Type d'emploi : 7

État

La droite y = 3x + 2 est tangente au graphique de la fonction y = -12x ^ 2 + bx-10. Trouvez b, étant donné que l'abscisse du point de contact est inférieure à zéro.

Solution

Soit x_0 l'abscisse du point sur le graphique de la fonction y = -12x ^ 2 + bx-10, par lequel passe la tangente à ce graphique.

La valeur de la dérivée au point x_0 est égale à la pente de la tangente, c'est-à-dire y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. Par contre, le point tangent appartient à la fois au graphe de la fonction et la tangente, c'est-à-dire -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. On obtient le système d'équations \ begin (cas) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ fin (cas)

En résolvant ce système, nous obtenons x_0 ^ 2 = 1, ce qui signifie soit x_0 = -1, soit x_0 = 1. Selon la condition, l'abscisse du point de contact est inférieure à zéro, donc x_0 = -1, puis b = 3 + 24x_0 = -21.

Réponse

Type d'emploi : 7
Sujet: Signification géométrique dérivé. Tangente du graphe de fonction

État

La droite y = -3x + 4 est parallèle à la tangente au graphique de la fonction y = -x ^ 2 + 5x-7. Trouvez l'abscisse du point de contact.

Solution

La pente de la droite vers le graphique de la fonction y = -x ^ 2 + 5x-7 en un point arbitraire x_0 est égale à y "(x_0). Mais y" = - 2x + 5, donc y "(x_0 ) = - 2x_0 + 5. Angulaire le coefficient de la droite y = -3x + 4 spécifié dans la condition est égal à -3. Les droites parallèles ont la même pente. On trouve donc la valeur x_0 telle que = -2x_0 + 5 = -3.

On obtient : x_0 = 4.

Réponse

Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. Niveau de profil ". Éd. FF Lyssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Signification géométrique de la dérivée. Tangente du graphe de fonction

État

Solution

A partir de la figure, nous déterminons que la tangente passe par les points A (-6; 2) et B (-1; 1). On note C (-6; 1) le point d'intersection des droites x = -6 et y = 1, et par \alpha l'angle ABC (sur la figure on voit qu'il est aigu). Alors la droite AB forme un angle obtus \pi - \alpha avec la direction positive de l'axe Ox.

Comme vous le savez, tg (\pi - \alpha) sera la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x_0. remarquerez que tg \ alpha = \ frac (AC) (CB) = \ frac (2-1) (- 1 - (- 6)) = \ frac15. De là, en utilisant les formules de réduction, on obtient : tg (\pi - \alpha) = -tg\alpha = -\frac15 = -0,2.

Réponse

Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. Niveau de profil ". Éd. FF Lyssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Signification géométrique de la dérivée. Tangente du graphe de fonction

État

La droite y = -2x-4 est tangente au graphique de la fonction y = 16x ^ 2 + bx + 12. Trouvez b, étant donné que l'abscisse du point de contact est supérieure à zéro.

Solution

Soit x_0 l'abscisse d'un point sur le graphique de la fonction y = 16x ^ 2 + bx + 12, par laquelle

est une tangente à ce graphique.

La valeur de la dérivée au point x_0 est égale à la pente de la tangente, c'est-à-dire y "(x_0) = 32x_0 + b = -2. Par contre, le point tangent appartient à la fois au graphe de la fonction et la tangente, c'est-à-dire 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 = - 2x_0-4. On obtient le système d'équations \ begin (cas) 32x_0 + b = -2, \\ 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 = -2x_0-4. \ fin (cas)

En résolvant le système, nous obtenons x_0 ^ 2 = 1, ce qui signifie soit x_0 = -1, soit x_0 = 1. Selon la condition, l'abscisse du point de contact est supérieure à zéro, donc x_0 = 1, alors b = -2-32x_0 = -34.

Réponse

Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. Niveau de profil ". Éd. FF Lyssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Signification géométrique de la dérivée. Tangente du graphe de fonction

État

La figure montre le graphe de la fonction y = f (x), définie sur l'intervalle (-2 ; 8). Déterminer le nombre de points auxquels la tangente au graphique de la fonction est parallèle à la droite y = 6.

