Bu makale, belirli bir çizgiye dik üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklemin nasıl yazılacağı hakkında bir fikir verir. Tipik problemleri çözme örneğini kullanarak yukarıdaki algoritmayı analiz edelim.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Verilen bir doğruya dik uzayda verilen bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulma

İçinde üç boyutlu bir uzay ve dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z verilsin. M 1 noktası (x 1, y 1, z 1), a doğrusu ve a doğrusuna dik M 1 noktasından geçen α düzlemi de verilmiştir. α düzleminin denklemini yazmak gerekir.

Bu problemi çözmeye devam etmeden önce, 10 - 11. sınıflar için programdaki geometri teoremini hatırlayalım.

tanım 1

Tek bir düzlem, üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan geçer ve verilen bir doğruya diktir.

Şimdi başlangıç ​​noktasından geçen ve verilen doğruya dik olan bu tek düzlemin denklemini nasıl bulacağınızı düşünün.

Bu düzleme ait bir noktanın koordinatları ve düzlemin normal vektörünün koordinatları biliniyorsa, bir düzlemin genel denklemini yazmak mümkündür.

Problemin durumuna göre, α düzleminin geçtiği M 1 noktasının x 1, y 1, z 1 koordinatları verilir. α düzleminin normal vektörünün koordinatlarını belirlersek, istenen denklemi yazabileceğiz.

α düzleminin normal vektörü, sıfır olmadığı ve α düzlemine dik a çizgisi üzerinde yer aldığı için, a çizgisinin herhangi bir yönlendirici vektörü olacaktır. Böylece, a düzleminin normal vektörünün koordinatlarını bulma problemi, a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleme problemine dönüştürülür.

Düz çizgi a'nın yönlendirici vektörünün koordinatlarının belirlenmesi, farklı yöntemlerle gerçekleştirilebilir: başlangıç ​​koşullarında düz çizgi a'yı ayarlama varyantına bağlıdır. Örneğin, problemin durumundaki a satırı, formun kanonik denklemleriyle verilirse

x - x 1 bir x = y - y 1 bir y = z - z 1 bir z

veya formun parametrik denklemleri:

x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ z = z 1 + bir z λ

o zaman düz çizginin yönlendirici vektörü a x, a y ve a z koordinatlarına sahip olacaktır. Düz a çizgisinin M 2 (x 2, y 2, z 2) ve M 3 (x 3, y 3, z 3) olmak üzere iki nokta ile temsil edilmesi durumunda, yön vektörünün koordinatları şu şekilde belirlenecektir: (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

tanım 2

Verilen bir doğruya dik olan bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulmak için algoritma:

A düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleyin: a → = (a x, a y, a z) ;

a düzleminin normal vektörünün koordinatlarını, a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatları olarak tanımlarız:

n → = (A , B , C) , burada A = bir x , B = bir y , C = bir z;

M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasından geçen ve normal vektörü olan düzlemin denklemini yazıyoruz. n→=(A, B, C) A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 şeklinde. Bu, uzayda belirli bir noktadan geçen ve belirli bir doğruya dik olan bir düzlemin gerekli denklemi olacaktır.

Uçağın elde edilen genel denklemi: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0, düzlemin denklemini segmentlerde veya düzlemin normal denklemini elde etmeyi mümkün kılar.

Yukarıda elde edilen algoritmayı kullanarak bazı örnekleri çözelim.

örnek 1

Düzlemin içinden geçtiği bir M 1 (3, - 4, 5) noktası verilmiştir ve bu düzlem O z koordinat çizgisine diktir.

Çözüm

O z koordinat çizgisinin yön vektörü k ⇀ = (0 , 0 , 1) koordinat vektörü olacaktır. Bu nedenle, düzlemin normal vektörü (0 , 0 , 1) koordinatlarına sahiptir. Normal vektörü (0, 0, 1) koordinatlarına sahip M 1 (3, - 4, 5) noktasından geçen bir düzlemin denklemini yazalım:

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Yanıt vermek: z - 5 = 0 .

Bu sorunu çözmenin başka bir yolunu düşünün:

Örnek 2

O z doğrusuna dik olan bir düzlem, С z + D = 0 , C ≠ 0 biçimindeki düzlemin tamamlanmamış bir genel denklemi ile verilecektir. C ve D'nin değerlerini tanımlayalım: uçağın belirli bir noktadan geçtiği değerler. Bu noktanın koordinatlarını C z + D = 0 denkleminde değiştirin, şunu elde ederiz: C · 5 + D = 0 . Onlar. sayılar, C ve D - D C = 5 ile ilişkilidir. C \u003d 1 alarak D \u003d - 5 elde ederiz.

Bu değerleri C z + D = 0 denkleminde yerine koyun ve O z doğrusuna dik olan ve M 1 (3, - 4, 5) noktasından geçen bir düzlem için gerekli denklemi elde edin.

Şu şekilde görünecektir: z - 5 = 0.

Yanıt vermek: z - 5 = 0 .

Örnek 3

Orijinden geçen ve x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 doğrusuna dik olan bir düzlem için bir denklem yazın

Çözüm

Problemin koşullarına bağlı olarak, belirli bir düz çizginin kılavuz vektörünün, belirli bir düzlemin normal vektörü n → olarak alınabileceği iddia edilebilir. Böylece: n → = (- 3 , - 7 , 2) . O (0, 0, 0) noktasından geçen ve normal vektörü n → \u003d (- 3, - 7, 2) olan bir düzlemin denklemini yazalım:

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Verilen doğruya dik orijinden geçen düzlem için gerekli denklemi elde ettik.

Yanıt vermek:- 3x - 7y + 2z = 0

Örnek 4

Üç boyutlu uzayda O x y z dikdörtgen koordinat sistemi verildiğinde, A (2 , - 1 , - 2) ve B (3 , - 2 , 4) olmak üzere iki nokta içerir. α düzlemi AB doğrusuna dik A noktasından geçer. α düzleminin denklemini segmentler halinde oluşturmak gerekir.

Çözüm

α düzlemi A B çizgisine diktir, o zaman A B → vektörü α düzleminin normal vektörü olacaktır. Bu vektörün koordinatları, B (3, - 2, 4) ve A (2, - 1, - 2) noktalarının karşılık gelen koordinatları arasındaki fark olarak belirlenir:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Düzlemin genel denklemi aşağıdaki biçimde yazılacaktır:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Şimdi segmentlerde düzlemin istenen denklemini oluşturuyoruz:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Yanıt vermek:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Ayrıca, belirli bir noktadan geçen ve verilen iki düzleme dik olan bir düzlem için bir denklem yazma gereksinimi olan problemler olduğuna da dikkat edilmelidir. Genel olarak, bu problemin çözümü, verilen bir doğruya dik olarak verilen bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazmaktır. kesişen iki düzlem düz bir çizgi tanımlar.

Örnek 5

O x y z dikdörtgen koordinat sistemi verilmiştir, içinde M 1 (2, 0, - 5) noktasıdır. 3 x + 2 y + 1 = 0 ve x + 2 z - 1 = 0 olan iki düzlemin denklemleri de verilmiştir ve bunlar a düz çizgisi boyunca kesişir. a doğrusuna dik M1 noktasından geçen bir düzlem için bir denklem oluşturmak gerekir.

Çözüm

A doğrusunun yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleyelim. Hem n → (1 , 0 , 2) düzleminin n 1 → (3 , 2 , 0) normal vektörüne hem de x + 2 z'nin 3 x + 2 y + 1 = 0 normal vektörüne diktir - 1 = 0 düzlem.

Sonra yönlendirici vektör α → düz çizgi a, n 1 → ve n 2 → vektörlerinin vektör çarpımını alırız:

a → = n 1 → × n 2 → = ben → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Böylece, n → = (4, - 6, - 2) vektörü, a doğrusuna dik olan düzlemin normal vektörü olacaktır. Uçağın istenen denklemini yazıyoruz:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Yanıt vermek: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bir doğru üzerinde yer almayan verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulmamız gereksin. Yarıçap vektörlerini ile ve mevcut yarıçap vektörünü ile ifade ederek, istenen denklemi vektör biçiminde kolayca elde edebiliriz. Aslında vektörler , eş düzlemli olmalıdır (hepsi istenen düzlemdedir). Bu nedenle, bu vektörlerin vektör-skaler çarpımı sıfıra eşit olmalıdır:

Bu, vektör biçiminde verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemidir.

Koordinatlara dönersek, denklemi koordinatlarda elde ederiz:

Verilen üç nokta aynı doğru üzerinde bulunuyorsa, vektörler eşdoğrusal olacaktır. Bu nedenle, denklem (18)'deki determinantın son iki satırının karşılık gelen elemanları orantılı olacak ve determinant aynı şekilde sıfıra eşit olacaktır. Bu nedenle, denklem (18) herhangi bir x, y ve z değeri için bir özdeşlik haline gelecektir. Geometrik olarak, bu, uzayın her noktasından bir düzlemin geçtiği anlamına gelir, ki burada üç verili nokta da bulunur.

Açıklama 1. Aynı problem vektörler kullanılmadan da çözülebilir.

Verilen üç noktanın koordinatlarını sırasıyla göstererek, ilk noktadan geçen herhangi bir düzlemin denklemini yazıyoruz:

İstenen düzlemin denklemini elde etmek için, denklemin (17) diğer iki noktanın koordinatları tarafından sağlanması gerekir:

Denklemlerden (19), iki katsayının üçüncüye oranlarını belirlemek ve bulunan değerleri denkleme (17) girmek gerekir.

Örnek 1. Noktalardan geçen bir düzlem için bir denklem yazın.

Bu noktalardan ilkinden geçen bir düzlemin denklemi şöyle olacaktır:

Uçağın (17) diğer iki noktadan ve birinci noktadan geçmesi için şartlar:

Birinci denkleme ikinci denklemi ekleyerek şunu elde ederiz:

İkinci denklemi yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

Sırasıyla A, B, C yerine 1, 5, -4 (onlarla orantılı sayılar) yerine (17) denklemini değiştirerek şunu elde ederiz:

Örnek 2. (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) noktalarından geçen bir düzlem için bir denklem yazın.

(0, 0, 0) noktasından geçen herhangi bir düzlemin denklemi]

Bu uçağı (1, 1, 1) ve (2, 2, 2) noktalarından geçirme koşulları:

İkinci denklemi 2 ile azaltarak, iki bilinmeyeni belirlemek için ilişkinin bir denklemi olduğunu görüyoruz.

Buradan alıyoruz. Şimdi değeri yerine düzlem denkleminde yerine koyarsak şunu buluruz:

Bu, gerekli düzlemin denklemidir; keyfi bağlıdır

B, C miktarları (yani orandan, yani verilen üç noktadan geçen sonsuz sayıda düzlem vardır (verilen üç nokta bir düz çizgi üzerindedir).

Açıklama 2. Bir düz çizgi üzerinde yer almayan verilen üç noktadan geçen bir düzlem çizme problemi şu şekilde kolayca çözülür: Genel görünüm determinantları kullanırsanız. Gerçekten de, (17) ve (19) denklemlerinde A, B, C katsayıları aynı anda sıfıra eşit olamayacağından, bu denklemleri A, B, C üç bilinmeyenli homojen bir sistem olarak ele alarak, gerekli ve yeterli bir yazıyoruz. sıfır dışında bu sistemin bir çözümünün varlığı için koşul (bölüm 1, bölüm VI, § 6):

Bu determinantı ilk satırın elemanları ile genişleterek, mevcut koordinatlara göre birinci dereceden bir denklem elde ederiz , özellikle verilen üç noktanın koordinatları tarafından karşılanacak.

Bu sonuncusu, determinant kullanılarak yazılan denklem yerine bu noktalardan herhangi birinin koordinatlarını yerine koyarsak doğrudan doğrulanabilir. Sol tarafta, ilk satırın elemanlarının sıfır olduğu veya iki özdeş satırın bulunduğu bir determinant elde edilir. Böylece formüle edilen denklem, verilen üç noktadan geçen bir düzlemi temsil eder.

İlk seviye

Koordinatlar ve vektörler. Kapsamlı rehber (2019)

Bu makalede, geometrideki birçok problemi basit aritmetiğe indirgemenizi sağlayacak bir "sihirli değnek" hakkında bir tartışmaya başlayacağız. Bu "asa", özellikle mekansal figürler, bölümler vb. oluştururken kendinizi güvensiz hissettiğinizde hayatınızı çok daha kolaylaştırabilir. Bütün bunlar belirli bir hayal gücü ve pratik beceriler gerektirir. Burada ele almaya başlayacağımız yöntem, her türlü geometrik yapıdan ve akıl yürütmeden neredeyse tamamen soyutlamanıza izin verecektir. Yöntem denir "koordinat yöntemi". Bu yazıda aşağıdaki soruları ele alacağız:

1. Koordinat uçağı
2. Uçaktaki noktalar ve vektörler
3. İki noktadan vektör oluşturma
4. Vektör uzunluğu (iki nokta arasındaki mesafe)​
5. orta nokta koordinatları
6. Vektörlerin nokta çarpımı​
7. iki vektör arasındaki açı

Sanırım koordinat yönteminin neden böyle adlandırıldığını tahmin ettiniz mi? Geometrik nesnelerle değil, sayısal özellikleriyle (koordinatları) çalıştığı için böyle bir isim aldığı doğrudur. Ve geometriden cebire geçmeyi mümkün kılan dönüşümün kendisi, bir koordinat sisteminin tanıtılmasından ibarettir. Orijinal şekil düzse, koordinatlar iki boyutludur ve şekil üç boyutluysa, koordinatlar üç boyutludur. Bu yazıda sadece iki boyutlu durumu ele alacağız. Ve makalenin ana amacı, size koordinat yönteminin bazı temel tekniklerini nasıl kullanacağınızı öğretmektir (Birleşik Devlet Sınavının B bölümünde planimetrideki problemleri çözerken bazen faydalı oldukları ortaya çıkar). Bu konuyla ilgili aşağıdaki iki bölüm, C2 problemlerini (stereometri problemi) çözme yöntemlerinin tartışılmasına ayrılmıştır.

