Comment Pythagore a découvert son théorème. Débuter en sciences

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introduction

Dans le cours de géométrie de l'école, en utilisant le théorème de Pythagore, seuls les problèmes mathématiques sont résolus. Malheureusement, la question de l'application pratique du théorème de Pythagore n'est pas envisagée.

À cet égard, le but de mon travail était de découvrir la portée du théorème de Pythagore.

À l'heure actuelle, il est généralement reconnu que le succès du développement de nombreux domaines de la science et de la technologie dépend du développement de divers domaines des mathématiques. Une condition importante pour accroître l'efficacité de la production est l'introduction généralisée de méthodes mathématiques dans la technologie et l'économie nationale, ce qui implique la création de nouvelles méthodes efficaces de recherche qualitative et quantitative permettant de résoudre les problèmes posés par la pratique.

Je vais considérer des exemples d'application pratique du théorème de Pythagore. Je n'essaierai pas de donner tous les exemples d'utilisation du théorème - ce ne serait guère possible. Le domaine d'application du théorème est assez étendu et ne peut généralement pas être indiqué avec suffisamment d'exhaustivité.

Hypothèse:

En utilisant le théorème de Pythagore, vous pouvez résoudre non seulement des problèmes mathématiques.

Pour ce travail de recherche, l'objectif suivant est défini :

Découvrez la portée du théorème de Pythagore.

Sur la base de l'objectif ci-dessus, les tâches suivantes ont été identifiées :

Recueillir des informations sur l'application pratique du théorème de Pythagore dans diverses sources et déterminer les domaines d'application du théorème.

Apprenez quelques informations historiques sur Pythagore et son théorème.

Montrez l'application du théorème à la résolution de problèmes historiques.

Traiter les données collectées sur le sujet.

J'étais engagé dans la recherche et la collecte d'informations - j'ai étudié des documents imprimés, travaillé avec des documents sur Internet et traité les données collectées.

Méthodologie de recherche :

L'étude du matériel théorique.

L'étude des méthodes de recherche.

Réalisation pratique de l'étude.

Communicatif (méthode de mesure, questionnement).

Type de projet: recherche d'informations. Le travail a été fait sur mon temps libre.

À propos de Pythagore.

Pythagore est un ancien philosophe, mathématicien et astronome grec. Il a étayé de nombreuses propriétés des figures géométriques, développé la théorie mathématique des nombres et de leurs proportions. Il a apporté une contribution significative au développement de l'astronomie et de l'acoustique. Auteur des "Versets d'or", fondateur de l'école pythagoricienne de Crotone.

Selon la légende, Pythagore serait né vers 580 av. e. sur l'île de Samos dans une riche famille de marchands. Sa mère, Pythasis, a obtenu son nom en l'honneur de la Pythie, la prêtresse d'Apollon. La Pythie a prédit à Mnesarchus et à sa femme la naissance d'un fils, le fils a également été nommé d'après la Pythie. Selon de nombreux témoignages anciens, le garçon était fabuleusement beau et a rapidement montré ses capacités exceptionnelles. Il a reçu ses premières connaissances de son père Mnesarchus, un bijoutier et tailleur de pierres précieuses, qui rêvait que son fils continuerait son travail. Mais la vie en a jugé autrement. Le futur philosophe a montré une grande aptitude pour les sciences. Parmi les maîtres de Pythagore se trouvaient Pherekides de Syros et l'aîné Germodamant. Le premier a inculqué au garçon un amour pour la science, et le second pour la musique, la peinture et la poésie. Par la suite, Pythagore a rencontré le célèbre philosophe - mathématicien Thales de Milet et, sur ses conseils, s'est rendu en Égypte - le centre des activités scientifiques et de recherche d'alors. Après avoir vécu 22 ans en Égypte et 12 ans à Babylone, il retourne sur l'île de Samos, puis la quitte pour des raisons inconnues et s'installe dans la ville de Crotone, dans le sud de l'Italie. Ici, il a créé l'école pythagoricienne (union), qui a étudié diverses questions de philosophie et de mathématiques. Vers l'âge d'environ 60 ans, Pythagore épouse Théano, l'un de ses élèves. Ils ont trois enfants et ils deviennent tous des disciples de leur père. Les conditions historiques de cette époque sont caractérisées par un large mouvement du démos contre le pouvoir des aristocrates. Fuyant les vagues de colère populaire, Pythagore et ses élèves s'installent dans la ville de Tarente. Selon une version: Kilon, un homme riche et méchant, est venu vers lui, voulant rejoindre la confrérie en état d'ébriété. Ayant été refusé, Cylon a commencé un combat avec Pythagore. Pendant l'incendie, les étudiants à leurs dépens ont sauvé la vie de l'enseignant. Pythagore a eu le mal du pays et s'est rapidement suicidé.

Il convient de noter que c'est l'une des variantes de sa biographie. Les dates exactes de sa naissance et de sa mort n'ont pas été établies, de nombreux faits de sa vie sont contradictoires. Mais une chose est claire : cet homme a vécu, et a laissé à ses descendants un grand héritage philosophique et mathématique.

Théorème de Pythagore.

Le théorème de Pythagore est l'énoncé le plus important de la géométrie. Le théorème est formulé comme suit : l'aire d'un carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des aires des carrés construits sur ses jambes.

La découverte de ce relevé est attribuée à Pythagore de Samos (XIIe siècle av. J.-C.)

L'étude des tablettes cunéiformes babyloniennes et des anciens manuscrits chinois (copies de manuscrits encore plus anciens) a montré que le fameux théorème était connu bien avant Pythagore, peut-être plusieurs millénaires avant lui.

(Mais il y a une hypothèse que Pythagore lui a donné une preuve complète)

Mais il y a une autre opinion : dans l'école pythagoricienne, c'était une merveilleuse coutume d'attribuer tous les mérites à Pythagore et de ne pas s'approprier quelque peu la gloire des découvreurs, sauf peut-être dans quelques cas.

(Écrivain de langue grecque Iamblique-syriaque, auteur du traité "La vie de Pythagore." (IIe siècle après JC)

Ainsi l'historien allemand des mathématiques Kantor pense que l'égalité 3 2 + 4 2= 5 2 était

connu des Égyptiens vers 2300 av. e. à l'époque du roi Amenechmet (d'après le papyrus 6619 du Musée de Berlin). Certains pensent que Pythagore a donné au théorème une preuve complète, tandis que d'autres lui refusent ce mérite.

Certains attribuent à Pythagore la preuve donnée par Euclide dans ses Éléments. D'autre part, Proclus (mathématicien, 5e siècle) prétend que la preuve dans les "Principes" appartenait à Euclide lui-même, c'est-à-dire que l'histoire des mathématiques n'a presque aucune donnée fiable sur l'activité mathématique de Pythagore. En mathématiques, peut-être, il n'y a pas d'autre théorème qui mérite toutes sortes de comparaisons.

