Ayrıştırma ile ilgili önceki bölümde geometrik anlamda belirli bir integral, eğrisel bir yamuğun alanını hesaplamak için bir dizi formül aldık:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x [ a ; B] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x [ a ; B] .

Bu formüller göreli çözmek için geçerlidir basit görevler. Aslında çoğu zaman daha karmaşık şekillerle çalışmak zorunda kalıyoruz. Bu bağlamda, bu bölümü, açık bir biçimde işlevlerle sınırlı olan şekillerin alanını hesaplamak için algoritmaların analizine ayıracağız, yani. y = f(x) veya x = g(y) gibi.

y = f 1 (x) ve y = f 2 (x) fonksiyonları [ a ; b ] , ve f 1 (x) ≤ f 2 (x), [ a ; B] . Ardından, x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) ve y \u003d f 2 (x) satırlarıyla sınırlanan bir şeklin alanını hesaplama formülü S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Benzer bir formül, y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) ve x \u003d g 2 (y) çizgileriyle sınırlanan şeklin alanı için geçerli olacaktır: S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Kanıt

Formülün geçerli olacağı üç durumu analiz edeceğiz.

İlk durumda, alanın toplama özelliği dikkate alındığında, orijinal şekil G'nin ve eğrisel yamuk G1'in alanlarının toplamı, şekil G2'nin alanına eşittir. Bu demektir

Bu nedenle, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Son geçişi belirli integralin üçüncü özelliğini kullanarak gerçekleştirebiliriz.

İkinci durumda eşitlik doğrudur: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafik çizim şöyle görünecektir:

Her iki fonksiyon da pozitif değilse, şunu elde ederiz: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafik çizim şöyle görünecektir:

y = f 1 (x) ve y = f 2 (x) ekseninin O x ile kesiştiği genel durumun değerlendirilmesine geçelim.

Kesişme noktalarını x ben , i = 1 , 2 , olarak göstereceğiz. . . , n - 1 . Bu noktalar [ a ; b ] n parçaya x i - 1 ; x ben , ben = 1 , 2 , . . . , n , burada α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Buradan,

S (G) = ∑ ben = 1 n S (G ben) = ∑ ben = 1 n ∫ x ben x ben f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Son geçişi belirli integralin beşinci özelliğini kullanarak yapabiliriz.

Genel durumu grafik üzerinde gösterelim.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x formülü kanıtlanmış sayılabilir.

Ve şimdi y \u003d f (x) ve x \u003d g (y) çizgileriyle sınırlı olan şekillerin alanını hesaplama örneklerinin analizine geçelim.

Örneklerden herhangi birini ele alarak, bir grafiğin oluşturulmasıyla başlayacağız. Görüntü, karmaşık şekilleri daha basit şekillerin kombinasyonları olarak temsil etmemize izin verecektir. Üzerlerine grafik ve şekil çizmek sizin için zorsa, temel temel fonksiyonlar, fonksiyon grafiklerinin geometrik dönüşümü ve ayrıca bir fonksiyonun incelenmesi sırasında çizim ile ilgili bölümü inceleyebilirsiniz.

örnek 1

Y \u003d - x 2 + 6 x - 5 parabolü ve y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d düz çizgilerle sınırlı olan şeklin alanını belirlemek gerekir 1, x \u003d 4.

Çözüm

Grafikteki doğruları Kartezyen koordinat sisteminde çizelim.

[ 1 ; 4] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolünün grafiği y = - 1 3 x - 1 2 düz çizgisinin üzerinde yer alır. Bu bağlamda, bir cevap elde etmek için, daha önce elde edilen formülü ve ayrıca Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli bir integrali hesaplama yöntemini kullanıyoruz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Cevap: S (G) = 13

Daha karmaşık bir örneğe bakalım.

Örnek 2

Şeklin y = x + 2 , y = x , x = 7 çizgileriyle sınırlandırılan alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Bu durumda, x eksenine paralel tek bir düz çizgimiz var. Bu, x = 7'dir. Bu, ikinci entegrasyon limitini kendimiz bulmamızı gerektirir.

Bir grafik oluşturalım ve problemin koşulunda verilen doğruları üzerine koyalım.

Gözümüzün önünde bir grafik varken, entegrasyonun alt sınırının, grafiğin y \u003d x düz çizgisi ve yarı parabol y \u003d x + 2 ile kesişme noktasının apsisi olacağını kolayca belirleyebiliriz. Apsisi bulmak için eşitlikleri kullanırız:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ Ö D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ Ö D G

Kesişim noktasının apsisinin x = 2 olduğu ortaya çıkıyor.

