires !)

Trouver la valeur tabulaire de la dérivée, comme vous le comprenez, n'est pas la tâche la plus difficile. Par conséquent, très souvent, dans de telles tâches, il existe des puces supplémentaires. Soit dans la formulation de la tâche, soit dans la fonction d'origine, qui ne semble pas être dans le tableau...

Regardons quelques exemples :

1. Trouver la dérivée de la fonction y = x 3

Il n'y a pas une telle fonction dans le tableau. Mais il existe une dérivée de la fonction puissance dans vue générale(troisième groupe). Dans notre cas, n=3. Nous substituons donc le triple au lieu de n et écrivons soigneusement le résultat :

(X 3) " = 3 fois 3-1 = 3x 2

C'est tout ce qu'on peut en dire.

Réponse: y" = 3x 2

2. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction y = sinx au point x = 0.

Cette tâche signifie que vous devez d'abord trouver la dérivée du sinus, puis substituer la valeur x = 0à cette même dérivée. C'est dans cet ordre ! Sinon, il arrive qu'ils substituent immédiatement zéro dans la fonction d'origine... On nous demande de trouver non pas la valeur de la fonction d'origine, mais la valeur sa dérivée. La dérivée, je vous le rappelle, est déjà une nouvelle fonction.

Sur la plaque on trouve le sinus et la dérivée correspondante :

y" = (sinx)" = cosx

Remplacez zéro dans la dérivée :

y"(0) = cos 0 = 1

Ce sera la réponse.

3. Différenciez la fonction :

Qu'est-ce qui inspire ?) Il n'y a même pas une telle fonction proche dans le tableau des dérivées.

Je vous rappelle que dériver une fonction revient simplement à trouver la dérivée de cette fonction. Si vous oubliez la trigonométrie élémentaire, trouver la dérivée de notre fonction est assez gênant. Le tableau ne sert à rien...

Mais si nous voyons que notre fonction est cosinus d'un angle double, alors tout s'améliore immédiatement !

Oui oui! Rappelez-vous que la transformation de la fonction d'origine avant différenciation tout à fait acceptable ! Et cela rend la vie beaucoup plus facile. D'après la formule du cosinus d'un angle double :

Ceux. notre fonction délicate n'est rien d'autre y = barreur. Et ceci est une fonction de table. On obtient immédiatement :

Réponse: y" = - sin x.

Exemple pour les diplômés avancés et les étudiants :

4. Trouvez la dérivée d'une fonction :

Il n'y a pas une telle fonction dans la table des dérivées, bien sûr. Mais si vous vous souvenez des mathématiques élémentaires, des actions avec des pouvoirs... Alors il est tout à fait possible de simplifier cette fonction. Comme ça:

Et x à la puissance un dixième est déjà une fonction tabulaire ! Le troisième groupe, n=1/10. Directement selon la formule et écrivez:

C'est tout. Ce sera la réponse.

J'espère qu'avec la première baleine de différenciation - le tableau des dérivés - tout est clair. Il reste à s'occuper des deux baleines restantes. Dans la prochaine leçon, nous apprendrons les règles de différenciation.

• Tableau des dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques

Dérivées de fonctions simples

Explication:
La dérivée indique la vitesse à laquelle la valeur de la fonction change lorsque l'argument change. Étant donné que le nombre ne change en aucune façon dans aucune condition, le taux de son changement est toujours égal à zéro.

2. Dérivée d'une variableégal à un
x' = 1

Explication:
A chaque incrément de un de l'argument (x), la valeur de la fonction (résultat du calcul) augmente du même montant. Ainsi, le taux de variation de la valeur de la fonction y = x est exactement égal au taux de variation de la valeur de l'argument.

3. La dérivée d'une variable et d'un facteur est égale à ce facteur
сx´ = с
Exemple:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explication:
Dans ce cas, chaque fois que l'argument de la fonction ( X) sa valeur (y) croît en Avec une fois que. Ainsi, le taux de variation de la valeur de la fonction par rapport au taux de variation de l'argument est exactement égal à la valeur Avec.

D'où il suit que
(cx + b)" = c
c'est-à-dire que la différentielle de la fonction linéaire y=kx+b est égale à la pente de la droite (k).

5. Dérivée de puissance d'une variable est égal au produit du nombre de cette puissance et de la variable dans la puissance, diminué de un
(x c)"= cx c-1, à condition que x c ​​et cx c-1 soient définis et c ≠ 0
Exemple:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Pour mémoriser la formule:
Prenez l'exposant de la variable "bas" comme multiplicateur, puis diminuez l'exposant lui-même de un. Par exemple, pour x 2 - deux était en avance sur x, puis la puissance réduite (2-1 = 1) nous a juste donné 2x. La même chose s'est produite pour x 3 - nous abaissons le triple, le réduisons de un, et au lieu d'un cube, nous avons un carré, c'est-à-dire 3x 2 . Un peu "non scientifique", mais très facile à retenir.

6.Dérivé de fraction 1 fois
(1/x)" = - 1 / x 2
Exemple:
Puisqu'une fraction peut être représentée comme augmentant à une puissance négative
(1/x)" = (x -1)" , alors vous pouvez appliquer la formule de la règle 5 du tableau des dérivées
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Dérivé de fraction avec une variable de degré arbitraire au dénominateur
(1/x c)" = - c / x c+1
Exemple:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. dérivé de racine(dérivée de variable sous racine carrée)
(√x)" = 1 / (2√x) ou 1/2 x -1/2
Exemple:
(√x)" = (x 1/2)" pour pouvoir appliquer la formule de la règle 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Dérivée d'une variable sous une racine d'un degré arbitraire
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Comment trouver la dérivée ?

Règles de différenciation.

Pour trouver la dérivée de n'importe quelle fonction, vous n'avez besoin de maîtriser que trois concepts :

2. Règles de différenciation.

3. Dérivée d'une fonction complexe.

C'est dans cet ordre. C'est un indice.)

Bien sûr, ce serait bien d'avoir une idée sur la dérivée en général). À propos de ce qu'est un dérivé et comment travailler avec un tableau de dérivés - il est accessible dans la leçon précédente. Nous traiterons ici des règles de différenciation.

La différenciation est l'opération consistant à trouver une dérivée. Il n'y a rien de plus derrière ce terme. Ceux. expressions "trouver la dérivée d'une fonction" et "fonction de différenciation"- C'est pareil.

Expression "règles de différenciation" fait référence à la recherche de la dérivée à partir d'opérations arithmétiques. Cette compréhension aide beaucoup à éviter la bouillie dans la tête.

Concentrons-nous et rappelons-nous les opérations arithmétiques tout-tout-tout. Il y en a quatre). Addition (somme), soustraction (différence), multiplication (produit) et division (quotient). Les voici, les règles de différenciation :

La plaque montre cinq règles sur quatre opérations arithmétiques. Je n'ai pas fait d'erreur de calcul.) C'est juste que la règle 4 est une conséquence élémentaire de la règle 3. Mais elle est si populaire qu'il est logique de l'écrire (et de s'en souvenir !) comme une formule indépendante.

Sous la notation tu et V certaines fonctions (absolument toutes !) sont implicites U(x) et V(x).

Regardons quelques exemples. D'abord, les plus simples.

Trouver la dérivée de la fonction y=sinx - x 2

Ici nous avons différence deux fonctions élémentaires. On applique la règle 2. On supposera que sinx est une fonction tu, et x 2 est une fonction v. Nous avons le droit d'écrire :

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Déjà mieux, non ?) Il reste à trouver les dérivées du sinus et du carré de x. Il existe une table dérivée pour cela. Nous regardons simplement dans le tableau les fonctions dont nous avons besoin ( péché et x2), regardez leurs dérivées et écrivez la réponse :

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

C'est tout ce qu'on peut en dire. La règle 1 de différenciation de la somme fonctionne exactement de la même manière.

Et si nous avons plusieurs termes ? C'est bon.) Nous décomposons la fonction en termes et recherchons la dérivée de chaque terme, indépendamment des autres. Par exemple:

Trouver la dérivée de la fonction y=sinx - x 2 +cosx - x +3

N'hésitez pas à écrire :

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

À la fin de la leçon, je donnerai des conseils pour faciliter la vie lors de la différenciation.)

Conseils pratiques:

1. Avant différenciation, on regarde s'il est possible de simplifier la fonction d'origine.

2. Dans des exemples confus, nous peignons la solution en détail, avec tous les crochets et traits.

3. Lorsque nous différencions des fractions avec un nombre constant au dénominateur, nous transformons la division en multiplication et utilisons la règle 4.

Premier niveau

Fonction dérivée. Guide complet (2019)

Imaginez une route droite traversant une zone vallonnée. C'est-à-dire qu'il monte et descend, mais ne tourne pas à droite ou à gauche. Si l'axe est dirigé horizontalement le long de la route et verticalement, la ligne de route sera très similaire au graphique d'une fonction continue :

L'axe est un certain niveau de hauteur zéro, dans la vie, nous utilisons le niveau de la mer comme tel.