Dans certaines listes des "Débuts" d'Euclide, ce théorème s'appelait le "théorème de la nymphe" pour la similitude du dessin avec une abeille, un papillon ("théorème du papillon"), qui en grec s'appelait une nymphe. Les Grecs appelaient également ce mot d'autres déesses, ainsi que des jeunes femmes et des mariées. Le traducteur arabe n'a pas prêté attention au dessin et a traduit le mot "nymphe" par "mariée". C'est ainsi qu'est apparu le nom affectueux "le théorème de la mariée". Selon une légende, lorsque Pythagore de Samos a prouvé son théorème, il a remercié les dieux en sacrifiant 100 taureaux. D'où un autre nom - "théorème d'une centaine de taureaux".

Dans les pays anglophones, il s'appelait: "windmill", "peacock tail", "bride's chair", "donkey bridge" (si l'élève ne pouvait pas le "traverser", alors il était un véritable "âne")

Dans la Russie pré-révolutionnaire, le dessin du théorème de Pythagore pour le cas d'un triangle isocèle s'appelait "pantalon de Pythagore".

Ces "pantalons" apparaissent lorsque, de chaque côté d'un triangle rectangle, construisez des carrés vers l'extérieur.

Combien y a-t-il de preuves différentes du théorème de Pythagore ?

Depuis l'époque de Pythagore, plus de 350 d'entre eux sont apparus.Le théorème a été inclus dans le livre Guinness des records. Si nous analysons les preuves du théorème, elles utilisent peu d'idées fondamentalement différentes.

Domaines d'application du théorème.

Il est largement utilisé pour résoudre géométrique Tâches.

C'est avec son aide que vous pouvez trouver géométriquement les valeurs des racines carrées des nombres entiers:

Pour ce faire, on construit un triangle rectangle AOB (l'angle A est de 90°) avec des jambes unitaires. Alors son hypoténuse est √2. On construit alors un seul segment BC, BC est perpendiculaire à OB, la longueur de l'hypoténuse OS=√3, etc.

(cette méthode se retrouve chez Euclid et F. Kirensky).

Tâches dans le cours la physique lycée exigent la connaissance du théorème de Pythagore.

Ce sont des tâches liées à l'addition des vitesses.

Faites attention à la diapositive : une tâche d'un manuel de physique de 9e année. Concrètement, cela peut être formulé comme suit : à quel angle par rapport au débit du fleuve un bateau transportant des passagers entre les quais doit-il se déplacer pour respecter l'horaire ? (Les quais sont situés sur des rives opposées du fleuve)

Lorsqu'un biathlète tire sur une cible, il effectue une "correction de vent". Si le vent souffle de la droite et que l'athlète tire en ligne droite, la balle ira vers la gauche. Pour atteindre la cible, vous devez déplacer le viseur vers la droite de la distance de déplacement de la balle. Des tableaux spéciaux ont été compilés pour eux (basés sur les conséquences du camarade Pythagore). Le biathlète sait sous quel angle déplacer le viseur à une vitesse de vent connue.

Astronomie -également un large domaine d'application du théorème trajet du faisceau lumineux. La figure montre le trajet d'un faisceau lumineux depuis UNEà B et retour. Le trajet du faisceau est représenté par une flèche incurvée pour plus de clarté, en fait, le faisceau lumineux est droit.

Quel est le chemin du faisceau? La lumière va et vient de la même manière. Quelle est la moitié du chemin parcouru par le rayon ? Si nous marquons le segment UN B symbole je, la moitié du temps comme t, et désignant également la vitesse de la lumière par la lettre c, alors notre équation prendra la forme

c*t=l

C'est le produit du temps passé sur la vitesse !

Essayons maintenant d'examiner le même phénomène à partir d'un autre référentiel, par exemple, à partir d'un vaisseau spatial passant devant un faisceau progressif avec une vitesse v. Avec une telle observation, les vitesses de tous les corps changeront, et les corps stationnaires commenceront à se déplacer avec une vitesse v dans la direction opposée. Supposons que le navire se déplace vers la gauche. Ensuite, les deux points entre lesquels le lapin court se déplaceront vers la droite avec la même vitesse. De plus, pendant que le lapin court son chemin, le point de départ UNE se déplace et le faisceau revient à un nouveau point C.

Question : combien de temps le point va-t-il se déplacer (pour devenir le point C) pendant que le faisceau lumineux se déplace ? Plus précisément : à quoi correspond la moitié de ce décalage ? Si l'on note la moitié du temps de parcours du faisceau par la lettre t", et la moitié de la distance CA lettre ré, alors nous obtenons notre équation sous la forme :

v * t" = ré

lettre v indique la vitesse du vaisseau spatial.

Autre question : quel chemin va parcourir le rayon lumineux dans ce cas ?(Plus précisément, quelle est la moitié de ce chemin ? Quelle est la distance à l'objet inconnu ?)

Si nous désignons la moitié de la longueur du trajet de la lumière par la lettre s, alors nous obtenons l'équation :

c * t" = s

Ici c est la vitesse de la lumière, et t" est le même temps que décrit ci-dessus.

Considérons maintenant le triangle abc. C'est un triangle isocèle dont la hauteur est je, que nous avons introduit en considérant le processus d'un point de vue fixe. Puisque le mouvement est perpendiculaire je, alors cela ne pouvait pas l'affecter.

Triangle abc composé de deux moitiés - triangles rectangles identiques, dont les hypoténuses UN B et avant JC doit être connecté avec les jambes d'après le théorème de Pythagore. L'une des jambes est ré, que nous venons de calculer, et la deuxième jambe est s, que la lumière traverse, et que nous avons également calculée. Nous obtenons l'équation :

s 2 =l 2 +d 2

C'est théorème de Pythagore!

Phénomène aberration stellaire, découverte en 1729, réside dans le fait que toutes les étoiles de la sphère céleste décrivent des ellipses. Le demi-grand axe de ces ellipses est observé depuis la Terre sous un angle de 20,5 degrés. Cet angle est associé au mouvement de la Terre autour du Soleil à une vitesse de 29,8 km/h. Pour observer une étoile depuis une Terre en mouvement, il est nécessaire d'incliner le tube du télescope vers l'avant le long du mouvement de l'étoile, car pendant que la lumière parcourt la longueur du télescope, l'oculaire avance avec la Terre. L'addition des vitesses de la lumière et de la Terre se fait de manière vectorielle, en utilisant le soi-disant.

