Triangle. Triangles similaires

Triangle - définition et concepts généraux

Un triangle est un polygone simple composé de trois côtés et ayant le même nombre d'angles. Ses plans sont limités par 3 points et 3 segments reliant ces points deux à deux.

Tous les sommets de tout triangle, quel que soit son type, sont désignés par des lettres latines majuscules, et ses côtés sont représentés par les désignations correspondantes des sommets opposés, non seulement en lettres majuscules, mais en petites. Ainsi, par exemple, un triangle dont les sommets sont étiquetés A, B et C a des côtés a, b, c.

Si l’on considère un triangle dans l’espace euclidien, il s’agit alors d’une figure géométrique formée de trois segments reliant trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite.

Regardez attentivement l'image ci-dessus. Sur celui-ci, les points A, B et C sont les sommets de ce triangle, et ses segments sont appelés les côtés du triangle. Chaque sommet de ce polygone forme des angles à l'intérieur.

Types de triangles

Selon la taille des angles des triangles, ils sont divisés en variétés telles que : Rectangulaire ;
Angulaire aigu ;
Obtus.

Les triangles rectangulaires comprennent ceux qui ont un angle droit et les deux autres ont des angles aigus.

Les triangles aigus sont ceux dont tous les angles sont aigus.

Et si un triangle a un angle obtus et les deux autres angles aigus, alors un tel triangle est classé comme obtus.

Chacun de vous comprend parfaitement que tous les triangles n’ont pas des côtés égaux. Et selon la longueur de ses côtés, les triangles peuvent être divisés en :

Isocèle;
Équilatéral;
Polyvalent.

Devoir : Dessinez différents types de triangles. Définissez-les. Quelle différence voyez-vous entre eux ?

Propriétés de base des triangles

Bien que ces polygones simples puissent différer les uns des autres par la taille de leurs angles ou de leurs côtés, chaque triangle possède les propriétés fondamentales caractéristiques de cette figure.

Dans n'importe quel triangle :

La somme totale de tous ses angles est de 180º.
S'il appartient aux équilatéraux, alors chacun de ses angles mesure 60º.
Un triangle équilatéral a des angles égaux et égaux.
Plus le côté du polygone est petit, plus l'angle opposé à celui-ci est petit, et vice versa, plus l'angle est opposé au plus grand côté.
Si les côtés sont égaux, alors en face d'eux se trouvent des angles égaux, et vice versa.
Si nous prenons un triangle et étendons son côté, nous nous retrouvons avec un angle externe. Elle est égale à la somme des angles internes.
Dans tout triangle, son côté, quel que soit celui que vous choisissez, sera toujours inférieur à la somme des 2 autres côtés, mais supérieur à leur différence :

1. un< b + c, a >avant JC;
2.b< a + c, b >a–c ;
3.c< a + b, c >un B.

Exercice

Le tableau montre les deux angles déjà connus du triangle. Connaissant la somme totale de tous les angles, trouvez à quoi est égal le troisième angle du triangle et inscrivez-le dans le tableau :

1. Combien de degrés a le troisième angle ?
2. À quel type de triangle appartient-il ?

Tests d'équivalence des triangles

je signe

signe II

signe III

Hauteur, bissectrice et médiane d'un triangle

L'altitude d'un triangle - la perpendiculaire tracée depuis le sommet de la figure jusqu'à son côté opposé est appelée l'altitude du triangle. Toutes les altitudes d'un triangle se coupent en un point. Le point d'intersection des 3 altitudes d'un triangle est son orthocentre.

Un segment tiré d'un sommet donné et le reliant au milieu du côté opposé est la médiane. Les médianes, ainsi que les altitudes d'un triangle, ont un point d'intersection commun, appelé centre de gravité du triangle ou centroïde.

La bissectrice d'un triangle est un segment reliant le sommet d'un angle et un point du côté opposé, et divisant également cet angle en deux. Toutes les bissectrices d'un triangle se coupent en un point, appelé centre du cercle inscrit dans le triangle.

Le segment qui relie les milieux des 2 côtés d’un triangle s’appelle la ligne médiane.

Référence historique

Une figure telle qu'un triangle était connue dans l'Antiquité. Cette figure et ses propriétés ont été mentionnées sur des papyrus égyptiens il y a quatre mille ans. Un peu plus tard, grâce au théorème de Pythagore et à la formule de Héron, l'étude des propriétés du triangle est passée à un niveau supérieur, mais cela s'est quand même produit il y a plus de deux mille ans.