En avançant sur une telle route, nous avançons aussi vers le haut ou vers le bas. On peut aussi dire : lorsque l'argument change (se déplaçant le long de l'axe des abscisses), la valeur de la fonction change (se déplaçant le long de l'axe des ordonnées). Réfléchissons maintenant à la façon de déterminer la "pente" de notre route? Quelle pourrait être cette valeur ? Très simple : de combien la hauteur changera-t-elle en avançant d'une certaine distance. Après tout, sur différentes régions route, en avançant (le long de l'abscisse) d'un kilomètre, nous monterons ou descendrons d'un nombre différent de mètres par rapport au niveau de la mer (le long de l'ordonnée).

Nous désignons la progression vers l'avant (lire "delta x").

La lettre grecque (delta) est couramment utilisée en mathématiques comme préfixe signifiant "changement". C'est - c'est un changement d'ampleur, - un changement; alors qu'est-ce que c'est? C'est vrai, un changement de taille.

Important : l'expression est une seule entité, une seule variable. Vous ne devez jamais arracher le « delta » du « x » ou de toute autre lettre ! C'est-à-dire, par exemple, .

Donc, nous avons avancé, horizontalement, sur. Si nous comparons la ligne de la route avec le graphique d'une fonction, alors comment dénotons-nous la montée ? Bien sûr, . C'est-à-dire que lorsque nous avançons, nous nous élevons plus haut.

Il est facile de calculer la valeur : si au début nous étions en hauteur, et après avoir déménagé nous étions en hauteur, alors. Si le point final s'avère être inférieur au point de départ, il sera négatif - cela signifie que nous ne montons pas, mais que nous descendons.

Retour à la "pente" : il s'agit d'une valeur qui indique de combien (fortement) la hauteur augmente lorsque vous avancez par unité de distance :

Supposons que sur une section du chemin, en avançant de km, la route s'élève de km. Ensuite, la pente à cet endroit est égale. Et si la route, en avançant de m, s'enfonçait de km ? Alors la pente est égale.

Considérons maintenant le sommet d'une colline. Si vous prenez le début de la section à un demi-kilomètre du sommet et la fin - un demi-kilomètre après, vous pouvez voir que la hauteur est presque la même.

Autrement dit, selon notre logique, il s'avère que la pente ici est presque égale à zéro, ce qui n'est clairement pas vrai. Beaucoup de choses peuvent changer à quelques kilomètres de là. Des zones plus petites doivent être prises en compte pour une estimation plus adéquate et précise de la pente. Par exemple, si vous mesurez le changement de hauteur en vous déplaçant d'un mètre, le résultat sera beaucoup plus précis. Mais même cette précision peut ne pas nous suffire - après tout, s'il y a un poteau au milieu de la route, nous pouvons simplement nous y glisser. Quelle distance choisir alors ? Centimètre? Millimètre? Moins c'est mieux !

À vrai vie mesurer la distance au millimètre près suffit amplement. Mais les mathématiciens recherchent toujours la perfection. Par conséquent, le concept a été infinitésimal, c'est-à-dire que la valeur modulo est inférieure à tout nombre que nous pouvons nommer. Par exemple, vous dites : un billionième ! Combien moins ? Et vous divisez ce nombre par - et ce sera encore moins. Etc. Si on veut écrire que la valeur est infiniment petite, on écrit comme ceci : (on lit « x tend vers zéro »). Il est très important de comprendre que ce nombre n'est pas égal à zéro ! Mais très proche de ça. Cela signifie qu'il peut être divisé en.

Le concept opposé à infiniment petit est infiniment grand (). Vous l'avez probablement déjà rencontré lorsque vous travailliez sur les inégalités : ce nombre est plus grand en module que n'importe quel nombre auquel vous pouvez penser. Si vous trouvez le plus grand nombre possible, multipliez-le simplement par deux et vous obtenez encore plus. Et l'infini est encore plus que ce qui se passe. En fait, infiniment grand et infiniment petit sont inverses l'un de l'autre, c'est-à-dire at, et vice versa : at.

Revenons maintenant à notre route. La pente idéalement calculée est la pente calculée pour un segment infiniment petit du chemin, soit :

Je note qu'avec un déplacement infiniment petit, le changement de hauteur sera également infiniment petit. Mais permettez-moi de vous rappeler qu'infiniment petit ne signifie pas égal à zéro. Si vous divisez des nombres infinitésimaux entre eux, vous pouvez obtenir un nombre tout à fait ordinaire, par exemple. Autrement dit, une petite valeur peut être exactement deux fois plus grande qu'une autre.

