Conceptul de unghi înscris și central
Să introducem mai întâi conceptul de unghi central.
Observație 1
Rețineți că gradul de măsurare a unui unghi central este egal cu gradul de măsurare a arcului pe care îl interceptează.
Introducem acum conceptul de unghi înscris.
Definiția 2
Un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi intersectează același cerc se numește unghi înscris (fig. 2).
Figura 2. Unghiul înscris
Teorema unghiului înscris
Teorema 1
Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului pe care îl interceptează.
Dovada.
Să ni se dă un cerc centrat în punctul $O$. Se notează unghiul înscris $ACB$ (Fig. 2). Următoarele trei cazuri sunt posibile:
- Raza $CO$ coincide cu o parte a unghiului. Fie aceasta partea $CB$ (Fig. 3).
Figura 3
În acest caz arcul $AB$ este mai mic decât $(180)^(()^\circ )$, deci unghiul central $AOB$ este egal cu arcul $AB$. Deoarece $AO=OC=r$, triunghiul $AOC$ este isoscel. Prin urmare, unghiurile de bază $CAO$ și $ACO$ sunt egale. Conform teoremei unghiului exterior al unui triunghi, avem:
- Fascicul $CO$ se divide colțul interior la două colțuri. Lasă-l să intersecteze cercul în punctul $D$ (Fig. 4).
Figura 4
Primim
- Raza $CO$ nu împarte un unghi interior în două unghiuri și nu coincide cu niciuna dintre laturile sale (Fig. 5).
Figura 5
Luați în considerare separat unghiurile $ACD$ și $DCB$. Prin ceea ce s-a dovedit la punctul 1, obținem
Primim
Teorema a fost demonstrată.
Să aducem consecințe din această teoremă.
Corolarul 1: Unghiurile înscrise care intersectează același arc sunt egale.
Corolarul 2: Un unghi înscris care interceptează un diametru este un unghi drept.
Conceptul de unghi înscris și central
Să introducem mai întâi conceptul de unghi central.
Observație 1
Rețineți că gradul de măsurare a unui unghi central este egal cu gradul de măsurare a arcului pe care îl interceptează.
Introducem acum conceptul de unghi înscris.
Definiția 2
Un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi intersectează același cerc se numește unghi înscris (fig. 2).
Figura 2. Unghiul înscris
Teorema unghiului înscris
Teorema 1
Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului pe care îl interceptează.
Dovada.
Să ni se dă un cerc centrat în punctul $O$. Se notează unghiul înscris $ACB$ (Fig. 2). Următoarele trei cazuri sunt posibile:
- Raza $CO$ coincide cu o parte a unghiului. Fie aceasta partea $CB$ (Fig. 3).
Figura 3
În acest caz arcul $AB$ este mai mic decât $(180)^(()^\circ )$, deci unghiul central $AOB$ este egal cu arcul $AB$. Deoarece $AO=OC=r$, triunghiul $AOC$ este isoscel. Prin urmare, unghiurile de bază $CAO$ și $ACO$ sunt egale. Conform teoremei unghiului exterior al unui triunghi, avem:
- Raza $CO$ împarte un unghi interior în două unghiuri. Lasă-l să intersecteze cercul în punctul $D$ (Fig. 4).
Figura 4
Primim
- Raza $CO$ nu împarte un unghi interior în două unghiuri și nu coincide cu niciuna dintre laturile sale (Fig. 5).
Figura 5
Luați în considerare separat unghiurile $ACD$ și $DCB$. Prin ceea ce s-a dovedit la punctul 1, obținem
Primim
Teorema a fost demonstrată.
Să aducem consecințe din această teoremă.
Corolarul 1: Unghiurile înscrise care intersectează același arc sunt egale.
Corolarul 2: Un unghi înscris care interceptează un diametru este un unghi drept.
\[(\Large(\text(Central and Inscribed Angles)))\]
Definiții
Un unghi central este un unghi al cărui vârf se află în centrul cercului.
Un unghi înscris este un unghi al cărui vârf se află pe cerc.
Gradul de măsurare a unui arc de cerc este gradul de măsurare a unghiului central care se sprijină pe acesta.
Teorema
Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului pe care îl interceptează.
Dovada
Vom efectua demonstrația în două etape: în primul rând, dovedim validitatea enunțului pentru cazul în care una dintre laturile unghiului înscris conține un diametru. Fie punctul \(B\) vârful unghiului înscris \(ABC\) și \(BC\) diametrul cercului:
Triunghiul \(AOB\) este isoscel, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) este exterior, apoi \(\unghiul AOC = \unghiul OAB + \unghiul ABO = 2\unghiul ABC\), Unde \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Acum luați în considerare un unghi înscris arbitrar \(ABC\) . Desenați diametrul cercului \(BD\) de la vârful unghiului înscris. Sunt posibile două cazuri:
1) diametrul taie unghiul în două unghiuri \(\angle ABD, \angle CBD\) (pentru fiecare dintre ele teorema este adevărată, așa cum sa dovedit mai sus, de aceea este valabilă și pentru unghiul inițial, care este suma acestora doi și deci egal cu jumătate din suma arcurilor pe care se sprijină, adică egală cu jumătate din arcul pe care se sprijină). Orez. unu.
2) diametrul nu a tăiat unghiul în două unghiuri, atunci avem încă două unghiuri noi înscrise \(\angle ABD, \angle CBD\), a căror latură conține diametrul, prin urmare, teorema este adevărată pentru ele, atunci este valabil și pentru unghiul inițial (care este egal cu diferența dintre aceste două unghiuri, ceea ce înseamnă că este egal cu jumătate de diferență a arcelor pe care se sprijină, adică este egal cu jumătate din arcul pe care se sprijină). odihnă). Orez. 2.
Consecințe
1. Unghiurile înscrise bazate pe același arc sunt egale.
2. Un unghi înscris bazat pe un semicerc este un unghi drept.
3. Un unghi înscris este egal cu jumătate din unghiul central bazat pe același arc.
\[(\Large(\text(Tangent la cerc)))\]
Definiții
Există trei tipuri poziție relativă linie dreaptă și cerc:
1) linia \(a\) intersectează cercul în două puncte. O astfel de linie se numește secanta. În acest caz, distanța \(d\) de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza \(R\) a cercului (Fig. 3).
2) linia \(b\) intersectează cercul într-un punct. O astfel de dreaptă se numește tangentă, iar punctul lor comun \(B\) se numește punct tangent. În acest caz \(d=R\) (Fig. 4).
Teorema
1. Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact.
2. Dacă linia trece prin capătul razei cercului și este perpendiculară pe această rază, atunci este tangentă la cerc.
Consecinţă
Segmentele tangentelor trasate de la un punct la cerc sunt egale.
Dovada
Desenați două tangente \(KA\) și \(KB\) la cerc din punctul \(K\):
Deci \(OA\perp KA, OB\perp KB\) ca raze. triunghiuri dreptunghiulare\(\triunghiul KAO\) și \(\triunghiul KBO\) sunt egali în catete și ipotenuză, deci \(KA=KB\) .
Consecinţă
Centrul cercului \(O\) se află pe bisectoarea unghiului \(AKB\) format din două tangente trase din același punct \(K\) .
\[(\Large(\text(Teoreme legate de unghiuri)))\]
Teorema despre unghiul dintre secante
Unghiul dintre două secante trase din același punct este egal cu jumătatea diferenței măsurilor de grad ale arcelor mai mari și mai mici tăiate de acestea.
Dovada
Fie \(M\) un punct din care sunt trase două secante așa cum se arată în figură:
Să arătăm asta \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) este colțul exterior al triunghiului \(MAD\) , atunci \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), Unde \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), dar unghiurile \(\angle DAB\) și \(\angle MDA\) sunt înscrise, atunci \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), ceea ce urma să fie dovedit.
Teorema unghiului dintre coarde care se intersectează
Unghiul dintre două coarde care se intersectează este egal cu jumătate din suma gradelor de arc ale arcurilor pe care le taie: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Dovada
\(\angle BMA = \angle CMD\) ca verticală.
Din triunghi \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Dar \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), de unde tragem concluzia că \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ zâmbește\pe (CD)).\]
Teorema unghiului dintre o coardă și o tangentă
Unghiul dintre tangentă și coarda care trece prin punctul tangentă este egal cu jumătate din gradul de măsurare a arcului scăzut de coardă.