Aux XVe et XVIe siècles, de nombreuses recherches ont commencé à être menées sur les propriétés d'un triangle, ce qui a donné naissance à une science telle que la planimétrie, appelée « Nouvelle géométrie du triangle ».

Le scientifique russe N.I. Lobatchevski a apporté une énorme contribution à la connaissance des propriétés des triangles. Ses travaux trouvèrent plus tard des applications en mathématiques, en physique et en cybernétique.

Grâce à la connaissance des propriétés des triangles, une science telle que la trigonométrie est née. Il s'est avéré nécessaire pour une personne dans ses besoins pratiques, puisque son utilisation est simplement nécessaire lors de l'élaboration de cartes, de la mesure de zones et même lors de la conception de divers mécanismes.

Quel est le triangle le plus célèbre que vous connaissez ? Il s'agit bien sûr du Triangle des Bermudes ! Il a reçu ce nom dans les années 50 en raison de la situation géographique des points (sommets du triangle), à ​​l'intérieur desquels, selon la théorie existante, sont apparues les anomalies qui lui sont associées. Les sommets du Triangle des Bermudes sont les Bermudes, la Floride et Porto Rico.

Devoir : Quelles théories sur le Triangle des Bermudes avez-vous entendu ?

Saviez-vous que dans la théorie de Lobatchevski, lors de l’addition des angles d’un triangle, leur somme donne toujours un résultat inférieur à 180º. Dans la géométrie de Riemann, la somme de tous les angles d'un triangle est supérieure à 180º, et dans les travaux d'Euclide, elle est égale à 180 degrés.

Devoirs

Résoudre des mots croisés sur un sujet donné

Questions pour les mots croisés :

1. Quel est le nom de la perpendiculaire qui est tracée du sommet du triangle à la droite située du côté opposé ?
2. Comment, en un mot, peut-on appeler la somme des longueurs des côtés d'un triangle ?
3. Nommez un triangle dont les deux côtés sont égaux ?
4. Nommez un triangle qui a un angle égal à 90° ?
5. Quel est le nom du plus grand côté du triangle ?
6. Quel est le nom du côté d’un triangle isocèle ?
7. Il y en a toujours trois dans un triangle.
8. Quel est le nom d'un triangle dont l'un des angles dépasse 90° ?
9. Le nom du segment reliant le haut de notre figure au milieu du côté opposé ?
10. Dans un polygone simple ABC, la lettre majuscule A est... ?
11. Quel est le nom du segment qui divise l'angle d'un triangle en deux ?

Questions sur le thème des triangles :

1. Définissez-le.
2. Combien de hauteurs a-t-il ?
3. Combien de bissectrices possède un triangle ?
4. Quelle est sa somme d’angles ?
5. Quels types de ce polygone simple connaissez-vous ?
6. Nommez les points des triangles dits remarquables.
7. Quel appareil pouvez-vous utiliser pour mesurer l’angle ?
8. Si les aiguilles de l'horloge indiquent 21 heures. Quel angle font les aiguilles des heures ?
9. Sous quel angle une personne se tourne-t-elle si on lui donne le commandement « à gauche », « cercle » ?
10. Connaissez-vous d'autres définitions associées à une figure qui a trois angles et trois côtés ?

Deux triangles sont dits congruents s’ils peuvent être rapprochés par chevauchement. La figure 1 montre les triangles égaux ABC et A 1 B 1 C 1. Chacun de ces triangles peut être superposé à l'autre afin qu'ils soient totalement compatibles, c'est-à-dire que leurs sommets et leurs côtés sont compatibles deux à deux. Il est clair que les angles de ces triangles correspondront également par paires.

Ainsi, si deux triangles sont congrus, alors les éléments (c'est-à-dire les côtés et les angles) d'un triangle sont respectivement égaux aux éléments de l'autre triangle. Noter que dans des triangles égaux contre des côtés correspondants égaux(c'est-à-dire se chevauchant lorsqu'il est superposé) les angles sont égaux et retour : Des côtés égaux se trouvent respectivement opposés à des angles égaux.

Ainsi, par exemple, dans les triangles égaux ABC et A 1 B 1 C 1, représentés sur la figure 1, les côtés égaux opposés AB et A 1 B 1, respectivement, forment des angles égaux C et C 1. Nous désignerons l'égalité des triangles ABC et A 1 B 1 C 1 comme suit : Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Il s'avère que l'égalité de deux triangles peut être établie en comparant certains de leurs éléments.

Théorème 1. Le premier signe d'égalité des triangles. Si deux côtés et l'angle entre eux d'un triangle sont respectivement égaux à deux côtés et l'angle entre eux d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus (Fig. 2).

Preuve. Considérons les triangles ABC et A 1 B 1 C 1, dans lesquels AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (voir Fig. 2). Montrons que Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Puisque ∠ A = ∠ A 1, alors le triangle ABC peut être superposé au triangle A 1 B 1 C 1 de sorte que le sommet A soit aligné avec le sommet A 1 et que les côtés AB et AC soient respectivement superposés aux rayons A 1 B 1 et A 1 C1. Puisque AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, alors le côté AB s'alignera avec le côté A 1 B 1 et le côté AC s'alignera avec le côté A 1 C 1 ; en particulier, les points B et B 1, C et C 1 coïncideront. Par conséquent, les côtés BC et B 1 C 1 coïncideront. Ainsi, les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont complètement compatibles, ce qui signifie qu'ils sont égaux.

Le théorème 2 est démontré de manière similaire en utilisant la méthode de superposition.

Théorème 2. Le deuxième signe d'égalité des triangles. Si un côté et deux angles adjacents d'un triangle sont respectivement égaux au côté et deux angles adjacents d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus (Fig. 34).

Commentaire. Sur la base du théorème 2, le théorème 3 est établi.

Théorème 3. La somme de deux angles intérieurs quelconques d’un triangle est inférieure à 180°.

Le théorème 4 découle du dernier théorème.

Théorème 4. Un angle extérieur d'un triangle est plus grand que tout angle intérieur qui ne lui est pas adjacent.

Théorème 5. Le troisième signe d'égalité des triangles. Si trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus ().

Exemple 1. Dans les triangles ABC et DEF (Fig. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Comparez les triangles ABC et DEF. Quel angle dans le triangle DEF est égal à l'angle B ?

Solution. Ces triangles sont égaux selon le premier signe. L'angle F du triangle DEF est égal à l'angle B du triangle ABC, puisque ces angles sont opposés aux côtés respectivement égaux DE et AC.

Exemple 2. Les segments AB et CD (Fig. 5) se coupent au point O, qui est le milieu de chacun d'eux. Quelle est la longueur du segment BD si le segment AC mesure 6 m ?

Solution. Les triangles AOC et BOD sont égaux (selon le premier critère) : ∠ AOC = ∠ BOD (vertical), AO = OB, CO = OD (par condition).
De l'égalité de ces triangles il résulte que leurs côtés sont égaux, c'est-à-dire AC = BD. Mais puisque selon la condition AC = 6 m, alors BD = 6 m.

Généralement, deux triangles sont considérés comme similaires s’ils ont la même forme, même s’ils sont de tailles différentes, tournés ou même inversés.

La représentation mathématique de deux triangles similaires A 1 B 1 C 1 et A 2 B 2 C 2 représentés sur la figure s'écrit comme suit :

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Deux triangles sont semblables si :

1. Chaque angle d'un triangle est égal à l'angle correspondant d'un autre triangle :
∠UNE 1 = ∠UNE 2 , ∠B 1 = ∠B 2 Et ∠C1 = ∠C2

2. Les rapports des côtés d'un triangle aux côtés correspondants d'un autre triangle sont égaux les uns aux autres :
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relations deux côtés un triangle aux côtés correspondants d'un autre triangle sont égaux les uns aux autres et en même temps
les angles entre ces côtés sont égaux :
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ et $\angle A_1 = \angle A_2$
ou
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ et $\angle B_1 = \angle B_2$
ou
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ et $\angle C_1 = \angle C_2$

Ne confondez pas les triangles semblables avec les triangles égaux. Les triangles égaux ont des côtés correspondants de longueur égale. Donc pour les triangles congrus :

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Il s'ensuit que tous les triangles égaux sont semblables. Cependant, tous les triangles semblables ne sont pas égaux.

Bien que la notation ci-dessus montre que pour savoir si deux triangles sont similaires ou non, il faut connaître les valeurs des trois angles ou les longueurs des trois côtés de chaque triangle, pour résoudre des problèmes avec des triangles similaires, il suffit de savoir trois des valeurs mentionnées ci-dessus pour chaque triangle. Ces quantités peuvent être dans diverses combinaisons :

1) trois angles de chaque triangle (vous n’avez pas besoin de connaître les longueurs des côtés des triangles).