Pourquoi tout ça? La route, la pente... Nous ne partons pas en rallye, mais nous apprenons les mathématiques. Et en mathématiques, tout est exactement pareil, seulement appelé différemment.

Le concept de dérivé

La dérivée d'une fonction est le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument à un incrément infinitésimal de l'argument.

Incrément en mathématiques s'appelle le changement. Combien l'argument () a changé lors du déplacement le long de l'axe est appelé incrément d'argument et désigné par Combien la fonction (hauteur) a changé lors du déplacement vers l'avant le long de l'axe d'une distance est appelée incrément de fonction et est marqué.

Ainsi, la dérivée d'une fonction est la relation avec quand. On note la dérivée avec la même lettre que la fonction, seulement avec un trait en haut à droite : ou simplement. Alors, écrivons la formule dérivée en utilisant ces notations :

Comme dans l'analogie avec la route, ici, lorsque la fonction augmente, la dérivée est positive, et lorsqu'elle diminue, elle est négative.

Mais la dérivée est-elle égale à zéro ? Bien sûr. Par exemple, si nous roulons sur une route horizontale plate, la pente est nulle. En effet, la hauteur ne change pas du tout. Donc avec la dérivée : la dérivée d'une fonction constante (constante) est égale à zéro :

puisque l'incrément d'une telle fonction est nul pour tout.

Prenons l'exemple de la colline. Il s'est avéré qu'il était possible de disposer les extrémités du segment sur les côtés opposés du sommet de manière à ce que la hauteur aux extrémités soit la même, c'est-à-dire que le segment soit parallèle à l'axe:

Mais de grands segments sont le signe d'une mesure inexacte. Nous élèverons notre segment parallèlement à lui-même, puis sa longueur diminuera.

Au final, lorsque nous serons infiniment proches du sommet, la longueur du segment deviendra infiniment petite. Mais en même temps, il est resté parallèle à l'axe, c'est-à-dire que la différence de hauteur à ses extrémités est égale à zéro (ne tend pas, mais est égale à). Donc la dérivée

Cela peut être compris comme suit : lorsque nous nous tenons tout en haut, un petit décalage vers la gauche ou vers la droite modifie notre hauteur de manière négligeable.

Il y a aussi une explication purement algébrique : à gauche du haut, la fonction augmente, et à droite, elle diminue. Comme nous l'avons déjà découvert précédemment, lorsque la fonction augmente, la dérivée est positive et lorsqu'elle diminue, elle est négative. Mais cela change en douceur, sans sauts (car la route ne change brusquement de pente nulle part). Ainsi, entre négatif et valeurs positives doit être. Ce sera là où la fonction n'augmente ni ne diminue - au point de sommet.

Il en va de même pour la vallée (la zone où la fonction diminue à gauche et augmente à droite) :

Un peu plus sur les augmentations.

Nous changeons donc l'argument en valeur. On change de quelle valeur ? Qu'est-il (l'argument) devenu maintenant ? Nous pouvons choisir n'importe quel point, et maintenant nous allons danser à partir de celui-ci.

Considérons un point avec une coordonnée. La valeur de la fonction qu'il contient est égale. Ensuite, nous faisons le même incrément : augmentez la coordonnée de. Quel est l'argument maintenant? Très facile: . Quelle est la valeur de la fonction maintenant ? Là où va l'argument, la fonction y va : . Qu'en est-il de l'incrémentation de la fonction ? Rien de nouveau : il s'agit toujours du montant dont la fonction a changé :

Entraînez-vous à trouver des incréments :

1. Trouver l'incrément de la fonction en un point avec un incrément de l'argument égal à.
2. Idem pour une fonction en un point.

Solutions:

À différents points, avec le même incrément de l'argument, l'incrément de la fonction sera différent. Cela signifie que la dérivée à chaque point a la sienne (nous en avons discuté au tout début - la pente de la route à différents points est différente). Donc, quand on écrit une dérivée, il faut indiquer à quel point :

Fonction de puissance.

Une fonction puissance est appelée une fonction où l'argument est dans une certaine mesure (logique, n'est-ce pas ?).

Et - dans toute mesure : .

Le cas le plus simple est celui où l'exposant vaut :

Trouvons sa dérivée en un point. Rappelez-vous la définition d'un dérivé :

Ainsi, l'argument change de à. Qu'est-ce que l'incrément de fonction ?

