Les détails de connexion (boulons, goupilles, clés, rivets) fonctionnent de telle manière qu'un seul facteur de force interne peut être pris en compte - la force de cisaillement. Ces détails sont calculés pour le cisaillement.
Maj (couper)
Le cisaillement est un chargement auquel un seul facteur de force interne apparaît dans la section transversale de la poutre - la force transversale de la Fig. 23.1).
Pendant le quart de travail, la loi de Hooke est remplie, qui dans ce cas s'écrit comme suit :
où est la tension ;
g- module d'élasticité en cisaillement ;
Angle de cisaillement.
En l'absence d'épreuves particulières g peut être calculé par la formule,
où E- module d'élasticité en traction, [ g] = MPa.
Le calcul des pièces pour le cisaillement est conditionnel. Pour simplifier les calculs, plusieurs hypothèses sont faites :
Lors du calcul du cisaillement, la flexion des pièces n'est pas prise en compte, bien que les forces agissant sur la pièce forment une paire ;
Lors du calcul, nous supposons que les forces élastiques sont uniformément réparties sur la section ;
Si plusieurs pièces sont utilisées pour transférer la charge, nous supposons que la force externe est uniformément répartie entre elles.
Condition de résistance au cisaillement
où est la contrainte de cisaillement admissible, elle est généralement déterminée par la formule
Une fois détruite, la pièce est coupée en travers. La destruction d'une pièce sous l'action d'un effort tranchant est appelée cisaillement.
Assez souvent, simultanément au déplacement, la surface latérale est écrasée au point de contact à la suite du transfert de la charge d'une surface à l'autre. Dans ce cas, des contraintes de compression, appelées contraintes de cisaillement, apparaissent sur la surface.
Le calcul est également conditionnel. Les hypothèses sont similaires à celles prises lors du calcul du cisaillement, cependant, lors du calcul de la surface cylindrique latérale, les contraintes sur la surface ne sont pas uniformément réparties, donc le calcul est effectué pour le point le plus chargé. Pour cela, au lieu de la surface latérale du cylindre, une surface plane passant par le diamètre est utilisée dans le calcul.
Condition de résistance à l'effondrement
oùA cm - zone d'effondrement calculée
d est le diamètre du cercle de section ;
La plus petite hauteur des plaques à assembler ;
F - force d'interaction entre les pièces
Contrainte d'effondrement admissible
= (0,35 + 0,4)
Sujet 2.5. Torsion
La torsion est un type de chargement de poutre, dans lequel un facteur de force interne apparaît dans ses sections transversales - le couple M cr.
Le couple M cr dans une section arbitraire du barreau est égal à la somme algébrique des moments agissant sur la partie coupée du barreau.
Le couple est considéré comme positif si la torsion est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et négative - dans le sens des aiguilles d'une montre.
Lors du calcul de la résistance à la torsion des arbres, la condition de résistance est utilisée :
,
où est le moment de résistance polaire de la section, mm 3;
- contrainte de cisaillement admissible.
Le couple est déterminé par la formule :
où P est la puissance à l'arbre, W ;
ω - vitesse angulaire de rotation de l'arbre, rad / s.
Le moment de résistance polaire de la section est déterminé par les formules :
Pour le cercle
Pour la bague
.
Lorsque la barre est tordue, son axe est tordu d'un certain angle , que l'on appelle angle de torsion... Sa valeur est déterminée par la formule :
où l est la longueur de la barre ;
G - module de cisaillement, MPa (pour l'acier G = 0,8 · 10 5 MPa);
Le moment d'inertie polaire de la section, mm 4.
Le moment d'inertie polaire de la section est déterminé par les formules :
Pour le cercle
Pour la bague
.
Sujet 2.6. pliez
De nombreux éléments structurels (poutres, rails, essieux de toutes les roues, etc.) subissent une déformation en flexion.
Pliant la déformation à partir du moment des forces externes agissant dans un plan passant par l'axe géométrique de la poutre est appelée.
En fonction de la lieux d'application forces agissantes distinguer droit et oblique pliez.
Coude droit- les forces extérieures agissant sur la poutre, mensonge dans le plan principal de la section.
Plan de section principal - un plan passant par l'axe du faisceau et l'un des principaux axes de section centraux.
coude oblique- les forces extérieures agissant sur la poutre, ne mens pas dans le plan principal de la section.
Selon la nature des VSF apparaissant dans les sections transversales de la poutre, la flexion peut être nettoyer et transversal.
Le virage s'appelle transversal, si dans la section transversale de la poutre il y a deux VSP - moment fléchissant М х et effort tranchant Q y.
Le virage s'appelle nettoyer, si dans la section transversale de la poutre il y a un VSF - moment fléchissant M x.
Le moment fléchissant dans une section arbitraire est égal à la somme algébrique des moments des forces externes agissant sur la partie coupée de la poutre :
La force transversale Q est égale à la somme algébrique des projections des forces extérieures agissant sur la partie coupée de la poutre :
Pour déterminer les signes des forces transversales, utilisez règle de l'aiguille des heures: la force latérale est considérée comme positive si la "rotation" des forces extérieures est dans le sens des aiguilles d'une montre ; négatif - dans le sens antihoraire.
Lors de la détermination des signes de moments fléchissants, utilisez règle de fibre compressée(règle du « BOWL ») : le moment fléchissant est considéré comme positif si les fibres supérieures de la poutre sont comprimées (« l'eau ne s'écoule pas ») ; négatif si les fibres inférieures de la poutre sont comprimées ("de l'eau s'écoule").
Condition de résistance à la flexion : la tension de service doit être inférieure ou égale à la tension admissible, c'est-à-dire
où W x est le moment résistant axial (une valeur caractérisant la capacité des éléments de structure à résister à la déformation par flexion), mm 3.
Le moment résistant axial est déterminé par les formules :
Pour le cercle
Pour la bague
;
Pour rectangle
En flexion transversale directe, le moment fléchissant provoque l'apparition d'une contrainte normale et la force transversale provoque une contrainte de cisaillement, qui est déterminée par la formule :
où A est l'aire la Coupe transversale, mm 2.
Concepts de base. Formules de calcul.
Conférence 4. Couper et écraser.
Pièces de connexion éléments individuels machines et constructions- rivets, goupilles, boulons, chevilles - perçoivent des charges perpendiculairement à leur axe longitudinal.
Les hypothèses suivantes sont valables.
1. Dans la section transversale, un seul facteur de force interne apparaît - la force de cisaillement Q .
2. Les contraintes de cisaillement apparaissant dans la section transversale sont uniformément réparties sur sa surface.
3. Si la connexion est faite par plusieurs pièces identiques, on suppose qu'elles sont toutes également chargées.
Condition de résistance au cisaillement (calcul de vérification) :
où Q - force latérale
- nombre de boulons, rivets, je- nombre de plans de coupe attache)F cf - zone de cisaillement d'un boulon ou d'un rivet, RÉ - diamètre du boulon ou du rivet.
[mer] - contrainte de cisaillement admissible, en fonction du matériau des éléments de liaison et des conditions de fonctionnement de la structure. Accepté [mer] = (0,25 ... 0,35) · σ t, où t est la limite d'élasticité.
C'est aussi vrai : puisque , où m- facteur de sécurité (pour l'acier égal à 1,5).
Si l'épaisseur des pièces à assembler est insuffisante ou que le matériau des pièces à assembler est plus mou que celui d'un boulon, d'une goupille, etc., alors les parois des trous sont froissées et la connexion devient peu fiable, un écrasement se produit . En cas d'écrasement, seules les contraintes normales agissent - . La zone de froissement réelle est un demi-cylindre, celle calculée est la projection du demi-cylindre sur le plan diamétral. Fcm , où ré - diamètre boulon ou rivet, - épaisseur minimale de tôle (si les tôles à assembler sont d'épaisseurs différentes).
Calcul de vérification pour une coupe de pièces de liaison :
La formule ci-dessous est similaire à la formule (52)
,
Q - force de cisaillement, égale en amplitude à l'extérieur
Où z est le nombre de rivets (boulons)
je- le nombre de découpes (égal au nombre de tôles à assembler moins une)
[τ ] = Contrainte de cisaillement admissible. Dépend du type de matériau du rivet et des conditions de travail de la structure.
Vérifier le calcul d'écrasement des pièces à assembler :
, (53)
Où d est le diamètre du rivet (boulon)
Épaisseur minimale de la tôle
z- nombre de rivets (boulons)
Contrainte normale admissible lors de l'écrasement des pièces connectées.
Calcul de vérification en cas de rupture des pièces connectées :
, (54)
Où ( c - z d) - largeur de tôle sans rivets
Épaisseur minimale de la tôle
Contrainte normale admissible à la rupture de la pièce connectée.
Le calcul est effectué pour la zone où se trouve le nombre maximum de ferrures (rivets, goupilles, boulons, etc.).
Calcul de conception (détermination du nombre de rivets).
, (55)
(56)
Nous choisissons le nombre maximum de rivets.
Détermination de la charge maximale admissible.
, (57)
, (58)
Nous choisissons la plus petite charge des deux valeurs.
La force de traction R=150kn.,
contrainte de cisaillement admissible 
contrainte d'effondrement admissible
force de tension 
,
nombre total de rivets z= 5 pièces (dans une rangée 3, dans une autre 2),
diamètre du rivet.
Cette conception utilise trois connexions à broches : la bascule de la poignée et la petite connexion du piston à la poignée. Dans le premier et le deuxième cas, il existe deux plans de cisaillement, ce qui a un effet direct sur la résistance de la structure. Il est d'usage de compter sur les articulations des doigts pour le cisaillement et l'écrasement :
Stress admissible des doigts sur la coupe,
;
- contrainte admissible des doigts à l'écrasement,
;
où, F est la charge agissant sur l'articulation du doigt ;
Z est le nombre total de doigts dans l'articulation ;
δ - épaisseur de tôle, mm;
dholes - diamètre du trou, mm;
K - le nombre de plans de coupe.
Coupe au doigt pour St0, St2 - 1400kgf / cm2 ; pour St3 - 1400kgf/cm2.
Broyage à doigts pour St0, St2 - 2800 kgf/cm2, pour St3 - 3200 kgf/cm2.
Calcul du doigt sur le corps :
mm ;
mm.
Calcul du doigt sur le piston :
mm ;
mm.
J'accepte un doigt avec une tête de poussée avec d = 3 mm ; D = 5,4 mm ; L = 12 mm.
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Dans la pratique de l'ingénierie, les fixations sont calculées pour le cisaillement et éléments de connexion pièces de machines et de structures de bâtiment : rivets, boulons, chevilles, soudures, encoches, etc. Ces pièces ne sont soit pas du tout des tiges, soit leur longueur est du même ordre que les dimensions transversales. Exact solution théorique de tels problèmes de calcul sont très difficiles et font donc appel à des méthodes de calcul conditionnelles (approximatives). Dans ce genre de calculs, ils partent de schémas extrêmement simplifiés, déterminent les contraintes conditionnelles à l'aide de formules simples et les comparent aux contraintes admissibles trouvées par expérience. Habituellement, de tels calculs conditionnels sont effectués dans trois directions: pour le cisaillement (cisaillement), pour l'écrasement aux points de contact des pièces de joint et pour la rupture le long de la section, affaiblie par des trous ou des tarauds. 24 Lors de l'examen de chaque schéma de conception, les contraintes sont conventionnellement supposées être uniformément réparties sur la section dangereuse. En raison du grand nombre de conventions sous-jacentes au calcul des assemblages boulonnés, rivetés, des soudures et d'autres éléments similaires d'éléments structuraux, la pratique a développé un certain nombre de recommandations qui sont rapportées dans des cours spéciaux sur les pièces de machines, les structures de bâtiments, etc. exemples typiques règlements conditionnels. Calcul des assemblages boulonnés et rivetés Les assemblages boulonnés et rivetés (Fig. 1.21) sont calculés pour le cisaillement (cisaillement) et l'effondrement du boulon ou de la tige du rivet. De plus, les éléments à connecter sont contrôlés quant à la rupture le long de la section fragilisée. Riz. 1.22 Les assemblages boulonnés et rivetés (Figure 1.22) sont calculés pour le cisaillement (cisaillement) et l'effondrement du boulon ou de la tige du rivet. De plus, les éléments à connecter sont contrôlés quant à la rupture le long de la section fragilisée. a) calcul des contraintes admissibles Calcul au cisaillement Condition de résistance au cisaillement pour un rivet ou une tige de boulon (1.42) où P est la force agissant dans l'assemblage ; d est le diamètre de la tige du boulon ou du rivet ; m est le nombre de tranches, c'est-à-dire plans le long desquels un cisaillement de la barre peut se produire ; - contrainte de cisaillement admissible. A partir de la condition de résistance, on peut déterminer le nombre de coupes Le nombre de rivets n est déterminé par le nombre de coupes : avec des rivets à simple cisaillement n = m, avec des rivets à double cisaillement -. Conception de l'effondrement L'effondrement se produit sur la surface de contact de la tôle avec la tige du rivet ou du boulon. Les contraintes d'effondrement sont inégalement réparties sur cette surface (Fig. 1.22, a). Une contrainte conditionnelle est introduite dans le calcul, uniformément répartie sur la surface de la section diamétrale (Fig. 1.23, b). Cette contrainte conditionnelle est proche en amplitude de la contrainte de cisaillement maximale réelle sur la surface de contact. La condition de résistance s'écrit comme suit : Le nombre de rivets requis en fonction de l'écrasement (1,45) est ici l'épaisseur de la tôle ; cm - contrainte d'effondrement admissible. Vérification de la rupture de la tôle La condition de résistance à la rupture de la tôle dans la section fragilisée par des trous rivetés, (1.46) où b est la largeur de la tôle ; n1 est le nombre de rivets dans la couture le long desquels une rupture est possible. Vérification d'une coupe de tôle Dans certaines liaisons, en plus des contrôles listés, il est nécessaire de vérifier une coupe (coupe) en rivetant une partie de la tôle entre son bord (extrémité) et le rivet (Fig. 1.24). Chaque rivet coupe en deux plans. La longueur du plan de coupe est classiquement prise comme la distance du bord d'extrémité de la tôle au point le plus proche du contour du trou, c'est-à-dire la valeur. La condition de résistance dans ce cas est (1,48) où 1 est la force par rivet ; c est la distance entre l'extrémité de la tôle et le centre du rivet. Les valeurs des contraintes admissibles pour les aciers des nuances Art. 2 et art. 3, dans les joints rivetés, les éléments suivants peuvent être pris approximativement (MPa) : Éléments de base Rivets dans les trous percés Rivets dans les trous emboutis Pour les boulons en acier, les goupilles et les éléments similaires des structures de construction de machines sous charge statique, les contraintes admissibles qualité du matériau : (0,520,04 ) T, où T est la limite d'élasticité du matériau du boulon ; = 100 - 120 MPa pour l'acier 15, 20, 25, St. 3, art. 4 ; s = 140 - 165 MPa pour l'acier 35, 40, 45, 50, St. 5, art. 6 ; s = (0,4 - 0,5) PCh pour la fonte. Lors du calcul sur l'écrasement des pièces en contact de différents matériaux le calcul est basé sur la contrainte admissible pour un matériau moins durable. b) calcul des états limites Les joints rivetés sont calculés pour le premier état limite - pour la capacité portante de cisaillement et d'écrasement. La coupe est calculée selon la condition (1.48) où N est la force de calcul dans le joint ; n est le nombre de rivets ; nср est le nombre de plans de coupe d'un rivet ; d - diamètre du rivet; Rav - conception de la résistance au cisaillement des rivets. L'effondrement est calculé selon la condition (1.49) où Rcm est la résistance de calcul à l'effondrement des éléments connectés ; - la plus petite épaisseur totale d'éléments froissés dans un sens. Résistances de conception prises dans le calcul des états limites (MPa). Les principaux éléments du joint riveté R130 Norme R210 cp Rivets dans les trous percés Rivets dans les trous pressés Lors de la conception des joints rivetés, le diamètre des rivets est généralement défini, en fonction de l'épaisseur des éléments rivetés et avec un arrondi conforme à GOST :. Les diamètres les plus couramment utilisés sont 14, 17, 20, 23, 26, 29 mm. Des directives pour le placement des rivets et la conception des assemblages rivetés et boulonnés sont données dans des cours spécifiques. 1.12. Calcul des coupes de bois Le calcul des coupes de bois est fait pour le déchiquetage et le concassage. Les contraintes ou résistances de calcul admissibles sont fixées en fonction de la direction des forces agissant par rapport aux fibres des éléments en bois. Les valeurs des contraintes admissibles et des résistances de conception pour le pin et l'épicéa séchés à l'air (humidité 15%) sont données en annexe. 5. Dans le cas de l'utilisation d'autres essences d'arbres, les valeurs de stress données dans le tableau sont multipliées par facteurs de correction... La valeur de ces coefficients pour le bois de chêne, de frêne, de charme : Lors du pliage, de l'étirement, de la compression et de l'écrasement le long des fibres 1,3 Lors de la compression et de la contrainte est déterminée par la formule (1,50) où [cm] est la contrainte de cisaillement admissible le long des fibres ; ms 90 - la même perpendiculaire aux fibres. En utilisant une formule similaire, la contrainte admissible est déterminée si le site de clivage est situé à un angle par rapport à la direction des fibres. - contrainte admissible pour le pliage le long des fibres ; 90 - le même à travers les fibres. Les résistances de conception sont calculées de la même manière lors du calcul des états limites. Lors du calcul des états limites des coupes frontales et de certains autres joints, il convient de prendre en compte la répartition inégale des contraintes de cisaillement sur la zone de clivage. Ceci est réalisé en introduisant, au lieu de la résistance de conception principale (maximum) (Rsc = 24 kg / cm2), la résistance moyenne au cisaillement. (1.54) où lsk est la longueur de la zone de clivage ; e - épaule de force de cisaillement, mesurée perpendiculairement à la zone de cisaillement ; - coefficient dépendant de la nature du cisaillement. En cas de cisaillement unilatéral (en éléments tendus), qui a lieu dans les encoches frontales, = 0,25. 1.13 Théorie de la résistance Les théories de la résistance cherchent à établir un critère de résistance pour un matériau dans un état de contrainte complexe (vrac ou plat). Dans ce cas, l'état de contrainte étudié de la pièce calculée (avec les contraintes principales au point dangereux σ1, σ2 et σ3) est comparé à l'état de contrainte linéaire - traction ou compression. L'état limite des matériaux plastiques (matériaux à l'état plastique) est considéré comme un état dans lequel des déformations résiduelles (plastiques) notables commencent à apparaître. Pour les matériaux fragiles, ou à l'état fragile, l'état limite est considéré comme celui dans lequel le matériau est à la limite d'apparition des premières fissures, c'est-à-dire à la limite de violation de l'intégrité du matériau. La condition de résistance sous l'état de contrainte volumétrique peut être écrite comme suit : où est la contrainte équivalente (ou calculée) ; LIM - tension limite pour de ce matériel avec un état de contrainte linéaire ; - contrainte admissible dans le même cas; - le facteur de sécurité réel ; - le facteur de sécurité requis (spécifié) ; Le facteur de sécurité (n) pour un état de contrainte donné est un nombre qui indique combien de fois tous les composants de l'état de contrainte doivent être augmentés simultanément pour en faire la limite. La contrainte équivalente EKV est une contrainte de traction dans un état de contrainte linéaire (uniaxiale), qui est également dangereuse avec un état de contrainte volumétrique ou plan donné. Des formules pour la contrainte équivalente, l'exprimant en termes de contraintes principales σ1, σ2, σ3, sont établies par les théories de la résistance, en fonction de l'hypothèse de résistance retenue par chaque théorie. Il existe plusieurs théories de la résistance ou hypothèses d'états de contrainte ultimes. La première théorie, ou théorie des contraintes normales maximales, est basée sur l'hypothèse qu'un état dangereux d'un matériau dans un état de contrainte massive ou plane se produit lorsque sa contrainte normale la plus élevée en valeur absolue atteint une valeur correspondant à un état dangereux en simple tension ou compression. Contrainte équivalente selon cette théorie (1.57) La condition de résistance aux mêmes valeurs de contraintes de traction et de compression admissibles (matériaux plastiques) a la forme : À différentes valeurs de contraintes de traction et de compression admissibles, la condition de résistance est écrite comme suit : c'est-à-dire pour toutes les contraintes de traction principales, la première des formules (1.59) est appliquée. 31 Dans le cas où, c'est-à-dire que toutes les contraintes principales sont compressives, la deuxième des formules (1.59) est appliquée. Dans le cas d'un état de contrainte mixte, lorsque, les deux formules (1.59) sont appliquées simultanément. La première théorie est totalement inadaptée aux matériaux plastiques, ainsi que dans les cas où les trois contraintes principales sont sans ambiguïté et proches les unes des autres. Un accord satisfaisant avec les données expérimentales n'est obtenu que pour les matériaux fragiles dans le cas où l'une des contraintes principales en valeur absolue est significativement supérieure aux autres. Actuellement, cette théorie n'est pas appliquée dans les calculs pratiques. La deuxième théorie, ou théorie des plus grandes déformations linéaires, est basée sur la proposition qu'un état dangereux d'un matériau survient lorsque la plus grande déformation linéaire relative en valeur absolue atteint une valeur correspondant à un état dangereux en simple traction ou compression. La plus grande des valeurs suivantes est prise comme contrainte équivalente (de conception) : La condition de résistance à a la forme : Dans le cas différentes significations contraintes de traction et de compression admissibles, les conditions de résistance peuvent être représentées comme suit : (1.62) De plus, la première des formules est appliquée aux contraintes principales positives (de traction), la seconde aux contraintes principales négatives (de compression). Dans le cas d'un état de contrainte mixte, les deux formules (1.62) sont utilisées. La deuxième théorie n'est pas confirmée par des expériences pour le plastique ou les matériaux à l'état plastique. Des résultats satisfaisants sont obtenus pour des matériaux cassants ou cassants, en particulier dans les cas où toutes les contraintes principales sont négatives. À l'heure actuelle, la deuxième théorie de la force n'est presque jamais utilisée dans les calculs pratiques. 32 La troisième théorie, ou théorie des contraintes de cisaillement les plus élevées, suppose que l'apparition d'un état dangereux est due aux contraintes de cisaillement les plus élevées. La condition équivalente de contrainte et de résistance peut s'écrire comme suit : En tenant compte des contraintes principales déterminées par la formule (1.12), après transformations on obtient : (1.64) où et, respectivement, sont les contraintes normales et tangentielles au point considéré de l'état de stress. Cette théorie donne des résultats tout à fait satisfaisants pour des matériaux ductiles qui résistent aussi bien à la traction qu'à la compression, surtout dans les cas où les contraintes principales sont de 3 signes différents. Le principal inconvénient de cette théorie est qu'elle ne prend pas en compte la contrainte principale moyenne 2, qui, telle qu'établie par des expériences, a un certain effet sur la résistance du matériau. En général, la troisième théorie de la résistance peut être considérée comme une condition d'apparition des déformations plastiques. Dans ce cas, la condition de limite d'élasticité s'écrit comme suit : La quatrième théorie, ou théorie de l'énergie, est basée sur l'hypothèse que la cause de la déformation plastique dangereuse (la limite d'élasticité) est l'énergie de changement de forme. Conformément à cette théorie, on suppose qu'un état dangereux avec déformation complexe se produit lorsque son énergie spécifique atteint des valeurs dangereuses lors d'une simple tension (compression). La contrainte (équivalente) calculée selon cette théorie peut s'écrire en deux versions : (1.66) Dans le cas d'un état de contrainte plane (survient dans les poutres lors de la flexion avec torsion, etc.), compte tenu des contraintes principales 1, 2 (3). La condition de résistance peut être formulée sous la forme 33 Les expériences confirment bien les résultats obtenus selon cette théorie pour des matériaux plastiques également résistants à la traction et à la compression, et elle peut être recommandée pour une application pratique. La même valeur de la contrainte calculée, comme dans les formules (1.66), peut être obtenue en prenant la contrainte de cisaillement octaédrique comme critère de résistance. La théorie des contraintes de cisaillement octaédriques suppose que l'apparition de la limite d'élasticité dans tout type d'état de contrainte se produit lorsque la contrainte de cisaillement octaédrique atteint une certaine valeur, qui est constante pour un matériau donné. La théorie des états limites (théorie de Mohr) part de l'hypothèse que la résistance dans le cas général de l'état de contrainte dépend principalement de l'amplitude et du signe de la plus grande 1 et des 3 plus petites contraintes principales. La contrainte principale moyenne 2 n'a qu'un effet mineur sur la résistance. Des expériences ont montré que l'erreur causée par la négligence de 2, dans le pire des cas, ne dépasse pas 12 - 15%, et généralement elle est inférieure. S'il n'est pas pris en compte, tout état de contrainte peut être représenté à l'aide d'un cercle de contrainte construit sur la différence des contraintes principales. De plus, s'ils atteignent des valeurs correspondant à l'état de contrainte limite, auquel la force est violée, alors le cercle de Mohr est le cercle limite. En figue. 1.25 montre deux cercles limites. Le cercle 1 de diamètre OA égal à la résistance à la traction correspond à une traction simple. Le cercle 2 correspond à la compression simple et est construit sur le diamètre OB égal à la résistance à la compression. Les états de contraintes limites intermédiaires correspondront à un certain nombre de cercles limites intermédiaires. L'enveloppe de la famille des cercles limites (représentée sur la figure par une ligne pointillée) limite la zone de résistance. Riz. 1.25 34 En présence de l'enveloppe limite, l'évaluation de la résistance du matériau à un état de contrainte donné se fait en construisant un cercle de contraintes selon les valeurs données 3. La résistance sera assurée si ce cercle est entièrement placé à l'intérieur de l'enveloppe. Pour obtenir une formule de calcul, la courbe enveloppe entre les cercles principaux 1 et 2 est remplacée par une droite (CD). Dans le cas d'un cercle intermédiaire 3 avec des contraintes principales 3, tangent à la droite CD, la condition de résistance suivante peut être obtenue à partir de l'examen du dessin : Sur cette base, la contrainte (de conception) équivalente et la condition de résistance selon la théorie de Mohr peut s'écrire comme suit : - pour les matières plastiques ; - pour les matériaux fragiles ; ou - pour tout matériel. Voici les limites d'élasticité, respectivement, en traction et en compression ; ПЧР - résistance ultime à la traction et à la compression ; - les contraintes de traction et de compression admissibles. Lorsqu'un matériau est également résistant à la traction et à la compression, c'est-à-dire lorsque la condition de résistance selon la théorie de Mohr coïncide avec la condition de résistance selon la théorie 3. Par conséquent, la théorie de Mohr peut être considérée comme une généralisation de la 3 théorie de la force. La théorie de Mohr est largement utilisée dans la pratique informatique. Les meilleurs résultats sont obtenus sous des états de contraintes mixtes, lorsque le cercle de Mohr est situé entre les cercles limites de traction et de compression (à noter la généralisation de la théorie énergétique de la résistance proposée par PP Balandin afin d'appliquer cette théorie à l'évaluation de la résistance des matériaux avec différentes résistances à la traction et à la compression. La contrainte équivalente selon la proposition de PP Balandin est déterminée par la formule La contrainte équivalente trouvée selon cette formule coïncide avec la contrainte équivalente selon la théorie de la résistance 4 (énergétique). Ya.B. Fridman a proposé une nouvelle "théorie unifiée de la résistance", qui généralise les vues modernes sur la résistance dans les états fragile et plastique du matériau. Je suis dans un état fragile, la destruction se produit par décollement et le calcul de résistance doit être effectué selon la théorie des déformations linéaires maximales. Si le matériau est dans un état plastique, la destruction se produira par cisaillement, et le calcul de résistance doit être effectué selon la théorie des plus grandes contraintes de cisaillement. Ici p est la résistance à la séparation ; p - résistance au cisaillement. En l'absence de données expérimentales sur ces valeurs, le rapport peut être approximativement remplacé par le rapport où est la contrainte de cisaillement admissible ; - contrainte de traction admissible. 1.14. Exemples de calcul Exemple 1.1 Une bande d'acier (Fig. 4.26) présente une soudure oblique à un angle β = 60є par rapport à l'axe longitudinal. Vérifier la résistance de la bande, si la force P = 315 kN, la contrainte normale admissible du matériau qui la compose [σ] = 160 MPa, 36 la contrainte normale admissible de la soudure [σe] = 120 MPa, et la contrainte tangentielle [τ] = 70 MPa, dimensions de la section B = 2 cm, H = 10 cm Figure 1.26 Solution 1. Déterminer les contraintes normales dans la section de la bande. max< [σ]. Процент расхождения составляет 2. Находим напряжение, действующее по наклонному сечению (сварному шву) и выполняем проверку прочности. Используем метод РОЗУ (сечения). Рассечем полосу по шву (рис. 4.27) и рассмотрим левую ее часть. В сечении возникают два вида напряжения: нормальное σα и касательное τα, которые будем считать распределенными равномерно по сечению. Рассматриваем равновесие отсеченной части, составляем уравнение равновесия в виде сумм проекций всех сил на нормаль nα и ось t. С учётом площади наклонного сечения Аα = А/cosα получим cos2 ; Таким образом нормальное напряжение в сварном шве также меньше [σэ] = =120 МПа. 37 3. Определяем экстремальные (max, min) касательные напряжения τmax(min) в полосе. Вырежем из полосы в окрестности любой точки, например К, бесконечно малый элемент в виде параллелепипеда (рис 1.28). На гранях его действуют только нормальные напряжения σmax=σ1 (материал испытывает линейное напряжённое состояние, т. к. σ2 = σ3 = 0). Из формулы (1.5) следует, что при α0 = 45є: Сопоставляя найденные напряжения с допустимыми, видим, что условие прочности выполняется. Пример 1.2 Под действием приложенных сил в детали, элемент, вырезанный из нее испытывает плоское напряженное состояние. Требуется определить величину и направление главных напряжений и экспериментальные касательные напряжения, а также относительные деформации в направлениях диагонали АС, удельное изменение объема и потенциальную энергию деформации. Напряжения действующие на гранях элемента известны: Решение 1. Определяем положение главных площадок. Угол положительный. Это говорит о том, что нормаль к главной площадке должна быть проведена под углом α0 положительным от направления σх против часовой стрелки. 2. Вычисляем величину главных напряжений. Для нашего случая имеем Так как σх, то под углом α0 к направлению σх действуют σmin= σ3 и под углом α0 + 90˚ действуют σmax = σ1. (Если σх > σy, alors σmax = σ1 agit sous un angle α0 par rapport à la direction σx et σmin = σ3 agit sous un angle α0 + 90˚). Vérification : a) pour cela, on détermine la valeur des contraintes principales par la formule On voit que la contrainte σmin ≈ σα agit sous un angle α0 ; b) vérifier les contraintes de cisaillement sur les sites principaux Si l'angle α0 est trouvé correctement Le côté gauche est égal à la droite. Ainsi, le contrôle montre que les contraintes sur le site principal sont correctement déterminées. 3. Déterminer les valeurs extrêmes des contraintes de cisaillement. Les contraintes de cisaillement les plus élevées et les plus faibles agissent sur les sites inclinés à un angle de 45° par rapport aux sites principaux. Avec cette dépendance, pour déterminer les valeurs extrêmes de a la forme 4. Déterminer les déformations relatives dans des directions parallèles aux bords. Pour ce faire, on utilise la loi de Hooke : puisque l'élément subit un état de contrainte plane, c'est-à-dire σz = 0. Alors ces dépendances ont la forme : En tenant compte des valeurs, on a : 5. Déterminer le changement de volume spécifique 6. Absolu changement de volume 7. Déterminer l'énergie potentielle spécifique de déformation. puisque σ2 = 0 nous obtenons 8. Déterminer l'allongement absolu (raccourcissement) des nervures de l'élément : a) dans la direction parallèle à l'axe y, les nervures BC, HELL sont allongées. b) dans la direction parallèle à l'axe x, raccourcissement des nervures VA, SD. En utilisant ces valeurs, il est possible de déterminer l'allongement de la diagonale AC et VD sur la base du théorème de Pythagore. Exemple 1.3 Un cube en acier de 10 cm de côté, inséré sans interstice entre deux parois rigides et reposant sur une base fixe, est comprimé par une charge q = 60 kN/m (Fig. 1.30). Il est nécessaire de calculer : 1) les contraintes et déformations dans trois directions ; 2) modification du volume du cube ; 3) énergie potentielle de déformation ; 4) contraintes normales et de cisaillement sur un site incliné à un angle de 45є par rapport aux murs. Solution 1. La contrainte sur la face supérieure est donnée : σz = -60 MPa. La contrainte sur la face libre est σу = 0. La contrainte sur les faces latérales peut être trouvée à partir de la condition que la déformation du cube soit égale à zéro dans la direction de l'axe x en raison de la raideur des parois : d'où, à σу = 0 σх- μσz = 0, par conséquent, = μσz = -0,3 ּ 60 = -18 MPa. 43 Fig. 1.30 Les faces du cube sont les zones principales, car elles ne subissent aucune contrainte de cisaillement. Les contraintes principales sont σ1 = σу = 0 ; 2 = x = -18MPa; 3 = z = -60 MPa ; 2. Définissez les déformations des arêtes du cube. Déformations linéaires relatives Déformation absolue (raccourcissement) Déformation relative dans le sens de l'axe Y Déformation absolue (allongement) Variation relative du volume du cube Variation absolue du volume (diminution) 3. L'énergie potentielle de déformation (spécifique) est égale. L'énergie totale est égale à 4. Contrainte normale et de cisaillement sur le site incliné par rapport aux murs à un angle de 45є : La direction σα, est illustrée à la Fig. 2.30. Exemple 1.4 Un réservoir cylindrique en acier à paroi mince est rempli d'eau à un niveau de H = 10 m. À une distance de H / 3 du fond au point K, deux jauges de contrainte A et B sont installées à un angle de = 30 , perpendiculaires entre elles (Fig. 1.31) avec une base S = 20 mm et le prix de division K = 0,0005 mm / div. Déterminer les contraintes principales au point K, ainsi que la contrainte en direction des jauges de contrainte et leurs lectures. Soit : Le diamètre du réservoir D = 200 cm, l'épaisseur de paroi t = 0,4 cm, le coefficient de déformation transversale de l'acier = 0,25, la densité du liquide γ = 10 kN/m3. Ne pas tenir compte du poids du réservoir. Solution. 1. Déterminer les contraintes principales au point To. Et. Considérez l'équilibre de la partie inférieure de coupure du réservoir (Fig. 1.32). 45 Fig. 1.31 Fig. 1.32 Nous composons l'équation d'équilibre pour la somme des projections de toutes les forces sur l'axe des ordonnées : - le poids de la colonne d'eau. De là, nous trouvons la contrainte normale (méridienne) y dans la section transversale du réservoir. Déterminer les contraintes normales (contraintes circonférentielles) dans la direction de l'axe x - x. Pour ce faire, considérons l'équilibre d'un demi-anneau de largeur égale à une unité de longueur, coupé au niveau du point K (Fig. 1.33). La force élémentaire dP arrivant à l'aire élémentaire de l'angle d est déterminée par la formule - la pression du liquide au point K. Nous composons l'équation d'équilibre du semi-anneau sur l'axe des x: À partir de là, nous obtenons Conformément avec la désignation des contraintes principales, en comparant et y, on a la contrainte principale Elle est petite par rapport à 2 et peut être négligée. Pour un élément infinitésimal sélectionné au voisinage du point K, (abcd), les contraintes principales sont représentées en (Fig. 1.34). Déterminer les contraintes normales dans le sens d'installation des jauges de contrainte. Nous vérifions l'exactitude des tensions trouvées. La condition suivante doit être remplie : L'écart est non significatif, en raison des arrondis dans les calculs. Déterminer les déformations relatives dans le sens d'installation des jauges de contrainte. Nous utilisons la loi de Hooke généralisée. (31.390160.5261.90016) 0.594014 002019 Réglez les lectures des jauges de contrainte. On utilise les formules pour déterminer les déformations relatives en fonction des lectures des jauges de contrainte : n - les lectures de la jauge de contrainte ; i S - base du tensiomètre; i К - prix de division. De là, nous avons les lectures des jauges de contrainte : Exemple 1.5 Calculer la coupe de la jambe de chevron dans le serrage, en déterminant la profondeur de la coupe hВР et la longueur de la partie saillante du serrage l (Fig. 1.35). Les dimensions de la section transversale du pied et le serrage sont indiqués sur le dessin. Injection. La force de calcul dans la jambe, déterminée en tenant compte des facteurs de surcharge, est égale à NP 83 kN. Solution. Le calcul est effectué en fonction de l'état limite. Déterminer la profondeur de coupe hВР en fonction de l'écrasement. Le calcul est effectué pour la plate-forme de serrage, car la normale à cette plate-forme fait un angle de = 30 et la résistance calculée pour celle-ci est inférieure à celle de la jambe, car la zone de déformation de la jambe est perpendiculaire aux fibres. La taille de la zone d'effondrement : d'où vient la profondeur de la coupe. La résistance de conception à l'effondrement est déterminée par la formule (1,52). La profondeur de la coupe. La longueur de la partie saillante du lCK de serrage est déterminée à partir de la calcul pour l'écaillage. Aire d'écaillage La valeur de la résistance de calcul moyenne à l'écaillage est trouvée par la formule (1,54) : Dans ce cas, l'épaulement e est de 11 cm. Selon les normes de conception, la longueur de la zone de clivage ne doit pas être inférieure à 3e ou 1,5h. Par conséquent, nous prenons approximativement la longueur requise de la zone de défrichement de 0,33 m, c'est-à-dire qu'elle correspond à la valeur précédemment prévue.
Les éléments avec lesquels diverses pièces sont connectées, par exemple les rivets, les goupilles, les boulons (sans espace) sont principalement calculés pour le cisaillement.
Le calcul est approximatif et basé sur les hypothèses suivantes :
1) dans les sections transversales des éléments considérés, un seul facteur de force apparaît - la force transversale Q;
2) en présence de plusieurs éléments de connexion identiques, chacun d'eux perçoit la même part de la charge totale transmise par la connexion ;
3) les contraintes de cisaillement sont uniformément réparties sur la section.
La condition de résistance est exprimée par la formule :
τ moy = Q / F moy ≤ [τ] moy, où
Q- force latérale (avec plusieurs jeéléments de connexion pour la transmission de puissance P av
Q = P cf / je);
mer- contrainte de cisaillement dans le plan de la section calculée ;
F cf- zone de coupe ;
[τ] Mercredi- contrainte de cisaillement admissible.
L'effondrement est généralement calculé sur des éléments reliés par des rivets, des goupilles, des boulons. Les parois des trous dans les zones où les éléments de liaison sont installés sont soumises à un écrasement. Habituellement, la conception de l'effondrement est réalisée pour les joints dont les éléments de connexion sont conçus pour se cisailler.
Lors du calcul de l'écrasement, on suppose que les forces d'interaction entre les pièces en contact sont uniformément réparties sur la surface de contact et en chaque point sont normales à cette surface. La force d'interaction est généralement appelée contrainte de déformation.
Le calcul de la résistance est effectué selon la formule :
cm = P cm / (i´F cm) ≤ [σ] cm, où
cm- contrainte effective d'effondrement ;
Pcm- l'effort transmis par la connexion ;
je- le nombre d'éléments de liaison ;
Fcm- la superficie estimée de l'effondrement ;
[σ] cm- contrainte d'effondrement admissible.
De l'hypothèse sur la nature de la répartition des forces d'interaction sur la surface de contact, il s'ensuit que si le contact est effectué sur la surface du demi-cylindre, alors l'aire calculée Fcm est égal à l'aire de la projection de la surface de contact sur le plan diamétral, c'est-à-dire égal au diamètre de la surface cylindrique réà sa hauteur δ :
Fcm = d´ δ
Exemple 10.3
Les tiges I et II sont reliées par la broche III et sont soumises à des efforts de traction (Fig. 10.4). Déterminer les dimensions d, D, d pièces, c, e constructions si [σ] p= 120 MN/m2, [τ] Mercredi= 80 MN / m 2, [σ] cm= 240 MN/m2.
Graphique 10.4
Solution .
1. Déterminez le diamètre de la broche à partir de la condition de résistance au cisaillement :
Nous acceptons d = 16 × 10 -3 m
2. Déterminer le diamètre de la tige I à partir de l'état de la résistance à la traction (la section transversale de la tige affaiblie par le trou pour la goupille est illustrée à la Fig. 10.4b):
94,2 × 10 3 10 d 2 - 1920´10 3 d - 30 0
Ayant décidé inégalité au carré, on a d³30.8´10 -3 m Nous acceptons d = 31´10 -3 m.
3. Déterminer le diamètre extérieur de la tige II à partir de l'état de la résistance à la traction, la section affaiblie par le trou pour la goupille (Fig. 10.4c) :
94,2´10 3 ´D 2 -192´10 3 ´D-61³0
En résolvant l'équation quadratique, on obtient D = 37,7 ´10 -3 m... Prenons D = 38 ´10 -3 m.
4. Vérifions si l'épaisseur des parois de la tige II est suffisante selon la condition de résistance à l'écrasement :
Étant donné que la contrainte d'écrasement dépasse la contrainte d'écrasement admissible, nous augmenterons le diamètre extérieur de la tige afin que la condition de résistance à l'écrasement soit satisfaite :
Nous acceptons ré= 39 × 10 -3 m.
5. Déterminer la taille c de l'état de la résistance au cisaillement de la partie inférieure de la barre II :
Nous accepterons c= 24 × 10 -3 m.
6. Déterminer la taille e à partir de l'état de la résistance au cisaillement de la partie supérieure de la barre I :
Nous accepterons e= 6× 10 -3 m.
Exemple 10.4
Vérifier la résistance du joint riveté (Fig.10.5a), si [τ] Mercredi= 100 MN / m 2 , [σ] cm= 200 MN / m 2 , [σ] p= 140 Mn/m2.
Graphique 10.5
Solution.
Le calcul comprend la vérification de la résistance au cisaillement des rivets, des parois des trous dans les tôles et des revêtements pour l'écrasement, ainsi que des tôles et des revêtements pour la tension.
La contrainte de cisaillement dans les rivets est déterminée par la formule :
Dans le cas considéré je= 9 (nombre de rivets d'un côté du joint), k= 2 (rivets à double cisaillement).
cf = 550´10 3 / (9´2´ ((3,14´0,02 2) / 4)) = 97,2 MN / m 2
Résistance au cisaillement excessive des rivets :
La contrainte d'écrasement des parois des trous est déterminée par la formule :
Dans un joint donné, la zone d'effondrement des parois des trous des tôles à assembler est inférieure aux parois des trous des garnitures. Par conséquent, les contraintes d'écrasement des tôles sont plus importantes que celles des overlays, on prend donc calc = δ = 16 ´10 -3 m.
En remplaçant des valeurs numériques, on obtient :
cm= 550´10 3 / (9´16´10 -3 ´20´10 -3) = 191 Mn / m 2
Excès de force pour écraser les parois des trous:
Pour vérifier la résistance à la traction des tôles, on calcule les contraintes par la formule :
N- effort normal dans une section dangereuse ;
F net- surface transversale nette, c'est-à-dire section transversale de la feuille moins son affaiblissement par les trous de rivet.
Pour déterminer la section dangereuse, nous construisons un diagramme des efforts longitudinaux pour les tôles (Figure 10.5 d). Lors de la construction du schéma, nous utiliserons l'hypothèse d'une répartition uniforme de la force entre les rivets. Les zones des sections affaiblies sont différentes, il n'est donc pas clair laquelle d'entre elles est dangereuse. Nous vérifions chacune des sections affaiblies, qui sont illustrées à la figure 10.5c.
Section I-I
Section II-II
Section III-III
ça s'est avéré dangereux section I-I; la contrainte dans cette section est d'environ 2% supérieure à la contrainte admissible.
Vérifier la superposition revient au même que vérifier les feuilles. Le diagramme des efforts longitudinaux dans le patin est illustré à la figure 10.5d. Il est évident que la section III-III est dangereuse pour le revêtement, car cette section a la plus petite surface (Fig.10.5e) et la plus grande force longitudinale s'y produit N = 0,5P.
Contraintes dans la partie dangereuse de la doublure :
Les contraintes dans la section dangereuse du revêtement sont supérieures d'environ 3,5 % à celles admissibles.