La notion d'angle inscrit et au centre
Introduisons d'abord la notion d'angle au centre.
Remarque 1
Noter que le degré de mesure de l'angle au centre est égal au degré de mesure de l'arc sur lequel il repose.
Introduisons maintenant la notion d'angle inscrit.
Définition 2
Un angle dont le sommet se trouve sur un cercle et dont les côtés coupent le même cercle est appelé un angle inscrit (Fig. 2).
Figure 2. Angle inscrit
Théorème de l'angle inscrit
Théorème 1
La mesure en degrés de l'angle inscrit est égale à la moitié de la mesure en degrés de l'arc sur lequel il repose.
Preuve.
Soit un cercle centré au point $ O $. Notons l'angle inscrit par $ ACB $ (Fig. 2). Les trois cas suivants sont possibles :
- Le rayon $ CO $ coïncide avec chaque côté du coin. Soit le côté $ CB $ (fig. 3).
Figure 3.
Dans ce cas, l'arc $ AB $ est inférieur à $ (180) ^ (() ^ \ circ) $, par conséquent, l'angle au centre de $ AOB $ est égal à l'arc $ AB $. Puisque $ AO = OC = r $, le triangle $ AOC $ est isocèle. Cela signifie que les angles à la base de $ CAO $ et $ ACO $ sont égaux. Par le théorème sur l'angle extérieur d'un triangle, on a :
- $ CO $ divise le faisceau coin intérieur sur deux coins. Laissez-le couper le cercle au point $ D $ (Fig. 4).
Figure 4.
On a
- Le rayon $ CO $ ne divise pas le coin interne en deux coins et ne coïncide avec aucun de ses côtés (Fig. 5).
Figure 5.
Considérons séparément les coins $ ACD $ et $ DCB $. Comme démontré au point 1, on obtient
On a
Le théorème est prouvé.
Donnons conséquences de ce théorème.
Corollaire 1 : Les angles inscrits qui reposent sur le même arc sont égaux les uns aux autres.
Corollaire 2 : L'angle inscrit qui repose sur le diamètre est droit.
La notion d'angle inscrit et au centre
Introduisons d'abord la notion d'angle au centre.
Remarque 1
Noter que le degré de mesure de l'angle au centre est égal au degré de mesure de l'arc sur lequel il repose.
Introduisons maintenant la notion d'angle inscrit.
Définition 2
Un angle dont le sommet se trouve sur un cercle et dont les côtés coupent le même cercle est appelé un angle inscrit (Fig. 2).
Figure 2. Angle inscrit
Théorème de l'angle inscrit
Théorème 1
La mesure en degrés de l'angle inscrit est égale à la moitié de la mesure en degrés de l'arc sur lequel il repose.
Preuve.
Soit un cercle centré au point $ O $. Notons l'angle inscrit par $ ACB $ (Fig. 2). Les trois cas suivants sont possibles :
- Le rayon $ CO $ coïncide avec chaque côté du coin. Soit le côté $ CB $ (fig. 3).
Figure 3.
Dans ce cas, l'arc $ AB $ est inférieur à $ (180) ^ (() ^ \ circ) $, par conséquent, l'angle au centre de $ AOB $ est égal à l'arc $ AB $. Puisque $ AO = OC = r $, le triangle $ AOC $ est isocèle. Cela signifie que les angles à la base de $ CAO $ et $ ACO $ sont égaux. Par le théorème sur l'angle extérieur d'un triangle, on a :
- La poutre $ CO $ divise le coin intérieur en deux coins. Laissez-le couper le cercle au point $ D $ (Fig. 4).
Figure 4.
On a
- Le rayon $ CO $ ne divise pas le coin interne en deux coins et ne coïncide avec aucun de ses côtés (Fig. 5).
Figure 5.
Considérons séparément les coins $ ACD $ et $ DCB $. Comme démontré au point 1, on obtient
On a
Le théorème est prouvé.
Donnons conséquences de ce théorème.
Corollaire 1 : Les angles inscrits qui reposent sur le même arc sont égaux les uns aux autres.
