Triunghi. Triunghiuri similare

Triunghi - definiție și concepte generale

Un triunghi este un poligon simplu format din trei laturi și având același număr de unghiuri. Planurile sale sunt limitate de 3 puncte și 3 segmente care leagă aceste puncte în perechi.

Toate vârfurile oricărui triunghi, indiferent de tipul său, sunt desemnate cu majuscule latine, iar laturile sale sunt descrise prin desemnările corespunzătoare ale vârfurilor opuse, doar nu cu majuscule, ci cu mici. Deci, de exemplu, un triunghi cu vârfuri etichetate A, B și C are laturile a, b, c.

Dacă luăm în considerare un triunghi în spațiul euclidian, atunci este o figură geometrică care se formează folosind trei segmente care leagă trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă.

Privește cu atenție poza prezentată mai sus. Pe el, punctele A, B și C sunt vârfurile acestui triunghi, iar segmentele sale se numesc laturile triunghiului. Fiecare vârf al acestui poligon formează unghiuri în interiorul acestuia.

Tipuri de triunghiuri

În funcție de dimensiunea unghiurilor triunghiurilor, acestea sunt împărțite în astfel de soiuri precum: dreptunghiulare;
Unghiular acut;
Obtuz.

Triunghiurile dreptunghiulare le includ pe cele care au un unghi drept, iar celelalte două au unghiuri ascuțite.

Triunghiurile acute sunt acelea în care toate unghiurile sale sunt acute.

Și dacă un triunghi are un unghi obtuz și celelalte două unghiuri ascuțite, atunci un astfel de triunghi este clasificat ca obtuz.

Fiecare dintre voi înțelege perfect că nu toate triunghiurile au laturile egale. Și în funcție de lungimea laturilor sale, triunghiurile pot fi împărțite în:

Isoscel;
Echilateral;
Versatil.

Sarcina: Desenați diferite tipuri de triunghiuri. Definiți-le. Ce diferenta vedeti intre ele?

Proprietățile de bază ale triunghiurilor

Deși aceste poligoane simple pot diferi unele de altele prin dimensiunea unghiurilor sau laturilor lor, fiecare triunghi are proprietățile de bază care sunt caracteristice acestei figuri.

În orice triunghi:

Suma totală a tuturor unghiurilor sale este de 180º.
Dacă aparține echilateralelor, atunci fiecare dintre unghiurile sale are 60º.
Un triunghi echilateral are unghiuri egale și egale.
Cu cât latura poligonului este mai mică, cu atât unghiul opus este mai mic și invers, unghiul mai mare este opus laturii mai mari.
Dacă laturile sunt egale, atunci opuse lor sunt unghiuri egale și invers.
Dacă luăm un triunghi și îi extindem latura, ajungem la un unghi exterior. Este egal cu suma unghiurilor interne.
În orice triunghi, latura sa, indiferent pe care o alegeți, va fi tot mai mică decât suma celorlalte 2 laturi, dar mai mare decât diferența lor:

1. a< b + c, a >b–c;
2. b< a + c, b >a–c;
3.c< a + b, c >a–b.

Exercițiu

Tabelul arată cele două unghiuri deja cunoscute ale triunghiului. Cunoscând suma totală a tuturor unghiurilor, găsiți cu ce este egal al treilea unghi al triunghiului și introduceți-l în tabel:

1. Câte grade are al treilea unghi?
2. Cărui tip de triunghi aparține?

Teste pentru echivalența triunghiurilor

semnez

Semnul II

Semnul III

Înălțimea, bisectoarea și mediana unui triunghi

Altitudinea unui triunghi - perpendiculara trasată de la vârful figurii pe latura sa opusă se numește altitudinea triunghiului. Toate altitudinile unui triunghi se intersectează într-un punct. Punctul de intersecție al tuturor celor 3 altitudini ale unui triunghi este ortocentrul acestuia.

Un segment desenat dintr-un vârf dat și care îl conectează la mijlocul laturii opuse este mediana. Medianele, precum și altitudinile unui triunghi, au un punct comun de intersecție, așa-numitul centru de greutate al triunghiului sau al centroidului.

Bisectoarea unui triunghi este un segment care leagă vârful unui unghi și un punct de pe latura opusă și, de asemenea, împarte acest unghi la jumătate. Toate bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct, care se numește centrul cercului înscris în triunghi.