Pythagoras. U 2 \u003d C 2 + V 2

C est la vitesse de la lumière

Vitesse au sol en V

tube de télescope

À la fin du XIXe siècle, diverses hypothèses ont été émises sur l'existence d'habitants de Mars similaires aux humains, ce fut le résultat des découvertes de l'astronome italien Schiaparelli (il a ouvert des canaux sur Mars qui ont longtemps été considérés comme artificiels) . Naturellement, la question de savoir s'il est possible de communiquer avec ces créatures hypothétiques à l'aide de signaux lumineux a suscité une discussion animée. L'Académie des sciences de Paris a même institué un prix de 100 000 francs pour la première personne à entrer en contact avec un habitant d'un autre corps céleste ; ce prix attend toujours l'heureux élu. Par plaisanterie, bien que pas complètement déraisonnable, il a été décidé d'envoyer un signal aux habitants de Mars sous la forme du théorème de Pythagore.

On ne sait pas comment faire cela ; mais il est évident pour tout le monde que le fait mathématique exprimé par le théorème de Pythagore se produit partout, et donc les habitants d'un autre monde comme nous devraient comprendre un tel signal.

connexion mobile

Qui dans le monde d'aujourd'hui n'utilise pas de téléphone portable ? Chaque abonné mobile est intéressé par sa qualité. Et la qualité, à son tour, dépend de la hauteur de l'antenne de l'opérateur mobile. Pour calculer dans quel rayon une transmission peut être reçue, nous utilisons le théorème de Pythagore.

Quelle est la hauteur maximale de l'antenne de l'opérateur mobile pour recevoir une émission dans un rayon de R=200 km ? (Le rayon de la Terre est de 6380 km.)

Solution:

Laisser AB=x , CB=R=200 km , OC = r = 6380 km.

OB=OA+ABOB=r+x.

En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient Réponse : 2,3 km.

Lors de la construction de maisons et de chalets, la question se pose souvent de la longueur des chevrons du toit, si les poutres ont déjà été faites. Par exemple: il est prévu de construire un toit à pignon dans une maison (forme en coupe). Quelle doit être la longueur des chevrons si les poutres sont faites AC=8 m., et AB=BF.

Solution:

Le triangle ADC est isocèle AB = BC = 4 m., BF = 4 m. Si nous supposons que FD = 1,5 m., alors :

A) A partir du triangle DBC : DB=2,5 m.

B) Du triangle ABF :

Fenêtre

Dans les bâtiments Style gothique et roman les parties supérieures des fenêtres sont divisées par des nervures en pierre, qui non seulement jouent le rôle d'ornement, mais contribuent également à la solidité des fenêtres. La figure montre un exemple simple d'une telle fenêtre de style gothique. La méthode de construction est très simple : à partir de la figure, il est facile de trouver les centres de six arcs de cercles dont les rayons sont égaux à

largeur de fenêtre (b) pour les arcs extérieurs

demi-largeur, (b/2) pour les arcs internes

Il y a encore un cercle complet touchant les quatre arcs. Puisqu'il est enfermé entre deux cercles concentriques, son diamètre est égal à la distance entre ces cercles, soit b/2 et, par conséquent, le rayon est égal à b/4. Et puis ça devient clair

la position de son centre.

V Architecture romane le motif représenté sur la figure se retrouve souvent. Si b désigne toujours la largeur de la fenêtre, alors les rayons des demi-cercles seront égaux à R = b / 2 et r = b / 4. Le rayon p du cercle intérieur peut être calculé à partir du triangle rectangle illustré à la fig. ligne pointillée. L'hypoténuse de ce triangle, passant par le point tangent des cercles, est égale à b/4+p, une jambe est égale à b/4 et l'autre à b/2-p. D'après le théorème de Pythagore, nous avons :

(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2

b 2 /16+ pb / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 - pb / 2 + p 2,

En divisant par b et en rapprochant les mêmes termes, on obtient :

(3/2)p=b/4, p=b/6.

Dans l'industrie forestière: pour les besoins de la construction, les grumes sont sciées en bois, tandis que la tâche principale est d'obtenir le moins de déchets possible. La plus petite quantité de déchets sera lorsque le faisceau a le plus grand volume. Que devrait-il y avoir dans la section ? Comme on peut le voir à partir de la solution, la section transversale doit être carrée, et théorème de Pythagore et d'autres considérations permettent de tirer une telle conclusion.

Barre du plus grand volume

Tâche

À partir d'une bûche cylindrique, il est nécessaire de couper une poutre rectangulaire du plus grand volume. Quelle doit être la forme de sa section transversale (Fig. 23) ?

Solution

Si les côtés d'une section rectangulaire sont x et y, alors par le théorème de Pythagore

x 2 + y 2 \u003d d 2,

où d est le diamètre du rondin. Le volume du bois est le plus grand lorsque sa section transversale est la plus grande, c'est-à-dire lorsque xy atteint sa plus grande valeur. Mais si xy est le plus grand, alors le produit x 2 y 2 sera aussi le plus grand. Puisque la somme x 2 + y 2 est inchangée, alors, selon ce qui a été prouvé précédemment, le produit x 2 y 2 est le plus grand lorsque

x 2 \u003d y 2 ou x \u003d y.

Ainsi, la section transversale de la poutre doit être carrée.

Tâches de transport(les tâches dites d'optimisation ; tâches dont la solution permet de répondre à la question : comment disposer des fonds pour obtenir de grands avantages)

A première vue, rien de spécial : mesurez la hauteur du sol au plafond en plusieurs points, soustrayez quelques centimètres pour que le meuble ne repose pas contre le plafond. Cela fait, lors du processus d'assemblage des meubles, des difficultés peuvent survenir. Après tout, les fabricants de meubles assemblent le cadre en plaçant le meuble en position horizontale, et lorsque le cadre est assemblé, ils le soulèvent en position verticale. Considérez la paroi latérale de l'armoire. La hauteur de l'armoire doit être inférieure de 10 cm à la distance entre le sol et le plafond, à condition que cette distance ne dépasse pas 2500 mm. Et la profondeur de l'armoire est de 700 mm. Pourquoi 10 cm, et non 5 cm ou 7, et qu'est-ce que le théorème de Pythagore a à voir là-dedans ?

Donc : paroi latérale 2500-100=2400(mm) - la hauteur maximale de la structure.

La paroi latérale en train de soulever le cadre doit passer librement en hauteur et en diagonale. Par le théorème de Pythagore

CA \u003d √ AB 2 + BC 2

AC= √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Que se passe-t-il si la hauteur de l'armoire est réduite de 50 mm ?

AC= √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Diagonale 2548 mm. Donc, vous ne pouvez pas mettre de placard (vous pouvez ruiner le plafond).

Paratonnerre.