Koordinat yöntemini tartışmaya nereden başlamak mantıklı olur? Muhtemelen bir koordinat sistemi konseptiyle. Onunla ilk tanıştığın zamanı hatırla. Bana öyle geliyor ki 7. sınıfta, örneğin doğrusal bir fonksiyonun varlığını öğrendiğinizde. Nokta nokta inşa ettiğinizi hatırlatmama izin verin. Hatırlıyor musun? Rastgele bir sayı seçtiniz, onu formüle yerleştirdiniz ve bu şekilde hesapladınız. Örneğin, eğer, o zaman, eğer, o zaman, vb. Sonuç olarak ne elde ettiniz? Ve koordinatları olan puanlar aldınız: ve. Daha sonra bir “çapraz” (koordinat sistemi) çizdiniz, üzerinde bir ölçek seçtiniz (tek parça olarak kaç hücreniz olacak) ve aldığınız noktaları üzerine işaretlediniz, ardından düz bir çizgi ile birleştirdiniz, ortaya çıkan çizgi fonksiyonun grafiğidir.

Size biraz daha ayrıntılı olarak açıklanması gereken birkaç şey var:

1. Kolaylık sağlamak için tek bir segment seçersiniz, böylece her şey resme güzel ve kompakt bir şekilde sığar

2. Eksenin soldan sağa, eksenin aşağıdan yukarıya gittiği varsayılır.

3. Dik açıyla kesişirler ve kesişme noktalarına orijin denir. Bir harf ile işaretlenmiştir.

4. Bir noktanın koordinat kaydında, örneğin, parantez içinde solda, eksen boyunca ve sağda, eksen boyunca noktanın koordinatı bulunur. Özellikle, basitçe şu anlama gelir:

5. Koordinat ekseninde herhangi bir noktayı ayarlamak için koordinatlarını belirtmeniz gerekir (2 sayı)

6. Eksen üzerinde bulunan herhangi bir nokta için,

7. Eksen üzerinde bulunan herhangi bir nokta için,

8. Eksene x ekseni denir

9. Eksene y ekseni denir

Şimdi sizinle bir sonraki adımı atalım: iki noktayı işaretleyin. Bu iki noktayı bir çizgi ile birleştirin. Ve oku bir noktadan noktaya çiziyormuş gibi koyalım: yani segmentimizi yönlendirilmiş hale getireceğiz!

Yönlendirilmiş bir segment için başka bir adın ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bu doğru, buna vektör denir!

Böylece, bir noktayı bir noktaya bağlarsak, ve başlangıç ​​A noktası olacak ve son B noktası olacak, sonra bir vektör elde ederiz. Bu inşaatı 8. sınıfta da yapmıştın, hatırladın mı?

Noktalar gibi vektörlerin iki sayı ile gösterilebileceği ortaya çıktı: bu sayılara vektörün koordinatları denir. Soru: Vektörün koordinatlarını bulmak için başlangıç ​​ve bitiş koordinatlarını bilmemiz sizce yeterli mi? Görünüşe göre evet! Ve bunu yapmak çok kolay:

Böylece, vektörde nokta başlangıç ​​ve bitiş olduğundan, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Örneğin, eğer, o zaman vektörün koordinatları

Şimdi tersini yapalım, vektörün koordinatlarını bulalım. Bunun için neyi değiştirmemiz gerekiyor? Evet, başlangıcı ve bitişi değiştirmelisiniz: şimdi vektörün başlangıcı bir noktada ve bitiş bir noktada olacaktır. O zamanlar:

Yakından bakın, vektörler ve arasındaki fark nedir? Tek farkları koordinatlardaki işaretlerdir. Onlar zıt. Bu gerçek şöyle yazılmıştır:

Bazen, hangi noktanın vektörün başlangıcı ve hangisinin son olduğu özellikle belirtilmemişse, vektörler iki büyük harfle değil, bir küçük harfle gösterilir, örneğin:, vb.

şimdi biraz uygulama ve aşağıdaki vektörlerin koordinatlarını bulun:

muayene:

Şimdi sorunu biraz daha zor çözün:

Bir noktada hurda üzerinde olan bir vektör simit sizinle birlikte veya di-üzerindedir. Bul-di-te abs-cis-su noktaları.

Hepsi aynı, oldukça sıkıcı: Noktanın koordinatları olsun. O zamanlar

Bir vektörün koordinatlarının ne olduğunu belirleyerek sistemi derledim. O zaman noktanın koordinatları vardır. Apsis ile ilgileniyoruz. O zamanlar

Yanıt vermek:

Vektörlerle başka neler yapabilirsiniz? Evet, hemen hemen her şey sıradan sayılarla aynıdır (bölemezsiniz, ancak iki şekilde çarpabilirsiniz, bunlardan birini biraz sonra tartışacağız)

1. Vektörler birbirleriyle istiflenebilir
2. Vektörler birbirinden çıkarılabilir
3. Vektörler keyfi sıfır olmayan bir sayı ile çarpılabilir (veya bölünebilir)
4. Vektörler birbirleriyle çarpılabilir

Tüm bu işlemler oldukça görsel bir geometrik temsile sahiptir. Örneğin, toplama ve çıkarma için üçgen (veya paralelkenar) kuralı:

Bir vektör, bir sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde uzar veya küçülür veya yön değiştirir:

Ancak burada koordinatlara ne olduğu sorusuyla ilgileneceğiz.

1. İki vektörü eklerken (çıkarırken), koordinatlarını eleman eleman ekleriz (çıkarırız). yani:

2. Bir vektörü bir sayı ile çarparken (bölerken), tüm koordinatları bu sayı ile çarpılır (bölünür):

Örneğin:

· Yüzyıldan-raya ko-or-di-nat toplamını bul.

Önce vektörlerin her birinin koordinatlarını bulalım. Her ikisinin de kökeni aynıdır - başlangıç ​​noktası. Onların sonları farklıdır. O zamanlar, . Şimdi vektörün koordinatlarını hesaplıyoruz Sonra ortaya çıkan vektörün koordinatlarının toplamı eşittir.

Yanıt vermek:

Şimdi aşağıdaki sorunu kendiniz çözün:

· Vektörün koordinatlarının toplamını bulun

Kontrol ediyoruz:

Şimdi aşağıdaki problemi ele alalım: koordinat düzleminde iki noktamız var. Aralarındaki mesafe nasıl bulunur? İlk nokta ve ikincisi olsun. Aralarındaki mesafeyi olarak gösterelim. Netlik için aşağıdaki çizimi yapalım:

Ne yaptım? ilk bağlandım puan ve, bir ayrıca noktadan eksene paralel bir doğru çizdi ve noktadan eksene paralel bir doğru çizdi. Bir noktada kesişerek harika bir figür mü oluşturdular? O neden harika? Evet, sen ve ben neredeyse her şeyi biliyoruz sağ üçgen. Pekala, Pisagor teoremi, kesinlikle. İstenen segment bu üçgenin hipotenüsü ve segmentler bacaklardır. Noktanın koordinatları nelerdir? Evet, resimden bulmak kolaydır: Segmentler eksenlere paralel olduğundan ve sırasıyla uzunluklarını bulmak kolaydır: sırasıyla segmentlerin uzunluklarını belirtirsek, o zaman

Şimdi Pisagor teoremini kullanalım. Bacakların uzunluklarını biliyoruz, hipotenüsü bulacağız:

Böylece, iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlardan karesi alınmış farkların kök toplamıdır. Veya - iki nokta arasındaki mesafe, onları birleştiren parçanın uzunluğudur. Noktalar arasındaki mesafenin yöne bağlı olmadığını görmek kolaydır. O zamanlar:

Bundan üç sonuç çıkarıyoruz:

İki nokta arasındaki mesafeyi hesaplama konusunda biraz pratik yapalım:

Örneğin, eğer, o zaman ve arasındaki mesafe

Ya da farklı gidelim: vektörün koordinatlarını bulun

Ve vektörün uzunluğunu bulun:

Gördüğünüz gibi, aynı!

Şimdi kendi başınıza biraz pratik yapın:

Görev: verilen noktalar arasındaki mesafeyi bulun:

Kontrol ediyoruz:

Kulağa biraz farklı gelse de, aynı formül için birkaç problem daha var:

1. Göz kapağı-ra uzunluğunun karesini bulun.

2. Nai-di-te kare göz kapağı uzunluğu-ra

Sanırım bunlarla kolayca başa çıkabilirsin? Kontrol ediyoruz:

1. Ve bu dikkat için) Daha önce vektörlerin koordinatlarını bulduk: . O zaman vektörün koordinatları vardır. Uzunluğunun karesi şöyle olacaktır:

2. Vektörün koordinatlarını bulun

O halde uzunluğunun karesi

Karmaşık bir şey yok, değil mi? Basit aritmetik, başka bir şey değil.

Aşağıdaki bulmacalar açık bir şekilde sınıflandırılamaz, daha çok genel bilgi ve basit resimler çizme yeteneği içindir.

1. Kesimden-klon-on-on-on açının sinüsünü bulun, apsis ekseni ile n'inci noktayı birleştirin.

Ve

Burada nasıl yapacağız? Aradaki açının sinüsünü ve ekseni bulmanız gerekir. Ve sinüsü nerede arayabiliriz? Bu doğru, bir dik üçgende. Peki ne yapmamız gerekiyor? Bu üçgeni oluşturun!

Noktanın koordinatları ve daha sonra segment eşit olduğundan ve segment. Açının sinüsünü bulmamız gerekiyor. Size hatırlatmama izin verin, sinüs karşı bacağın hipotenüse oranıdır, o zaman

Yapmamız gereken ne kaldı? Hipotenüsü bulun. Bunu iki şekilde yapabilirsiniz: Pisagor teoremini kullanarak (bacaklar biliniyor!) veya iki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanarak (aslında ilk yöntemle aynı!). Ben ikinci yoldan gideceğim:

Yanıt vermek:

Bir sonraki görev size daha da kolay gelecek. O - noktanın koordinatlarında.

Görev 2. Noktadan, per-pen-di-ku-lar, abs-ciss eksenine indirilir. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Bir çizim yapalım:

Dikin tabanı x eksenini (ekseni) kestiği noktadır benim için bu bir noktadır. Şekil, koordinatlara sahip olduğunu gösterir: . Apsis ile ilgileniyoruz - yani "X" bileşeni. O eşittir.

Yanıt vermek: .

Görev 3.Önceki problemin koşulları altında, noktadan koordinat eksenlerine olan mesafelerin toplamını bulun.

Bir noktadan eksenlere olan mesafenin ne olduğunu biliyorsanız, görev genellikle temeldir. Biliyorsun? Umarım ama yine de hatırlatırım:

Yani, biraz daha yüksekte bulunan çizimimde, zaten böyle bir dik tasvir ettim mi? Hangi eksen? eksene. Ve o zaman uzunluğu nedir? O eşittir. Şimdi eksene bir dik çizin ve uzunluğunu bulun. Eşit olacak, değil mi? O zaman toplamları eşittir.

Yanıt vermek: .

Görev 4. 2. problemin koşullarında, x ekseni etrafındaki noktaya simetrik olan noktanın ordinatını bulun.

Simetrinin ne olduğunu sezgisel olarak anladığınızı düşünüyorum? Pek çok nesne buna sahiptir: birçok bina, masa, düzlem, birçok geometrik şekil: bir top, bir silindir, bir kare, bir eşkenar dörtgen, vb. Kabaca söylemek gerekirse, simetri şu şekilde anlaşılabilir: bir şekil iki (veya daha fazla) oluşur. özdeş yarılar. Bu simetriye eksenel denir. O zaman eksen nedir? Bu tam olarak, şeklin göreceli olarak aynı yarılara "kesilebileceği" çizgidir (bu resimde simetri ekseni düzdür):

Şimdi görevimize geri dönelim. Eksene göre simetrik olan bir nokta aradığımızı biliyoruz. O halde bu eksen simetri eksenidir. Yani, eksenin parçayı iki eşit parçaya ayırması için bir noktayı işaretlememiz gerekiyor. Böyle bir noktayı kendiniz işaretlemeye çalışın. Şimdi benim çözümümle karşılaştırın:

Sen de aynısını yaptın mı? İyi! Bulunan noktada, ordinatla ilgileniyoruz. o eşittir

Yanıt vermek:

Şimdi söyle bana, bir saniye düşündükten sonra, y eksenine göre A noktasına simetrik olan noktanın apsisi ne olacak? Cevabınız nedir? Doğru cevap: .

Genel olarak, kural şu ​​şekilde yazılabilir:

x ekseni etrafında bir noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatları:

Y ekseni etrafında bir noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatları vardır:

Şimdi gerçekten korkutucu. bir görev: Bir noktaya simetrik olan bir noktanın orijine göre koordinatlarını bulun. Önce kendin düşün, sonra çizimime bak!

Yanıt vermek:

Şimdi paralelkenar sorunu:

Görev 5: Puanlar ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma'dır. Dee-te veya dee-on-tu noktalarını bulun.

Bu sorunu iki şekilde çözebilirsiniz: mantık ve koordinat yöntemi. Önce koordinat yöntemini uygulayacağım, sonra size nasıl farklı şekilde karar verebileceğinizi anlatacağım.

Noktanın apsisinin eşit olduğu oldukça açıktır. (noktadan x eksenine çizilen dikme üzerinde bulunur). Ordinatı bulmamız gerekiyor. Figürümüzün bir paralelkenar olduğu gerçeğinden yararlanalım, bu şu anlama geliyor. İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak parçanın uzunluğunu bulun:

Noktayı eksene bağlayan dikeyi indiriyoruz. Kavşak noktası bir harf ile gösterilir.

Segmentin uzunluğu eşittir. (bu anı tartıştığımız sorunu kendiniz bulun), o zaman Pisagor teoremini kullanarak segmentin uzunluğunu bulacağız:

Parçanın uzunluğu, koordinatıyla tamamen aynıdır.