Segmentul care leagă punctele mijlocii a două laturi ale unui triunghi se numește linie mediană.

Referință istorică

O figură, cum ar fi un triunghi, era cunoscută încă din Antichitate. Această cifră și proprietățile sale au fost menționate pe papirusurile egiptene în urmă cu patru mii de ani. Puțin mai târziu, datorită teoremei lui Pitagora și formulei lui Heron, studiul proprietăților unui triunghi s-a mutat la un nivel superior, dar totuși, acest lucru s-a întâmplat cu mai bine de două mii de ani în urmă.

În secolele al XV-lea – al XVI-lea, au început să se realizeze o mulțime de cercetări asupra proprietăților unui triunghi și, ca urmare, a apărut o știință precum planimetria, care a fost numită „Noua geometrie a triunghiului”.

Omul de știință rus N.I. Lobachevsky a adus o contribuție uriașă la cunoașterea proprietăților triunghiurilor. Lucrările sale au găsit mai târziu aplicație în matematică, fizică și cibernetică.

Datorită cunoașterii proprietăților triunghiurilor, a apărut o știință precum trigonometria. Sa dovedit a fi necesar pentru o persoană în nevoile sale practice, deoarece utilizarea sa este pur și simplu necesară la întocmirea hărților, la măsurarea zonelor și chiar la proiectarea diferitelor mecanisme.

Care este cel mai faimos triunghi pe care îl cunoști? Acesta este, desigur, Triunghiul Bermudelor! A primit această denumire în anii 50 din cauza poziționării geografice a punctelor (vârfurile triunghiului), în cadrul cărora, conform teoriei existente, au apărut anomalii asociate acestuia. Vârfurile Triunghiului Bermudelor sunt Bermude, Florida și Puerto Rico.

Temă: Ce teorii despre Triunghiul Bermudelor ați auzit?

Știați că în teoria lui Lobachevsky, atunci când se adună unghiurile unui triunghi, suma lor are întotdeauna un rezultat mai mic de 180º. În geometria lui Riemann, suma tuturor unghiurilor unui triunghi este mai mare de 180º, iar în lucrările lui Euclid este egală cu 180 de grade.

Teme pentru acasă

Rezolvați un puzzle de cuvinte încrucișate pe o anumită temă

Întrebări pentru cuvinte încrucișate:

1. Cum se numește perpendiculara care se trasează de la vârful triunghiului la dreapta situată pe latura opusă?
2. Cum, într-un cuvânt, poți numi suma lungimilor laturilor unui triunghi?
3. Numiți un triunghi ale cărui două laturi sunt egale?
4. Numiți un triunghi care are un unghi egal cu 90°?
5. Care este numele celei mai mari laturi a triunghiului?
6. Cum se numește latura unui triunghi isoscel?
7. Există întotdeauna trei dintre ele în orice triunghi.
8. Cum se numește un triunghi în care unul dintre unghiuri depășește 90°?
9. Numele segmentului care leagă vârful figurii noastre cu mijlocul laturii opuse?
10. Într-un poligon simplu ABC, litera mare A este...?
11. Cum se numește segmentul care împarte unghiul unui triunghi la jumătate?

Întrebări pe tema triunghiurilor:

1. Definiți-l.
2. Câte înălțimi are?
3. Câte bisectoare are un triunghi?
4. Care este suma unghiurilor sale?
5. Ce tipuri de acest poligon simplu cunoașteți?
6. Numiți punctele triunghiurilor care se numesc remarcabile.
7. Ce dispozitiv puteți folosi pentru a măsura unghiul?
8. Dacă acționările ceasului arată ora 21. Ce unghi fac aceia orelor?
9. În ce unghi se întoarce o persoană dacă i se dă comanda „stânga”, „cerc”?
10. Ce alte definiții cunoașteți care sunt asociate cu o figură care are trei unghiuri și trei laturi?

Se spune că două triunghiuri sunt congruente dacă pot fi reunite prin suprapunere. Figura 1 prezintă triunghiuri egale ABC și A 1 B 1 C 1. Fiecare dintre aceste triunghiuri poate fi suprapus peste celălalt astfel încât să fie complet compatibile, adică vârfurile și laturile lor să fie compatibile în perechi. Este clar că unghiurile acestor triunghiuri se vor potrivi și în perechi.

Astfel, dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci elementele (adică laturile și unghiurile) unui triunghi sunt, respectiv, egale cu elementele celuilalt triunghi. Rețineți că în triunghiuri egale împotriva laturilor egale corespunzător(adică, suprapunerea atunci când este suprapusă) unghiuri egale se află si inapoi: Laturile egale sunt opuse, respectiv unghiuri egale.

Deci, de exemplu, în triunghiuri egale ABC și A 1 B 1 C 1, prezentate în figura 1, laturile egale opuse AB și, respectiv, A 1 B 1, se află unghiuri egale C și C 1. Vom nota egalitatea triunghiurilor ABC și A 1 B 1 C 1 astfel: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Rezultă că egalitatea a două triunghiuri poate fi stabilită prin compararea unora dintre elementele lor.

Teorema 1. Primul semn al egalității triunghiurilor. Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente (Fig. 2).

Dovada. Luați în considerare triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1, în care AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (vezi Fig. 2). Să demonstrăm că Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Deoarece ∠ A = ∠ A 1, atunci triunghiul ABC poate fi suprapus pe triunghiul A 1 B 1 C 1 astfel încât vârful A să fie aliniat cu vârful A 1, iar laturile AB și AC sunt suprapuse razelor A 1 B 1 și A 1. C 1 . Deoarece AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, atunci latura AB se va alinia cu latura A 1 B 1 și latura AC se va alinia cu latura A 1 C 1; în special, punctele B și B 1, C și C 1 vor coincide. În consecință, laturile BC și B 1 C 1 se vor alinia. Deci, triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 sunt complet compatibile, ceea ce înseamnă că sunt egale.

Teorema 2 este demonstrată în mod similar folosind metoda suprapunerii.

Teorema 2. Al doilea semn al egalității triunghiurilor. Dacă o latură și două unghiuri adiacente ale unui triunghi sunt egale cu latura și, respectiv, două unghiuri adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente (Fig. 34).

Cometariu. Pe baza teoremei 2 se stabilește teorema 3.

Teorema 3. Suma oricăror două unghiuri interioare ale unui triunghi este mai mică de 180°.

Teorema 4 rezultă din ultima teoremă.

Teorema 4. Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi interior care nu este adiacent acestuia.

Teorema 5. Al treilea semn al egalității triunghiurilor. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente ().

Exemplul 1.În triunghiuri ABC și DEF (Fig. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Comparați triunghiurile ABC și DEF. Ce unghi din triunghiul DEF este egal cu unghiul B?

Soluţie. Aceste triunghiuri sunt egale conform primului semn. Unghiul F al triunghiului DEF este egal cu unghiul B al triunghiului ABC, deoarece aceste unghiuri sunt opuse, respectiv, laturile egale DE și AC.

Exemplul 2. Segmentele AB și CD (Fig. 5) se intersectează în punctul O, care este mijlocul fiecăruia dintre ele. Care este lungimea segmentului BD dacă segmentul AC este de 6 m?

Soluţie. Triunghiurile AOC și BOD sunt egale (după primul criteriu): ∠ AOC = ∠ BOD (vertical), AO = OB, CO = OD (după condiție).
Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că laturile lor sunt egale, adică AC = BD. Dar deoarece conform condiției AC = 6 m, atunci BD = 6 m.

În general, două triunghiuri sunt considerate similare dacă au aceeași formă, chiar dacă sunt de dimensiuni diferite, rotite sau chiar inversate.

Reprezentarea matematică a două triunghiuri similare A 1 B 1 C 1 și A 2 B 2 C 2 prezentate în figură este scrisă după cum urmează:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Două triunghiuri sunt similare dacă:

1. Fiecare unghi al unui triunghi este egal cu unghiul corespunzător al altui triunghi:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2Și ∠C 1 = ∠C 2

2. Raporturile dintre laturile unui triunghi și laturile corespunzătoare ale altui triunghi sunt egale între ele:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relații două părți un triunghi la laturile corespunzătoare ale altui triunghi sunt egale între ele și în același timp
unghiurile dintre aceste laturi sunt egale:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ și $\angle A_1 = \angle A_2$
sau
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ și $\angle B_1 = \angle B_2$
sau
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ și $\angle C_1 = \angle C_2$

Nu confundați triunghiuri similare cu triunghiuri egale. Triunghiurile egale au lungimea laturilor corespunzătoare egale. Prin urmare, pentru triunghiuri congruente:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

De aici rezultă că toate triunghiurile egale sunt similare. Cu toate acestea, nu toate triunghiurile similare sunt egale.

Deși notația de mai sus arată că pentru a afla dacă două triunghiuri sunt similare sau nu, trebuie să cunoaștem valorile celor trei unghiuri sau lungimile celor trei laturi ale fiecărui triunghi, pentru a rezolva probleme cu triunghiuri similare este suficient să știm oricare trei dintre valorile menționate mai sus pentru fiecare triunghi. Aceste cantități pot fi în diferite combinații:

1) trei unghiuri ale fiecărui triunghi (nu trebuie să știți lungimile laturilor triunghiurilor).

Sau cel puțin 2 unghiuri ale unui triunghi trebuie să fie egale cu 2 unghiuri ale altui triunghi.
Deoarece dacă două unghiuri sunt egale, atunci și al treilea unghi va fi egal.(Valoarea celui de-al treilea unghi este 180 - unghi1 - unghi2)

2) lungimile laturilor fiecărui triunghi (nu trebuie să cunoașteți unghiurile);

3) lungimile celor două laturi și unghiul dintre ele.

În continuare ne vom uita la rezolvarea unor probleme cu triunghiuri similare. Vom privi mai întâi problemele care pot fi rezolvate folosind direct regulile de mai sus, apoi discutăm câteva probleme practice care pot fi rezolvate folosind metoda triunghiului similar.

Exersați probleme cu triunghiuri similare

Exemplul #1: Arătați că cele două triunghiuri din figura de mai jos sunt similare.

Soluţie:
Deoarece lungimile laturilor ambelor triunghiuri sunt cunoscute, a doua regulă poate fi aplicată aici:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Exemplul #2: Arătați că două triunghiuri date sunt similare și determinați lungimile laturilor PQȘi relatii cu publicul.

Soluţie:
∠A = ∠PȘi ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(deoarece ∠C = 180 - ∠A - ∠B și ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

De aici rezultă că triunghiurile ΔABC și ΔPQR sunt similare. Prin urmare:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ și
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Exemplul #3: Determinați lungimea ABîn acest triunghi.

Soluţie:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDȘi ∠A general => triunghiuri ΔABCȘi ΔADE Sunt asemănătoare.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\time AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Exemplul #4: Determinați lungimea AD (x) figura geometrică din imagine.

Triunghiurile ΔABC și ΔCDE sunt similare deoarece AB || DE și au un colț superior comun C.
Vedem că un triunghi este o versiune la scară a celuilalt. Cu toate acestea, trebuie să dovedim acest lucru matematic.

AB || DE, CD || AC și BC || E.C.
∠BAC = ∠EDC și ∠ABC = ∠DEC

Pe baza celor de mai sus și ținând cont de prezența unui unghi comun C, putem pretinde că triunghiurile ΔABC și ΔCDE sunt similare.

Prin urmare:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 $
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Exemple practice

Exemplul #5: Fabrica folosește o bandă transportoare înclinată pentru a transporta produse de la nivelul 1 la nivelul 2, care este cu 3 metri mai sus decât nivelul 1, așa cum se arată în figură. Transportorul înclinat este deservit de la un capăt la nivelul 1 și de la celălalt capăt la un loc de muncă situat la o distanță de 8 metri de punctul de operare de nivelul 1.

Fabrica dorește să modernizeze transportorul pentru a accesa noul nivel, care se află la 9 metri deasupra nivelului 1, menținând în același timp unghiul de înclinare al transportorului.

Determinați distanța la care trebuie instalată noua stație de lucru pentru a vă asigura că transportorul va funcționa la noul său capăt de la nivelul 2. De asemenea, calculați distanța suplimentară pe care o va parcurge produsul atunci când trece la noul nivel.

Soluţie:

Mai întâi, să etichetăm fiecare punct de intersecție cu o anumită literă, așa cum se arată în figură.

Pe baza raționamentului dat mai sus în exemplele anterioare, putem concluziona că triunghiurile ΔABC și ΔADE sunt similare. Prin urmare,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Astfel, noul punct trebuie instalat la o distanță de 16 metri de punctul existent.

Și deoarece structura este formată din triunghiuri dreptunghiulare, putem calcula distanța de mișcare a produsului după cum urmează:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

În mod similar, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
care este distanța pe care produsul o parcurge în prezent când atinge nivelul existent.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
aceasta este distanța suplimentară pe care trebuie să o parcurgă produsul pentru a atinge un nou nivel.

Exemplul #6: Steve vrea să-și viziteze prietenul care s-a mutat recent într-o casă nouă. Harta rutieră către Steve și casa prietenului său, împreună cu distanțele cunoscute de Steve, sunt prezentate în figură. Ajută-l pe Steve să ajungă la casa prietenului său în cel mai scurt mod posibil.

Soluţie:

Harta rutieră poate fi reprezentată geometric în următoarea formă, așa cum se arată în figură.

Vedem că triunghiurile ΔABC și ΔCDE sunt similare, prin urmare:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Declarația problemei spune că:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km și DE = 5 km

Folosind aceste informații putem calcula următoarele distanțe:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve poate ajunge la casa prietenului său folosind următoarele rute:

A -> B -> C -> E -> G, distanta totala este de 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, distanta totala este de 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, distanta totala este de 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, distanta totala este de 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Prin urmare, traseul nr. 3 este cel mai scurt și poate fi oferit lui Steve.

Exemplul 7:
Trisha vrea să măsoare înălțimea casei, dar nu are instrumentele potrivite. Ea a observat că în fața casei creștea un copac și a decis să-și folosească ingeniozitatea și cunoștințele de geometrie dobândite la școală pentru a determina înălțimea clădirii. Ea a măsurat distanța de la copac până la casă, rezultatul a fost de 30 m. Apoi a stat în fața copacului și a început să se deplaseze înapoi până când marginea de sus a clădirii a devenit vizibilă deasupra vârfului copacului. Trisha a marcat acest loc și a măsurat distanța de la el până la copac. Aceasta distanta a fost de 5 m.

Înălțimea copacului este de 2,8 m, iar înălțimea la nivelul ochilor lui Trisha este de 1,6 m. Ajută-l pe Trisha să determine înălțimea clădirii.

Soluţie:

Reprezentarea geometrică a problemei este prezentată în figură.

Mai întâi folosim similaritatea triunghiurilor ΔABC și ΔADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \times AC$

$(2,8 - 1,6) \time AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Apoi putem folosi similaritatea triunghiurilor ΔACB și ΔAFG sau ΔADE și ΔAFG. Să alegem prima variantă.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6) )(0,16) = 10 m$

Probabil că s-ar putea scrie o carte întreagă pe tema „Triunghi”. Dar durează prea mult să citești toată cartea, nu? Prin urmare, aici vom lua în considerare numai faptele care se referă la orice triunghi în general și tot felul de subiecte speciale, cum ar fi, etc. separate în subiecte separate - citiți cartea în bucăți. Ei bine, ca pentru orice triunghi.

1. Suma unghiurilor unui triunghi. Colț exterior.

Amintiți-vă cu fermitate și nu uitați. Nu vom demonstra acest lucru (vezi următoarele niveluri de teorie).

Singurul lucru care vă poate deruta în formularea noastră este cuvântul „intern”.

De ce este aici? Dar tocmai pentru a sublinia că vorbim despre unghiurile care se află în interiorul triunghiului. Chiar există alte colțuri afară? Imaginează-ți, se întâmplă. Triunghiul mai are colțurile exterioare. Și cea mai importantă consecință a faptului că suma colțurile interne triunghiul este egal cu, atinge doar triunghiul exterior. Deci, să aflăm care este acest unghi exterior al triunghiului.

Priviți imaginea: luați un triunghi și (să spunem) continuați pe o parte.

Desigur, am putea părăsi o parte și să continuăm partea. Ca aceasta:

Dar nu poți spune asta despre unghi în nicio circumstanță. este interzis!

Deci nu orice unghi din afara unui triunghi are dreptul de a fi numit unghi exterior, ci doar cel format o parte și o continuare a celeilalte părți.

Deci, ce ar trebui să știm despre unghiurile externe?

Uite, în imaginea noastră asta înseamnă asta.

Cum se leagă aceasta de suma unghiurilor unui triunghi?

Să ne dăm seama. Suma unghiurilor interioare este

dar – pentru că și – sunt adiacente.

Ei bine, aici vine: .

Vezi cât de simplu este?! Dar foarte important. Deci, amintiți-vă:

Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este egală, iar unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.

2. Inegalitatea triunghiului

Următorul fapt se referă nu la unghiuri, ci la laturile triunghiului.

Înseamnă că

Ai ghicit deja de ce acest fapt se numește inegalitatea triunghiulară?

Ei bine, unde poate fi utilă această inegalitate triunghiulară?

Imaginează-ți că ai trei prieteni: Kolya, Petya și Serghei. Și așa, Kolya spune: „De la casa mea până la Petya este în linie dreaptă”. Și Petya: „De la casa mea până la casa lui Serghei, metri în linie dreaptă”. Și Serghei: „Este bine pentru tine, dar de la casa mea până la Kolinoye este o linie dreaptă”. Ei bine, aici trebuie să spui: „Oprește-te, oprește-te! Unii dintre voi spuneți minciuni!”

De ce? Da, pentru că dacă de la Kolya la Petya există m și de la Petya la Sergei sunt m, atunci de la Kolya la Serghei trebuie să fie cu siguranță mai puțini () metri - altfel este încălcată aceeași inegalitate triunghiulară. Ei bine, bunul simț este cu siguranță, firesc, încălcat: la urma urmei, toată lumea știe din copilărie că drumul către o linie dreaptă () ar trebui să fie mai scurtă decât drumul către un punct. (). Deci inegalitatea triunghiului reflectă pur și simplu acest fapt binecunoscut. Ei bine, acum știi cum să răspunzi, să zicem, la o întrebare:

Un triunghi are laturi?

Trebuie să verificați dacă este adevărat că oricare două dintre aceste trei numere se adună mai mult decât al treilea. Să verificăm: asta înseamnă că nu există un triunghi cu laturi! Dar cu părțile laterale - se întâmplă, pentru că

3. Egalitatea triunghiurilor

Ei bine, ce se întâmplă dacă nu există unul, ci două sau mai multe triunghiuri. Cum poți verifica dacă sunt egale? De fapt, prin definiție:

Dar... aceasta este o definiție teribil de incomodă! Cum, vă rog să spuneți, se poate suprapune două triunghiuri chiar și într-un caiet?! Dar din fericire pentru noi există semne de egalitate a triunghiurilor, care vă permit să acționați cu mintea fără a vă pune în pericol caietele.

Și în plus, aruncând glume frivole, vă spun un secret: pentru un matematician, cuvântul „suprapunere triunghiuri” nu înseamnă a le decupa și a le suprapune deloc, ci a spune multe, multe, multe cuvinte care vor dovedi că două triunghiuri vor coincide atunci când sunt suprapuse. Deci, în nici un caz nu trebuie să scrieți în lucrarea dvs. „Am verificat - triunghiurile coincid atunci când sunt aplicate” - nu o vor număra față de dvs. și vor avea dreptate, deoarece nimeni nu vă garantează că nu ați greșit la aplicare, să zicem, un sfert de milimetru.

Deci, unii matematicieni au spus o grămadă de cuvinte, nu vom repeta aceste cuvinte după ele (cu excepția, poate, la ultimul nivel al teoriei), dar vom folosi în mod activ trei semne de egalitate a triunghiurilor.

În utilizarea de zi cu zi (matematică), astfel de formulări scurtate sunt acceptate - sunt mai ușor de reținut și de aplicat.

1. Primul semn este pe două laturi și unghiul dintre ele;
2. Al doilea semn este pe două colțuri și pe partea adiacentă;
3. Al treilea semn este pe trei laturi.

TRIUNGHI. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Un triunghi este o figură geometrică formată din trei segmente care leagă trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă.

Noțiuni de bază.

Proprietăți de bază:

1. Suma unghiurilor interioare ale oricărui triunghi este egală, adică.
2. Unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia, adică.
   sau
3. Suma lungimilor oricăror două laturi ale unui triunghi este mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi a acestuia, adică
4. Într-un triunghi, latura mai mare se află opusă unghiului mai mare, iar unghiul mai mare se află opus laturii mai mari, adică.
   dacă, atunci și invers,
   daca atunci.

Semne de egalitate a triunghiurilor.

1. Primul semn- pe două laturi și unghiul dintre ele.

2. Al doilea semn- pe doua colturi si latura adiacenta.

3. Al treilea semn- pe trei laturi.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!