Bir fonksiyonun en büyük değeri nasıl çözülür? Fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

fonksiyon olsun y=F(X) aralıkta sürekli [ bir, b]. Bilindiği gibi böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine bu aralıkta ulaşır. Fonksiyon bu değerleri ya segmentin bir iç noktasında alabilir [ bir, b] veya segmentin sınırında.

Bir fonksiyonun aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ bir, b] gerekli:

1) aralıktaki fonksiyonun kritik noktalarını bulun ( bir, b);

2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;

3) segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani x=a ve x = B;

4) fonksiyonun tüm hesaplanmış değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun

segmentte.

Kritik noktaları bulma:

Bu noktalar segmentin içinde yer alır; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

noktada x= 3 ve noktada x= 0.

Dışbükeylik ve bükülme noktası için bir fonksiyonun incelenmesi.

İşlev y = F (x) aranan dışbükey arasında (a, B) , grafiği bu aralığın herhangi bir noktasında çizilen bir teğetin altındaysa ve aşağı dışbükey (içbükey) grafiği teğetin üzerindeyse.

Dışbükeyliğin içbükeylikle yer değiştirdiği veya bunun tersi olduğu geçiş noktasına denir. dönüm noktası.

Dışbükeylik ve bükülme noktası için çalışma algoritması:

1. İkinci türden kritik noktaları, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun.

2. Kritik noktaları sayı doğrusuna aralıklarla bölerek koyun. Her aralıkta ikinci türevin işaretini bulun; eğer , o zaman fonksiyon yukarı doğru dışbükey ise, o zaman fonksiyon aşağı doğru dışbükeydir.

3. İkinci tür kritik bir noktadan geçerken işaret değiştirirse ve bu noktada ikinci türev sıfıra eşitse, bu nokta büküm noktasının apsisidir. Ordinatını bulun.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. Asimptotlarda bir fonksiyonun incelenmesi.

Tanım. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotu denir. Düz, grafiğin herhangi bir noktasından bu çizgiye olan uzaklığın, grafik noktasının orijinden sınırsız bir şekilde çıkarılmasıyla sıfıra eğilim gösterme özelliğine sahiptir.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.

Tanım. Doğrudan aradı dikey asimptot fonksiyon grafiği y = f(x), fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse, yani

fonksiyonun süreksizlik noktası nerede, yani tanım alanına ait değil.

Örnek.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - kırılma noktası.

Tanım. Düz y=A aranan Yatay asimptot fonksiyon grafiği y = f(x), eğer

Örnek.

Tanım. Düz y=kx +B (k≠ 0) denir eğik asimptot fonksiyon grafiği y = f(x) nerede

Fonksiyonların ve çizimin incelenmesi için genel şema.

Fonksiyon araştırma algoritmasıy = f(x) :

1. Fonksiyonun tanım alanını bulun D (y).

2. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını (mümkünse) bulun (ile x= 0 ve y = 0).

3. Çift ve tek fonksiyonları araştırın ( y (‒ x) = y (x) ‒ parite; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ garip).

4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.

5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.

6. Fonksiyonun ekstremumunu bulun.

7. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) ve büküm noktalarının aralıklarını bulun.

8. Yapılan araştırmaya dayanarak, fonksiyonun bir grafiğini oluşturun.

Örnek. Fonksiyonu araştırın ve grafiğini çizin.

1) D (y) =

x= 4 - kırılma noktası.

2) Ne zaman x = 0,

(0; – 5) – ile kesişme noktası oy.

saat y = 0,

3) y(‒ x)= işlev Genel görünüm(ne çift ne de tek).

4) Asimptotları araştırıyoruz.

a) dikey

b) yatay

c) eğik asimptotları bulun

‒eğik asimptot denklemi

5) Bu denklemde fonksiyonun monotonluk aralıklarının bulunması gerekli değildir.

6)

Bu kritik noktalar, fonksiyonun tüm alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; +∞) aralığında bölümlere ayırır. Elde edilen sonuçları aşağıdaki tablo şeklinde sunmakta yarar vardır.

Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri nasıl bulunur?

Bunun için iyi bilinen algoritmayı takip ediyoruz:

1 . ODZ fonksiyonlarını buluyoruz.

2 . Bir fonksiyonun türevini bulma

3 . Türevi sıfıra eşitle

4 . Türevin işaretini koruduğu aralıkları buluyoruz ve onlardan fonksiyonun artış ve azalma aralıklarını belirliyoruz:

I aralığında 0 fonksiyonunun türevi ise title="(!LANG:f^(asal)(x)>0">, то функция !} bu aralıkta artar.

I aralığında fonksiyonun türevi varsa, o zaman fonksiyon bu aralıkta azalır.

5 . Bulduk fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları.

V maksimum nokta fonksiyonu, türev işareti "+"dan "-"ye değiştirir.

V fonksiyonun minimum noktasıtürev değişiklikleri işareti "-"den "+"ya.

6 . Segmentin sonunda fonksiyonun değerini buluruz,

• sonra, segmentin uçlarındaki ve maksimum noktalarındaki fonksiyonun değerini karşılaştırırız ve bulmanız gerekiyorsa en büyüğünü seçin en yüksek değer fonksiyonlar
• veya fonksiyonun değerini segmentin uçlarındaki ve minimum noktalarında karşılaştırırız ve fonksiyonun en küçük değerini bulmanız gerekiyorsa en küçüğünü seçin

Ancak, fonksiyonun aralıkta nasıl davrandığına bağlı olarak, bu algoritma önemli ölçüde azaltılabilir.

işlevi düşünün . Bu fonksiyonun grafiği şöyle görünür:

Açık Görev Bankası'ndan birkaç problem çözme örneğini ele alalım.

bir . Görev B15 (#26695)

Kesimde.

1. Fonksiyon, x'in tüm gerçek değerleri için tanımlanır

Açıkçası, bu denklemin çözümü yoktur ve türev, x'in tüm değerleri için pozitiftir. Bu nedenle, fonksiyon artar ve aralığın sağ ucundaki en büyük değeri, yani x=0'da alır.

Cevap: 5.

2 . Görev B15 (No. 26702)

Bir fonksiyonun en büyük değerini bulun segmentte.

1.ODZ işlevi title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

'de türev sıfırdır, ancak bu noktalarda işaret değiştirmez:

Bu nedenle, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} artar ve aralığın sağ ucundaki en büyük değeri alır.

Türevin neden işaret değiştirmediğini açıklığa kavuşturmak için türevin ifadesini aşağıdaki gibi dönüştürüyoruz:

Title="(!LANG:y^(asal)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Cevap: 5.

3. Görev B15 (#26708)

Aralıktaki fonksiyonun en küçük değerini bulun.

1. ODZ işlevleri: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Bu denklemin köklerini trigonometrik bir daireye yerleştirelim.

Aralık iki sayı içerir: ve

İşaretleri koyalım. Bunu yapmak için, türevin x=0 noktasındaki işaretini belirleriz: . Noktalardan geçerken ve türev işaret değiştirir.

Fonksiyonun türevinin işaretlerinin değişimini koordinat doğrusu üzerinde gösterelim:

Açıkçası, nokta bir minimum noktadır (türevin işareti "-" den "+" ye değiştiği yerde) ve fonksiyonun segmentteki en küçük değerini bulmak için, fonksiyon değerlerini karşılaştırmanız gerekir. minimum nokta ve segmentin sol ucunda, .

Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulma işlemi, bir helikopterde bir cismin (bir fonksiyonun grafiği) etrafında, belirli noktalarda uzun menzilli bir toptan ateş ederek ve aralarından seçim yaparak büyüleyici bir uçuşu andırır. bu noktalar kontrol atışları için çok özel noktalardır. Puanlar belirli bir şekilde ve belirli kurallara göre seçilir. Hangi kurallara göre? Bunun hakkında daha fazla konuşacağız.

eğer fonksiyon y = F(x) aralıkta sürekli [ a, B], sonra bu segmente ulaşır en az ve en yüksek değerler . Bu ya da olabilir uç noktalar veya segmentin sonunda. Bu nedenle, bulmak en az ve fonksiyonun en büyük değerleri , segmentte sürekli [ a, B], tüm değerlerini hesaplamanız gerekir. kritik noktalar ve segmentin uçlarında ve ardından en küçüğünü ve en büyüğünü seçin.

Örneğin, fonksiyonun maksimum değerini belirlemek için gerekli olsun. F(x) segmentinde [ a, B] . Bunu yapmak için, üzerinde yatan tüm kritik noktalarını bulun [ a, B] .

kritik nokta olduğu nokta denir fonksiyon tanımlı, ve onun türev ya sıfırdır ya da yoktur. Daha sonra kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplamanız gerekir. Ve son olarak, fonksiyonun değerleri kritik noktalarda ve segmentin sonunda karşılaştırılmalıdır ( F(a) ve F(B) ). Bu sayıların en büyüğü segmentteki fonksiyonun en büyük değeri [a, B] .

bulma sorunu fonksiyonun en küçük değerleri .

Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini birlikte arıyoruz

Örnek 1. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte [-1, 2] .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini buluyoruz. Türevi sıfıra () eşitleyin ve iki kritik nokta elde edin: ve . Belirli bir segment üzerinde bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, noktanın segmente ait olmadığı için segmentin uçlarındaki ve noktasındaki değerlerini hesaplamak yeterlidir [-1, 2]. Bu fonksiyon değerleri şunlardır: , , . Bunu takip ediyor en küçük fonksiyon değeri(aşağıdaki grafikte kırmızı ile işaretlenmiştir), -7'ye eşit, segmentin sağ ucunda - noktasında ulaşılır ve En büyük(grafikte de kırmızı), kritik noktada 9'a eşittir.

Eğer fonksiyon belirli bir aralıkta sürekli ise ve bu aralık bir segment değilse (ancak örneğin bir aralık ise; bir aralık ile bir segment arasındaki fark: aralığın sınır noktaları aralığa dahil edilmez, ancak segmentin sınır noktaları segmente dahil edilir), daha sonra fonksiyonun değerleri arasında en küçük ve en büyük olmayabilir. Dolayısıyla, örneğin aşağıdaki şekilde gösterilen fonksiyon ]-∞, +∞[ üzerinde süreklidir ve en büyük değere sahip değildir.

Ancak, herhangi bir aralık için (kapalı, açık veya sonsuz), sürekli fonksiyonların aşağıdaki özelliği geçerlidir.

Örnek 4. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte [-1, 3] .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini bölümün türevi olarak buluruz:

.

Türevi sıfıra eşitleriz, bu bize bir kritik nokta verir: . [-1, 3] aralığına aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluruz:

Bu değerleri karşılaştıralım. Sonuç: noktada -5/13'e eşit ve en büyük değer noktada 1'e eşittir.

Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini birlikte aramaya devam ediyoruz.

Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulma konusunda, öğrencilere az önce düşünülenlerden daha karmaşık örnekler vermeyen, yani fonksiyonun bir polinom veya bir kesir olduğu, payın olduğu öğretmenler var. ve paydası polinom olan. Ancak kendimizi bu tür örneklerle sınırlamayacağız, çünkü öğretmenler arasında öğrencileri tam olarak düşündürmeyi sevenler var (türevler tablosu). Bu nedenle logaritma ve trigonometrik fonksiyon kullanılacaktır.

Örnek 6. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini şu şekilde buluruz: ürünün türevi :

Türevi sıfıra eşitleriz, bu da bir kritik nokta verir: . Segmentine aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluruz:

Tüm eylemlerin sonucu: fonksiyon minimum değerine ulaşır, 0'a eşit, bir noktada ve bir noktada ve en büyük değer eşittir e² , noktada .

Örnek 7. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini buluruz:

Türevi sıfıra eşitleyin:

Tek kritik nokta segmente aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluruz:

Çözüm: fonksiyon minimum değerine ulaşır, eşit , noktasında ve en büyük değer noktasında , eşittir .

Uygulamalı ekstrem problemlerde en küçük (en büyük) fonksiyon değerlerini bulmak kural olarak minimum (maksimum) bulmaya indirgenir. Ancak, pratik açıdan daha fazla ilgi çeken minimumlar veya maksimumlar değil, elde edildikleri argümanın değerleridir. Uygulanan problemleri çözerken, ek bir zorluk ortaya çıkar - söz konusu fenomeni veya süreci tanımlayan fonksiyonların derlenmesi.

Örnek 8 Kare tabanlı ve üstü açık paralel yüz şeklinde 4 kapasiteli bir tank kalaylanmalıdır. Tankı en az malzeme ile kaplamak için boyutları ne olmalıdır?

Çözüm. İzin vermek x- taban tarafı H- tank yüksekliği, S- örtüsüz yüzey alanı, V- hacmi. Tankın yüzey alanı formülle ifade edilir, yani. iki değişkenli bir fonksiyondur. İfade etmek S bir değişkenin fonksiyonu olarak, , nereden , gerçeğini kullanırız. Bulunan ifadenin yerine H formülün içine S:

Bu fonksiyonu bir ekstremum için inceleyelim. ]0, +∞[ , ve her yerde tanımlanır ve türevlenebilir.

.

Türevi sıfıra () eşitliyoruz ve kritik noktayı buluyoruz. Ek olarak, 'de türev yoktur, ancak bu değer tanım alanına dahil değildir ve bu nedenle bir ekstremum noktası olamaz. Yani, - tek kritik nokta. İkinci yeterli kriteri kullanarak bir ekstremumun varlığını kontrol edelim. İkinci türevi bulalım. İkinci türev sıfırdan büyük olduğunda (). Bu, fonksiyon minimuma ulaştığında . Çünkü bu minimum - bu fonksiyonun tek ekstremumu, en küçük değeridir. Bu nedenle, tankın tabanının kenarı 2 m'ye ve yüksekliğine eşit olmalıdır.

Örnek 9 paragraftan A, demiryolu hattı üzerinde bulunan noktaya İLE, ondan uzakta ben, mallar taşınmalıdır. Birim mesafe başına bir ağırlık birimini demiryolu ile taşımanın maliyeti eşittir ve karayolu ile eşittir. hangi noktaya mçizgiler demiryolu malların taşınması için bir otoyol inşa edilmelidir. A v İLE en ekonomik olanıydı AB demiryolunun düz olduğu varsayılır)?

Bir grafiği kullanarak bir fonksiyonu nasıl keşfedeceğimizi görelim. Grafiğe bakarak bizi ilgilendiren her şeyi bulabileceğiniz ortaya çıktı, yani:

• fonksiyon kapsamı
• fonksiyon aralığı
• fonksiyon sıfırları
• artış ve azalma dönemleri
• yüksek ve düşük noktalar
• aralıktaki fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri.

Terminolojiyi açıklığa kavuşturalım:

apsis noktanın yatay koordinatıdır.
ordinate- dikey koordinat.
apsis- genellikle eksen olarak adlandırılan yatay eksen.
Y ekseni- dikey eksen veya eksen.

Argüman fonksiyonun değerlerinin bağlı olduğu bağımsız bir değişkendir. Çoğu zaman belirtilir.
Başka bir deyişle, kendimiz seçiyoruz, fonksiyon formülünü değiştiriyoruz ve alıyoruz.

Alan adı işlevler - işlevin bulunduğu bağımsız değişkenin bu (ve yalnızca bu) değerlerinin kümesi.
Gösterilen: veya .

Şeklimizde, fonksiyonun alanı bir segmenttir. Bu segment üzerinde fonksiyonun grafiği çizilir. Sadece burada bu fonksiyon var.

fonksiyon aralığı değişkenin aldığı değerler kümesidir. Bizim şeklimizde bu bir segmenttir - en düşükten en yüksek değere.

fonksiyon sıfırları- fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu noktalar, yani . Bizim şeklimizde, bunlar noktalar ve .

Fonksiyon değerleri pozitiftir nerede . Bizim şeklimizde, bunlar aralıklardır ve .
Fonksiyon değerleri negatif nerede . Şu aralığa (veya aralığa) sahibiz.

En önemli kavramlar - artan ve azalan fonksiyonlar bazı sette. Bir küme olarak, bir segment, bir aralık, bir aralık birleşimi veya tüm sayı doğrusu alabilirsiniz.

İşlev artışlar

Başka bir deyişle, ne kadar çoksa, o kadar çok, yani grafik sağa ve yukarı gider.

İşlev azalan sette eğer varsa ve kümeye aitse eşitsizlik eşitsizliği ifade eder.

Azalan bir fonksiyon için, daha büyük bir değer daha küçük bir değere karşılık gelir. Grafik sağa ve aşağı gidiyor.

Şeklimizde, fonksiyon aralıkta artar ve aralıklarda azalır.

Ne olduğunu tanımlayalım fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları.

Maksimum nokta- bu, tanım alanının dahili bir noktasıdır, öyle ki içindeki fonksiyonun değeri, ona yeterince yakın olan tüm noktalardan daha büyüktür.
Başka bir deyişle, maksimum nokta böyle bir noktadır, fonksiyonun değeri daha fazla komşularından daha. Bu, grafikte yerel bir "tepe"dir.

Bizim şeklimizde - maksimum nokta.

Düşük nokta- tanım alanının bir iç noktası, öyle ki içindeki fonksiyonun değeri, ona yeterince yakın olan tüm noktalardan daha azdır.
Yani, minimum nokta, içindeki fonksiyonun değeri komşu olanlardan daha az olacak şekildedir. Grafikte bu yerel bir “delik”.

Bizim şeklimizde - minimum nokta.

Nokta sınırdır. Tanım alanının bir iç noktası değildir ve bu nedenle maksimum nokta tanımına uymaz. Sonuçta, solda komşusu yok. Aynı şekilde, grafiğimizde de minimum nokta olamaz.

Maksimum ve minimum noktalar topluca denir fonksiyonun uç noktaları. Bizim durumumuzda, bu ve .

Ama ya örneğin bulmanız gerekiyorsa, minimum fonksiyon kesimde mi? Bu durumda cevap şudur: Çünkü minimum fonksiyon minimum noktadaki değeridir.

Benzer şekilde, fonksiyonumuzun maksimumu . Noktada ulaşılır.

Fonksiyonun ekstremalarının ve'ye eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Bazen görevlerde bulmanız gereken fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri belirli bir segmentte. Mutlaka aşırı uçlarla örtüşmezler.

bizim durumumuzda en küçük fonksiyon değeri aralıkta, fonksiyonun minimumuna eşittir ve onunla çakışır. Ancak bu segmentteki en büyük değeri eşittir. Segmentin sol ucundan ulaşılır.

Her durumda, bir segment üzerindeki sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri, segmentin uç noktalarında veya uçlarında elde edilir.