Yanıt vermek: .

Başka bir çözüm (sadece onu gösteren bir resim sağlayacağım)

Çözüm ilerlemesi:

1. Harcama

2. Nokta koordinatlarını ve uzunluğunu bulun

3. Bunu kanıtlayın.

Bir tane daha kesme uzunluğu sorunu:

Noktalar-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-açı-no-ka. Orta hattının uzunluğunu bulun, par-ral-lel-noy.

Bir üçgenin orta çizgisinin ne olduğunu hatırlıyor musunuz? O zaman sizin için bu görev temeldir. Hatırlamıyorsanız hatırlatayım: Bir üçgenin orta çizgisi, orta noktaları birleştiren çizgidir. karşı taraflar. Tabana paralel ve yarısına eşittir.

Baz bir segmenttir. Daha önce uzunluğunu aramak zorunda kaldık, eşittir. O zaman orta çizginin uzunluğu yarısı kadar uzun ve eşittir.

Yanıt vermek: .

Yorum: Bu sorun, biraz sonra döneceğimiz başka bir şekilde çözülebilir.

Bu arada, işte size birkaç görev, üzerinde çalışın, oldukça basitler, ancak koordinat yöntemini kullanarak “elinizi çekmenize” yardımcı oluyorlar!

1. Noktalar görünüyor-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Orta hattının uzunluğunu bulun.

2. Puanlar ve yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Dee-te veya dee-on-tu noktalarını bulun.

3. Kesimden uzunluğu bulun, ikinci noktayı bağlayın ve

4. Ko-or-di-nat-noy düzleminde kırmızı-shen-noy figürü için alanı bulun.

5. na-cha-le ko-or-di-nat merkezli bir daire bir noktadan geçiyor. Bıyığını bul.

6. Nai-di-te ra-di-us daire-no-sti, sağ-açı-no-ka yakınında tarif-san-noy, bir şey-ro-go'nun üstleri-shi-ny'si ortak-ya da - di-na-sen-yanıttan-ama

Çözümler:

1. Bir yamuğun orta çizgisinin, tabanlarının toplamının yarısına eşit olduğu bilinmektedir. Taban eşittir, ancak taban. O zamanlar

Yanıt vermek:

2. Bu sorunu çözmenin en kolay yolu şunu fark etmektir (paralelkenar kuralı). Vektörlerin koordinatlarını hesaplayın ve zor değil: . Vektörler eklenirken koordinatlar eklenir. Sonra koordinatları var. Nokta aynı koordinatlara sahiptir, çünkü vektörün başlangıcı koordinatları olan bir noktadır. Ordinatla ilgileniyoruz. O eşittir.

Yanıt vermek:

3. İki nokta arasındaki uzaklık formülüne göre hemen hareket ediyoruz:

Yanıt vermek:

4. Resme bakın ve taralı alan hangi iki şekil arasında “sıkıştırılıyor”? İki kare arasına sıkıştırılmıştır. Daha sonra istenen şeklin alanı, büyük karenin alanından küçük karenin alanının çıkarılmasına eşittir. Küçük karenin kenarı, noktaları birleştiren bir parçadır ve uzunluğu

O halde küçük karenin alanı

Aynı şeyi büyük bir kare ile yapıyoruz: kenarı noktaları birleştiren bir segment ve uzunluğu eşittir

O halde büyük karenin alanı

İstenilen şeklin alanı şu formülle bulunur:

Yanıt vermek:

5. Dairenin merkezi orijine sahipse ve bir noktadan geçiyorsa, yarıçapı tam olarak doğru parçasının uzunluğuna eşit olacaktır (çizim yapın ve bunun neden açık olduğunu anlayacaksınız). Bu parçanın uzunluğunu bulun:

Yanıt vermek:

6. Bir dikdörtgenin çevresinde çevrelenen bir dairenin yarıçapının, köşegeninin yarısına eşit olduğu bilinmektedir. İki köşegenin herhangi birinin uzunluğunu bulalım (sonuçta bir dikdörtgende eşittirler!)

Yanıt vermek:

Peki, her şeyi başardın mı? Bunu anlamak o kadar da zor olmadı, değil mi? Burada tek bir kural var - görsel bir resim yapabilmek ve ondan tüm verileri basitçe “okumak”.

Çok az kaldı. Aslında tartışmak istediğim iki nokta daha var.

Bu basit sorunu çözmeye çalışalım. İki puan verilsin. Parçanın ortasının koordinatlarını bulun. Bu sorunun çözümü şu şekildedir: noktanın istenen orta olmasına izin verin, sonra koordinatları vardır:

yani: parçanın ortasının koordinatları = parçanın uçlarının karşılık gelen koordinatlarının aritmetik ortalaması.

Bu kural çok basittir ve genellikle öğrenciler için zorluk yaratmaz. Bakalım hangi problemlerde ve nasıl kullanılıyor:

1. Kesimden-di-te veya-di-na-tu se-re-di-us, connect-nya-yu-th-th noktasından ve

2. Puanlar yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Dia-go-on-lei'sinin yeniden-se-che-niya'sının di-te veya-di-na-tu noktalarını bulun.

3. Dairenin merkezinin abs-cis-su'sunu bulun, dikdörtgenin yakınında san-noy'u tanımlayın-no-ka, üstler-shi-bir şey-ro-go-ko-veya-di- na-siz-ve-stvenno-ama.

Çözümler:

1. İlk görev sadece bir klasik. Segmentin orta noktasını belirleyerek hemen harekete geçiyoruz. Koordinatları var. Ordinat eşittir.

Yanıt vermek:

2. Verilen dörtgenin bir paralelkenar (hatta bir eşkenar dörtgen!) olduğunu görmek kolaydır. Kenar uzunluklarını hesaplayarak ve birbirleriyle karşılaştırarak bunu kendiniz kanıtlayabilirsiniz. Paralelkenar hakkında ne biliyorum? Köşegenleri kesişme noktası tarafından ikiye bölünmüştür! Aha! Öyleyse köşegenlerin kesişme noktası nedir? Bu köşegenlerden herhangi birinin ortasıdır! Özellikle köşegeni seçeceğim. O zaman noktanın koordinatları vardır.Noktanın ordinatı eşittir.

Yanıt vermek:

3. Dikdörtgenin çevrelediği dairenin merkezi nedir? Köşegenlerinin kesişme noktası ile çakışır. Bir dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsun? Eşittirler ve kesişme noktası ikiye bölünmüştür. Görev bir öncekine düşürüldü. Örneğin, köşegeni alın. O zaman, çevrelenmiş dairenin merkezi ise, o zaman ortasıdır. Koordinatları arıyorum: Apsis eşittir.

Yanıt vermek:

Şimdi biraz kendi başınıza pratik yapın, kendinizi kontrol edebilmeniz için sadece her sorunun cevabını vereceğim.

1. Nai-di-te ra-di-us daire-no-sti, tarif-san-noy üçgeninin yakınında-no-ka, birisi-ro-go'nun üstlerinde ko-or-di -hayır baylar var

2. Dairenin merkezini bulun veya bulun

3. Apsis eksenine değmesi için bir noktada merkezi olan bir daire nasıl bir ra-di-y-sa olmalıdır?

4. Eksenin yeniden-se-che-ing'inin o noktasında-di-te veya-di-on-kesiminden, connect-nya-yu-th-noktasından ve

Yanıtlar:

Her şey yoluna girdi mi? Bunu gerçekten umuyorum! Şimdi - son itme. Şimdi özellikle dikkatli olun. Şimdi açıklayacağım materyal, yalnızca basit görevler B bölümünden koordinat yöntemine, ancak C2 probleminde her yerde de meydana gelir.

Hangi sözlerimi henüz tutmadım? Vektörler üzerinde hangi işlemleri tanıtmaya söz verdiğimi ve sonunda hangilerini tanıttığımı hatırlıyor musunuz? Hiçbir şey unutmadığıma emin miyim? Unutmuş olmak! Vektörlerin çarpımının ne anlama geldiğini açıklamayı unuttum.

Bir vektörü bir vektörle çarpmanın iki yolu vardır. Seçilen yönteme bağlı olarak, farklı nitelikte nesneler elde edeceğiz:

Vektör ürünü oldukça zor. Nasıl yapılır ve neden gerekli olduğunu, bir sonraki makalede sizinle tartışacağız. Ve bunda skaler ürüne odaklanacağız.

Bunu hesaplamamıza izin veren iki yol var:

Tahmin ettiğiniz gibi, sonuç aynı olmalı! O halde önce ilk yola bakalım:

Koordinatlar aracılığıyla nokta çarpımı

Bul: - nokta çarpımı için ortak gösterim

Hesaplama formülü aşağıdaki gibidir:

Yani nokta çarpım = vektörlerin koordinatlarının çarpımlarının toplamı!

Örnek vermek:

Bul-dee-te

Çözüm:

Vektörlerin her birinin koordinatlarını bulun:

Skaler ürünü aşağıdaki formülle hesaplıyoruz:

Yanıt vermek:

Görüyorsun, kesinlikle karmaşık bir şey yok!

Peki, şimdi kendin dene:

Bul-di-te skaler-noe yanlısı-ve-de-nie yüzyıldan hendeğe ve

Becerebildin mi? Belki küçük bir numara fark etmiştir? Hadi kontrol edelim:

Vektör koordinatları, önceki görevde olduğu gibi! Yanıt vermek: .

Koordinata ek olarak, vektörlerin uzunlukları ve aralarındaki açının kosinüsü aracılığıyla skaler ürünü hesaplamanın başka bir yolu daha vardır:

ve vektörleri arasındaki açıyı belirtir.

Yani, skaler ürün, vektörlerin uzunluklarının ürününe ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.

Neden bu ikinci formüle ihtiyacımız var, eğer birincisine sahipsek, ki bu çok daha basit, en azından içinde kosinüs yok. Ve buna ihtiyacımız var, böylece birinci ve ikinci formüllerden vektörler arasındaki açıyı nasıl bulacağımızı çıkarabiliriz!

O zaman bir vektörün uzunluk formülünü hatırlayalım!

Sonra bu verileri nokta çarpım formülüne eklersem şunu elde ederim:

Ama başka bir şekilde:

Peki elimizde ne var? Artık iki vektör arasındaki açıyı hesaplamak için bir formülümüz var! Bazen, kısaca, şu şekilde de yazılır:

Yani, vektörler arasındaki açıyı hesaplama algoritması aşağıdaki gibidir:

1. Skaler ürünü koordinatlarla hesaplıyoruz
2. Vektörlerin uzunluklarını bulun ve çarpın
3. 1. noktanın sonucunu 2. noktanın sonucuna bölün

Örneklerle pratik yapalım:

1. Göz kapakları-ra-mi ve arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

2. Önceki problemin koşulları altında, vektörler arasındaki kosinüsü bulun.

Şunu yapalım: İlk problemi çözmene yardım edeceğim ve ikincisini kendin yapmaya çalışacağım! Kabul etmek? O zaman başlayalım!

1. Bu vektörler eski dostlarımızdır. Onların skaler çarpımını zaten düşündük ve bu eşitti. Koordinatları: , . Sonra uzunluklarını buluruz:

Sonra vektörler arasındaki kosinüsü arıyoruz:

açının kosinüsü nedir? Burası köşe.

Yanıt vermek:

Peki, şimdi ikinci sorunu kendin çöz ve sonra karşılaştır! Sadece çok kısa bir çözüm vereceğim:

2. koordinatları vardır, koordinatları vardır.

Vektörler arasındaki açı olsun ve sonra

Yanıt vermek:

B bölümündeki görevlerin doğrudan vektörler ve koordinat yöntemi ile ilgili olduğuna dikkat edilmelidir. sınav çalışması oldukça nadir. Bununla birlikte, C2 problemlerinin büyük çoğunluğu bir koordinat sistemi tanıtılarak kolayca çözülebilir. Bu makaleyi, temelinde çözmemiz gereken oldukça zor yapılar yapacağımız bir temel olarak düşünebilirsiniz. zorlu görevler.

KOORDİNATLAR VE VEKTÖRLER. ORTA DÜZEY

Sen ve ben koordinat yöntemini incelemeye devam ediyoruz. Son bölümde, aşağıdakilere izin veren bir dizi önemli formül türettik:

1. Vektör koordinatlarını bulun
2. Bir vektörün uzunluğunu bulun (alternatif olarak: iki nokta arasındaki mesafe)
3. Vektörleri ekleyin, çıkarın. Onları gerçek bir sayı ile çarpın
4. Bir segmentin orta noktasını bulun
5. Vektörlerin nokta çarpımını hesaplayın
6. Vektörler arasındaki açıyı bulun

Elbette tüm koordinat yöntemi bu 6 noktaya sığmaz. Üniversitede tanışacağınız analitik geometri gibi bir bilimin temelini oluşturur. Sadece sorunları tek bir eyalette çözmenize izin verecek bir temel oluşturmak istiyorum. sınav. B bölümünün görevlerini çözdük Şimdi niteliksel olarak yeni bir seviyeye geçme zamanı! Bu makale, koordinat yöntemine geçmenin makul olacağı bu C2 problemlerini çözme yöntemine ayrılacaktır. Bu makullük, problemde bulunması gereken ve verilen rakam tarafından belirlenir. Bu nedenle, sorular şuysa koordinat yöntemini kullanırdım:

1. İki düzlem arasındaki açıyı bulun
2. Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulun
3. İki çizgi arasındaki açıyı bulun
4. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulun
5. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulun
6. Düz bir çizgiden bir düzleme olan mesafeyi bulun
7. İki çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Problemin durumunda verilen şekil bir dönüş cismi ise (bilye, silindir, koni...)