On sait qu'un paratonnerre protège de la foudre tous les objets dont la distance à sa base ne dépasse pas sa hauteur doublée. Il est nécessaire de déterminer la position optimale du paratonnerre sur un toit à pignon, en fournissant sa hauteur disponible la plus basse.

D'après le théorème de Pythagore h 2 ≥ un 2 +b 2 signifie h≥(un 2 +b 2) 1/2

De toute urgence, à leur chalet d'été, il est nécessaire de créer une serre pour les semis.

Des planches renversées un carré de 1m1m. Il y a des restes d'un film mesurant 1.5m1.5m. A quelle hauteur au centre du carré faut-il fixer le rail pour que le film le recouvre complètement ?

1) Diagonale de la serre d == 1,4 ; 0,7

2) Diagonale du film d 1= 2,12 1,06

3) Hauteur des rails x= 0,7

Conclusion

À la suite de la recherche, j'ai découvert certains domaines d'application du théorème de Pythagore. J'ai collecté et traité beaucoup de matériel provenant de sources littéraires et d'Internet sur ce sujet. J'ai étudié quelques informations historiques sur Pythagore et son théorème. Oui, en effet, en utilisant le théorème de Pythagore, vous pouvez résoudre non seulement des problèmes mathématiques. Le théorème de Pythagore a trouvé son application dans la construction et l'architecture, les communications mobiles et la littérature.

Étude et analyse des sources d'information sur le théorème de Pythagore

ont montré que:

une) l'attention exclusive des mathématiciens et des mathématiciens au théorème est basée sur sa simplicité, sa beauté et sa signification;

b) le théorème de Pythagore pendant de nombreux siècles sert d'impulsion à des découvertes mathématiques intéressantes et importantes (théorème de Fermat, théorie de la relativité d'Einstein);

v) le théorème de Pythagore - est l'incarnation du langage universel des mathématiques, valable dans le monde entier;

g) la portée du théorème est assez étendue et ne peut généralement pas être indiquée de manière suffisamment complète ;

ré) les secrets du théorème de Pythagore continuent d'exciter l'humanité et chacun de nous a donc la possibilité d'être impliqué dans leur révélation.

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Selon van der Waerden, il est très probable que le rapport sous sa forme générale était déjà connu à Babylone vers le 18ème siècle avant JC. e.

Environ 400 av. e., selon Proclus, Platon a donné une méthode pour trouver des triplets de Pythagore, combinant l'algèbre et la géométrie. Vers 300 av. e. dans les « Éléments » d'Euclide apparaît la plus ancienne preuve axiomatique du théorème de Pythagore.

Formulation

La formulation principale contient des opérations algébriques - dans un triangle rectangle, dont les longueurs des jambes sont égales un (\displaystyle un) et b (\ displaystyle b), et la longueur de l'hypoténuse est c (\ displaystyle c), la relation est satisfaite :

Une formulation géométrique équivalente est également possible, recourant à la notion d'aire figure : dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les jambes. Sous cette forme, le théorème est formulé dans les Principia d'Euclide.

Théorème de Pythagore inverse- la déclaration sur la rectangulaire de tout triangle dont les longueurs des côtés sont liées par la relation une 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Par conséquent, pour tout triplet de nombres positifs un (\displaystyle un), b (\ displaystyle b) et c (\ displaystyle c), tel que une 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), il y a un triangle rectangle avec des jambes un (\displaystyle un) et b (\ displaystyle b) et hypoténuse c (\ displaystyle c).

Preuve

Au moins 400 preuves du théorème de Pythagore ont été enregistrées dans la littérature scientifique, ce qui s'explique à la fois par la valeur fondamentale de la géométrie et par le caractère élémentaire du résultat. Les principales directions de preuves sont : utilisation algébrique des rapports éléments triangle (telle, par exemple, la méthode de similarité populaire), méthode des aires, il existe également diverses preuves exotiques (par exemple, en utilisant des équations différentielles).

A travers des triangles semblables

La preuve classique d'Euclide vise à établir l'égalité des aires entre les rectangles formés en disséquant le carré au-dessus de l'hypoténuse avec la hauteur à partir de l'angle droit avec les carrés au-dessus des jambes.

La construction utilisée pour la preuve est la suivante : pour un triangle rectangle avec un angle droit C (\displaystyle C), carrés sur les jambes et et carrés sur l'hypoténuse A B I K (\displaystyle ABIK) la hauteur est en cours de construction CH (\displaystyle CH) et le faisceau qui le prolonge s (\ displaystyle s), divisant le carré au-dessus de l'hypoténuse en deux rectangles et . La preuve vise à établir l'égalité des aires du rectangle A H J K (\displaystyle AHJK) avec un carré sur la jambe A C (\displaystyle AC); l'égalité des aires du deuxième rectangle, qui est un carré au-dessus de l'hypoténuse, et du rectangle au-dessus de l'autre jambe s'établit de la même manière.

Egalité des aires d'un rectangle A H J K (\displaystyle AHJK) et A C E D (\displaystyle ACED)établi par la congruence des triangles △ A C K ​​​​(\ displaystyle \ triangle ACK) et △ A B D (\displaystyle\triangle ABD), dont l'aire de chacun est égale à la moitié de l'aire des carrés A H J K (\displaystyle AHJK) et A C E D (\displaystyle ACED) respectivement, en relation avec la propriété suivante : l'aire d'un triangle est égale à la moitié de l'aire d'un rectangle si les figures ont un côté commun, et la hauteur du triangle au côté commun est l'autre côté de le rectangle. La congruence des triangles découle de l'égalité de deux côtés (côtés des carrés) et de l'angle entre eux (composé d'un angle droit et d'un angle à A (\displaystyle A).

Ainsi, la preuve établit que l'aire du carré au-dessus de l'hypoténuse, composé de rectangles A H J K (\displaystyle AHJK) et B H J I (\displaystyle BHJI), est égal à la somme des aires des carrés au-dessus des jambes.

Preuve de Léonard de Vinci

La méthode des aires comprend également la preuve trouvée par Léonard de Vinci. Qu'il y ait un triangle rectangle △ A B C (\displaystyle\triangle ABC) angle droit C (\displaystyle C) et carrés A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) et A B H J (\displaystyle ABHJ)(voir l'image). Dans cette preuve à côté HJ (\displaystyle HJ) ce dernier, un triangle est construit vers l'extérieur, congruent △ A B C (\displaystyle\triangle ABC), de plus, réfléchi à la fois par rapport à l'hypoténuse et par rapport à sa hauteur (c'est-à-dire J I = B C (\displaystyle JI=BC) et H je = A C (\displaystyle HI=AC)). Droit C I (\displaystyle CI) divise le carré construit sur l'hypoténuse en deux parties égales, puisque les triangles △ A B C (\displaystyle\triangle ABC) et △ J H I (\displaystyle\triangle JHI) sont égaux en construction. La preuve établit la congruence des quadrilatères C A J I (\displaystyle CAJI) et D A B G (\displaystyle DABG), dont l'aire de chacun, d'une part, est égale à la somme de la moitié des aires des carrés sur les jambes et l'aire du triangle d'origine, d'autre part, à la moitié de l'aire de le carré sur l'hypoténuse plus l'aire du triangle d'origine. Au total, la moitié de la somme des aires des carrés sur les jambes est égale à la moitié de l'aire du carré sur l'hypoténuse, ce qui équivaut à la formulation géométrique du théorème de Pythagore.

Preuve par la méthode infinitésimale

Il existe plusieurs preuves utilisant la technique des équations différentielles. En particulier, Hardy est crédité d'une preuve utilisant des incréments de jambe infinitésimaux un (\displaystyle un) et b (\ displaystyle b) et hypoténuse c (\ displaystyle c), et en préservant la similitude avec le rectangle d'origine, c'est-à-dire en assurant la réalisation des relations différentielles suivantes :

Par la méthode de séparation des variables, une équation différentielle en est dérivée c ré c = une ré une + b ré b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), dont l'intégration donne la relation c 2 = une 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Application des conditions initiales une = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) définit une constante comme 0, ce qui aboutit à l'assertion du théorème.

La dépendance quadratique dans la formule finale apparaît en raison de la proportionnalité linéaire entre les côtés du triangle et les incréments, tandis que la somme est due aux contributions indépendantes de l'incrément des différentes jambes.

Variations et généralisations

Formes géométriques similaires sur trois côtés

Une généralisation géométrique importante du théorème de Pythagore a été donnée par Euclide dans les "Débuts", passant des aires de carrés sur les côtés aux aires de figures géométriques similaires arbitraires : la somme des aires de telles figures construites sur les jambes sera égal à l'aire d'une figure similaire à eux, construite sur l'hypoténuse.

L'idée principale de cette généralisation est que l'aire d'une telle figure géométrique est proportionnelle au carré de n'importe laquelle de ses dimensions linéaires et, en particulier, au carré de la longueur de n'importe quel côté. Par conséquent, pour des figures similaires avec des aires A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) et C (\displaystyle C) construit sur des jambes avec des longueurs un (\displaystyle un) et b (\ displaystyle b) et hypoténuse c (\ displaystyle c) il existe donc une relation :

Puisque d'après le théorème de Pythagore une 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), alors c'est fait.

De plus, s'il est possible de prouver sans utiliser le théorème de Pythagore que pour les aires de trois figures géométriques similaires sur les côtés d'un triangle rectangle, la relation A + B = C (\displaystyle A+B=C), puis en utilisant l'inverse de la preuve de la généralisation d'Euclide, nous pouvons dériver la preuve du théorème de Pythagore. Par exemple, si sur l'hypoténuse on construit un triangle rectangle congru au premier d'aire C (\displaystyle C), et sur les jambes - deux triangles rectangles similaires avec des zones A (\displaystyle A) et B (\displaystyle B), alors il s'avère que les triangles sur les jambes sont formés en divisant le triangle initial par sa hauteur, c'est-à-dire que la somme de deux aires plus petites des triangles est égale à l'aire du troisième, donc A + B = C (\displaystyle A+B=C) et, en appliquant la relation pour des figures similaires, le théorème de Pythagore est dérivé.

Théorème du cosinus

Le théorème de Pythagore est un cas particulier du théorème cosinus plus général qui relie les longueurs des côtés dans un triangle arbitraire :

où est l'angle entre les côtés un (\displaystyle un) et b (\ displaystyle b). Si l'angle est de 90°, alors cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), et la formule se simplifie au théorème de Pythagore habituel.

Triangle arbitraire

Il y a une généralisation du théorème de Pythagore à un triangle arbitraire, opérant uniquement sur le rapport des longueurs des côtés, on pense qu'il a été établi pour la première fois par l'astronome sabien Sabit ibn Kurra. Dans celui-ci, pour un triangle arbitraire avec des côtés, un triangle isocèle avec une base sur le côté c (\ displaystyle c), le sommet coïncidant avec le sommet du triangle d'origine, opposé au côté c (\ displaystyle c) et des angles à la base égaux à l'angle θ (\displaystyle \theta ) le côté opposé c (\ displaystyle c). En conséquence, deux triangles sont formés, semblables à celui d'origine : le premier avec des côtés un (\displaystyle un), le côté latéral du triangle isocèle inscrit éloigné de lui, et r (\ displaystyle r)- parties latérales c (\ displaystyle c); le second lui est symétrique du côté b (\ displaystyle b) avec une fête s (\ displaystyle s)- la partie pertinente du côté c (\ displaystyle c). Il en résulte que la relation est satisfaite :

qui dégénère en théorème de Pythagore à θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Le rapport est une conséquence de la similitude des triangles formés :

Théorème de l'aire de Pappus

Géométrie non euclidienne

Le théorème de Pythagore est dérivé des axiomes de la géométrie euclidienne et n'est pas valide pour la géométrie non euclidienne - l'accomplissement du théorème de Pythagore équivaut au postulat du parallélisme euclidien.

En géométrie non euclidienne, la relation entre les côtés d'un triangle rectangle sera nécessairement sous une forme différente du théorème de Pythagore. Par exemple, en géométrie sphérique, les trois côtés d'un triangle rectangle, qui délimitent l'octant de la sphère unité, ont une longueur π / 2 (\displaystyle \pi /2), ce qui contredit le théorème de Pythagore.

De plus, le théorème de Pythagore est valable en géométrie hyperbolique et elliptique, si l'exigence que le triangle soit rectangulaire est remplacée par la condition que la somme de deux angles du triangle doit être égale au troisième.

géométrie sphérique

Pour tout triangle rectangle sur une sphère de rayon R (\displaystyle R)(par exemple, si l'angle dans le triangle est droit) avec des côtés une , b , c (\displaystyle a,b,c) la relation entre les côtés est :

Cette égalité peut être dérivée comme un cas particulier du théorème du cosinus sphérique, qui est valable pour tous les triangles sphériques :

où ch (\displaystyle\nomopérateur(ch) )- cosinus hyperbolique. Cette formule est un cas particulier du théorème du cosinus hyperbolique, valable pour tous les triangles :

où γ (\displaystyle\gamma )- un angle dont le sommet est opposé à un côté c (\ displaystyle c).

En utilisant la série de Taylor pour le cosinus hyperbolique ( ch ⁡ X ≈ 1 + X 2 / 2 (\displaystyle\operatorname (ch) x\approx 1+x^(2)/2)) on peut montrer que si le triangle hyperbolique diminue (c'est-à-dire lorsque un (\displaystyle un), b (\ displaystyle b) et c (\ displaystyle c) tendent vers zéro), alors les relations hyperboliques dans un triangle rectangle se rapprochent de la relation du théorème de Pythagore classique.

Application

Distance dans les systèmes rectangulaires bidimensionnels

L'application la plus importante du théorème de Pythagore est de déterminer la distance entre deux points dans un système de coordonnées rectangulaire : distance s (\ displaystyle s) entre des points avec des coordonnées (a , b) (\displaystyle (a,b)) et (c , ré) (\displaystyle (c,d))équivaut à:

Pour les nombres complexes, le théorème de Pythagore donne une formule naturelle pour trouver le nombre module complexe  - pour z = x + y je (\displaystyle z=x+yi) elle est égale à la longueur

Le théorème de Pythagore est connu de tous depuis l'école. Un mathématicien exceptionnel a prouvé une grande conjecture, qui est actuellement utilisée par de nombreuses personnes. La règle ressemble à ceci : le carré de la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des jambes. Pendant de nombreuses décennies, pas un seul mathématicien n'a été capable d'argumenter cette règle. Après tout, Pythagore a longtemps marché vers son but, de sorte que les dessins ont eu lieu dans la vie quotidienne.

1. Un petit verset de ce théorème, qui a été inventé peu de temps après la preuve, prouve directement les propriétés de l'hypothèse : "Les pantalons de Pythagore sont égaux dans toutes les directions." Ce deux vers a été déposé dans la mémoire de nombreuses personnes - à ce jour, le poème est rappelé dans les calculs.
2. Ce théorème s'appelait "pantalon de Pythagore" en raison du fait qu'en dessinant au milieu, on obtenait un triangle rectangle, sur les côtés duquel se trouvaient des carrés. En apparence, ce dessin ressemblait à un pantalon - d'où le nom de l'hypothèse.
3. Pythagore était fier du théorème développé, car cette hypothèse diffère de ses semblables par le maximum de preuves. Important : l'équation a été répertoriée dans le livre Guinness des records en raison de 370 preuves véridiques.
4. L'hypothèse a été prouvée par un grand nombre de mathématiciens et de professeurs de différents pays à bien des égards.. Le mathématicien anglais Jones, peu après l'annonce de l'hypothèse, l'a prouvée à l'aide d'une équation différentielle.
5. À l'heure actuelle, personne ne connaît la preuve du théorème par Pythagore lui-même. Les faits concernant les preuves d'un mathématicien aujourd'hui ne sont connus de personne. On pense que la preuve des dessins d'Euclide est la preuve de Pythagore. Cependant, certains scientifiques contestent cette affirmation: beaucoup pensent qu'Euclide a prouvé le théorème de manière indépendante, sans l'aide du créateur de l'hypothèse.
6. Les scientifiques actuels ont découvert que le grand mathématicien n'était pas le premier à découvrir cette hypothèse.. L'équation était connue bien avant la découverte de Pythagore. Ce mathématicien n'a réussi qu'à réunir l'hypothèse.
7. Pythagore n'a pas donné à l'équation le nom de "théorème de Pythagore". Ce nom a été fixé après le "fort deux lignes". Le mathématicien voulait seulement que le monde entier reconnaisse et utilise ses efforts et ses découvertes.
8. Moritz Kantor - le plus grand mathématicien a trouvé et vu des notes avec des dessins sur un ancien papyrus. Peu de temps après, Cantor s'est rendu compte que ce théorème était connu des Égyptiens dès 2300 av. Alors seulement, personne n'en a profité et n'a pas essayé de le prouver.
9. Les chercheurs actuels pensent que l'hypothèse était connue dès le 8ème siècle avant JC. Les scientifiques indiens de l'époque ont découvert un calcul approximatif de l'hypoténuse d'un triangle doté d'angles droits. Certes, à cette époque, personne ne pouvait prouver l'équation avec certitude par des calculs approximatifs.
10. Le grand mathématicien Bartel van der Waerden, après avoir prouvé l'hypothèse, a conclu une conclusion importante: « Le mérite du mathématicien grec n'est pas considéré comme la découverte de la direction et de la géométrie, mais seulement sa justification. Entre les mains de Pythagore se trouvaient des formules de calcul basées sur des hypothèses, des calculs inexacts et des idées vagues. Cependant, le scientifique exceptionnel a réussi à en faire une science exacte.
11. Un célèbre poète a dit que le jour de la découverte de son dessin, il avait érigé un glorieux sacrifice aux taureaux.. C'est après la découverte de l'hypothèse que des rumeurs se sont répandues selon lesquelles le sacrifice d'une centaine de taureaux "errait dans les pages des livres et des publications". Wits blague à ce jour que depuis lors, tous les taureaux ont peur d'une nouvelle découverte.
12. Preuve que Pythagore n'a pas inventé un poème sur le pantalon pour prouver les dessins qu'il proposait : pendant la vie du grand mathématicien, il n'y avait pas encore de pantalon. Ils ont été inventés plusieurs décennies plus tard.
13. Pekka, Leibniz et plusieurs autres scientifiques ont essayé de prouver le théorème précédemment connu, mais personne n'a réussi.
14. Le nom des dessins "théorème de Pythagore" signifie "persuasion par la parole". C'est la traduction du mot Pythagore, que le mathématicien a pris comme pseudonyme.
15. Réflexions de Pythagore sur son propre règne : le secret de ce qui existe sur terre réside dans les nombres. Après tout, un mathématicien, s'appuyant sur sa propre hypothèse, a étudié les propriétés des nombres, révélé la régularité et l'impair et créé des proportions.

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Différentes façons de prouver le théorème de Pythagore

élève de 9 classe "A"

Protocole d'entente école secondaire №8

Conseiller scientifique:

professeur de mathématiques,

Protocole d'entente école secondaire №8

Art. Nouveau Noël

Territoire de Krasnodar.

Art. Nouveau Noël

ANNOTATION.

Le théorème de Pythagore est à juste titre considéré comme le plus important dans le cours de géométrie et mérite une attention particulière. C'est la base pour résoudre de nombreux problèmes géométriques, la base pour étudier le cours théorique et pratique de la géométrie à l'avenir. Le théorème est entouré du matériel historique le plus riche lié à son apparence et à ses méthodes de preuve. L'étude de l'histoire du développement de la géométrie instille un amour pour ce sujet, contribue au développement de l'intérêt cognitif, de la culture générale et de la créativité, et développe également des compétences de recherche.

À la suite de l'activité de recherche, l'objectif du travail a été atteint, qui est de reconstituer et de généraliser les connaissances sur la preuve du théorème de Pythagore. Il a été possible de trouver et d'envisager divers moyens de preuve et d'approfondir les connaissances sur le sujet, en dépassant les pages d'un manuel scolaire.

