Dans la section précédente, consacrée à l'analyse de la signification géométrique d'une intégrale définie, nous avons obtenu un certain nombre de formules pour calculer l'aire d'un trapèze curviligne :
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = a b f (x) d x pour une fonction continue et non négative y = f (x) sur le segment [a; b],
S (G) = - a b f (x) d x pour une fonction continue et non positive y = f (x) sur le segment [a; b].
Ces formules sont applicables à la décision concernant tâches simples... En fait, nous devons souvent travailler avec des formes plus complexes. À cet égard, nous consacrerons cette section à l'analyse des algorithmes de calcul de l'aire des figures qui sont limitées par des fonctions sous une forme explicite, c'est-à-dire. comme y = f (x) ou x = g (y).
ThéorèmeSoit les fonctions y = f 1 (x) et y = f 2 (x) définies et continues sur le segment [a; b], et f 1 (x) ≤ f 2 (x) pour toute valeur de x de [a; b]. Puis la formule de calcul de l'aire de la figure G, limité par des lignes x = a, x = b, y = f 1 (x) et y = f 2 (x) auront la forme S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.
Une formule similaire sera applicable pour l'aire de la figure délimitée par les droites y = c, y = d, x = g 1 (y) et x = g 2 (y) : S (G) = ∫ cd ( g 2 (y) - g 1 (y) dy.
Preuve
Considérons trois cas pour lesquels la formule sera valable.
Dans le premier cas, compte tenu de la propriété d'additivité des aires, la somme des aires de la figure d'origine G et du trapèze curviligne G 1 est égale à l'aire de la figure G 2. Cela signifie que
Par conséquent, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Nous pouvons faire la dernière transition en utilisant la troisième propriété de l'intégrale définie.
Dans le second cas, l'égalité suivante est vérifiée : S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx
L'illustration graphique ressemblera à :
Si les deux fonctions sont non positives, on obtient : S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. L'illustration graphique ressemblera à :
Passons à l'examen du cas général où y = f 1 (x) et y = f 2 (x) coupent l'axe O x.
Les points d'intersection seront notés x i, i = 1, 2,. ... ... , n - 1. Ces points divisent le segment [a; b] en n parties x i - 1 ; x i, i = 1, 2,. ... ... , n, où = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
D'où,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx = = ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx = abf 2 (x) - f 1 (x) dx
Nous pouvons faire la dernière transition en utilisant la cinquième propriété de l'intégrale définie.
Illustrons le cas général sur le graphique.
La formule S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x peut être considérée comme prouvée.
Et maintenant, passons à une analyse d'exemples de calcul de l'aire de figures délimitées par les lignes y = f (x) et x = g (y).
Nous allons commencer l'examen de l'un des exemples en construisant un graphique. L'image nous permettra de représenter des formes complexes comme des combinaisons de formes plus simples. Si tracer des graphiques et des formes dessus vous pose problème, vous pouvez étudier la section sur les fonctions atomiques de base, la transformation géométrique des graphiques de fonctions et le traçage tout en explorant une fonction.
Exemple 1
Il est nécessaire de déterminer l'aire de la figure, qui est délimitée par la parabole y = - x 2 + 6 x - 5 et les droites y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Solution
Traçons les lignes sur le graphique dans un système de coordonnées cartésiennes.
Sur le segment [1; 4] le graphe de la parabole y = - x 2 + 6 x - 5 est situé au dessus de la droite y = - 1 3 x - 1 2. A cet égard, pour obtenir une réponse, on utilise la formule obtenue précédemment, ainsi que la méthode de calcul d'une intégrale définie selon la formule de Newton-Leibniz :
S (V) = 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Réponse : S (G) = 13
Regardons un exemple plus complexe.
Exemple 2
Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est délimitée par les lignes y = x + 2, y = x, x = 7.
Solution
Dans ce cas, nous n'avons qu'une seule droite parallèle à l'axe des abscisses. C'est x = 7. Cela nous oblige à trouver nous-mêmes la deuxième limite d'intégration.
Construisons un graphique et dessinons dessus les lignes données dans l'énoncé du problème.
Ayant le graphe sous les yeux, on peut facilement déterminer que la borne inférieure d'intégration sera l'abscisse du point d'intersection du graphe de la droite y = x et de la semi-parabole y = x + 2. Pour trouver l'abscisse, on utilise les égalités :
y = x + 2 Д З : x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З
Il s'avère que l'abscisse du point d'intersection est x = 2.