L'incrément est. Mais la fonction en tout point est égale à son argument. C'est pourquoi:

La dérivée est :

La dérivée de est :

b) Considérons maintenant la fonction quadratique (): .

Maintenant, souvenons-nous de cela. Cela signifie que la valeur de l'incrément peut être négligée, car elle est infiniment petite, et donc insignifiante sur fond d'un autre terme :

Donc, nous avons une autre règle :

c) On continue la suite logique : .

Cette expression peut être simplifiée de différentes manières : ouvrez la première parenthèse à l'aide de la formule de multiplication abrégée du cube de la somme, ou décomposez l'expression entière en facteurs à l'aide de la formule de la différence des cubes. Essayez de le faire vous-même de l'une des manières suggérées.

Donc, j'ai obtenu ce qui suit:

Et encore une fois, rappelez-vous cela. Cela signifie que nous pouvons négliger tous les termes contenant :

On a: .

d) Des règles similaires peuvent être obtenues pour les grandes puissances :

e) Il s'avère que cette règle peut être généralisée pour une fonction puissance avec un exposant arbitraire, même pas un entier :

Vous pouvez formuler la règle avec les mots: "le degré est avancé sous forme de coefficient, puis diminue de".

Nous prouverons cette règle plus tard (presque à la toute fin). Voyons maintenant quelques exemples. Trouver la dérivée des fonctions :

1. (de deux manières : par la formule et en utilisant la définition de la dérivée - en comptant l'incrément de la fonction) ;

1. . Croyez-le ou non, il s'agit d'une fonction puissance. Si vous avez des questions comme "Comment ça va ? Et où est le diplôme? », Souvenez-vous du sujet« »!
   Oui, oui, la racine est aussi un degré, seulement un fractionnaire :.
   Donc notre Racine carrée est juste un degré avec un exposant :
   .
   Nous recherchons la dérivée en utilisant la formule récemment apprise :

   Si à ce stade, cela redevient flou, répétez le sujet "" !!! (environ un degré avec un indicateur négatif)

2. . Maintenant l'exposant :

   Et maintenant à travers la définition (l'avez-vous déjà oublié ?) :
   ;
   .
   Maintenant, comme d'habitude, on néglige le terme contenant :
   .

3. . Combinaison des cas précédents : .

fonctions trigonométriques.

Ici, nous utiliserons un fait des mathématiques supérieures :

Quand s'exprimer.

Vous apprendrez la preuve dans la première année de l'institut (et pour y arriver, vous devez bien réussir l'examen). Maintenant, je vais juste le montrer graphiquement :

Nous voyons que lorsque la fonction n'existe pas - le point sur le graphique est perforé. Mais plus la valeur est proche, plus la fonction s'en rapproche.

De plus, vous pouvez vérifier cette règle avec une calculatrice. Oui, oui, ne soyez pas timide, prenez une calculatrice, nous ne sommes pas encore à l'examen.

Alors essayons : ;

N'oubliez pas de passer la calculatrice en mode Radians !

etc. On voit que plus la valeur du rapport est proche de.

a) Considérez une fonction. Comme d'habitude, on retrouve son incrément :

Transformons la différence des sinus en un produit. Pour ce faire, nous utilisons la formule (rappelez-vous le sujet "") :.

Maintenant la dérivée :

Faisons une substitution : . Alors, pour infiniment petit, c'est aussi infiniment petit : . L'expression de prend la forme :

Et maintenant, nous nous en souvenons avec l'expression. Et aussi, que se passe-t-il si une valeur infiniment petite peut être négligée dans la somme (c'est-à-dire at).

On obtient donc la règle suivante : la dérivée du sinus est égale au cosinus:

Ce sont des dérivés basiques (« de table »). Les voici dans une liste :

Plus tard, nous en ajouterons quelques-uns de plus, mais ce sont les plus importants, car ils sont le plus souvent utilisés.

Pratique:

1. Trouver la dérivée d'une fonction en un point ;
2. Trouver la dérivée de la fonction.

Solutions:

1. Premièrement, nous trouvons la dérivée sous une forme générale, puis nous substituons sa valeur à la place :
   ;
   .
2. Ici, nous avons quelque chose de similaire à une fonction puissance. Essayons de l'amener à
   vue normale:
   .
   Ok, maintenant vous pouvez utiliser la formule :
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Qu'est-ce que c'est ????

D'accord, vous avez raison, nous ne savons toujours pas comment trouver de tels dérivés. Nous avons ici une combinaison de plusieurs types de fonctions. Pour travailler avec eux, vous devez apprendre quelques règles supplémentaires :

Exposant et logarithme naturel.

Il existe une telle fonction en mathématiques, dont la dérivée pour tout est égale à la valeur de la fonction elle-même pour le même. Il est appelé "exposant", et est une fonction exponentielle

La base de cette fonction - une constante - est une fraction décimale infinie, c'est-à-dire un nombre irrationnel (tel que). On l'appelle le "nombre d'Euler", c'est pourquoi il est désigné par une lettre.

Donc la règle est :

C'est très facile à retenir.

Eh bien, n'allons pas loin, considérons immédiatement fonction inverse. Quelle est l'inverse de la fonction exponentielle ? Logarithme:

Dans notre cas, la base est un nombre :

Un tel logarithme (c'est-à-dire un logarithme avec une base) est appelé «naturel», et nous utilisons une notation spéciale pour cela: nous écrivons à la place.

A quoi est égal ? Bien sûr, .

La dérivée du logarithme népérien est aussi très simple :

Exemples:

1. Trouver la dérivée de la fonction.
2. Quelle est la dérivée de la fonction ?

Réponses: L'exposant et le logarithme népérien sont des fonctions uniquement simples en termes de dérivée. Les fonctions exponentielles et logarithmiques avec n'importe quelle autre base auront une dérivée différente, que nous analyserons plus tard, après avoir parcouru les règles de différenciation.

Règles de différenciation

Quelles règles ? Encore un nouveau terme, encore ?!...

Différenciation est le processus de recherche de la dérivée.

Seulement et tout. Quel est un autre mot pour ce processus ? Pas proizvodnovanie... Le différentiel des mathématiques s'appelle l'incrément même de la fonction à. Ce terme vient du latin differentia - différence. Ici.

Lors de la dérivation de toutes ces règles, nous utiliserons deux fonctions, par exemple, et. Nous aurons également besoin de formules pour leurs incréments :

Il y a 5 règles au total.

La constante est extraite du signe de la dérivée.

Si - un nombre constant (constant), alors.

Évidemment, cette règle vaut aussi pour la différence : .

Prouvons-le. Laissez, ou plus facile.

Exemples.

Trouver les dérivées des fonctions :

1. à ce point;
2. à ce point;
3. à ce point;
4. à ce point.

Solutions:

1. (la dérivée est la même en tout point, puisque c'est une fonction linéaire, tu te souviens ?) ;

Dérivé d'un produit

Tout est similaire ici : nous introduisons une nouvelle fonction et trouvons son incrément :

Dérivé:

Exemples:

1. Trouver les dérivées des fonctions et ;
2. Trouver la dérivée d'une fonction en un point.

Solutions:

Dérivée de la fonction exponentielle

Maintenant, vos connaissances sont suffisantes pour apprendre à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle, et pas seulement l'exposant (avez-vous déjà oublié ce que c'est ?).

Alors, où est un certain nombre.

Nous connaissons déjà la dérivée de la fonction, essayons donc d'amener notre fonction sur une nouvelle base :

Pour cela nous utilisons règle simple: . Alors:

Eh bien, cela a fonctionné. Essayez maintenant de trouver la dérivée, et n'oubliez pas que cette fonction est complexe.

Passé?

Tiens, vérifie toi-même :

La formule s'est avérée très similaire à la dérivée de l'exposant: tel qu'il était, il reste, seul un facteur est apparu, qui n'est qu'un nombre, mais pas une variable.

Exemples:
Trouver les dérivées des fonctions :

Réponses:

C'est juste un nombre qui ne peut pas être calculé sans calculatrice, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun moyen de l'écrire plus forme simple. Par conséquent, dans la réponse, il est laissé sous cette forme.

Dérivée d'une fonction logarithmique

Ici c'est similaire : vous connaissez déjà la dérivée du logarithme népérien :

Par conséquent, pour trouver un arbitraire à partir du logarithme avec une base différente, par exemple :

Nous devons ramener ce logarithme à la base. Comment changer la base d'un logarithme ? J'espère que vous vous souvenez de cette formule :

Seulement maintenant au lieu de nous écrirons:

Le dénominateur s'est avéré être juste une constante (un nombre constant, sans variable). La dérivée est très simple :

Les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques ne se retrouvent presque jamais à l'examen, mais il ne sera pas superflu de les connaître.

Dérivée d'une fonction complexe.

Quoi " fonction complexe" ? Non, ce n'est pas un logarithme, ni une arc tangente. Ces fonctions peuvent être difficiles à comprendre (bien que si le logarithme vous semble difficile, lisez le sujet "Logarithmes" et tout ira bien), mais en termes de mathématiques, le mot "complexe" ne signifie pas "difficile".

Imaginez un petit convoyeur : deux personnes sont assises et font des actions avec des objets. Par exemple, le premier enveloppe une barre de chocolat dans un emballage et le second la noue avec un ruban. Il s'avère qu'un tel objet composite: une barre de chocolat enveloppée et attachée avec un ruban. Pour manger une barre de chocolat, vous devez faire les étapes inverses dans l'ordre inverse.

Créons un pipeline mathématique similaire : d'abord, nous trouverons le cosinus d'un nombre, puis nous mettrons au carré le nombre résultant. Donc, ils nous donnent un numéro (chocolat), je trouve son cosinus (emballage), puis vous mettez au carré ce que j'ai (nouez-le avec un ruban). Qu'est-il arrivé? Fonction. Voici un exemple de fonction complexe : lorsque, pour trouver sa valeur, on effectue la première action directement avec la variable, puis une autre deuxième action avec ce qui s'est passé à la suite de la première.

On peut très bien faire les mêmes actions dans l'ordre inverse : d'abord tu es au carré, puis je cherche le cosinus du nombre résultant :. Il est facile de deviner que le résultat sera presque toujours différent. Une caractéristique importante des fonctions complexes : lorsque l'ordre des actions change, la fonction change.

Autrement dit, Une fonction complexe est une fonction dont l'argument est une autre fonction: .

Pour le premier exemple, .

Deuxième exemple : (idem). .

La dernière action que nous ferons s'appellera fonction "externe", et l'action effectuée en premier - respectivement fonction "interne"(ce sont des noms informels, je les utilise uniquement pour expliquer le matériel dans un langage simple).

Essayez de déterminer par vous-même quelle fonction est externe et laquelle est interne :

Réponses: La séparation des fonctions internes et externes est très similaire à la modification des variables : par exemple, dans la fonction

1. Quelle action allons-nous entreprendre en premier ? Nous calculons d'abord le sinus, puis seulement nous l'élevons à un cube. C'est donc une fonction interne et non externe.
   Et la fonction originelle est leur composition : .
2. Interne: ; externe: .
   Examen: .
3. Interne: ; externe: .
   Examen: .
4. Interne: ; externe: .
   Examen: .
5. Interne: ; externe: .
   Examen: .

nous changeons les variables et obtenons une fonction.

Eh bien, maintenant nous allons extraire notre chocolat - cherchez le dérivé. La procédure est toujours inversée : on cherche d'abord la dérivée de la fonction externe, puis on multiplie le résultat par la dérivée de la fonction interne. Pour l'exemple d'origine, cela ressemble à ceci :

Un autre exemple:

Alors, formulons enfin la règle officielle :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

Tout semble simple, non ?

Vérifions avec des exemples :

Solutions:

1) Interne : ;

Externe: ;

2) Interne : ;

(n'essayez pas de réduire maintenant ! Rien n'est retiré sous le cosinus, vous vous souvenez ?)

3) Interne : ;

Externe: ;

Il est immédiatement clair qu'il existe ici une fonction complexe à trois niveaux: après tout, c'est déjà une fonction complexe en soi, et nous en extrayons toujours la racine, c'est-à-dire que nous effectuons la troisième action (mettre du chocolat dans un emballage et avec un ruban dans une mallette). Mais il n'y a aucune raison d'avoir peur : de toute façon, nous allons « déballer » cette fonction dans le même ordre que d'habitude : à partir de la fin.

Autrement dit, nous différencions d'abord la racine, puis le cosinus, et ensuite seulement l'expression entre parenthèses. Et puis on multiplie le tout.

Dans de tels cas, il convient de numéroter les actions. Autrement dit, imaginons ce que nous savons. Dans quel ordre allons-nous effectuer des actions pour calculer la valeur de cette expression ? Regardons un exemple :

Plus l'action est effectuée tardivement, plus la fonction correspondante sera "externe". La séquence d'actions - comme avant:

Ici, l'imbrication est généralement à 4 niveaux. Déterminons la marche à suivre.

1. Expression radicale. .

2. Racine. .

3. Sinus. .

4. Carré. .

5. Rassembler le tout :

DÉRIVÉ. EN BREF SUR LE PRINCIPAL

Fonction dérivée- le rapport de l'incrément de la fonction sur l'incrément de l'argument avec un incrément infinitésimal de l'argument :

Dérivés basiques :

Règles de différenciation :

La constante est extraite du signe de la dérivée :

Dérivée de la somme :

Produit dérivé :

Dérivée du quotient :

Dérivée d'une fonction complexe :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

1. Nous définissons la fonction "interne", trouvons sa dérivée.
2. Nous définissons la fonction "externe", trouvons sa dérivée.
3. Nous multiplions les résultats des premier et deuxième points.