Ou au moins 2 angles d'un triangle doivent être égaux à 2 angles d'un autre triangle.
Puisque si 2 angles sont égaux, alors le troisième angle sera également égal. (La valeur du troisième angle est 180 - angle1 - angle2)

2) les longueurs des côtés de chaque triangle (vous n’avez pas besoin de connaître les angles) ;

3) les longueurs des deux côtés et l'angle qui les sépare.

Nous verrons ensuite résoudre quelques problèmes avec des triangles similaires. Nous examinerons d’abord les problèmes qui peuvent être résolus en utilisant directement les règles ci-dessus, puis discuterons de quelques problèmes pratiques qui peuvent être résolus en utilisant la méthode du triangle similaire.

Pratiquez des problèmes avec des triangles similaires

Exemple 1: Montrez que les deux triangles de la figure ci-dessous sont semblables.

Solution:
Puisque les longueurs des côtés des deux triangles sont connues, la deuxième règle peut être appliquée ici :

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Exemple n°2 : Montrer que deux triangles donnés sont semblables et déterminer les longueurs des côtés PQ Et RP.

Solution:
∠A = ∠P Et ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(puisque ∠C = 180 - ∠A - ∠B et ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Il en résulte que les triangles ΔABC et ΔPQR sont semblables. Ainsi:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ et
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Exemple n°3 : Déterminer la longueur UN B dans ce triangle.

Solution:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Et ∠UNE général => triangles ΔABC Et ΔADE sont similaires.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Exemple n°4 : Déterminer la longueur AD(x) figure géométrique sur la photo.

Les triangles ΔABC et ΔCDE sont similaires car AB || DE et ils ont un coin supérieur commun C.
Nous voyons qu’un triangle est une version à l’échelle de l’autre. Cependant, nous devons le prouver mathématiquement.

AB || DE, CD || AC et Colombie-Britannique || C.E.
∠BAC = ∠EDC et ∠ABC = ∠DEC

Sur la base de ce qui précède et en tenant compte de la présence d'un angle commun C, on peut affirmer que les triangles ΔABC et ΔCDE sont similaires.

Ainsi:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57$
x = CA - CC = 23,57 - 15 = 8,57

Exemples pratiques

Exemple n°5 : L'usine utilise un tapis roulant incliné pour transporter les produits du niveau 1 au niveau 2, qui est 3 mètres plus haut que le niveau 1, comme le montre la figure. Le convoyeur incliné est desservi d'une extrémité au niveau 1 et de l'autre extrémité jusqu'à un lieu de travail situé à une distance de 8 mètres du point de fonctionnement du niveau 1.

L'usine souhaite moderniser le convoyeur pour accéder au nouveau niveau, situé 9 mètres au-dessus du niveau 1, tout en conservant l'angle d'inclinaison du convoyeur.

Déterminez la distance à laquelle le nouveau poste de travail doit être installé pour garantir que le convoyeur fonctionnera à sa nouvelle extrémité au niveau 2. Calculez également la distance supplémentaire que le produit parcourra lors du déplacement vers le nouveau niveau.

Solution:

Tout d’abord, étiquetons chaque point d’intersection avec une lettre spécifique, comme le montre la figure.

Sur la base du raisonnement donné ci-dessus dans les exemples précédents, nous pouvons conclure que les triangles ΔABC et ΔADE sont similaires. Ainsi,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 millions de dollars
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Ainsi, le nouveau point doit être installé à une distance de 16 mètres du point existant.

Et comme la structure est constituée de triangles rectangles, on peut calculer la distance de déplacement du produit comme suit :

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

De même, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
qui est la distance que le produit parcourt actuellement lorsqu'il atteint le niveau existant.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
c'est la distance supplémentaire que le produit doit parcourir pour atteindre un nouveau niveau.

Exemple n°6 : Steve veut rendre visite à son ami qui a récemment emménagé dans une nouvelle maison. La carte routière menant à Steve et à la maison de son ami, ainsi que les distances connues de Steve, sont présentées sur la figure. Aidez Steve à rejoindre la maison de son ami le plus rapidement possible.

Solution:

La feuille de route peut être représentée géométriquement sous la forme suivante, comme le montre la figure.

On voit que les triangles ΔABC et ΔCDE sont semblables, donc :
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

L'énoncé du problème indique que :

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km et DE = 5 km

En utilisant ces informations, nous pouvons calculer les distances suivantes :

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve peut se rendre chez son ami en empruntant les itinéraires suivants :

A -> B -> C -> E -> G, la distance totale est de 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, la distance totale est de 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, la distance totale est de 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, la distance totale est de 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

L’itinéraire n°3 est donc le plus court et peut être proposé à Steve.

Exemple 7 :
Trisha veut mesurer la hauteur de la maison, mais elle n'a pas les bons outils. Elle remarque qu'un arbre pousse devant la maison et décide d'utiliser son ingéniosité et ses connaissances en géométrie acquises à l'école pour déterminer la hauteur du bâtiment. Elle a mesuré la distance entre l'arbre et la maison, le résultat était de 30 m. Elle s'est ensuite placée devant l'arbre et a commencé à reculer jusqu'à ce que le bord supérieur du bâtiment devienne visible au-dessus de la cime de l'arbre. Trisha a marqué cet endroit et a mesuré la distance entre celui-ci et l'arbre. Cette distance était de 5 m.

La hauteur de l'arbre est de 2,8 m et la hauteur du niveau des yeux de Trisha est de 1,6 m. Aidez Trisha à déterminer la hauteur du bâtiment.

Solution:

La représentation géométrique du problème est présentée sur la figure.

Nous utilisons d’abord la similarité des triangles ΔABC et ΔADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2,8 \times AC = 1,6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \ fois AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

On peut alors utiliser la similarité des triangles ΔACB et ΔAFG ou ΔADE et ΔAFG. Choisissons la première option.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \Rightarrow H = \frac(1,6 )(0,16) = 10 millions de dollars

On pourrait probablement écrire un livre entier sur le thème du « Triangle ». Mais c'est trop long de lire le livre en entier, non ? Par conséquent, nous ne considérerons ici que les faits liés à n'importe quel triangle en général, et toutes sortes de sujets particuliers, tels que, etc. séparés en sujets distincts - lisez le livre en morceaux. Eh bien, comme pour n’importe quel triangle.

1. Somme des angles d'un triangle. Coin extérieur.

Rappelez-vous fermement et n’oubliez pas. Nous ne le prouverons pas (voir les niveaux de théorie suivants).

La seule chose qui pourrait vous dérouter dans notre formulation est le mot « interne ».

Pourquoi est-ce ici ? Mais justement pour souligner que nous parlons des angles qui sont à l’intérieur du triangle. Y a-t-il vraiment d’autres coins dehors ? Imaginez, cela arrive. Le triangle a encore coins extérieurs. Et la conséquence la plus importante du fait que le montant coins internes Le triangle est égal à, touche uniquement le triangle extérieur. Voyons donc quel est cet angle extérieur du triangle.

Regardez l’image : prenez un triangle et (disons) continuez sur un côté.

Bien sûr, nous pourrions quitter le côté et continuer le côté. Comme ça:

Mais on ne peut en aucun cas dire cela de l’angle. c'est interdit!

Ainsi, tout angle extérieur à un triangle n'a pas le droit d'être appelé angle extérieur, mais seulement celui formé un côté et une continuation de l’autre côté.

Alors que devons-nous savoir sur les angles externes ?

Regardez, sur notre photo, cela signifie cela.

Quel est le rapport avec la somme des angles d’un triangle ?

Voyons cela. La somme des angles intérieurs est

mais - parce que et - sont adjacents.

Eh bien, le voici : .

Voyez-vous comme c'est simple ?! Mais très important. Alors souviens-toi:

La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale et l'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme de deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.

2. Inégalité triangulaire

Le fait suivant ne concerne pas les angles, mais les côtés du triangle.

Cela signifie que

Avez-vous déjà deviné pourquoi ce fait est appelé inégalité triangulaire ?

Eh bien, où cette inégalité triangulaire peut-elle être utile ?

Imaginez que vous avez trois amis : Kolya, Petya et Sergei. Et ainsi, Kolya dit : « De ma maison à celle de Petya en ligne droite. » Et Petya : "De ma maison à celle de Sergei, des mètres en ligne droite." Et Sergueï : "C'est bien pour toi, mais de chez moi à Kolinoye, c'est une ligne droite." Eh bien, ici, il faut dire : « Stop, stop ! Certains d’entre vous mentent !

Pourquoi? Oui, car si de Kolya à Petya il y a m, et de Petya à Sergei il y a m, alors de Kolya à Sergei il doit certainement y avoir moins () mètres - sinon la même inégalité triangulaire est violée. Eh bien, le bon sens est définitivement, naturellement, violé : après tout, tout le monde sait depuis l'enfance que le chemin vers une ligne droite () devrait être plus court que le chemin vers un point. (). L’inégalité triangulaire reflète donc simplement ce fait bien connu. Eh bien, vous savez maintenant comment répondre, disons, à une question :

Un triangle a-t-il des côtés ?

Vous devez vérifier s’il est vrai que la somme de deux de ces trois nombres est supérieure au troisième. Vérifions : cela veut dire qu’il n’existe pas de triangle avec des côtés ! Mais avec les côtés - ça arrive, parce que

3. Égalité des triangles

Eh bien, que se passe-t-il s'il n'y a pas un, mais deux triangles ou plus. Comment vérifier s’ils sont égaux ? En fait, par définition :

Mais... c'est une définition terriblement gênante ! Comment, je vous en prie, peut-on superposer deux triangles même dans un cahier ?! Mais heureusement pour nous il y a signes d'égalité des triangles, qui vous permettent d'agir avec votre esprit sans mettre vos cahiers en danger.

Et d'ailleurs, jetant les blagues frivoles, je vais vous confier un secret : pour un mathématicien, le mot « superposer des triangles » ne signifie pas du tout les découper et les superposer, mais dire beaucoup, beaucoup, beaucoup de mots qui prouveront que deux triangles coïncideront lorsqu'ils seront superposés. Ainsi, vous ne devez en aucun cas écrire dans votre travail "J'ai vérifié - les triangles coïncident lorsqu'ils sont appliqués" - ils ne le compteront pas pour vous, et ils auront raison, car personne ne garantit que vous n'avez pas commis d'erreur lors de l'application, disons, un quart de millimètre.

Ainsi, certains mathématiciens ont dit un tas de mots, on ne répétera pas ces mots après eux (sauf peut-être dans le dernier niveau de la théorie), mais on utilisera activement trois signes d'égalité des triangles.

Dans l'usage quotidien (mathématique), de telles formulations abrégées sont acceptées - elles sont plus faciles à mémoriser et à appliquer.

1. Le premier signe est sur deux côtés et l'angle entre eux ;
2. Le deuxième panneau est sur deux coins et sur le côté adjacent ;
3. Le troisième signe est sur trois côtés.

TRIANGLE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Un triangle est une figure géométrique formée de trois segments qui relient trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite.

Concepts de base.

Propriétés de base :

1. La somme des angles intérieurs de tout triangle est égale, c'est-à-dire
2. L'angle externe d'un triangle est égal à la somme de deux angles internes qui ne lui sont pas adjacents, c'est-à-dire
   ou
3. La somme des longueurs de deux côtés quelconques d'un triangle est supérieure à la longueur de son troisième côté, c'est-à-dire
4. Dans un triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle et le plus grand angle est opposé au plus grand côté, c'est-à-dire
   si, alors, et vice versa,
   si donc.

Signes d'égalité des triangles.

1. Premier signe- de deux côtés et l'angle entre eux.

2. Deuxième signe- sur deux coins et le côté adjacent.

3. Troisième signe- sur trois côtés.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème est que cela ne suffit peut-être pas...

Pour quoi?

Pour avoir réussi l'examen d'État unifié, pour entrer à l'université avec un budget limité et, SURTOUT, pour la vie.

Je ne vais vous convaincre de rien, je dirai juste une chose...

Les personnes qui ont reçu une bonne éducation gagnent beaucoup plus que celles qui ne l’ont pas reçue. Ce sont des statistiques.

Mais ce n’est pas l’essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que de nombreuses autres opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

Mais pensez par vous-même...

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Vous pouvez utiliser nos tâches (facultatif) et nous les recommandons bien sûr.

Afin de mieux utiliser nos tâches, vous devez contribuer à prolonger la durée de vie du manuel YouClever que vous lisez actuellement.

Comment? Il existe deux options :

1. Débloquez toutes les tâches cachées dans cet article -
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Oui, nous avons 99 articles de ce type dans notre manuel et l'accès à toutes les tâches et à tous les textes cachés qu'elles contiennent peut être ouvert immédiatement.

L'accès à toutes les tâches cachées est assuré pendant TOUTE la vie du site.

En conclusion...

Si vous n'aimez pas nos tâches, trouvez-en d'autres. Ne vous arrêtez pas à la théorie.

« Compris » et « Je peux résoudre » sont des compétences complètement différentes. Vous avez besoin des deux.

Trouvez les problèmes et résolvez-les !