Le matériel recueilli convainc encore plus que le théorème de Pythagore est le grand théorème de la géométrie et qu'il est d'une grande importance théorique et pratique.

Introduction. Contexte historique 5 Corps principal 8

3. Conclusion 19

4. Littérature utilisée 20
1. INTRODUCTION. RÉFÉRENCE HISTORIQUE.

L'essence de la vérité est qu'elle est pour nous pour toujours,

Quand au moins une fois dans sa perspicacité nous voyons la lumière,

Et le théorème de Pythagore après tant d'années

Pour nous, comme pour lui, c'est indiscutable, impeccable.

Pour célébrer, les dieux ont reçu un vœu de Pythagore :

Pour toucher la sagesse infinie,

Il a abattu cent taureaux, grâce aux éternels ;

Il a ensuite offert des prières et des louanges à la victime.

Depuis, les taureaux, quand ils sentent, poussent,

Ce qui ramène les gens à la nouvelle vérité,

Ils rugissent furieusement, donc il n'y a pas d'urine pour écouter,

Un tel Pythagore leur a instillé la terreur pour toujours.

Taureaux, impuissants à résister à la nouvelle vérité,

Ce qui reste? - Il suffit de fermer les yeux, de rugir, de trembler.

On ne sait pas comment Pythagore a prouvé son théorème. Ce qui est certain, c'est qu'il l'a découvert sous la forte influence de la science égyptienne. Un cas particulier du théorème de Pythagore - les propriétés d'un triangle de côtés 3, 4 et 5 - était connu des constructeurs des pyramides bien avant la naissance de Pythagore, alors qu'il a lui-même étudié avec des prêtres égyptiens pendant plus de 20 ans. Il y a une légende qui dit qu'après avoir prouvé son célèbre théorème, Pythagore a sacrifié un taureau aux dieux, et selon d'autres sources, même 100 taureaux. Ceci, cependant, contredit les informations sur les opinions morales et religieuses de Pythagore. Dans les sources littéraires, on peut lire qu'il "interdisait même de tuer des animaux, et encore plus de les nourrir, car les animaux ont une âme, comme nous". Pythagore ne mangeait que du miel, du pain, des légumes et occasionnellement du poisson. En relation avec tout cela, l'entrée suivante peut être considérée comme plus plausible: "... et même lorsqu'il a découvert que dans un triangle rectangle l'hypoténuse correspond aux jambes, il a sacrifié un taureau en pâte de blé."

La popularité du théorème de Pythagore est si grande que ses preuves se retrouvent même dans la fiction, par exemple dans l'histoire du célèbre écrivain anglais Huxley "Young Archimedes". La même preuve, mais pour le cas particulier d'un triangle rectangle isocèle, est donnée dans le dialogue Meno de Platon.

Maison de conte de fées.

« Loin, très loin, là où même les avions ne volent pas, se trouve le pays de la Géométrie. Dans ce pays inhabituel, il y avait une ville étonnante - la ville de Teorem. Un jour, une belle fille nommée Hypoténuse est venue dans cette ville. Elle a essayé d'obtenir une chambre, mais partout où elle a postulé, elle a été refusée partout. Enfin, elle s'approcha de la maison branlante et frappa. Elle a été ouverte par un homme qui se faisait appeler l'Angle Droit, et il a invité l'Hypoténuse à vivre avec lui. L'hypoténuse est restée dans la maison où vivaient Angle Droit et ses deux petits fils, nommés Katet. Depuis lors, la vie à la Maison de l'angle droit a changé d'une nouvelle manière. L'hypoténuse a planté des fleurs à la fenêtre et répandu des roses rouges dans le jardin de devant. La maison a pris la forme d'un triangle rectangle. Les deux jambes ont beaucoup aimé Hypoténuse et lui ont demandé de rester pour toujours dans leur maison. Le soir, cette sympathique famille se retrouve à la table familiale. Parfois, Angle droit joue à cache-cache avec ses enfants. Le plus souvent, il doit chercher et l'hypoténuse se cache si habilement qu'il peut être très difficile de la trouver. Une fois au cours d'une partie, Angle Droit a remarqué une propriété intéressante : s'il parvient à trouver les jambes, alors trouver l'Hypoténuse n'est pas difficile. Alors Right Angle utilise ce modèle, je dois dire, avec beaucoup de succès. Le théorème de Pythagore est basé sur la propriété de ce triangle rectangle.

(Extrait du livre de A. Okunev "Merci pour la leçon, les enfants").

Une formulation ludique du théorème :

Si on nous donne un triangle

Et, de plus, avec un angle droit,

C'est le carré de l'hypoténuse

On trouve toujours facilement :

Nous construisons les jambes dans un carré,

On trouve la somme des degrés -

Et d'une manière si simple

Nous arriverons au résultat.

Étudiant l'algèbre et les débuts de l'analyse et de la géométrie en 10e année, j'étais convaincu qu'en plus de la méthode de démonstration du théorème de Pythagore envisagée en 8e année, il existe d'autres façons de le prouver. Je les soumets à votre considération.
2. PARTIE PRINCIPALE.

Théorème. Carré dans un triangle rectangle

L'hypoténuse est égale à la somme des carrés des jambes.

1 VOIE.

En utilisant les propriétés des aires des polygones, nous établissons une relation remarquable entre l'hypoténuse et les branches d'un triangle rectangle.

Preuve.

un, dans et hypoténuse Avec(Fig. 1, a).

Prouvons que c²=a²+b².

Preuve.

Nous complétons le triangle en un carré avec un côté un + b comme le montre la fig. 1b. L'aire S de ce carré est (a + b)². D'autre part, ce carré est composé de quatre triangles rectangles égaux dont l'aire de chacun est de ½ oh, et un carré de côté Avec, donc S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

De cette façon,

(un + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

Le théorème a été démontré.
2 VOIES.

Après avoir étudié le sujet "Triangles similaires", j'ai découvert que vous pouvez appliquer la similitude des triangles à la preuve du théorème de Pythagore. À savoir, j'ai utilisé l'affirmation selon laquelle la jambe d'un triangle rectangle est la moyenne proportionnelle de l'hypoténuse et du segment de l'hypoténuse compris entre la jambe et la hauteur tirée du sommet de l'angle droit.

Considérons un triangle rectangle avec un angle droit C, CD est la hauteur (Fig. 2). Prouvons que CA² + SO² = AB² .

Preuve.

Basé sur la déclaration sur la jambe d'un triangle rectangle:

AC = , CB = .

Nous élevons au carré et additionnons les égalités résultantes :

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB ;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), où AD + DB = AB, alors

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

La preuve est complète.
3 VOIES.

La définition du cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle peut être appliquée à la preuve du théorème de Pythagore. Considérez la Fig. 3.

Preuve:

Soit ABC un triangle rectangle donné avec un angle droit C. Tracez une hauteur CD à partir du sommet de l'angle droit C.

Par définition du cosinus d'un angle :

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Donc AB * AD = AC²

Également,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

D'où AB * BD \u003d BC².

En additionnant les égalités résultantes terme à terme et en remarquant que AD + D² = AB, on obtient :

CA² + soleil² \u003d AB (AD + DB) \u003d UN B²

La preuve est complète.
4 VOIES.

Ayant étudié le sujet "Rapports entre les côtés et les angles d'un triangle rectangle", je pense que le théorème de Pythagore peut être prouvé d'une autre manière.

Considérons un triangle rectangle avec des jambes un, dans et hypoténuse Avec. (Fig. 4).

Prouvons que c²=a²+b².

Preuve.

péché B= a/c ; parce que B= comme , puis, en mettant au carré les égalités résultantes, on obtient :

sin² B= po²/s² ; cos² V\u003d a² / s².

En les additionnant, on obtient :

sin² V+cos² B= v² / s² + a² / s², où sin² V+cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², donc,

c² = a² + b².

La preuve est complète.

5 VOIES.

Cette preuve est basée sur la découpe des carrés construits sur les jambes (Fig. 5) et l'empilement des pièces résultantes sur le carré construit sur l'hypoténuse.

6 VOIES.

Pour preuve sur le cathéter soleil immeuble DCB abc(Fig. 6). Nous savons que les aires de figures similaires sont liées comme les carrés de leurs dimensions linéaires similaires :

En soustrayant la seconde de la première égalité, on obtient

c2 = a2 + b2.

La preuve est complète.

7 VOIES.

Donné(Fig. 7):

ABDOS,= 90° , soleil= un, AC=b, AB = c.

Prouver:c2 = a2 +b2.

Preuve.

Laisse la jambe b une. Continuons le segment SW par point V et construire un triangle bmd pour que les points M et UNE s'allonger d'un côté d'une ligne droite CD et en outre, B.D.=b, MBD= 90°, DM= un, alors bmd= abc sur deux côtés et l'angle entre eux. points A et M connecter par segments UN M. On a MARYLAND CD et CA CD, signifie tout droit CA parallèle à une droite MARYLAND. Parce que MARYLAND< АС, puis tout droit CD et UN M ne sont pas parallèles. Donc, AMDC- trapèze rectangle.

Dans les triangles rectangles ABC et bmd 1 + 2 = 90° et 3 + 4 = 90°, mais puisque = =, alors 3 + 2 = 90° ; ensuite MAV=180° - 90° = 90°. Il s'est avéré que le trapèze AMDC divisé en trois triangles rectangles non superposés, puis par les axiomes d'aire

(a+b)(a+b)

En divisant tous les termes de l'inégalité par , on obtient

uneb + c2 + ab = (une +b) , 2 un B+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

La preuve est complète.

8 VOIES.

Cette méthode est basée sur l'hypoténuse et les jambes d'un triangle rectangle ABC. Il construit les carrés correspondants et prouve que le carré construit sur l'hypoténuse est égal à la somme des carrés construits sur les jambes (Fig. 8).

Preuve.

1) DBC= Expédié par Amazon= 90° ;

DBC+ abc= Expédié par Amazon+ abc, veux dire, FBC= DBA.

De cette façon, CFB=DAB(sur deux côtés et l'angle entre eux).

2) , où AL DE, puisque BD est une base commune, DL- hauteur totale.

3) , puisque FB est une base, UN B- hauteur totale.

4)

5) De même, on peut prouver que

6) En ajoutant terme à terme, on obtient :

, BC2 = AB2 + AC2 . La preuve est complète.

9 VOIES.

Preuve.

1) Laissez ABDE- un carré (Fig. 9) dont le côté est égal à l'hypoténuse d'un triangle rectangle ABC (AB= c, BC = a, AC =b).

2) Laissez NSP avant JC et DK = soleil, puisque 1 + 2 = 90° (comme les angles aigus d'un triangle rectangle), 3 + 2 = 90° (comme l'angle d'un carré), UN B= BD(côtés du carré).

Veux dire, abc= BDK(par hypoténuse et angle aigu).

3) Laissez EL CC, AM EL. On peut facilement prouver que ABC = BDK = DEL = EAM (avec jambes une et b). Puis KS= CM= ML= LK= une -b.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (un B),Avec2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

La preuve est complète.

10 VOIES.

La preuve peut être effectuée sur une figure, appelée en plaisantant "pantalon de Pythagore" (Fig. 10). Son idée est de transformer les carrés construits sur les jambes en triangles égaux, qui forment ensemble le carré de l'hypoténuse.

abc décalage, comme indiqué par la flèche, et il prend la position KDN. Le reste de la figurine AKDCBégale à l'aire d'un carré AKDC- c'est un parallélogramme AKNB.

Réalisation d'un modèle de parallélogramme AKNB. On décale le parallélogramme comme esquissé dans le contenu de l'ouvrage. Pour montrer la transformation d'un parallélogramme en triangle égal, devant les élèves, on découpe un triangle sur le modèle et on le décale vers le bas. Donc l'aire du carré AKDC est égal à l'aire du rectangle. De même, nous convertissons l'aire d'un carré en aire d'un rectangle.

Le théorème de Pythagore dit :

Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse :

une 2 + b 2 = c 2,

• une et b- jambes formant un angle droit.
• Avec est l'hypoténuse du triangle.

Formules du théorème de Pythagore

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Preuve du théorème de Pythagore

L'aire d'un triangle rectangle est calculée par la formule :

S = \frac(1)(2)ab

Pour calculer l'aire d'un triangle arbitraire, la formule d'aire est la suivante :

• p- demi-périmètre. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• r est le rayon du cercle inscrit. Pour un rectangle r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Ensuite, nous assimilons les côtés droits des deux formules pour l'aire d'un triangle:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Théorème de Pythagore inverse :

Si le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est un triangle rectangle. Autrement dit, pour tout triplet de nombres positifs un B et c, tel que

une 2 + b 2 = c 2,

il y a un triangle rectangle avec des jambes une et b et hypoténuse c.

théorème de Pythagore- l'un des théorèmes fondamentaux de la géométrie euclidienne, établissant la relation entre les côtés d'un triangle rectangle. Cela a été prouvé par le scientifique mathématicien et philosophe Pythagore.

Le sens du théorème en ce qu' il peut être utilisé pour prouver d'autres théorèmes et résoudre des problèmes.

Matériels supplémentaires: