Cum și-a descoperit Pitagora teorema. Începe în știință

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de locuri de muncă” în format PDF

Introducere

La cursul școlar de geometrie, folosind teorema lui Pitagora, se rezolvă numai probleme matematice. Din păcate, problema aplicării practice a teoremei lui Pitagora nu este luată în considerare.

În acest sens, scopul lucrării mele a fost acela de a afla domeniul de aplicare al teoremei lui Pitagora.

În prezent, este general recunoscut că succesul dezvoltării multor domenii ale științei și tehnologiei depinde de dezvoltarea diferitelor domenii ale matematicii. O condiție importantă pentru creșterea eficienței producției este introducerea pe scară largă a metodelor matematice în tehnologie și în economia națională, ceea ce presupune crearea unor metode noi, eficiente de cercetare calitativă și cantitativă, care să permită rezolvarea problemelor puse de practică.

Voi lua în considerare exemple de aplicare practică a teoremei lui Pitagora. Nu voi încerca să dau toate exemplele de utilizare a teoremei - cu greu ar fi posibil. Aria de aplicare a teoremei este destul de extinsă și, în general, nu poate fi indicată cu suficientă completitate.

Ipoteză:

Folosind teorema lui Pitagora, puteți rezolva nu numai probleme matematice.

Pentru această lucrare de cercetare se definește următorul scop:

Aflați domeniul de aplicare al teoremei lui Pitagora.

Pe baza obiectivului de mai sus, au fost identificate următoarele sarcini:

Colectați informații despre aplicarea practică a teoremei lui Pitagora în diverse surse și determinați domeniile de aplicare ale teoremei.

Aflați câteva informații istorice despre Pitagora și teorema sa.

Arată aplicarea teoremei în rezolvarea problemelor istorice.

Procesați datele colectate pe subiect.

Am fost implicat în căutarea și colectarea de informații - am studiat materiale tipărite, am lucrat cu materiale pe Internet și am procesat datele colectate.

Metodologia de cercetare:

Studiul materialului teoretic.

Studiul metodelor de cercetare.

Implementarea practică a studiului.

Comunicativ (metoda de măsurare, chestionare).

Tip proiect: cercetarea informaţiei. Munca a fost făcută în timpul meu liber.

Despre Pitagora.

Pitagora este un filozof, matematician și astronom grec antic. A fundamentat multe proprietăți ale figurilor geometrice, a dezvoltat teoria matematică a numerelor și a proporțiilor acestora. El a adus o contribuție semnificativă la dezvoltarea astronomiei și acusticii. Autor al „Versurilor de aur”, fondator al școlii pitagoreice din Croton.

Potrivit legendei, Pitagora s-a născut în jurul anului 580 î.Hr. e. pe insula Samos într-o familie bogată de negustori. Mama lui, Pythasis, și-a primit numele în onoarea Pythiei, preoteasa lui Apollo. Pythia a prezis lui Mnesarchus și soției sale nașterea unui fiu, fiul fiind numit și după Pythia. Potrivit multor mărturii străvechi, băiatul era fabulos de frumos și în curând și-a arătat abilitățile remarcabile. Primele cunoștințe le-a primit de la tatăl său Mnesarchus, un bijutier și sculptor de pietre prețioase, care a visat că fiul său își va continua munca. Dar viața a judecat altfel. Viitorul filozof a dat dovadă de o mare aptitudine pentru științe. Printre profesorii lui Pitagora s-au numărat Pherekides din Syros și bătrânul Germodamant. Prima a insuflat băiatului dragostea pentru știință, iar a doua pentru muzică, pictură și poezie. Ulterior, Pitagora l-a cunoscut pe celebrul filozof - matematicianul Thales din Milet și, la sfatul acestuia, a plecat în Egipt - centrul activităților științifice și de cercetare de atunci. După ce a trăit 22 de ani în Egipt și 12 ani în Babilon, s-a întors pe insula Samos, apoi a părăsit-o din motive necunoscute și s-a mutat în orașul Croton, din sudul Italiei. Aici a creat școala (uniunea) pitagoreică, care a studiat diverse probleme de filozofie și matematică. La vârsta de aproximativ 60 de ani, Pitagora s-a căsătorit cu Theano, unul dintre elevii săi. Au trei copii și toți devin urmași ai tatălui lor. Condițiile istorice ale vremii sunt caracterizate de o mișcare largă a demosului împotriva puterii aristocraților. Fugând de valurile de furie populară, Pitagora și studenții săi s-au mutat în orașul Tarentum. Potrivit unei versiuni: Kilon, un om bogat și rău, a venit la el, dorind să se alăture frăției în stare de ebrietate. După ce a fost refuzat, Cylon a început o luptă cu Pitagora. În timpul incendiului, elevii pe cheltuiala lor au salvat viața profesorului. Pitagora a devenit dor de casă și în curând s-a sinucis.

Trebuie remarcat faptul că aceasta este una dintre variantele biografiei sale. Datele exacte ale nașterii și morții sale nu au fost stabilite, multe fapte din viața lui sunt contradictorii. Dar un lucru este clar: acest om a trăit și a lăsat urmașilor săi o mare moștenire filozofică și matematică.

Teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora este cea mai importantă afirmație a geometriei. Teorema se formulează astfel: aria unui pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catetele sale.

Descoperirea acestei afirmații este atribuită lui Pitagora din Samos (sec. XII î.Hr.)

Studiul tăblițelor cuneiforme babiloniene și al manuscriselor chinezești antice (copii ale manuscriselor și mai vechi) a arătat că celebra teoremă era cunoscută cu mult înaintea lui Pitagora, poate cu câteva milenii înaintea lui.

(Dar există o presupunere că Pitagora i-a dat o dovadă completă)

Dar există o altă părere: în școala pitagoreică era un obicei minunat să-i atribuie lui Pitagora toate meritele și să nu-și însuşească oarecum gloria descoperitorilor, cu excepţia poate în câteva cazuri.

(Iamblichus-scriitor siriac vorbitor de greacă, autor al tratatului „Viața lui Pitagora.” (secolul II d.Hr.)

Deci, istoricul german de matematică Kantor crede că egalitatea 3 2 + 4 2= 5 2 a fost

cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. e. pe vremea regelui Amenechmet (conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin). Unii cred că Pitagora a dat teoremei o demonstrație completă, în timp ce alții îi neagă acest merit.

Unii îi atribuie lui Pitagora dovada dată de Euclid în Elementele sale. Pe de altă parte, Proclus (matematician, secolul al V-lea) susține că demonstrația din „Principii” i-a aparținut însuși Euclid, adică istoria matematicii aproape că nu a păstrat date sigure despre activitatea matematică a lui Pitagora. În matematică, poate, nu există altă teoremă care să merite tot felul de comparații.

