Belirli bir integralin geometrik anlamının analizine ayrılan önceki bölümde, eğrisel bir yamuğun alanını hesaplamak için bir dizi formül elde ettik:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon için y = f (x) [ a ; B] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x sürekli ve pozitif olmayan bir fonksiyon için y = f (x) [ a ; B] .

Bu formüller göreli çözmek için geçerlidir basit görevler. Aslında, genellikle daha karmaşık şekillerle çalışmak zorundayız. Bu bağlamda, bu bölümü açık bir biçimde fonksiyonlarla sınırlandırılan şekillerin alanını hesaplamak için algoritmaların analizine ayıracağız, yani. y = f(x) veya x = g(y) gibi.

y = f 1 (x) ve y = f 2 (x) fonksiyonları [ a ; b ] ve f 1 (x) ≤ f 2 (x), [ a ; B] . Ardından, G şeklinin alanını hesaplama formülü, çizgilerle sınırlanmış x = a , x = b , y = f 1 (x) ve y = f 2 (x) S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x gibi görünecektir.

Benzer bir formül, y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) ve x \u003d g 2 (y) çizgileriyle sınırlanan şeklin alanı için geçerli olacaktır: S (G) \u003d ∫ cd (g 2 (y) - g 1 (y) dy .

Kanıt

Formülün geçerli olacağı üç durumu analiz edeceğiz.

İlk durumda, alanın toplanabilirlik özelliği dikkate alındığında, orijinal şekil G ve eğrisel yamuk G 1 alanlarının toplamı, G 2 şeklinin alanına eşittir. Demek oluyor

Bu nedenle, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Belirli integralin üçüncü özelliğini kullanarak son geçişi yapabiliriz.

İkinci durumda, eşitlik doğrudur: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1(x))dx

Grafik gösterimi şöyle görünecektir:

Her iki fonksiyon da pozitif değilse, şunu elde ederiz: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx . Grafik gösterimi şöyle görünecektir:

y = f 1 (x) ve y = f 2 (x)'in O x ekseniyle kesiştiği genel durumu ele alalım.

Kesişme noktalarını x i , i = 1 , 2 , olarak göstereceğiz. . . , n - 1. Bu noktalar [ a ; b ] n parçaya x ben - 1 ; x ben , ben = 1 , 2 , . . . , n , burada α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Buradan,

S (G) = ∑ ben = 1 n S (G i) = ∑ ben = 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx = = ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx

Belirli integralin beşinci özelliğini kullanarak son geçişi yapabiliriz.

Genel durumu grafik üzerinde gösterelim.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x formülü kanıtlanmış kabul edilebilir.

Ve şimdi y \u003d f (x) ve x \u003d g (y) çizgileriyle sınırlanan şekillerin alanını hesaplama örneklerinin analizine geçelim.

Örneklerden herhangi birini göz önünde bulundurarak, bir grafiğin oluşturulmasıyla başlayacağız. Görüntü, karmaşık şekilleri daha basit şekillerin kombinasyonları olarak temsil etmemize izin verecektir. Üzerlerine grafikler ve şekiller çizmek sizin için zorsa, temel temel fonksiyonlar, fonksiyonların grafiklerinin geometrik dönüşümü ve bir fonksiyonun çalışması sırasında çizim yapma bölümünü inceleyebilirsiniz.

örnek 1

Parabol y \u003d - x 2 + 6 x - 5 ve düz çizgiler y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d ile sınırlandırılan şeklin alanını belirlemek gerekir. 1, x \u003d 4.

Çözüm

Grafikteki doğruları Kartezyen koordinat sisteminde çizelim.

[ 1 ; 4] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolünün grafiği y = - 1 3 x - 1 2 düz çizgisinin üzerinde bulunur. Bu bağlamda, bir cevap elde etmek için, daha önce elde edilen formülü ve Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli bir integrali hesaplama yöntemini kullanıyoruz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Cevap: S (G) = 13

Daha karmaşık bir örneğe bakalım.

Örnek 2

y = x + 2 , y = x , x = 7 çizgileriyle sınırlandırılan şeklin alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Bu durumda, x eksenine paralel sadece bir düz çizgimiz var. Bu x = 7'dir. Bu, ikinci entegrasyon sınırını kendimiz bulmamızı gerektirir.

Bir grafik oluşturalım ve üzerine problemin durumunda verilen doğruları koyalım.