Nous attirons votre attention sur le fait que dans l'exemple général du dessin, les lignes y = x + 2, y = x se coupent au point (2 ; 2), de tels calculs détaillés peuvent donc sembler redondants. Nous avons apporté ceci ici solution détaillée juste parce qu'en plus cas difficiles la solution n'est peut-être pas si évidente. Cela signifie que les coordonnées de l'intersection des lignes sont toujours mieux calculées analytiquement.
Sur l'intervalle [2; 7] le graphe de la fonction y = x est situé au dessus du graphe de la fonction y = x + 2. Appliquons la formule de calcul de l'aire :
S (V) = 2 7 (x - x + 2) dx = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Réponse : S (G) = 59 6
Exemple 3
Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les graphiques des fonctions y = 1 x et y = - x 2 + 4 x - 2.
Solution
Traçons des lignes sur le graphique.
Définissons les limites de l'intégration. Pour ce faire, on détermine les coordonnées des points d'intersection des droites en égalant les expressions 1 x et - x 2 + 4 x - 2. A condition que x ne soit pas nul, l'égalité 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devient équivalente à l'équation du troisième degré - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 à coefficients entiers. Vous pouvez vous rafraîchir la mémoire de l'algorithme de résolution de telles équations en vous référant à la section « Résoudre des équations cubiques ».
La racine de cette équation est x = 1 : - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0.
En divisant l'expression - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 par le binôme x - 1, on obtient : - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Nous pouvons trouver les racines restantes de l'équation x 2 - 3 x - 1 = 0 :
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 3. 3 ; x 2 = 3 - 13 2 - 0. 3
Nous avons trouvé l'intervalle x 1; 3 + 13 2, dans lequel le chiffre G est enfermé au-dessus de la ligne bleue et en dessous de la ligne rouge. Cela nous aide à déterminer l'aire de la forme:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Réponse : S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Exemple 4
Il faut calculer l'aire de la figure, qui est limitée par les courbes y = x 3, y = - log 2 x + 1 et l'axe des abscisses.
Solution
Dessinons toutes les lignes sur le graphique. Nous pouvons obtenir le graphique de la fonction y = - log 2 x + 1 à partir du graphique y = log 2 x, si nous l'organisons symétriquement par rapport à l'axe des abscisses et le soulevons d'une unité. L'équation en abscisse est y = 0.
Marquons les points d'intersection des lignes.
Comme on peut le voir sur la figure, les graphiques des fonctions y = x 3 et y = 0 se coupent au point (0; 0). En effet, x = 0 est la seule racine réelle de l'équation x 3 = 0.
x = 2 est la seule racine de l'équation - log 2 x + 1 = 0, donc les graphiques des fonctions y = - log 2 x + 1 et y = 0 se coupent au point (2; 0).
x = 1 est la seule racine de l'équation x 3 = - log 2 x + 1. A cet égard, les graphes des fonctions y = x 3 et y = - log 2 x + 1 se coupent au point (1 ; 1). La dernière affirmation peut ne pas être évidente, mais l'équation x 3 = - log 2 x + 1 ne peut pas avoir plus d'une racine, car la fonction y = x 3 est strictement croissante et la fonction y = - log 2 x + 1 est strictement décroissante.
Une autre solution suppose plusieurs options.
Numéro d'option 1
On peut représenter la figure G comme la somme de deux trapèzes curvilignes situés au dessus de l'axe des abscisses, dont le premier est situé en dessous de l'axe sur le segment x ∈ 0 ; 1, et le second est en dessous de la ligne rouge sur le segment x ∈ 1 ; 2. Cela signifie que l'aire sera S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.
Option numéro 2
Le chiffre G peut être représenté comme la différence de deux chiffres dont le premier est situé au dessus de l'axe des abscisses et en dessous du trait bleu sur le segment x 0 ; 2, et la seconde est entre les lignes rouge et bleue sur le segment x 1 ; 2. Cela nous permet de trouver la zone comme suit :
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Dans ce cas, pour trouver l'aire, vous devrez utiliser une formule de la forme S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. En fait, les lignes qui délimitent la forme peuvent être représentées comme des fonctions de l'argument y.
Résoudre les équations y = x 3 et - log 2 x + 1 pour x :
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Nous obtenons la zone requise:
S (V) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Réponse : S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Exemple 5
Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure, qui est délimitée par les lignes y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Solution
Avec la ligne rouge, tracez sur le graphique la ligne spécifiée par la fonction y = x. Tracez la ligne y = - 1 2 x + 4 en bleu et tracez la ligne y = 2 3 x - 3 en noir.
Marquons les points d'intersection.
Trouver les points d'intersection des graphiques des fonctions y = x et y = - 1 2 x + 4 :
x = - 1 2 x + 4 Д З : x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Vérifier : x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 pas j'ai une solution x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 i s e r t e r s ⇒ (4; 2) point d'intersection i y = x et y = - 1 2 x + 4
Trouver le point d'intersection des graphiques des fonctions y = x et y = 2 3 x - 3 :
x = 2 3 x - 3 Д З : x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Vérifier : x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 J'ai une solution ⇒ (9; 3) intersection de points y = x et y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 pas de solution
Trouvez l'intersection des droites y = - 1 2 x + 4 et y = 2 3 x - 3 :
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 (6 ; 1 ) le point d'intersection y = - 1 2 x + 4 et y = 2 3 x - 3
Méthode numéro 1
Imaginons l'aire de la figure requise comme la somme des aires des figures individuelles.
Alors l'aire de la figure est égale à :
S (V) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Méthode numéro 2
L'aire de la forme d'origine peut être considérée comme la somme des deux autres formes.
Ensuite, nous résoudrons l'équation de la ligne par rapport à x, et seulement après cela, nous appliquerons la formule de calcul de l'aire de la figure.
y = x ⇒ x = y 2 ligne rouge y = 2 3 x - 3 x = 3 2 y + 9 2 ligne noire y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8
Ainsi, l'aire est égale à :
S (V) = ∫ 1 2 3 2 a + 9 2 - - 2 a + 8 a + ∫ 2 3 3 2 a + 9 2 - a 2 a = = ∫ 1 2 7 2 a - 7 2 a + 2 3 3 2 a + 9 2 - a 2 dy = = 7 4 a 2 - 7 4 a 1 2 + - a 3 3 + 3 a 2 4 + 9 2 a 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Comme vous pouvez le voir, les valeurs sont les mêmes.
Réponse : S (G) = 11 3
Résultats
Pour trouver l'aire d'une figure, qui est délimitée par les lignes données, nous devons construire des lignes sur un plan, trouver leurs points d'intersection, appliquer la formule pour trouver l'aire. Dans cette section, nous avons examiné les options de tâches les plus courantes.
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Comment insérer des formules mathématiques dans un site Web ?
Si jamais vous avez besoin d'ajouter une ou deux formules mathématiques à une page Web, le moyen le plus simple de le faire est celui décrit dans l'article : les formules mathématiques sont facilement insérées dans le site sous la forme d'images que Wolfram Alpha génère automatiquement. En plus de la simplicité, cette méthode polyvalente contribuera à améliorer la visibilité de votre site dans les moteurs de recherche. Cela fonctionne depuis longtemps (et, je pense, cela fonctionnera pour toujours), mais c'est moralement dépassé.
Si vous utilisez régulièrement des formules mathématiques sur votre site, je vous recommande d'utiliser MathJax, une bibliothèque JavaScript spéciale qui affiche la notation mathématique dans les navigateurs Web à l'aide du balisage MathML, LaTeX ou ASCIIMathML.
Il existe deux manières de commencer à utiliser MathJax : (1) à l'aide d'un simple code, vous pouvez rapidement connecter un script MathJax à votre site, qui sera automatiquement chargé depuis un serveur distant au bon moment (liste de serveurs) ; (2) téléchargez le script MathJax d'un serveur distant vers votre serveur et connectez-le à toutes les pages de votre site. La deuxième méthode, qui est plus compliquée et plus longue, accélérera le chargement des pages de votre site, et si le serveur parent MathJax pour une raison quelconque devient temporairement indisponible, cela n'affectera en rien votre propre site. Malgré ces avantages, j'ai choisi la première méthode car elle est plus simple, plus rapide et ne nécessite pas de compétences techniques. Suivez mon exemple, et en 5 minutes vous pourrez utiliser toutes les fonctionnalités de MathJax sur votre site.