În unele liste ale „Începuturilor” lui Euclid, această teoremă a fost numită „teorema nimfei” pentru asemănarea desenului cu o albină, fluture („teorema fluturelui”), care în greacă era numită nimfă. Grecii au numit acest cuvânt și alte zeițe, precum și tinere și mirese. Traducătorul arabă nu a acordat atenție desenului și a tradus cuvântul „nimfă” ca „mireasă”. Așa a apărut numele afectuos „teorema miresei”. Există o legendă că atunci când Pitagora din Samos și-a dovedit teorema, el a mulțumit zeilor sacrificând 100 de tauri. De aici un alt nume - „teorema unei sute de tauri”.

În țările vorbitoare de limbă engleză, se numea: „moară de vânt”, „coada păunului”, „scaunul miresei”, „podul măgarului” (dacă elevul nu putea „trece”, atunci era un adevărat „măgar”).

În Rusia prerevoluționară, desenul teoremei lui Pitagora pentru cazul unui triunghi isoscel a fost numit „pantaloni pitagoreici”.

Acești „pantaloni” apar atunci când, pe fiecare parte a unui triunghi dreptunghic, construiesc pătrate spre exterior.

Câte dovezi diferite ale teoremei lui Pitagora există?

Din vremea lui Pitagora au apărut peste 350. Teorema a fost inclusă în Cartea Recordurilor Guinness. Dacă analizăm dovezile teoremei, atunci ele folosesc câteva idei fundamental diferite.

Domenii de aplicare a teoremei.

Este utilizat pe scară largă în rezolvare geometric sarcini.

Cu ajutorul acestuia puteți găsi geometric valorile rădăcinilor pătrate ale numerelor întregi:

Pentru a face acest lucru, construim un triunghi dreptunghic AOB (unghiul A este de 90 °) cu catete unități. Atunci ipotenuza sa este √2. Apoi construim un singur segment BC, BC este perpendicular pe OB, lungimea ipotenuzei OS=√3 etc.

(această metodă se găsește la Euclid și F. Kirensky).

Sarcini în curs fizică liceul necesită cunoașterea teoremei lui Pitagora.

Acestea sunt sarcini legate de adăugarea vitezelor.

Atenție la diapozitiv: o sarcină dintr-un manual de fizică de clasa a IX-a. În sens practic, poate fi formulat astfel: în ce unghi față de curgerea râului ar trebui să se deplaseze o ambarcațiune care transportă pasageri între debarcadere pentru a respecta programul? (digoanele sunt situate pe malurile opuse ale râului)

Când un biatlet trage la o țintă, el face o „corecție de vânt”. Dacă vântul bate din dreapta, iar sportivul trage în linie dreaptă, atunci glonțul va merge spre stânga. Pentru a lovi ținta, trebuie să mutați vizorul spre dreapta cu distanța de deplasare a glonțului. Pentru ei au fost întocmite tabele speciale (pe baza consecințelor tovarășului Pitagora). Biatletul știe în ce unghi să schimbe vederea la o viteză cunoscută a vântului.

Astronomie - de asemenea, o zonă largă de aplicare a teoremei calea fasciculului de lumină. Figura arată traseul unui fascicul de lumină de la A la B și înapoi. Calea fasciculului este afișată cu o săgeată curbă pentru claritate, de fapt, fasciculul de lumină este drept.

Care este calea fasciculului? Lumina se deplasează înainte și înapoi în același mod. Care este jumătate din drumul pe care îl parcurge raza? Dacă marcam segmentul AB simbol l, jumătate din timp ca t, și, de asemenea, indicând viteza luminii prin literă c, atunci ecuația noastră va lua forma

c*t=l

Acesta este produsul timpului petrecut cu viteza!

Acum să încercăm să privim același fenomen dintr-un alt cadru de referință, de exemplu, de la o navă spațială care zboară pe lângă un fascicul care se deplasează cu o viteză v. Cu o astfel de observație, vitezele tuturor corpurilor se vor schimba, iar corpurile staționare vor începe să se miște cu o viteză. vîn sens invers. Să presupunem că nava se mișcă spre stânga. Apoi cele două puncte între care aleargă iepurașul se vor deplasa spre dreapta cu aceeași viteză. Mai mult, în timp ce iepurașul își aleargă drumul, punctul de plecare A se schimbă și fasciculul revine într-un nou punct C.

Întrebare: cât timp se va mișca punctul (pentru a se transforma în punctul C) în timp ce se deplasează fasciculul de lumină? Mai precis: cu ce este egală jumătate din această compensare? Dacă notăm jumătate din timpul de călătorie al fasciculului cu literă t", și jumătate din distanță AC scrisoare d, atunci obținem ecuația noastră sub forma:

v * t" = d

scrisoare v indică viteza navei spațiale.

O altă întrebare: ce cale va parcurge raza de lumină în acest caz?(Mai precis, care este jumătate din această cale? Care este distanța până la obiectul necunoscut?)

Dacă notăm jumătate din lungimea căii luminii cu litera s, atunci obținem ecuația:

c * t" = s

Aici c este viteza luminii și t" este același timp cu cel discutat mai sus.

Acum luați în considerare triunghiul ABC. Este un triunghi isoscel a cărui înălțime este l, pe care l-am introdus atunci când luăm în considerare procesul dintr-un punct de vedere fix. Deoarece mișcarea este perpendiculară l, atunci nu putea să o afecteze.

Triunghi ABC compus din două jumătăți - triunghiuri dreptunghiulare identice, ale căror ipotenuze ABși î.Hr trebuie conectat cu picioarele conform teoremei lui Pitagora. Unul dintre picioare este d, pe care tocmai l-am calculat, iar al doilea picior este s, prin care trece lumina și pe care l-am calculat și noi. Obținem ecuația:

s 2 = l 2 +d 2

Aceasta este teorema lui Pitagora!

Fenomen aberație stelară, descoperit în 1729, constă în faptul că toate stelele din sfera cerească descriu elipse. Semi-axa majoră a acestor elipse este observată de pe Pământ la un unghi de 20,5 grade. Acest unghi este asociat cu mișcarea Pământului în jurul Soarelui cu o viteză de 29,8 km pe oră. Pentru a observa o stea de pe un Pământ în mișcare, este necesar să înclinați tubul telescopului înainte de-a lungul mișcării stelei, deoarece în timp ce lumina străbate lungimea telescopului, ocularul se deplasează înainte împreună cu pământul. Adunarea vitezelor luminii și a Pământului se face vectorial, folosind așa-numitele.

Pitagora. U 2 \u003d C 2 + V 2

C este viteza luminii

Viteza la sol în V

tubul telescopului

La sfârșitul secolului al XIX-lea, s-au făcut diverse presupuneri cu privire la existența unor locuitori pe Marte asemănători oamenilor, acesta a fost rezultatul descoperirilor astronomului italian Schiaparelli (a deschis canale pe Marte care au fost considerate artificiale multă vreme) . Desigur, întrebarea dacă este posibil să comunici cu aceste creaturi ipotetice cu ajutorul semnalelor luminoase a provocat o discuție plină de viață. Academia de Științe din Paris a stabilit chiar și un premiu de 100.000 de franci pentru prima persoană care a stabilit contactul cu vreun locuitor al unui alt corp ceresc; acest premiu îl așteaptă încă pe norocos. Ca o glumă, deși nu complet nerezonabilă, s-a decis să se trimită un semnal locuitorilor de pe Marte sub forma teoremei lui Pitagora.