Gözümüzün önünde bir grafiğe sahip olarak, entegrasyonun alt sınırının, y \u003d x düz bir çizgi ve bir yarı parabol y \u003d x + 2 ile grafiğin kesişme noktasının apsisi olacağını kolayca belirleyebiliriz. Apsisi bulmak için eşitlikleri kullanırız:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ ODG x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ ODG

Kesişme noktasının apsisinin x = 2 olduğu ortaya çıktı.

Çizimdeki genel örnekte, y = x + 2 , y = x doğrularının (2 ; 2) noktasında kesiştiğine dikkatinizi çekiyoruz, bu nedenle bu tür ayrıntılı hesaplamalar gereksiz görünebilir. buraya getirdik detaylı çözüm sadece daha fazla olduğu için zor vakalarçözüm çok açık olmayabilir. Bu, doğruların kesişimlerinin koordinatlarını her zaman analitik olarak hesaplamanın daha iyi olduğu anlamına gelir.

[ 2 ; 7 ] y = x fonksiyonunun grafiği y = x + 2 fonksiyonunun grafiğinin üzerinde bulunur. Alanı hesaplamak için formülü uygulayın:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) dx = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Cevap: S (G) = 59 6

Örnek 3

y \u003d 1 x ve y \u003d - x 2 + 4 x - 2 fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlı olan şeklin alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Grafiğe çizgiler çizelim.

Entegrasyonun sınırlarını tanımlayalım. Bunu yapmak için, 1 x ve - x 2 + 4 x - 2 ifadelerini eşitleyerek doğruların kesişme noktalarının koordinatlarını belirleriz. X'in sıfıra eşit olmaması koşuluyla, 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 eşitliği, tamsayı katsayılarıyla üçüncü derece - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 denklemine eşdeğer olur . Bu tür denklemleri çözmek için kullanılan algoritmanın hafızasını “Kübik denklemlerin çözümü” bölümüne bakarak tazeleyebilirsiniz.

Bu denklemin kökü x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0'dır.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifadesini x - 1 binomuna bölerek şunu elde ederiz: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Kalan kökleri x 2 - 3 x - 1 = 0 denkleminden bulabiliriz:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

x ∈ 1 aralığını bulduk; 3 + 13 2 , burada G mavi çizginin üstüne ve kırmızı çizginin altına alınır. Bu, şeklin alanını belirlememize yardımcı olur:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Cevap: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Örnek 4

y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 ve x ekseni eğrileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Tüm doğruları grafiğe koyalım. y = - log 2 x + 1 fonksiyonunun grafiğini, x ekseni etrafında simetrik olarak yerleştirip bir birim yukarı hareket ettirirsek, y = log 2 x grafiğinden alabiliriz. x ekseninin denklemi y \u003d 0.

Doğruların kesişme noktalarını gösterelim.

Şekilden görülebileceği gibi, y \u003d x 3 ve y \u003d 0 fonksiyonlarının grafikleri (0; 0) noktasında kesişir. Bunun nedeni, x \u003d 0, x 3 \u003d 0 denkleminin tek gerçek köküdür.

x = 2, - log 2 x + 1 = 0 denkleminin tek köküdür, dolayısıyla y = - log 2 x + 1 ve y = 0 fonksiyonlarının grafikleri (2; 0) noktasında kesişir.

x = 1, x 3 = - log 2 x + 1 denkleminin tek köküdür. Bu bağlamda, y \u003d x 3 ve y \u003d - log 2 x + 1 fonksiyonlarının grafikleri (1; 1) noktasında kesişir. Son ifade açık olmayabilir, ancak x 3 \u003d - log 2 x + 1 denkleminin birden fazla kökü olamaz, çünkü y \u003d x 3 işlevi kesinlikle artıyor ve y \u003d - log 2 x işlevi + 1 kesinlikle azalıyor.

Bir sonraki adım birkaç seçenek içerir.

Seçenek numarası 1

G şeklini, ilki x ∈ 0 segmentinde orta çizginin altında bulunan, apsis ekseninin üzerinde bulunan iki eğrisel yamuk toplamı olarak temsil edebiliriz; 1 ve ikincisi x ∈ 1 segmentindeki kırmızı çizginin altındadır; 2. Bu, alanın S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x'e eşit olacağı anlamına gelir.

Seçenek numarası 2

G şekli, birincisi x ekseninin üzerinde ve x ∈ 0 segmentindeki mavi çizginin altında bulunan iki şeklin farkı olarak gösterilebilir; 2 , ikincisi ise x ∈ 1 parçasındaki kırmızı ve mavi çizgiler arasındadır; 2. Bu, aşağıdaki gibi alanı bulmamızı sağlar:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Bu durumda, alanı bulmak için S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y biçiminde bir formül kullanmanız gerekecektir. Aslında, şekli sınırlayan çizgiler, y argümanının fonksiyonları olarak gösterilebilir.

x'e göre y = x 3 ve - log 2 x + 1 denklemlerini çözelim:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Gerekli alanı alıyoruz:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Cevap: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Örnek 5

y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm

Grafikte y = x fonksiyonu tarafından verilen kırmızı bir çizgi ile bir çizgi çizin. y = - 1 2 x + 4 çizgisini mavi çizin ve y = 2 3 x - 3 çizgisini siyah olarak işaretleyin.

Kavşak noktalarına dikkat edin.

y = x ve y = - 1 2 x + 4 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktalarını bulun:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i denkleminin çözümüdür x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 denklemin çözümüdür ⇒ (4 ; 2) kesişim noktası i y = x ve y = - 1 2 x + 4

y = x ve y = 2 3 x - 3 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktasını bulun:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrol edin: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 = 9 denkleminin çözümü ⇒ (9; 3) noktası ve kesişimi y = x ve y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 denklemin bir çözümü değil

y = - 1 2 x + 4 ve y = 2 3 x - 3 doğrularının kesişme noktasını bulun:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) kesişim noktası y = - 1 2 x + 4 ve y = 2 3 x - 3

Yöntem numarası 1

İstenilen figürün alanını, bireysel figürlerin alanlarının toplamı olarak temsil ediyoruz.

O zaman şeklin alanı:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Yöntem numarası 2

Orijinal şeklin alanı, diğer iki şeklin toplamı olarak gösterilebilir.

Sonra x için çizgi denklemini çözeriz ve ancak bundan sonra şeklin alanını hesaplamak için formülü uygularız.

y = x ⇒ x = y 2 kırmızı çizgi y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 siyah çizgi y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s ben n ben ben l ben n ben

Yani alan:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Gördüğünüz gibi, değerler eşleşiyor.

Cevap: S (G) = 11 3

Sonuçlar

Verilen çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını bulmak için, bir düzlemde çizgiler çizmemiz, kesişme noktalarını bulmamız ve alanı bulmak için formülü uygulamamız gerekir. Bu bölümde, görevler için en yaygın seçenekleri inceledik.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Siteye matematiksel formüller nasıl eklenir?

Bir web sayfasına bir veya iki matematiksel formül eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller Wolfram Alpha'nın otomatik olarak oluşturduğu resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. Basitliğe ek olarak, bu evrensel yöntem, sitenin arama motorlarında görünürlüğünü artırmaya yardımcı olacaktır. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki olarak modası geçmiş.

Öte yandan, sitenizde sürekli matematiksel formüller kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanarak web tarayıcılarında matematiksel gösterimi görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'ı kullanmanızı öneririm.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, sitenize hızlı bir şekilde bir MathJax betiği bağlayabilirsiniz, bu komut dosyası doğru zamanda uzak bir sunucudan otomatik olarak yüklenecektir (sunucu listesi); (2) MathJax komut dosyasını uzak bir sunucudan sunucunuza yükleyin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. İkinci yöntem daha karmaşık ve zaman alıcıdır ve sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandırmanıza olanak tanır ve ana MathJax sunucusunun herhangi bir nedenle geçici olarak kullanılamaması durumunda bu, kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlara rağmen, daha basit, daha hızlı ve teknik beceri gerektirmediği için ilk yöntemi seçtim. Örneğimi takip edin ve 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.

MathJax kitaplığı komut dosyasını, ana MathJax web sitesinden veya belgeler sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketler arasına yapıştırılması gerekir. ve veya etiketten hemen sonra . İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yüklenir ve sayfayı daha az yavaşlatır. Ancak ikinci seçenek, MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz, periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu yapıştırırsanız, sayfalar daha yavaş yüklenir, ancak MathJax güncellemelerini sürekli olarak izlemeniz gerekmez.

MathJax'ı bağlamanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'te: site kontrol panelinde, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir pencere öğesi ekleyin, yukarıda sunulan yükleme kodunun birinci veya ikinci sürümünü ona kopyalayın ve pencere öğesini daha yakına yerleştirin şablonun başına kadar (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç gerekli değildir). Bu kadar. Şimdi MathML, LaTeX ve ASCIIMathML biçimlendirme sözdizimini öğrenin ve matematik formüllerini web sayfalarınıza yerleştirmeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal, sürekli olarak sınırsız sayıda uygulanan belirli bir kurala göre oluşturulur. Böyle her bir zamana yineleme denir.

Bir Menger süngeri oluşturmak için yinelemeli algoritma oldukça basittir: 1 kenarı olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit kübe bölünür. Bir merkezi küp ve yüzleri boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Geriye kalan 20 küçük küpten oluşan bir set ortaya çıkıyor. Bu küplerin her biri ile aynı şeyi yaparak, 400 küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işleme süresiz devam ederek Menger süngeri elde ederiz.

Kesin integral. Bir figürün alanı nasıl hesaplanır

Şimdi integral hesabın uygulamalarının değerlendirilmesine dönüyoruz. Bu derste, tipik ve en yaygın bir görevi analiz edeceğiz. Bir düzlem şeklinin alanını hesaplamak için belirli bir integral nasıl kullanılır. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayanlar - bulsunlar. Asla bilemezsin. Hayatta yakınlaşmamız gerekecek kır evi alanı temel fonksiyonlar ve belirli bir integral kullanarak alanını bulur.

Malzemede başarılı bir şekilde ustalaşmak için şunları yapmalısınız:

1) Belirsiz integrali en az orta düzeyde anlar. Bu nedenle, aptallar önce dersi okumalı Değil.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilir ve belirli integrali hesaplayabilir. Sayfadaki bazı integraller ile sıcak dostluk ilişkileri kurabilirsiniz. Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Aslında, bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında çok fazla bilgiye ihtiyacınız yoktur. "Alanı belirli bir integral kullanarak hesaplama" görevi her zaman bir çizimin oluşturulmasını içerir., çok daha fazla güncel konu bilginiz ve çizim becerileriniz olacak. Bu bakımdan ana dizinin grafiklerini tazelemekte fayda var. temel fonksiyonlar ve en azından düz bir çizgi, parabol ve hiperbol oluşturabilme. Bu (birçok ihtiyaç) yardımı ile yapılabilir. metodolojik malzeme ve grafiklerin geometrik dönüşümleri üzerine makaleler.

Aslında herkes okuldan beri belirli bir integral kullanarak alanı bulma problemine aşinadır ve okul müfredatının biraz ilerisine gideceğiz. Bu makale hiç mevcut olmayabilir, ancak gerçek şu ki, sorun 100 vakadan 99'unda, bir öğrenci yüksek matematik dersinde ustalaşmak için nefret edilen bir kule tarafından coşkuyla eziyet edildiğinde ortaya çıkıyor.

Bu çalıştayın materyalleri basit, ayrıntılı ve minimum teori ile sunulmaktadır.

Eğrisel bir yamuk ile başlayalım.

eğrisel yamuk eksen, düz çizgiler ve bu aralıkta işaret değiştirmeyen bir doğru parçası üzerinde sürekli bir fonksiyonun grafiği ile sınırlandırılmış düz bir şekle denir. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil apsis:

O zamanlar eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. (Var olan) herhangi bir belirli integralin çok iyi bir geometrik anlam. Derste Kesin integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söyledim. Ve şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından, belirli integral ALAN'dır..

Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin, belirli integrali ele alalım. İntegrant, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (isteyenler çizimi tamamlayabilir) ve belirli integralin kendisi, karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına sayısal olarak eşittir.

örnek 1

Bu tipik bir görev ifadesidir. İlk ve önemli ançözümler - çizim. Ayrıca, çizim inşa edilmelidir SAĞ.

Bir çizim oluştururken tavsiye ederim sıradaki sipariş: ilk tüm satırları (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca O zamanlar- paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. İşlev grafikleri oluşturmak daha karlı nokta nokta, noktasal inşaat tekniği bulunabilir referans malzemesi Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada ayrıca dersimizle ilgili olarak çok faydalı olan materyalleri de bulabilirsiniz - bir parabolün nasıl hızlı bir şekilde oluşturulacağı.

Bu problemde, çözüm şöyle görünebilir.
Bir çizim yapalım (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):

Eğrisel bir yamuk taramayacağım, burada hangi alandan bahsettiğimiz açık. Çözüm şöyle devam ediyor:

Segmentte, fonksiyonun grafiği bulunur eksen üzerinde, Bu yüzden:

Yanıt vermek:

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler , derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakmak ve cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman yararlıdır. Bu durumda, “gözle” çizimdeki hücre sayısını sayıyoruz - peki, yaklaşık 9 yazılacak, bu doğru gibi görünüyor. Diyelim ki cevabımız olsaydı: 20 birim kare, o zaman açıkçası bir yerde bir hata yapıldı - 20 hücre açıkça söz konusu şekle uymuyor, en fazla bir düzine. Cevabın olumsuz olduğu ortaya çıktıysa, görev de yanlış çözüldü.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını ve ekseni hesaplayın

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Eğrisel yamuk bulunursa ne yapmalı aks altında mı?

Örnek 3

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın ve eksenleri koordine edin.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Eğrisel yamuk bulunursa aks altında(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), sonra alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:
Bu durumda:

Dikkat! İki tür görevi karıştırmayın:

1) Herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse, negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse, alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle eksi, az önce ele alınan formülde görünür.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçilir.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin alanını bulun.

Çözüm: İlk önce çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak, alan problemlerinde bir çizim oluştururken, en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ve doğrunun kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. Birinci yol analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Dolayısıyla, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak en iyisidir..

Çizgileri nokta nokta inşa etmek çok daha karlı ve hızlı olurken, entegrasyonun sınırları “kendi kendine” bulunurmuş gibi bulunur. Çeşitli çizelgeler için noktadan noktaya yapım tekniği, yardım bölümünde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bununla birlikte, örneğin, grafik yeterince büyükse veya dişli yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (bunlar kesirli veya irrasyonel olabilir) limitleri bulmanın analitik yöntemi hala bazen kullanılmalıdır. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.

Görevimize dönüyoruz: önce düz bir çizgi ve ancak o zaman bir parabol oluşturmak daha mantıklı. Bir çizim yapalım:

Noktasal yapı ile tekrar ediyorum, entegrasyonun sınırları çoğunlukla “otomatik olarak” bulunur.

Ve şimdi çalışma formülü: Aralıkta sürekli bir fonksiyon varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar, daha sonra bu fonksiyonların ve düz çizgilerin grafikleriyle sınırlanan şeklin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Burada figürün nerede olduğunu düşünmek artık gerekli değil - eksenin üstünde veya altında ve kabaca konuşursak, hangi grafiğin YUKARIDA olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.

İncelenen örnekte, segmentte parabolün düz çizginin üzerinde yer aldığı açıktır ve bu nedenle,

Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:

İstenilen rakam, yukarıdan bir parabol ve aşağıdan bir düz çizgi ile sınırlandırılmıştır.
Segmentte , ilgili formüle göre:

Yanıt vermek:

Aslında, alt yarı düzlemde eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bakınız basit örnek No. 3), formülün özel bir halidir. . Eksen denklem tarafından verildiğinden ve fonksiyonun grafiği bulunduğundan daha yüksek değil eksenler, o zaman

Ve şimdi bağımsız bir çözüm için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Çizgilerle çevrelenen şeklin alanını bulun.

Belirli bir integral kullanarak alan hesaplama problemlerini çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten dolayı... yanlış şeklin alanını buldum, itaatkar hizmetkarın birkaç kez böyle batırdı. İşte gerçek bir hayat vakası:

Örnek 7

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , , , .

Çözüm: Önce bir çizim yapalım:

…Eh, çizim saçma sapan çıktı, ama her şey okunaklı görünüyor.

Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli.(duruma dikkatlice bakın - rakamın nasıl sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, genellikle gölgeli şeklin alanını bulmanız gereken bir “aksaklık” meydana gelir. yeşil!

Bu örnek, içinde şeklin alanının iki belirli integral kullanılarak hesaplanması açısından da yararlıdır. Yok canım:

1) Eksenin üzerindeki segmentte düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üzerindeki segmentte bir hiperbol grafiği var.

Alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Yanıt vermek:

Daha anlamlı bir göreve geçelim.

Örnek 8

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın,
Denklemleri bir "okul" biçiminde sunalım ve nokta nokta bir çizim yapalım:

Üst sınırımızın “iyi” olduğu çizimden görülebilir: .
Ama alt sınır nedir? Bunun bir tamsayı olmadığı açık, ama ne? Belki ? Ancak çizimin kusursuz bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, öyle olabilir. Veya kök. Ya grafiği hiç doğru alamadıysak?

Bu gibi durumlarda ek zaman harcamak ve analitik olarak entegrasyonun sınırlarını iyileştirmek gerekir.

Doğrunun ve parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:


,

Yok canım, .

Diğer çözüm önemsizdir, asıl mesele, ikame ve işaretlerde kafa karıştırmamaktır, buradaki hesaplamalar en kolayı değildir.

segmentte , ilgili formüle göre:

Yanıt vermek:

Dersin sonunda, iki görevi daha zor olarak ele alacağız.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,

Çözüm: Bu şekli çizimde çizin.

Kahretsin, programı imzalamayı ve resmi yeniden yapmayı unuttum, üzgünüm, hotz değil. Çekiliş değil kısacası bugün gün =)

Noktasal yapı için bilmeniz gerekenler görünüm sinüzoidler (ve genel olarak bilmek yararlıdır tüm temel fonksiyonların grafikleri), ayrıca bazı sinüs değerleri de bulunabilir. trigonometrik tablo. Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının prensipte doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim oluşturmaya izin verilir.

Burada entegrasyon limitleriyle ilgili herhangi bir sorun yoktur, bunlar doğrudan şu koşuldan kaynaklanır: - "x" sıfırdan "pi"ye değişir. Bir karar daha veriyoruz:

Segmentte, fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

Aslında, bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında çok fazla bilgiye ihtiyacınız yoktur. "Alanı belirli bir integral kullanarak hesaplama" görevi her zaman bir çizimin oluşturulmasını içerir., bu nedenle bilginiz ve çizim becerileriniz çok daha alakalı bir konu olacaktır. Bu bağlamda, ana temel fonksiyonların grafiklerinin hafızasını yenilemek ve en azından düz bir çizgi ve bir hiperbol oluşturabilmek yararlıdır.

Eğrisel bir yamuk, bir eksen, düz çizgiler ve bu aralıkta işaretini değiştirmeyen bir segment üzerindeki sürekli bir fonksiyonun grafiği ile sınırlanan düz bir şekildir. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil apsis:

O zamanlar eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır.

Geometri açısından, belirli integral ALAN'dır..

Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin, belirli integrali ele alalım. İntegrant, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (isteyenler çizimi tamamlayabilir) ve belirli integralin kendisi, karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına sayısal olarak eşittir.

örnek 1

Bu tipik bir görev ifadesidir. Kararın ilk ve en önemli anı bir çizimin yapımıdır.. Ayrıca, çizim inşa edilmelidir SAĞ.

Bir plan oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: ilk tüm satırları (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca O zamanlar- paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. İşlev grafikleri oluşturmak daha karlı noktasal.

Bu problemde, çözüm şöyle görünebilir.
Bir çizim yapalım (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):

Segmentte, fonksiyonun grafiği bulunur eksen üzerinde, Bu yüzden:

Yanıt vermek:

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakmak ve cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman yararlıdır. Bu durumda, "gözle" çizimdeki hücre sayısını sayıyoruz - peki, yaklaşık 9 yazılacak, bu doğru gibi görünüyor. Diyelim ki cevabımız olsaydı: 20 birim kare, o zaman, açıkçası, bir yerde bir hata yapıldı - 20 hücre, söz konusu şekle açıkça uymuyor, en fazla bir düzine. Cevabın olumsuz olduğu ortaya çıktıysa, görev de yanlış çözüldü.

Örnek 3

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın ve eksenleri koordine edin.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Eğrisel yamuk bulunursa aks altında(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), sonra alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Bu durumda:

Dikkat! İki tür görevi karıştırmayın:

1) Herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse, negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse, alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle eksi, az önce ele alınan formülde görünür.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçilir.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin alanını bulun.

Çözüm: İlk önce çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak, alan problemlerinde bir çizim oluştururken, en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ve doğrunun kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. Birinci yol analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Dolayısıyla, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı.

Mümkünse bu yöntemi kullanmamak en iyisidir..

Çizgileri nokta nokta inşa etmek çok daha karlı ve hızlı olurken, entegrasyonun sınırları “kendi kendine” bulunurmuş gibi bulunur. Bununla birlikte, örneğin, grafik yeterince büyükse veya dişli yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (bunlar kesirli veya irrasyonel olabilir) limitleri bulmanın analitik yöntemi hala bazen kullanılmalıdır. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.

Görevimize dönüyoruz: önce düz bir çizgi ve ancak o zaman bir parabol oluşturmak daha mantıklı. Bir çizim yapalım:

Ve şimdi çalışma formülü: Aralıkta sürekli bir fonksiyon varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar, daha sonra bu fonksiyonların ve düz çizgilerin grafikleriyle sınırlanan şeklin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Burada figürün nerede olduğunu düşünmek artık gerekli değil - eksenin üstünde veya altında ve kabaca konuşursak, hangi grafiğin YUKARIDA olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.

İncelenen örnekte, segmentte parabolün düz çizginin üzerinde yer aldığı açıktır ve bu nedenle,

Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:

İstenilen rakam, yukarıdan bir parabol ve aşağıdan bir düz çizgi ile sınırlandırılmıştır.
Segmentte , ilgili formüle göre:

Yanıt vermek:

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , , , .

Çözüm: Önce bir çizim yapalım:

Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli.(duruma dikkatlice bakın - rakamın nasıl sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, genellikle yeşil gölgeli şeklin alanını bulmanız gereken bir “aksaklık” meydana gelir!

Bu örnek, içinde şeklin alanının iki belirli integral kullanılarak hesaplanması açısından da yararlıdır.

Yok canım:

1) Eksenin üzerindeki segmentte düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üzerindeki segmentte bir hiperbol grafiği var.

Alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Görev 1(eğrisel bir yamuk alanının hesaplanması üzerine).

Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde xOy, x ekseni ile sınırlanmış bir şekil verilir (şekle bakın), düz çizgiler x \u003d a, x \u003d b (eğrisel bir yamuk. \ alanını hesaplamak gerekir. eğrisel yamuk.
Çözüm. Geometri bize çokgenlerin alanlarını ve bir dairenin bazı kısımlarını (sektör, segment) hesaplamak için tarifler verir. Geometrik değerlendirmeleri kullanarak, aşağıdaki gibi tartışarak, gerekli alanın yalnızca yaklaşık bir değerini bulabileceğiz.

[a; b] (eğrisel bir yamuğun tabanı) n eşit parçaya; bu bölme, x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 noktalarının yardımıyla yapılabilir. Bu noktalardan geçen y eksenine paralel doğrular çizelim. Daha sonra verilen eğrisel yamuk n parçaya, n dar sütuna bölünecektir. Tüm yamuğun alanı, sütunların alanlarının toplamına eşittir.

K-inci sütunu ayrı ayrı düşünün, yani. tabanı bir segment olan eğrisel yamuk. Bunu tabanı ve yüksekliği f(x k) ile aynı olan bir dikdörtgenle değiştirelim (şekle bakın). Dikdörtgenin alanı \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), burada \(\Delta x_k \) segmentin uzunluğudur; derlenen ürünü, kth sütununun alanının yaklaşık bir değeri olarak düşünmek doğaldır.

Şimdi aynısını diğer tüm sütunlar için yaparsak, aşağıdaki sonuca ulaşırız: belirli bir eğrisel yamuğun alanı S, yaklaşık olarak n adet dikdörtgenden oluşan basamaklı bir şeklin alanı S n'ye eşittir (şekle bakın):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Burada, gösterimin tekdüzeliği adına, a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - segment uzunluğu , \(\Delta x_1 \) - segment uzunluğu vb; iken, yukarıda anlaştığımız gibi, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Dolayısıyla, \(S \yaklaşık S_n \) ve bu yaklaşık eşitlik ne kadar doğru olursa, n o kadar büyük olur.
Tanım olarak, eğrisel yamuğun istenen alanının dizinin (S n) sınırına eşit olduğu varsayılmaktadır:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Görev 2(bir noktayı taşımak hakkında)
Düz bir çizgide hareket eder maddi nokta. Hızın zamana bağımlılığı v = v(t) formülüyle ifade edilir. Bir noktanın zaman aralığı [a; B].
Çözüm. Hareket düzgün olsaydı, problem çok basit bir şekilde çözülürdü: s = vt, yani. s = v(b-a). Eşit olmayan hareket için, önceki problemin çözümünün dayandığı fikirlerin aynısı kullanılmalıdır.
1) Zaman aralığını [a; b] n eşit parçaya bölünür.
2) Bir zaman aralığı düşünün ve bu zaman aralığında hızın t k zamanında olduğu gibi sabit olduğunu varsayın. Yani, v = v(t k) olduğunu varsayıyoruz.
3) Zaman aralığı boyunca nokta yer değiştirmesinin yaklaşık değerini bulun, bu yaklaşık değer s k ile gösterilecektir.
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Yer değiştirme s'nin yaklaşık değerini bulun:
\(s \yaklaşık S_n \) nerede
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Gerekli yer değiştirme, dizinin (S n) sınırına eşittir:
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Özetleyelim. Çeşitli problemlerin çözümleri aynı matematiksel modele indirgenmiştir. Bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarından birçok problem, çözüm sürecinde aynı modele yol açmaktadır. Bu nedenle, bu matematiksel model özel olarak incelenmelidir.

Belirli bir integral kavramı

Segment üzerinde sürekli olan (ancak ele alınan problemlerde varsayıldığı gibi negatif olması gerekmeyen) y = f(x) fonksiyonu için ele alınan üç problemde oluşturulan modelin matematiksel bir tanımını verelim [ a; B]:
1) segmenti [a; b] n eşit parçaya;
2) toplam $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ hesaplayın

Matematiksel analiz sırasında, sürekli (veya parçalı sürekli) bir fonksiyon durumunda bu sınırın var olduğu kanıtlandı. O aradı y = f(x) fonksiyonunun [a; B] ve şu şekilde gösterilir:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
a ve b sayılarına integrasyon limitleri denir (sırasıyla alt ve üst).

Yukarıda tartışılan görevlere dönelim. Problem 1'de verilen alan tanımı şimdi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
burada S, yukarıdaki şekilde gösterilen eğrisel yamuğun alanıdır. Bu nedir belirli integralin geometrik anlamı.

t = a'dan t = b'ye kadar olan zaman aralığında v = v(t) hızıyla düz bir çizgide hareket eden bir noktanın yer değiştirmesi s'nin Problem 2'de verilen tanımı aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Newton - Leibniz formülü

Başlangıç ​​olarak şu soruya cevap verelim: belirli bir integral ile ters türev arasındaki ilişki nedir?

Cevap 2. problemde bulunabilir. Bir yandan, t = a'dan t = b'ye kadar bir zaman aralığında v = v(t) hızıyla düz bir çizgi boyunca hareket eden bir noktanın yer değiştirmesi s'dir ve şu şekilde hesaplanır: formül
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Öte yandan, hareket eden noktanın koordinatı hızın terstürevidir - hadi onu s(t) olarak gösterelim; dolayısıyla s yer değiştirmesi s = s(b) - s(a) formülüyle ifade edilir. Sonuç olarak şunları elde ederiz:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
burada s(t), v(t)'nin ters türevidir.

Aşağıdaki teorem matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.
Teorem. y = f(x) fonksiyonu [a; b], sonra formül
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
burada F(x), f(x)'in ters türevidir.

Bu formül genellikle denir Newton-Leibniz formülüİngiliz fizikçi Isaac Newton (1643-1727) ve birbirinden bağımsız ve neredeyse aynı anda alan Alman filozof Gottfried Leibniz (1646-1716) onuruna.

Pratikte, F(b) - F(a) yazmak yerine, \(\left. F(x)\right|_a^b \) notasyonunu kullanırlar (bazen denir çift ​​ikame) ve buna göre Newton-Leibniz formülünü bu biçimde yeniden yazın:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \sol. F(x)\sağ|_a^b \)

Belirli bir integrali hesaplarken, önce ters türevi bulun ve ardından bir çift ikame gerçekleştirin.

Newton-Leibniz formülüne dayanarak, belirli bir integralin iki özelliği elde edilebilir.

Mülk 1. Fonksiyonların toplamının integrali, integrallerin toplamına eşittir:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Mülkiyet 2. Sabit faktör integral işaretinden alınabilir:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Belirli bir integral kullanarak düzlem şekillerinin alanlarını hesaplama

İntegrali kullanarak, yalnızca eğrisel yamukların değil, aynı zamanda şekilde gösterilen gibi daha karmaşık tipteki düzlem şekillerin alanını da hesaplayabilirsiniz. P şekli x = a, x = b düz çizgileri ve y = f(x), y = g(x) sürekli fonksiyonlarının grafikleri ve [a; b] eşitsizliği \(g(x) \leq f(x) \) tutar. Böyle bir şeklin S alanını hesaplamak için aşağıdaki gibi ilerleyeceğiz:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Böylece, x = a, x = b düz çizgileri ve y = f(x), y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri ile sınırlanan şeklin S alanı, segment üzerinde süreklidir ve herhangi bir x için segment [a; b] eşitsizliği \(g(x) \leq f(x) \) sağlanır, formülle hesaplanır
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Bazı fonksiyonların belirsiz integralleri (ters türevler) tablosu