Secționarea

Secțiune - o imagine a unei figuri obținută prin disecția mentală a unui obiect cu un avion. Secțiunea arată doar ceea ce este direct în planul de tăiere.

Secțiunile care nu fac parte din secțiune sunt împărțite în: randate (Fig. 27) și suprapuse (Fig. 28).

Se preferă secțiunile la distanță și pot fi plasate într-un spațiu între părți de același tip (Fig. 29).

Conturul secțiunii eliminate, precum și secțiunea care face parte din secțiune, este reprezentat ca linii principale solide, iar conturul secțiunii suprapuse este reprezentat ca linii subțiri și solide, iar conturul imaginii la locul suprapusului. secţiunea nu este întreruptă (Fig. 28).

Axa de simetrie a secțiunii extinse sau suprapuse (Fig. 28) este indicată printr-o linie subțire punctată fără litere și săgeți

Și linia de secțiune nu este trasată.

ÎN cazuri precum cel prezentat în fig. 29, cu o figură de secțiune simetrică, linia de secțiune nu este trasată.

În toate celelalte cazuri, se folosește o linie deschisă pentru linia de secțiune cu săgeți care indică direcția de vedere și o denotă cu aceleași litere mari ale alfabetului rus. Secțiunea este însoțită de o inscripție de tipul „A - A” (Fig. 27).

Pentru secțiunile asimetrice situate într-un gol sau suprapuse (Fig. 30), linia de secțiune este trasată cu săgeți, dar nu este marcată cu litere. Dacă planul de tăiere trece prin axa suprafeței de revoluție care delimitează gaura sau adâncitura, atunci conturul găurii sau adânciturii din secțiune este prezentat în întregime (Fig. 31).

Înștiințări

Strigă- o imagine suplimentară separată (de obicei mărită) a oricărei părți a obiectului care necesită explicații grafice și de altă natură cu privire la formă, dimensiune și alte date.

Vizualizarea poate conține detalii care nu sunt afișate în imaginea corespunzătoare și poate diferi de aceasta în conținut (de exemplu, imaginea poate fi o vizualizare, iar vizualizarea poate fi o secțiune).

Când se aplică Strigă locul corespunzător este marcat pe vedere, secțiune sau secțiune cu o linie subțire și solidă închisă - un cerc, un oval etc. cu desemnarea elementului extern cu majuscule a alfabetului rus pe raftul liniei de conducere. Deasupra imaginii elementului de la distanță indicați denumirea și scara în care este realizat

Elementul de la distanță este plasat pe desen cât mai aproape de locul corespunzător din imaginea obiectului.

Construirea unei proiecții axonometrice

În axonometrie, de obicei se efectuează o tăiere a ¼ dintr-o parte a unei piese, în timp ce tăierea nu repetă întotdeauna tăierea făcută în imaginea ortogonală. Unghiul format de planurile de tăiere trebuie deschis.

Pe fig. 34 - 37 prezintă implementarea în faze a izometrică a piesei cu

¼ parte decupare. Pentru comoditatea construcțiilor, vom presupune că planul inferior al piesei coincide cu planul orizontal al proiecțiilor, iar axa z coincide cu axa suprafețelor conice și cilindrice.

Orez. 34 Fig. 35

Orez. 36 Fig. 37

Începem sarcina cu construcția axelor axonometrice și conturul figurilor plate obținute prin tăierea piesei cu planuri verticale desenate de-a lungul axelor de simetrie ale piesei (Fig. 34).

Marcam centrele cercurilor trunchiului de con și ale cilindrilor - punctele O1, O2, O3, O4 și construim proiecții izometrice ale acelor părți ale cercurilor care au rămas după tăierea (Fig. 35). Terminăm construcția contururilor dreptunghiulare ale piesei (Fig. 36). După hașurarea figurilor plate formate atunci când piesa este tăiată de planuri verticale (trasând liniile de hașurare paralele cu direcțiile prezentate în figură), trageți conturul piesei (Fig. 37).

Construcția unei secțiuni oblice

O secțiune oblică se obține din intersecția unui obiect cu un plan care formează un unghi altul decât un unghi drept cu planul de proiecție orizontal.