Nu se știe cum să facă asta; dar este evident pentru toată lumea că faptul matematic exprimat de teorema lui Pitagora are loc peste tot și, prin urmare, locuitorii unei alte lumi ca noi ar trebui să înțeleagă un astfel de semnal.

conexiune mobilă

Cine în lumea de astăzi nu folosește un telefon mobil? Fiecare abonat mobil este interesat de calitatea acestuia. Iar calitatea, la rândul ei, depinde de înălțimea antenei operatorului de telefonie mobilă. Pentru a calcula în ce rază poate fi recepționată o transmisie, folosim teorema lui Pitagora.

Care este înălțimea maximă a antenei operatorului de telefonie mobilă pentru a primi o transmisie pe o rază de R=200 km? (Raza Pământului este de 6380 km.)

Soluţie:

Lăsa AB=x , BC=R=200 km , OC= r = 6380 km.

OB=OA+ABOB=r+x.

Folosind teorema lui Pitagora, obținem Raspuns: 2,3 km.

Când se construiesc case și cabane, apare adesea întrebarea cu privire la lungimea căpriorii pentru acoperiș, dacă grinzile au fost deja făcute. De exemplu: se plănuiește construirea unui acoperiș în două versanți într-o casă (forma în secțiune). Ce lungime ar trebui să aibă căpriorii dacă grinzile sunt făcute AC=8 m. și AB=BF.

Soluţie:

Triunghiul ADC este isoscel AB=BC=4 m., BF=4 m. Dacă presupunem că FD=1,5 m., atunci:

A) Din triunghiul DBC: DB=2,5 m.

B) Din triunghiul ABF:

Fereastră

În clădiri Stil gotic și romanic părțile superioare ale ferestrelor sunt împărțite prin nervuri de piatră, care nu numai că joacă rolul unui ornament, dar contribuie și la rezistența ferestrelor. Figura prezintă un exemplu simplu de astfel de fereastră în stil gotic. Metoda de construire este foarte simplă: din figură este ușor să găsiți centrele a șase arce de cerc, ale căror raze sunt egale cu

lăţimea ferestrei (b) pentru arcade exterioare

jumătate de lățime, (b/2) pentru arcuri interne

Există încă un cerc complet care atinge cele patru arce. Deoarece este închis între două cercuri concentrice, diametrul său este egal cu distanța dintre aceste cercuri, adică b / 2 și, prin urmare, raza este egală cu b / 4. Și atunci devine clar

poziţia centrului său.

V Arhitectura romanica motivul prezentat în figură este adesea găsit. Dacă b tot desemnează lățimea ferestrei, atunci razele semicercurilor vor fi egale cu R = b / 2 și r = b / 4. Raza p a cercului interior poate fi calculată din triunghiul dreptunghic prezentat în fig. linie punctata. Ipotenuza acestui triunghi, care trece prin punctul tangent al cercurilor, este egală cu b/4+p, un catet este egal cu b/4, iar celălalt este b/2-p. După teorema lui Pitagora avem:

(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2

b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 - bp / 2 + p 2,

Împărțind cu b și aducând termeni similari, obținem:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

În industria forestieră: pentru nevoile de construcție, buștenii sunt tăiați în cherestea, în timp ce sarcina principală este de a obține cât mai puține deșeuri. Cea mai mică cantitate de deșeuri va fi atunci când fasciculul are cel mai mare volum. Ce ar trebui să fie în secțiune? După cum se poate vedea din soluție, secțiunea transversală trebuie să fie pătrată și teorema lui Pitagora iar alte considerente permit tragerea unei asemenea concluzii.

Bar cu cel mai mare volum

Sarcină

Dintr-un buștean cilindric este necesar să tăiați un fascicul dreptunghiular de cel mai mare volum. Ce formă ar trebui să aibă secțiunea sa transversală (Fig. 23)?

Soluţie

Dacă laturile unei secțiuni dreptunghiulare sunt x și y, atunci după teorema lui Pitagora

x 2 + y 2 \u003d d 2,

unde d este diametrul bușteanului. Volumul lemnului este cel mai mare atunci când aria sa transversală este cea mai mare, adică atunci când xy atinge valoarea sa cea mai mare. Dar dacă xy este cel mai mare, atunci produsul x 2 y 2 va fi și cel mai mare. Deoarece suma x 2 + y 2 este neschimbată, atunci, conform celor dovedite mai devreme, produsul x 2 y 2 este cel mai mare atunci când

x 2 \u003d y 2 sau x \u003d y.

Deci, secțiunea transversală a fasciculului ar trebui să fie pătrată.

Sarcini de transport(așa-numitele sarcini de optimizare; sarcini, a căror soluție permite răspunsul la întrebarea: cum să dispuneți de fonduri pentru a obține beneficii mari)

La prima vedere, nimic deosebit: măsurați înălțimea de la podea la tavan în mai multe puncte, scădeți câțiva centimetri pentru ca dulapul să nu se sprijine de tavan. După ce a făcut acest lucru, în procesul de asamblare a mobilierului, pot apărea dificultăți. La urma urmei, producătorii de mobilă asamblează cadrul prin plasarea dulapului într-o poziție orizontală, iar atunci când cadrul este asamblat, îl ridică într-o poziție verticală. Luați în considerare peretele lateral al dulapului. Înălțimea dulapului trebuie să fie cu 10 cm mai mică decât distanța de la podea la tavan, cu condiția ca această distanță să nu depășească 2500 mm. Și adâncimea dulapului este de 700 mm. De ce 10 cm, și nu 5 cm sau 7, și ce legătură are teorema lui Pitagora cu ea?

Deci: perete lateral 2500-100=2400(mm) - inaltimea maxima a structurii.

Peretele lateral în procesul de ridicare a cadrului trebuie să treacă liber atât în ​​înălțime, cât și în diagonală. De teorema lui Pitagora

AC \u003d √ AB 2 + BC 2

AC= √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Ce se întâmplă dacă înălțimea dulapului este redusă cu 50 mm?

AC= √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Diagonala 2548 mm. Deci, nu poți pune un dulap (poți strica tavanul).

Paratrăsnet.

Se știe că un paratrăsnet protejează toate obiectele de trăsnet, a căror distanță de la bază nu depășește înălțimea sa dublată. Este necesar să se determine poziția optimă a paratrăsnetului pe un acoperiș cu fronton, oferind cea mai mică înălțime disponibilă.

Conform teoremei lui Pitagora h 2 ≥ a 2 +b 2 înseamnă h≥(a 2 +b 2) 1/2

De urgență, la cabana lor de vară este necesar să se facă o seră pentru răsaduri.

Din scânduri a doborât un pătrat de 1m1m. Există rămășițe de peliculă care măsoară 1,5 m1,5 m. La ce înălțime în centrul pătratului ar trebui să fie fixată șina astfel încât filmul să o acopere complet?

1) Diagonala serei d == 1,4; 0,7

2) Diagonala filmului d 1= 2,12 1,06

3) Înălțimea șinei x= 0,7

Concluzie

În urma cercetărilor, am aflat câteva domenii de aplicare a teoremei lui Pitagora. Am adunat și prelucrat o mulțime de materiale din surse literare și de pe Internet pe această temă. Am studiat câteva informații istorice despre Pitagora și teorema lui. Da, într-adevăr, folosind teorema lui Pitagora, poți rezolva nu numai probleme matematice. Teorema lui Pitagora și-a găsit aplicația în construcții și arhitectură, comunicații mobile și literatură.

Studiul și analiza surselor de informații despre teorema lui Pitagora

a aratat ca:

A) atenția exclusivă a matematicienilor și a matematicienilor asupra teoremei se bazează pe simplitatea, frumusețea și semnificația acesteia;

b) teorema lui Pitagora de multe secole servește drept imbold pentru descoperiri matematice interesante și importante (teorema lui Fermat, teoria relativității a lui Einstein);

v) teorema lui Pitagora - este întruchiparea limbajului universal al matematicii, valabil în întreaga lume;

G) domeniul de aplicare al teoremei este destul de extins și, în general, nu poate fi indicat cu suficientă completitudine;

d) secretele teoremei lui Pitagora continuă să excite umanitatea și, prin urmare, fiecăruia dintre noi i se oferă șansa de a fi implicat în dezvăluirea lor.

Bibliografie

Uspekhi matematicheskikh nauk, 1962, vol. 17, nr. 6 (108).

Alexander Danilovici Alexandrov (la cea de-a 50-a aniversare),

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometrie, 10 - 11 celule. - M.: Iluminismul, 1992.

Atanasyan L.S. etc Geometrie, 10 - 11 celule. - M.: Iluminismul, 1992.

Vladimirov Yu.S. Spațiu - timp: dimensiuni explicite și ascunse. - M.: „Nauka”, 1989.

Voloshin A.V. Pitagora. - M.: Iluminismul, 1993.

Ziarul „Matematică”, nr. 21, 2006.

Ziarul „Matematică”, nr. 28, 1995.

Geometrie: Proc. Pentru 7 - 11 celule. gimnaziu / G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimirova. - M.: Iluminismul, 1992.

Geometrie: manual pentru 7 - 9 celule. educatie generala Institutii/ L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev și alții - ed. a VI-a. - M.: Iluminismul, 1996.

Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala: IX - Xcl. Un ghid pentru profesori. - M.: Iluminismul, 1983.

Capitole suplimentare la manualul școlar clasa a VIII-a: Manual pentru elevi. si cursuri cu aprofundare. studiu matematică /L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev și alții - M .: Educație, 1996.

Yelensky Sh. Pe urmele lui Pitagora. M., 1961.

Kiselev A.P., Rybkin N.A. Geometrie: Planimetrie: 7 - 9 celule: Manual și carte de probleme. - M.: Dropia, 1995.

Kline M. Matematică. Caută adevăr: traducere din engleză. / Ed. și prefață. IN SI. Arshinova, Yu.V. Sachkov. - M.: Mir, 1998.

Liturman V. Teorema lui Pitagora. - M., 1960.

Matematică: Manualul școlarilor și elevilor / B. Frank și alții; Traducere de la el. - Ed. a III-a, stereotip. - M.: Dropia, 2003.

Peltwer A. Cine ești tu Pitagora? - M.: Cunoașterea este putere, nr. 12, 1994.

Perelman Ya. I. Matematică distractivă. - M.: „Știință”, 1976.

Ponomareva T.D. Mari oameni de știință. - M .: SRL Editura Astrel, 2002.

Sveshnikova A. Călătorie în istoria matematicii. - M., 1995.

Semyonov E.E. Studiem geometria: Cartea. Pentru elevi 6 - 8 celule. gimnaziu - M.: Iluminismul, 1987.

Smyshlyaev V.K. Despre matematică și matematicieni. - Editura Carte Mari, 1977.

Tuchnin N.P. Cum să pui o întrebare. - M.: Iluminismul, 1993.

Cherkasov O.Yu. Planimetrie la examenul de admitere. - M.: Liceul din Moscova, 1996.

Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician. Comp. A.P. Savin. - M.: Pedagogie, 1985.

Enciclopedie pentru copii. T. 11. Matematică. /Ch. Ed. M.D. Aksenova. - M.: Avanta +, 2001.

Potrivit lui van der Waerden, este foarte probabil ca raportul în formă generală să fi fost deja cunoscut în Babilon în jurul secolului al XVIII-lea î.Hr. e.

Aproximativ 400 î.Hr. e., conform lui Proclu, Platon a dat o metodă de găsire a triplelor pitagoreice, combinând algebra și geometria. În jurul anului 300 î.Hr. e. în „Elementele” lui Euclid a apărut cea mai veche demonstrație axiomatică a teoremei lui Pitagora.

Cuvântare

Formularea principală conține operații algebrice - într-un triunghi dreptunghic, ale căror lungimi ale catetelor sunt egale a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b), iar lungimea ipotenuzei este c (\displaystyle c), relația este îndeplinită:

Este posibilă și o formulare geometrică echivalentă, recurgând la conceptul de zonă figura: într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete. În această formă, teorema este formulată în Principia lui Euclid.

Teorema inversă a lui Pitagora- afirmația despre dreptunghiularea oricărui triunghi, ale cărui lungimi ale laturilor sunt legate prin relație a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). În consecință, pentru orice triplu de numere pozitive a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)și c (\displaystyle c), astfel încât a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), există un triunghi dreptunghic cu catete a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c).

Dovada

În literatura științifică au fost înregistrate cel puțin 400 de dovezi ale teoremei lui Pitagora, ceea ce se explică atât prin valoarea fundamentală pentru geometrie, cât și prin elementaritatea rezultatului. Principalele direcții ale demonstrațiilor sunt: ​​utilizarea algebrică a rapoartelor elementelor triunghi (cum ar fi, de exemplu, metoda similară populară), metoda zonei, există și diverse dovezi exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri asemănătoare

Demonstrația clasică a lui Euclid își propune să stabilească egalitatea ariilor dintre dreptunghiurile formate prin disecția pătratului de deasupra ipotenuzei cu înălțimea din unghiul drept cu pătratele de deasupra catetelor.

Construcția folosită pentru demonstrație este următoarea: pentru un triunghi dreptunghic cu unghi drept C (\displaystyle C), pătrate peste catete și și pătrate peste ipotenuză A B I K (\displaystyle ABIK) se construiește înălțimea CH H (\displaystyle CH)şi fasciculul care o continuă s (\displaystyle s), împărțind pătratul de deasupra ipotenuzei în două dreptunghiuri și . Dovada are ca scop stabilirea egalității ariilor dreptunghiului A H J K (\displaystyle AHJK) cu un pătrat peste picior A C (\displaystyle AC); egalitatea ariilor celui de-al doilea dreptunghi, care este un pătrat deasupra ipotenuzei, și dreptunghiul de deasupra celuilalt catet se stabilește în mod similar.