Corollaire 2 : L'angle inscrit qui repose sur le diamètre est droit.
\ [(\ Grand (\ texte (Centre et coins inscrits))) \]
Définitions
L'angle au centre est l'angle dont le sommet se situe au centre du cercle.
Un angle inscrit est un angle dont le sommet se trouve sur un cercle.
La mesure en degrés d'un arc de cercle est la mesure en degrés de l'angle central qui repose sur celui-ci.
Théorème
La mesure en degrés de l'angle inscrit est égale à la moitié de la mesure en degrés de l'arc sur lequel il repose.
Preuve
Nous effectuons la preuve en deux étapes : d'abord, nous prouvons la validité de l'énoncé pour le cas où l'un des côtés de l'angle inscrit contient le diamètre. Soit le point \ (B \) le sommet de l'angle inscrit \ (ABC \) et \ (BC \) le diamètre du cercle :
Le triangle \ (AOB \) est isocèle, \ (AO = OB \), \ (\ angle AOC \) est extérieur, alors \ (\ angle AOC = \ angle OAB + \ angle ABO = 2 \ angle ABC \), où \ (\ angle ABC = 0.5 \ cdot \ angle AOC = 0.5 \ cdot \ buildrel \ smile \ over (AC) \).
Considérons maintenant un angle inscrit arbitraire \ (ABC \). Dessinez le diamètre du cercle \ (BD \) à partir du sommet de l'angle inscrit. Deux cas sont possibles :
1) le diamètre coupe l'angle en deux angles \ (\ angle ABD, \ angle CBD \) (pour chacun desquels le théorème est vrai comme prouvé ci-dessus, donc c'est aussi vrai pour l'angle initial, qui est la somme de ces deux et est donc égal à la demi-somme des arcs sur lesquels ils reposent, c'est-à-dire qu'il est égal à la moitié de l'arc sur lequel il repose). Riz. un.
2) le diamètre n'a pas coupé l'angle en deux angles, alors nous avons encore deux nouveaux angles inscrits \ (\ angle ABD, \ angle CBD \), pour lesquels le côté contient le diamètre, donc, pour eux, le théorème est vrai, alors c'est aussi vrai pour l'angle d'origine (qui est égal à la différence entre ces deux angles, ce qui veut dire qu'il est égal à la demi-différence des arcs sur lesquels ils reposent, c'est-à-dire égal à la moitié de l'arc sur sur laquelle il repose). Riz. 2.
Conséquences
1. Les angles inscrits basés sur le même arc sont égaux.
2. L'angle inscrit reposant sur un demi-cercle est droit.
3. L'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre reposant sur le même arc.
\ [(\ Grand (\ texte (Tangente au cercle))) \]
Définitions
Il existe trois types disposition mutuelle ligne et cercle :
1) la droite \ (a \) coupe le cercle en deux points. Une telle droite est appelée une sécante. Dans ce cas, la distance \(d\) du centre du cercle à la droite est inférieure au rayon \(R\) du cercle (Fig. 3).
2) la droite \ (b \) coupe le cercle en un point. Une telle ligne est appelée ligne tangente, et leur point commun \ (B \) est un point de tangence. Dans ce cas \ (d = R \) (Fig. 4).
Théorème
1. La tangente au cercle est perpendiculaire au rayon tracé au point de tangente.
2. Si une droite passe par l'extrémité du rayon du cercle et est perpendiculaire à ce rayon, alors elle est tangente au cercle.
Conséquence
Les segments de tangentes tracés d'un point au cercle sont égaux.
Preuve
Tracez deux tangentes \ (KA \) et \ (KB \) au cercle à partir du point \ (K \) :
D'où \ (OA \ perp KA, OB \ perp KB \) comme rayons. Triangles rectangulaires\ (\ triangle KAO \) et \ (\ triangle KBO \) sont égaux en jambe et en hypoténuse, donc, \ (KA = KB \).
Conséquence
Le centre du cercle \ (O \) se trouve sur la bissectrice de l'angle \ (AKB \) formé par deux tangentes tirées d'un même point \ (K \).
\ [(\ Large (\ text (Angle Theorems))) \]
Théorème de l'angle entre sécantes
L'angle entre deux sécantes tirées d'un point est égal à la demi-différence des mesures de degré des arcs plus grand et plus petit qu'elles coupent.
Preuve
Soit \ (M \) le point à partir duquel deux sécantes sont tirées comme le montre la figure :
Montrons que \ (\ angle DMB = \ dfrac (1) (2) (\ buildrel \ smile \ over (BD) - \ buildrel \ smile \ over (CA)) \).
\ (\ angle DAB \) - coin extérieur du triangle \ (MAD \), puis \ (\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), où \ (\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), mais les angles \ (\angle DAB\) et \ (\angle MDA\) sont inscrits, alors \ (\ angle DMB = \ angle DAB - \ angle MDA = \ frac (1) (2) \ buildrel \ smile \ over (BD) - \ frac (1) (2) \ buildrel \ smile \ over (CA) = \ frac (1) (2) (\ buildrel \ smile \ over (BD) - \ buildrel \ smile \ over (CA)) \), comme requis pour prouver.
Théorème de l'angle entre les cordes sécantes
L'angle entre deux cordes sécantes est égal à la demi-somme des mesures en degrés des arcs coupés par elles : \ [\ angle CMD = \ dfrac12 \ gauche (\ buildrel \ smile \ over (AB) + \ buildrel \ smile \ over (CD) \ right) \]
Preuve
\ (\ angle BMA = \ angle CMD \) comme vertical.
Du triangle \ (AMD \) : \ (\ angle AMD = 180 ^ \ circ - \ angle BDA - \ angle CAD = 180 ^ \ circ - \ frac12 \ buildrel \ smile \ over (AB) - \ frac12 \ buildrel \ smile \ over (CD) \).
Mais \ (\ angle AMD = 180 ^ \ circ - \ angle CMD \), d'où l'on conclut que \ [\ angle CMD = \ frac12 \ cdot \ buildrel \ smile \ over (AB) + \ frac12 \ cdot \ buildrel \ smile \ over (CD) = \ frac12 (\ buildrel \ smile \ over (AB) + \ buildrel \ sourire \ fini (CD)). \]
Un théorème sur l'angle entre une corde et une tangente
L'angle entre la tangente et la corde passant par le point de tangence est la moitié du degré de mesure de l'arc contracté par la corde.
Preuve
Soit la ligne \ (a \) toucher le cercle au point \ (A \), \ (AB \) la corde de ce cercle, \ (O \) son centre. Soit la ligne contenant \ (OB \) qui coupe \ (a \) au point \ (M \). Prouvons que \ (\ angle BAM = \ frac12 \ cdot \ buildrel \ smile \ over (AB) \).
Notons \(\angle OAB = \alpha\). Puisque \ (OA \) et \ (OB \) sont des rayons, \ (OA = OB \) et \ (\angle OBA = \angle OAB = \alpha\)... De cette façon, \ (\ buildrel \ smile \ over (AB) = \ angle AOB = 180 ^ \ circ - 2 \ alpha = 2 (90 ^ \ circ - \ alpha) \).
Puisque \ (OA \) est le rayon tracé au point de tangence, alors \ (OA \ perp a \), c'est-à-dire \ (\ angle OAM = 90 ^ \ circ \), donc \ (\angle BAM = 90 ^ \ circ - \ angle OAB = 90 ^ \ circ - \ alpha = \ frac12 \ cdot \ buildrel \ smile \ over (AB) \).
Un théorème sur les arcs contractés par des cordes égales
Des accords égaux contractent des arcs égaux, des demi-cercles plus petits.
Et vice versa : des arcs égaux sont rapprochés par des cordes égales.
Preuve
1) Soit \ (AB = CD \). Montrons que les plus petits demi-cercles sont des arcs.
Sur trois côtés, d'où \(\angle AOB = \angle COD\). Mais depuis \ (\ angle AOB, \ angle COD \) - coins centraux basés sur des arcs \ (\ buildrel \ smile \ over (AB), \ buildrel \ smile \ over (CD) \) en conséquence, alors \ (\ buildrel \ smile \ over (AB) = \ buildrel \ smile \ over (CD) \).
2) Si \ (\ buildrel \ smile \ over (AB) = \ buildrel \ smile \ over (CD) \), ensuite \ (\ triangle AOB = \ triangle COD \) des deux côtés \ (AO = BO = CO = DO \) et l'angle entre eux \ (\ angle AOB = \ angle COD \). Par conséquent, \ (AB = CD \).
Théorème
Si le rayon divise la corde en deux, alors elle lui est perpendiculaire.
L'inverse est également vrai : si le rayon est perpendiculaire à la corde, alors par le point d'intersection il la divise en deux.
Preuve
1) Soit \ (AN = NB \). Démontrons que \ (OQ \ perp AB \).
Considérons \ (\ triangle AOB \) : il est isocèle, car \ (OA = OB \) - les rayons du cercle. Parce que \ (ON \) est la médiane tracée à la base, alors c'est aussi la hauteur, donc, \ (ON \ perp AB \).
2) Soit \(OQ\perp AB\). Démontrons que \ (AN = NB \).
De même, \ (\ triangle AOB \) est isocèle, \ (ON \) est la hauteur, donc \ (ON \) est la médiane. Par conséquent, \ (AN = NB \).
\ [(\ Large (\ text (Théorèmes liés aux longueurs de segments))) \]
Théorème du produit de la ligne d'accord
Si deux cordes du cercle se coupent, alors le produit des segments d'une corde est égal au produit des segments de l'autre corde.
Preuve
Soit les accords \ (AB \) et \ (CD \) se rencontrent au point \ (E \).
Considérons les triangles \ (ADE \) et \ (CBE \). Dans ces triangles les angles \ (1 \) et \ (2 \) sont égaux, puisqu'ils sont inscrits et reposent sur le même arc \ (BD \), et les angles \ (3 \) et \ (4 \) sont égale à la verticale. Les triangles \(ADE\) et \(CBE\) sont similaires (par le premier signe de similitude des triangles).
Puis \ (\ dfrac (AE) (CE) = \ dfrac (DE) (BE) \), d'où \ (AE \ cdot BE = CE \ cdot DE \).
Théorème de la tangente et de la sécante
Le carré d'un segment de droite tangente est égal au produit de la droite sécante par sa partie extérieure.
Preuve
Laissez la tangente passer par le point \ (M \) et touchez le cercle au point \ (A \). Soit la sécante passer par le point \ (M \) et couper le cercle aux points \ (B \) et \ (C \) de sorte que \ (MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Considérons les triangles \ (MBA \) et \ (MCA \) : \ (\ angle M \) - général, \ (\ angle BCA = 0.5 \ cdot \ buildrel \ smile \ over (AB) \)... Par le théorème de l'angle entre la tangente et la sécante, \(\angle BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over (AB)=\angle BCA\)... Ainsi, les triangles \(MBA\) et \(MCA\) sont semblables sous deux angles.
De la similitude des triangles \ (MBA \) et \ (MCA \) on a : \ (\ dfrac (MB) (MA) = \ dfrac (MA) (MC) \), ce qui équivaut à \ (MB \ cdot MC = MA ^ 2 \).
Conséquence
Le produit de la sécante tirée du point \ (O \) par sa partie externe ne dépend pas du choix de la sécante tirée du point \ (O \).
Coin central est le coin dont le sommet est au centre du cercle.
Coin inscrit- l'angle dont le sommet se trouve sur le cercle et dont les côtés le coupent.
La figure montre les angles au centre et inscrit, ainsi que leurs propriétés les plus importantes.
Alors, la grandeur de l'angle au centre est égale à la grandeur angulaire de l'arc sur lequel il repose... Cela signifie qu'un angle central de 90 degrés reposera sur un arc égal à 90 degrés, c'est-à-dire un cercle. L'angle central de 60° repose sur un arc de 60 degrés, soit un sixième du cercle.
La valeur de l'angle inscrit est deux fois inférieure à l'angle central, basé sur le même arc.
Aussi, pour résoudre des problèmes, nous avons besoin du concept de "corde".
Les coins centraux égaux reposent sur des accords égaux.
1. Quel est l'angle inscrit en fonction du diamètre du cercle ? Donnez votre réponse en degrés.
L'angle inscrit basé sur le diamètre est droit.
2. L'angle au centre est supérieur de 36° à l'angle aigu inscrit reposant sur le même arc de cercle. Trouvez le coin inscrit. Donnez votre réponse en degrés.
Soit l'angle au centre x, et l'angle inscrit reposant sur le même arc soit égal à y.
Nous savons que x = 2y.
Donc 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Le rayon du cercle est 1. Trouvez la valeur de l'angle inscrit obtus basé sur la corde, égal à. Donnez votre réponse en degrés.
Soit l'accord AB. Un angle inscrit obtus basé sur cette corde est noté .
Dans le triangle AOB, les côtés AO et OB sont égaux à 1, le côté AB est égal. Nous avons déjà vu de tels triangles. Évidemment, le triangle AOB est rectangulaire et isocèle, c'est-à-dire que l'angle AOB est de 90°.
Ensuite, l'arc ACB est de 90 ° et l'arc AKV est de 360 ° - 90 ° = 270 °.
L'angle inscrit repose sur l'arc AKV et est égal à la moitié de la valeur angulaire de cet arc, soit 135°.
Réponse : 135.
4. L'accord AB divise le cercle en deux parties dont les valeurs en degrés sont 5: 7. Sous quel angle cette corde est-elle visible à partir du point C, qui appartient au plus petit arc de cercle ? Donnez votre réponse en degrés.
L'essentiel dans cette tâche est le dessin correct et la compréhension de la condition. Comment comprenez-vous la question : « Sous quel angle la corde est-elle visible à partir du point C ?
Imaginez que vous êtes assis au point C et que vous avez besoin de voir tout ce qui se passe sur l'accord AB. Comme si l'accord AB était un écran dans un cinéma :-)
Évidemment, vous devez trouver l'angle ACB.
La somme des deux arcs en lesquels la corde AB divise le cercle est de 360 °, c'est-à-dire
5x + 7x = 360 °
D'où x = 30°, et alors l'angle inscrit ACB repose sur un arc égal à 210°.
La valeur de l'angle inscrit est égale à la moitié de la valeur angulaire de l'arc sur lequel il repose, ce qui signifie que l'angle ACB est égal à 105°.
Coin central est l'angle formé par deux rayons cercles... Un exemple d'angle au centre est AOB, BOC, COE, etc.
ô coin central et arc conclu entre ses parties, ils disent qu'ils correspondre l'un l'autre.
1.si coins centraux arcs sont égaux.
2.si coins centraux ne sont pas égaux, alors le plus grand d'entre eux correspond à un plus grand arc.
Soit AOB et COD deux coins centraux,égaux ou inégaux. Faites pivoter le secteur AOB autour du centre dans la direction indiquée par la flèche afin que le rayon OA coïncide avec l'OC. Ensuite, si les angles centraux sont égaux, alors le rayon OA coïncidera avec l'OD et l'arc AB avec l'arc CD .
Cela signifie que ces arcs seront égaux.
Si coins centraux ne sont pas égaux, alors le rayon OB ira non pas le long de OD, mais dans une autre direction, par exemple, le long de OE ou OF. Dans les deux cas, un arc plus grand correspond évidemment à un angle plus grand.
Le théorème que nous avons prouvé pour un cercle reste vrai pour cercles égaux, parce que ces cercles ne diffèrent en rien les uns des autres, à l'exception de leur position.
Inverser les suggestions sera aussi vrai . Dans le même cercle ou en cercles égaux :
1.si arcs sont égaux, alors les correspondants coins centraux sont égaux.
2.si arcs ne sont pas égaux, alors le plus grand d'entre eux correspond au plus grand coin central.
Dans le même cercle ou dans des cercles égaux, les angles centraux sont appelés leurs arcs correspondants. Ou, en paraphrasant, nous obtenons que l'angle central proportionnel l'arc correspondant.