În desen, secțiunile înclinate sunt realizate în funcție de tipul de secțiuni extinse și în conformitate cu direcția indicată de săgețile de pe linia de secțiune. La construirea unei secțiuni, nu este necesar să se respecte cu strictețe relația de proiecție dintre imagine, unde este dată urma planului de tăiere, și figura secțiunii. Figura secțiunii poate fi poziționată în orice locatie convenabila margini de desen, fig. 38, b, c. În acest caz, dacă orientarea secțiunii din desen nu corespunde cu direcția de vedere indicată de săgețile de pe liniile de secțiune, atunci desemnarea secțiunii trebuie să fie însoțită de un semn rotit, fig. 38, c.

În această metodă, primul pas (după găsirea proiecțiilor secundare ale acestor puncte) este construirea unei urme a planului de tăiere pe planul bazei superioare sau inferioare a prismei sau a piramidei trunchiate sau pe baza piramidei.

cur 2. Având în vedere o imagine a unei prisme triunghiulare ABCA 1 B 1 C 1 si trei puncteM, N, P, care se află respectiv pe marginea CC 1 și chipuri ABB 1 A 1 , BCC 1 B 1 . Construiți o secțiune a unei prisme după un plan, trecând prin M, N, P.

Soluţie. Avem deja un punct pe baza superioară a prismei, așa că vom construi urma pe baza superioară. Construim proiecții secundare de puncte NȘi P la baza de sus. Apoi: 1 .NPN 3 P 3 =X; 2 .MX=p-urmări; 3 .pB 1 C 1 =D.

Alți pași au fost deja afișați mai sus în desen.

cur 3. Dec. Vom construi o urmă de plan de tăiere pe baza inferioară a prismei.

Clădire: 1. MNED=X, MPEP 3 =Y;

2. p=X Y- urmă; 3. pBC=G, pDC=H.

Trebuie să găsim un punct pe margine BB 1 sau pe muchie AA 1 .

ÎN fațete ABB 1 A 1 avem deja un punct P. Prin urmare, marginea inferioară a acestei fețe, adică. AB, continuam pana la intersectia cu urma.

4. ABp=Z.

5. PZAA 1 =F; PZBB 1 =K.Alte acțiuni sunt deja afișate mai sus.

Dacă se dovedește că linia AB nu se intersectează cu urma, apoi cu cea dorită FK va fi, de asemenea, paralel. cur 4. Dec. 1. PNP o N o= X;

2. MNCN o= Y;3. p=X Y- urmă;

3. CBp=Z;4. ZMSB=E;

5. ENSA=G 6. GEMF- revendicare sectiune.

17. Construcția unei secțiuni a unui cilindru.

Dacă planul de tăiere este dat de trei puncte, atunci îi putem găsi întotdeauna urma pe planul bazei cilindrului sau conului și punctul ( P, O) pe axa sa. Prin urmare, considerăm că planul de tăiere este dat de aceste elemente.

DIN începutul cursei este cazul când planul intersectează doar suprafața laterală a cilindrului. Atunci secțiunea cilindrului va fi o elipsă (;¯ și imaginea sa este, de asemenea, o elipsă. Știm să construim o elipsă dacă se cunosc două dintre diametrele sale conjugate. Vom arăta acum cum să găsim imaginea principalului diametrele unei elipse (;¯.

Fie  și  1 elipse reprezentând bazele inferioare și superioare ale cilindrului, O Și O 1 - centrele lor. Să desenăm un diametru A 3 B 3 baza inferioara, paralela cu urma si diametrul ei conjugat C 3 D 3 . Pentru constructie C 3 D 3 folosim un acord K 3 L 3, al cărui capăt aparține generatorului de contur. Amintește-ți asta A 3 B 3 și C 3 D 3 prezintă diametre perpendiculare. Hai sa continuăm C 3 D 3 până la intersecția cu urma. Să înțelegem ideea X. Drept PX numiți-o axa secțiunii.

Să ridicăm punctele C 3 și D 3 la axa secțiunii. obține CȘi D. Secțiune CD este o imagine a unei secțiuni cu diametru mare. Să ridicăm segmentul A 3 B 3 la înălțime OP. Primim un segment AB, care este o imagine a unei secțiuni cu diametru mic. Negativ AB Și CD – dia împerechere. elipsa .