Vous pouvez connecter le script de la bibliothèque MathJax à partir d'un serveur distant en utilisant deux versions du code extraites du site principal de MathJax ou de la page de documentation :
Une de ces variantes de code doit être copiée et collée dans le code de votre page web, de préférence entre les balises
et ou juste après la balise ... Selon la première option, MathJax se charge plus rapidement et ralentit moins la page. Mais la deuxième option suit et charge automatiquement les dernières versions de MathJax. Si vous insérez le premier code, il devra être mis à jour périodiquement. Si vous insérez le deuxième code, les pages se chargeront plus lentement, mais vous n'aurez pas besoin de surveiller en permanence les mises à jour de MathJax.Le moyen le plus simple de connecter MathJax est dans Blogger ou WordPress : dans le tableau de bord de votre site, ajoutez un widget conçu pour insérer du code JavaScript tiers, copiez la première ou la deuxième version du code de chargement présenté ci-dessus et placez le widget plus près de le début du modèle (d'ailleurs, ce n'est pas du tout nécessaire car le script MathJax est chargé de manière asynchrone). C'est tout. Maintenant, apprenez la syntaxe de balisage MathML, LaTeX et ASCIIMathML et vous êtes prêt à intégrer des formules mathématiques dans les pages Web de votre site Web.
Toute fractale est construite selon une certaine règle, qui est appliquée de manière cohérente un nombre illimité de fois. Chacun de ces temps est appelé une itération.
L'algorithme itératif pour construire l'éponge de Menger est assez simple : le cube original de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents en sont retirés. Le résultat est un ensemble composé des 20 petits cubes restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble, déjà composé de 400 petits cubes. En continuant ce processus indéfiniment, nous obtenons une éponge Menger.
Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une forme
Passons maintenant à l'examen des applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous analyserons une tâche typique et la plus courante. - comment calculer l'aire d'une figure plate en utilisant une intégrale définie... Enfin, ceux qui cherchent un sens dans les mathématiques supérieures - qu'ils le trouvent. On ne sait jamais. Je vais devoir le rapprocher dans la vie domaine des chalets fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.
Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :
1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins au niveau moyen. Ainsi, les nuls doivent d'abord se familiariser avec la leçon Pas.
2) Être capable d'appliquer la formule de Newton-Leibniz et de calculer une intégrale définie. Vous pouvez nouer des amitiés chaleureuses avec des intégrales définies sur la page Intégrale définie. Exemples de solutions.
En fait, pour trouver l'aire d'une figure, on n'a pas besoin d'autant de connaissance de l'intégrale indéfinie et définie. La tâche "calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie" implique toujours de construire un dessin tellement plus problème d'actualité seront vos connaissances et vos compétences en dessin. A cet égard, il est utile de rafraîchir la mémoire des graphiques des principaux fonctions élémentaires, mais, au moins, être capable de construire une droite, une parabole et une hyperbole. Cela peut être fait (beaucoup besoin) en utilisant matériel méthodologique et des articles sur les transformations géométriques des graphes.
En fait, tout le monde connaît le problème de trouver l'aire à l'aide d'une intégrale définie depuis l'école, et nous n'irons pas loin du programme scolaire. Cet article n'existe peut-être pas du tout, mais le fait est que le problème se produit dans 99 cas sur 100, lorsqu'un étudiant souffre de la tour détestée avec enthousiasme pour maîtriser le cours de mathématiques supérieures.
Les matériaux de cet atelier sont présentés simplement, en détail et avec un minimum de théorie.
Commençons par un trapèze courbe.
trapèze courbe est appelée une figure plate délimitée par un axe, des lignes droites et un graphique d'une fonction continue sur un segment, qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que cette figure soit localisée pas moins axe des abscisses :
Puis l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à l'intégrale définie... Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne sens géométrique... À la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions J'ai dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d'énoncer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est l'AIRE.
C'est-à-dire, une intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une figure... Par exemple, considérons une intégrale définie. L'intégrande définit une courbe sur le plan qui se situe au dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent faire un dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.
Exemple 1
Il s'agit d'une formulation typique de la mission. D'abord et le moment le plus important solutions - bâtiment de dessin... De plus, le dessin doit être construit À DROITE.
Lors de la construction d'un dessin, je recommande prochaine commande: première il est préférable de construire toutes les lignes droites (le cas échéant) et seulement Puis- paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Il est plus rentable de construire des graphes de fonctions point par point, la technique de construction point par point se trouve dans matériel de référence Graphes et propriétés des fonctions élémentaires... Vous y trouverez également du matériel très utile en rapport avec notre leçon - comment construire rapidement une parabole.
Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Dessinons un dessin (notez que l'équation définit l'axe) :
Je ne vais pas hachurer un trapèze courbe, ici on voit bien de quelle zone on parle. La solution continue ainsi :
Sur le segment se trouve le graphe de la fonction au dessus de l'axe, Voilà pourquoi:
Réponse:
Qui a du mal à calculer une intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz 
, se référer à la conférence Intégrale définie. Exemples de solutions.
Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le plan et d'estimer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, environ 9 seront tapées, cela ressemble à la vérité. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors, de toute évidence, une erreur a été commise quelque part - le chiffre considéré ne correspond clairement pas à 20 cellules, tout au plus dix. Si la réponse est négative, la tâche a également été mal résolue.
Exemple 2
Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes, et un axe
Ceci est un exemple de solution à faire soi-même. Solution complète et réponse à la fin du tutoriel.
Que faire si le trapèze incurvé est situé sous l'axe ?
Exemple 3
Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.
Solution: Exécutons le dessin : 
Si le trapèze courbe est situé sous l'axe(ou au moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée par la formule :
Dans ce cas: 
Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:
1) Si on vous demande de résoudre juste une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.
2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi un moins apparaît dans la formule qui vient d'être considérée.
En pratique, le plus souvent la figure se situe à la fois dans les demi-plans supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, on passe à des exemples plus significatifs.
Exemple 4
Trouvez l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes.
Solution: Vous devez d'abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes sur une zone, nous sommes plus intéressés par les points d'intersection des lignes. Trouvez les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première voie est analytique. On résout l'équation :
D'où la limite inférieure de l'intégration, la limite supérieure de l'intégration.
Il est préférable de ne pas utiliser cette méthode, si possible..
Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire les lignes point par point, tandis que les limites de l'intégration se précisent, pour ainsi dire, « par elles-mêmes ». La technique de tracé point par point pour divers graphiques est décrite en détail dans l'aide. Graphes et propriétés des fonctions élémentaires... Néanmoins, la méthode analytique pour trouver les limites doit encore être appliquée parfois si, par exemple, le graphe est suffisamment grand, ou la construction précise n'a pas révélé les limites d'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous allons également considérer un tel exemple.
Revenons à notre problème : il est plus rationnel de construire d'abord une droite et ensuite seulement une parabole. Exécutons le dessin : 
Je répète que dans le cas d'une construction ponctuelle, les limites d'intégration sont le plus souvent découvertes par un « automate ».
Et maintenant la formule de travail: Si sur un segment une fonction continue Meilleur que ou égal d'une fonction continue, alors l'aire de la figure, délimitée par les graphiques de ces fonctions et des droites, peut être trouvée par la formule : 
Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'emplacement de la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, et, grosso modo, il est important de savoir quel horaire est AU-DESSUS(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.
Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et donc il faut soustraire de
L'achèvement de la solution pourrait ressembler à ceci :
La figure recherchée est délimitée par une parabole en haut et une droite en bas.
Sur le segment, selon la formule correspondante :
Réponse:
En fait, la formule scolaire pour l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple simple n°3) est un cas particulier de la formule 
... Puisque l'axe est donné par l'équation et que le graphique de la fonction est situé pas plus haut axe, puis 
Et maintenant quelques exemples d'auto-solution
Exemple 5
Exemple 6
Trouvez l'aire de la figure délimitée par des lignes,.
Au cours de la résolution des problèmes de calcul de l'aire à l'aide d'une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin est fait correctement, les calculs sont corrects, mais par inattention... la zone du mauvais chiffre est trouvée, c'est ainsi que ton humble serviteur a merdé plusieurs fois. Voici un cas réel :
Exemple 7
Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes,,,.
Solution: Exécutons d'abord le dessin : 
... Euh, un dessin moche est sorti, mais tout semble être lisible.
La figure dont nous devons trouver la zone est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - à quoi le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, en raison de l'inattention, un "problème" survient souvent, vous devez trouver la zone de la figure qui est ombrée en vert!
Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure à l'aide de deux intégrales définies. Vraiment:
1) Un graphique linéaire est situé sur le segment au-dessus de l'axe ;
2) Le graphique de l'hyperbole est situé sur le segment au-dessus de l'axe.
Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :
Réponse:
Passons à une tâche plus significative.
Exemple 8
Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes,
Représentons les équations sous une forme "école", et nous allons exécuter un dessin point par point : 
On peut voir sur le dessin que notre limite supérieure est « bonne » :.
Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n'est pas un entier, mais lequel ? Peut-être ? Mais où est la garantie que le dessin est fait avec une parfaite précision, il se peut bien que ce soit cela. Ou racine. Et si nous traçions le graphique de manière incorrecte du tout ?
Dans de tels cas, vous devez passer plus de temps et affiner analytiquement les limites de l'intégration.
Trouvez les points d'intersection de la droite et de la parabole.
Pour ce faire, nous résolvons l'équation : 
,
Vraiment, .
La solution supplémentaire est triviale, l'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes, les calculs ne sont pas des plus faciles ici.
Sur le segment 
, selon la formule correspondante : 
Réponse: 
Eh bien, en conclusion de la leçon, nous considérerons deux tâches plus difficiles.
Exemple 9
Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes,
Solution: Représentons cette figure dans le dessin. 
Merde, j'ai oublié de signer le planning, mais pour refaire la photo, désolé, pas chaud. Pas de dessin, bref, aujourd'hui c'est le jour =)
Pour une construction point par point, vous devez savoir apparence sinusoïdes (et en général il est utile de savoir graphiques de toutes les fonctions élémentaires), ainsi que quelques valeurs sinusoïdales, elles peuvent être trouvées dans table trigonométrique... Dans un certain nombre de cas (comme dans celui-ci), il est permis de construire un dessin schématique, sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être affichés correctement en principe.
Il n'y a pas de problèmes avec les limites d'intégration, elles découlent directement de la condition : - "x" passe de zéro à "pi". Nous prenons une autre décision :
Sur le segment, le graphe de la fonction est situé au dessus de l'axe, donc :
En fait, pour trouver l'aire d'une figure, on n'a pas besoin d'autant de connaissance de l'intégrale indéfinie et définie. La tâche "calculer l'aire à l'aide d'une intégrale définie" implique toujours de construire un dessin, par conséquent, vos connaissances et vos compétences en dessin seront un problème beaucoup plus urgent. A cet égard, il est utile de rafraîchir la mémoire des graphes des fonctions élémentaires de base, et, au moins, de pouvoir construire une droite et une hyperbole.
Un trapèze curviligne est une figure plate délimitée par un axe, des lignes droites et un graphique d'une fonction continue sur un segment qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que cette figure soit localisée pas moins axe des abscisses :
Puis l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à l'intégrale définie... Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique.
Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est l'AIRE.
C'est-à-dire, une intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une figure. Par exemple, considérons une intégrale définie. L'intégrande définit une courbe sur le plan qui se situe au dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent faire un dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.
Exemple 1
Il s'agit d'une formulation typique de la mission. Le premier et le plus important point de la solution est la construction du dessin... De plus, le dessin doit être construit À DROITE.
Lors de la création d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : première il est préférable de construire toutes les lignes droites (le cas échéant) et seulement Puis- paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Il est plus rentable de construire des graphes de fonctions point par point.
Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Dessinons un dessin (notez que l'équation définit l'axe) :
Sur le segment se trouve le graphe de la fonction au dessus de l'axe, Voilà pourquoi:
Réponse:
Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le plan et d'estimer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, environ 9 seront tapées, cela ressemble à la vérité. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors, de toute évidence, une erreur a été commise quelque part - le chiffre considéré ne correspond clairement pas à 20 cellules, tout au plus dix. Si la réponse est négative, la tâche a également été mal résolue.
Exemple 3
Calculer l'aire d'une forme délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.
Solution: Exécutons le dessin :
Si le trapèze courbe est situé sous l'axe(ou au moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée par la formule :
Dans ce cas:
Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:
1) Si on vous demande de résoudre juste une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.
2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi un moins apparaît dans la formule qui vient d'être considérée.
En pratique, le plus souvent la figure se situe à la fois dans les demi-plans supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, on passe à des exemples plus significatifs.
Exemple 4
Trouvez l'aire d'une figure plate délimitée par des lignes.
Solution: Vous devez d'abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes sur une zone, nous sommes plus intéressés par les points d'intersection des lignes. Trouvez les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première voie est analytique. On résout l'équation :
D'où la limite inférieure de l'intégration, la limite supérieure de l'intégration.
Il est préférable de ne pas utiliser cette méthode, si possible..
Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire les lignes point par point, tandis que les limites de l'intégration se précisent, pour ainsi dire, « par elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique pour trouver les limites doit encore être appliquée parfois si, par exemple, le graphe est suffisamment grand, ou la construction précise n'a pas révélé les limites d'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous allons également considérer un tel exemple.
Revenons à notre problème : il est plus rationnel de construire d'abord une droite et ensuite seulement une parabole. Exécutons le dessin :
Et maintenant la formule de travail: Si sur un segment une fonction continue Meilleur que ou égal d'une fonction continue, alors l'aire de la figure, délimitée par les graphiques de ces fonctions et des droites, peut être trouvée par la formule : 
Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'emplacement de la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe, et, grosso modo, il est important de savoir quel horaire est AU-DESSUS(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.
Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et donc il faut soustraire de
L'achèvement de la solution pourrait ressembler à ceci :
La figure recherchée est délimitée par une parabole en haut et une droite en bas.
Sur le segment, selon la formule correspondante :
Réponse:
Exemple 4
Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes,,,.
Solution: Exécutons d'abord le dessin :
La figure dont nous devons trouver la zone est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - à quoi le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, en raison de l'inattention, un "glitch" survient souvent, qu'il faut trouver la zone de la figure, qui est ombrée en vert !
Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure à l'aide de deux intégrales définies.
Vraiment:
1) Un graphique linéaire est situé sur le segment au-dessus de l'axe ;
2) Le graphique de l'hyperbole est situé sur le segment au-dessus de l'axe.
Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :
Problème 1(sur le calcul de l'aire d'un trapèze courbe).
Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes xOy, une figure est donnée (voir figure), délimitée par l'axe des x, par des droites x = a, x = b (a par un trapèze curviligne. Il est nécessaire de calculer l'aire de un trapèze curviligne.
Solution. La géométrie nous donne des recettes pour calculer les aires des polygones et certaines parties d'un cercle (secteur, segment). En utilisant des considérations géométriques, nous ne pourrons trouver qu'une valeur approximative de la surface requise, en argumentant comme suit.
Nous divisons le segment [a; b] (base d'un trapèze courbe) en n parties égales ; cette partition est réalisable en utilisant les points x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Traçons des lignes droites passant par ces points parallèlement à l'axe des y. Ensuite, le trapèze curviligne donné sera divisé en n parties, en n colonnes étroites. L'aire de tout le trapèze est égale à la somme des aires des colonnes.
Considérez la k-ième colonne séparément, c'est-à-dire un trapèze curviligne dont la base est un segment. Remplaçons-le par un rectangle de même base et de même hauteur égale à f (x k) (voir figure). L'aire du rectangle est \(f(x_k)\cdot\Delta x_k\), où \(\Delta x_k\) est la longueur du segment; il est naturel de considérer le produit compilé comme une valeur approximative de l'aire de la k-ème colonne. 
Si on fait maintenant de même avec toutes les autres colonnes, on arrivera au résultat suivant : l'aire S d'un trapèze curviligne donné est approximativement égale à l'aire S n d'une figure en escalier composée de n rectangles (voir figure) :
\ (S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + \ points + f (x_k) \ Delta x_k + \ points + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) \)
Ici, par souci d'uniformité de notation, nous supposons que a = x 0, b = x n ; \ (\ Delta x_0 \) - longueur de segment, \ (\ Delta x_1 \) - longueur de segment, etc. en même temps, comme convenu plus haut, \ (\ Delta x_0 = \ points = \ Delta x_ (n-1) \)
Donc, \ (S \ approx S_n \), et cette égalité approximative est d'autant plus précise que n est grand.
Par définition, on suppose que l'aire requise d'un trapèze curviligne est égale à la limite de la suite (S n) :
$$ S = \ lim_ (n \ à \ infty) S_n $$
Tâche 2(à propos du point mobile)
Se déplacer en ligne droite point matériel... La dépendance de la vitesse au temps est exprimée par la formule v = v (t). Trouver le déplacement d'un point sur une période de temps [a; b].
Solution. Si le mouvement était uniforme, alors le problème serait résolu très simplement : s = vt, c'est-à-dire s = v (b-a). Pour un mouvement inégal, vous devez utiliser les mêmes idées sur lesquelles la solution du problème précédent était basée.
1) Divisez l'intervalle de temps [a; b] en n parties égales.
2) Considérons un intervalle de temps et supposons que pendant cet intervalle de temps, la vitesse était constante, comme au temps t k. On considère donc que v = v (t k).
3) Trouver la valeur approximative du déplacement du point sur une période de temps, cette valeur approximative sera notée s k
\ (s_k = v (t_k) \ Delta t_k \)
4) Trouver la valeur approximative du déplacement s :
\ (s \ env S_n \) où
\ (S_n = s_0 + \ points + s_ (n-1) = v (t_0) \ Delta t_0 + \ points + v (t_ (n-1)) \ Delta t_ (n-1) \)
5) Le déplacement souhaité est égal à la limite de séquence (S n) :
$$ s = \ lim_ (n \ à \ infty) S_n $$
Résumons. Les solutions à divers problèmes ont été réduites au même modèle mathématique. De nombreux problèmes issus de divers domaines de la science et de la technologie conduisent dans le processus de résolution au même modèle. Cela signifie que ce modèle mathématique doit être spécialement étudié.
Concept intégral définitif
Donnons une description mathématique du modèle qui a été construit dans les trois problèmes considérés pour la fonction y = f (x), continue (mais pas nécessairement non négative, comme cela a été supposé dans les problèmes considérés) sur l'intervalle [a; b] :
1) on divise le segment [a; b] en n parties égales ;
2) faire la somme $$ S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + f (x_1) \ Delta x_1 + \ points + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) $$
3) calculer $$ \ lim_ (n \ à \ infty) S_n $$
Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que cette limite existe dans le cas d'une fonction continue (ou continue par morceaux). Il est appelé une intégrale définie de la fonction y = f (x) le long du segment [a; b] et noté comme suit :
\ (\ int \limites_a ^ b f (x) dx \)
Les nombres a et b sont appelés limites d'intégration (respectivement inférieure et supérieure).
Revenons aux tâches décrites ci-dessus. La définition de l'aire donnée dans le problème 1 peut maintenant être réécrite comme suit :
\ (S = \int \limites_a ^ b f (x) dx \)
ici S est l'aire du trapèze courbe représenté sur la figure ci-dessus. C'est sens géométrique d'une intégrale définie.
La définition du déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v (t) sur l'intervalle de temps de t = a à t = b, donnée dans le problème 2, peut être réécrite comme suit :
Formule de Newton - Leibniz
Pour commencer, répondons à la question : quel est le lien entre une intégrale définie et une primitive ?
La réponse peut être trouvée dans le problème 2. D'une part, le déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v (t) sur l'intervalle de temps de t = a à t = b et est calculé par la formule
\ (S = \int \limites_a ^ b v (t) dt \)
D'autre part, la coordonnée du point mobile est la primitive de la vitesse - notons-la s (t) ; par conséquent, le déplacement s est exprimé par la formule s = s (b) - s (a). En conséquence, nous obtenons :
\ (S = \int \limites_a ^ b v (t) dt = s (b) -s (a) \)
où s (t) est la primitive de v (t).
Au cours de l'analyse mathématique, le théorème suivant a été prouvé.
Théorème. Si la fonction y = f (x) est continue sur le segment [a; b], alors la formule suivante est valide
\ (S = \int \limits_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a) \)
où F (x) est la primitive de f (x).
La formule ci-dessus est généralement appelée par la formule Newton - Leibniz en l'honneur du physicien anglais Isaac Newton (1643-1727) et du philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716), qui l'ont reçu indépendamment l'un de l'autre et presque simultanément.
En pratique, au lieu d'écrire F (b) - F (a), utilisez la notation \ (\ left. F (x) \ right | _a ^ b \) (parfois appelée double substitution) et, en conséquence, réécrivez la formule de Newton - Leibniz sous la forme suivante :
\ (S = \ int \limits_a ^ b f (x) dx = \ left. F (x) \ right | _a ^ b \)
Pour calculer une intégrale définie, trouvez d'abord la primitive, puis effectuez une double substitution.
Sur la base de la formule de Newton - Leibniz, deux propriétés d'une intégrale définie peuvent être obtenues.
Propriété 1. L'intégrale de la somme des fonctions est égale à la somme des intégrales :
\ (\int \limites_a ^ b (f (x) + g (x)) dx = \ int \limites_a ^ b f (x) dx + \ int \limites_a ^ b g (x) dx \)
Propriété 2. Le facteur constant peut être retiré du signe intégral :
\ (\ int \limites_a ^ b kf (x) dx = k \ int \limites_a ^ b f (x) dx \)
Calcul des aires de figures planes à l'aide d'une intégrale définie
En utilisant l'intégrale, il est possible de calculer les aires non seulement de trapèzes curvilignes, mais également de figures planes d'un type plus complexe, par exemple celui représenté sur la figure. La figure P est bornée par des droites x = a, x = b et des graphes de fonctions continues y = f (x), y = g (x), et sur le segment [a; b] l'inégalité \ (g (x) \ leq f (x) \) est vraie. Pour calculer l'aire S d'une telle figure, on procédera comme suit :
\ (S = S_ (ABCD) = S_ (aDCb) - S_ (aABb) = \ int \limits_a ^ b f (x) dx - \ int \limits_a ^ b g (x) dx = \)
\ (= \ int \limites_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)
Ainsi, l'aire S de la figure délimitée par les droites x = a, x = b et les graphes des fonctions y = f (x), y = g (x), continues sur le segment et telles que pour tout x du segment [a; b] l'inégalité \ (g (x) \ leq f (x) \) est vérifiée, calculée par la formule
\ (S = \int \limites_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)