Çizimdeki genel örnekte y = x + 2 , y = x doğrularının (2 ; 2) noktasında kesiştiğine dikkatinizi çekeriz, bu nedenle bu tür ayrıntılı hesaplamalar gereksiz görünebilir. buraya getirdik ayrıntılı çözüm sadece çünkü daha fazla zor vakalarçözüm o kadar açık olmayabilir. Bu, çizgilerin kesişme koordinatlarını her zaman analitik olarak hesaplamanın daha iyi olduğu anlamına gelir.

[ 2 ; 7 ] y = x fonksiyonunun grafiği, y = x + 2 fonksiyonunun grafiğinin üzerinde bulunur. Alanı hesaplamak için formülü uygulayın:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Cevap: Ö(Y) = 59 6

Örnek 3

Y \u003d 1 x ve y \u003d - x 2 + 4 x - 2 fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlı olan şeklin alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Grafik üzerinde çizgiler çizelim.

Entegrasyonun sınırlarını tanımlayalım. Bunu yapmak için, 1 x ve - x 2 + 4 x - 2 ifadelerini eşitleyerek doğruların kesişme noktalarının koordinatlarını belirleriz. X'in sıfıra eşit olmaması koşuluyla, 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 eşitliği, tamsayı katsayılı üçüncü derece - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 denklemine eşdeğer olur . Bu tür denklemleri çözmek için algoritmanın hafızasını “Kübik denklemlerin çözümü” bölümüne bakarak tazeleyebilirsiniz.

Bu denklemin kökü x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0'dır.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifadesini x - 1 binom değerine bölerek şunu elde ederiz: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Kalan kökleri x 2 - 3 x - 1 = 0 denkleminden bulabiliriz:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Bir x ∈ 1 aralığı bulduk; 3 + 13 2 , burada G mavi çizginin üzerinde ve kırmızı çizginin altında yer alır. Bu, şeklin alanını belirlememize yardımcı olur:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Cevap: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Örnek 4

Şeklin y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 eğrileri ve apsis ekseni ile sınırlı olan alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Tüm çizgileri grafiğe koyalım. y = - log 2 x + 1 fonksiyonunun grafiğini y = log 2 x grafiğinden x ekseni etrafında simetrik olarak yerleştirip bir birim yukarı kaydırırsak elde edebiliriz. X ekseninin denklemi y \u003d 0.

Çizgilerin kesişme noktalarını gösterelim.

Şekilden de görülebileceği gibi, y \u003d x 3 ve y \u003d 0 fonksiyonlarının grafikleri (0; 0) noktasında kesişmektedir. Bunun nedeni, x \u003d 0'ın x 3 \u003d 0 denkleminin tek gerçek kökü olmasıdır.

x = 2 - log 2 x + 1 = 0 denkleminin tek köküdür, yani y = - log 2 x + 1 ve y = 0 fonksiyonlarının grafikleri (2 ; 0) noktasında kesişir.

x = 1, x 3 = - log 2 x + 1 denkleminin tek köküdür. Bu bağlamda y \u003d x 3 ve y \u003d - log 2 x + 1 fonksiyonlarının grafikleri (1; 1) noktasında kesişir. Son ifade açık olmayabilir, ancak x 3 \u003d - log 2 x + 1 denkleminin birden fazla kökü olamaz, çünkü y \u003d x 3 işlevi kesinlikle artıyor ve y \u003d - log 2 x işlevi + 1 kesinlikle azalıyor.

Bir sonraki adım birkaç seçenek içerir.

Seçenek numarası 1

G şeklini, apsis ekseninin üzerinde yer alan iki eğrisel yamuğun toplamı olarak gösterebiliriz, bunlardan ilki x ∈ 0 parçasında orta hattın altında yer alır; 1 ve ikincisi x ∈ 1 doğru parçası üzerindeki kırmızı çizginin altındadır; 2. Bu, alanın S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x'e eşit olacağı anlamına gelir.

Seçenek numarası 2

G şekli, ilki x ekseninin üzerinde ve x ∈ 0 parçası üzerindeki mavi çizginin altında bulunan iki şeklin farkı olarak temsil edilebilir; 2 , ikincisi ise x ∈ 1 doğru parçası üzerindeki kırmızı ve mavi çizgiler arasındadır; 2. Bu, alanı şu şekilde bulmamızı sağlar:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Bu durumda, alanı bulmak için S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y biçiminde bir formül kullanmanız gerekecektir. Aslında, şekli sınırlayan çizgiler, y bağımsız değişkeninin işlevleri olarak gösterilebilir.

x'e göre y = x 3 ve - log 2 x + 1 denklemlerini çözelim:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - günlük 2 x + 1 ⇒ günlük 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Gerekli alanı alıyoruz:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Cevap: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Örnek 5

Şeklin y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 çizgileriyle sınırlı alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Grafikte y = x işlevi tarafından verilen kırmızı çizgili bir çizgi çizin. y = - 1 2 x + 4 çizgisini mavi çizin ve y = 2 3 x - 3 çizgisini siyah olarak işaretleyin.

Kesişme noktalarına dikkat edin.

y = x ve y = - 1 2 x + 4 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişme noktalarını bulun:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i, x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4, ⇒ (4) denkleminin çözümüdür 2) kesişme noktası i y = x ve y = - 1 2 x + 4

y = x ve y = 2 3 x - 3 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişme noktasını bulun:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrol edin: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9, ⇒ (9; 3) noktası ve y = x ve y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 denkleminin çözümüdür 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 denklemin çözümü değildir

y = - 1 2 x + 4 ve y = 2 3 x - 3 doğrularının kesişme noktasını bulun:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) kesişme noktası y = - 1 2 x + 4 ve y = 2 3 x - 3

Yöntem numarası 1

İstenen şeklin alanını, bireysel şekillerin alanlarının toplamı olarak temsil ediyoruz.

O zaman şeklin alanı:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Yöntem numarası 2

Orijinal şeklin alanı, diğer iki rakamın toplamı olarak gösterilebilir.

Sonra x için çizgi denklemini çözeriz ve ancak bundan sonra şeklin alanını hesaplamak için formülü uygularız.

y = x ⇒ x = y 2 kırmızı çizgi y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 siyah çizgi y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s ben n ben ben l ben n ben ben

Yani alan:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Gördüğünüz gibi değerler eşleşiyor.

Cevap: S (G) = 11 3

Sonuçlar

Sınırlandırılmış bir şeklin alanını bulmak için verilen çizgiler bir düzlem üzerinde çizgiler çizmemiz, kesişme noktalarını bulmamız, alanı bulmak için formülü uygulamamız gerekiyor. Bu bölümde, görevler için en yaygın seçenekleri inceledik.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Görev numarası 3. Bir çizim yapın ve şeklin çizgilerle sınırlanan alanını hesaplayın

Uygulanan problemlerin çözümünde integralin uygulanması

Alan hesaplama

Sürekli negatif olmayan f(x) fonksiyonunun belirli integrali sayısal olarak şuna eşittir: y \u003d f (x) eğrisi, O x ekseni ve x \u003d a ve x \u003d b düz çizgileri ile sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanı. Buna göre alan formülü aşağıdaki gibi yazılır:

Düzlem şekillerin alanlarını hesaplamaya ilişkin bazı örnekleri ele alalım.

Görev numarası 1. Y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 satırlarıyla sınırlanan alanı hesaplayın.

Çözüm. Alanı hesaplamamız gereken bir rakam oluşturalım.

y \u003d x 2 + 1, dalları yukarı doğru yönlendirilen bir paraboldür ve parabol, O y eksenine göre bir birim yukarı kaydırılır (Şekil 1).

Şekil 1. y = x 2 + 1 fonksiyonunun grafiği

Görev numarası 2. 0 ile 1 aralığında y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 çizgileriyle sınırlanan alanı hesaplayın.

Çözüm. Bu fonksiyonun grafiği yukarı yönlü olan dalın parabolüdür ve parabol O y eksenine göre bir birim aşağı kaydırılır (Şekil 2).

Şekil 2. y \u003d x 2 - 1 fonksiyonunun grafiği

Görev numarası 3. Bir çizim yapın ve şeklin çizgilerle sınırlanan alanını hesaplayın

y = 8 + 2x - x 2 ve y = 2x - 4.

Çözüm. Bu iki çizgiden ilki, dalları aşağıyı gösteren bir paraboldür, çünkü x 2'deki katsayı negatiftir ve ikinci çizgi, her iki koordinat eksenini kesen düz bir çizgidir.

Bir parabol oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını bulalım: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – köşe apsisi; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ordinatıdır, N(1;9) tepe noktasıdır.

Şimdi denklem sistemini çözerek parabolün ve doğrunun kesişme noktalarını buluyoruz:

Sol tarafları eşit olan bir denklemin sağ taraflarını eşitlemek.

8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 veya x 2 - 12 \u003d 0 elde ederiz, buradan .

Yani noktalar parabol ile doğrunun kesiştiği noktalardır (Şekil 1).

Şekil 3 y = 8 + 2x – x 2 ve y = 2x – 4 fonksiyonlarının grafiği

y = 2x - 4 şeklinde bir doğru çizelim. Koordinat eksenleri üzerindeki (0;-4), (2; 0) noktalarından geçer.

Bir parabol oluşturmak için, 0x ekseniyle, yani 8 + 2x - x 2 = 0 veya x 2 - 2x - 8 = 0 denkleminin kökleri ile kesişme noktalarına da sahip olabilirsiniz. Vieta teoremine göre, köklerini bulmak kolay: x 1 = 2, x 2 = 4.

Şekil 3, bu çizgilerle sınırlandırılmış bir şekli (parabolik segment M1NM2) göstermektedir.

Problemin ikinci kısmı bu rakamın alanını bulmaktır. Alanı, formül kullanılarak belirli bir integral kullanılarak bulunabilir. .

Bu koşulla ilgili olarak, integrali elde ederiz:

2 Dönen bir cismin hacminin hesaplanması

Y \u003d f (x) eğrisinin O x ekseni etrafında dönmesinden elde edilen vücudun hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

O y ekseni etrafında dönerken, formül şöyle görünür:

Görev numarası 4. X \u003d 0 x \u003d 3 düz çizgileri ve O x ekseni etrafında bir y \u003d eğrisi ile sınırlanan eğrisel bir yamuğun dönüşünden elde edilen vücudun hacmini belirleyin.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 4).

Şekil 4. y = fonksiyonunun grafiği

İstenen hacim şuna eşittir:

Görev numarası 5. y = x 2 eğrisi ve y = 0 ve y = 4 düz çizgileri ile O y ekseni etrafında sınırlanan eğrisel bir yamuğun dönüşünden elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm. Sahibiz:

Soruları inceleyin

Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır

Şimdi integral hesabın uygulamalarının değerlendirilmesine dönüyoruz. Bu derste tipik ve en yaygın bir görevi analiz edeceğiz. Bir düzlem şeklinin alanını hesaplamak için belirli bir integral nasıl kullanılır?. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayanlar - onu bulabilirler. Asla bilemezsin. Hayatta daha yakınlaşmamız gerekecek kır evi alanı temel fonksiyonlar ve belirli bir integral kullanarak alanını bulun.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:

1) Belirsiz integrali en az orta düzeyde anlar. Bu nedenle, aptallar önce dersi okumalıdır. Olumsuz.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilme ve belirli integrali hesaplayabilme. Sayfada belirli integraller ile sıcak dostluk ilişkileri kurabilirsiniz. Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında çok fazla bilgiye ihtiyacınız yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizimin oluşturulmasını içerir., çok daha fazla güncel konu bilginiz ve çizim becerileriniz olacaktır. Bu bağlamda, ana grafikleri gözden geçirmekte fayda var. temel fonksiyonlar ve en azından düz bir çizgi, parabol ve hiperbol oluşturabilme. Bu, (birçok ihtiyaç) yardımı ile yapılabilir. metodolojik materyal ve grafiklerin geometrik dönüşümleri üzerine makaleler.

Belirli bir integral kullanarak alanı bulma problemine aslında herkes okuldan beri aşinadır ve biz okul müfredatının biraz ilerisine gideceğiz. Bu makale hiç olmayabilir, ancak gerçek şu ki, sorun 100 vakadan 99'unda, bir öğrenci yüksek matematik dersinde ustalaşma hevesiyle nefret edilen bir kule tarafından eziyet edildiğinde ortaya çıkıyor.

Bu çalıştayın materyalleri basit, ayrıntılı ve minimum teori ile sunulmaktadır.

Eğrisel bir yamuk ile başlayalım.

Eğrisel yamuk eksenle sınırlanmış düz bir şekil, düz çizgiler ve bu aralıkta işareti değişmeyen bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiği. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil apsis:

Daha sonra eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. (Var olan) herhangi bir belirli integralin çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Derste Kesin integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söyledim. Ve şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır..

Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak bazı şekillerin alanına karşılık gelir. Örneğin, belirli integrali ele alalım. İntegrand, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyen çizimi tamamlayabilir) ve belirli integralin kendisi, karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına sayısal olarak eşittir.

örnek 1

Bu tipik bir görev bildirimidir. Kararın ilk ve en önemli anı, bir çizimin oluşturulmasıdır.. Ayrıca, çizim inşa edilmelidir SAĞ.

Bir çizim oluştururken tavsiye ederim sıradaki sipariş: Başta tüm satırları (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra- paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyon grafikleri oluşturmak daha karlı nokta nokta, noktasal inşaat tekniği bulunabilir referans malzemesi Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada, dersimizle ilgili olarak çok yararlı olan materyalleri de bulabilirsiniz - hızlı bir şekilde bir parabol nasıl inşa edilir.