H găsiți mai multe puncte în care elipsa trece din partea vizibilă a cilindrului în cea invizibilă, ceea ce înseamnă că linia continuă se transformă într-o linie punctată. Acestea sunt punctele de intersecție ale planului secant cu generatoarele de contur. Lasa Y 3 =K 3 L 3 C 3 D 3 . Să ridicăm Y 3 la axa secțiunii. Să obținem un punct Y. Să ridicăm coarda K 3 L 3 la înălțime YY 3 . Primim un segment KL. Am găsit punctul necesar K, iar pe parcurs, încă un punct în plus L. Punct M, care ilustrează intersecția planului secant și cu a doua generatoare de contur este simetrică față de punct K relativ la punct P.În plus, vom construi un punct N, simetric L puncte-relație P

Să arătăm o modalitate prin care puteți găsi orice număr de puncte pe o secțiune fără a utiliza aceste diametre.

alege oricare. punct V 3 pe o elipsă . Purtam diametru V 3 T 3 si o continuam pana la intersectia cu urma Obtinem un punct U. Ridicam punctele V 3 și T 3 la drept SUS.. Primim două puncte VȘi T pe sectiune. Alegand in schimb V 3 un alt punct, obținem încă 2 puncte pe secțiune Dacă selectați un punct K 3 întins pe generatoarea conturului, vom găsi puncte K Și M, în care linia continuă de pe secțiune ar trebui să se transforme într-una întreruptă.

1. Conceptul de problemă de poziție. Amintiți-vă că avionul se numește plan de tăiere poliedru dacă există puncte ale poliedrului de ambele părți ale acestui plan. Secțiune transversală a unui poliedru Un plan este un poligon ale cărui laturi sunt segmente de-a lungul cărora planul de tăiere intersectează fețele poliedrului.

Pe fig. 30 prezintă o prismă triunghiulară. (În acest desen de proiecție, imaginile cu puncte sunt notate cu aceleași litere ca și punctele originale corespunzătoare). Imaginați-vă că trebuie să notăm punctele: a) M culcat pe margine; b) N culcat in fata; c) situată în interiorul prismei.

Dacă descriem aceste puncte așa cum se face în figura a), atunci doar despre punctul M putem spune condiționat că se află pe margine . Poziția punctului NȘi K nu poate fi determinată din această cifră. Figura b) deja ne permite să concluzionam că punctul N se află în față și ideea este

Dacă, pe de altă parte, indicăm că la proiectarea paralelă cu marginile laterale ale prismei, punctul M proiectat pe o bază până la un punct DAR, atunci apare o astfel de încredere.

O situație similară este prezentată în fig. 31. Aici este necesar să se noteze punctele: a) M pe marginea laterală SA; b) N- pe punctul de SAB;
în) LA- în interiorul piramidei. Diferența constă în faptul că figura din dreapta folosește proiecția centrală a punctelor marcate pe planul bazei piramidei din vârful acesteia. S.

Pentru a face imaginea vizuală, în exemplele luate în considerare este necesar să folosiți nu o singură proiecție, ci două. Se numește prima proiecție, cu care se realizează imaginea unui poliedru extern. Al doilea design este de natură auxiliară. Este asociat cu figura în sine - de regulă, este o proiecție pe un plan care conține una dintre fețele poliedrului. Ne vom ocupa doar de prisme și piramide și, cel mai adesea, alegem planul bazei lor ca un astfel de plan. Se numește proiectare asistată intern. Din exemplele luate în considerare, se poate observa că este convenabil să se folosească proiecția paralelă internă pentru o prismă și cea centrală pentru o piramidă.

Lasa F 0 - o figură în spațiu, care este proiectată paralel cu planul p(design extern). Pentru ca imaginea figurii să fie vizuală, alegem un plan în spațiu, diferit de plan p, și luați în considerare o nouă proiecție, paralelă sau centrală, a punctelor figurii F 0 la acest plan (design intern).

Luați în considerare un punct din spațiu M 0 și proiecția sa pe plan p 0 ¢în design interior. Ambele puncte sunt proiectate pe plan p. În același timp, proiecția M puncte M 0 este numit de bază(sau doar o proiecție) și proiecția М¢ puncte - secundar.

Dacă pentru un punct M 0 cifre F 0 sunt cunoscute proiecția și proiecția secundară a acestuia, apoi din imagine putem judeca poziția acestui punct pe original. În acest caz, se spune că ideea este M 0 , aparținând figurii F 0 este dat pe desenul de proiectie. imaginea figurii F 0 , pe care este dat fiecare punct al figurii, se numește complet.

În desenele de proiecție, de multe ori trebuie să rezolvați probleme legate de găsirea intersecției diferitelor forme. Astfel de sarcini sunt numite pozițional. Dacă o imagine este completă, atunci orice problemă de poziție poate fi rezolvată pe această imagine.

În concluzie, notăm următoarele. Dacă M 0 ¢ , N 0 ¢, K 0 ¢, ... – imagini de puncte M 0 , N 0 , K 0 , ... cu design intern, apoi cu imagini de design extern (paralel). MM¢, NN¢, KK¢, ... linii paralele M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... la suprafata p va fi, de asemenea, paralel. Dacă M 0 ¢, N 0 ¢, K 0 ¢, ... – imagini de puncte M 0 , N 0 , K 0 , ... pentru design central intern cu centru S 0, apoi imagini MM¢, NN¢, KK¢, ... direct M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... se intersectează pe plan în timpul proiectării externe p la un moment dat S. Acest punct va fi imaginea punctului S 0 .

Dintre problemele de pozitie, ne vor interesa doar problemele legate de constructia sectiunilor de poligoane. Să luăm în considerare principalele metode de construire a unor astfel de secțiuni. De obicei, la rezolvarea problemelor stereometrice, imaginile punctelor figurii din desenul de proiecție sunt notate cu aceleași litere ca și punctele corespunzătoare din figura originală. De asemenea, vom respecta această regulă în viitor.

2. Construirea secțiunilor pe baza proprietăților dreptelor și planelor paralele. Această metodă este folosită în mod special la construirea secțiunilor de paralelipipede. Acest lucru se datorează faptului că fețele opuse ale paralelipipedului sunt paralele. Conform teoremei privind intersecția planurilor paralele cu al treilea plan, liniile de intersecție ale fețelor paralele sunt segmente paralele.

O sarcină 1. Baza unei piramide patruunghiulare SABCD este un paralelogram. Construiți o secțiune a piramidei printr-un plan care trece printr-un punct situat pe marginea laterală LA FEL DE, paralel cu diagonala BD temeiuri.

Câte astfel de avioane pot fi construite? Ce cifre se pot obține în secțiune?

Soluţie. Desenați o linie dreaptă arbitrară în planul bazei piramidei A, paralel cu diagonala BD. Un avion trece prin această linie și punct. A, și singurul. Pe baza paralelismului unei drepte și a unui plan și, prin urmare, a unui plan A este de dorit.

În planul bazei există infinit de linii paralele cu dreapta BD, prin urmare, există infinit de planuri care satisfac condiția problemei.

Pe fig. 32 prezintă diferite cazuri de localizare a liniei A raportat la paralelogram ABCD. Evident, in functie de aceasta locatie se va determina tipul de poligon-sectiune.

În stânga în fig. 33 cazul este luat în considerare când linia dreaptă A 1 traversează laturile ANUNȚ,AB la puncte M, N respectiv, și se află cu punctul în același semi-spațiu cu granița BSD. Aici secțiunea transversală este un triunghi MKN.

Figura din dreapta arată cazul în care linia A 3 se află cu un punct pe părțile opuse ale planului BSDși traversează părțile laterale DC, î.Hr bazele în puncte M, N respectiv. Notează prin X punctul de intersecție al liniilor ANUNȚȘi A 3 . De la linia dreaptă ANUNȚ se află în planul feţei ASD, atunci această față conține și un punct X. Pe de altă parte, punctul X aparține liniei A 3 întins în planul de tăiere. Prin urmare, linia dreaptă va fi linia de intersecție a planului secant și planul feței A.S.D. Acest lucru vă permite să găsiți punctul R=SDÇ KX. În mod similar, un punct vă permite să construiți un vârf TÎ BS secțiunea dorită. În cazul considerat, planul de tăiere intersectează toate fețele piramidei, iar secțiunea este un pentagon.

Alte cazuri de aranjare reciprocă a liniei Ași luați în considerare bazele piramidei.

Luați în considerare metode speciale pentru construirea secțiunilor.

4. Metoda urmelor. Dacă planul de tăiere nu este paralel cu fața poliedrului, atunci el intersectează planul acestei fețe într-o linie dreaptă. Linia de-a lungul căreia planul secant intersectează planul feței poliedrului se numește urmând planul de tăiere pe planul acestei feţe. Una dintre metodele de construire a secțiunilor de poliedre se bazează pe utilizarea urmei unui plan de tăiere pe planul uneia dintre fețele sale. Cel mai adesea, la construirea secțiunilor unei prisme și a unei piramide trunchiate, planul bazei inferioare este ales ca atare plan, iar în cazul unei piramide, planul bazei sale.

Luați în considerare construcția secțiunilor prin metoda urmei folosind exemple.

O sarcină 2. Se oferă o imagine a unei prisme patrulatere ABCDA 1 B 1 C 1 D unu . Specificați trei puncte care aparțin diferitelor sale fețe laterale și construiți o secțiune care trece prin aceste trei puncte.

Soluţie. Amintiți-vă că pentru a seta un punct într-un desen de proiecție, trebuie să setați proiecțiile sale primare și secundare. În cazul unei prisme, am convenit să folosim proiecția paralelă internă pentru a defini proiecțiile secundare. Prin urmare, pentru a stabili punctul M culcat pe margine ABB 1 DAR 1, specificați proiecția acestuia M 1 pe planul de bază paralel cu marginile laterale ale prismei. Punctele sunt stabilite în același mod. NȘi K intins in fata ANUNȚ 1 DA 1 , CDD 1 C 1 respectiv (Fig. 34). Să construim o urmă a planului secant pe planul bazei inferioare a prismei. Linii paralele MM 1, se află în același plan și, prin urmare, în cazul general, liniile se intersectează la un punct X. Deoarece linia dreaptă se află în planul secant, iar linia dreaptă se află în planul bazei inferioare, atunci punctul X aparține urmei planului de tăiere pe planul bazei inferioare a prismei. La fel, puncte K, Nși proiecțiile lor secundare K 1 , N 1 vă permit să găsiți al doilea punct Y aparţinând urmei dorite.

Drept AB culcat pe margine ABB 1 DAR 1, intersectează urma X Y la punct Z, deci linia dreaptă MZ zace ca in planul fetei ABB 1 DAR 1 și în planul de tăiere. Secțiune TR, Unde T=MZÇ AA 1 , P=MZÇ BB 1 , va fi latura secțiunii-poligon. Apoi, îi construim secvenţial laturile TRȘi RQ trecând prin aceste puncte NȘi K respectiv. În sfârșit, construirea unei laturi PQ.

Sarcina 3 . Având în vedere o imagine a unei piramide pentagonale SABCDE. Puncte stabilite NȘi K, apartinand marginilor laterale SC, SD respectiv şi punctul M culcat pe margine A.S.E. Construiți o secțiune care trece prin punctele date.

Soluţie. Pentru a stabili puncte K,NȘi M Să folosim proiecția centrală internă cu centrul în vârful piramidei. În acest caz, proiecțiile punctelor KȘi N vor fi puncte DȘi C, și proiecția punctului M- punct (Fig. 35).

Liniile și cele aflate în plan se intersectează în general într-un punct X culcat în planul de tăiere. Pe de altă parte, punctul X se află în planul bazei și, prin urmare, aparține urmei planului secant de pe planul bazei. Al doilea punct al urmei dorite va fi punctul . Drept AE culcat pe margine ASE piramide, traversează poteca X Y la punct Z. Desenarea unei linii drepte ZM, găsiți partea LP poligon-secţiune. Pentru a găsi vârful secțiunii, construim un punct și apoi o dreaptă.

5. Metoda de proiectare internă. Esența acestei metode constă în faptul că aici, cu ajutorul proiecției interne, punctele secțiunii sunt căutate prin proiecțiile lor secundare cunoscute. Metoda de proiectare internă este deosebit de convenabilă de aplicat în cazurile în care urma planului de tăiere este departe de figura dată. Această metodă este indispensabilă și atunci când unele dintre liniile care conțin laturile bazei poliedrului intersectează urma în afara desenului. Luați în considerare aplicarea metodei cu exemple.

Problema 4. Având în vedere o imagine a unei prisme hexagonale și a trei puncte situate pe trei fețe laterale, dintre care două nu sunt adiacente. Construiți o secțiune a unei prisme după un plan care trece prin punctele date.

