Numeroloji. Fibonacci Altın Oran

Camposanto anıtsal. Piza

Bugün size bundan bahsetmiştim ama artık bu konuya bu şekilde devam etmek istedim...

Daha çok Fibonacci takma adıyla tanınan İtalyan tüccar Pisalı Leonardo (1180-1240), Orta Çağ'ın önemli bir matematikçisiydi. Kitaplarının matematiğin gelişmesinde ve Avrupa'da matematiksel bilginin yayılmasındaki rolü küçümsenemez.

Leonardo'nun hayatı ve bilimsel kariyeri, Avrupa kültürünün ve biliminin gelişimiyle yakından bağlantılıdır.

Rönesans hala çok uzaktaydı, ancak tarih İtalya'ya kısa bir süre verdi ve bu, yaklaşan Rönesans'ın provası olarak adlandırılabilir. Bu prova Kutsal Roma İmparatoru II. Frederick tarafından yönetildi. Güney İtalya'nın gelenekleriyle yetişen II. Frederick, Avrupa Hıristiyan şövalyeliğinden içsel olarak çok uzaktı. Frederick II şövalye turnuvalarını hiç tanımıyordu. Bunun yerine, rakiplerin darbeler yerine problem alışverişinde bulunduğu matematiksel yarışmalar geliştirdi.

Leonardo Fibonacci'nin yeteneği işte böyle turnuvalarda parlıyordu. Bu, oğluna kendisini Doğu'ya götüren ve ona Arap öğretmenler atayan tüccar Bonacci'nin verdiği iyi eğitimle kolaylaştırıldı. Fibonacci ile II. Frederick'in 1225 yılındaki buluşması Pisa şehri için büyük önem taşıyan bir olaydı. İmparator, trompetçiler, saray mensupları, şövalyeler, memurlar ve gezici hayvanlardan oluşan uzun bir kafilenin başında at sırtında ilerliyordu. İmparatorun ünlü matematikçiye sorduğu problemlerden bazıları Abaküs Kitabı'nda ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Görünüşe göre Fibonacci, İmparator'un ortaya çıkardığı sorunları çözmüş ve sonsuza kadar Kraliyet Sarayı'nın hoş karşılanan konuğu haline gelmişti.

Fibonacci, 1228'de Abaküs Kitabı'nı revize ettiğinde, revize edilmiş baskıyı II. Frederick'e adadı. Toplamda üç önemli matematik eseri yazdı: 1202'de basılan ve 1228'de yeniden basılan Abaküs Kitabı, 1220'de basılan Pratik Geometri ve Kareler Kitabı. Seviye olarak Arapça ve Orta Çağ Avrupa eserlerinden üstün olan bu kitaplar, neredeyse Descartes zamanına kadar matematik öğretiminde kullanıldı. 1240 tarihli belgelerde kaydedildiği üzere, Pisa'nın hayran vatandaşları onun "mantıklı ve bilgili bir adam" olduğunu söylüyordu ve yakın zamanda Encyclopædia Britannica'nın baş editörü Joseph Guise, geleceğin bilim adamlarının her zaman "bilgili ve akıllı bir adam" olduğunu ilan etti. Dünyanın en büyük entelektüel öncülerinden biri olan Pisa'lı Leonardo'ya borçlarını ödeyin."

Tavşan sorunu.

“Abaküs Kitabı” çalışması bizim için en büyük ilgiyi çekiyor. Bu kitap, o zamanın aritmetik ve cebir bilgilerinin hemen hemen tamamını içeren, matematiğin gelişiminde önemli rol oynayan ciltler dolusu bir eserdir. Batı Avrupaönümüzdeki birkaç yüzyıl boyunca. Özellikle Avrupalıların Hindu (Arap) rakamlarıyla tanışması bu kitaptan oldu.

Materyal, bu broşürün önemli bir bölümünü oluşturan sorun örnekleri kullanılarak açıklanmaktadır.

Bu yazıda Fibonacci aşağıdaki problemi ortaya koydu:

“Birisi, eğer tavşanların doğası gereği bir ay sonra bir çift tavşan doğacaksa, yıl içinde kaç çift tavşan doğacağını bulmak için her tarafı duvarla çevrili belirli bir yere bir çift tavşan yerleştirdi. Tavşanlar bir çift daha doğurur, tavşanlar da doğumdan sonraki ikinci aydan itibaren doğururlar."

İlk tavşan çiftini yeni doğmuş olarak kabul edersek, ikinci ayda hala bir çifte sahip olacağımız açıktır; 3. ayda - 1+1=2; 4'üncüde - 2 + 1 = 3 çift (mevcut iki çift nedeniyle yalnızca bir çift yavru üretir); 5. ayda - 3+2=5 çift (3. ayda doğan sadece 2 çift 5. ayda yavru doğurur); 6. ayda - 5 + 3 = 8 çift (çünkü yalnızca 4. ayda doğan çiftler çocuk doğurur), vb.

Dolayısıyla n'inci ayda mevcut olan tavşan çifti sayısını Fk ile gösterirsek, F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8= 21 vb. ve bu sayıların oluşumu genel yasa ile düzenlenir: tüm n>2 için Fn=Fn-1+Fn-2, çünkü n'inci aydaki tavşan çiftlerinin sayısı Fn sayısına eşittir. Önceki aydaki -1 çift tavşan artı yeni doğan çiftlerin sayısı, bu da (n-2). ayda doğan Fn-2 çift tavşanların sayısına denk gelir (çünkü sadece bu tavşan çiftleri yavru verir).

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... dizisini oluşturan Fn sayılarına "Fibonacci sayıları", dizinin kendisine ise "Fibonacci sayıları" adı verilir. Fibonacci Dizisi.

Luca Pacioli (bir ortaçağ matematikçisi) buna İlahi Oran adını vermeden önce bile bu orana özel isimler verilmeye başlandı. Kepler bu ilişkiyi geometrinin hazinelerinden biri olarak adlandırdı. Cebirde genel olarak Yunanca “phi” harfiyle (Ф=1.618033989…) belirtilmesi kabul edilir.

Aşağıda ikinci terimin birinciyle, üçüncünün ikinciyle, dördüncünün üçüncüyle vb. ilişkileri verilmiştir:

1:1 = 1,0000, phi'den 0,6180 küçüktür

2:1 = 2,0000, bu da phi'den 0,3820 fazladır

3:2 = 1,5000, phi'den 0,1180 küçüktür

5:3 = 1,6667, bu da phi'den 0,0486 fazladır

8:5 = 1,6000, phi'den 0,0180 küçüktür

Fibonacci toplama dizisinde ilerledikçe, her yeni terim bir sonrakini bölecek ve ulaşılamaz "phi"ye giderek daha da yaklaşacaktır. Değişim Kuralı ile tanımlandığı Elliott Dalga Teorisinde 1,618 değeri civarındaki oranlarda daha büyük veya daha küçük bir değere göre dalgalanmalar bulacağız. Doğada tam olarak "phi" sayısına yapılan bir yaklaşım bulunurken, matematik "saf" bir değerle çalıştığına dikkat edilmelidir. Leonardo da Vinci tarafından ortaya atılmış ve “altın oran” (altın oran) olarak adlandırılmıştır. Modern isimleri arasında “altın ortalama” ve “döner kare oranı” gibi isimler bulunmaktadır. Altın oran, AC parçasının, tüm AC parçasının AB ile ilişkisi olduğu gibi, büyük kısmı AB daha küçük parçası BC ile aynı şekilde ilişkili olacak şekilde iki parçaya bölünmesidir, yani: AB:BC=AC: AB=F (tam irrasyonel sayı " fi").

Fibonacci dizisinin herhangi bir üyesi diğerine bölündüğünde 1,618'in tersi elde edilir (1: 1,618 = 0,618). Bu aynı zamanda çok sıra dışı, hatta dikkat çekici bir olgudur. Orijinal oran sonsuz bir kesir olduğundan bu oranın da sonu olmaması gerekir.

Her sayıyı kendisinden sonraki sayıya böldüğümüzde 0,382 sayısını elde ederiz.

Oranları bu şekilde seçerek ana Fibonacci oranları kümesini elde ederiz: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236. Hepsi doğada ve özellikle teknik analizde özel bir rol oynamaktadır.

Fibonacci dizisi kullanılarak kaç tane sabitin hesaplanabildiği ve terimlerinin çok sayıda kombinasyonda nasıl göründüğü şaşırtıcıdır. Ancak bunun sadece sayılarla yapılan bir oyun değil, matematiksel ifadelerin en önemlisi olduğunu söylemek abartı olmaz. doğal olaylarşimdiye kadar açılmış olanların hepsi.

Bu sayılar şüphesiz, dokunulduğunda hoş gelen, hoş görünen ve hatta kulağa hoş gelen mistik bir doğal uyumun parçasıdır. Örneğin müzik 8 notalı bir oktavı temel alır. Piyanoda bu, 8 beyaz tuş ve 5 siyah tuşla (toplamda 13) temsil edilir.

Doğadaki spiraller ve sanat eserleri incelenerek daha görsel bir anlatım elde edilebilir. Kutsal geometri iki tür spirali araştırır: altın oran spirali ve Fibonacci spirali. Bu spirallerin karşılaştırılması aşağıdaki sonuca varmamızı sağlar. Altın oran sarmalı idealdir: Başı ve sonu yoktur, sonsuza kadar devam eder. Buna karşılık Fibonacci spiralinin bir başlangıcı vardır. Tüm doğal spiraller Fibonacci spiralleridir ve sanat eserleri her iki spirali bazen aynı anda kullanır.

Matematik.

Pentagram (beş köşeli yıldız, beş köşeli yıldız) sık kullanılan sembollerden biridir. Pentagram, kolları iki yana açılmış halde iki ayak üzerinde duran mükemmel bir adamın sembolüdür. İnsanın yaşayan bir pentagram olduğunu söyleyebiliriz. Bu hem fiziksel hem de ruhsal olarak doğrudur; insan beş erdeme sahiptir ve bunları sergiler: sevgi, bilgelik, doğruluk, adalet ve nezaket. Bunlar bir pentagramla temsil edilebilecek Mesih'in erdemleridir. İnsanın gelişimi için gerekli olan bu beş erdem doğrudan insan vücuduyla ilgilidir: İyilik bacaklarla, adalet ellerle, sevgi ağızla, bilgelik kulaklarla, gözler ise hakikatle ilişkilendirilir.

Hak ruha, sevgi ruha, bilgelik akla, nezaket kalbe, adalet suya aittir. İnsan vücudu ile beş element (toprak, su, hava, ateş ve eter) arasında da bir benzerlik vardır: irade toprağa, kalp suya, akıl havaya, ruh ateşe ve ruh da suya karşılık gelir. eter. Böylece insan, iradesiyle, aklıyla, kalbiyle, ruhuyla, ruhuyla evrende çalışan beş unsura bağlanır ve şuurlu olarak onunla uyum içinde çalışabilir. Bu tam olarak başka bir sembolün anlamıdır - çift pentagram, insan (mikrokozmos) evrende (mikrokozmos) yaşar ve hareket eder.