Solution

La ligne y = 6 est parallèle à l'axe Ox. Par conséquent, nous trouvons des points auxquels la tangente au graphique de la fonction est parallèle à l'axe Ox. Sur ce graphique, ces points sont des points extrêmes (points de maximum ou de minimum). Comme vous pouvez le voir, il y a 4 points extremum.

Réponse

Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. Niveau de profil ". Éd. FF Lyssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Signification géométrique de la dérivée. Tangente du graphe de fonction

État

La ligne y = 4x-6 est parallèle à la tangente au graphique de la fonction y = x ^ 2-4x + 9. Trouvez l'abscisse du point de contact.

Solution

La pente de la tangente au graphe de la fonction y = x ^ 2-4x + 9 en un point arbitraire x_0 est égale à y "(x_0). Mais y" = 2x-4, donc y "(x_0) = 2x_0 -4. La pente de la tangente y = 4x-7, spécifiée dans la condition, est égale à 4. Les droites parallèles ont la même pente. On trouve donc la valeur x_0 telle que 2x_0-4 = 4. On obtient : x_0 = 4.

Réponse

Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen-2017. Niveau de profil ". Éd. FF Lyssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Type d'emploi : 7
Sujet : Signification géométrique de la dérivée. Tangente du graphe de fonction

État

La figure montre le graphique de la fonction y = f (x) et sa tangente au point d'abscisse x_0. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction f (x) au point x_0.

Solution

A partir de la figure, nous déterminons que la tangente passe par les points A (1; 1) et B (5; 4). On note C (5; 1) le point d'intersection des droites x = 5 et y = 1, et par \alpha l'angle BAC (sur la figure on voit qu'il est aigu). Alors la droite AB fait un angle \alpha avec la direction positive de l'axe Ox.

Tangente Est une droite passant par un point de la courbe et coïncidant avec lui en ce point jusqu'au premier ordre (Fig. 1).

Une autre définition: c'est la position limite de la sécante en X→0.

Explication : Prenez une ligne droite qui coupe la courbe en deux points : UNE et b(voir figure). C'est une sécante. Nous allons le faire pivoter dans le sens des aiguilles d'une montre jusqu'à ce qu'il ne trouve qu'un seul point commun avec la courbe. Cela nous donnera une ligne tangente.

Définition stricte de la tangente :

Tangente du graphe de fonction F différentiable au point Xô, est une droite passant par le point ( Xô; F(Xô)) et ayant la pente F′( Xô).

La pente a une droite de la forme y =kx +b... Coefficient k et est pente cette ligne droite.

La pente est égale à la tangente angle aigu formé par cette droite d'axe des abscisses :

Ici, l'angle est l'angle entre la droite y =kx +b et la direction positive (c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) de l'abscisse. On l'appelle l'angle d'inclinaison de la droite(Fig. 1 et 2).

Si l'angle d'inclinaison est droit y =kx +b aigu, alors la pente est un nombre positif. Le graphique est croissant (Fig. 1).

Si l'angle d'inclinaison est droit y =kx +b obtus, alors la pente est négative. Le graphique est décroissant (Fig. 2).

Si la droite est parallèle à l'axe des abscisses, alors l'angle d'inclinaison de la droite est nul. Dans ce cas, la pente de la droite est également nulle (puisque la tangente de zéro est nulle). L'équation de la droite aura la forme y = b (Fig. 3).

Si l'angle d'inclinaison d'une droite est de 90º (π / 2), c'est-à-dire qu'il est perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors la droite est donnée par l'égalité x =c, où c- un nombre réel (fig. 4).

Équation d'une tangente à un graphique d'une fonctionoui = F(X) à ce point Xô:

Exemple : Trouver l'équation de la tangente au graphique de la fonction F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 au point d'abscisse 2.

Solution .

Nous suivons l'algorithme.

1) Point de contact Xô est égal à 2. Calculer F(Xô):

F(Xô) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Trouver F′( X). Pour ce faire, nous appliquons les formules de différenciation décrites dans la section précédente. Selon ces formules, X 2 = 2X, une X 3 = 3X 2. Veux dire:

F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Maintenant en utilisant la valeur résultante F′( X), on calcule F′( Xô):

F′( Xô) = F(2) = 3 2 2 - 4 ∙ 2 = 12 - 8 = 4.

3) Donc, nous avons toutes les données nécessaires : Xô = 2, F(Xô) = 1, F ′( Xô) = 4. Remplacez ces nombres dans l'équation tangente et trouvez la solution finale :

y = F(Xô) + F′( Xô) (x - x о) = 1 + 4 (x - 2) = 1 + 4x - 8 = –7 + 4x = 4x - 7.

Réponse : y = 4x - 7.

Équation d'une tangente à un graphique d'une fonction

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
région de Tcheliabinsk

Équation d'une tangente à un graphique d'une fonction

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Au stade actuel du développement de l'éducation, l'une de ses tâches principales est la formation d'une personnalité créative. La capacité des étudiants à être créatifs ne peut être développée que s'ils sont systématiquement impliqués dans les fondements des activités de recherche. La base de l'utilisation de leurs pouvoirs créatifs, de leurs capacités et de leurs talents par les étudiants est la connaissance et les compétences à part entière formées. À cet égard, le problème de la formation d'un système de connaissances et de compétences de base sur chaque sujet du cours de mathématiques à l'école n'est pas négligeable. Dans le même temps, les compétences à part entière devraient être l'objectif didactique non pas des tâches individuelles, mais de leur système soigneusement pensé. Au sens le plus large, un système est compris comme un ensemble d'éléments interconnectés qui ont une intégrité et une structure stable.

Considérez une méthodologie pour enseigner aux élèves comment établir une équation d'une tangente à un graphique d'une fonction. En substance, tous les problèmes de recherche de l'équation tangente sont réduits à la nécessité de sélectionner dans un ensemble (faisceau, famille) de droites celles qui satisfont à une certaine exigence - sont tangentes au graphique d'une certaine fonction. De plus, l'ensemble de lignes à partir duquel la sélection est effectuée peut être spécifié de deux manières :

a) un point situé sur le plan xOy (faisceau central de droites) ;
b) la pente (faisceau parallèle de droites).

A cet égard, lors de l'étude du thème « Tangente au graphe d'une fonction » afin d'isoler les éléments du système, nous avons identifié deux types de tâches :

1) problèmes sur la tangente, donnés par le point par lequel elle passe ;
2) le problème sur la tangente donné par sa pente.

L'apprentissage de la résolution de problèmes sur une ligne tangente a été réalisé à l'aide de l'algorithme proposé par A.G. Mordkovitch. Sa différence fondamentale avec celles déjà connues est que l'abscisse du point tangent est désignée par la lettre a (au lieu de x0), et donc l'équation de la tangente prend la forme

y = f (a) + f "(a) (x - a)

(comparer avec y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Cette technique méthodique, à notre avis, permet aux élèves de comprendre plus rapidement et plus facilement où sont écrites les coordonnées du point courant l'équation générale de la ligne tangente, et où sont les points de contact.

Algorithme pour établir l'équation de la tangente au graphe de la fonction y = f (x)

1. Désignez l'abscisse du point de tangence par la lettre a.
2. Trouvez f (a).
3. Trouvez f "(x) et f" (a).
4. Remplacez les nombres trouvés a, f (a), f "(a) dans l'équation générale de la ligne tangente y = f (a) = f" (a) (x - a).

Cet algorithme peut être compilé sur la base de l'auto-sélection des opérations par les étudiants et de la séquence de leur mise en œuvre.

La pratique a montré que la solution séquentielle de chacun des problèmes clés à l'aide d'un algorithme permet de former les compétences d'écriture de l'équation de la tangente au graphe d'une fonction par étapes, et les étapes de l'algorithme servent de référence points pour les actions. Cette approche correspond à la théorie de la formation étape par étape des actions mentales, développée par P.Ya. Galperin et N.F. Talyzine.

Dans le premier type de tâches, deux tâches clés ont été identifiées :

• la tangente passe par un point de la courbe (tâche 1);
• la tangente passe par un point qui ne se trouve pas sur la courbe (problème 2).

Tâche 1. Faire l'équation de la tangente au graphique de la fonction au point M (3 ; - 2).

Solution. Le point M (3 ; - 2) est le point de tangence, puisque

1.a = 3 - abscisse du point de tangence.
2.f (3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f" (3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - équation tangente.

Problème 2. Écrivez les équations de toutes les tangentes au graphique de la fonction y = - x 2 - 4x + 2 passant par le point M (- 3; 6).

Solution. Le point M (- 3; 6) n'est pas un point tangent, puisque f (- 3) 6 (fig. 2).

2.f (a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f" (a) = - 2a - 4.
4.y = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) est l'équation de la tangente.

La tangente passe par le point M (- 3; 6), donc ses coordonnées satisfont à l'équation de la tangente.

6 = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ un 1 = - 4, un 2 = - 2.

Si a = - 4, alors l'équation tangente est y = 4x + 18.

Si a = - 2, alors l'équation tangente a la forme y = 6.

Dans le deuxième type, les tâches clés seront les suivantes :

• la tangente est parallèle à une droite (problème 3) ;
• la tangente passe sous un certain angle à la droite donnée (tâche 4).

Problème 3. Écrivez les équations de toutes les tangentes au graphique de la fonction y = x 3 - 3x 2 + 3, parallèle à la droite y = 9x + 1.

Solution.

1.a - abscisse du point de tangence.
2.f (a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f" (a) = 3a 2 - 6a.

Mais, d'autre part, f"(a) = 9 (condition de parallélisme). Il faut donc résoudre l'équation 3a 2 - 6a = 9. Ses racines sont a = - 1, a = 3 (Fig. 3 ).

4.1) a = - 1;
2) f (- 1) = - 1 ;
3) f"(-1) = 9 ;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - équation tangente ;

1) a = 3 ;
2) f (3) = 3;
3) f "(3) = 9 ;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x - 24 - équation tangente.

Problème 4. Écrivez l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = 0,5x 2 - 3x + 1, passant à un angle de 45 ° par rapport à la droite y = 0 (Fig. 4).

Solution. A partir de la condition f"(a) = tan 45°, on trouve a : a - 3 = 1^ a = 4.

1.a = 4 - abscisse du point de tangence.
2.f (4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4.y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x - 7 - équation tangente.

Il est facile de montrer que résoudre tout autre problème revient à résoudre un ou plusieurs problèmes clés. Considérez les deux tâches suivantes à titre d'exemple.

1. Écrivez les équations des tangentes à la parabole y = 2x 2 - 5x - 2, si les tangentes se coupent à angle droit et que l'une d'elles touche la parabole en un point d'abscisse 3 (Fig. 5).

Solution. L'abscisse du point de contact étant donnée, la première partie de la solution est réduite à la tâche clé 1.

1.a = 3 - abscisse du point de tangence d'un des côtés de l'angle droit.
2.f (3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f" (3) = 7.
4.y = 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 - l'équation de la première ligne tangente.

Laissez un - l'angle d'inclinaison de la première tangente. Puisque les tangentes sont perpendiculaires, alors est l'angle d'inclinaison de la deuxième tangente. De l'équation y = 7x - 20 de la première tangente, on a tg a = 7. Trouver

Cela signifie que la pente de la deuxième tangente est.

Une autre solution est réduite à la tâche clé 3.

Soit B (c; f (c)) le point de tangence de la deuxième droite, alors

1. - abscisse du deuxième point de contact.
2.
3.
4.
- l'équation de la deuxième tangente.

Noter. La pente d'une droite tangente peut être trouvée plus facilement si les élèves connaissent le rapport des coefficients des droites perpendiculaires k 1 k 2 = - 1.

2. Écrivez les équations de toutes les tangentes communes aux graphiques de fonctions

Solution. La tâche se réduit à trouver l'abscisse des points de tangence des tangentes communes, c'est-à-dire à résoudre le problème clé 1 sous sa forme générale, en élaborant un système d'équations et sa solution ultérieure (Fig. 6).

1. Soit a l'abscisse du point de tangence se trouvant sur le graphe de la fonction y = x 2 + x + 1.
2.f (a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4.y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) = (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Soit c l'abscisse du point de tangence se trouvant sur le graphe de la fonction
2.
3. f "(c) = c.
4.

Puisque les tangentes sont communes, alors

Donc y = x + 1 et y = - 3x - 3 sont des tangentes communes.

L'objectif principal des tâches envisagées est de préparer les élèves à l'auto-reconnaissance du type de tâche clé lors de la résolution de problèmes plus complexes qui nécessitent certaines compétences de recherche (capacité d'analyser, de comparer, de généraliser, d'émettre une hypothèse, etc.). Ces tâches incluent toute tâche dans laquelle la tâche clé est incluse en tant que composant. Considérons, à titre d'exemple, le problème (inverse du problème 1) pour trouver une fonction par la famille de ses tangentes.

3. Pour quels b et c les droites y = x et y = - 2x sont-elles tangentes au graphique de la fonction y = x 2 + bx + c ?

Solution.

Soit t l'abscisse du point de tangence de la droite y = x de parabole y = x 2 + bx + c ; p est l'abscisse du point de tangence de la droite y = - 2x avec la parabole y = x 2 + bx + c. Alors l'équation de la tangente y = x prend la forme y = (2t + b) x + c - t 2, et l'équation de la tangente y = - 2x prend la forme y = (2p + b) x + c - 2.

Composons et résolvons le système d'équations

Réponse:

Tâches pour une solution indépendante

1. Écrivez les équations des tangentes tracées au graphique de la fonction y = 2x 2 - 4x + 3 aux points d'intersection du graphique avec la droite y = x + 3.

Réponse : y = - 4x + 3, y = 6x - 9,5.

2. A quelles valeurs de a la tangente tracée au graphe de la fonction y = x 2 - ax au point du graphe d'abscisse x 0 = 1 passe-t-elle par le point M (2 ; 3) ?

Réponse : a = 0,5.

3. Pour quelles valeurs de p la ligne y = px - 5 touche-t-elle la courbe y = 3x 2 - 4x - 2 ?

Réponse : p 1 = - 10, p 2 = 2.

4. Trouvez tous les points communs du graphique de la fonction y = 3x - x 3 et la tangente tracée à ce graphique par le point P (0; 16).

Réponse : A (2 ; - 2), B (- 4 ; 52).

5. Trouvez la distance la plus courte entre la parabole y = x 2 + 6x + 10 et la droite

Réponse:

6. Sur la courbe y = x 2 - x + 1 trouvez le point auquel la tangente au graphique est parallèle à la ligne y - 3x + 1 = 0.

Réponse : M (2 ; 3).

7. Écrivez l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = x 2 + 2x - | 4x | qui le touche en deux points. Faites un dessin.

Réponse : y = 2x - 4.

8. Démontrer que la droite y = 2x - 1 n'intersecte pas la courbe y = x 4 + 3x 2 + 2x. Trouvez la distance entre leurs points les plus proches.

Réponse:

9. Sur la parabole y = x 2, on prend deux points avec des abscisses x 1 = 1, x 2 = 3. Une ligne sécante est tracée à travers ces points. En quel point de la parabole la tangente à celle-ci sera-t-elle parallèle à la sécante tracée ? Écrivez les équations sécantes et tangentes.

Réponse : y = 4x - 3 - équation sécante ; y = 4x - 4 - équation tangente.

10. Trouvez l'angle q entre les tangentes au graphique de la fonction y = x 3 - 4x 2 + 3x + 1, tracées aux points d'abscisse 0 et 1.

Réponse : q = 45°.

11. En quels points la tangente au graphique de la fonction fait-elle un angle de 135° avec l'axe Ox ?

Réponse : A (0 ; - 1), B (4 ; 3).

12.Au point A (1; 8) de la courbe une tangente est tracée. Trouvez la longueur de la ligne tangente entre les axes de coordonnées.

Réponse:

13. Écrivez l'équation de toutes les tangentes communes aux graphiques des fonctions y = x 2 - x + 1 et y = 2x 2 - x + 0,5.

Réponse : y = - 3x et y = x.

14. Trouver la distance entre les tangentes au graphique de la fonction parallèle à l'axe des abscisses.

Réponse:

15. Déterminez à quels angles la parabole y = x 2 + 2x - 8 coupe l'axe des abscisses.

Réponse : q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (- 6).

16. Sur le graphique de la fonction trouvez tous les points dont la tangente à chacun de ce graphique coupe les demi-axes positifs des coordonnées, en en coupant des segments égaux.

Réponse : A (- 3 ; 11).

17. La droite y = 2x + 7 et la parabole y = x 2 - 1 se rencontrent aux points M et N. Trouvez le point d'intersection K des droites tangentes à la parabole aux points M et N.

Réponse : K (1 ; - 9).

18. Pour quelles valeurs de b la droite y = 9x + b est-elle tangente au graphique de la fonction y = x 3 - 3x + 15 ?

Réponse 1; 31.

19. Pour quelles valeurs de k la droite y = kx - 10 n'a qu'un point commun avec le graphe de la fonction y = 2x 2 + 3x - 2 ? Pour les valeurs trouvées de k, déterminez les coordonnées du point.

Réponse : k 1 = - 5, A (- 2 ; 0) ; k 2 = 11, B (2; 12).

20. A quelles valeurs de b la tangente tracée au graphique de la fonction y = bx 3 - 2x 2 - 4 au point d'abscisse x 0 = 2 passe-t-elle par le point M (1 ; 8) ?

Réponse : b = - 3.

21. Une parabole dont le sommet est sur l'axe Ox touche la droite passant par les points A (1; 2) et B (2; 4), au point B. Trouvez l'équation de la parabole.

Réponse:

22. A quelle valeur du coefficient k la parabole y = x 2 + kx + 1 touche-t-elle l'axe Ox ?

Réponse : k = q 2.

23. Trouvez les angles entre la ligne y = x + 2 et la courbe y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Trouvez la distance entre les génératrices tangentes au graphique de la fonction avec une direction positive de l'axe Ox, un angle de 45°.

Réponse:

30. Trouvez le lieu des sommets de toutes les paraboles de la forme y = x 2 + ax + b touchant la ligne y = 4x - 1.

Réponse : ligne y = 4x + 3.

Littérature

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algèbre et début d'analyse : 3600 problèmes pour les écoliers et les entrants à l'université. - M., Outarde, 1999.
2. Mordkovich A. Le quatrième séminaire pour les jeunes enseignants. Le sujet est "Applications dérivées". - M., "Mathématiques", n° 21/94.
3. Formation de connaissances et de compétences basées sur la théorie de l'assimilation étape par étape des actions mentales. / Éd. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzine. - M., Université d'État de Moscou, 1968.

Instructions

Déterminez la pente de la tangente à la courbe au point M.
La courbe représentant le graphique de la fonction y = f (x) est continue dans un certain voisinage du point M (y compris le point M lui-même).

Si la valeur f '(x0) n'existe pas, alors soit il n'y a pas de ligne tangente, soit elle s'étend verticalement. De ce fait, la présence de la dérivée de la fonction au point x0 est due à l'existence d'une tangente non verticale en contact avec le graphe de la fonction au point (x0, f (x0)). Dans ce cas, la pente de la tangente sera f "(x0). Ainsi, la signification géométrique de la dérivée devient claire - le calcul de la pente de la tangente.

Trouvez la valeur de l'abscisse du point de tangence, qui est indiquée par la lettre "a". S'il coïncide avec le point tangent donné, alors "a" sera sa coordonnée x. Déterminer la valeur les fonctions f (a) en substituant dans l'équation les fonctions la valeur de l'abscisse.

Trouver la dérivée première de l'équation les fonctions f'(x) et insérez la valeur du point "a".

Prenez l'équation générale de la tangente, qui est définie comme y = f (a) = f (a) (x - a), et remplacez les valeurs trouvées de a, f (a), f "(a) dans En conséquence, la solution du graphe sera trouvée et tangente.

Résolvez le problème d'une manière différente si le point tangent spécifié ne coïncide pas avec le point tangent. Dans ce cas, il est nécessaire de substituer "a" dans l'équation tangente au lieu de nombres. Après cela, remplacez les lettres "x" et "y" par la valeur des coordonnées du point donné. Résoudre l'équation résultante dans laquelle "a" est inconnu. Mettez la valeur résultante dans l'équation tangente.

Faire l'équation de la ligne tangente avec la lettre "a" si l'équation est donnée dans l'énoncé du problème les fonctions et l'équation de la droite parallèle par rapport à la tangente désirée. Après cela, vous avez besoin de la dérivée les fonctions, de sorte que la coordonnée au point "a". Branchez la valeur correspondante dans l'équation de la tangente et résolvez la fonction.

Considérez la figure suivante :

Il décrit une fonction y = f (x), qui est dérivable au point a. Point marqué M de coordonnées (a; f (a)). Une sécante MR est tracée à travers un point arbitraire P (a + ∆x; f (a + ∆x)) du graphe.

Si maintenant le point P est déplacé selon le graphique vers le point M, alors la ligne MP tournera autour du point M. Dans ce cas, ∆x tendra vers zéro. Par conséquent, nous pouvons formuler la définition de la tangente au graphe de la fonction.

Tangente du graphe de fonction

La tangente au graphe de la fonction est la position limite de la sécante lorsque l'incrément de l'argument tend vers zéro. Il faut comprendre que l'existence de la dérivée de la fonction f au point x0 signifie qu'en ce point du graphe il existe tangenteà lui.

Dans ce cas, la pente de la tangente sera égale à la dérivée de cette fonction en ce point f'(x0). C'est la signification géométrique de la dérivée. La tangente au graphique de la fonction f dérivable au point x0 est une droite passant par le point (x0; f (x0)) et ayant la pente f '(x0).

Équation tangente

Essayons d'obtenir l'équation de la tangente au graphique d'une fonction f au point A (x0; f (x0)). L'équation d'une droite de pente k a vue suivante:

Puisque notre pente est égale à la dérivée f'(x0), alors l'équation prend la forme suivante : y = f'(x0)* x + b.

Calculons maintenant la valeur de b. Pour ce faire, on utilise le fait que la fonction passe par le point A.

f (x0) = f '(x0) * x0 + b, à partir de là, nous exprimons b et obtenons b = f (x0) - f' (x0) * x0.

Remplacez la valeur résultante dans l'équation de la tangente :

y = f '(x0) * x + b = f' (x0) * x + f (x0) - f '(x0) * x0 = f (x0) + f' (x0) * (x - x0).

y = f (x0) + f '(x0) * (x - x0).

Considérons l'exemple suivant : trouvez l'équation de la tangente au graphique de la fonction f (x) = x 3 - 2 * x 2 + 1 au point x = 2.

2.f (x0) = f (2) = 2 2 - 2 * 2 2 + 1 = 1.

3.f'(x) = 3 * x 2 - 4 * x.

4.f '(x0) = f' (2) = 3 * 2 2 - 4 * 2 = 4.

5. Substituez les valeurs obtenues dans la formule de la tangente, nous obtenons : y = 1 + 4 * (x - 2). En développant les parenthèses et en donnant des termes similaires, nous obtenons : y = 4 * x - 7.

Réponse : y = 4 * x - 7.

Schéma général pour l'élaboration d'une équation tangente au graphique de la fonction y = f (x):

1. Déterminez x0.

2. Calculez f (x0).

3. Calculer f'(x)