Soluţie. Lasă punctele date M,L,K culcați pe fețele , , , și M¢,L¢,K¢– proiecțiile lor secundare
(Fig. 36).

Găsiți punctul în care planul de tăiere intersectează marginea laterală. Pentru a face acest lucru, folosind proiecția internă pentru punct, găsim proiecția principală X culcat în planul de tăiere. Punct de căutare X este punctul de intersecție al dreptei care trece prin punctul respectiv X¢ paralel cu marginile laterale ale prismei și drept ML culcat în planul de tăiere. Punct X hai sa construim partea superioara si apoi laterala QR secțiuni. În mod similar, folosind punctul , construim punctul Y, direct KYși găsiți vârful R secțiuni. În continuare, sunt construite părțile laterale PQȘi PO secțiuni.

Construcțiile rămase sunt realizate în următoarea secvență:

1) construiți un punct Z¢=AK¢Ç BD;

2) găsiți un punct Z (ZÎ PK);

3) trageți o linie dreaptă ozși găsiți vârful S (SÎ DD 1) secțiuni;

4) construiți secvențial laturile SR,SFȘi LA secțiuni.

Sarcina 5 . Se oferă o imagine a unei piramide pătraunghiulare și a trei puncte situate pe marginile sale laterale. Construiți o secțiune care trece prin punctele date.

Soluţie. Lasa SABCD- această piramidă, M,N, K- aceste puncte (Fig. 37). Proiecții punctuale secundare M, N, Kîn design interior central de sus S pe planul de bază sunt punctele A, CȘi D respectiv. Rețineți că în această problemă părțile și KN tronsoanele sunt construite imediat. Rămâne de găsit doar vârful secțiunii L culcat pe marginea laterală SB. Pentru a face acest lucru, vom construi un punct și îl vom „ridica” în planul de tăiere folosind proiecția internă. preimagine a unui punct X¢ cu acest design central va exista un punct X=X¢SÇ MN. Vertex L, aparținând marginii SB, se află pe linie KX.

6. Metoda combinată. Esența acestei metode este de a combina metoda urmelor sau metoda proiectării interne cu construcții bazate pe proprietățile liniilor și planelor paralele.

Luați în considerare următorul exemplu.

Problema 6. Punct M este punctul de mijloc al muchiei ANUNȚ Cuba ABCDA 1 B 1 C 1 D unu . Construiți o secțiune a unui cub după un plan care trece printr-un punct M paralel cu diagonala BD baze și diagonale AB 1 fata laterala AA 1 ÎN 1 ÎN.

Soluţie. plan de tăiere A paralel cu diagonala BD baze și trece prin punct M, de asemenea situată la bază, deci intersectează baza în linie dreaptă
(Fig. 38).

Drept l va fi urma avionului A pe planul bazei inferioare a cubului. Să notăm. Urmări m avion A pe planul feţei ABB 1 DAR 1 este construit într-un mod similar. Această urmă trece prin punct N, în paralel AB unu . Să notăm.

Puteți continua să construiți o secțiune fără a apela la metode speciale. Cu toate acestea, vom folosi metoda urmei. Lasă linia Soare traversează poteca l la punct X. puncte Xși avionul dorit A culcați în planul feței VSS 1 ÎN 1 . Notează prin L punctul de intersecție al unei linii și al unei muchii ÎN 1 DIN unu . În plus, este convenabil să folosiți teorema pe intersecția a două plane paralele cu un al treilea plan. În virtutea acestei teoreme, . Aici RÎ DD 1 ,PÎ C 1 D 1 .

Demonstrați că hexagonul obținut în secțiune este regulat.

Imaginea unui cerc

1. Elipsa și proprietățile ei. Când înfățișăm un cilindru, un con și o bilă (sferă), va trebui să desenăm elipse. Elipsa poate fi definită căi diferite. Dăm definiția prin contracția planului la o dreaptă.

Având în vedere un cerc, o linie dreaptă care trece prin centrul său și un factor de contracție, este ușor să construiți o imagine a oricărui punct al unui cerc dat folosind definiția de mai sus. După ce ați finalizat construcția mai multor puncte de imagine și le-ați conectat cu o linie netedă, puteți desena o elipsă, care este imaginea unui cerc.

Oxy astfel încât axa acestuia Bou asortată cu compresia directă l, și începutul DESPRE era centrul cercului w rază A(Fig. 40). În acest sistem de coordonate, cercul w este determinată de ecuația: sau

Aceasta înseamnă că orice punct ale cărui coordonate satisfac ecuația (1) aparține cercului w, iar punctul ale cărui coordonate nu satisfac (1) nu aparține.

Lasa este raportul de compresie, este un punct arbitrar al planului și M 0 - proiecția sa pe o linie dreaptă l. Când este comprimat până la un punct M ajunge într-un punct astfel încât . De la linia dreaptă MM 1 paralel cu axa Oi, apoi , și proiecția M 0 dintre aceste puncte pe linia de compresie Bou determinate de coordonate.

Prin urmare, . Prin urmare, formulele de compresie arată ca

În schimb, formulele (2) determină compresia planului față de axă Bou cu raportul de compresie , unde punctul merge la punctul .

Din aceste formule, . Înlocuind XȘi yîn ecuația (1), obținem: . Deci coordonatele punctului M 1, care este imaginea unui punct pe un cerc, satisface ecuația

Unde . Aceasta este ecuația din sistem Oxy definește o elipsă g, care se obține prin strângerea cercului w la axa Bou. Reamintim că ecuația (3) se numește ecuația canonică a elipsei.

Folosind ecuația canonică a unei elipse, se pot studia proprietățile geometrice ale acesteia. Să ne amintim câteva concepte legate de elipsă și proprietățile acesteia.

Lasă elipsa g este dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular de ecuația canonică (3). pentru că XȘi y sunt incluse în această ecuație la gradul doi, putem trage următoarele concluzii.

Dacă , atunci О g(Fig. 41). Rezultă că originea coordonatelor DESPRE este centrul de simetrie al elipsei. Centrul de simetrie al unei elipse se numește ei centru.

Daca atunci , . De aici rezultă că liniile BouȘi Oi sunt axele de simetrie ale elipsei. Axele de simetrie ale unei elipse se numesc ei topoare. Fiecare dintre axe intersectează elipsa în două puncte. Axă Bou are ecuația , deci, din ecuația (3) pentru abscisele punctelor DAR 1 , A 2 avem intersecții. De aici DAR 1 (A;0), DAR 2 (–A;0). În mod similar, constatăm că axa Oi intersectează elipsa în puncte ÎN 1 (0;b) Și ÎN 2 (0;–b). Se numesc punctele de intersecție ale unei elipse cu axele sale culmi elipsă. Segmente DAR 1 DAR 2 și ÎN 1 ÎN 2 numit si axele elipsei. Centrul elipsei DESPRE este punctul de mijloc comun al fiecăruia dintre aceste segmente.

Rețineți că pentru , avem . În acest caz A 1 A 2 >B 1 B 2 și segmente A 1 A 2 , B 1 B 2 sunt numite respectiv axele majore și minore elipsă. În acest caz, numerele sunt numite, respectiv semiaxele majore și minore elipsă. Căci, dimpotrivă, . Aici numele axelor se schimbă în consecință.

Să luăm în considerare ecuațiile parametrice ale unei elipse și o metodă bazată pe acestea pentru a construi punctele unei elipse.

Lasă segmentele DAR 1 DAR 2 și ÎN 1 ÎN 2 sunt axele elipsei. Construim pe ele, ca pe diametre, cercuri concentrice w 1 și w 2 respectiv (Fig. 42). Luați în considerare o grindă hîncepând cu punctul DESPRE. Această rază străbate cercuri w 1 și w 2 la puncte M 1 și M 2. Prin punct M 1 trageți o linie paralelă cu axa mică ÎN 1 ÎN 2 și prin punct M 2 - linie dreaptă paralelă cu axa majoră DAR 1 DAR 2. Să arătăm că ideea M intersecția acestor drepte aparține unei elipse cu axe date.

Alegem un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyîncepând cu punctul DESPRE. Lăsați în acest sistem punctul M are coordonate ( X;y). Apoi, lăsați fasciculul h forme cu grinda OA 1 colt t. Daca atunci , . Pentru că punctele MȘi M 1 au abscise și puncte egale MȘi M 2 - ordonate egale,

Din egalități (4) , , așadar, datorită identității trigonometrice principale avem , i.e. punctul construit aparține unei elipse cu semiaxe AȘi b.

Pentru orice valoare tÎ}