Comment résoudre la valeur la plus élevée d'une fonction. Valeur de fonction la plus grande et la plus petite

Laissez la fonction y =F(X) est continue sur le segment [ un B]. Comme vous le savez, une telle fonction sur ce segment atteint les valeurs les plus grandes et les plus petites. La fonction peut prendre ces valeurs soit au point intérieur du segment [ un B], ou sur le bord du segment.

Pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction sur le segment [ un B] nécessaire:

1) trouver les points critiques de la fonction dans l'intervalle ( un B);

2) calculer les valeurs de la fonction aux points critiques trouvés;

3) calculer les valeurs de la fonction aux extrémités du segment, c'est-à-dire pour X=une et x = b;

4) choisir la plus grande et la plus petite de toutes les valeurs calculées de la fonction.

Exemple. Trouver les valeurs de fonction les plus grandes et les plus petites

sur le segment.

Trouvez les points critiques :

Ces points se trouvent à l'intérieur du segment de ligne ; oui(1) = ‒ 3; oui(2) = ‒ 4; oui(0) = ‒ 8; oui(3) = 1;

à ce point X= 3 et au point X= 0.

Etude de la fonction de convexité et de point d'inflexion.

Une fonction oui = F (X) appelé convexe vers le haut entre (une, b) si son graphe se trouve sous la tangente tracée en tout point de cet intervalle, et est appelé convexe vers le bas (concave) si son graphique se trouve au-dessus de la ligne tangente.

Le point, au passage par lequel la convexité est remplacée par la concavité, ou vice versa, est appelé point d'inflexion.

Algorithme d'étude de la convexité et du point d'inflexion :

1. Trouvez les points critiques du second type, c'est-à-dire les points auxquels la dérivée seconde est nulle ou n'existe pas.

2. Dessinez les points critiques sur la droite numérique, en la divisant en intervalles. Trouvez le signe de la dérivée seconde à chaque intervalle ; si, alors la fonction est convexe vers le haut ; si, alors la fonction est convexe vers le bas.

3. Si, en passant par un point critique de seconde espèce, change de signe et qu'en ce point la dérivée seconde est égale à zéro, alors ce point est l'abscisse du point d'inflexion. Trouvez son ordonnée.

Asymptotes du graphe d'une fonction. Etude de la fonction des asymptotes.

Définition. L'asymptote du graphe d'une fonction s'appelle droit, qui a la propriété que la distance de n'importe quel point du graphique à cette droite tend vers zéro avec une distance illimitée à partir de l'origine du point du graphique.

Il existe trois types d'asymptotes : vertical, horizontal et incliné.

Définition. La ligne droite s'appelle asymptote verticale graphiques de fonction y = f (x) si au moins une des limites unilatérales de la fonction en ce point est égale à l'infini, c'est-à-dire

où est le point de discontinuité de la fonction, c'est-à-dire qu'elle n'appartient pas au domaine de définition.

Exemple.

RÉ ( oui) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 - point de rupture.

Définition. Droit y =UNE appelé asymptote horizontale graphiques de fonction y = f (x)à, si

Exemple.

Définition. Droit y =kx +b (k≠ 0) est appelé asymptote oblique graphiques de fonction y = f (x)à, où

Schéma général pour l'étude des fonctions et le tracé.

Algorithme de recherche de fonctiony = f (x) :

1. Trouver le domaine de la fonction ré (oui).

2. Trouver (si possible) les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées (à X= 0 et pour oui = 0).

3. Recherchez l'uniformité et l'impair de la fonction ( oui (‒ X) = oui (X) ‒ parité; oui(‒ X) = ‒ oui (X) ‒ impair).

4. Trouvez les asymptotes du graphe de la fonction.

5. Trouvez les intervalles de monotonie de la fonction.

6. Trouvez les extrema de la fonction.

7. Trouvez les intervalles de convexité (concavité) et les points d'inflexion du graphique de la fonction.

8. Sur la base des recherches effectuées, construisez un graphique de la fonction.

Exemple. Examinez la fonction et tracez-la.

1) ré (oui) =

X= 4 - point de rupture.

2) Quand X = 0,

(0; - 5) - point d'intersection avec oh.

À oui = 0,

3) oui(‒ X)= une fonction vue générale(ni pair ni impair).

4) Rechercher des asymptotes.

a) verticale

b) horizontale

c) trouver des asymptotes obliques où

Équation asymptote oblique

5) Dans cette équation, il n'est pas nécessaire de trouver les intervalles de monotonie de la fonction.

6)

Ces points critiques divisent tout le domaine de la fonction sur l'intervalle (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) et (10; + ∞). Il convient de présenter les résultats obtenus sous la forme du tableau suivant.

Comment trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment ?

Pour ça nous suivons l'algorithme bien connu:

1 ... On retrouve la fonction ODZ.

2 ... Trouver la dérivée de la fonction

3 ... Égaliser la dérivée à zéro

4 ... Nous trouvons les intervalles auxquels la dérivée conserve son signe, et à partir d'eux nous déterminons les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction :

Si sur l'intervalle I la dérivée de la fonction 0 "title =" (! LANG: f ^ (premier) (x)> 0">, то функция !} augmente dans cet intervalle.

Si la dérivée de la fonction sur l'intervalle I, alors la fonction diminue dans cet intervalle.

5 ... Nous trouvons points maximum et minimum de la fonction.

V le point maximum de la fonction, la dérivée change de signe de "+" à "-".

V le point minimum de la fonctionla dérivée change de signe de "-" à "+".

6 ... Trouver la valeur de la fonction aux extrémités du segment,

• puis on compare la valeur de la fonction aux extrémités du segment et aux points maximaux, et choisissez le plus grand d'entre eux, si nous devons trouver plus grande valeur les fonctions
• soit on compare la valeur de la fonction aux extrémités du segment et aux points minimaux, et choisir le plus petit d'entre eux si nous devons trouver la plus petite valeur de la fonction

Cependant, selon le comportement de la fonction sur le segment, cet algorithme peut être considérablement réduit.

Considérez la fonction ... Le graphique de cette fonction ressemble à ceci :

Considérons plusieurs exemples de résolution de problèmes de la banque ouverte de tâches pour

un . Tâche B15 (# 26695)

Sur le segment.

1. La fonction est définie pour toutes les valeurs réelles de x

Évidemment, ces équations n'ont pas de solutions, et la dérivée est positive pour toutes les valeurs de x. Par conséquent, la fonction augmente et prend sa plus grande valeur à l'extrémité droite de l'intervalle, c'est-à-dire à x = 0.

Réponse : 5.

2 . Tâche B15 (# 26702)

Trouver la plus grande valeur de fonction sur le segment.

1. Fonctions ODZ title = "(! LANG: x (pi) / 2 + (pi) k, k (in) (bbZ)">!}

La dérivée est égale à zéro à, cependant, à ces points, elle ne change pas de signe :

Par conséquent, title = "(! LANG: 3 / (cos ^ 2 (x))> = 3">, значит, title="3 / (cos ^ 2 (x)) - 3> = 0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} augmente et prend la plus grande valeur à l'extrémité droite de l'intervalle, à.

Pour rendre évident pourquoi la dérivée ne change pas de signe, nous transformons l'expression de la dérivée comme suit :

Titre = "(! LANG: y ^ (premier) = 3 / (cos ^ 2 (x)) - 3 = (3-3cos ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) = (3sin ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) = 3tg ^ 2 (x)> = 0">!}

Réponse : 5.

3. Tâche B15 (# 26708)

Trouvez la plus petite valeur de la fonction sur le segment.

1. Fonction ODZ : titre = "(! LANG : x (pi) / 2 + (pi) k, k (in) (bbZ)">!}

On place les racines de cette équation sur un cercle trigonométrique.

Il y a deux nombres entre les deux : et

Plaçons les signes. Pour ce faire, on définit le signe de la dérivée au point x = 0 : ... En passant par les points et la dérivée change de signe.

Représentons le changement de signe de la dérivée de la fonction sur la ligne de coordonnées :

Evidemment, le point est un point minimum (là la dérivée change de signe de "-" à "+"), et pour trouver la plus petite valeur de la fonction sur le segment, il faut comparer les valeurs de la fonction à le point minimum et à l'extrémité gauche du segment,.

Le processus consistant à trouver la valeur la plus petite et la plus grande d'une fonction sur un segment ressemble à un survol fascinant d'un objet (graphique de fonction) dans un hélicoptère, tirant à certains points d'un canon à longue portée et choisissant parmi ces points des points de contrôle très spéciaux coups. Les points sont choisis d'une certaine manière et selon certaines règles. Quelles sont les règles? Nous en parlerons plus loin.

Si la fonction oui = F(X) est continue sur le segment [ une, b], alors il atteint sur ce segment le plus petit et valeurs les plus élevées ... Cela peut se produire soit dans points extrêmes, ou aux extrémités du segment. Par conséquent, pour trouver le plus petit et valeurs de fonction maximales continue sur le segment [ une, b], vous devez calculer ses valeurs dans tous points critiques et aux extrémités du segment, puis choisissez le plus petit et le plus grand d'entre eux.

Laissez, par exemple, il est nécessaire de déterminer la plus grande valeur de la fonction F(X) sur le segment [ une, b]. Pour ce faire, trouvez tous ses points critiques se trouvant sur [ une, b] .

Point critique est appelé le point auquel fonction définie, et elle dérivé est nul ou n'existe pas. Ensuite, vous devez calculer les valeurs de la fonction aux points critiques. Et, enfin, il faut comparer les valeurs de la fonction aux points critiques et aux extrémités du segment ( F(une) et F(b)). Le plus grand de ces nombres sera la plus grande valeur de la fonction sur le segment [une, b] .

Les problèmes de trouver plus petites valeurs de fonction .

Rechercher ensemble les valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction

Exemple 1. Trouver les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur le segment [-1, 2] .

Solution. Trouvez la dérivée de cette fonction. Égalons la dérivée à zéro () et obtenons deux points critiques : et. Pour trouver les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur un segment donné, il suffit de calculer ses valeurs aux extrémités du segment et en un point, puisque le point n'appartient pas au segment [-1, 2]. Ces valeurs de fonction sont les suivantes :,,. Il s'ensuit que plus petite valeur de fonction(dans le graphique ci-dessous, il est marqué en rouge), égal à -7, est atteint à l'extrémité droite du segment - au point, et le meilleur(également en rouge sur le graphique), égal à 9, - au point critique.

Si une fonction est continue dans un intervalle et que cet intervalle n'est pas un segment (mais est, par exemple, un intervalle ; la différence entre un intervalle et un segment : les points limites de l'intervalle ne sont pas inclus dans l'intervalle, et la limite les points du segment sont inclus dans le segment), alors parmi les valeurs de la fonction, ce ne peut être ni la plus petite ni la plus grande. Ainsi, par exemple, la fonction illustrée dans la figure ci-dessous est continue à] -∞, + ∞ [et n'a pas la plus grande valeur.

Cependant, pour tout intervalle (fermé, ouvert ou infini), la propriété suivante des fonctions continues est vraie.

Exemple 4. Trouver les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur le segment [-1, 3] .

Solution. On trouve la dérivée de cette fonction comme dérivée du quotient :

.

Nous assimilons la dérivée à zéro, ce qui nous donne un point critique :. Il appartient au segment [-1, 3]. Pour trouver les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur un segment donné, on retrouve ses valeurs aux extrémités du segment et au point critique trouvé :

Nous comparons ces valeurs. Conclusion : égal à -5/13, au point et la plus grande valeurégal à 1 au point.

Nous continuons à rechercher ensemble les valeurs les plus petites et les plus grandes de la fonction

Il y a des enseignants qui, sur le thème de la recherche des valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction, ne donnent pas aux élèves de résoudre des exemples plus compliqués que ceux que nous venons de considérer, c'est-à-dire ceux dans lesquels la fonction est un polynôme ou une fraction, dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Mais on ne se limitera pas à de tels exemples, puisque parmi les enseignants il y a ceux qui aiment faire réfléchir les élèves en entier (tableau des dérivés). Par conséquent, le logarithme et la fonction trigonométrique seront utilisés.

Exemple 6. Trouver les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur le segment .

Solution. Trouver la dérivée de cette fonction comme travail dérivé :

Nous assimilons la dérivée à zéro, ce qui donne un point critique :. Il appartient au segment. Pour trouver les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur un segment donné, on retrouve ses valeurs aux extrémités du segment et au point critique trouvé :

Le résultat de toutes les actions : la fonction atteint sa plus petite valeurégal à 0 au point et au point et la plus grande valeurégal à e², au point.

Exemple 7. Trouver les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur le segment .

Solution. Trouvez la dérivée de cette fonction :

Égaliser la dérivée à zéro :

Le seul point critique appartient au segment de droite. Pour trouver les valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur un segment donné, on retrouve ses valeurs aux extrémités du segment et au point critique trouvé :

Conclusion: la fonction atteint sa plus petite valeurégal à au point et la plus grande valeur, égal, au point.

Dans les problèmes extrêmes appliqués, la recherche des valeurs les plus petites (les plus grandes) d'une fonction est généralement réduite à la recherche du minimum (maximum). Mais d'un plus grand intérêt pratique ne sont pas les minima ou les maxima eux-mêmes, mais les valeurs de l'argument auquel ils sont atteints. Lors de la résolution de problèmes appliqués, une difficulté supplémentaire apparaît - la compilation de fonctions décrivant le phénomène ou le processus considéré.

Exemple 8. Un bac d'une capacité de 4, en forme de parallélépipède à base carrée et ouvert en haut, doit être repêché avec de l'étain. Quelle doit être la taille du réservoir pour couvrir le moins de matière possible ?

Solution. Laisser X- côté de la base, h- hauteur du réservoir, S- sa superficie sans couvercle, V- son volume. La surface du réservoir est exprimée par la formule, c'est-à-dire est une fonction de deux variables. Exprimer S en fonction d'une variable, nous utiliserons le fait que, d'où. Substitution de l'expression trouvée h dans la formule de S:

Examinons cette fonction pour un extremum. Elle est définie et dérivable partout dans] 0, + ∞ [, et

.

Égalisez la dérivée à zéro () et trouvez le point critique. De plus, car la dérivée n'existe pas, mais cette valeur n'est pas comprise dans le domaine de définition et ne peut donc pas être un point extremum. C'est donc le seul point critique. Vérifions la présence d'un extremum en utilisant le deuxième critère suffisant. Trouvons la dérivée seconde. Lorsque la dérivée seconde est supérieure à zéro (). Par conséquent, à, la fonction atteint un minimum ... Depuis cela minimum est le seul extremum de cette fonction, c'est aussi sa plus petite valeur... Ainsi, le côté de la base du réservoir doit être égal à 2 m, et sa hauteur.

Exemple 9. Du paragraphe UNE situé sur la voie ferrée pour pointer AVECà distance d'elle je, la cargaison doit être transportée. Le coût du transport d'une unité de poids par unité de distance par chemin de fer est égal, et par autoroute, il est égal. A quel point M les lignes chemin de fer une autoroute devrait être aménagée pour transporter des marchandises de UNE v AVECétait la plus économique (section UN B la voie ferrée est supposée droite) ?

Voyons comment explorer une fonction à l'aide d'un graphe. Il s'avère qu'en regardant le graphique, vous pouvez découvrir tout ce qui nous intéresse, à savoir :

• domaine de fonction
• plage de fonctions
• zéros de fonction
• intervalles d'augmentation et de diminution
• points maximum et minimum
• la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur le segment.

Précisons la terminologie :

Abscisse est la coordonnée horizontale du point.
Ordonné est la coordonnée verticale.
Axe des abscisses- un axe horizontal, le plus souvent appelé axe.
axe Y- axe vertical, ou axe.

Argument est la variable indépendante dont dépendent les valeurs de la fonction. Le plus souvent indiqué.
En d'autres termes, nous choisissons nous-mêmes, substituons des fonctions dans la formule et obtenons.

Domaine fonctions - l'ensemble de ces (et seulement ces) valeurs de l'argument pour lequel la fonction existe.
Il est indiqué par : ou.

Dans notre figure, le domaine de la fonction est un segment. C'est sur ce segment que le graphe de la fonction est tracé. Seulement ici cette fonction existe.

Plage de fonctions est l'ensemble des valeurs que prend une variable. Dans notre image, il s'agit d'un segment - de la valeur la plus basse à la valeur la plus élevée.

Zéros de fonction- les points où la valeur de la fonction est égale à zéro, c'est-à-dire. Dans notre figure, ce sont des points et.

Les valeurs de fonction sont positives où . Dans notre figure, ce sont des lacunes et.
Les valeurs de fonction sont négatives où . Nous avons cet intervalle (ou intervalle) de à.

Les notions les plus importantes sont fonction croissante et décroissante sur certains ensemble. En tant qu'ensemble, vous pouvez prendre un segment, un intervalle, une union d'intervalles ou la droite numérique entière.

Une fonction augmente

En d'autres termes, plus il y en a, c'est-à-dire que le graphique va vers la droite et vers le haut.

Une fonction diminue sur un ensemble si, pour tout et appartenant à l'ensemble, l'inégalité découle de l'inégalité.

Pour une fonction décroissante, une valeur plus grande correspond à une valeur plus petite. Le graphique va vers la droite et vers le bas.

Dans notre figure, la fonction augmente dans l'intervalle et diminue dans les intervalles et.

Définissons ce qu'est points maximum et minimum de la fonction.

Pointage maximal est un point interne du domaine de définition, tel que la valeur de la fonction qu'il contient est supérieure à tous les points suffisamment proches de lui.
En d'autres termes, le point maximum est un tel point, la valeur de la fonction à laquelle Suite que dans les voisins. Il s'agit d'un « monticule » local sur la carte.

Dans notre figure - le point maximum.

Pointage minimum- un point intérieur du domaine de définition, tel que la valeur de la fonction qu'il contient soit inférieure à en tous les points suffisamment proches de lui.
C'est-à-dire que le point minimum est tel que la valeur de la fonction y est inférieure à celle des fonctions voisines. Il s'agit d'un « trou » local sur la carte.

Dans notre image - le point minimum.

Le point est la frontière. Ce n'est pas un point interne au domaine de définition et ne correspond donc pas à la définition d'un point maximum. Après tout, elle n'a pas de voisins à gauche. De la même manière, il ne peut pas s'agir d'un point minimum sur notre carte.

Les points maximum et minimum sont appelés collectivement points extrêmes de la fonction... Dans notre cas, c'est et.

Et que faire si vous avez besoin de trouver, par exemple, fonction minimale sur le segment ? Dans ce cas, la réponse est. car fonction minimale est sa valeur au point minimum.

De même, le maximum de notre fonction est. Il est atteint en un point.

On peut dire que les extrema de la fonction sont égaux à et.

Parfois, dans les tâches que vous devez trouver valeurs de fonction les plus grandes et les plus petites sur un segment donné. Ils ne coïncident pas nécessairement avec les extrêmes.

Dans notre cas plus petite valeur de fonction sur le segment est égal et coïncide avec le minimum de la fonction. Mais sa plus grande valeur sur ce segment est égale à. Il est atteint à l'extrémité gauche du segment de ligne.

Dans tous les cas, les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue sur un segment sont obtenues soit aux points extrêmes, soit aux extrémités du segment.