Egalitatea ariilor unui dreptunghi A H J K (\displaystyle AHJK)și A C E D (\displaystyle ACED) stabilit prin congruenţa triunghiurilor △ A C K ​​​​(\displaystyle \triangle ACK)și △ A B D (\displaystyle \triunghi ABD), a căror suprafață este egală cu jumătate din suprafața pătratelor A H J K (\displaystyle AHJK)și A C E D (\displaystyle ACED) respectiv, în legătură cu următoarea proprietate: aria unui triunghi este egală cu jumătate din aria unui dreptunghi dacă figurile au o latură comună, iar înălțimea triunghiului față de latura comună este cealaltă latură a dreptunghiul. Congruența triunghiurilor rezultă din egalitatea a două laturi (laturile pătratelor) și unghiul dintre ele (compus dintr-un unghi drept și un unghi la A (\displaystyle A).

Astfel, demonstrația stabilește că aria pătratului de deasupra ipotenuzei, compusă din dreptunghiuri A H J K (\displaystyle AHJK)și B H J I (\displaystyle BHJI), este egal cu suma ariilor pătratelor de deasupra catetelor.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Metoda zonei include și dovada găsită de Leonardo da Vinci. Să fie un triunghi dreptunghic △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC) unghi drept C (\displaystyle C)și pătrate A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)și A B H J (\displaystyle ABHJ)(Vezi poza). În această dovadă în lateral H J (\displaystyle HJ) acesta din urmă, se construiește un triunghi spre exterior, congruent △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC)în plus, reflectată atât în ​​raport cu ipotenuză, cât și în raport cu înălțimea acesteia (adică J I = B C (\displaystyle JI=BC)și H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Drept C I (\displaystyle CI)împarte pătratul construit pe ipotenuză în două părți egale, deoarece triunghiuri △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC)și △ J H I (\displaystyle \triunghi JHI) sunt egale în construcție. Demonstrarea stabilește congruența patrulaterelor C A J I (\displaystyle CAJI)și D A B G (\displaystyle DABG), aria fiecăruia dintre ele, pe de o parte, este egală cu suma a jumătate din ariile pătratelor de pe picioare și aria triunghiului inițial, pe de altă parte, cu jumătate din suprafața pătratul ipotenuzei plus aria triunghiului inițial. În total, jumătate din suma ariilor pătratelor peste catete este egală cu jumătate din aria pătratului peste ipotenuză, ceea ce este echivalent cu formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.

Dovada prin metoda infinitezimală

Există mai multe dovezi folosind tehnica ecuațiilor diferențiale. În special, lui Hardy i se atribuie o dovadă folosind incremente infinitezimale ale piciorului a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c), și păstrând asemănarea cu dreptunghiul inițial, adică asigurând îndeplinirea următoarelor relații diferențiale:

Prin metoda separării variabilelor, din acestea se derivă o ecuație diferențială c d c = a re a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), a cărui integrare dă relaţia c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Aplicarea condițiilor inițiale a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definește o constantă ca 0, ceea ce are ca rezultat afirmarea teoremei.

Dependența pătratică în formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma se datorează contribuțiilor independente din incrementul diferitelor catete.

Variații și generalizări

Forme geometrice similare pe trei laturi

O generalizare geometrică importantă a teoremei lui Pitagora a fost dată de Euclid în „Începuturi”, trecând de la ariile pătratelor de pe laturi la ariile unor figuri geometrice similare arbitrare: suma ariilor unor astfel de figuri construite pe picioare va fi egală cu aria unei figuri asemănătoare lor, construită pe ipotenuză.

Ideea principală a acestei generalizări este că aria unei astfel de figuri geometrice este proporțională cu pătratul oricăreia dintre dimensiunile sale liniare și, în special, cu pătratul lungimii oricărei laturi. Prin urmare, pentru cifre similare cu zone A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)și C (\displaystyle C) construit pe picioare cu lungimi a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c)în consecință, există o relație:

Întrucât conform teoremei lui Pitagora a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), atunci este gata.

În plus, dacă este posibil să se demonstreze fără a recurge la teorema lui Pitagora că pentru ariile a trei figuri geometrice asemănătoare de pe laturile unui triunghi dreptunghic, relația A + B = C (\displaystyle A+B=C), apoi folosind reversul dovezii generalizării lui Euclid, putem deriva demonstrația teoremei lui Pitagora. De exemplu, dacă pe ipotenuză construim un triunghi dreptunghic congruent cu cel inițial cu aria C (\displaystyle C), iar pe picioare - două triunghiuri dreptunghiulare similare cu zone A (\displaystyle A)și B (\displaystyle B), atunci se dovedește că triunghiurile de pe picioare sunt formate ca urmare a împărțirii triunghiului inițial la înălțimea sa, adică suma a două suprafețe mai mici ale triunghiurilor este egală cu aria celui de-al treilea, astfel A + B = C (\displaystyle A+B=C)și, aplicând relația pentru figuri similare, se derivă teorema lui Pitagora.

Teorema cosinusului

Teorema lui Pitagora este un caz special al teoremei cosinusului mai generală care raportează lungimile laturilor dintr-un triunghi arbitrar:

unde este unghiul dintre laturi a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b). Dacă unghiul este de 90°, atunci cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), iar formula se simplifică la teorema obișnuită a lui Pitagora.

Triunghi arbitrar

Există o generalizare a teoremei lui Pitagora la un triunghi arbitrar, care operează numai pe raportul lungimilor laturilor, se crede că a fost stabilită pentru prima dată de astronomul sabian Sabit ibn Kurra. În el, pentru un triunghi arbitrar cu laturi, un triunghi isoscel cu o bază pe latură c (\displaystyle c), vârful care coincide cu vârful triunghiului original, opus laturii c (\displaystyle c) iar unghiurile de la bază egale cu unghiul θ (\displaystyle \theta ) partea opusă c (\displaystyle c). Ca urmare, se formează două triunghiuri asemănătoare cu cel original: primul cu laturi a (\displaystyle a), latura laterală a triunghiului isoscel înscris departe de acesta și r (\displaystyle r)- părți laterale c (\displaystyle c); al doilea este simetric cu acesta din lateral b (\displaystyle b) cu o petrecere s (\displaystyle s)- partea relevantă a laturii c (\displaystyle c). Ca urmare, relația este îndeplinită:

care degenerează în teorema lui Pitagora la θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Raportul este o consecință a asemănării triunghiurilor formate:

Teorema zonei Pappus

Geometrie non-euclidiană

Teorema lui Pitagora este derivată din axiomele geometriei euclidiene și este invalidă pentru geometria non-euclidiană - îndeplinirea teoremei lui Pitagora este echivalentă cu postulatul paralelismului euclidian.

În geometria non-euclidiană, relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic va fi în mod necesar într-o formă diferită de teorema lui Pitagora. De exemplu, în geometria sferică, toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic, care delimitează octantul sferei unității, au lungime π / 2 (\displaystyle \pi /2), care contrazice teorema lui Pitagora.

Mai mult, teorema lui Pitagora este valabilă în geometria hiperbolică și eliptică, dacă cerința ca triunghiul să fie dreptunghiular este înlocuită cu condiția ca suma celor două unghiuri ale triunghiului să fie egală cu al treilea.

geometrie sferică

Pentru orice triunghi dreptunghic pe o sferă cu rază R (\displaystyle R)(de exemplu, dacă unghiul din triunghi este drept) cu laturile a , b , c (\displaystyle a,b,c) relația dintre părți este:

Această egalitate poate fi derivată ca un caz special al teoremei cosinusului sferic, care este valabilă pentru toate triunghiurile sferice:

Unde ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- cosinus hiperbolic. Această formulă este un caz special al teoremei cosinusului hiperbolic, care este valabilă pentru toate triunghiurile:

Unde γ (\displaystyle \gamma )- un unghi al cărui vârf este opus unei laturi c (\displaystyle c).

Folosind seria Taylor pentru cosinusul hiperbolic ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\aprox 1+x^(2)/2)) se poate arăta că dacă triunghiul hiperbolic scade (adică când a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)și c (\displaystyle c) tind spre zero), atunci relațiile hiperbolice dintr-un triunghi dreptunghic se apropie de relația teoremei lui Pitagora clasice.

Aplicație

Distanța în sisteme dreptunghiulare bidimensionale

Cea mai importantă aplicație a teoremei lui Pitagora este determinarea distanței dintre două puncte dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular: distanța s (\displaystyle s)între punctele cu coordonate (a, b) (\displaystyle (a,b))și (c, d) (\displaystyle (c,d)) este egal cu:

Pentru numerele complexe, teorema lui Pitagora oferă o formulă naturală pentru găsirea numărului modul complex  - pentru z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) este egal cu lungimea

Teorema lui Pitagora este cunoscută de toată lumea încă din vremea școlii. Un matematician remarcabil a dovedit o mare presupunere, care este folosită în prezent de mulți oameni. Regula sună așa: pătratul lungimii ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor catetelor. Timp de multe decenii, nici un matematician nu a fost capabil să argumenteze această regulă. La urma urmei, Pitagora a mers mult timp spre scopul său, astfel încât, ca urmare, desenele au avut loc în viața de zi cu zi.

1. Un mic vers la această teoremă, care a fost inventat la scurt timp după demonstrație, demonstrează direct proprietățile ipotezei: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”. Acest două rânduri a fost depus în memoria multor oameni - până în prezent poemul este amintit în calcule.
2. Această teoremă a fost numită „Pantaloni pitagoreici” datorită faptului că la desenul în mijloc s-a obținut un triunghi dreptunghic, pe ale cărui laturi erau pătrate. În aparență, acest desen semăna cu pantaloni - de unde și numele ipotezei.
3. Pitagora era mândru de teorema dezvoltată, deoarece această ipoteză diferă de cele similare prin cantitatea maximă de dovezi. Important: ecuația a fost listată în Cartea Recordurilor Guinness datorită a 370 de dovezi veridice.
4. Ipoteza a fost dovedită de un număr mare de matematicieni și profesori din diferite țări în multe feluri.. Matematicianul englez Jones, la scurt timp după anunțarea ipotezei, a demonstrat-o cu ajutorul unei ecuații diferențiale.
5. În prezent, nimeni nu știe demonstrația teoremei lui Pitagora însuși. Faptele despre dovezile unui matematician de astăzi nu sunt cunoscute de nimeni. Se crede că dovada desenelor lui Euclid este dovada lui Pitagora. Cu toate acestea, unii oameni de știință susțin această afirmație: mulți cred că Euclid a demonstrat independent teorema, fără ajutorul creatorului ipotezei.
6. Oamenii de știință actuali au descoperit că marele matematician nu a fost primul care a descoperit această ipoteză.. Ecuația era cunoscută cu mult înainte de descoperirea de către Pitagora. Acest matematician a reușit doar să reunească ipoteza.
7. Pitagora nu a dat ecuației numele „Teorema lui Pitagora”. Acest nume a fost fixat după „cu două linii puternice”. Matematicianul a vrut doar ca întreaga lume să-și recunoască și să-și folosească eforturile și descoperirile.
8. Moritz Kantor - cel mai mare matematician a găsit și a văzut note cu desene pe un papirus antic. La scurt timp după aceea, Cantor și-a dat seama că această teoremă era cunoscută egiptenilor încă din anul 2300 î.Hr. Abia atunci nimeni nu a profitat de asta și nu a încercat să demonstreze.
9. Savanții actuali cred că ipoteza a fost cunoscută încă din secolul al VIII-lea î.Hr. Oamenii de știință indieni din acea vreme au descoperit un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dotat cu unghiuri drepte. Adevărat, la acea vreme nimeni nu putea dovedi cu siguranță ecuația prin calcule aproximative.
10. Marele matematician Bartel van der Waerden, după ce a demonstrat ipoteza, a concluzionat o concluzie importantă: „Meritul matematicianului grec este considerat nu descoperirea direcției și geometriei, ci doar justificarea acesteia. În mâinile lui Pitagora erau formule de calcul care se bazau pe presupuneri, calcule inexacte și idei vagi. Cu toate acestea, remarcabilul om de știință a reușit să o transforme într-o știință exactă.”
11. Un poet celebru a spus că în ziua descoperirii desenului său, a ridicat un sacrificiu glorios pentru tauri.. După descoperirea ipotezei, s-au răspândit zvonuri că sacrificiul a o sută de tauri „a rătăcit prin paginile cărților și publicațiilor”. Wits glumește până astăzi că de atunci toți taurii se tem de o nouă descoperire.
12. Dovadă că Pitagora nu a venit cu o poezie despre pantaloni pentru a dovedi desenele pe care le-a prezentat: în timpul vieţii marelui matematician nu existau încă pantaloni. Au fost inventate câteva decenii mai târziu.
13. Pekka, Leibniz și alți câțiva oameni de știință au încercat să demonstreze teorema cunoscută anterior, dar nimeni nu a reușit.
14. Numele desenelor „Teorema lui Pitagora” înseamnă „persuasiune prin vorbire”. Aceasta este traducerea cuvântului Pitagora, pe care matematicianul l-a luat ca pseudonim.
15. Reflecții ale lui Pitagora asupra propriei sale reguli: secretul a ceea ce există pe pământ constă în numere. La urma urmei, un matematician, bazându-se pe propria sa ipoteză, a studiat proprietățile numerelor, a dezvăluit uniformitatea și neobișnuirea și a creat proporții.

Sperăm că v-a plăcut selecția de imagini - Fapte interesante despre teorema lui Pitagora: aflați lucruri noi despre celebra teoremă (15 fotografii) online de bună calitate. Vă rog să vă lăsați părerea în comentarii! Fiecare părere contează pentru noi.

Diverse moduri de a demonstra teorema lui Pitagora

elev din clasa a 9-a „A”.

MOU scoala gimnaziala №8

Consilier stiintific:

profesor de matematica,

MOU scoala gimnaziala №8

Artă. Crăciun nou

Teritoriul Krasnodar.

Artă. Crăciun nou

ADNOTARE.

Teorema lui Pitagora este considerată pe bună dreptate cea mai importantă în cursul geometriei și merită o atenție deosebită. Este baza pentru rezolvarea multor probleme geometrice, baza pentru studierea cursului teoretic și practic de geometrie în viitor. Teorema este înconjurată de cel mai bogat material istoric legat de aspectul său și metodele de demonstrare. Studiul istoriei dezvoltării geometriei insuflă dragostea pentru acest subiect, contribuie la dezvoltarea interesului cognitiv, a culturii generale și a creativității și, de asemenea, dezvoltă abilitățile de cercetare.

În urma activității de căutare a fost atins scopul lucrării, care este completarea și generalizarea cunoștințelor privind demonstrarea teoremei lui Pitagora. A fost posibil să se găsească și să se ia în considerare diverse modalități de probă și să aprofundeze cunoștințele pe această temă, trecând dincolo de paginile unui manual școlar.

Materialul adunat convinge și mai mult că teorema lui Pitagora este marea teoremă a geometriei și are o mare importanță teoretică și practică.

Introducere. Context istoric 5 Corpul principal 8

3. Concluzie 19

4. Literatura utilizată 20
1. INTRODUCERE. REFERINȚĂ DE ISTORIE.

Esența adevărului este că este pentru noi pentru totdeauna,

Când măcar o dată în percepția ei vedem lumina,

Și teorema lui Pitagora după atâția ani

Pentru noi, ca și pentru el, este incontestabil, impecabil.

Pentru a sărbători, zeilor li s-a dat un jurământ de către Pitagora:

Pentru atingerea înțelepciunii infinite,

A înjunghiat o sută de tauri, datorită celor veșnici;

El a oferit rugăciuni și laude victimei după.

De atunci, taurii, când miros, împingând,

Ce îi conduce pe oameni la noul adevăr din nou,

Ei răcnesc furios, așa că nu există urină de ascultat,

Un astfel de Pitagora le-a insuflat teroare pentru totdeauna.

Taurii, neputincioși să reziste noului adevăr,

Ce ramane? - Doar închide ochii, răcnește, tremură.

Nu se știe cum și-a demonstrat Pitagora teorema. Cert este că a descoperit-o sub influența puternică a științei egiptene. Un caz special al teoremei lui Pitagora - proprietățile unui triunghi cu laturile 3, 4 și 5 - era cunoscut de constructorii piramidelor cu mult înainte de nașterea lui Pitagora, în timp ce el însuși a studiat cu preoții egipteni mai bine de 20 de ani. Există o legendă care spune că, după ce și-a dovedit celebra teoremă, Pitagora a sacrificat zeilor un taur și, conform altor surse, chiar și 100 de tauri. Acest lucru, însă, contrazice informațiile despre părerile morale și religioase ale lui Pitagora. În sursele literare, se poate citi că „a interzis chiar uciderea animalelor, și cu atât mai mult hrănirea lor, pentru că animalele au suflet, ca și noi”. Pitagora a mâncat doar miere, pâine, legume și ocazional pește. În legătură cu toate acestea, poate fi considerată mai plauzibilă următoarea intrare: „... și chiar și când a descoperit că într-un triunghi dreptunghic ipotenuza corespunde picioarelor, a sacrificat un taur din aluat de grâu”.

Popularitatea teoremei lui Pitagora este atât de mare încât dovezile ei se găsesc chiar și în ficțiune, de exemplu, în povestea celebrului scriitor englez Huxley „Tânărul Arhimede”. Aceeași Dovadă, dar pentru cazul particular al unui triunghi dreptunghic isoscel, este dată în dialogul lui Platon Meno.

Casa de basm.

„Departe, departe, unde nici măcar avioanele nu zboară, este țara Geometriei. În această țară neobișnuită a existat un oraș uimitor - orașul Teorem. Într-o zi, o fată frumoasă pe nume Hypotenuse a venit în acest oraș. A încercat să obțină o cameră, dar oriunde a aplicat, a fost refuzată peste tot. În cele din urmă, ea s-a apropiat de casa slăbită și a bătut. Ea a fost deschisă de un bărbat care s-a numit Unghiul Drept și a invitat-o ​​pe Hipotenuza să locuiască cu el. Ipotenuza a rămas în casa în care locuiau Right Angle și cei doi fii ai săi mici, pe nume Katet. De atunci, viața în Casa cu unghiul drept s-a schimbat într-un mod nou. Ipotenuza a plantat flori în fereastră și a răspândit trandafiri roșii în grădina din față. Casa a luat forma unui triunghi dreptunghic. Ambelor picioare le plăcea foarte mult Hipotenuza și i-au cerut să rămână pentru totdeauna în casa lor. Seara, această familie prietenoasă se adună la masa familiei. Uneori, Right Angle se joacă de-a v-ați ascunselea cu copiii săi. Cel mai adesea el trebuie să caute, iar Hipotenuza se ascunde atât de priceput încât poate fi foarte greu să o găsești. Odată în timpul unui joc, Right Angle a observat o proprietate interesantă: dacă reușește să găsească picioarele, atunci găsirea ipotenuzei nu este dificilă. Deci Right Angle folosește acest model, trebuie să spun, cu foarte mult succes. Teorema lui Pitagora se bazează pe proprietatea acestui triunghi dreptunghic.

(Din cartea lui A. Okunev „Vă mulțumesc pentru lecție, copii”).

O formulare jucăușă a teoremei:

Dacă ni se dă un triunghi

Și, în plus, cu unghi drept,

Acesta este pătratul ipotenuzei

Putem găsi întotdeauna cu ușurință:

Construim picioarele într-un pătrat,

Găsim suma gradelor -

Și într-un mod atât de simplu

Vom ajunge la rezultat.

Studiind algebra și începuturile analizei și geometriei în clasa a X-a, am fost convins că, pe lângă metoda de demonstrare a teoremei lui Pitagora avută în vedere în clasa a VIII-a, există și alte modalități de demonstrare a acesteia. Le prezint spre considerație.
2. PARTEA PRINCIPALA.

Teorema. Pătrat într-un triunghi dreptunghic

Ipotenuza este egală cu suma pătratelor catetelor.

1 CARE.

Folosind proprietățile ariilor poligoanelor, stabilim o relație remarcabilă între ipotenuză și catetele unui triunghi dreptunghic.

Dovada.

a, în si ipotenuza Cu(Fig. 1, a).

Să demonstrăm asta c²=a²+b².

Dovada.

Terminăm triunghiul până la un pătrat cu o latură a + b după cum se arată în fig. 1b. Aria S a acestui pătrat este (a + b)². Pe de altă parte, acest pătrat este format din patru triunghiuri dreptunghiulare egale, aria fiecăruia fiind ½ av, și un pătrat cu o latură Cu, deci S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

În acest fel,

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

Teorema a fost demonstrată.
2 CĂI.

După ce am studiat subiectul „Triunghiuri similare”, am aflat că puteți aplica asemănarea triunghiurilor la demonstrarea teoremei lui Pitagora. Și anume, am folosit afirmația că catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională pentru ipotenuză și segmentul ipotenuzei cuprins între catetul și înălțimea trasă din vârful unghiului drept.

Considerăm un triunghi dreptunghic cu un unghi drept C, CD este înălțimea (Fig. 2). Să demonstrăm asta AC² + SW² = AB² .

Dovada.

Pe baza afirmației despre catetul unui triunghi dreptunghic:

AC = , CB = .

Pătratăm și adunăm egalitățile rezultate:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), unde AD + DB = AB, atunci

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Dovada este completă.
3 CĂI.

Definiția cosinusului unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic poate fi aplicată la demonstrația teoremei lui Pitagora. Luați în considerare fig. 3.

Dovada:

Fie ABC un triunghi dreptunghic dat cu unghi drept C. Desenați o înălțime CD din vârful unghiului drept C.

Prin definiția cosinusului unghiului:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Prin urmare AB * AD = AC²

De asemenea,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Prin urmare, AB * BD \u003d BC².

Adunând egalitățile rezultate termen cu termen și observând că AD + DВ = AB, obținem:

AC² + soare² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

Dovada este completă.
4 CĂI.

După ce am studiat subiectul „Raporturile dintre laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic”, cred că teorema lui Pitagora poate fi demonstrată în alt mod.

Luați în considerare un triunghi dreptunghic cu catete a, în si ipotenuza Cu. (Fig. 4).

Să demonstrăm asta c²=a²+b².

Dovada.

păcat B= a/c ; cos B= la fel de , apoi, punând la pătrat egalitățile rezultate, obținem:

păcat² B=în²/s²; cos² V\u003d a²/s².

Adunându-le, obținem:

păcat² V+ cos² B= v² / s² + a² / s², unde sin² V+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², prin urmare,

c² = a² + b².

Dovada este completă.

5 WAY.

Această demonstrație se bazează pe tăierea pătratelor construite pe picioare (Fig. 5) și stivuirea părților rezultate pe pătratul construit pe ipotenuză.

6 WAY.

Pentru dovada pe catet soare clădire BCD ABC(Fig. 6). Știm că ariile figurilor similare sunt legate ca pătratele dimensiunilor lor liniare similare:

Scăzând a doua din prima egalitate, obținem

c2 = a2 + b2.

Dovada este completă.

7 WAY.

Dat(Fig. 7):

ABS,= 90° , soare= a, AC=b, AB = c.

Dovedi:c2 = a2 +b2.

Dovada.

Lasă piciorul b A. Să continuăm segmentul SW pe punct Vși construiește un triunghi bmd astfel încât punctele Mși A așezați pe o parte a unei linii drepte CD si pe langa, B.D.=b, BDM= 90°, DM= a, atunci bmd= ABC pe două laturi și unghiul dintre ele. Punctele A și M conectați pe segmente A.M. Noi avem MD CDși AC CD,înseamnă drept AC paralel cu o linie dreaptă MD. pentru că MD< АС, apoi drept CDși A.M nu sunt paralele. Prin urmare, AMDC- trapez dreptunghiular.

În triunghiuri dreptunghiulare ABC și bmd 1 + 2 = 90° și 3 + 4 = 90°, dar deoarece = =, atunci 3 + 2 = 90°; atunci AVM=180° - 90° = 90°. S-a dovedit că trapezul AMDCîmpărțit în trei triunghiuri dreptunghice care nu se suprapun, apoi după axiomele ariei

(a+b)(a+b)

Împărțind toți termenii inegalității la , obținem

Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Dovada este completă.

8 CĂI.

Această metodă se bazează pe ipotenuza și catetele unui triunghi dreptunghic ABC. El construiește pătratele corespunzătoare și demonstrează că pătratul construit pe ipotenuză este egal cu suma pătratelor construite pe catete (Fig. 8).

Dovada.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ abc, mijloace, FBC= DBA.

În acest fel, FBC=ABD(pe două laturi și unghiul dintre ele).

2) , unde AL DE, deoarece BD este o bază comună, DL- inălțime totală.

3) , deoarece FB este o bază, AB- inaltimea totala.

4)

5) În mod similar, se poate dovedi că

6) Adăugând termen cu termen, obținem:

, BC2 = AB2 + AC2 . Dovada este completă.

9 WAY.

Dovada.

1) Lasă ABDE- un pătrat (Fig. 9), a cărui latură este egală cu ipotenuza unui triunghi dreptunghic ABC (AB= c, BC = a, AC =b).

2) Lasă DK î.Hrși DK = soare, deoarece 1 + 2 = 90° (ca unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic), 3 + 2 = 90° (ca unghiul unui pătrat), AB= BD(laturile pătratului).

Mijloace, ABC= BDK(prin ipotenuză și unghi ascuțit).

3) Lasă EL DC, AM EL. Se poate dovedi cu ușurință că ABC = BDK = DEL = EAM (cu picioare Ași b). Atunci KS= CM= ML= LK= A -b.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),Cu2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Dovada este completă.

10 CĂI.

Dovada poate fi efectuată pe o figură, numită în glumă „pantaloni pitagoreici” (Fig. 10). Ideea sa este de a transforma pătratele construite pe catete în triunghiuri egale, care împreună alcătuiesc pătratul ipotenuzei.

ABC shift, așa cum este indicat de săgeată, și ia poziția KDN. Restul figurii AKDCB egală cu aria unui pătrat AKDC- este un paralelogram AKNB.

Realizat un model cu paralelogram AKNB. Deplasăm paralelogramul așa cum este schițat în conținutul lucrării. Pentru a arăta transformarea unui paralelogram într-un triunghi egal, în fața ochilor elevilor, tăiem un triunghi pe model și îl deplasăm în jos. Deci aria pătratului AKDC este egală cu aria dreptunghiului. În mod similar, convertim aria unui pătrat în aria unui dreptunghi.

Teorema lui Pitagora spune:

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei:

a 2 + b 2 = c 2,

• Ași b- picioarele formând un unghi drept.
• Cu este ipotenuza triunghiului.

Formule ale teoremei lui Pitagora

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Dovada teoremei lui Pitagora

Aria unui triunghi dreptunghic se calculează cu formula:

S = \frac(1)(2)ab

Pentru a calcula aria unui triunghi arbitrar, formula ariei este:

• p- semiperimetrul. p=\frac(1)(2)(a+b+c),
• r este raza cercului înscris. Pentru un dreptunghi r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Apoi echivalăm laturile drepte ale ambelor formule pentru aria unui triunghi:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Teorema inversă a lui Pitagora:

Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este un triunghi dreptunghic. Adică pentru orice triplu de numere pozitive a, bși c, astfel încât

a 2 + b 2 = c 2,

există un triunghi dreptunghic cu catete Ași b si ipotenuza c.

teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia dintre laturile unui triunghi dreptunghic. A fost dovedit de savantul matematician și filozoful Pitagora.

Sensul teoremei prin aceea că poate fi folosit pentru a demonstra alte teoreme și pentru a rezolva probleme.

Material suplimentar: