Dans la section précédente sur l'analyse sens géométrique intégrale définie, nous avons obtenu un certain nombre de formules pour calculer l'aire d'un trapèze courbe :

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = a b f (x) d x pour une fonction continue et non négative y = f (x) sur le segment [a; b],

S (G) = - a b f (x) d x pour une fonction continue et non positive y = f (x) sur le segment [a; b].

Ces formules sont applicables à la décision concernant tâches simples... En fait, nous devons souvent travailler avec des formes plus complexes. À cet égard, nous consacrerons cette section à l'analyse des algorithmes de calcul de l'aire des figures qui sont limitées par des fonctions sous une forme explicite, c'est-à-dire. comme y = f (x) ou x = g (y).

Théorème

Soit les fonctions y = f 1 (x) et y = f 2 (x) définies et continues sur le segment [a; b], et f 1 (x) ≤ f 2 (x) pour toute valeur de x de [a; b]. Puis la formule de calcul de l'aire de la figure G, limité par des lignes x = a, x = b, y = f 1 (x) et y = f 2 (x) auront la forme S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

Une formule similaire sera applicable pour l'aire de la figure délimitée par les droites y = c, y = d, x = g 1 (y) et x = g 2 (y) : S (G) = ∫ cd ( g 2 (y) - g 1 (y) dy.

Preuve

Considérons trois cas pour lesquels la formule sera valable.

Dans le premier cas, compte tenu de la propriété d'additivité des aires, la somme des aires de la figure d'origine G et du trapèze curviligne G 1 est égale à l'aire de la figure G 2. Cela signifie que

Par conséquent, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Nous pouvons faire la dernière transition en utilisant la troisième propriété de l'intégrale définie.

Dans le second cas, l'égalité suivante est vérifiée : S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx

L'illustration graphique ressemblera à :

Si les deux fonctions sont non positives, on obtient : S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. L'illustration graphique ressemblera à :

Passons à l'examen du cas général où y = f 1 (x) et y = f 2 (x) coupent l'axe O x.

Les points d'intersection seront notés x i, i = 1, 2,. ... ... , n - 1. Ces points divisent le segment [a; b] en n parties x i - 1 ; x i, i = 1, 2,. ... ... , n, où = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

D'où,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx = = ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx = abf 2 (x) - f 1 (x) dx

Nous pouvons faire la dernière transition en utilisant la cinquième propriété de l'intégrale définie.

Illustrons le cas général sur le graphique.

La formule S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x peut être considérée comme prouvée.

Et maintenant, passons à une analyse d'exemples de calcul de l'aire de figures délimitées par les lignes y = f (x) et x = g (y).

Nous allons commencer l'examen de l'un des exemples en construisant un graphique. L'image nous permettra de représenter des formes complexes comme des combinaisons de formes plus simples. Si tracer des graphiques et des formes dessus vous pose problème, vous pouvez étudier la section sur les fonctions atomiques de base, la transformation géométrique des graphiques de fonctions et le traçage tout en explorant une fonction.

Exemple 1

Il est nécessaire de déterminer l'aire de la figure, qui est délimitée par la parabole y = - x 2 + 6 x - 5 et les droites y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Solution

Traçons les lignes sur le graphique dans un système de coordonnées cartésiennes.

Sur le segment [1; 4] le graphe de la parabole y = - x 2 + 6 x - 5 est situé au dessus de la droite y = - 1 3 x - 1 2. A cet égard, pour obtenir une réponse, on utilise la formule obtenue précédemment, ainsi que la méthode de calcul d'une intégrale définie selon la formule de Newton-Leibniz :

S (V) = 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Réponse : S (G) = 13

Regardons un exemple plus complexe.

Exemple 2

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est délimitée par les lignes y = x + 2, y = x, x = 7.

Solution

Dans ce cas, nous n'avons qu'une seule droite parallèle à l'axe des abscisses. C'est x = 7. Cela nous oblige à trouver nous-mêmes la deuxième limite d'intégration.

Construisons un graphique et dessinons dessus les lignes données dans l'énoncé du problème.

Ayant le graphe sous les yeux, on peut facilement déterminer que la borne inférieure d'intégration sera l'abscisse du point d'intersection du graphe de la droite y = x et de la semi-parabole y = x + 2. Pour trouver l'abscisse, on utilise les égalités :

y = x + 2 Д З : x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З

Il s'avère que l'abscisse du point d'intersection est x = 2.

Nous attirons votre attention sur le fait que dans l'exemple général du dessin, les lignes y = x + 2, y = x se coupent au point (2 ; 2), de tels calculs détaillés peuvent donc sembler redondants. Nous avons apporté ceci ici solution détaillée juste parce qu'en plus cas difficiles la solution n'est peut-être pas si évidente. Cela signifie que les coordonnées de l'intersection des lignes sont toujours mieux calculées analytiquement.

Sur l'intervalle [2; 7] le graphe de la fonction y = x est situé au dessus du graphe de la fonction y = x + 2. Appliquons la formule de calcul de l'aire :

S (V) = 2 7 (x - x + 2) dx = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Réponse : S (G) = 59 6

Exemple 3

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les graphiques des fonctions y = 1 x et y = - x 2 + 4 x - 2.

Solution

Traçons des lignes sur le graphique.

Définissons les limites de l'intégration. Pour ce faire, on détermine les coordonnées des points d'intersection des droites en égalant les expressions 1 x et - x 2 + 4 x - 2. A condition que x ne soit pas nul, l'égalité 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devient équivalente à l'équation du troisième degré - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 à coefficients entiers. Vous pouvez vous rafraîchir la mémoire de l'algorithme de résolution de telles équations en vous référant à la section « Résoudre des équations cubiques ».

La racine de cette équation est x = 1 : - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0.

En divisant l'expression - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 par le binôme x - 1, on obtient : - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Nous pouvons trouver les racines restantes de l'équation x 2 - 3 x - 1 = 0 :

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 3. 3 ; x 2 = 3 - 13 2 - 0. 3

Nous avons trouvé l'intervalle x 1; 3 + 13 2, dans lequel le chiffre G est enfermé au-dessus de la ligne bleue et en dessous de la ligne rouge. Cela nous aide à déterminer l'aire de la forme:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Réponse : S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemple 4

Il faut calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les courbes y = x 3, y = - log 2 x + 1 et l'axe des abscisses.

Solution

Mettons toutes les lignes sur le graphique. Nous pouvons obtenir le graphique de la fonction y = - log 2 x + 1 à partir du graphique y = log 2 x, si nous l'organisons symétriquement par rapport à l'axe des abscisses et le soulevons d'une unité. L'équation en abscisse est y = 0.

Marquons les points d'intersection des lignes.

Comme on peut le voir sur la figure, les graphiques des fonctions y = x 3 et y = 0 se coupent au point (0; 0). En effet, x = 0 est la seule racine réelle de l'équation x 3 = 0.

x = 2 est la seule racine de l'équation - log 2 x + 1 = 0, donc les graphiques des fonctions y = - log 2 x + 1 et y = 0 se coupent au point (2; 0).

x = 1 est la seule racine de l'équation x 3 = - log 2 x + 1. A cet égard, les graphes des fonctions y = x 3 et y = - log 2 x + 1 se coupent au point (1 ; 1). La dernière affirmation peut ne pas être évidente, mais l'équation x 3 = - log 2 x + 1 ne peut pas avoir plus d'une racine, car la fonction y = x 3 est strictement croissante et la fonction y = - log 2 x + 1 est strictement décroissante.

Une autre solution suppose plusieurs options.

Numéro d'option 1

On peut représenter la figure G comme la somme de deux trapèzes curvilignes situés au dessus de l'axe des abscisses, dont le premier est situé en dessous de l'axe sur le segment x ∈ 0 ; 1, et le second est en dessous de la ligne rouge sur le segment x ∈ 1 ; 2. Cela signifie que l'aire sera S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.

Option numéro 2

Le chiffre G peut être représenté comme la différence de deux chiffres dont le premier est situé au dessus de l'axe des abscisses et en dessous du trait bleu sur le segment x 0 ; 2, et la seconde est entre les lignes rouge et bleue sur le segment x 1 ; 2. Cela nous permet de trouver la zone comme suit :

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Dans ce cas, pour trouver l'aire, vous devrez utiliser une formule de la forme S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. En fait, les lignes qui délimitent la forme peuvent être représentées comme des fonctions de l'argument y.

Résoudre les équations y = x 3 et - log 2 x + 1 pour x :

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Nous obtenons la zone requise:

S (V) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Réponse : S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemple 5

Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est délimitée par les lignes y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Solution

Avec la ligne rouge, tracez sur le graphique la ligne spécifiée par la fonction y = x. Tracez la ligne y = - 1 2 x + 4 en bleu et tracez la ligne y = 2 3 x - 3 en noir.

Marquons les points d'intersection.

Trouver les points d'intersection des graphiques des fonctions y = x et y = - 1 2 x + 4 :

x = - 1 2 x + 4 Д З : x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Vérifier : x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 pas j'ai une solution x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 i s e r t e r s ⇒ (4; 2) point d'intersection i y = x et y = - 1 2 x + 4

Trouver le point d'intersection des graphiques des fonctions y = x et y = 2 3 x - 3 :

x = 2 3 x - 3 Д З : x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Vérifier : x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 J'ai une solution ⇒ (9; 3) intersection de points y = x et y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 pas de solution

Trouvez l'intersection des droites y = - 1 2 x + 4 et y = 2 3 x - 3 :

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 (6 ; 1 ) le point d'intersection y = - 1 2 x + 4 et y = 2 3 x - 3

Méthode numéro 1

Imaginons l'aire de la figure requise comme la somme des aires des figures individuelles.

Alors l'aire de la figure est égale à :

S (V) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Méthode numéro 2

L'aire de la forme d'origine peut être considérée comme la somme des deux autres formes.

Ensuite, nous résoudrons l'équation de la ligne par rapport à x, et seulement après cela, nous appliquerons la formule de calcul de l'aire de la figure.

y = x ⇒ x = y 2 ligne rouge y = 2 3 x - 3 x = 3 2 y + 9 2 ligne noire y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8

Ainsi, l'aire est égale à :

S (V) = ∫ 1 2 3 2 a + 9 2 - - 2 a + 8 a + ∫ 2 3 3 2 a + 9 2 - a 2 a = = ∫ 1 2 7 2 a - 7 2 a + 2 3 3 2 a + 9 2 - a 2 dy = = 7 4 a 2 - 7 4 a 1 2 + - a 3 3 + 3 a 2 4 + 9 2 a 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Comme vous pouvez le voir, les valeurs sont les mêmes.

Réponse : S (G) = 11 3

Résultats

Pour trouver l'aire d'une figure, qui est délimitée par les lignes données, nous devons construire des lignes sur un plan, trouver leurs points d'intersection, appliquer la formule pour trouver l'aire. Dans cette section, nous avons examiné les options de tâches les plus courantes.

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Problème numéro 3. Faites un dessin et calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes

Application intégrale à la solution de problèmes appliqués

Surface de calcul

L'intégrale définie d'une fonction continue non négative f (x) est numériquement égale à l'aire du trapèze courbe délimitée par la courbe y = f (x), l'axe O x et les droites x = a et x = b. Ainsi, la formule de l'aire s'écrit comme suit :

Regardons quelques exemples pour calculer les aires de figures plates.

Problème n° 1. Calculer l'aire délimitée par les droites y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Solution. Construisons une figure dont nous devrons calculer l'aire.

y = x 2 + 1 est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, et la parabole est déplacée par rapport à l'axe O y vers le haut d'une unité (figure 1).

Figure 1. Graphique de la fonction y = x 2 + 1

Problème numéro 2. Calculez l'aire délimitée par les lignes y = x 2 - 1, y = 0 dans la plage de 0 à 1.

Solution. Le graphique de cette fonction est la parabole de la branche, qui est dirigée vers le haut, et la parabole est déplacée par rapport à l'axe O y vers le bas d'une unité (figure 2).

Figure 2. Graphique de la fonction y = x 2 - 1

Problème numéro 3. Faites un dessin et calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes

y = 8 + 2x - x 2 et y = 2x - 4.

Solution. La première de ces deux lignes est une parabole avec des branches dirigées vers le bas, puisque le coefficient en x 2 est négatif, et la deuxième ligne est une droite qui coupe les deux axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, on trouve les coordonnées de son sommet : y '= 2 - 2x ; 2 - 2x = 0, x = 1 - l'abscisse du sommet ; y (1) = 8 + 2 1 - 1 2 = 9 est son ordonnée, N (1; 9) est le sommet.

Nous allons maintenant trouver les points d'intersection de la parabole et de la droite en résolvant le système d'équations :

Égaliser les côtés droits de l'équation, dont les côtés gauches sont égaux.

On obtient 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 ou x 2 - 12 = 0, d'où .

Ainsi, les points sont les points d'intersection de la parabole et de la droite (Figure 1).

Figure 3 Graphiques des fonctions y = 8 + 2x - x 2 et y = 2x - 4

Construisons une droite y = 2x - 4. Elle passe par les points (0; -4), (2; 0) sur les axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, vous pouvez également avoir ses points d'intersection avec l'axe 0x, c'est-à-dire les racines de l'équation 8 + 2x - x 2 = 0 ou x 2 - 2x - 8 = 0. Par le théorème de Vieta, c'est facile pour trouver ses racines : x 1 = 2, x 2 = 4.

La figure 3 montre une figure (segment parabolique M 1 N M 2 ), limitée par ces traits.

La deuxième partie de la tâche consiste à trouver l'aire de cette figure. Son aire peut être trouvée en utilisant une intégrale définie par la formule .

Par rapport à cette condition, on obtient l'intégrale :

2 Calcul du volume d'un corps de révolution

Le volume du corps obtenu à partir de la rotation de la courbe y = f (x) autour de l'axe O x est calculé par la formule :

Lors de la rotation autour de l'axe O y, la formule ressemble à :

Problème numéro 4. Déterminer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze courbe délimité par des droites x = 0 x = 3 et une courbe y = autour de l'axe O x.

Solution. Construisons une image (Figure 4).

Figure 4. Graphique de la fonction y =

Le volume requis est

Problème numéro 5. Calculer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze courbe délimité par la courbe y = x 2 et des droites y = 0 et y = 4 autour de l'axe O y.

Solution. On a:

Revoir les questions

Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une forme

Passons maintenant à l'examen des applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous analyserons une tâche typique et la plus courante. - comment calculer l'aire d'une figure plate en utilisant une intégrale définie... Enfin, ceux qui cherchent un sens dans les mathématiques supérieures - qu'ils le trouvent. On ne sait jamais. Je vais devoir le rapprocher dans la vie domaine des chalets fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.

Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :

1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins au niveau moyen. Ainsi, les nuls doivent d'abord se familiariser avec la leçon Pas.

En fait, pour trouver l'aire d'une figure, on n'a pas besoin d'autant de connaissance de l'intégrale indéfinie et définie. La tâche "calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie" implique toujours de construire un dessin tellement plus problème d'actualité seront vos connaissances et vos compétences en dessin. A cet égard, il est utile de rafraîchir la mémoire des graphiques des principaux fonctions élémentaires, mais, au moins, être capable de construire une droite, une parabole et une hyperbole. Cela peut être fait (beaucoup besoin) en utilisant matériel méthodologique et des articles sur les transformations géométriques des graphes.

En fait, tout le monde connaît le problème de trouver l'aire à l'aide d'une intégrale définie depuis l'école, et nous n'irons pas loin du programme scolaire. Cet article n'existe peut-être pas du tout, mais le fait est que le problème se produit dans 99 cas sur 100, lorsqu'un étudiant souffre de la tour détestée avec enthousiasme pour maîtriser le cours de mathématiques supérieures.

Les matériaux de cet atelier sont présentés simplement, en détail et avec un minimum de théorie.

Commençons par un trapèze courbe.

trapèze courbe est appelée une figure plate délimitée par un axe, des lignes droites et un graphique d'une fonction continue sur un segment, qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que cette figure soit localisée pas moins axe des abscisses :

Puis l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à l'intégrale définie... Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. À la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions J'ai dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d'énoncer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est l'AIRE.

C'est-à-dire, une intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une figure... Par exemple, considérons une intégrale définie. L'intégrande définit une courbe sur le plan qui se situe au dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent faire un dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

Il s'agit d'une formulation typique de la mission. Le premier et le plus important point de la solution est la construction du dessin... De plus, le dessin doit être construit À DROITE.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande prochaine commande: première il est préférable de construire toutes les lignes droites (le cas échéant) et seulement Puis- paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Il est plus rentable de construire des graphes de fonctions point par point, la technique de construction point par point se trouve dans matériel de référence Graphes et propriétés des fonctions élémentaires... Vous y trouverez également du matériel très utile en rapport avec notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Dessinons un dessin (notez que l'équation définit l'axe) :

Je ne vais pas hachurer un trapèze courbe, ici on voit bien de quelle zone on parle. La solution continue ainsi :

Sur le segment se trouve le graphe de la fonction au dessus de l'axe, Voilà pourquoi:

Réponse:

Qui a du mal à calculer une intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz , se référer à la conférence Intégrale définie. Exemples de solutions.

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le plan et d'estimer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, environ 9 seront tapées, cela ressemble à la vérité. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors, de toute évidence, une erreur a été commise quelque part - le chiffre considéré ne correspond clairement pas à 20 cellules, tout au plus dix. Si la réponse est négative, la tâche a également été mal résolue.

Exemple 2

Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes, et un axe

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même. Solution complète et réponse à la fin du tutoriel.

Que faire si le trapèze incurvé est situé sous l'axe ?

Exemple 3

Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.

Solution: Exécutons le dessin :

Si le trapèze courbe est situé sous l'axe(ou au moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée par la formule :
Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre juste une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi un moins apparaît dans la formule qui vient d'être considérée.

En pratique, le plus souvent la figure se situe à la fois dans les demi-plans supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, on passe à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouvez l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes.

Solution: Vous devez d'abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes sur une zone, nous sommes plus intéressés par les points d'intersection des lignes. Trouvez les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première voie est analytique. On résout l'équation :

D'où la limite inférieure de l'intégration, la limite supérieure de l'intégration.
Il est préférable de ne pas utiliser cette méthode, si possible..

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire les lignes point par point, tandis que les limites de l'intégration se précisent, pour ainsi dire, « par elles-mêmes ». La technique de tracé point par point pour divers graphiques est décrite en détail dans l'aide. Graphes et propriétés des fonctions élémentaires... Néanmoins, la méthode analytique pour trouver les limites doit encore être appliquée parfois si, par exemple, le graphe est suffisamment grand, ou la construction précise n'a pas révélé les limites d'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous allons également considérer un tel exemple.

Revenons à notre problème : il est plus rationnel de construire d'abord une droite et ensuite seulement une parabole. Exécutons le dessin :

Je répète que dans le cas d'une construction ponctuelle, les limites d'intégration sont le plus souvent découvertes par un « automate ».

Et maintenant la formule de travail: Si sur un segment une fonction continue Meilleur que ou égal d'une fonction continue, alors l'aire de la figure, délimitée par les graphiques de ces fonctions et des droites, peut être trouvée par la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'emplacement de la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, et, grosso modo, il est important de savoir quel horaire est AU-DESSUS(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et donc il faut soustraire de

L'achèvement de la solution pourrait ressembler à ceci :

La figure recherchée est délimitée par une parabole en haut et une droite en bas.
Sur le segment, selon la formule correspondante :

Réponse:

En fait, la formule scolaire pour l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple simple n°3) est un cas particulier de la formule ... Puisque l'axe est donné par l'équation et que le graphique de la fonction est situé pas plus haut axe, puis

Et maintenant quelques exemples d'auto-solution

Exemple 5

Exemple 6

Trouvez l'aire de la figure délimitée par des lignes,.

Au cours de la résolution des problèmes de calcul de l'aire à l'aide d'une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin est fait correctement, les calculs sont corrects, mais par inattention... la zone du mauvais chiffre est trouvée, c'est ainsi que ton humble serviteur a merdé plusieurs fois. Voici un cas réel :

Exemple 7

Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes,,,.

Solution: Exécutons d'abord le dessin :

... Euh, un dessin moche est sorti, mais tout semble être lisible.

La figure dont nous devons trouver la zone est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - à quoi le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, en raison de l'inattention, un "problème" survient souvent, vous devez trouver la zone de la figure qui est ombrée en vert!

Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure à l'aide de deux intégrales définies. Vraiment:

1) Un graphique linéaire est situé sur le segment au-dessus de l'axe ;

2) Le graphique de l'hyperbole est situé sur le segment au-dessus de l'axe.

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Réponse:

Passons à une tâche plus significative.

Exemple 8

Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes,
Représentons les équations sous une forme "école", et nous allons exécuter un dessin point par point :

On peut voir sur le dessin que notre limite supérieure est « bonne » :.
Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n'est pas un entier, mais lequel ? Peut-être ? Mais où est la garantie que le dessin est fait avec une parfaite précision, il se peut bien que ce soit cela. Ou racine. Et si nous traçions le graphique de manière incorrecte du tout ?

Dans de tels cas, vous devez passer plus de temps et affiner analytiquement les limites de l'intégration.

Trouvez les points d'intersection de la droite et de la parabole.
Pour ce faire, nous résolvons l'équation :

,

Vraiment, .

La solution supplémentaire est triviale, l'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes, les calculs ne sont pas des plus faciles ici.

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Réponse:

Eh bien, en conclusion de la leçon, nous considérerons deux tâches plus difficiles.

Exemple 9

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes,

Solution: Représentons cette figure dans le dessin.

Merde, j'ai oublié de signer le planning, mais pour refaire la photo, désolé, pas chaud. Pas de dessin, bref, aujourd'hui c'est le jour =)

Pour une construction point par point, vous devez savoir apparence sinusoïdes (et en général il est utile de savoir graphiques de toutes les fonctions élémentaires), ainsi que quelques valeurs sinusoïdales, elles peuvent être trouvées dans table trigonométrique... Dans un certain nombre de cas (comme dans celui-ci), il est permis de construire un dessin schématique, sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être affichés correctement en principe.

Il n'y a pas de problèmes avec les limites d'intégration, elles découlent directement de la condition : - "x" passe de zéro à "pi". Nous prenons une autre décision :

Sur le segment, le graphe de la fonction est situé au dessus de l'axe, donc :

Passons maintenant à l'examen des applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous analyserons une tâche typique et la plus courante. calculer l'aire d'une figure plate en utilisant une intégrale définie... Enfin, tous ceux qui cherchent un sens dans les mathématiques supérieures - qu'ils le trouvent. On ne sait jamais. Il va falloir faire vivre l'espace périurbain avec des fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.

Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :

1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins au niveau moyen. Ainsi, les nuls doivent d'abord se familiariser avec la leçon Pas.

2) Être capable d'appliquer la formule de Newton-Leibniz et de calculer une intégrale définie. Vous pouvez nouer des amitiés chaleureuses avec des intégrales définies sur la page Intégrale définie. Exemples de solutions. La tâche "calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie" implique toujours de construire un dessin, par conséquent, vos connaissances et vos compétences en matière de dessins de construction seront également un problème urgent. Au minimum, vous devez être capable de construire une ligne droite, une parabole et une hyperbole.

Commençons par un trapèze courbe. Un trapèze courbe est une figure plate délimitée par le graphique d'une fonction oui = F(X), l'axe BŒUF et des lignes X = une; X = b.

L'aire d'un trapèze courbe est numériquement égale à l'intégrale définie

Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. À la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions nous avons dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d'énoncer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est l'AIRE... C'est-à-dire, une intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une figure... Considérons l'intégrale définie

Intégrale

définit une courbe sur le plan (elle peut être dessinée si désiré), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

, , , .

Il s'agit d'une formulation typique de la mission. Le point le plus important solutions - bâtiment de dessin... De plus, le dessin doit être construit À DROITE.

Lors de la création d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : première il est préférable de construire toutes les lignes droites (le cas échéant) et seulement Puis- paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. La technique de construction point par point peut être trouvée dans le document de référence. Graphes et propriétés des fonctions élémentaires... Vous y trouverez également du matériel très utile en rapport avec notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.

Complétons le dessin (notons que l'équation oui= 0 spécifie l'axe BŒUF):

Nous ne ferons pas éclore le trapèze curviligne, ici il est évident de quelle zone nous parlons. La solution continue ainsi :

Sur le segment [-2; 1] fonction graphique oui = X 2 + 2 situé au dessus de l'axeBŒUF, Voilà pourquoi:

Réponse: .

Qui a du mal à calculer une intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz

se référer à la conférence Intégrale définie. Exemples de solutions... Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le plan et d'estimer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, environ 9 seront tapées, cela ressemble à la vérité. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors, de toute évidence, une erreur a été commise quelque part - le chiffre considéré ne correspond clairement pas à 20 cellules, tout au plus dix. Si la réponse est négative, la tâche a également été mal résolue.

Exemple 2

Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes xy = 4, X = 2, X= 4 et axe BŒUF.

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même. Solution complète et réponse à la fin du tutoriel.

Que faire si le trapèze incurvé est situé sous l'axeBŒUF?

Exemple 3

Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes oui = ex, X= 1 et axes de coordonnées.

Solution : Exécutons le dessin :

Si le trapèze courbe complètement situé sous l'essieu BŒUF , alors son aire peut être trouvée par la formule :

Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches :

1) Si on vous demande de résoudre juste une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes oui = 2X – X 2 , oui = -X.

Solution : vous devez d'abord terminer le dessin. Lors de la construction d'un dessin dans des problèmes sur la zone, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouver les points d'intersection de la parabole oui = 2X – X 2 et droit oui = -X... Ceci peut être fait de deux façons. La première voie est analytique. On résout l'équation :

Par conséquent, la limite inférieure d'intégration une= 0, la limite supérieure d'intégration b= 3. Il est souvent plus rentable et plus rapide de construire les lignes point par point, tandis que les limites de l'intégration se précisent comme « par elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique pour trouver les limites doit encore être appliquée parfois si, par exemple, le graphe est suffisamment grand, ou la construction précise n'a pas révélé les limites d'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Revenons à notre problème : il est plus rationnel de construire d'abord une droite et ensuite seulement une parabole. Exécutons le dessin :

Répétons que dans le cas d'une construction ponctuelle, les limites d'intégration sont le plus souvent découvertes « automatiquement ».

Et maintenant la formule de travail :

Si sur le segment [ une; b] une fonction continue F(X) Meilleur que ou égal une fonction continue g(X), alors l'aire de la figure correspondante peut être trouvée par la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'emplacement de la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, mais il est important de savoir quel horaire est AU-DESSUS(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole se situe au dessus de la droite, et donc de 2 X – X 2 doit être soustrait - X.

L'achèvement de la solution pourrait ressembler à ceci :

La figure recherchée est délimitée par une parabole oui = 2X – X 2 haut et droit oui = -X par le bas.

Sur le segment 2 X – X 2 ≥ -X... Selon la formule correspondante :

Réponse: .

En fait, la formule scolaire pour l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple n°3) est un cas particulier de la formule

Puisque l'axe BŒUF donné par l'équation oui= 0, et le graphique de la fonction g(X) est situé en dessous de l'axe BŒUF, ensuite

Et maintenant quelques exemples d'auto-solution

Exemple 5

Exemple 6

Trouver l'aire d'une forme délimitée par des lignes

Au cours de la résolution des problèmes de calcul de l'aire à l'aide d'une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin est fait correctement, les calculs sont corrects, mais, par inadvertance, ... la zone du mauvais chiffre a été trouvée.

Exemple 7

Exécutons d'abord le dessin :

La figure dont nous devons trouver la zone est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - à quoi le chiffre est limité !). Mais en pratique, par inattention, ils décident souvent qu'il faut trouver la zone de la figure, qui est ombrée en vert !

Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure à l'aide de deux intégrales définies. Vraiment:

1) Sur le segment [-1; 1] au-dessus de l'axe BŒUF le graphique est droit oui = X+1;

2) Sur un segment au dessus de l'axe BŒUF le graphique de l'hyperbole est situé oui = (2/X).

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Réponse:

Exemple 8

Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes

Représentons les équations sous la forme "école"

et exécutez un dessin point par point :

On peut voir sur le dessin que notre limite supérieure est « bonne » : b = 1.

Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n'est pas un entier, mais lequel ?

Peut-être, une= (- 1/3) ? Mais où est la garantie que le dessin est fait avec une précision parfaite, il se peut bien que une= (- 1/4). Et si nous traçions le graphique de manière incorrecte du tout ?

Dans de tels cas, vous devez passer plus de temps et affiner analytiquement les limites de l'intégration.

Trouver les points d'intersection des graphiques

Pour ce faire, nous résolvons l'équation :

D'où, une=(-1/3).

L'autre solution est triviale. L'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes. Les calculs ici ne sont pas les plus faciles. Sur le segment

, ,

selon la formule correspondante :

Réponse:

À la fin de la leçon, nous considérerons deux tâches plus difficiles.

Exemple 9

Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes

Solution : Dessinez cette figure sur le dessin.

Pour la construction point par point du dessin, vous devez connaître l'apparence de la sinusoïde. En général, il est utile de connaître les graphiques de toutes les fonctions élémentaires, ainsi que certaines valeurs du sinus. Ils peuvent être trouvés dans le tableau des valeurs fonctions trigonométriques ... Dans un certain nombre de cas (par exemple, dans celui-ci), il est permis de construire un dessin schématique, sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être affichés correctement en principe.

Il n'y a pas de problèmes avec les limites d'intégration, elles découlent directement de la condition :

- "x" passe de zéro à "pi". Nous prenons une autre décision :

Sur un segment, le graphe de la fonction oui= péché 3 X situé au dessus de l'axe BŒUF, Voilà pourquoi:

(1) Comment les sinus et les cosinus sont intégrés dans les puissances impaires, vous pouvez le voir dans la leçon Intégrales des fonctions trigonométriques... Nous pinçons un sinus.

(2) Nous utilisons l'identité trigonométrique de base sous la forme

(3) Changer la variable t= cos X, alors : est situé au dessus de l'axe, donc :

Noter: notez comment l'intégrale de la tangente dans le cube est prise, ici une conséquence de l'identité trigonométrique principale est utilisée

Cet article va vous montrer comment trouver l'aire d'une forme délimitée par des lignes à l'aide de calculs intégraux. Pour la première fois, on rencontre la formulation d'un tel problème au lycée, alors que l'étude des intégrales définies vient de s'achever et qu'il est temps de commencer une interprétation géométrique des connaissances acquises dans la pratique.

Alors, que faut-il pour résoudre avec succès le problème de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales :

Capacité à créer des dessins avec compétence ;
Capacité à résoudre une intégrale définie en utilisant la formule bien connue de Newton-Leibniz;
La capacité de « voir » une solution plus avantageuse, c'est-à-dire pour comprendre comment dans tel ou tel cas il sera plus commode de réaliser l'intégration ? Le long de l'axe des x (OX) ou de l'axe des y (OY) ?
Eh bien, où sans calculs corrects ?) Cela inclut de comprendre comment résoudre cet autre type d'intégrales et de corriger les calculs numériques.

Algorithme pour résoudre le problème du calcul de l'aire d'une figure délimitée par des lignes :

1. Nous construisons un dessin. Il est conseillé de le faire sur un morceau de papier dans une cage, à grande échelle. On signe le nom de cette fonction au crayon au dessus de chaque graphique. La signature des graphes est faite uniquement pour la commodité des calculs ultérieurs. Après avoir reçu le graphique du chiffre souhaité, dans la plupart des cas, il sera immédiatement visible quelles limites d'intégration seront utilisées. Ainsi, nous résolvons le problème graphiquement. Or, il arrive que les valeurs des limites soient fractionnaires ou irrationnelles. Par conséquent, vous pouvez effectuer des calculs supplémentaires, passez à l'étape deux.

2. Si les limites d'intégration ne sont pas explicitement définies, alors nous trouvons les points d'intersection des graphiques entre eux, et voyons si notre solution graphique coïncide avec la solution analytique.

3. Ensuite, vous devez analyser le dessin. Selon la façon dont les graphiques de fonction sont situés, il existe différentes approches pour trouver l'aire d'une figure. Considérons différents exemples de recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales.

3.1. La version la plus classique et la plus simple du problème consiste à trouver l'aire d'un trapèze incurvé. Qu'est-ce qu'un trapèze courbe ? C'est une figure plate délimitée par l'axe des x. (y = 0), droit x = a, x = b et toute courbe continue sur l'intervalle de une avant de b... De plus, ce chiffre est non négatif et ne se situe pas en dessous de l'axe des abscisses. Dans ce cas, l'aire du trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie calculée par la formule de Newton-Leibniz :

Exemple 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Quelles sont les lignes délimitant la figure ? Nous avons une parabole y = x2 - 3x + 3 qui se situe au dessus de l'axe OH, il est non négatif, car tous les points de cette parabole ont valeurs positives... De plus, les lignes droites x = 1 et x = 3 qui sont parallèles à l'axe OU, sont les lignes de délimitation de la forme à gauche et à droite. Bien y = 0, c'est l'axe des abscisses, qui limite la figure par le bas. La forme résultante est ombrée comme on le voit sur l'image de gauche. Dans ce cas, vous pouvez immédiatement commencer à résoudre le problème. Nous avons devant nous un exemple simple de trapèze curviligne, que nous résolvons ensuite en utilisant la formule de Newton-Leibniz.

3.2. Dans le paragraphe 3.1 précédent, nous avons analysé le cas où le trapèze curviligne est situé au dessus de l'axe des abscisses. Considérons maintenant le cas où les conditions du problème sont les mêmes, sauf que la fonction se trouve sous l'axe des x. Un moins est ajouté à la formule standard de Newton-Leibniz. Nous verrons comment résoudre un problème similaire plus loin.

Exemple 2 ... Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

V cet exemple nous avons une parabole y = x2 + 6x + 2 qui prend sa source sous l'axe OH, droit x = -4, x = -1, y = 0... Ici y = 0 délimite la forme désirée d'en haut. Direct x = -4 et x = -1 ce sont les limites à l'intérieur desquelles une intégrale définie sera calculée. Le principe de résolution du problème consistant à trouver l'aire d'une figure coïncide presque complètement avec l'exemple numéro 1. La seule différence est que la fonction donnée n'est pas positive et est toujours continue sur l'intervalle [-4; -1] ... Qu'est-ce qui ne veut pas dire positif ? Comme vous pouvez le voir sur la figure, la figure, qui se trouve dans le x spécifié, a exclusivement des coordonnées "négatives", que nous devons voir et retenir lors de la résolution du problème. Nous recherchons l'aire de la figure à l'aide de la formule de Newton-Leibniz, uniquement avec un signe moins au début.

L'article est incomplet.