Ters çevrilmiş bir pentagram Dünya'ya enerji akıtır ve bu nedenle materyalist eğilimlerin sembolüdür, normal bir pentagram ise enerjiyi yukarı doğru yönlendirir ve dolayısıyla manevidir. Herkesin hemfikir olduğu şey, pentagramın kesinlikle insan figürünün “ruhsal formunu” temsil ettiğidir.

Lütfen CF:FH=CH:CF=AC:CH=1.618'e dikkat edin. Bu sembolün gerçek oranları, altın oran adı verilen kutsal orana dayanmaktadır: çizilen herhangi bir çizgi üzerindeki bir noktanın, çizgiyi küçük kısmı büyük kısmıyla aynı oranda olacak şekilde böldüğündeki konumu. çoğu tamamına. Ayrıca merkezdeki düzgün beşgen, sonsuz küçük beşgenler için oranların korunduğunu akla getiriyor. Bu "ilahi oran", pentagramın her bir ışınında kendini gösterir ve matematikçilerin her zaman bu sembole ne kadar hayranlıkla baktıklarını açıklamaya yardımcı olur. Ayrıca beşgenin bir kenarı bire eşitse köşegeni 1,618'e eşit olur.

Birçoğu Giza'daki piramidin sırlarını çözmeye çalıştı. Diğer Mısır piramitlerinden farklı olarak bu bir mezar değil, çözülemeyen bir sayı kombinasyonları bulmacasıdır. Piramidin mimarlarının ebedi sembolü inşa ederken kullandıkları dikkate değer yaratıcılık, beceri, zaman ve emek, gelecek nesillere iletmek istedikleri mesajın son derece önemli olduğunu göstermektedir. Onların dönemi yazı öncesi, hiyeroglif öncesiydi ve keşifleri kaydetmenin tek yolu sembollerdi.

Bilim adamları Giza'daki üç piramidin spiral şeklinde düzenlendiğini keşfettiler. 1980'li yıllarda hem Altın Oran hem de Fibonacci spirallerinin mevcut olduğu keşfedildi.

İnsanoğlu için uzun zamandır gizemini koruyan Gize Piramidi'nin geometrik-matematiksel sırrının anahtarı, aslında tapınak rahipleri tarafından Herodot'a verilmiş ve ona piramidin alanı 1000 m2 olacak şekilde inşa edildiği bildirilmişti. yüzlerinin her biri yüksekliğinin karesine eşitti.

Bir üçgenin alanı
356x440 / 2 = 78320
Kare alan
280x280 = 78400

Giza'daki piramidin yüzünün uzunluğu 783,3 fit (238,7 m), piramidin yüksekliği 484,4 fittir (147,6 m). Kenar uzunluğunun yüksekliğe bölümü Ф=1,618 oranına yol açar. 484,4 fitin yüksekliği 5813 inç'e (5-8-13) karşılık gelir - bunlar Fibonacci dizisindeki sayılardır.

Bu ilginç gözlemler piramidin tasarımının Ф=1.618 oranına dayandığını göstermektedir. Modern bilim adamları, eski Mısırlıların onu yalnızca gelecek nesillere korumak istedikleri bilgiyi aktarma amacıyla inşa ettikleri şeklinde yorumlama eğilimindeler. Giza'daki piramit üzerine yapılan yoğun araştırmalar, o dönemde matematik ve astroloji bilgisinin ne kadar kapsamlı olduğunu gösterdi. Piramidin tüm iç ve dış oranlarında 1.618 sayısı merkezi bir rol oynuyor.

Sadece Mısır piramitleri altın oranın mükemmel oranlarına göre inşa edilmedi, aynı olay Meksika piramitlerinde de görüldü. Hem Mısır hem de Meksika piramitlerinin aynı kökene sahip insanlar tarafından yaklaşık olarak aynı anda inşa edildiği fikri ortaya çıkıyor.

Biyoloji.

19. yüzyılda bilim adamları, ayçiçeği, papatya, ananas meyvelerindeki pullar, kozalaklı kozalaklar vb. çiçek ve tohumlarının birbirine doğru kıvrılarak çift spiral şeklinde "paketlendiğini" fark ettiler. Bu durumda, "sağ" ve "sol" spirallerin sayıları, komşu Fibonacci sayıları gibi (13:8, 21:13, 34:21, 55:34) her zaman birbirleriyle ilişkilidir. Doğada bulunan çok sayıda çift sarmal örneği her zaman bu kurala uymaktadır.

Goethe ayrıca doğanın sarmallığa olan eğilimini de vurguladı. Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve spiral dizilişi uzun zaman önce fark edilmişti. Ayçiçeği tohumları, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb.'nin dizilişinde spiral görüldü. Botanikçilerin ve matematikçilerin çalışmaları bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu. Ayçiçeği çekirdeği ve çam kozalaklarından oluşan bir dal üzerindeki yaprakların dizilişinde Fibonacci serisinin ortaya çıktığı ve dolayısıyla altın oran yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı. Örümcek ağını spiral şeklinde örer. Kasırga spiral gibi dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü sarmal şeklinde dağılıyor. DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülmüştür. Goethe spirale "yaşam eğrisi" adını verdi.

Herhangi bir iyi kitap, örnek olarak nautilus kabuğunu gösterir. Üstelik birçok yayın bunun bir altın oran sarmalı olduğunu söylüyor ancak bu yanlış - bu bir Fibonacci sarmalı. Spiral kolların mükemmelliğini görüyorsunuz ama başlangıca baktığınızda o kadar da mükemmel görünmüyor. En içteki iki kıvrımı aslında eşittir. İkinci ve üçüncü virajlar phi'ye biraz daha yaklaşır. Sonunda bu zarif, pürüzsüz spirali elde edersiniz. İkinci terimin birinciyle, üçüncünün ikinciyle, dördüncünün üçüncüyle vb. ilişkisini hatırlayın. İstiridyenin Fibonacci serisinin matematiğini tam olarak takip ettiği açıktır.

Fibonacci sayıları çeşitli organizmaların morfolojisinde görülür. Örneğin denizyıldızı. Işınlarının sayısı Fibonacci sayıları dizisine karşılık gelir ve 5, 8, 13, 21, 34, 55'e eşittir. Tanınmış sivrisineğin üç çift bacağı vardır, karnı sekiz parçaya bölünmüştür ve Kafasında beş anten var. Sivrisinek larvası 12 bölüme ayrılmıştır. Pek çok evcil hayvanda omur sayısı 55'tir. İnsan vücudunda da “phi” oranı görülür.

Drunvalo Melchizedek, Yaşam Çiçeğinin Kadim Sırrı kitabında şöyle yazıyor: “Da Vinci, vücudun etrafına bir kare çizerseniz, önce ayaklardan uzatılmış parmakların uçlarına kadar bir köşegen çizdiğinizi ve ardından paralel bir yatay çizgi çizdiğinizi anladı. (bu paralel çizgilerden ikincisi) göbekten karenin kenarına kadar uzanırsa, bu yatay çizgi köşegeni tam olarak pi oranında keseceği gibi baştan ayağa kadar olan dikey çizgiyi de kesecektir. Göbek deliğinin bu mükemmel noktada olduğunu, kadınlarda biraz yüksek, erkeklerde biraz aşağıda olmadığını düşünürsek, bu, insan vücudunun başın üstünden ayaklara kadar pi oranında bölünmüş olduğu anlamına gelir... Eğer bu çizgiler insan vücudunda pi oranının olduğu tek çizgilerdi, bu muhtemelen ilginç bir gerçek olurdu. Aslında phi oranı vücudun binlerce yerinde bulunur ve bu sadece bir tesadüf değildir.

İşte insan vücudunda phi oranının bulunduğu bazı bariz yerler. Bir parmağın her falanksının uzunluğu, bir sonraki falanksla phi oranındadır... Tüm el ve ayak parmakları için aynı oran not edilir. Ön kolun uzunluğunu avuç içi uzunluğuyla ilişkilendirirseniz, pi oranını elde edersiniz ve omuz uzunluğu da ön kolun uzunluğuyla ilişkilidir. Veya alt bacağın uzunluğunu ayağın uzunluğuyla ve uyluğun uzunluğunu alt bacağın uzunluğuyla ilişkilendirin. Pi oranı iskelet sisteminin her yerinde bulunur. Genellikle bir şeyin büküldüğü veya yön değiştirdiği yerlerde görülür. Ayrıca vücudun bazı bölümlerinin boyutlarının diğerlerine oranında da bulunur. Bunu incelediğinizde her zaman şaşırırsınız.

Ancak kanuna aykırı görünen bir durum vardı: Mars ile Jüpiter arasında herhangi bir gezegen yoktu. Gökyüzünün bu bölümünün odaklanarak gözlemlenmesi, asteroit kuşağının keşfedilmesine yol açtı. Bu, 19. yüzyılın başında Titius'un ölümünden sonra oldu.

Fibonacci serisi yaygın olarak kullanılmaktadır: canlıların arkitektoniğini, insan yapımı yapıları ve Galaksilerin yapısını temsil etmek için kullanılır. Bu gerçekler, sayı serilerinin evrenselliğinin işaretlerinden biri olan tezahür koşullarından bağımsızlığının delilidir.

Çözüm.

Orta Çağ'ın en büyük matematikçisi olmasına rağmen, Fibonacci'nin yegâne anıtları Arno Nehri üzerindeki Pisa Kulesi'nin karşısındaki bir heykel ve biri Pisa'da, diğeri Floransa'da olmak üzere onun adını taşıyan iki caddedir.

Açık avucunuzu dikey olarak önünüze koyarsanız, baş parmak yüzünüze doğrultun ve küçük parmağınızdan başlayarak parmaklarınızı sırayla yumruk haline getirin, Fibonacci spirali olan bir hareket elde edeceksiniz.

Bazı ilginç gerçekler Sayılar ve rakamlarla ilgili.

1.4142 - 2'NİN KARE KÖKÜ

Seçkin Yunan matematikçi Pisagor'un kanıtladığı gibi, dik üçgenİki kenarın aynı uzunluğa sahip olduğu durumda, hipotenüs (uzun kenar) v(1^2 + 1^2) = v(1 + 1) = v2 = = 1,4142'ye eşit olacaktır. Bu formül Pisagor teoreminden gelir ve bir dikdörtgenin köşegen uzunluğunu hesaplamak için kullanılır.

İnşaatçılar ve mimarlar Pisagor teoremini kullanarak dik açıları oluşturmak için kolay bir yöntem geliştirdiler. Örneğin Mısırlılar, düzenli aralıklarla düğümlenen ve 12 eşit parça oluşturan halatlar kullanıyorlardı. Bu ip, kenarları 3, 4 ve 5 parçalı bir üçgen oluşturacak şekilde sabitlendi. 5^2 = 3^2 + 4^2 olduğundan 5. kısmın karşısındaki açı doğruydu.

Ancak v2, Pisagor'un inanmayı reddettiği bir kavram olan irrasyonel bir sayı olarak biliniyor. İrrasyonel bir sayı, x ve y'nin tam sayı olduğu x/y gibi kesirli olarak ifade edilemeyen bir sayıdır. v2'yi kesir olarak ifade etmeye çalışan öğrencilerinden biri bunun imkansız olduğunu fark etti ve "irrasyonel sayılar" kavramını ortaya attı. Efsaneye göre Pisagor'un emriyle küstahlığı nedeniyle boğulmuştur.