Koordinat yöntemi için uygun rakamlar şunlardır:

1. küboid
2. Piramit (üçgen, dörtgen, altıgen)

ayrıca benim tecrübemde için koordinat yöntemini kullanmak uygun değildir.:

1. Bölümlerin alanlarını bulma
2. Vücut hacimlerinin hesaplanması

Bununla birlikte, koordinat yöntemi için üç “olumsuz” durumun pratikte oldukça nadir olduğu hemen belirtilmelidir. Çoğu görevde, özellikle üç boyutlu yapılarda (bazen oldukça karmaşık olan) çok güçlü değilseniz, kurtarıcınız olabilir.

Yukarıda listelediğim tüm rakamlar nelerdir? Artık kare, üçgen, daire gibi düz değil, hacimlidirler! Buna göre, iki boyutlu değil, üç boyutlu bir koordinat sistemi düşünmemiz gerekiyor. Oldukça kolay inşa edilir: Apsis ve koordinatlara ek olarak, başka bir eksen, uygulama ekseni tanıtacağız. Şekil, göreceli konumlarını şematik olarak göstermektedir:

Hepsi birbirine diktir, orijin diyeceğimiz bir noktada kesişir. Apsis ekseni, daha önce olduğu gibi, ordinat ekseni - ve tanıtılan uygulama ekseni - ile gösterilecektir.

Daha önce düzlemdeki her nokta iki sayı ile karakterize edildiyse - apsis ve ordinat, o zaman uzaydaki her nokta zaten üç sayı ile tanımlanır - apsis, ordinat, uygulama. Örneğin:

Buna göre noktanın apsisi eşittir, ordinat 'dir ve uygulama 'dir.

Bazen bir noktanın apsisi, noktanın apsis eksenine izdüşümü olarak da adlandırılır, ordinat noktanın y eksenine izdüşümüdür ve aplikasyon, noktanın aplikasyon eksenine izdüşümüdür. Buna göre, bir nokta verilirse, koordinatları olan bir nokta:

bir noktanın bir düzlem üzerine izdüşümü denir

bir noktanın bir düzlem üzerine izdüşümü denir

Doğal bir soru ortaya çıkıyor: iki boyutlu durum için türetilen tüm formüller uzayda geçerli mi? Cevap evet, onlar sadece ve aynı görünüme sahipler. Küçük bir detay için. Sanırım hangisi olduğunu zaten tahmin ettin. Tüm formüllerde, uygulama ekseninden sorumlu bir terim daha eklemek zorunda kalacağız. Yani.

1. İki nokta verilirse: , o zaman:

• Vektör koordinatları:
• İki nokta arasındaki mesafe (veya vektör uzunluğu)
• Segmentin ortasında koordinatlar var

2. İki vektör verilirse: ve, o zaman:

• Nokta çarpımı:
• Vektörler arasındaki açının kosinüsü:

Ancak, uzay o kadar basit değil. Anladığınız gibi, bir koordinatın daha eklenmesi, bu uzayda "yaşayan" figürlerin yelpazesinde önemli bir çeşitlilik getirir. Ve daha fazla anlatım için, kabaca konuşursak, düz çizginin bazı "genellemelerini" tanıtmam gerekiyor. Bu "genelleme" bir düzlem olacaktır. Uçak hakkında ne biliyorsun? Soruyu cevaplamaya çalışın, uçak nedir? Söylemesi çok zor. Ancak, hepimiz sezgisel olarak neye benzediğini hayal ederiz:

Kabaca söylemek gerekirse, bu bir tür sonsuz "yaprak" uzaya itilir. "Sonsuz", düzlemin her yöne uzandığı, yani alanının sonsuzluğa eşit olduğu anlaşılmalıdır. Ancak "parmaklardaki" bu açıklama, uçağın yapısı hakkında en ufak bir fikir vermemektedir. Ve onunla ilgileneceğiz.

Geometrinin temel aksiyomlarından birini hatırlayalım:

• Düz bir çizgi, bir düzlemde iki farklı noktadan geçer, ayrıca yalnızca bir noktadan geçer:

Veya uzaydaki analogu:

Elbette, verilen iki noktadan düz bir çizginin denklemini nasıl türeteceğinizi hatırlıyorsunuz, bu hiç de zor değil: ilk noktanın koordinatları varsa: ve ikincisi, o zaman düz çizginin denklemi aşağıdaki gibi olacaktır:

Bunu 7. sınıfta yaşadın. Uzayda, düz bir çizginin denklemi şöyle görünür: koordinatları olan iki noktamız olsun: , o zaman onlardan geçen düz bir çizginin denklemi şu şekilde olur:

Örneğin, bir çizgi noktalardan geçer:

Bu nasıl anlaşılmalı? Bu şu şekilde anlaşılmalıdır: koordinatları aşağıdaki sistemi sağlıyorsa bir nokta bir çizgi üzerindedir:

Düz bir çizginin denklemi ile pek ilgilenmeyeceğiz, ancak çok önemli bir düz çizginin yönlendirici vektörü kavramına dikkat etmemiz gerekiyor. - belirli bir doğru üzerinde veya ona paralel uzanan sıfır olmayan herhangi bir vektör.

Örneğin, her iki vektör de düz bir çizginin yön vektörleridir. Düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta olsun ve yönlendirici vektörü olsun. Daha sonra düz bir çizginin denklemi aşağıdaki biçimde yazılabilir:

Bir kez daha, düz bir çizginin denklemi ile pek ilgilenmeyeceğim, ancak bir yön vektörünün ne olduğunu hatırlamanıza gerçekten ihtiyacım var! Yine: bir doğru üzerinde veya ona paralel olan HERHANGİ sıfır olmayan bir vektördür.

Geri çekilmek bir düzlemin üç noktalı denklemi artık o kadar önemsiz değildir ve genellikle bu konu kursta dikkate alınmaz. lise. Ama boşuna! Bu teknik, karmaşık problemleri çözmek için koordinat yöntemine başvurduğumuzda hayati önem taşır. Ancak, yeni bir şey öğrenme arzusuyla dolu olduğunuzu varsayıyorum? Ayrıca, genellikle analitik geometri dersinde çalışılan tekniği nasıl kullanacağınızı zaten bildiğiniz ortaya çıktığında, üniversitedeki öğretmeninizi etkileyebileceksiniz. O halde başlayalım.

Bir düzlemin denklemi, bir düzlemdeki düz bir çizginin denkleminden çok farklı değildir, yani şu şekle sahiptir:

bazı sayılar (hepsi sıfıra eşit değildir), ancak değişkenler, örneğin: vb. Gördüğünüz gibi, bir düzlemin denklemi düz bir çizginin denkleminden (doğrusal fonksiyon) çok farklı değildir. Ancak, seninle ne tartıştığımızı hatırlıyor musun? Tek bir doğru üzerinde yer almayan üç noktamız varsa, o zaman düzlemin denklemi onlardan benzersiz bir şekilde geri yüklenir dedik. Ama nasıl? Sana açıklamaya çalışacağım.

Düzlem denklemi olduğundan:

Ve noktalar bu düzleme aittir, o zaman her noktanın koordinatlarını düzlemin denkleminde yerine koyarken, doğru kimliği elde etmeliyiz:

Bu nedenle, zaten bilinmeyenleri olan üç denklemi çözmeye ihtiyaç var! İkilem! Ancak, bunu her zaman varsayabiliriz (bunun için bölmemiz gerekir). Böylece, üç bilinmeyenli üç denklem elde ederiz:

Ancak böyle bir sistemi çözmeyeceğiz, ondan çıkan şifreli ifadeyi yazacağız:

Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi

\[\sol| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(dizi)) \sağ| = 0\]

Durmak! Bu başka nedir? Bazıları çok olağandışı modül! Ancak önünüzde gördüğünüz cismin modülle alakası yok. Bu nesneye üçüncü dereceden determinant denir. Şu andan itibaren, bir düzlemde koordinat yöntemiyle uğraşırken, sıklıkla bu belirleyicilerle karşılaşacaksınız. Üçüncü dereceden bir determinant nedir? İşin garibi, bu sadece bir sayı. Belirleyici ile hangi belirli sayıyı karşılaştıracağımızı anlamak için kalır.

Önce üçüncü dereceden determinantı daha genel bir biçimde yazalım:

Bazı sayılar nerede. Ayrıca, ilk dizin ile satır numarasını ve dizin ile - sütun numarasını kastediyoruz. Örneğin, verilen sayının ikinci satır ile üçüncü sütunun kesişim noktasında olduğu anlamına gelir. koyalım sonraki soru: Böyle bir determinantı tam olarak nasıl hesaplayacağız? Yani, hangi belirli sayı ile karşılaştıracağız? Kesin olarak üçüncü mertebenin determinantı için bir buluşsal (görsel) üçgen kuralı vardır, şöyle görünür:

1. Ana köşegenin elemanlarının çarpımı (sol üstten sağ alta) Birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ana köşegene "dik" ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı Ana köşegene "dik" diyagonal
2. İkincil köşegen elemanlarının çarpımı (sağ üstten sol alta) birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikinci köşegene "dik" ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikincil köşegen
3. Daha sonra determinant, adımda elde edilen değerler arasındaki farka eşittir ve

Tüm bunları sayılarla yazarsak, aşağıdaki ifadeyi alırız:

Bununla birlikte, bu formdaki hesaplama yöntemini ezberlemenize gerek yoktur, sadece üçgenleri kafanızda tutmanız ve neyin neye eklendiği ve neyin daha sonra neyin çıkarıldığı fikrini tutmanız yeterlidir).

Üçgen yöntemini bir örnekle açıklayalım:

1. Determinantı hesaplayın:

Ne eklediğimizi ve neyi çıkardığımızı bulalım:

"Artı" ile gelen terimler:

Bu ana köşegendir: elemanların çarpımı

İlk üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı

İkinci üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı

Üç sayı ekliyoruz:

"Eksi" ile gelen terimler

Bu bir yan köşegendir: elemanların çarpımı

Birinci üçgen, "ikincil köşegene dik: elemanların çarpımı

İkinci üçgen, "ikincil köşegene dik: elemanların çarpımı

Üç sayı ekliyoruz:

Geriye kalan tek şey, artı terimlerin toplamından eksi terimlerin toplamını çıkarmaktır:

Böylece,

Gördüğünüz gibi, üçüncü dereceden belirleyicilerin hesaplanmasında karmaşık ve doğaüstü hiçbir şey yoktur. Sadece üçgenleri hatırlamak ve aritmetik hatalar yapmamak önemlidir. Şimdi kendiniz hesaplamaya çalışın:

Kontrol ediyoruz:

1. Ana köşegene dik olan ilk üçgen:
2. Ana köşegene dik olan ikinci üçgen:
3. Artı terimlerin toplamı:
4. Kenar köşegenine dik olan ilk üçgen:
5. Yan köşegenine dik olan ikinci üçgen:
6. Eksi ile terimlerin toplamı:
7. Artı terimlerin toplamı eksi eksi terimlerin toplamı:

İşte size birkaç belirleyici daha, değerlerini kendiniz hesaplayın ve cevaplarla karşılaştırın:

Yanıtlar:

Peki, her şey uyumlu muydu? Harika, o zaman devam edebilirsin! Zorluklar varsa, o zaman benim tavsiyem şudur: İnternette determinantı çevrimiçi olarak hesaplamak için bir sürü program var. Tek ihtiyacınız olan kendi determinantınızı bulmak, bunu kendiniz hesaplamak ve sonra onu programın hesapladığıyla karşılaştırmak. Ve böylece sonuçlar eşleşmeye başlayana kadar. Bu anın gelmesi uzun sürmeyecek eminim!

Şimdi, verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denkleminden bahsettiğimde yazdığım determinanta dönelim:

Tek yapmanız gereken, değerini doğrudan (üçgen yöntemini kullanarak) hesaplamak ve sonucu sıfıra eşitlemek. Doğal olarak, değişkenler oldukları için onlara bağlı bazı ifadeler elde edeceksiniz. Bir doğru üzerinde yer almayan üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi bu ifade olacaktır!

Bunu basit bir örnekle açıklayalım:

1. Noktalardan geçen düzlemin denklemini kurunuz.

Bu üç nokta için bir determinant oluşturuyoruz:

Basitleştirme:

Şimdi doğrudan üçgen kuralına göre hesaplıyoruz:

\[(\left| (\begin(dizi)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(dizi)) \ sağ| = \left((x + 3) \sağ) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \sağ) + \left((y - 2) \sağ) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Böylece noktalardan geçen düzlemin denklemi şu şekildedir:

Şimdi bir sorunu kendiniz çözmeye çalışın, sonra onu tartışacağız:

2. Noktalardan geçen düzlemin denklemini bulunuz.

Peki, şimdi çözümü tartışalım:

Bir determinant yapıyoruz:

Ve değerini hesaplayın:

O zaman düzlemin denklemi şu şekildedir:

Veya azaltarak şunu elde ederiz:

Şimdi kendi kendini kontrol etmek için iki görev:

1. Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini oluşturun:

Yanıtlar:

Her şey eşleşti mi? Yine, bazı zorluklar varsa, o zaman benim tavsiyem şudur: kafanızdan üç puan alın (yüksek olasılıkla tek bir düz çizgide uzanmazlar), üzerlerine bir uçak inşa edin. Ve sonra çevrimiçi olarak kendinizi kontrol edin. Örneğin, sitede:

Ancak determinantların yardımıyla sadece düzlemin denklemini oluşturmayacağız. Unutma, sana vektörler için sadece nokta çarpım tanımlanmadığını söylemiştim. Karışık bir ürünün yanı sıra bir vektör de vardır. Ve eğer iki vektörün skaler çarpımı bir sayı olacaksa, o zaman iki vektörün vektör çarpımı bir vektör olacak ve bu vektör verilenlere dik olacaktır:

Ayrıca, modülü ve vektörleri üzerine inşa edilen paralelkenarın alanına eşit olacaktır. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak için bu vektöre ihtiyacımız olacak. Vektörlerin çapraz çarpımını nasıl hesaplayabiliriz ve eğer koordinatları verilirse? Üçüncü mertebenin determinantı yine yardımımıza geliyor. Ancak, çapraz çarpımı hesaplamak için algoritmaya geçmeden önce, küçük bir lirik arasöz yapmak zorundayım.

Bu digresyon, temel vektörlerle ilgilidir.

Şematik olarak şekilde gösterilmiştir:

Sizce neden temel olarak adlandırılıyorlar? Gerçek şu ki :

Veya resimde:

Bu formülün geçerliliği açıktır, çünkü:

vektör ürün

Şimdi çapraz ürünü tanıtmaya başlayabilirim:

İki vektörün vektör çarpımı, aşağıdaki kurala göre hesaplanan bir vektördür:

Şimdi çapraz çarpım hesaplamaya bazı örnekler verelim:

Örnek 1: Vektörlerin çapraz çarpımını bulun:

Çözüm: Bir determinant yapıyorum:

Ve hesaplıyorum:

Şimdi, temel vektörler aracılığıyla yazmaktan normal vektör gösterimine döneceğim:

Böylece:

Şimdi dene.

Hazır? Kontrol ediyoruz:

ve geleneksel olarak iki kontrol edilecek görevler:

1. Aşağıdaki vektörlerin çarpımını bulun:
2. Aşağıdaki vektörlerin çarpımını bulun:

Yanıtlar:

Üç vektörün karışık çarpımı

İhtiyacım olan son yapı, üç vektörün karışık çarpımı. Bir skaler gibi, bir sayıdır. Bunu hesaplamanın iki yolu vardır. - determinant aracılığıyla, - karışık ürün aracılığıyla.

Diyelim ki üç vektörümüz var:

Daha sonra ile gösterilen üç vektörün karışık ürünü şu şekilde hesaplanabilir:

1. - yani, karışık ürün bir vektörün skaler çarpımı ve diğer iki vektörün vektör çarpımıdır.

Örneğin, üç vektörün karışık ürünü:

Vektör çarpımını kullanarak kendiniz hesaplamaya çalışın ve sonuçların eşleştiğinden emin olun!

Ve yine - bağımsız bir karar için iki örnek:

Yanıtlar:

Koordinat sistemi seçimi

Pekala, şimdi geometrideki karmaşık stereometrik problemleri çözmek için gerekli tüm bilgi temeline sahibiz. Ancak, bunları çözmek için doğrudan örneklere ve algoritmalara geçmeden önce şu soru üzerinde durmanın faydalı olacağına inanıyorum: tam olarak nasıl? belirli bir şekil için bir koordinat sistemi seçin. Sonuçta, hesaplamaların ne kadar hantal olacağını nihai olarak belirleyecek olan koordinat sisteminin göreli konumunun ve uzaydaki şeklin seçimidir.

Bu bölümde aşağıdaki şekilleri düşündüğümüzü hatırlatırım:

1. küboid
2. Düz prizma (üçgen, altıgen…)
3. Piramit (üçgen, dörtgen)
4. Dörtyüzlü (üçgen piramit ile aynı)

Bir küboid veya küp için aşağıdaki yapıyı öneririm:

Yani, figürü “köşeye” yerleştireceğim. Küp ve kutu çok iyi rakamlar. Onlar için köşelerinin koordinatlarını her zaman kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, eğer (resimde gösterildiği gibi)

o zaman köşe koordinatları:

Tabii ki, bunu hatırlamanıza gerek yok, ancak bir küpün veya dikdörtgen bir kutunun en iyi nasıl yerleştirileceğini hatırlamak arzu edilir.

düz prizma

Prizma daha zararlı bir figürdür. Uzayda farklı şekillerde düzenleyebilirsiniz. Ancak, aşağıdakilerin en iyi seçenek olduğunu düşünüyorum:

Üçgen prizma:

Yani, üçgenin kenarlarından birini tamamen eksene koyarız ve köşelerden biri orijine denk gelir.

Altıgen prizma:

Yani, köşelerden biri orijine denk gelir ve kenarlardan biri eksen üzerinde bulunur.

Dörtgen ve altıgen piramit:

Küpe benzer bir durum: Tabanın iki tarafını koordinat eksenleriyle birleştiririz, köşelerden birini orijiyle birleştiririz. Tek küçük zorluk, noktanın koordinatlarını hesaplamak olacaktır.

Altıgen bir piramit için - altıgen bir prizma ile aynı. Ana görev yine tepe noktasının koordinatlarını bulmak olacaktır.

Dörtyüzlü (üçgen piramit)

Durum üçgen prizma için verdiğime çok benziyor: bir köşe orijine denk geliyor, bir taraf koordinat ekseninde yatıyor.

Pekala, şimdi sen ve ben nihayet sorunları çözmeye başladık. Makalenin en başında söylediklerimden şu sonucu çıkarabilirsiniz: C2 problemlerinin çoğu 2 kategoriye ayrılır: açı problemleri ve mesafe problemleri. İlk olarak, bir açı bulma problemlerini ele alacağız. Sırayla ayrılırlar aşağıdaki kategoriler(zorluk arttıkça):

Köşe bulma sorunları

1. İki doğru arasındaki açıyı bulma
2. İki düzlem arasındaki açıyı bulma

Bu sorunları sırayla ele alalım: iki düz çizgi arasındaki açıyı bularak başlayalım. Hadi ama hatırla, sen ve ben daha önce buna benzer örnekleri çözmüş müydük? Hatırlarsınız, çünkü zaten benzer bir şeyimiz vardı... İki vektör arasında bir açı arıyorduk. Size hatırlatırım, eğer iki vektör verilirse: ve aralarındaki açı bağıntıdan bulunur:

Şimdi bir hedefimiz var - iki düz çizgi arasındaki açıyı bulmak. "Düz resme" dönelim:

İki doğru kesiştiğinde kaç açı elde ederiz? Zaten şeyler. Doğru, sadece ikisi eşit değil, diğerleri ise onlara dikey (ve bu nedenle onlarla çakışıyor). Öyleyse iki düz çizgi arasındaki açıyı hangi açı olarak düşünmeliyiz: veya? İşte kural: iki düz çizgi arasındaki açı her zaman dereceden fazla değildir. Yani iki açıdan her zaman derece ölçüsü en küçük olan açıyı seçeceğiz. Yani bu resimde iki doğru arasındaki açı eşittir. Her seferinde iki açıdan en küçüğünü bulmakla uğraşmamak için kurnaz matematikçiler modülü kullanmayı önerdiler. Böylece, iki düz çizgi arasındaki açı şu formülle belirlenir:

Dikkatli bir okuyucu olarak sizin bir sorunuz olmalı: Aslında, bir açının kosinüsünü hesaplamak için ihtiyaç duyduğumuz bu sayıları nereden alıyoruz? Cevap: Onları doğruların yön vektörlerinden alacağız! Böylece, iki çizgi arasındaki açıyı bulma algoritması aşağıdaki gibidir:

1. Formül 1'i uyguluyoruz.

Veya daha ayrıntılı olarak:

1. İlk düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz
2. İkinci satırın yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz.
3. Skaler çarpımlarının modülünü hesaplayın
4. İlk vektörün uzunluğunu arıyoruz
5. İkinci vektörün uzunluğunu arıyoruz
6. 4. noktanın sonuçlarını 5. noktanın sonuçlarıyla çarpın
7. 3. noktanın sonucunu 6. noktanın sonucuna böleriz. Doğrular arasındaki açının kosinüsünü elde ederiz.
8. Eğer verilen sonuç açıyı doğru bir şekilde hesaplamanızı sağlar, onu arıyoruz
9. Aksi takdirde, arkkosinüs aracılığıyla yazarız

Pekala, şimdi görevlere geçme zamanı: İlk ikisinin çözümünü ayrıntılı olarak göstereceğim, diğerinin çözümünü aşağıda sunacağım. Özet, ve son iki problem için sadece cevap vereceğim, onlar için tüm hesaplamaları kendiniz yapmalısınız.

Görevler:

1. Sağ tet-ra-ed-re'de, tet-ra-ed-ra ile me-di-a-noy bo-ko-how tarafı arasındaki açıyı bulun.

2. Sağ ileri altı kömür-pi-ra-mi-de, yüz-ro-na-os-no-va-niya bir şekilde eşittir ve yan kaburgalar eşittir, düz arasındaki açıyı bulun çizgiler ve.

3. Sağ elini kullanan dört-sen-kömür-noy pi-ra-mi-dy'nin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Düz çizgiler arasındaki açıyı bulun ve pi-ra-mi-dy'den re-zok - sen-so-bu verilmişse, nokta onun bo-ko-th kaburgasında se-re-di-dir

4. Küpün kenarında bir noktadan-me-che-den düz çizgiler arasındaki açıyı bul-di-te ve

5. Nokta - se-re-di-küpün kenarlarında Nai-di-te düz çizgiler ve arasındaki açı.

Görevleri bu sıraya koymam tesadüf değil. Koordinat yönteminde gezinmeye başlamak için henüz zamanınız olmasa da, kendim en “sorunlu” rakamları analiz edeceğim ve sizi en basit küple uğraşmaya bırakacağım! Yavaş yavaş tüm rakamlarla nasıl çalışılacağını öğrenmelisin, konuların karmaşıklığını konudan konuya artıracağım.

Sorunları çözmeye başlayalım:

1. Bir tetrahedron çizin, daha önce önerdiğim gibi koordinat sistemine yerleştirin. Tetrahedron düzenli olduğundan, tüm yüzleri (taban dahil) düzgün üçgenlerdir. Kenarın uzunluğu bize verilmediği için eşit alabilirim. Sanırım açının gerçekten tetrahedronumuzun ne kadar "gerileceğine" bağlı olmayacağını anlıyorsunuz? Ayrıca tetrahedrondaki yüksekliği ve medyanı çizeceğim. Yol boyunca tabanını çizeceğim (bizim için de kullanışlı olacak).

ve arasındaki açıyı bulmam gerekiyor. Biz ne biliyoruz? Sadece noktanın koordinatını biliyoruz. Yani, noktaların daha fazla koordinatını bulmamız gerekiyor. Şimdi düşünüyoruz: bir nokta, bir üçgenin yüksekliklerinin (veya açıortaylarının veya medyanlarının) kesişme noktasıdır. Nokta yükseltilmiş bir noktadır. Nokta, segmentin orta noktasıdır. O zaman nihayet bulmamız gerekiyor: noktaların koordinatları: .

En basitinden başlayalım: nokta koordinatları. Şekle bakın: Bir noktanın uygulamasının sıfıra eşit olduğu açıktır (nokta bir düzlem üzerindedir). Ordinatı eşittir (çünkü ortancadır). Onun apsisini bulmak daha zordur. Ancak bu, Pisagor teoremi temelinde kolayca yapılabilir: Bir üçgen düşünün. Hipotenüsü eşittir ve bacaklardan biri eşittir O zaman:

Sonunda elimizde:

Şimdi noktanın koordinatlarını bulalım. Aplikasyonunun yine sıfıra eşit olduğu ve ordinatının bir noktanınkiyle aynı olduğu açıktır, yani. Onun apsisini bulalım. Bunu hatırlarsanız, bu oldukça önemsiz bir şekilde yapılır. bir eşkenar üçgenin yükseklikleri, orantıdaki kesişme noktasına bölünür tepeden saymak. Çünkü:, o zaman, parçanın uzunluğuna eşit olan noktanın istenen apsisi, şuna eşittir:. Böylece, noktanın koordinatları:

Noktanın koordinatlarını bulalım. Apsis ve ordinatının noktanın apsisi ve ordinatıyla örtüştüğü açıktır. Ve aplike, segmentin uzunluğuna eşittir. - bu üçgenin bacaklarından biri. Bir üçgenin hipotenüsü bir segmenttir - bir bacak. Kalın harflerle vurguladığım sebepler aranıyor:

Nokta, segmentin orta noktasıdır. O zaman segmentin ortasının koordinatları için formülü hatırlamamız gerekiyor:

İşte bu, şimdi yön vektörlerinin koordinatlarını arayabiliriz:

Her şey hazır: tüm verileri formüle yerleştiriyoruz:

Böylece,

Yanıt vermek:

Bu tür "korkunç" yanıtlardan korkmamalısınız: C2 sorunları için bu yaygın bir uygulamadır. Bu bölümdeki "güzel" cevaba şaşırmayı tercih ederim. Ayrıca, belirttiğiniz gibi, pratikte Pisagor teoremi ve bir eşkenar üçgenin yüksekliklerinin özelliğinden başka bir şeye başvurmadım. Yani, stereometrik sorunu çözmek için en düşük stereometriyi kullandım. Buradaki kazanç, oldukça hantal hesaplamalarla kısmen "söndü". Ama oldukça algoritmikler!

2. Koordinat sistemi ve tabanıyla birlikte düzenli bir altıgen piramit çizin:

Çizgiler arasındaki açıyı bulmamız gerekiyor ve. Böylece, görevimiz noktaların koordinatlarını bulmaya indirgenir: . Küçük çizimden son üçün koordinatlarını bulacağız ve noktanın koordinatı üzerinden tepenin koordinatını bulacağız. Çok iş var ama başlamam gerek!

a) Koordinat: Aplikasyonu ve ordinatının sıfır olduğu açıktır. Absisi bulalım. Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün. Ne yazık ki, içinde sadece eşit olan hipotenüsü biliyoruz. Bacağı bulmaya çalışacağız (çünkü bacağın iki katının bize noktanın apsisini vereceği açıktır). Onu nasıl arayabiliriz? Piramidin tabanında nasıl bir figürümüz olduğunu hatırlayalım mı? Bu normal bir altıgen. Bunun anlamı ne? Bu, tüm kenarların ve tüm açıların eşit olduğu anlamına gelir. Böyle bir köşe bulmalıyız. Herhangi bir fikir? Birçok fikir var, ancak bir formül var:

Düzgün bir n-genin açılarının toplamı .

Yani düzgün altıgenin açıları toplamı derecedir. O zaman açıların her biri şuna eşittir:

Şimdi resme tekrar bakalım. Segmentin açının açıortay olduğu açıktır. O zaman açı derecedir. O zamanlar:

Sonra nereye.

yani koordinatları var

b) Şimdi noktanın koordinatını kolayca bulabiliriz: .

c) Noktanın koordinatlarını bulunuz. Apsisi segmentin uzunluğuna denk geldiği için eşittir. Ordinatı bulmak da çok zor değil: noktaları birleştirirsek ve çizginin kesişme noktasını belirtirsek, diyelim ki için. (kendin yap basit inşaat). O halde B noktasının ordinatı, doğru parçalarının uzunluklarının toplamına eşittir. Şimdi üçgene tekrar bakalım. O zamanlar

O zamandan beri noktanın koordinatları var

d) Şimdi noktanın koordinatlarını bulun. Bir dikdörtgen düşünün ve bunu kanıtlayın. Böylece, noktanın koordinatları:

e) Köşenin koordinatlarını bulmak için kalır. Apsis ve ordinatının noktanın apsisi ve ordinatıyla örtüştüğü açıktır. Bir uygulama bulalım. O zamandan beri. Bir dik üçgen düşünün. Sorunun durumuna göre, yan kenar. Bu benim üçgenimin hipotenüsü. O zaman piramidin yüksekliği bacaktır.

O zaman noktanın koordinatları vardır:

İşte bu, ilgimi çeken tüm noktaların koordinatlarına sahibim. Düz çizgilerin yönlendirici vektörlerinin koordinatlarını arıyorum:

Bu vektörler arasındaki açıyı arıyoruz:

Yanıt vermek:

Yine, bu problemi çözerken, normal bir n-genin açılarının toplamı formülü ve bir dik üçgenin kosinüs ve sinüsünün tanımı dışında herhangi bir karmaşık numara kullanmadım.

3. Piramidin kenarlarının uzunlukları yine bize verilmediği için onları bire eşit sayacağım. Böylece, sadece yanlar değil, TÜM kenarlar birbirine eşit olduğundan, piramidin tabanında ve ben bir kare bulunur ve yan yüzler düzgün üçgenlerdir. Problem metninde verilen tüm verileri işaretleyerek böyle bir piramidin yanı sıra bir düzlemdeki tabanını gösterelim:

ve arasındaki açıyı arıyoruz. Noktaların koordinatlarını ararken çok kısa hesaplar yapacağım. Bunları "şifresini çözmeniz" gerekecek:

b) - segmentin ortası. Koordinatları:

c) Bir üçgende Pisagor teoremini kullanarak doğru parçasının uzunluğunu bulacağım. Pisagor teoremiyle bir üçgende bulacağım.

Koordinatlar:

d) - segmentin ortası. Koordinatları

e) Vektör koordinatları

f) Vektör koordinatları

g) Bir açı aramak:

Küp en basit şekildir. Eminim kendi başına çözebilirsin. 4. ve 5. soruların cevapları aşağıdaki gibidir:

Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulma

Eh, basit bulmacaların zamanı bitti! Şimdi örnekler daha da zor olacak. Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulmak için aşağıdaki gibi ilerleyeceğiz:

1. Üç nokta kullanarak düzlemin denklemini oluşturuyoruz
   ,
   üçüncü dereceden bir determinant kullanarak.
2. İki nokta ile düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarını arıyoruz:
3. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı hesaplamak için formülü uygularız:

Gördüğünüz gibi, bu formül iki doğru arasındaki açıları bulmak için kullandığımız formüle çok benziyor. Sağ tarafın yapısı tamamen aynıdır ve solda şimdi eskisi gibi bir kosinüs değil, bir sinüs arıyoruz. Pekala, kötü bir eylem eklendi - uçağın denkleminin aranması.

rafa kaldırmayalım çözme örnekleri:

1. Os-no-va-ni-em düz-benim ödülüm-biz-la-et-xia eşit-ama-fakir-ren-ny üçgeni-sizi-bu-ödül-biz-eşitiz. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun

2. Batı Nai-di-te'den dikdörtgen bir pa-ral-le-le-pi-pe-de'de düz çizgi ile düzlem arasındaki açı

3. Sağ elini kullanan altı kömürlü prizmada tüm kenarlar eşittir. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

4. Sağ üçgen pi-ra-mi-de, kaburganın batısından os-but-va-ni-em ile Nai-di-te açısı, os'nin ob-ra-zo-van -ny düzlemi -no-va-niya ve düz-my, kaburgaların se-re-di-na'sından geçerek ve

5. Sağdaki dörtgen pi-ra-mi-dy'nin üst kısmı ile tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Nokta pi-ra-mi-dy'nin bo-ko-in-inci kenarında se-re-di- ise, düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

Yine ilk iki problemi detaylı, üçüncüsünü kısaca çözeceğim ve son ikisini kendi başınıza çözmeniz için size bırakıyorum. Ek olarak, zaten üçgen ve dörtgen piramitler ile uğraşmak zorunda kaldınız, ancak henüz prizmalarla uğraşmadınız.

Çözümler:

1. Tabanının yanı sıra bir prizma çizin. Bunu koordinat sistemi ile birleştirelim ve problem ifadesinde verilen tüm verileri işaretleyelim:

Bazı oranlara uyulmadığı için özür dilerim, ancak sorunu çözmek için bu aslında o kadar önemli değil. Uçak sadece " arka duvar» benim prizma. Böyle bir düzlemin denkleminin şu şekilde olduğunu tahmin etmek yeterlidir:

Ancak, bu doğrudan da gösterilebilir:

Bu düzlemde rastgele üç nokta seçiyoruz: örneğin, .

Düzlemin denklemini yapalım:

Sizin için egzersiz yapın: Bu determinantı kendiniz hesaplayın. Başardın mı? O zaman düzlemin denklemi şu şekildedir:

Ya da sadece

Böylece,

Örneği çözmek için doğrunun yönlendirici vektörünün koordinatlarını bulmam gerekiyor. Nokta orijin ile çakıştığı için vektörün koordinatları basitçe noktanın koordinatlarıyla çakışacaktır.Bunu yapmak için önce noktanın koordinatlarını buluyoruz.

Bunu yapmak için bir üçgen düşünün. Yukarıdan bir yükseklik çizelim (aynı zamanda bir medyan ve bir açıortaydır). O zamandan beri, noktanın ordinatı eşittir. Bu noktanın apsisini bulmak için doğru parçasının uzunluğunu hesaplamamız gerekir. Pisagor teoremi ile elimizde:

O zaman noktanın koordinatları vardır:

Nokta, noktadaki "yükseltilmiş" bir noktadır:

Sonra vektörün koordinatları:

Yanıt vermek:

Gördüğünüz gibi, bu tür sorunları çözmede temelde zor bir şey yoktur. Aslında prizma gibi bir figürün “düzlüğü” süreci biraz daha kolaylaştırıyor. Şimdi bir sonraki örneğe geçelim:

2. Paralel uçlu bir çizgi çiziyoruz, içine bir düzlem ve düz bir çizgi çiziyoruz ve ayrıca alt tabanını ayrı ayrı çiziyoruz:

İlk olarak, düzlemin denklemini buluyoruz: İçinde yatan üç noktanın koordinatları:

(ilk iki koordinat bariz bir şekilde elde edilir ve noktadan son koordinatı resimden kolayca bulabilirsiniz). Sonra düzlemin denklemini oluştururuz:

Hesaplıyoruz:

Yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz: Koordinatlarının noktanın koordinatlarıyla çakıştığı açık değil mi? Koordinatlar nasıl bulunur? Bunlar, aplikasyon ekseni boyunca birer birer yükseltilmiş noktanın koordinatlarıdır! . Sonra istenen açıyı arıyoruz:

Yanıt vermek:

3. Düzenli bir altıgen piramit çizin ve ardından içine bir düzlem ve düz bir çizgi çizin.

Burada bir düzlem çizmek bile sorunlu, bu sorunun çözümünden bahsetmiyorum bile, ancak koordinat yönteminin umurunda değil! Ana avantajı çok yönlülüğünde yatmaktadır!

Uçak üç noktadan geçer: . Koordinatlarını arıyoruz:

1) . Son iki noktanın koordinatlarını kendiniz görüntüleyin. Bunun için altıgen bir piramit ile problemi çözmeniz gerekecek!

2) Uçağın denklemini oluşturuyoruz:

Vektörün koordinatlarını arıyoruz: . (Üçgen piramit problemine tekrar bakın!)

3) Bir açı arıyoruz:

Yanıt vermek:

Gördüğünüz gibi, bu görevlerde doğaüstü zor bir şey yok. Sadece köklere çok dikkat etmeniz gerekiyor. Son iki soruna sadece cevap vereceğim:

Gördüğünüz gibi, problem çözme tekniği her yerde aynıdır: asıl görev, köşelerin koordinatlarını bulmak ve bunları bazı formüllerde değiştirmek. Geriye, açıları hesaplamak için bir başka problem sınıfını düşünmek kalıyor, yani:

İki düzlem arasındaki açıları hesaplama

Çözüm algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Üç nokta için birinci düzlemin denklemini arıyoruz:
2. Diğer üç nokta için ikinci düzlemin denklemini arıyoruz:
3. Formülü uyguluyoruz:

Gördüğünüz gibi, formül, düz çizgiler arasında ve düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıları aradığımız önceki ikisine çok benzer. Bu yüzden bunu hatırlamak sizin için zor olmayacak. Hemen soruna geçelim:

1. Yüz-ro-sağ üçgen prizma temelinde eşittir ve yan yüzün köşegeni eşittir. Ödül tabanının düzlemi ile düzlemi arasındaki açıyı bulun.

2. Sağda dört-sen-kömür-noy pi-ra-mi-de, birinin tüm kenarları eşittir, düzlem ile Ko-Stu düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun, içinden geçen başına-pen-di-ku-lyar-ama düz-benim noktası.

3. Düzenli bir dört kömürlü prizmada, tabanların kenarları eşittir ve yan kenarlar eşittir. Kenarda-me-che-noktasına öyle ki. Düzlemler arasındaki açıyı bulun ve

4. Sağdaki dörtgen prizmada tabanların kenarları eşittir ve yan kenarlar eşittir. Kenarda-me-che-bir noktaya yani düzlemler arasındaki açıyı bulun ve.

5. Küpte, düzlemler arasındaki açının ko-si-nus'unu bulun ve

Sorun çözümleri:

1. Düzenli (tabanda - bir eşkenar üçgen) üçgen prizma çiziyorum ve üzerinde problem durumunda görünen düzlemleri işaretliyorum:

İki düzlemin denklemlerini bulmamız gerekiyor: Temel denklem önemsiz bir şekilde elde edilir: karşılık gelen determinantı üç nokta için yapabilirsiniz, ancak denklemi hemen yapacağım:

Şimdi noktanın koordinatları olan denklemi bulalım Nokta - Ortanca ve üçgenin yüksekliği olduğundan, bir üçgende Pisagor teoremi ile bulmak kolaydır. O zaman noktanın koordinatları vardır: Noktanın uygulamasını bulun Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün

Sonra aşağıdaki koordinatları elde ederiz: Düzlemin denklemini oluşturuyoruz.

Uçaklar arasındaki açıyı hesaplıyoruz:

Yanıt vermek:

2. Çizim yapmak:

En zor şey, bir noktadan dik olarak geçen, nasıl bir gizemli düzlem olduğunu anlamaktır. Peki, asıl mesele nedir? Ana şey dikkat! Doğrusu, çizgi diktir. Çizgi de diktir. Daha sonra bu iki çizgiden geçen düzlem çizgiye dik olacak ve bu arada noktadan geçecektir. Bu uçak aynı zamanda piramidin tepesinden de geçer. Sonra istenen uçak - Ve uçak zaten bize verildi. Noktaların koordinatlarını arıyoruz.

Noktadan geçen noktanın koordinatını buluruz. Küçük bir çizimden, noktanın koordinatlarının aşağıdaki gibi olacağı sonucunu çıkarmak kolaydır: Piramidin tepesinin koordinatlarını bulmak için şimdi bulunacak ne kaldı? Hala yüksekliğini hesaplamanız gerekiyor. Bu, aynı Pisagor teoremi kullanılarak yapılır: ilk önce, bunu kanıtlayın (önemsiz bir şekilde, tabanda bir kare oluşturan küçük üçgenlerden). Koşul gereği, elimizde:

Artık her şey hazır: köşe koordinatları:

Uçağın denklemini oluşturuyoruz:

Belirleyicileri hesaplama konusunda zaten bir uzmansınız. Kolayca alacaksınız:

Veya aksi halde (eğer iki parçayı da ikinin köküyle çarparsak)

Şimdi düzlemin denklemini bulalım:

(Uçağın denklemini nasıl elde ettiğimizi unutmadın, değil mi? Bu eksi birin nereden geldiğini anlamadıysan, o zaman düzlemin denkleminin tanımına geri dön! Hep ondan önce çıktı. uçağımın orijine ait olduğunu!)

Determinantı hesaplıyoruz:

(Uçağın denkleminin noktalardan geçen doğrunun denklemiyle çakıştığını fark etmişsinizdir ve! Nedenini bir düşünün!)

Şimdi açıyı hesaplıyoruz:

Sinüs'ü bulmamız gerekiyor:

Yanıt vermek:

3. Zor bir soru: Dikdörtgen prizma nedir, ne düşünüyorsunuz? Bu sadece sizin için iyi bilinen bir paralelyüz! Hemen çiz! Tabanı ayrı ayrı tasvir bile edemezsiniz, burada çok az kullanımı vardır:

Uçak, daha önce belirttiğimiz gibi bir denklem olarak yazılır:

Şimdi bir uçak yapıyoruz

Hemen uçağın denklemini oluşturuyoruz:

bir açı arıyorum

Şimdi son iki sorunun cevapları:

Pekala, şimdi ara verme zamanı, çünkü sen ve ben harikayız ve harika bir iş çıkardık!

Koordinatlar ve vektörler. İleri düzey

Bu yazıda, koordinat yöntemi kullanılarak çözülebilecek başka bir problem sınıfını sizinle tartışacağız: uzaklık problemleri. Yani, dikkate alacağız aşağıdaki durumlar:

1. Eğri çizgiler arasındaki mesafeyi hesaplama.

Verilen görevleri karmaşıklıkları arttıkça sıraladım. En kolayı bulmak noktadan düzleme uzaklık ve en zor kısmı bulmak kesişen çizgiler arasındaki mesafe. Tabii ki, hiçbir şey imkansız olmasa da! Ertelemeyelim ve hemen birinci sınıf problemlerin değerlendirmesine geçelim:

Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplama

Bu sorunu çözmek için neye ihtiyacımız var?

1. Nokta koordinatları

Bu nedenle, gerekli tüm verileri alır almaz formülü uygularız:

Son bölümde analiz ettiğim önceki problemlerden uçağın denklemini nasıl oluşturduğumuzu zaten biliyor olmalısınız. Hemen işe başlayalım. Şema şu şekildedir: 1, 2 - Karar vermenize yardımcı oluyorum ve biraz ayrıntılı olarak, 3, 4 - sadece cevap, kararı kendiniz veriyorsunuz ve karşılaştırıyorsunuz. Başladı!

Görevler:

1. Bir küp verildi. Küpün kenar uzunluğu Kesimden düze se-re-di-ny'den bul-te mesafesi

2. Sağ-vil-naya verilen dört-sen-rekh-kömür-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe kenar yüz-ro-on os-no-van-nia eşittir. Bir noktadan bir düzleme olan bu mesafeleri bulun - burada - kenarlarda yeniden-di.

3. Os-but-va-ni-em ile sağ üçgen pi-ra-mi-de'de, diğer kenar eşittir ve yüz-ro-on os-no-vaniya eşittir. Tepeden düzleme olan mesafeleri bulun.

4. Sağ elini kullanan altı kömürlü prizmada tüm kenarlar eşittir. Bir noktadan bir düzleme olan uzaklıkları bulun.

Çözümler:

1. Tek kenarlı bir küp çizin, bir parça ve bir düzlem oluşturun, parçanın ortasını harfle belirtin

.

İlk önce kolay olanla başlayalım: bir noktanın koordinatlarını bulun. O zamandan beri (parçanın ortasının koordinatlarını hatırla!)

Şimdi uçağın denklemini üç noktada oluşturuyoruz

\[\sol| (\begin(dizi)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(dizi)) \sağ| = 0\]

Şimdi mesafeyi bulmaya başlayabilirim:

2. Tüm verileri işaretlediğimiz bir çizimle tekrar başlıyoruz!

Bir piramit için tabanını ayrı ayrı çizmek faydalı olacaktır.

Tavuk pençesi gibi çizmem bile bu sorunu kolayca çözmemize engel olmayacak!

Artık bir noktanın koordinatlarını bulmak çok kolay

Noktanın koordinatları olduğundan

2. a noktasının koordinatları doğru parçasının ortası olduğuna göre

Düzlemde iki noktanın daha koordinatlarını kolayca bulabiliriz, düzlemin denklemini oluşturur ve sadeleştiririz:

\[\sol| (\left| (\begin(dizi)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(dizi)) \sağ|) \sağ| = 0\]

Noktanın koordinatları: olduğundan, mesafeyi hesaplarız:

Cevap (çok nadir!):

Peki anladın mı? Bana öyle geliyor ki, buradaki her şey, önceki bölümde sizinle birlikte ele aldığımız örneklerdeki kadar teknik. Bu nedenle, bu materyalde ustalaştıysanız, kalan iki sorunu çözmenizin zor olmayacağından eminim. Sadece cevapları vereceğim:

Bir Doğrudan Bir Düzleme Mesafeyi Hesaplama

Aslında burada yeni bir şey yok. Bir doğru ve bir düzlem birbirine göre nasıl yerleştirilebilir? Tüm olanaklara sahipler: kesişmek veya düz bir çizgi düzleme paralel. Sizce doğrunun, verilen doğrunun kesiştiği düzleme olan uzaklığı nedir? Bana öyle geliyor ki, böyle bir mesafenin sıfıra eşit olduğu açık. İlginç bir durum.

İkinci durum daha zor: burada mesafe zaten sıfır değil. Ancak doğru düzleme paralel olduğundan, doğrunun her noktası bu düzlemden eşit uzaklıktadır:

Böylece:

Ve bu, görevimin bir öncekine indirgendiği anlamına geliyor: çizgideki herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz, düzlemin denklemini arıyoruz, noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplıyoruz. Aslında, sınavdaki bu tür görevler son derece nadirdir. Sadece bir sorun bulmayı başardım ve içindeki veriler öyleydi ki koordinat yöntemi ona pek uygulanabilir değildi!

Şimdi diğerine geçelim, çok daha fazlası önemli sınıf görevler:

Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığını Hesaplama

Neye ihtiyacımız olacak?

1. Uzaklığı aradığımız noktanın koordinatları:

2. Düz bir çizgi üzerinde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları

3. Düz doğrunun yön vektör koordinatları

Hangi formülü kullanıyoruz?

Bu kesrin paydası sizin için ne anlama geliyor ve bu yüzden açık olmalı: bu, doğrunun yönlendirici vektörünün uzunluğudur. İşte çok zor bir numara! İfade, vektörlerin vektör ürününün modülü (uzunluğu) anlamına gelir ve çalışmanın önceki bölümünde incelediğimiz vektör ürünü nasıl hesaplanır. Bilginizi tazeleyin, şimdi bizim için çok faydalı olacak!

Böylece, problem çözme algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Uzaklığı aradığımız noktanın koordinatlarını arıyoruz:

2. Mesafeyi aradığımız doğru üzerinde herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz:

3. Bir vektör oluşturma

4. Düz çizginin yön vektörünü oluşturuyoruz

5. Çapraz çarpımı hesaplayın

6. Elde edilen vektörün uzunluğunu arıyoruz:

7. Mesafeyi hesaplayın:

Çok işimiz var ve örnekler oldukça karmaşık olacak! O halde şimdi tüm dikkatinizi odaklayın!

1. Dana, tepe noktası olan sağ elini kullanan bir üçgen pi-ra-mi-da'dır. Yüz-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy eşittir, sen-so-ta eşittir. Bo-ko-th kenarının se-re-di-ny'sinden düz çizgiye kadar olan mesafeleri bulun-di- bu mesafeler ve noktaların ve kaburgaların yeniden-di-ny'si olduğu -stven-ama.

2. Kaburgaların uzunlukları ve dik açı-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sırasıyla eşittir ve top-shi-ny'den düz-my'ye Find-di-te mesafesi

3. Sağ altı-kömür prizmasında, bir sürünün tüm kenarları, bir noktadan düz bir çizgiye olan uzaklığı bul-di-eşittir

Çözümler:

1. Tüm verileri işaretlediğimiz temiz bir çizim yapıyoruz:

Senin için çok işimiz var! Öncelikle neyi ve hangi sırayla arayacağımızı kelimelerle açıklamak istiyorum:

1. Noktaların koordinatları ve

2. Nokta koordinatları

3. Noktaların koordinatları ve

4. Vektörlerin koordinatları ve

5. Çapraz çarpımı

6. Vektör uzunluğu

7. Vektör ürününün uzunluğu

8. Uzaklık

Pekala, yapacak çok işimiz var! Haydi kolları sıvayalım!

1. Piramidin yüksekliğinin koordinatlarını bulmak için noktanın koordinatlarını bilmemiz gerekir, uygulaması sıfırdır ve ordinat apsisine eşittir. Sonunda koordinatları aldık:

nokta koordinatları

2. - segmentin ortası

3. - segmentin ortası

orta nokta

4. Koordinatlar

vektör koordinatları

5. Vektör çarpımını hesaplayın:

6. Vektörün uzunluğu: en kolay yol, parçayı üçgenin orta çizgisi, yani tabanın yarısına eşit olacak şekilde değiştirmektir. Böyle.

7. Vektör ürününün uzunluğunu dikkate alıyoruz:

8. Son olarak, mesafeyi bulun:

Vay, hepsi bu! Dürüst olmak gerekirse, size söyleyeceğim: Bu sorunu geleneksel yöntemlerle (yapılar yoluyla) çözmek çok daha hızlı olacaktır. Ama burada her şeyi hazır bir algoritmaya indirdim! Çözüm algoritmasının sizin için açık olduğunu düşünüyorum? Bu nedenle, kalan iki sorunu kendi başınıza çözmenizi isteyeceğim. Cevapları karşılaştır?

Yine tekrar ediyorum: Bu sorunları, koordinat yöntemine başvurmak yerine yapılar aracılığıyla çözmek daha kolay (daha hızlı). Bu çözüm yolunu sadece size “hiçbir şeyi bitirmemenize” izin veren evrensel bir yöntem göstermek için gösterdim.

Son olarak, son problem sınıfını düşünün:

Eğri çizgiler arasındaki mesafeyi hesaplama

Burada problem çözme algoritması öncekine benzer olacaktır. Neyimiz var:

3. Birinci ve ikinci çizgilerin noktalarını birleştiren herhangi bir vektör:

Çizgiler arasındaki mesafeyi nasıl buluruz?

Formül:

Pay, karışık ürünün modülüdür (önceki bölümde tanıttık) ve payda - önceki formülde olduğu gibi (çizgilerin yönlendirici vektörlerinin vektör ürününün modülü, aradığımız mesafe için).

sana bunu hatırlatacağım

sonra uzaklık formülü şu şekilde yeniden yazılabilir::

Bu determinantı determinanta bölün! Dürüst olmak gerekirse, burada şaka havamda değilim! Bu formül aslında çok hantaldır ve oldukça karmaşık hesaplamalara yol açar. Yerinde olsam bunu sadece son çare olarak kullanırdım!

Yukarıdaki yöntemi kullanarak birkaç sorunu çözmeye çalışalım:

1. Sağ üçgen prizmada, tüm kenarlar bir şekilde eşittir, düz çizgiler ve arasındaki mesafeyi bulun.

2. Sağ ön şekilli bir üçgen prizma verildiğinde, birinin os-no-va-niya'sının tüm kenarları Se-che-tion'a eşittir, diğer kaburgadan geçer ve se-re-di-nu kaburgaları yav-la-et-sya square-ra-tom. Düz-we-mi ve arasinda dis-sto-I-nie bul

İlkine ben karar veririm ve ona göre ikincisine sen karar verirsin!

1. Bir prizma çiziyorum ve çizgileri işaretliyorum ve

C noktası koordinatları: sonra

nokta koordinatları

vektör koordinatları

nokta koordinatları

vektör koordinatları

vektör koordinatları

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \sağ) = \left| (\begin(dizi)(*(20)(l))(\begin(dizi)(*(20)(c))0&1&0\end(dizi))\\(\begin(dizi)(*(20) (c))0&0&1\end(dizi))\\(\begin(dizi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(dizi))\end(dizi)) \sağ| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vektörler arasındaki çapraz ürünü dikkate alıyoruz ve

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(dizi)(l)\begin(dizi)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(dizi)\\\begin(dizi )(*(20)(c))0&0&1\end(dizi)\\\begin(dizi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(dizi)\end(dizi) \sağ| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Şimdi uzunluğunu düşünüyoruz:

Yanıt vermek:

Şimdi ikinci görevi dikkatlice tamamlamaya çalışın. Buna verilecek cevap:.

Koordinatlar ve vektörler. Kısa açıklama ve temel formüller

Bir vektör, yönlendirilmiş bir segmenttir. - vektörün başlangıcı, - vektörün sonu.
Vektör veya ile gösterilir.

Mutlak değer vektör - vektörü temsil eden parçanın uzunluğu. olarak belirlenmiştir.

Vektör koordinatları:

,
\displaystyle a vektörünün uçları nerede?

Vektörlerin toplamı: .

Vektörlerin çarpımı:

Vektörlerin nokta çarpımı:

Bu materyal çerçevesinde, bir düz çizgi üzerinde olmayan üç farklı noktasının koordinatlarını biliyorsak, bir düzlemin denklemini nasıl bulacağımızı analiz edeceğiz. Bunu yapmak için, üç boyutlu uzayda dikdörtgen koordinat sisteminin ne olduğunu hatırlamamız gerekir. İlk olarak, bu denklemin temel prensibini tanıtacağız ve belirli problemlerin çözümünde nasıl kullanılacağını göstereceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Başlangıç ​​olarak, kulağa şöyle gelen bir aksiyomu hatırlamamız gerekiyor:

tanım 1

Üç nokta birbiriyle örtüşmüyorsa ve bir düz çizgi üzerinde uzanmıyorsa, üç boyutlu uzayda bunlardan yalnızca bir düzlem geçer.

Başka bir deyişle, koordinatları çakışmayan ve bir doğru ile birleştirilemeyen üç farklı noktamız varsa, içinden geçen düzlemi belirleyebiliriz.

Diyelim ki dikdörtgen bir koordinat sistemimiz var. O x y z ile gösterelim. Düz bağlanamayan M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) koordinatlarına sahip üç M noktası içerir. astar. Bu koşullara dayanarak, ihtiyacımız olan düzlemin denklemini yazabiliriz. Bu sorunu çözmek için iki yaklaşım vardır.

1. İlk yaklaşım, düzlemin genel denklemini kullanır. Tam anlamıyla A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 şeklinde yazılır. Bununla, bir dikdörtgen koordinat sisteminde, verilen ilk M 1 (x 1 , y 1 , z 1) noktasından geçen belirli bir alfa düzlemi ayarlayabilirsiniz. Normal düzlem vektörü α'nın A , B , C koordinatlarına sahip olacağı ortaya çıktı.

N'un tanımı

Normal vektörün koordinatlarını ve düzlemin geçtiği noktanın koordinatlarını bilerek, bu düzlemin genel denklemini yazabiliriz.

Bundan daha ileri gideceğiz.