Dovada
Fie ca linia \(a\) să atingă cercul în punctul \(A\) , \(AB\) să fie coarda acestui cerc, \(O\) să fie centrul acestuia. Fie ca linia care conține \(OB\) se intersectează cu \(a\) în punctul \(M\) . Să demonstrăm asta \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Notați \(\angle OAB = \alpha\) . Deoarece \(OA\) și \(OB\) sunt raze, atunci \(OA = OB\) și \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). În acest fel, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Deoarece \(OA\) este raza trasată la punctul tangent, atunci \(OA\perp a\) , adică \(\angle OAM = 90^\circ\), prin urmare, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Teoremă asupra arcurilor contractate de coarde egale
Coardele egale subtind arcuri egale, semicercuri mai mici.
Și invers: arcurile egale sunt contractate de coarde egale.
Dovada
1) Fie \(AB=CD\) . Să demonstrăm că semicercurile mai mici ale arcului .
Pe trei laturi, deci \(\angle AOB=\angle COD\) . Dar de atunci \(\angle AOB, \angle COD\) - unghiuri centrale bazate pe arce \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) respectiv, atunci \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Dacă \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), atunci \(\triunghi AOB=\triunghi COD\) de-a lungul a două laturi \(AO=BO=CO=DO\) și unghiul dintre ele \(\angle AOB=\angle COD\) . Prin urmare, \(AB=CD\) .
Teorema
Dacă o rază traversează o coardă, atunci aceasta este perpendiculară pe aceasta.
Este adevărat și invers: dacă raza este perpendiculară pe coardă, atunci punctul de intersecție o bisectează.
Dovada
1) Fie \(AN=NB\) . Să demonstrăm că \(OQ\perp AB\) .
Considerăm \(\triunghiul AOB\) : este isoscel, deoarece \(OA=OB\) – razele cercului. pentru că \(ON\) este mediana trasată la bază, apoi este și înălțimea, deci \(ON\perp AB\) .
2) Fie \(OQ\perp AB\) . Să demonstrăm că \(AN=NB\) .
În mod similar, \(\triunghiul AOB\) este isoscel, \(ON\) este înălțimea, deci \(ON\) este mediana. Prin urmare, \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Teoreme legate de lungimile segmentelor)))\]
Teorema asupra produsului segmentelor de coarde
Dacă două acorduri ale unui cerc se intersectează, atunci produsul segmentelor unei coarde este egal cu produsul segmentelor celeilalte coarde.
Dovada
Lasă acordurile \(AB\) și \(CD\) să se intersecteze în punctul \(E\) .
Luați în considerare triunghiurile \(ADE\) și \(CBE\) . În aceste triunghiuri, unghiurile \(1\) și \(2\) sunt egale, deoarece sunt înscrise și se bazează pe același arc \(BD\), iar unghiurile \(3\) și \(4\) sunt egale cu verticale. Triunghiurile \(ADE\) și \(CBE\) sunt similare (după primul criteriu de asemănare a triunghiului).
Atunci \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), de unde \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Teorema tangentei și secantei
Pătratul unui segment tangent este egal cu produsul secantei și părții sale exterioare.
Dovada
Lăsați tangenta să treacă prin punctul \(M\) și atingeți cercul în punctul \(A\) . Lasă secantei să treacă prin punctul \(M\) și să intersecteze cercul în punctele \(B\) și \(C\) astfel încât \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Luați în considerare triunghiurile \(MBA\) și \(MCA\) : \(\unghiul M\) este general, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Conform teoremei unghiului dintre o tangentă și o secantă, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Astfel, triunghiurile \(MBA\) și \(MCA\) sunt similare în două unghiuri.
Din asemănarea triunghiurilor \(MBA\) și \(MCA\) avem: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), care este echivalent cu \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Consecinţă
Produsul secantei trase din punctul \(O\) și partea sa exterioară nu depinde de alegerea secantei trase din punctul \(O\) .
Colț central este unghiul al cărui vârf se află în centrul cercului.
Unghi înscris Un unghi al cărui vârf se află pe cerc și ale cărui laturi îl intersectează.
Figura prezintă unghiurile centrale și înscrise, precum și cele mai importante proprietăți ale acestora.
Asa de, valoarea unghiului central este egală cu valoarea unghiulară a arcului pe care se sprijină. Aceasta înseamnă că un unghi central de 90 de grade se va baza pe un arc egal cu 90 °, adică un cerc. Unghiul central, egal cu 60°, se bazează pe un arc de 60 de grade, adică pe a șasea parte a cercului.
Valoarea unghiului înscris este de două ori mai mică decât cea centrală bazată pe același arc.
De asemenea, pentru a rezolva probleme, avem nevoie de conceptul de „cord”.
Unghiurile centrale egale sunt susținute de coarde egale.
1. Care este unghiul înscris pe baza diametrului cercului? Dați răspunsul în grade.
Un unghi înscris pe baza unui diametru este un unghi drept.
2. Unghiul central este cu 36° mai mare decât unghiul acut înscris pe baza aceluiași arc de cerc. Găsiți unghiul înscris. Dați răspunsul în grade.
Fie unghiul central x, iar unghiul înscris bazat pe același arc să fie y.
Știm că x = 2y.
Prin urmare, 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Raza cercului este 1. Aflați valoarea unui unghi obtuz înscris pe baza unei coarde egală cu . Dați răspunsul în grade.
Fie coarda AB . Un unghi obtuz înscris pe baza acestei coarde va fi notat cu α.
În triunghiul AOB, laturile AO și OB sunt egale cu 1, latura AB este egală cu . Am mai văzut astfel de triunghiuri. Evident, triunghiul AOB este dreptunghic și isoscel, adică unghiul AOB este de 90 °.
Apoi arcul ASV este egal cu 90°, iar arcul AKB este egal cu 360° - 90° = 270°.
Unghiul înscris α se sprijină pe arcul AKB și este egal cu jumătate din valoarea unghiulară a acestui arc, adică 135°.
Raspuns: 135.
4. Coarda AB împarte cercul în două părți, ale căror valori sunt legate ca 5:7. În ce unghi este vizibilă această coardă din punctul C, care aparține arcului mai mic al cercului? Dați răspunsul în grade.
Principalul lucru în această sarcină este desenarea și înțelegerea corectă a stării. Cum înțelegeți întrebarea: „În ce unghi este coarda vizibilă din punctul C?”
Imaginează-ți că stai în punctul C și trebuie să vezi tot ce se întâmplă pe acordul AB. Deci, de parcă acordul AB ar fi un ecran într-un cinema :-)
Evident, trebuie să găsiți unghiul ACB.
Suma celor două arce în care coarda AB împarte cercul este de 360°, adică.
5x + 7x = 360°
Prin urmare, x = 30° și apoi unghiul înscris ACB se sprijină pe un arc egal cu 210°.
Valoarea unghiului înscris este egală cu jumătate din valoarea unghiulară a arcului pe care se sprijină, ceea ce înseamnă că unghiul ACB este egal cu 105°.
colțul central este unghiul format din două raze cercuri. Un exemplu de unghi central este unghiul AOB, BOC, COE și așa mai departe.
O colțul centralși arcîncheiat între părțile sale, ei spun că ei corespund fiecare.
1. dacă colțurile centrale arcuri sunt egale.
2. dacă colțurile centrale nu sunt egale, atunci cea mai mare dintre ele corespunde cu cea mai mare arc.
Fie AOB și COD două colțuri centrale, egale sau inegale. Rotiți sectorul AOB în jurul centrului în direcția indicată de săgeată, astfel încât raza OA să coincidă cu OC. Apoi, dacă unghiurile centrale sunt egale, atunci raza OA coincide cu OD și arcul AB coincide cu arcul CD.
Deci aceste arcuri vor fi egale.
Dacă colțurile centrale nu sunt egale, atunci raza OB nu va merge de-a lungul OD, ci de-a lungul unei alte direcții, de exemplu, de-a lungul OE sau OF. În ambele cazuri, un unghi mai mare corespunde în mod evident unui arc mai mare.
Teorema pe care am demonstrat-o pentru un cerc rămâne valabilă cercuri egale, deoarece astfel de cercuri nu diferă unele de altele, cu excepția poziției lor.
Oferte inversate va fi de asemenea adevărat . În același cerc sau în cercuri egale:
1. dacă arcuri sunt egale, apoi cele corespunzătoare colțurile centrale sunt egale.
2. dacă arcuri nu sunt egale, atunci cea mai mare dintre ele corespunde cu cea mai mare colțul central.
În același cerc sau în cercuri egale, unghiurile centrale sunt legate ca arce corespunzătoare. Sau, parafrazând, obținem unghiul central proporţional arcul corespunzător acestuia.