1.618 - “ALTIN ​​SAYI” PHI.

Ve şimdi size bir soru. Ne yaygın:

• Büyük Mısır Piramitleri
• Panteon
• Notre Dame Katedrali
• Ayçiçeği
• "Son Akşam Yemeği"
• Leonardo da Vinci
• Stradivarius keman
• İnsan vücudu

Tüm bu cisimlerin belli kısımlarının birbirine oranı “altın oran” kanununa uygundur ve yaklaşık 1.618'dir, buna phi sayısı (Fibonacci tarafından keşfedilmiştir), “altın sayı” ve ilahi oran da denir. Ne kadar çok bakarsanız, anlamını o kadar iyi anlarsınız. Geometride, matematikte, bilimde ve sanatta kullanılır ve bildiğimiz şekliyle yaşamın birçok boyutunu tanımlar.

Fibonacci ve phi'nin sesi

"Altın sayı" üzerine yapılan modern araştırmalar, "altın oranın" müzikal ses sisteminin yapısında mevcut olduğunu ve bu nedenle kayıt stüdyolarında üstün akustik oluşturmak için kullanılabileceğini göstermiştir. 17. yüzyıl keman yapımcısı Antonio Stradivari'nin bu araştırmadan haberi yoktu ancak enstrümanlarının şekline ilahi orantı uygulayarak rakipsiz ses kalitesi elde etti. Ancak Stradivari, herhangi bir müzik ölçeğinde 1., 3., 5. ve 8. (oktav) müzik aralıkları arasında uyumlu ilişkiler olduğunu biliyordu ve bunlar, 12. yüzyılda Leonardo Fibonacci adlı İtalyan matematikçi tarafından "altın sayı" ile ilişkilendirilmişti.

Geometri ve mimari

Bir çizgi çiz. Daha sonra, küçük parçanın büyük parçaya oranı, büyük parçanın tüm çizgiye oranına eşit olacak şekilde onu iki parçaya bölün. “Altın oran”ın dilimleri 0,618 irrasyonel sayısıyla ifade edilir ve dilimlerin oranı yukarıda belirtildiği gibi 1,618'dir. Yani, uzun bir bölüm kısa bir bölümden 1,618 kat daha uzundur ve bir çizginin tamamı uzun bir bölümden 1,618 kat daha uzundur. Yunanlılar buna "aşırı ve ortalama oranlarda çizgi kesmek" adını verdiler, ancak "altın oran", "altın oran"ın kullanımı gibi şiirsel isimlerle daha yaygın olarak tanındı. Oran (1,618...) ile parçaları bölen işareti koyduğunuz çizginin orantı noktası (0,618) arasındaki benzerlik üçlü elips ile bitmiyor; süresiz olarak sürer. Phi'nin ilk göze çarpan özelliği şudur:

1/phi ~ phi - 1, yani 1:1.618 ~ 1.618-1

Başka bir numarayla bu imkansızdır. Eğer aranızda matematikçiler varsa, bundan bir başka şaşırtıcı eşitlik sonucunu çıkaracaklar:

fi^2 ~ fi + 1, yani 1,618 x 1,618 ~ 2,618 ~ 1,618 + 1

Eski Mısırlılar ve Yunanlılar, phi sayısını sayısız ondalık basamakla veren hesap makinelerinin yardımı olmadan bunu yaptılar ve özelliklerini kullandılar.

Eski matematikçiler "altın oranın" sıradan geometriden türetilebileceğini ve bu nedenle büyük piramitleri inşa etmek için bile istenen herhangi bir ölçeğe uygulanabileceğini keşfettiler. İşte bunu yapmanın bir yolu. Dairenin içine, açılarının köşeleri daire çizgisi üzerinde olacak şekilde bir ikizkenar üçgen çizelim. Üst köşeden tabanını iki eşit parçaya bölecek bir medyan çizelim. Şimdi üçgenin eşit kenarlarının orta noktalarını birleştiren ve daire çizgisiyle kesişen bir çizgi çizelim. Medyan ile bu çizginin (merkez) kesişme noktası tepe noktası olacaktır dik açı bacakların (ve ayrıca üçgenin kenarının ortasına ve daire çizgisine kadar olan bölümlerin) phi'ye eşit bir orana sahip olacağı birincil "altın üçgen". Pi sayısı, bir daire ile diğer düzenli geometrik şekiller arasındaki ilişkiyle ifade edilir ve bu, yapıları için ideal oranlar arayan eski mimarlar tarafından biliniyordu. Mısır'daki piramitleri veya Atina'daki Pantheon'u ziyaret eden herkes bunların etkileyici olduğu konusunda hemfikir olacaktır.

Antik matematikçilerin takipçileri

Leonardo Fibonacci tavşanlar üzerinde araştırma yaptı ve adının tarihe geçtiği ortaya çıktı. Farklı cinsiyetteki iki genç bireyden yola çıkarak nüfuslarındaki artış oranını hesaplamak istedi. Bir aylık bir çifte dayanarak bir hayvan büyüme tablosu çizdi, bir ay sonra karşı cinsten başka bir çift doğdu ve sonra her şey aynı sırayla gerçekleşti. Benzer bir hesaplamayı 0'dan başlayarak kendiniz yapmaya çalışırsanız ve her ayın sonunda tavşan çiftlerinin sayısını yazarsanız (bu hesaplamada olası ölümleri hesaba katmıyoruz), bir dizi sayı elde edeceksiniz. : 0, 1, 1, 2, 3, 5 , 8, 13, 21, 34, 55, 89... Bu sayı dizisine “Fibonacci serisi” denir ve süresiz olarak devam eder. Formül çok basit: her sayı kendinden önceki iki sayının toplamıdır. Fibonacci serisindeki sayılar arasındaki ilişkilere daha derinlemesine bakıldığında, sayılar ölçeğinde ilerledikçe her sayının bir sonrakiyle ilişkisinin “altın sayıya” giderek daha fazla yaklaştığı görülür.

Bu nedenle Fibonacci sayıları phi, yani “altın oran” ile yakından ilişkilidir ve bu, insan yapımı matematik ve geometri dünyasının çok ötesine yansır.

Sanat

Mısırlıların Büyük Gize Piramitlerini inşa etmesinden 4000 yıl sonra, Rönesans sanatçıları ve mimarları phi'nin faydalarını keşfettiler. Bunu resimlerinde (Son Akşam Yemeği) ve binalarında (Notre Dame Katedrali) kullandılar. “Altın oran” kanunu, doğadaki birçok yapıda olduğu gibi insan yüzünün ve vücudunun oranlarına da yansıyor. Phi sayısının ilahi oran olarak adlandırılması şaşırtıcı değildir ve yaşamın çeşitli yönlerinde ortaya çıkışı kesinlikle Yüksek Güçlerin müdahalesine işaret etmelidir.

Doğa

Fibonacci sayıları belirli bitkilerin tohumları, yaprakları ve dalları incelenerek kolaylıkla bulunabilir. Örneğin, bir ayçiçeği tohumlarla sarmal yollar oluşturur; bunların sayısı her zaman yukarıdaki sayı dizisine karşılık gelir. Birçok bitkinin dalları Fibonacci sayılarına göre büyür, bir seviyede ilk dal bulunur, ikincisinde iki, sonra üç, sonra beş vb. yeni dal, kendi süreci üremeye başlamadan önce büyümeyi durdurur. Fibonacci, bitki ve hayvan hücrelerinin çoğalmasının da bu sırayla gerçekleştiğini bilmiyordu; bu, doğadaki bu kadar çok nesnenin (örneğin, insan yüz özellikleri ve bir kabuğun spiralleri) neden ilahi oranlara karşılık geldiğini kısmen açıklıyor. Uyumlu oranlara bakmaktan bu kadar keyif almamızın nedeni ise oldukça basit ve insan gözünün “altın oran” kanununa uyan yapısında yatıyor.

Phi sayısı hakkında sonsuz sayıda yazabilirsiniz, o yüzden şimdilik bununla bitirelim ve bir sonrakine geçelim: Pi.

3,14159265358979323846...

3.14 Yunanca pi harfiyle gösterilen değerdir. Bu, sonsuz sayıda ondalık basamağa sahip irrasyonel bir sayıdır, ancak aslında maksimum doğruluk elde etmek için beş veya altı yeterlidir. 3,14, bir dairenin veya ovalin alanını ve uzunluğunu hesaplamak için kullanılan sayıdır. (Pi ismi, Yunanca çevre anlamına gelen kelimenin ilk harfinden gelir.) Çevre: 3,14D, burada D çaptır; bir dairenin alanı: 3.14r2, burada r yarıçaptır. Yunanlılar bu miktarın özelliklerini biliyorlardı, ancak bunu 3,14 olarak yazmak için ondalık bir sisteme sahip değillerdi. Buna en yakın bilgi Arşimed'in hesaplamasıdır: 3.14, 223/71'den fazla, 22/7'den azdır. Çok iyi bir yaklaşım. Pi'yi hesaplama arayışı, Çinli matematikçi Tsu Chongzhi'nin formülünü şu değere yaklaştırdığı doğuya doğru ilerledi: 355/113'ten büyük ve 22/7'den küçük. Matematikçiler arasındaki bu takıntı bugün de devam ediyor ve bu süre zarfında 3.14 için pi sembolünü kullanan ilk kişi 1706'da Galler'den William Jones'du.

Pi'nin peşinde.

3 Ekim 2006'da Akira Haraguchi pi sayısının 100.000 ondalık basamağını ezberleyerek kendi rekorunu kırdı. Çoğu insan için 10 ondalık basamağı hatırlamak zaten oldukça zordur ve anımsatıcılar burada her şeyi açıklayabilir - metodolojisine uygun olarak, her kelimedeki harf sayısı dikkate alınır. En yaygın olanı: "Kuantum mekaniğini içeren ağır derslerden sonra bir içkiye ne kadar ihtiyacım var, tabii ki alkollü" (Rusça'daki analog: "Bir bardak Stolichnaya ve bir salatalığı nasıl istiyorum - zorlu denemelerle dolu altı yalnız maratondan sonra" ). Bu ifade pi sayısının 15 ondalık basamağını hatırlamanıza yardımcı olur. 1996 yılında Mike Keith, kelimelerin pi'nin ilk 3834 rakamına karşılık geldiği "Cadeic Cadenze" adlı kısa bir hikaye yazdı.

YEDİ

7 sayısının neden din ve mitolojide bu kadar yaygın olarak kullanıldığına dair yalnızca spekülasyon yapabiliriz. Bunun, güneş sistemimizdeki 7 "gök cismini" çıplak gözle görebildiğimiz gerçeğiyle bir ilgisi var mı: beş gezegen (bkz. 5 numara) artı Güneş ve Ay? Yoksa 7 sayısının bu kadar popüler olması bir tesadüf mü? Bazı sayılar simetriye sahiptir, 1 ise birliğe sahiptir; 3 - denge, denge; 5 ve 9'un matematiksel yapısında tekdüzelik vardır (2 + 1 + 2 = 5; 4 + 1 + 4 = 9). Ancak 7, belirsiz sayıda şeyi veya kavramı temsil eden, kırılması zor bir cevizdir. Örneğin “yedi denizin ötesinde” ifadesini ele alalım. Her denizci dünyada yediden fazla deniz olduğunu bilir. Kuzey Denizi, İrlanda Denizi, Akdeniz, Hazar Denizi, Ege Denizi, Adriyatik Denizi, Karadeniz ve Kızıldeniz, Ölü Deniz, Güney Çin Denizi... Bu metinde "yedi" kelimesi var. ve diğer birçok durum genellikle "çok" anlamında kullanılır Yaygın uğur böceğinin (yedi benekli uğur böceği, Coccinella septempunctata) 7 lekesi vardır: her kanatta üç ve başın yakınında bir tane. Çok çeşitli uğur böceği vardır ve nokta sayısı farklı şekiller 2 ila 24 arasında değişebilir.

Haftanın yedi günü

Yaklaşık 5.000 yıl önce Babilliler zamanı güneşin ortaya çıkışına (1 gün) ve 29 günlük (yaklaşık bir ay) ay döngüsüne göre ölçtüler. Ancak daha kısa bir ölçü birimi istediler ve 29 yalnızca 1 ve 29'a bölünebildiğinden, onu 7 günün 4 parçasına bölmenin en iyisi olacağına karar verdiler (28). İÇİNDE ingilizce dili Haftanın günlerinin adlarının çoğu, Roma tanrılarının adlarını kendi haftanın günlerinin adlarıyla değiştiren Angıllar ve Saksonlar tarafından yanlarında getirildi.

• Pazar (diriliş) - iki kelimeden oluşur: “Güneş” ve “gün” - Güneş'in günü
• Pazartesi (Pazartesi) - “Ay” ve “gün” - Ayın günü
• Salı - Roma savaş tanrısı Mars yerine İskandinav savaş tanrısı Tyr onuruna; adının kökleri hâlâ Fransızca, İspanyolca ve İtalyanca mardi, martes ve martedi kelimelerinde mevcuttur.
• Çarşamba (Çarşamba) - adını ana İskandinav tanrısı Wooden'den almıştır. Romalılar bu günü tanrı Merkür'ün adıyla adlandırdılar (Fransızca mercredi, İspanyol miercoles, İtalyanca mercoledi)
• Perşembe (Perşembe) - Adını Roma Jüpiter'i yerine İskandinav gök gürültüsü tanrısı Thor'dan almıştır.
• Cuma - Roma aşk tanrıçası Venüs'ün adı yerine adı kullanılan İskandinav aşk ve savaş tanrıçası Freya'nın onuruna
• Cumartesi - isim, Roma'nın zaman ve hasat tanrısı Satürn'ün adından türetilmiştir ve hala değişmeden kalmıştır.

Birkaç örnek daha

Yedinci Cennet

Bazı dini mezheplerin takipçileri, yedi günlük haftanın Tanrı'nın bir icadı olduğunu iddia ediyor. Şüphesiz Yahudilikte 7 sayısı sürekli olarak karşımıza çıkmaktadır. Yaratılış Kitabı'nın dediği gibi Tanrı dünyayı 7 günde yarattı. Ve İbranice yazılmış Yaratılış Kitabının ilk cümlesi yedilerle doludur. İngilizce'de şu şekildedir: "Başlangıçta Tanrı gökleri ve yeri yarattı." İbranice'de bu cümle 7 kelime ve 28 harften oluşur ve bunlar da yedili gruplara ayrılır. Şabat* haftanın yedinci günüdür. Yahudilerin yılda 7 bayramı vardır ve bunlardan ikisi (Fısıh ve Sukkot**) 7 gün sürer. Çok mumlu bir şamdan olan menora, her iki tarafta üç ve ortada bir olmak üzere yedi bölümden oluşur. Ayrıca Tanrı'yı ​​temsil eden Davut Yıldızı'nın 6 ucu ve bir ortası vardır. Bu liste uzayıp gidebilir.

Hem Yahudilikte hem de İslam'da cennetin yedi katı olduğuna inanılır. Bunun, eski insanın hayranlık duyduğu yedi "göksel beden" ile ilgisi olabilir ve bazı durumlarda insanlar, ölümden sonra ruhun bu seviyelerin tümünden geçtiğine inanıyordu. Kökeni ne olursa olsun, “yedinci gök” ifadesi genellikle “mutluluğun doruğu” anlamına gelir.

Japonya'da 7 sayısının da önemli dini önemi vardır. Örneğin Japon Budizminde 7 şans tanrısı vardır. Japonlar, insanların 7 kez başka yaşamlarda reenkarnasyona uğradığına ve ölümden sonra 7 gün yas tutulması gerektiğine inanıyor. Şinto'da 7-5-3*** tatili, yedi yaşındaki kızları kadınlık dönemine davet ediyor.

Yedi ölümcül günah

• Gurur
• İmrenmek
• Oburluk
• Açgözlülük
• Keyifsizlik

Yedi Kutsal Erdem

• iffet
• Moderasyon
• Coşku
• Sabır
• Nezaket
• Tevazu
• Cömertlik

* Cumartesi Şabat Yahudiler için kutsal bir dinlenme günüdür, Pazar ise Hıristiyanlar için kutsal bir dinlenme günüdür.
** Çardak Bayramı Skinopigia, Yahudilerin kırk yıl boyunca çölde dolaştıkları sırada yaşadıkları çadırların anısına düzenlenen bir Yahudi bayramıdır.
*** Japonca'da "yedi-beş-üç" anlamına gelen "Shichi-go-san", Japonya'da günümüze kadar devam eden bir tatildir. 7 yaşında bir kız çocuğu ilk olarak obi kemeriyle bağlanır. Bu ritüele obi-toki (“kemer değiştirme”) denir ve kız hayatında ilk kez yetişkin bir kadın gibi giyindiğinden büyümeyi simgelemektedir.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Fibonacci sayıları ve altın oranÇevredeki dünyayı anlamanın, onun formunu oluşturmanın ve bir kişinin güzelliği ve uyumu hissedebileceği en uygun görsel algının temelini oluşturur.

Altın oranın boyutlarının belirlenmesi ilkesi, tüm dünyanın ve parçalarının yapı ve fonksiyonlarındaki mükemmelliğinin temelini oluşturur, bunun tezahürü doğada, sanatta ve teknolojide görülebilir. Altın oran doktrini, eski bilim adamlarının sayıların doğası üzerine yaptığı araştırmalar sonucunda kuruldu.

Altın oranın eski düşünürler tarafından kullanıldığına dair kanıtlar, Öklid'in 3. yüzyılda yazdığı "Elementler" kitabında verilmektedir. Bu kuralı düzgün beşgenler oluşturmak için uygulayan M.Ö. Pisagorcular arasında bu figür hem simetrik hem de asimetrik olduğundan kutsal kabul edilir. Pentagram yaşamı ve sağlığı simgeliyordu.

Fibonacci sayıları

Daha sonra Fibonacci olarak anılacak olan İtalyan matematikçi Pisalı Leonardo'nun ünlü kitabı Liber abaci 1202'de yayımlandı. Bu kitapta bilim adamı ilk kez her sayının toplamı olan bir dizi sayı modelinden bahsediyor. 2 önceki rakam. Fibonacci sayı dizisi şu şekildedir:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 vb.

Bilim adamı ayrıca bir takım kalıplardan da bahsetti:

Serideki herhangi bir sayının bir sonraki sayıya bölünmesi, 0,618'e yaklaşan bir değere eşit olacaktır. Üstelik ilk Fibonacci sayıları böyle bir sayı vermese de dizinin başından itibaren ilerledikçe bu oran daha da doğru hale gelecektir.

Serideki sayıyı bir önceki sayıya bölerseniz sonuç 1.618'e çıkacaktır.

Bir sayının diğerine bire bölünmesi, 0,382'ye yaklaşan bir değer gösterecektir.

Altın oran olan Fibonacci sayısının (0,618) bağlantı ve kalıplarının uygulamasına sadece matematikte değil, doğa, tarih, mimarlık ve inşaat ve diğer birçok bilim dalında da rastlanmaktadır.

Pratik amaçlar için bunlar yaklaşık Φ = 1,618 veya Φ = 1,62 değeriyle sınırlıdır. Yuvarlatılmış yüzde değerinde altın oran, herhangi bir değerin %62 ve %38 oranlarına bölünmesidir.

Tarihsel olarak, altın bölüme başlangıçta AB parçasının C noktasına göre iki parçaya (daha küçük AC parçası ve daha büyük BC parçası) bölünmesi deniyordu, böylece AC/BC = BC/AB parçalarının uzunlukları doğruydu. Basit bir ifadeyle altın oran, bir parçayı iki eşit olmayan parçaya böler; böylece büyük parça parçanın tamamıyla ilişkili olduğu gibi, küçük parça da büyük parçayla ilişkilendirilir. Daha sonra bu kavram keyfi miktarlara genişletildi.

Φ sayısına aynı zamanda denir altın sayı.

altın Oran birçok harika özelliğe sahiptir, ancak buna ek olarak birçok hayali özellik ona atfedilir.

Şimdi ayrıntılar:

GS'nin tanımı, bir segmentin, toplamının (tüm segment) daha büyük olana eşit olması nedeniyle, daha büyük kısmın daha küçük olanla ilişkili olduğu bir oranda iki parçaya bölünmesidir.

Yani, c segmentinin tamamını 1 olarak alırsak, a segmenti 0,618'e, b segmenti - 0,382'ye eşit olacaktır. Böylece, örneğin 3S prensibine göre inşa edilmiş bir tapınak gibi bir bina alırsak, o zaman yüksekliği, örneğin 10 metre ile, kubbeli tamburun yüksekliği 3,82 cm olacak ve taban yüksekliği de 3,82 cm olacaktır. yapı 6,18 cm olacaktır (sayıların netlik açısından düz alındığı açıktır)

ZS ve Fibonacci sayıları arasındaki bağlantı nedir?

Fibonacci dizi numaraları:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Sayıların düzeni, sonraki her sayının önceki iki sayının toplamına eşit olmasıdır.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 vb.

ve komşu sayıların oranı ZS oranına yaklaşmaktadır.
Yani 21:34 = 0,617 ve 34:55 = 0,618.

Yani GS, Fibonacci dizisinin sayılarına dayanmaktadır.

“Altın Oran” terimini, “Matematikçi olmayan kimse eserlerimi okumaya cesaret etmesin” diyen ve ünlü “Vitruvius Adamı” çiziminde insan vücudunun oranlarını gösteren Leonardo Da Vinci tarafından ortaya atıldığı düşünülmektedir. ”. “Evrenin en mükemmel yaratımı olan insan figürünü bir kemerle bağlarsak ve sonra kemerden ayaklara kadar olan mesafeyi ölçersek, bu değer aynı kemerden başın tepesine kadar olan mesafeyle ilgili olacaktır. tıpkı bir insanın tüm boyunun belden ayağa kadar olan uzunlukla ilişkili olması gibi.”

Fibonacci sayı serisi görsel olarak spiral şeklinde modellenmiştir (gerçekleştirilmiştir).

Ve doğada GS spirali şöyle görünür:

Aynı zamanda spiral her yerde gözlemlenir (sadece doğada değil):

Bitkilerin çoğunda tohumlar spiral şeklinde düzenlenmiştir.
- Örümcek spiral şeklinde bir ağ örüyor
- Bir kasırga sarmal gibi dönüyor
- Korkmuş bir ren geyiği sürüsü sarmal şeklinde dağılıyor.
- DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülmüştür. DNA molekülü, 34 angstrom uzunluğunda ve 21 angstrom genişliğinde, dikey olarak iç içe geçmiş iki sarmaldan oluşur. Fibonacci dizisinde 21 ve 34 sayıları birbirini takip etmektedir.
- Embriyo spiral şeklinde gelişir
- İç kulakta koklear spiral
- Su spiral şeklinde kanalizasyona akar
- Sarmal dinamikler, kişinin kişiliğinin ve değerlerinin gelişimini bir sarmal içerisinde gösterir.
- Ve tabii ki Galaksinin kendisi de spiral şeklindedir

Dolayısıyla doğanın kendisinin de Altın Oran prensibine göre inşa edildiği, dolayısıyla bu oranın insan gözüyle daha uyumlu algılandığı ileri sürülebilir. Ortaya çıkan dünya resmine “düzeltme” veya ekleme gerektirmez.

Film. Allah'ın numarası. Tanrı'nın reddedilemez kanıtı; Tanrı'nın sayısı. Tanrının tartışılmaz kanıtı.

DNA molekülünün yapısında altın oranlar

Canlıların fizyolojik özelliklerine ilişkin tüm bilgiler, yapısında altın oran kanununu da barındıran mikroskobik bir DNA molekülünde depolanır. DNA molekülü dikey olarak iç içe geçmiş iki sarmaldan oluşur. Bu spirallerin her birinin uzunluğu 34 angstrom, genişliği ise 21 angstromdur. (1 angstrom santimetrenin yüz milyonda biridir).

21 ve 34 Fibonacci sayıları dizisinde birbirini takip eden sayılardır yani DNA molekülünün logaritmik spiralinin uzunluk ve genişlik oranı 1:1.618 altın oranın formülünü taşır.

Mikrokozmosların yapısında altın oran

Geometrik şekiller sadece üçgen, kare, beşgen veya altıgenle sınırlı değildir. Bu şekilleri birbirine farklı şekillerde bağlarsak yeni üç boyutlu geometrik şekiller elde ederiz. Buna örnek olarak küp veya piramit gibi şekiller verilebilir. Ancak bunların yanında daha önce karşılaşmadığımız üç boyutlu figürler de var. Gündelik Yaşam isimlerini belki de ilk kez duyduğumuz isimler. Bu tür üç boyutlu şekiller arasında tetrahedron (normal dört taraflı şekil), oktahedron, dodecahedron, icosahedron vb. yer alır. Dodekahedron 13 beşgenden, ikosahedron ise 20 üçgenden oluşur. Matematikçiler bu rakamların matematiksel olarak çok kolay dönüştürüldüğünü ve dönüşümlerinin altın oranın logaritmik spiral formülüne göre gerçekleştiğini belirtiyorlar.

Mikrokozmosta altın oranlara göre inşa edilmiş üç boyutlu logaritmik formlar her yerde mevcuttur. Örneğin birçok virüsün üç boyutlu bir yapısı vardır. geometrik şekil ikosahedron. Bu virüslerin belki de en ünlüsü Adeno virüsüdür. Adeno virüsünün protein kabuğu, belirli bir sırayla düzenlenmiş 252 birim protein hücresinden oluşur. İkosahedronun her köşesinde beşgen prizma şeklinde 12 adet protein hücresi bulunur ve bu köşelerden sivri uçlu yapılar uzanır.

Virüslerin yapısındaki altın oran ilk kez 1950'li yıllarda keşfedildi. Birkbeck College London'dan bilim adamları A. Klug ve D. Kaspar. 13 Polyo virüsü logaritmik bir form sergileyen ilk virüstü. Bu virüsün formunun Rhino 14 virüsünün formuna benzer olduğu ortaya çıktı.

Şu soru ortaya çıkıyor: Virüsler, yapısı altın oranı içeren, insan aklıyla bile oluşturulması oldukça zor olan bu kadar karmaşık üç boyutlu şekilleri nasıl oluşturuyor? Bu virüs türlerini keşfeden virolog A. Klug şu yorumu yapıyor:

"Dr. Kaspar ve ben, virüsün küresel kabuğu için en uygun şeklin ikosahedron şekli gibi simetri olduğunu gösterdik. Bu düzen, bağlantı elemanlarının sayısını en aza indirir... Buckminster Fuller'ın jeodezik yarım küre küplerinin çoğu, benzer bir geometrik prensip üzerine inşa edilmiştir. 14 Bu tür küplerin kurulumu son derece doğru ve ayrıntılı bir açıklayıcı şema gerektirir. Oysa bilinçsiz virüsler elastik, esnek protein hücresel birimlerden böylesine karmaşık bir kabuk oluştururlar.”

Antik Mısır piramitleri, Leonardo da Vinci'nin Mona Lisa'sı, ayçiçeği ve salyangozun ortak noktalarının neler olduğunu öğrenelim. Çam kozalağı ve insan parmakları?

Bu sorunun cevabı keşfedilen şaşırtıcı rakamlarda gizli İtalyan ortaçağ matematikçisi Pisalı Leonardo, daha çok Fibonacci adıyla bilinir (yaklaşık 1170 doğumlu - 1228'den sonra öldü), İtalyan matematikçi . Doğu'yu dolaşırken Arap matematiğinin başarılarıyla tanıştı; Batı'ya transferlerine katkıda bulundu.

Onun keşfinden sonra bu sayılar ünlü matematikçinin adıyla anılmaya başlandı. Fibonacci sayı dizisinin şaşırtıcı özü şudur: bu dizideki her sayının önceki iki sayının toplamından elde edildiği.

Yani diziyi oluşturan sayılar:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

“Fibonacci sayıları” olarak adlandırılır ve dizinin kendisi de Fibonacci dizisi olarak adlandırılır..

Fibonacci sayılarıyla ilgili çok ilginç bir özellik var. Dizideki herhangi bir sayıyı serideki önündeki sayıya böldüğünüzde sonuç her zaman irrasyonel değer olan 1,61803398875... etrafında dalgalanan ve bazen onu aşan, bazen ona ulaşamayan bir değer olacaktır. (Yaklaşık irrasyonel sayı, yani ondalık gösterimi sonsuz olan ve periyodik olmayan bir sayı)

Üstelik dizideki 13. sayıdan sonra bu bölme sonucu serinin sonsuza kadar sabit kalıyor... Orta Çağ'da İlahi oran adı verilen ve günümüzde altın oran, altın ortalama veya altın oran olarak adlandırılan şey, bu sabit sayıdaki bölümdür. . Cebirde bu sayı Yunanca phi (Ф) harfiyle gösterilir.

Yani Altın oran = 1:1.618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

İnsan vücudu ve altın oran

Sanatçılar, bilim insanları, moda tasarımcıları, tasarımcılar hesaplamalarını, çizimlerini veya eskizlerini altın oran oranına göre yaparlar. Yine altın oran prensibine göre yaratılmış olan insan vücudundan alınan ölçümleri kullanıyorlar. Başyapıtlarını yaratmadan önce Leonardo Da Vinci ve Le Corbusier, Altın Oran kanununa göre oluşturulan insan vücudunun parametrelerini aldılar.

Tüm modern mimarların en önemli kitabı olan E. Neufert'in “Bina Tasarımı” referans kitabı, altın oranı içeren insan gövdesi parametrelerinin temel hesaplamalarını içerir.

Oranlar çeşitli parçalar vücudumuz altın orana çok yakın bir sayıdır. Bu oranlar altın oran formülüne uyuyorsa kişinin görünümü veya vücudu ideal orantılı kabul edilir. İnsan vücudundaki altın ölçüsünü hesaplama prensibi bir diyagram şeklinde gösterilebilir:

E/m=1.618

İnsan vücudunun yapısındaki altın oranın ilk örneği:
Göbek noktasını insan vücudunun merkezi, ayak ile göbek noktası arasındaki mesafeyi ölçü birimi olarak alırsak, kişinin boyu 1.618 sayısına denk gelir.

Buna ek olarak vücudumuzun birkaç temel altın oranı daha vardır:

* parmak uçlarından bileğe ve dirseğe kadar olan mesafe 1:1.618;

* Omuz hizasından başın tepesine kadar olan mesafe ve kafa büyüklüğü 1:1.618;

* Göbek noktasından başın tepesine ve omuz hizasından başın tepesine kadar olan mesafe 1:1.618;

* Göbek noktasının dizlere ve dizlerden ayaklara olan mesafesi 1:1.618;

*Çene ucundan üst dudak ucuna ve üst dudak ucundan burun deliklerine kadar olan mesafe 1:1.618;

* Çene ucundan kaşların üst çizgisine ve kaşların üst çizgisinden tepeye kadar olan mesafe 1:1.618;

* Çene ucundan kaşların üst çizgisine ve kaşların üst çizgisinden tepeye kadar olan mesafe 1:1.618'dir:

Kusursuz güzelliğin kriteri olarak insan yüz hatlarındaki altın oran.

İnsan yüz hatlarının yapısında da altın oran formülüne yakın değerde birçok örnek bulunmaktadır. Ancak hemen tüm insanların yüzlerini ölçecek bir cetvel bulmak için acele etmeyin. Çünkü bilim adamlarına ve sanatçılara, sanatçılara ve heykeltıraşlara göre altın orana tam karşılıklar ancak mükemmel güzelliğe sahip insanlarda mevcuttur. Aslında altın oranın bir insanın yüzündeki tam varlığı, insan bakışı için ideal güzelliktir.

Örneğin öndeki üst iki dişin genişliklerini toplayıp bu toplamı dişlerin yüksekliğine bölersek altın oran sayısını elde ederek bu dişlerin yapısının ideal olduğunu söyleyebiliriz.

Altın oran kuralının insan yüzünde başka uygulamaları da vardır. İşte bu ilişkilerden birkaçı:

*Yüz yüksekliği/yüz genişliği;

* Dudakların burun tabanına bağlantı merkezi noktası / burun uzunluğu;

* Yüz yüksekliği / çene ucundan dudakların birleştiği orta noktaya kadar olan mesafe;

*Ağız genişliği/burun genişliği;

* Burun genişliği / burun delikleri arasındaki mesafe;

* Gözbebekleri arasındaki mesafe / kaşlar arasındaki mesafe.

İnsan eli

Avucunuzu kendinize yaklaştırmanız ve dikkatlice bakmanız yeterlidir. işaret parmağı Altın oranın formülünü hemen bulacaksınız. Elimizin her parmağı üç falankstan oluşur.

* Parmağın ilk iki falanksının, parmağın tüm uzunluğuna göre toplamı, altın oran sayısını verir (başparmak hariç);

* Ayrıca orta parmak ile küçük parmak arasındaki oran da altın orana eşittir;

* Bir kişinin 2 eli vardır, her eldeki parmaklar 3 falankstan oluşur (başparmak hariç). Her elde 5 parmak yani toplamda 10 parmak vardır ancak iki falankslı iki başparmak dışında altın oran prensibine göre sadece 8 parmak yaratılmıştır. Oysa bu 2, 3, 5 ve 8 sayıları Fibonacci dizisinin sayılarıdır:

İnsan akciğerinin yapısında altın oran

Amerikalı fizikçi B.D. West ve Dr. A.L. Goldberger, fiziksel ve anatomik çalışmaları sırasında altın oranın insan akciğerinin yapısında da bulunduğunu tespit etti.

İnsan akciğerlerini oluşturan bronşların özelliği asimetrilerinde yatmaktadır. Bronşlar biri (solda) daha uzun, diğeri (sağda) daha kısa olan iki ana hava yolundan oluşur.

* Bronşların dallarında, tüm küçük solunum yollarında bu asimetrinin devam ettiği tespit edildi. Ayrıca kısa ve uzun bronş uzunluklarının oranı da altın orandır ve 1:1.618'e eşittir.

Altın ortogonal dörtgen ve spiralin yapısı

Altın oran, bir parçanın eşit olmayan parçalara orantılı bir şekilde bölünmesidir; burada, büyük parçanın kendisi daha küçük olanla ilişkili olduğu için tüm parça daha büyük parçayla ilişkilidir; veya başka bir deyişle, daha büyük olanın bütüne oranı ne kadar küçükse, o kadar büyüktür.

Geometride bu en boy oranına sahip bir dikdörtgene altın dikdörtgen adı verildi. Uzun kenarları kısa kenarlarına göre 1.168:1 oranındadır.

Altın dikdörtgenin ayrıca birçok şaşırtıcı özelliği vardır. Altın dikdörtgenin birçok olağandışı özelliği vardır. Kenarı dikdörtgenin küçük kenarına eşit olan altın dikdörtgenden bir kare keserek yine daha küçük boyutlarda bir altın dikdörtgen elde ediyoruz. Bu işleme süresiz olarak devam edilebilir. Kareleri kesmeye devam ettikçe giderek küçülen altın dikdörtgenler elde edeceğiz. Dahası, doğal nesnelerin (örneğin salyangoz kabukları) matematiksel modellerinde önemli olan logaritmik bir spiral içinde yer alacaklardır.

Spiralin kutbu, ilk dikdörtgen ile kesilecek ilk dikey köşegenlerin kesişiminde bulunur. Ayrıca, sonraki tüm azalan altın dikdörtgenlerin köşegenleri bu köşegenlerin üzerinde yer alır. Tabii bir de altın üçgen var.

İngiliz tasarımcı ve estetisyen William Charlton, insanların spiral şekilleri göze hoş bulduklarını ve binlerce yıldır bu şekilleri kullandıklarını belirterek, bunu şöyle açıkladı:

"Spiralin görünümünü seviyoruz çünkü görsel olarak ona kolayca bakabiliyoruz."

Doğada

* Spiralin yapısının temelini oluşturan altın oran kuralına, doğada eşi benzeri olmayan güzellikteki yaratımlarda sıklıkla rastlanır. En belirgin örnekler, ayçiçeği çekirdeği, çam kozalağı, ananas, kaktüslerin dizilişinde, gül yapraklarının yapısında vb. sarmal şeklin görülebilmesi;

* Botanikçiler, bir daldaki yaprakların, ayçiçeği tohumlarının veya çam kozalaklarının dizilişinde Fibonacci serisinin açıkça ortaya çıktığını ve dolayısıyla altın oran yasasının ortaya çıktığını bulmuşlardır;

Yüce Rabbimiz, yarattıklarının her biri için özel bir ölçü tesis etmiş ve ona ölçülülük vermiştir. Bu, doğadaki örneklerle de teyit edilmektedir. Canlı organizmaların büyüme süreci logaritmik spiralin şekline tam olarak uygun olarak gerçekleştiğinde pek çok örnek verilebilir.

Spiraldeki tüm yaylar aynı şekle sahiptir. Matematikçiler, yayların boyutunda bir artış olsa bile spiralin şeklinin değişmeden kaldığını bulmuşlardır. Matematikte spiralle aynı özelliklere sahip başka bir form yoktur.

Deniz kabuklarının yapısı

Deniz diplerinde yaşayan yumuşak gövdeli yumuşakçaların kabuklarının iç ve dış yapısını inceleyen bilim insanları şunları söyledi:

“Kabukların iç yüzeyi kusursuz bir şekilde pürüzsüzdür, dış yüzeyi ise tamamen pürüz ve düzensizliklerle kaplıdır. Yumuşakça bir kabuğun içindeydi ve bunun için kabuğun iç yüzeyinin tamamen pürüzsüz olması gerekiyordu. Kabuğun dış köşeleri-bükmeleri mukavemetini, sertliğini arttırır ve dolayısıyla mukavemetini arttırır. Kabuğun (salyangoz) yapısının mükemmelliği ve şaşırtıcı zekası hayret vericidir. Kabukların spiral fikri mükemmel bir geometrik formdur ve bilenmiş güzelliğiyle şaşırtıcıdır."

Kabuklu salyangozların çoğunda kabuk logaritmik spiral şeklinde büyür. Ancak hiç şüphe yok ki bu mantıksız yaratıklar, logaritmik spiral hakkında hiçbir fikre sahip olmadıkları gibi, kendilerine spiral şeklinde bir kabuk oluşturabilecek en basit matematik bilgisine bile sahip değillerdir.

Peki o zaman bu mantıksız yaratıklar, sarmal bir kabuk biçimindeki ideal büyüme ve varoluş biçimini kendileri için nasıl belirleyip seçebildiler? Bu canlılar olabilir mi? bilim adamları dünyasıİlkel yaşam formlarını çağıran bir kabuğun logaritmik şeklinin onların varlığı için ideal olacağını hesaplayabilir misiniz?

Elbette hayır, çünkü böyle bir plan akıl ve bilgi olmadan gerçekleştirilemez. Ancak ne ilkel yumuşakçalar ne de bilinçsiz doğa böyle bir zekaya sahip değildir, ancak bazı bilim adamları buna dünyadaki yaşamın yaratıcısı (?!) adını verirler.

En ilkel canlı türünün bile kökenini, belirli doğa koşullarının tesadüfi birleşimiyle açıklamaya çalışmak, en hafif tabirle saçmadır. Bu projenin bilinçli bir yaratım olduğu açıktır.

Biyolog Sir D'arky Thompson deniz kabuklarının bu tür büyümesine şöyle diyor: "cücelerin büyüme formu."

Sir Thompson şu yorumu yapıyor:

“Orantılı olarak büyüyüp genişleyen deniz kabuklarının aynı şeklini koruyarak büyümesinden daha basit bir sistem yoktur. En şaşırtıcı şey ise kabuğun büyümesi ama hiçbir zaman şekil değiştirmemesi."

Çapı birkaç santimetre olan Nautilus, cüce büyüme alışkanlığının en çarpıcı örneğidir. S. Morrison, insan zihniyle bile planlanması oldukça zor görünen nautilus'un büyüme sürecini şu şekilde tanımlıyor:

“Nautilus kabuğunun içinde sedeften yapılmış bölmelere sahip çok sayıda bölme-oda var ve kabuğun kendisi de merkezden genişleyen bir spiral. Nautilus büyüdükçe kabuğun ön kısmında başka bir oda büyür, ancak zaten büyük boyutlar eskisine göre daha kalın ve odanın geride kalan bölmeleri sedef tabakasıyla kaplı. Böylece spiral her zaman orantılı olarak genişliyor.”

Bilimsel adlarına uygun olarak logaritmik büyüme düzenine sahip bazı spiral kabuk türleri şunlardır:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Keşfedilen tüm fosil kabuk kalıntıları da gelişmiş bir spiral şekle sahipti.

Ancak logaritmik büyüme formu sadece yumuşakçalarda değil hayvanlar aleminde de bulunur. Antilop, yaban keçisi, koç ve benzeri hayvanların boynuzları da altın oran kanunlarına göre spiral şeklinde gelişir.

İnsan kulağındaki altın oran

İnsanın iç kulağında ses titreşimini iletme işlevini yerine getiren Koklea (“Salyangoz”) adı verilen bir organ vardır.. Bu kemiksi yapı sıvıyla doludur ve aynı zamanda salyangoz şeklindedir ve sabit bir logaritmik spiral şekli = 73° 43' içerir.

Hayvan boynuzları ve dişleri spiral şeklinde gelişiyor

Fillerin ve soyu tükenen mamutların dişleri, aslanların pençeleri ve papağanların gagaları logaritmik biçimdedir ve spirale dönüşme eğiliminde olan bir eksen şeklini andırır. Örümcekler ağlarını daima logaritmik spiral şeklinde örerler. Plankton (globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae ve trochida türleri) gibi mikroorganizmaların yapısı da spiral bir şekle sahiptir.

Mikrokozmosların yapısında altın oran

Geometrik şekiller sadece üçgen, kare, beşgen veya altıgenle sınırlı değildir. Bu şekilleri birbirine farklı şekillerde bağlarsak yeni üç boyutlu geometrik şekiller elde ederiz. Buna örnek olarak küp veya piramit gibi şekiller verilebilir. Ancak bunların yanında günlük hayatta karşılaşmadığımız, isimlerini belki de ilk kez duyduğumuz üç boyutlu figürler de var. Bu tür üç boyutlu şekiller arasında tetrahedron (normal dört taraflı şekil), oktahedron, dodecahedron, icosahedron vb. yer alır. Dodekahedron 13 beşgenden, ikosahedron ise 20 üçgenden oluşur. Matematikçiler bu rakamların matematiksel olarak çok kolay dönüştürüldüğünü ve dönüşümlerinin altın oranın logaritmik spiral formülüne göre gerçekleştiğini belirtiyorlar.

Mikrokozmosta altın oranlara göre oluşturulmuş üç boyutlu logaritmik formlar her yerde mevcuttur. . Örneğin birçok virüs, bir ikosahedronun üç boyutlu geometrik şekline sahiptir. Bu virüslerin belki de en ünlüsü Adeno virüsüdür. Adeno virüsünün protein kabuğu, belirli bir sırayla düzenlenmiş 252 birim protein hücresinden oluşur. İkosahedronun her köşesinde beşgen prizma şeklinde 12 adet protein hücresi bulunur ve bu köşelerden sivri uçlu yapılar uzanır.

Virüslerin yapısındaki altın oran ilk kez 1950'li yıllarda keşfedildi. Birkbeck College London'dan bilim adamları A. Klug ve D. Kaspar. 13 Polyo virüsü logaritmik bir form sergileyen ilk virüstü. Bu virüsün formunun Rhino 14 virüsünün formuna benzer olduğu ortaya çıktı.

Şu soru ortaya çıkıyor: Virüsler, yapısı altın oranı içeren, insan aklıyla bile oluşturulması oldukça zor olan bu kadar karmaşık üç boyutlu şekilleri nasıl oluşturuyor? Bu virüs türlerini keşfeden virolog A. Klug şu yorumu yapıyor:

"Dr. Kaspar ve ben, virüsün küresel kabuğu için en uygun şeklin ikosahedron şekli gibi simetri olduğunu gösterdik. Bu düzen, bağlantı elemanlarının sayısını en aza indirir... Buckminster Fuller'ın jeodezik yarım küre küplerinin çoğu, benzer bir geometrik prensip üzerine inşa edilmiştir. 14 Bu tür küplerin kurulumu son derece doğru ve ayrıntılı bir açıklayıcı şema gerektirir. Oysa bilinçsiz virüsler elastik, esnek protein hücresel birimlerden böylesine karmaşık bir kabuk oluştururlar.”

Gerçek görüşlerin bile pek değeri yoktur
ta ki birisi onları nedensel akıl yürütme bağlantısıyla birbirine bağlayana kadar.

D. Brown'ın "Da Vinci Şifresi" kitabı bu materyali geliştirmeye başlamamda bana yardımcı oldu. Kitabın kahramanı kod olarak Fibonacci serisinden birkaç sayı kullanıyor: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Bu konuyla ilgili ek materyal buldum ve. Sonuç olarak, ders geliştirmelerimin çoğu genişletildi.

Örneğin, beşinci sınıfın "Doğal sayıların gösterimi" konulu ilk matematik dersi. Doğal sayıların sonsuz dizisinden bahsederken, diğer serilerin, örneğin Fibonacci serisi ve "üçgen sayılar" serisinin varlığına dikkat çektim: 1, 3, 6, 10, ...

Sekizinci sınıfta irrasyonel sayılar çalışırken “pi” sayısının yanı sıra “phi” (Ф=1.618...) sayısını da veriyorum. (D. Brown bu sayıya "pfi" diyor ve yazar bunun "pi"den bile daha havalı olduğuna inanıyor). Öğrencilerden iki sayı düşünmelerini ve ardından Fibonacci serisinin “ilkesini” kullanarak bir seri oluşturmalarını isterim. Herkes onuncu terime kadar sırasını hesaplıyor. Örneğin 7 ve 13. Diziyi oluşturalım: 7, 13, 20, 33, 53, 86, 139, 225, 364, 589, ... Zaten dokuzuncu terimi sekizinciye böldüğümüzde Fibonacci sayısı ortaya çıkıyor.

Hayat hikayesi.

Daha çok Fibonacci takma adıyla tanınan İtalyan tüccar Pisalı Leonardo (1180-1240), Orta Çağ'ın önemli bir matematikçisiydi. Kitaplarının matematiğin gelişmesinde ve Avrupa'da matematiksel bilginin yayılmasındaki rolü küçümsenemez.

Leonardo'nun hayatı ve bilimsel kariyeri, Avrupa kültürünün ve biliminin gelişimiyle yakından bağlantılıdır.

Rönesans hala çok uzaktaydı, ancak tarih İtalya'ya kısa bir süre verdi ve bu, yaklaşan Rönesans'ın provası olarak adlandırılabilir. Bu prova Kutsal Roma İmparatoru II. Frederick tarafından yönetildi. Güney İtalya'nın gelenekleriyle yetişen II. Frederick, Avrupa Hıristiyan şövalyeliğinden içsel olarak çok uzaktı. Frederick II şövalye turnuvalarını hiç tanımıyordu. Bunun yerine, rakiplerin darbeler yerine problem alışverişinde bulunduğu matematiksel yarışmalar geliştirdi.

Leonardo Fibonacci'nin yeteneği işte böyle turnuvalarda parlıyordu. Bu, oğluna kendisini Doğu'ya götüren ve ona Arap öğretmenler atayan tüccar Bonacci'nin verdiği iyi eğitimle kolaylaştırıldı. Fibonacci ile II. Frederick'in 1225 yılındaki buluşması Pisa şehri için büyük önem taşıyan bir olaydı. İmparator, trompetçiler, saray mensupları, şövalyeler, memurlar ve gezici hayvanlardan oluşan uzun bir kafilenin başında at sırtında ilerliyordu. İmparatorun ünlü matematikçiye sorduğu problemlerden bazıları Abaküs Kitabı'nda ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Görünüşe göre Fibonacci, İmparator'un ortaya çıkardığı sorunları çözmüş ve sonsuza kadar Kraliyet Sarayı'nın hoş karşılanan konuğu haline gelmişti. Fibonacci, 1228'de Abaküs Kitabı'nı revize ettiğinde, revize edilmiş baskıyı II. Frederick'e adadı. Toplamda üç önemli matematik eseri yazdı: 1202'de basılan ve 1228'de yeniden basılan Abaküs Kitabı, 1220'de basılan Pratik Geometri ve Kareler Kitabı. Seviye olarak Arapça ve Orta Çağ Avrupa eserlerinden üstün olan bu kitaplar, neredeyse Descartes zamanına kadar matematik öğretiminde kullanıldı. 1240 tarihli belgelerde kaydedildiği üzere, Pisa'nın hayran vatandaşları onun "mantıklı ve bilgili bir adam" olduğunu söylüyordu ve yakın zamanda Encyclopædia Britannica'nın baş editörü Joseph Guise, geleceğin bilim adamlarının her zaman "bilgili ve akıllı bir adam" olduğunu ilan etti. Dünyanın en büyük entelektüel öncülerinden biri olan Pisa'lı Leonardo'ya borçlarını ödeyin."

Tavşan sorunu.

“Abaküs Kitabı” çalışması bizim için en büyük ilgiyi çekiyor. Bu kitap, o zamanın hemen hemen tüm aritmetik ve cebir bilgilerini içeren hacimli bir eserdir ve sonraki birkaç yüzyıl boyunca Batı Avrupa'da matematiğin gelişmesinde önemli bir rol oynamıştır. Özellikle Avrupalıların Hindu (Arap) rakamlarıyla tanışması bu kitaptan oldu.

Materyal, bu broşürün önemli bir bölümünü oluşturan sorun örnekleri kullanılarak açıklanmaktadır.

Bu yazıda Fibonacci aşağıdaki problemi ortaya koydu:

“Birisi, eğer tavşanların doğası gereği bir ay sonra bir çift tavşan doğacaksa, yıl içinde kaç çift tavşan doğacağını bulmak için her tarafı duvarla çevrili belirli bir yere bir çift tavşan yerleştirdi. Tavşanlar bir çift daha doğurur, tavşanlar da doğumdan sonraki ikinci aydan itibaren doğururlar."

İlk tavşan çiftini yeni doğmuş olarak kabul edersek, ikinci ayda hala bir çifte sahip olacağımız açıktır; 3. ay için - 1+1=2; 4'üncüde - 2 + 1 = 3 çift (mevcut iki çift nedeniyle yalnızca bir çift yavru üretir); 5. ayda - 3+2=5 çift (3. ayda doğan sadece 2 çift 5. ayda yavru doğurur); 6. ayda - 5 + 3 = 8 çift (çünkü yalnızca 4. ayda doğan çiftler çocuk doğurur), vb.

Dolayısıyla n'inci ayda mevcut olan tavşan çifti sayısını Fk ile gösterirsek, F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8= 21 vb. ve bu sayıların oluşumu genel yasa ile düzenlenir: tüm n>2 için Fn=Fn-1+Fn-2, çünkü n'inci aydaki tavşan çiftlerinin sayısı Fn sayısına eşittir. Önceki aydaki -1 çift tavşan artı yeni doğan çiftlerin sayısı, bu da (n-2). ayda doğan Fn-2 çift tavşanların sayısına denk gelir (çünkü sadece bu tavşan çiftleri yavru verir).

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... dizisini oluşturan Fn sayılarına "Fibonacci sayıları", dizinin kendisine ise "Fibonacci sayıları" adı verilir. Fibonacci Dizisi.

Luca Pacioli (bir ortaçağ matematikçisi) buna İlahi Oran adını vermeden önce bile bu orana özel isimler verilmeye başlandı. Kepler bu ilişkiyi geometrinin hazinelerinden biri olarak adlandırdı. Cebirde genel olarak Yunanca “phi” harfiyle (Ф=1.618033989…) belirtilmesi kabul edilir.

Aşağıda ikinci terimin birinciyle, üçüncünün ikinciyle, dördüncünün üçüncüyle vb. ilişkileri verilmiştir:

1:1 = 1,0000, phi'den 0,6180 küçüktür

2:1 = 2,0000, bu da phi'den 0,3820 fazladır

3:2 = 1,5000, phi'den 0,1180 küçüktür

5:3 = 1,6667, bu da phi'den 0,0486 fazladır

8:5 = 1,6000, phi'den 0,0180 küçüktür

Fibonacci toplama dizisinde ilerledikçe, her yeni terim bir sonrakini, ulaşılamaz "phi"ye giderek daha büyük bir yaklaşımla bölecektir. Değişim Kuralı ile tanımlandığı Elliott Dalga Teorisinde 1,618 değeri civarındaki oranlarda daha büyük veya daha küçük bir değere göre dalgalanmalar bulacağız. Doğada tam olarak "phi" sayısına yapılan bir yaklaşım bulunurken, matematik "saf" bir değerle çalıştığına dikkat edilmelidir. Leonardo da Vinci tarafından ortaya atılmış ve “altın oran” (altın oran) olarak adlandırılmıştır. Modern isimleri arasında “altın ortalama” ve “döner kare oranı” gibi isimler bulunmaktadır. Altın oran, AC parçasının, tüm AC parçasının AB ile ilişkisi olduğu gibi, daha büyük olan AB kısmı daha küçük olan BC kısmı ile ilişkili olacak şekilde iki parçaya bölünmesidir, yani: AB: BC = AC: AB = F (tam irrasyonel sayı " fi").

Fibonacci dizisinin herhangi bir üyesi diğerine bölündüğünde 1,618'in tersi elde edilir (1: 1,618 = 0,618). Bu aynı zamanda çok sıra dışı, hatta dikkat çekici bir olgudur. Orijinal oran sonsuz bir kesir olduğundan bu oranın da sonu olmaması gerekir.

Her sayıyı kendisinden sonraki sayıya böldüğümüzde 0,382 sayısını elde ederiz.

Oranları bu şekilde seçerek ana Fibonacci oranları kümesini elde ederiz: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236. Hepsi doğada ve özellikle teknik analizde özel bir rol oynamaktadır.

Fibonacci dizisi kullanılarak kaç tane sabitin hesaplanabildiği ve terimlerinin çok sayıda kombinasyonda nasıl göründüğü şaşırtıcıdır. Ancak bunun sadece sayılarla oynanan bir oyun olmadığını, doğa olaylarının şimdiye kadar keşfedilen en önemli matematiksel ifadesi olduğunu söylemek abartı olmaz.

Bu sayılar şüphesiz, dokunulduğunda hoş gelen, hoş görünen ve hatta kulağa hoş gelen mistik bir doğal uyumun parçasıdır. Örneğin müzik 8 notalı bir oktavı temel alır. Bir piyanoda bu, 8 beyaz tuş ve 5 siyah tuşla (toplamda 13) temsil edilir.

Doğadaki spiraller ve sanat eserleri incelenerek daha görsel bir anlatım elde edilebilir. Kutsal geometri iki tür spirali araştırır: altın oran spirali ve Fibonacci spirali. Bu spirallerin karşılaştırılması aşağıdaki sonuca varmamızı sağlar. Altın oran sarmalı idealdir: Başı ve sonu yoktur, sonsuza kadar devam eder. Buna karşılık Fibonacci spiralinin bir başlangıcı vardır. Tüm doğal spiraller Fibonacci spiralleridir ve sanat eserleri her iki spirali bazen aynı anda kullanır.

Matematik.

Pentagram (beş köşeli yıldız, beş köşeli yıldız) sık kullanılan sembollerden biridir. Pentagram, kolları iki yana açılmış halde iki ayak üzerinde duran mükemmel bir adamın sembolüdür. İnsanın yaşayan bir pentagram olduğunu söyleyebiliriz. Bu hem fiziksel hem de ruhsal olarak doğrudur; insan beş erdeme sahiptir ve bunları sergiler: sevgi, bilgelik, doğruluk, adalet ve nezaket. Bunlar bir pentagramla temsil edilebilecek Mesih'in erdemleridir. İnsanın gelişimi için gerekli olan bu beş erdem doğrudan insan vücuduyla ilgilidir: İyilik bacaklarla, adalet ellerle, sevgi ağızla, bilgelik kulaklarla, gözler hakikatle ilişkilidir.

Hak ruha, sevgi ruha, bilgelik akla, nezaket kalbe, adalet suya aittir. İnsan vücudu ile beş element (toprak, su, hava, ateş ve eter) arasında da bir benzerlik vardır: irade toprağa, kalp suya, akıl havaya, ruh ateşe, ruh etere karşılık gelir. Böylece insan, iradesiyle, aklıyla, kalbiyle, ruhuyla, ruhuyla evrende çalışan beş unsura bağlanır ve şuurlu olarak onunla uyum içinde çalışabilir. Bu tam olarak başka bir sembolün anlamıdır - çift pentagram, insan (mikrokozmos) evrende (mikrokozmos) yaşar ve hareket eder.

Ters çevrilmiş bir pentagram Dünya'ya enerji akıtır ve bu nedenle materyalist eğilimlerin sembolüdür, normal bir pentagram ise enerjiyi yukarı doğru yönlendirir ve dolayısıyla manevidir. Herkesin hemfikir olduğu şey, pentagramın kesinlikle insan figürünün “ruhsal formunu” temsil ettiğidir.

Lütfen CF:FH=CH:CF=AC:CH=1.618'e dikkat edin. Bu sembolün gerçek oranları, altın bölüm adı verilen kutsal orana dayanmaktadır: çizilen herhangi bir çizgi üzerindeki bir noktanın, çizgiyi böldüğünde, küçük kısmın büyük kısmıyla aynı oranda olması ve büyük kısmı ile aynı oranda olması. tamamına. Ayrıca merkezdeki düzgün beşgen, sonsuz küçük beşgenler için oranların korunduğunu akla getiriyor. Bu "ilahi oran", pentagramın her bir ışınında kendini gösterir ve matematikçilerin her zaman bu sembole ne kadar hayranlıkla baktıklarını açıklamaya yardımcı olur. Ayrıca beşgenin bir kenarı bire eşitse köşegeni 1,618'e eşit olur.

Birçoğu Giza'daki piramidin sırlarını çözmeye çalıştı. Diğer Mısır piramitlerinden farklı olarak bu bir mezar değil, çözülemeyen bir sayı kombinasyonları bulmacasıdır. Piramidin mimarlarının ebedi sembolü inşa ederken kullandıkları dikkate değer yaratıcılık, beceri, zaman ve emek, gelecek nesillere iletmek istedikleri mesajın son derece önemli olduğunu göstermektedir. Onların dönemi yazı öncesi, hiyeroglif öncesiydi ve keşifleri kaydetmenin tek yolu sembollerdi.

Bilim adamları Giza'daki üç piramidin spiral şeklinde düzenlendiğini keşfettiler. 1980'li yıllarda hem Altın Oran hem de Fibonacci spirallerinin mevcut olduğu keşfedildi.

İnsanoğlu için uzun zamandır gizemini koruyan Gize Piramidi'nin geometrik-matematiksel sırrının anahtarı, aslında tapınak rahipleri tarafından Herodot'a verilmiş ve ona piramidin alanı 1000 m2 olacak şekilde inşa edildiği bildirilmişti. yüzlerinin her biri yüksekliğinin karesine eşitti.

Bir üçgenin alanı
356x440 / 2 = 78320
Kare alan
280x280 = 78400

Giza'daki piramidin yüzünün uzunluğu 783,3 fit (238,7 m), piramidin yüksekliği 484,4 fittir (147,6 m). Kenar uzunluğunun yüksekliğe bölümü Ф=1,618 oranına yol açar. 484,4 fitin yüksekliği 5813 inç'e (5-8-13) karşılık gelir - bunlar Fibonacci dizisindeki sayılardır.

Bu ilginç gözlemler piramidin tasarımının Ф=1.618 oranına dayandığını göstermektedir. Modern bilim adamları, eski Mısırlıların burayı yalnızca gelecek nesillere korumak istedikleri bilgiyi aktarma amacıyla inşa ettikleri şeklinde yorumluyorlar. Giza'daki piramit üzerine yapılan yoğun araştırmalar, o dönemde matematik ve astroloji bilgisinin ne kadar kapsamlı olduğunu gösterdi. Piramidin tüm iç ve dış oranlarında 1.618 sayısı merkezi bir rol oynuyor.

Sadece Mısır piramitleri altın oranın mükemmel oranlarına göre inşa edilmedi, aynı olay Meksika piramitlerinde de görüldü. Hem Mısır hem de Meksika piramitlerinin aynı kökene sahip insanlar tarafından yaklaşık olarak aynı anda inşa edildiği fikri ortaya çıkıyor.

Biyoloji.

19. yüzyılda bilim adamları, ayçiçeği, papatya, ananas meyvelerindeki pullar, kozalaklı kozalaklar vb. çiçek ve tohumlarının birbirine doğru kıvrılarak çift spiral şeklinde "paketlendiğini" fark ettiler. Bu durumda “sağ” ve “sol” spirallerin sayıları, komşu Fibonacci sayıları gibi (13:8, 21:13, 34:21, 55:34) her zaman birbiriyle ilişkilidir. Doğada bulunan çok sayıda çift sarmal örneği her zaman bu kurala uymaktadır.

Goethe ayrıca doğanın sarmallığa olan eğilimini de vurguladı. Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve spiral dizilişi uzun zaman önce fark edilmişti. Ayçiçeği tohumları, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb.'nin dizilişinde spiral görüldü. Botanikçilerin ve matematikçilerin çalışmaları bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu. Ayçiçeği çekirdeği ve çam kozalaklarından oluşan bir dal üzerindeki yaprakların dizilişinde Fibonacci serisinin ortaya çıktığı ve dolayısıyla altın oran yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı. Örümcek ağını spiral şeklinde örer. Kasırga spiral gibi dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü sarmal şeklinde dağılıyor. DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülmüştür. Goethe spirale "yaşam eğrisi" adını verdi.

Herhangi bir iyi kitap, örnek olarak nautilus kabuğunu gösterir. Üstelik birçok yayın bunun bir altın oran sarmalı olduğunu söylüyor ancak bu yanlış - bu bir Fibonacci sarmalı. Spiral kolların mükemmelliğini görüyorsunuz ama başlangıca baktığınızda o kadar da mükemmel görünmüyor. En içteki iki kıvrımı aslında eşittir. İkinci ve üçüncü virajlar phi'ye biraz daha yaklaşır. Sonunda bu zarif, pürüzsüz spirali elde edersiniz. İkinci terimin birinciyle, üçüncünün ikinciyle, dördüncünün üçüncüyle vb. ilişkisini hatırlayın. İstiridyenin Fibonacci serisinin matematiğini tam olarak takip ettiği açıktır.

Fibonacci sayıları çeşitli organizmaların morfolojisinde görülür. Örneğin denizyıldızı. Işınlarının sayısı Fibonacci sayıları dizisine karşılık gelir ve 5, 8, 13, 21, 34, 55'e eşittir. Tanınmış sivrisineğin üç çift bacağı vardır, karnı sekiz parçaya bölünmüştür ve Kafasında beş anten var. Sivrisinek larvası 12 bölüme ayrılmıştır. Pek çok evcil hayvanda omur sayısı 55'tir. İnsan vücudunda da “phi” oranı görülür.

Drunvalo Melchizedek, Yaşam Çiçeğinin Kadim Sırrı kitabında şöyle yazıyor: “Da Vinci, vücudun etrafına bir kare çizerseniz, önce ayaklardan uzatılmış parmakların uçlarına kadar bir köşegen çizdiğinizi ve ardından paralel bir yatay çizgi çizdiğinizi anladı. (bu paralel çizgilerden ikincisi) göbekten karenin kenarına kadar uzanırsa, bu yatay çizgi çaprazla tam olarak phi oranında kesişeceği gibi baştan ayağa kadar olan dikey çizgiyle de kesişecektir. bu mükemmel noktada, kadınlarda biraz daha yüksekte, erkeklerde biraz daha aşağıda olmadığı düşünülürse bu, insan vücudunun başın üstünden ayaklara kadar pi oranında bölünmüş olduğu anlamına gelir... Keşke bunlar olsaydı... İnsan vücudunda phi oranının bulunduğu çizgiler muhtemelen sadece ilginç bir gerçek olurdu.Aslında phi oranı vücudun binlerce yerinde bulunur ve bu sadece bir tesadüf değildir.İşte bazı bariz yerler insan vücudunda phi oranının bulunduğu yer... Parmağın her falanksının uzunluğu, bir sonraki falanksa phi oranındadır... Tüm el ve ayak parmakları için aynı oran dikkat çekicidir. Ön kolun uzunluğunu avuç içi uzunluğuyla ilişkilendirirseniz, pi oranını elde edersiniz ve omuz uzunluğu da ön kolun uzunluğuyla ilişkilidir. Veya alt bacağın uzunluğunu ayağın uzunluğuyla ve uyluğun uzunluğunu alt bacağın uzunluğuyla ilişkilendirin. Pi oranı iskelet sisteminin her yerinde bulunur. Genellikle bir şeyin büküldüğü veya yön değiştirdiği yerlerde görülür. Ayrıca vücudun bazı bölümlerinin boyutlarının diğerlerine oranında da bulunur. Bunu incelediğinizde her zaman şaşırırsınız."

Çözüm.

Orta Çağ'ın en büyük matematikçisi olmasına rağmen, Fibonacci'nin yegâne anıtları Arno Nehri üzerindeki Pisa Kulesi'nin karşısındaki bir heykel ve biri Pisa'da, diğeri Floransa'da olmak üzere onun adını taşıyan iki caddedir.

Açık avucunuzu dikey olarak önünüze, başparmağınız yüzünüze bakacak şekilde yerleştirirseniz ve küçük parmağınızdan başlayarak parmaklarınızı sırayla yumruk şeklinde sıkarsanız, Fibonacci spirali gibi bir hareket elde edersiniz.

Edebiyat

1. Ensenzberger Hans Magnus Sayıların Ruhu. Matematiksel maceralar. – Başına. İngilizceden – Kharkov: Kitap Kulübü “Aile Eğlence Kulübü”, 2004. – 272 s.

2. Semboller ansiklopedisi / comp. V.M. Roshal. – Moskova: AST; St.Petersburg; Baykuş, 2006. – 1007 s.