Bu problemde, çözüm şöyle görünebilir.
Bir çizim yapalım (ekseni denklemin tanımladığını unutmayın):

Eğrisel bir yamuk çıkarmayacağım, burada hangi alandan bahsettiğimiz açık. Çözüm şöyle devam ediyor:

Segmentte, fonksiyonun grafiği bulunur eksen üzerinde, Bu yüzden:

Cevap:

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler , derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman yararlıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - peki, yaklaşık 9 yazılacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki cevabımız olsaydı: 20 birim kare, o zaman, belli ki, bir yerde bir hata yapılmıştı - 20 hücre, söz konusu şekle açıkça uymuyor, en fazla bir düzine. Cevap olumsuz çıktıysa, görev de yanlış çözüldü.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ve eksen

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

ne yapmalı eğri yamuk bulunan aks altı?

Örnek 3

Çizgiler ve koordinat eksenleri ile sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Eğrisel yamuk bulunursa aks altı(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), ardından alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:
Bu durumda:

Dikkat! İki tür görevi karıştırmayın:

1) Herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse, negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse, alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle, az önce ele alınan formülde eksi görünür.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak, alan problemlerinde bir çizim oluştururken, en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile doğrunun kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yol analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Dolayısıyla, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırıdır.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak en iyisidir..

Hatları nokta nokta inşa etmek çok daha karlı ve hızlı olurken, entegrasyonun sınırları sanki “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Çeşitli çizelgeler için nokta nokta oluşturma tekniği, yardım bölümünde ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya dişli yapı entegrasyonun sınırlarını ortaya çıkarmadıysa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) limitleri bulmak için analitik yöntem hala bazen kullanılmalıdır. Ve böyle bir örneği de ele alacağız.

Görevimize geri dönüyoruz: önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Bir çizim yapalım:

Noktasal yapı ile entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla "otomatik" olarak bulunduğunu tekrar ediyorum.

Ve şimdi çalışma formülü: Aralıkta sürekli bir işlev varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar, daha sonra bu fonksiyonların grafikleri ve düz çizgilerle sınırlanan şeklin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede olduğunu - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak - düşünmek gerekli değildir. Hangi grafiğin ÜSTTE olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.

İncelenen örnekte, segmentte parabolün düz çizginin üzerinde yer aldığı açıktır ve bu nedenle

Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:

İstenen şekil yukarıdan bir parabol ve aşağıdan düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:

Cevap:

Aslında, alt yarım düzlemde eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bakınız basit örnek No. 3) şöyledir: özel durum formüller . Eksen denklem tarafından verildiğinden ve fonksiyonun grafiği bulunduğundan daha yüksek değil eksenler, sonra

Ve şimdi bağımsız bir karar için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Çizgilerle çevrili şeklin alanını bulun , .

Alanı belirli bir integral kullanarak hesaplamak için problem çözme sürecinde bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten dolayı... yanlış şeklin alanını buldu, itaatkar hizmetkarınız birkaç kez bu şekilde batırdı. İşte gerçek hayattan bir vaka:

Örnek 7

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Önce bir çizim yapalım:

…Eh, çizim berbat çıktı, ama her şey okunaklı görünüyor.

Alanını bulmamız gereken şekil mavi ile gölgelendirilmiştir.(duruma dikkatlice bakın - şeklin nasıl sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, genellikle şeklin gölgeli alanını bulmanız gereken bir "aksaklık" meydana gelir. yeşil!

Bu örnek, içinde şeklin alanının iki belirli integral kullanılarak hesaplanması açısından da yararlıdır. Gerçekten mi:

1) Eksenin üzerindeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üzerindeki segmentte bir hiperbol grafiği bulunur.

Alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Bir anlamlı göreve daha geçelim.

Örnek 8

Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın,
Denklemleri bir "okul" formunda sunalım ve nokta nokta çizim yapalım:

Üst limitimizin “iyi” olduğu çizimden görülmektedir: .
Ancak alt sınır nedir? Bunun bir tamsayı olmadığı açık, ama ne? Belki ? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, bu pekala ortaya çıkabilir. Veya kök. Ya grafiği hiç doğru anlamazsak?

Bu gibi durumlarda, ek zaman harcamak ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak iyileştirmek gerekir.

Doğrunun ve parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:


,

Gerçekten mi, .

Diğer çözüm önemsizdir, asıl mesele ikamelerde ve işaretlerde kafa karıştırmamak, buradaki hesaplamalar en kolayı değil.

segmentte , karşılık gelen formüle göre:

Cevap:

Pekala, dersin sonunda, iki görevi daha zor olarak ele alacağız.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,

Çözüm: Çizimde bu şekli çizin.

Kahretsin, programı imzalamayı unuttum ve resmi yeniden yapıyorum, üzgünüm, hotz değil. Çekiliş değil kısacası bugün bir gün =)

Noktasal inşaat için bilmeniz gerekir dış görünüş sinüzoidler (ve genel olarak bilmek yararlıdır tüm temel fonksiyonların grafikleri), bazı sinüs değerlerinin yanı sıra, içinde bulunabilirler. trigonometrik tablo. Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının ilke olarak doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim oluşturulmasına izin verilir.

Burada entegrasyon limitleri ile ilgili herhangi bir sorun yoktur, bunlar doğrudan şu koşuldan kaynaklanır: - "x" sıfırdan "pi"ye değişir. Bir karar daha veriyoruz:

Segmentte, fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

Şimdi integral hesabın uygulamalarının değerlendirilmesine dönüyoruz. Bu derste tipik ve en yaygın bir görevi analiz edeceğiz. belirli bir integral kullanarak düz bir şeklin alanını hesaplama. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayan herkes onu bulsun. Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonlara sahip bir yazlık kulübeye yaklaşmanız ve alanını belirli bir integral kullanarak bulmanız gerekecek.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:

1) Belirsiz integrali en az orta düzeyde anlar. Bu nedenle, aptallar önce dersi okumalıdır. Olumsuz.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilme ve belirli integrali hesaplayabilme. Sayfada belirli integraller ile sıcak dostluk ilişkileri kurabilirsiniz. Kesin integral. Çözüm örnekleri. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizimin oluşturulmasını içerir., bu nedenle bilginiz ve çizim becerileriniz de acil bir konu olacaktır. En azından, bir düz çizgi, bir parabol ve bir hiperbol inşa edebilmek gerekir.

Eğrisel bir yamuk ile başlayalım. Eğrisel bir yamuk, bazı fonksiyonların grafiğiyle sınırlanmış düz bir şekildir. y = F(X), eksen ÖKÜZ ve çizgiler X = A; X = B.

Eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir

(Var olan) herhangi bir belirli integralin çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Derste Kesin integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştik. Ve şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır.. Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak bazı şekillerin alanına karşılık gelir. Belirli integrali düşünün

İntegrand

düzlemde bir eğri tanımlar (istenirse çizilebilir) ve belirli integralin kendisi, karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına sayısal olarak eşittir.

örnek 1

, , , .

Bu tipik bir görev bildirimidir. en önemli ançözümler - çizim. Ayrıca, çizim inşa edilmelidir SAĞ.

Bir plan oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm satırları (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra- paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Nokta nokta inşaat tekniği referans malzemede bulunabilir. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada, dersimizle ilgili olarak çok yararlı olan materyalleri de bulabilirsiniz - hızlı bir şekilde bir parabol nasıl inşa edilir.

Bu problemde, çözüm şöyle görünebilir.

Bir çizim yapalım (denklemin y= 0 ekseni belirtir ÖKÜZ):

Eğrisel yamuğu taramayacağız, burada hangi alandan bahsettiğimiz açık. Çözüm şöyle devam ediyor:

[-2; 1] fonksiyon grafiği y = X 2+2 konumlu eksen üzerindeÖKÜZ, Bu yüzden:

Cevap: .

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler

,

derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri. Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman yararlıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - peki, yaklaşık 9 yazılacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki cevabımız olsaydı: 20 birim kare, o zaman, belli ki, bir yerde bir hata yapılmıştı - 20 hücre, söz konusu şekle açıkça uymuyor, en fazla bir düzine. Cevap olumsuz çıktıysa, görev de yanlış çözüldü.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın xy = 4, X = 2, X= 4 ve eksen ÖKÜZ.

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Eğrisel yamuk bulunursa ne yapılmalı aks altıÖKÜZ?

Örnek 3

Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın y = eski, X= 1 ve koordinat eksenleri.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Eğrisel bir yamuk ise tamamen aksın altında ÖKÜZ , o zaman alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Bu durumda:

.

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse, negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse, alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle, az önce ele alınan formülde eksi görünür.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını bulun y = 2X – X 2 , y = -X.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Alan problemlerinde çizim yaparken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişme noktalarını bulun y = 2X – X 2 ve düz y = -X. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yol analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Yani entegrasyonun alt limiti A= 0, entegrasyonun üst sınırı B= 3. Çizgileri nokta nokta oluşturmak genellikle daha karlı ve hızlıdır, öte yandan entegrasyonun sınırları “kendi kendine” ortaya çıkar. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya dişli yapı entegrasyonun sınırlarını ortaya çıkarmadıysa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) limitleri bulmak için analitik yöntem hala bazen kullanılmalıdır. Görevimize geri dönüyoruz: önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Bir çizim yapalım:

Noktasal inşaatta, entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla "otomatik" olarak bulunduğunu tekrarlıyoruz.

Ve şimdi çalışma formülü:

[ A; B] bazı sürekli işlevler F(X) büyük veya eşit bazı sürekli işlev G(X), o zaman karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede olduğunu düşünmek gerekli değildir - eksenin üstünde veya eksenin altında, ancak Hangi grafiğin ÜSTTE olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.

İncelenen örnekte, segmentte parabolün düz çizginin üzerinde olduğu ve dolayısıyla 2'den olduğu açıktır. X – X 2 çıkarılmalıdır - X.

Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:

İstenen rakam bir parabol ile sınırlıdır y = 2X – X 2 üst ve düz y = -X aşağıdan.

2. segmentte X – X 2 ≥ -X. İlgili formüle göre:

Cevap: .

Aslında, alt yarı düzlemde eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bkz. örnek No. 3), formülün özel bir halidir.

.

eksen beri ÖKÜZ denklem ile verilir y= 0 ve fonksiyonun grafiği G(X) eksenin altında bulunur ÖKÜZ, O

.

Ve şimdi bağımsız bir karar için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını bulun

Alanı belirli bir integral kullanarak hesaplamak için problem çözme sürecinde bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten dolayı... yanlış şeklin alanını buldu.

Örnek 7

Önce çizelim:

Alanını bulmamız gereken şekil mavi ile gölgelendirilmiştir.(duruma dikkatlice bakın - şeklin nasıl sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, genellikle şeklin yeşil gölgeli alanını bulmaları gerektiğine karar verirler!

Bu örnek, içinde şeklin alanının iki belirli integral kullanılarak hesaplanması açısından da yararlıdır. Gerçekten mi:

1) Segmentte [-1; 1] aksın üstünde ÖKÜZ grafik düz y = X+1;

2) Eksenin üzerindeki segmentte ÖKÜZ hiperbolün grafiği bulunur y = (2/X).

Alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Örnek 8

Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın

Denklemleri "okul" formunda sunalım

ve çizgi çizmeyi yapın:

Üst limitimizin “iyi” olduğu çizimden görülmektedir: B = 1.

Ancak alt sınır nedir? Bunun bir tamsayı olmadığı açık, ama ne?

Belki, A=(-1/3)? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, pekala ortaya çıkabilir A=(-1/4). Ya grafiği hiç doğru anlamazsak?

Bu gibi durumlarda, ek zaman harcamak ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak iyileştirmek gerekir.

Grafiklerin kesişme noktalarını bulun

Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:

.

Buradan, A=(-1/3).

Diğer çözüm önemsizdir. Asıl mesele, ikamelerde ve işaretlerde kafa karıştırmamak. Buradaki hesaplamalar en kolay değil. segmentte

, ,

ilgili formüle göre:

Cevap:

Dersin sonunda, iki görevi daha zor olarak ele alacağız.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın

Çözüm: Çizimde bu şekli çizin.

Nokta nokta bir çizim çizmek için sinüzoidin görünümünü bilmeniz gerekir. Genel olarak, tüm temel fonksiyonların grafiklerini ve sinüsün bazı değerlerini bilmek faydalıdır. Değerler tablosunda bulunabilirler. trigonometrik fonksiyonlar . Bazı durumlarda (örneğin, bu durumda), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının ilke olarak doğru bir şekilde görüntülenmesi gereken şematik bir çizim oluşturulmasına izin verilir.

Burada entegrasyon limitleriyle ilgili herhangi bir sorun yoktur, doğrudan koşuldan kaynaklanırlar:

- "x" sıfırdan "pi"ye değişir. Bir karar daha veriyoruz:

Segmentte, fonksiyonun grafiği y= günah 3 X eksenin üzerinde bulunan ÖKÜZ, Bu yüzden:

(1) Sinüs ve kosinüslerin tek kuvvetlerde nasıl entegre edildiğini derste görebilirsiniz. Trigonometrik fonksiyonların integralleri. Bir sinüsü sıkıştırıyoruz.

(2) Formda temel trigonometrik özdeşliği kullanıyoruz

(3) Değişkeni değiştirelim T= çünkü X, ardından: eksenin üzerinde bulunur, yani:

.

.

Not: küpteki teğetin integralinin nasıl alındığına dikkat edin, burada temel trigonometrik özdeşliğin sonucu kullanılır

.

Bu yazıda, integral hesaplamaları kullanarak çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz. Lisede ilk kez böyle bir problemin formülasyonuyla karşılaşıyoruz, bazı integrallerin incelenmesi yeni tamamlanmış ve pratikte kazanılan bilgilerin geometrik yorumuna başlama zamanı gelmiştir.

Öyleyse, integralleri kullanarak bir şeklin alanını bulma problemini başarılı bir şekilde çözmek için gerekenler:

• çizimleri doğru şekilde çizebilme;
• İyi bilinen Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli bir integrali çözebilme;
• Daha karlı bir çözümü "görme" yeteneği - yani. şu veya bu durumda entegrasyonu gerçekleştirmenin nasıl daha uygun olacağını anlamak için? x ekseni boyunca (OX) veya y ekseni boyunca (OY)?
• Peki, doğru hesaplamalar olmadan nerede?) Bu, diğer türdeki integrallerin nasıl çözüleceğini ve sayısal hesaplamaları doğru yapmayı içerir.

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplama problemini çözmek için algoritma:

1. Bir çizim yapıyoruz. Bunu büyük ölçekte bir kafeste bir kağıt parçası üzerinde yapmanız önerilir. Her grafiğin üzerine bu fonksiyonun adını kalemle işaretliyoruz. Grafiklerin imzası, yalnızca daha sonraki hesaplamaların rahatlığı için yapılır. İstenen rakamın grafiğini aldıktan sonra, çoğu durumda hangi entegrasyon limitlerinin kullanılacağı hemen anlaşılacaktır. Böylece problemi grafiksel olarak çözmüş oluyoruz. Bununla birlikte, limit değerlerinin kesirli veya irrasyonel olduğu da olur. Bu nedenle, ek hesaplamalar yapabilirsiniz, ikinci adıma geçin.

2. Entegrasyon limitleri açıkça belirlenmemişse, grafiklerin birbirleriyle kesişme noktalarını bulur ve grafik çözümümüzün analitik çözümle eşleşip eşleşmediğine bakarız.

3. Ardından, çizimi analiz etmeniz gerekir. Fonksiyon grafiklerinin nasıl yerleştirildiğine bağlı olarak, şeklin alanını bulmak için farklı yaklaşımlar vardır. İntegral kullanarak bir şeklin alanını bulmanın çeşitli örneklerini düşünün.

3.1. Problemin en klasik ve en basit versiyonu, eğrisel bir yamuğun alanını bulmanız gerektiği zamandır. Eğrisel yamuk nedir? Bu, x ekseni ile sınırlanmış düz bir rakamdır. (y=0), dümdüz x = bir, x = b ve aralıkta sürekli herhangi bir eğri Aönce B. Aynı zamanda, bu rakam negatif değildir ve x ekseninin altında yer almaz. Bu durumda, eğrisel yamuğun alanı sayısal olarak Newton-Leibniz formülü kullanılarak hesaplanan kesin integrale eşittir:

örnek 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Hangi çizgiler figürü tanımlar? bir parabolümüz var y = x2 - 3x + 3, eksenin üzerinde bulunan AH, negatif değildir, çünkü bu parabolün tüm noktaları pozitif değerler. Sonra, verilen düz çizgiler x = 1 Ve x = 3 eksene paralel uzanan kuruluş birimi, sol ve sağdaki şeklin sınırlayıcı çizgileridir. Kuyu y = 0, o, şekli aşağıdan sınırlayan x eksenidir. Ortaya çıkan şekil, soldaki şekilde görüldüğü gibi gölgelidir. Bu durumda, sorunu hemen çözmeye başlayabilirsiniz. Önümüzde, daha sonra Newton-Leibniz formülünü kullanarak çözdüğümüz basit bir eğrisel yamuk örneği var.

3.2. Önceki paragraf 3.1'de, eğrisel yamuk x ekseninin üzerinde bulunduğunda durum analiz edilmiştir. Şimdi, fonksiyonun x ekseninin altında olması dışında, problemin koşullarının aynı olduğu durumu ele alalım. Standart Newton-Leibniz formülüne bir eksi eklenir. Böyle bir sorunu nasıl çözeceğimizi daha fazla ele alacağız.

Örnek 2 . Çizgilerle sınırlandırılmış bir şeklin alanını hesaplayın y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

İÇİNDE bu örnek bir parabolümüz var y=x2+6x+2, eksenin altından kaynaklanan AH, dümdüz x=-4, x=-1, y=0. Burada y = 0 yukarıdan istenen rakamı sınırlar. doğrudan x = -4 Ve x = -1 bunlar, belirli integralin hesaplanacağı sınırlardır. Bir şeklin alanını bulma problemini çözme ilkesi, 1 numaralı örnekle neredeyse tamamen örtüşmektedir. Tek fark, verilen fonksiyonun pozitif olmaması ve aynı zamanda aralıkta sürekli olmasıdır. [-4; -1] . Olumlu değil ne anlama geliyor? Şekilden de görülebileceği gibi, verilen x'in içinde yer alan şeklin yalnızca "negatif" koordinatları vardır, bu da sorunu çözerken görmemiz ve hatırlamamız gereken şeydir. Newton-Leibniz formülünü kullanarak, sadece başında eksi işareti olan şeklin alanını arıyoruz.

Makale tamamlanmadı.