Böylece, sorunun koşullarına göre, uçağın içinden geçtiği istenen noktanın (hatta üç) koordinatlarına sahibiz. Denklemi bulmak için normal vektörünün koordinatlarını hesaplamanız gerekir. n → olarak belirtin.

Kuralı hatırlayın: belirli bir düzlemin sıfır olmayan herhangi bir vektörü, aynı düzlemin normal vektörüne diktir. O zaman n → M 1 M 2 → ve M 1 M 3 → başlangıç ​​noktalarından oluşan vektörlere dik olacaktır. O zaman n →'yı M 1 M 2 → · M 1 M 3 → biçiminde bir vektör ürünü olarak gösterebiliriz.

M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ve M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 olduğundan (bu eşitliklerin kanıtları, bir vektörün koordinatlarını noktaların koordinatlarından hesaplamaya ayrılmış makalede verilmiştir), o zaman ortaya çıkıyor:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Determinantı hesaplarsak, ihtiyacımız olan n → normal vektörünün koordinatlarını elde ederiz. Şimdi, verilen üç noktadan geçen bir uçak için ihtiyacımız olan denklemi yazabiliriz.

2. M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) içinden geçen bir denklemi bulmaya yönelik ikinci yaklaşım: vektörlerin benzerliği gibi bir kavrama dayalıdır.

Bir dizi M (x, y, z) noktamız varsa, o zaman bir dikdörtgen koordinat sisteminde, verilen M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y noktaları için bir düzlem tanımlarlar) 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) sadece vektörleri M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ise ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) ve M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) eş düzlemli olacaktır.

Diyagramda şöyle görünecek:

Bu, M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → vektörlerinin karışık çarpımının sıfıra eşit olacağı anlamına gelir: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , çünkü bu, benzerlik için ana koşuldur: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ve M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Ortaya çıkan denklemi koordinat biçiminde yazıyoruz:

Determinantı hesapladıktan sonra, M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z) üzerinde olmayan üç nokta için ihtiyacımız olan düzlemin denklemini elde edebiliriz. 2) , M3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Ortaya çıkan denklemden, problemin koşulları gerektiriyorsa, düzlemin segmentlerdeki denklemine veya düzlemin normal denklemine gidebilirsiniz.

Bir sonraki paragrafta belirttiğimiz yaklaşımların pratikte nasıl uygulandığına dair örnekler vereceğiz.

3 noktadan geçen bir düzlemin denklemini derlemek için görev örnekleri

Daha önce, istenen denklemi bulmak için kullanılabilecek iki yaklaşım tanımlamıştık. Şimdi bunların problem çözmede nasıl kullanıldığını ve her birinin ne zaman seçileceğini görelim.

örnek 1

M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) koordinatlarına sahip tek bir doğru üzerinde uzanmayan üç nokta vardır. İçlerinden geçen bir düzlem için bir denklem yazın.

Çözüm

Her iki yöntemi de sırayla kullanıyoruz.

1. İhtiyacımız olan iki vektörün koordinatlarını bulun M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Şimdi onların vektör çarpımını hesaplıyoruz. Bu durumda, determinantın hesaplamalarını açıklamayacağız:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 ben → + 30 j → + 2 k →

Gerekli üç noktadan geçen düzlemin normal bir vektörüne sahibiz: n → = (- 5 , 30 , 2) . Daha sonra, noktalardan birini, örneğin M 1 (- 3 , 2 , - 1) almamız ve n → = (- 5 , 30 , 2) vektörüne sahip düzlem için denklemi yazmamız gerekir. Şunu elde ederiz: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Bu, ihtiyacımız olan, üç noktadan geçen düzlemin denklemidir.

2. Farklı bir yaklaşım kullanıyoruz. Üç nokta M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) olan bir düzlem için denklemi yazıyoruz. aşağıdaki form:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Burada, sorunun durumundaki verileri değiştirebilirsiniz. x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, sonuç olarak şunları elde ederiz:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

İhtiyacımız olan denklemi bulduk.

Yanıt vermek:- 5x + 30y + 2z - 73 .

Ama ya verilen noktalar hala aynı düz çizgi üzerindeyse ve onlar için bir düzlem denklemi oluşturmamız gerekiyorsa? Burada bu koşulun tamamen doğru olmayacağını hemen söylemek gerekir. Sonsuz sayıda uçak bu noktalardan geçebilir, bu nedenle tek bir cevap hesaplamak imkansızdır. Sorunun böyle bir formülasyonunun yanlışlığını kanıtlamak için böyle bir sorunu ele alalım.

Örnek 2

3B uzayda M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (-1 , 1 , 1) koordinatlarına sahip üç nokta içeren dikdörtgen bir koordinat sistemimiz var. İçinden geçen bir düzlem için bir denklem yazmak gerekir.

Çözüm

İlk yöntemi kullanıyoruz ve M 1 M 2 → ve M 1 M 3 → iki vektörünün koordinatlarını hesaplayarak başlıyoruz. Koordinatlarını hesaplayalım: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Vektör çarpımı şuna eşit olacaktır:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ben ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → olduğundan, vektörlerimiz doğrusal olacaktır (bu kavramın tanımını unuttuysanız, bunlarla ilgili makaleyi tekrar okuyun). Böylece, M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) başlangıç ​​noktaları aynı doğru üzerindedir ve problemimiz sonsuz sayıda birçok seçenek yanıtı.

İkinci yöntemi kullanırsak, şunu elde ederiz:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Ortaya çıkan eşitlikten ayrıca, verilen M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) noktalarının aynı doğru üzerinde olduğu sonucu çıkar.

Sonsuz sayıda seçeneğinden bu soruna en az bir cevap bulmak istiyorsanız, şu adımları izlemeniz gerekir:

1. M 1 M 2, M 1 M 3 veya M 2 M 3 düz çizgisinin denklemini yazın (gerekirse bu eylemle ilgili materyale bakın).

2. M 1 M 2 doğrusu üzerinde yer almayan bir M 4 (x 4 , y 4 , z 4) noktası alın.

3. Aynı doğru üzerinde olmayan M 1 , M 2 ve M 4 farklı noktalarından geçen bir düzlemin denklemini yazınız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu derste, determinantın kompozisyon oluşturmak için nasıl kullanılacağına bakacağız. düzlem denklemi. Determinantın ne olduğunu bilmiyorsanız, dersin ilk bölümüne gidin - " Matrisler ve determinantlar». Aksi takdirde, bugünün materyalinde hiçbir şey anlamama riskiniz vardır.

Bir düzlemin üç nokta ile denklemi

Neden düzlemin denklemine ihtiyacımız var? Çok basit: Bunu bilerek, C2 problemindeki açıları, mesafeleri ve diğer saçmalıkları kolayca hesaplayabiliriz. Genel olarak, bu denklem vazgeçilmezdir. Bu nedenle, sorunu formüle ediyoruz:

Bir görev. Uzayda aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta vardır. Koordinatları:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Bu üç noktadan geçen düzlemin denklemini yazmanız gerekmektedir. Ve denklem şöyle görünmelidir:

Balta + By + Cz + D = 0

A , B , C ve D sayıları aslında bulmak istediğiniz katsayılardır.

Peki, sadece noktaların koordinatları biliniyorsa, düzlemin denklemi nasıl elde edilir? En kolay yol, koordinatları Ax + By + Cz + D = 0 denkleminde yerine koymaktır. Kolayca çözülebilen üç denklemden oluşan bir sistem elde edersiniz.

Birçok öğrenci bu çözümü son derece sıkıcı ve güvenilmez buluyor. Geçen yıl matematikte yapılan sınav, hesaplama hatası yapma olasılığının gerçekten yüksek olduğunu gösterdi.

Bu nedenle, en ileri düzey öğretmenler daha basit ve daha zarif çözümler aramaya başladılar. Ve onu buldular! Doğru, elde edilen tekniğin daha yüksek matematikle ilgili olması daha olasıdır. Şahsen, bu tekniği herhangi bir gerekçe ve kanıt olmadan kullanma hakkımız olduğundan emin olmak için tüm Federal ders kitapları listesini karıştırmak zorunda kaldım.

Determinant üzerinden düzlemin denklemi

Yeterince rant, hadi işe başlayalım. Başlangıç ​​olarak, matris determinantı ile düzlem denkleminin nasıl ilişkili olduğuna dair bir teorem.

Teorem. Uçağın çizilmesi gereken üç noktanın koordinatları verilsin: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). O zaman bu düzlemin denklemi determinant cinsinden yazılabilir:

Örneğin, C2 problemlerinde gerçekten meydana gelen bir çift düzlem bulmaya çalışalım. Her şeyin ne kadar hızlı sayıldığına bir göz atın:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
Cı = (1, 1, 1);

Determinantı oluşturuyoruz ve onu sıfıra eşitliyoruz:

Determinantın açılması:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = bir − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Gördüğünüz gibi, d sayısını hesaplarken, denklemi biraz "fırçaladım", böylece x , y ve z değişkenleri doğru sıra. Bu kadar! Uçağın denklemi hazır!

Bir görev. Noktalardan geçen bir düzlem için bir denklem yazın:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Determinanttaki noktaların koordinatlarını hemen değiştirin:

Determinantı tekrar genişletmek:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z - x - y = 0 ⇒ x + y - z = 0;

Böylece düzlem denklemi tekrar elde edilir! Yine son adımda daha “güzel” bir formül elde edebilmek için içindeki işaretleri değiştirmek zorunda kaldım. Bu çözümde bunu yapmak gerekli değildir, ancak yine de önerilir - sorunun daha fazla çözümünü basitleştirmek için.

Gördüğünüz gibi uçağın denklemini yazmak artık çok daha kolay. Noktaları matrise yerleştiriyoruz, determinantı hesaplıyoruz - işte bu, denklem hazır.

Bu dersin sonu olabilir. Ancak, birçok öğrenci determinantın içinde ne olduğunu sürekli unutur. Örneğin, hangi satır x 2 veya x 3 içerir ve hangi satır yalnızca x . Sonunda bununla başa çıkmak için, her bir sayının nereden geldiğini izleyelim.

Determinantlı formül nereden geliyor?

Öyleyse, determinantlı bu kadar sert bir denklemin nereden geldiğini bulalım. Bu, onu hatırlamanıza ve başarıyla uygulamanıza yardımcı olacaktır.

Problem C2'de meydana gelen tüm düzlemler üç nokta ile tanımlanmıştır. Bu noktalar her zaman çizimde işaretlenir veya hatta doğrudan problem metninde belirtilir. Her durumda, denklemi derlemek için koordinatlarını yazmamız gerekiyor:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Uçağımızda rastgele koordinatlara sahip bir nokta daha düşünün:

T = (x, y, z)

İlk üçten herhangi bir noktayı alırız (örneğin, M noktası) ve ondan kalan üç noktanın her birine vektörler çizeriz. Üç vektör elde ederiz:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Şimdi bu vektörlerden bir kare matris yapalım ve determinantını sıfıra eşitleyelim. Vektörlerin koordinatları matrisin satırları olacak - ve teoremde belirtilen aynı determinantı alacağız:

Bu formül, MN , MK ve MT vektörleri üzerine kurulan kutunun hacminin sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, üç vektörün tümü aynı düzlemde bulunur. Özellikle, keyfi bir nokta T = (x, y, z) tam olarak aradığımız şeydir.

Determinantın noktalarını ve satırlarını değiştirme

Determinantlar, bunu daha da kolaylaştıran bazı harika özelliklere sahiptir. C2 sorununun çözümü. Örneğin, vektörleri hangi noktadan çizeceğimiz bizim için önemli değil. Bu nedenle, aşağıdaki belirleyiciler yukarıdakiyle aynı düzlem denklemini verir:

Determinantın çizgilerini de değiştirebilirsiniz. Denklem değişmeden kalacaktır. Örneğin, birçok kişi en üstte T = (x; y; z) noktasının koordinatları olan bir çizgi yazmayı sever. Lütfen, sizin için uygunsa:

Çizgilerden birinin, noktaları değiştirirken kaybolmayan x , y ve z değişkenlerini içermesi bazılarının kafasını karıştırır. Ama kaybolmamalılar! Sayıları determinantta değiştirerek aşağıdaki yapıyı elde etmelisiniz:

Daha sonra dersin başında verilen şemaya göre determinant genişletilir ve düzlemin standart denklemi elde edilir:

Balta + By + Cz + D = 0

Bir örneğe bir göz atın. O bugünün dersinde son kişi. Cevabın uçağın denklemiyle aynı olmasını sağlamak için kasıtlı olarak çizgileri değiştireceğim.

Bir görev. Noktalardan geçen bir düzlem için bir denklem yazın:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Bu nedenle, 4 noktayı dikkate alıyoruz:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

İlk olarak, standart bir determinant yapalım ve onu sıfıra eşitleyelim:

Determinantın açılması:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 - z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

İşte bu, cevabı aldık: x + y + z − 2 = 0 .

Şimdi determinanttaki birkaç satırı yeniden düzenleyelim ve ne olduğunu görelim. Örneğin, x, y, z değişkenleri ile altta değil üstte bir satır yazalım:

Ortaya çıkan determinantı tekrar genişletelim:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = bir - b = 2 - x - z - y;
d = 0 ⇒ 2 - x - y - z = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

Tam olarak aynı düzlem denklemini elde ettik: x + y + z − 2 = 0. Yani, gerçekten satırların sırasına bağlı değil. Cevabı yazmak için kalır.

Böylece, düzlemin denkleminin doğruların sırasına bağlı olmadığını gördük. Benzer hesaplamalar yapmak ve düzlemin denkleminin, koordinatlarını diğer noktalardan çıkardığımız noktaya bağlı olmadığını kanıtlamak mümkündür.

Yukarıda ele alınan problemde, B 1 = (1, 0, 1) noktasını kullandık, ancak C = (1, 1, 0) veya D 1 = (0, 1, 1) almak oldukça mümkündü. Genel olarak, istenen düzlemde bulunan, koordinatları bilinen herhangi bir nokta.