Dans cette leçon, nous allons apprendre à appliquer des formules et des règles de différenciation.

Exemples. Trouver les dérivées des fonctions.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Application de la règle je, formules 4, 2 et 1. On a:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Nous résolvons de manière similaire, en utilisant les mêmes formules et la formule 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Application de la règle je, formules 3, 5 et 6 et 1.

Application de la règle IV, formules 5 et 1 .

Dans le cinquième exemple, selon la règle je la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées, et on vient de trouver la dérivée du 1er terme (exemple 4 ), on trouvera donc des dérivées 2e et 3ème termes et pour le 1er terme, nous pouvons immédiatement écrire le résultat.

Différencier 2e et 3ème termes selon la formule 4 . Pour ce faire, nous convertissons les racines des troisième et quatrième degrés en dénominateurs en puissances avec des exposants négatifs, puis, selon 4 formule, on trouve les dérivées des puissances.

Regarder exemple donné et le résultat. Avez-vous attrapé le modèle? Bien. Cela signifie que nous avons une nouvelle formule et que nous pouvons l'ajouter à notre tableau des dérivés.

Résolvons le sixième exemple et dérivons une autre formule.

Nous utilisons la règle IV et formule 4 . Nous réduisons les fractions résultantes.

Regardons cette fonction et sa dérivée. Vous avez bien sûr compris le modèle et êtes prêt à nommer la formule :

Apprendre de nouvelles formules !

Exemples.

1. Trouver l'incrément d'argument et l'incrément de fonction y= x2, si valeur initiale l'argument était égal 4 , et le nouveau 4,01 .

La solution.

Nouvelle valeur d'argument x \u003d x 0 + Δx. Substituer la donnée : 4.01=4+Δx, d'où l'incrément de l'argument Δх=4.01-4=0.01. L'incrément d'une fonction, par définition, est égal à la différence entre les nouvelles et précédentes valeurs de la fonction, c'est-à-dire Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Puisque nous avons une fonction y=x2, alors Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Réponse: incrément d'argument Δх=0,01 ; incrément de fonction Δу=0,0801.

Il était possible de trouver la fonction incrément d'une autre manière : Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.

2. Trouver l'angle d'inclinaison de la tangente au graphe de la fonction y=f(x)à ce point x 0, si f "(x 0) \u003d 1.

La solution.

La valeur de la dérivée au point de contact x 0 et est la valeur de la tangente de la pente de la tangente ( sens géométrique dérivé). Nous avons: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, car tg45°=1.

Réponse: la tangente au graphe de cette fonction forme un angle avec la direction positive de l'axe Ox, égal à 45°.

3. Déduire la formule de la dérivée d'une fonction y=xn.

Différenciation est l'acte de trouver la dérivée d'une fonction.

Lors de la recherche de dérivés, des formules sont utilisées qui ont été dérivées sur la base de la définition du dérivé, de la même manière que nous avons dérivé la formule du degré de dérivé: (x n)" = nx n-1.

Voici les formules.

Table dérivée il sera plus facile de mémoriser en prononçant des formulations verbales :

1. La dérivée d'une valeur constante est nulle.

2. X course est égale à un.

3. Le facteur constant peut être extrait du signe de la dérivée.

4. La dérivée d'un degré est égale au produit de l'exposant de ce degré par le degré de même base, mais l'exposant est un de moins.

5. La dérivée de la racine est égale à un divisé par deux des mêmes racines.

6. La dérivée de l'unité divisée par x est moins un divisé par x au carré.

7. La dérivée du sinus est égale au cosinus.

8. La dérivée du cosinus est égale à moins le sinus.

9. La dérivée de la tangente est égale à un divisé par le carré du cosinus.

10. La dérivée de la cotangente est moins un divisé par le carré du sinus.

Nous enseignons règles de différenciation.

1. La dérivée de la somme algébrique est égale à la somme algébrique des termes dérivés.

2. La dérivée du produit est égale au produit de la dérivée du premier facteur par le second plus le produit du premier facteur par la dérivée du second.

3. La dérivée de "y" divisé par "ve" est égale à une fraction, au numérateur dont "y est un trait multiplié par "ve" moins "y, multiplié par un trait", et au dénominateur - "ve au carré ”.

4. Un cas particulier de la formule 3.

Apprenons ensemble !

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