Как пифагор открыл свою теорему. Старт в науке

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы Пифагора не рассматривается.

В связи с этим, целью моей работы было выяснить области применения теоремы Пифагора.

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

Рассмотрю примеры практического применения теоремы Пифагора. Не буду пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой.

Гипотеза:

С помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи.

По данной исследовательской работе определена следующая цель:

Выяснить области применения теоремы Пифагора.

Исходя из вышеназванной цели, были обозначены следующие задачи:

Собрать информацию о практическом применении теоремы Пифагора в различных источниках и определить области применения теоремы.

Изучить некоторые исторические сведения о Пифагоре и о его теореме.

Показать применение теоремы при решении исторических задач.

Обработать собранные данные по теме.

Я занималась поиском и сбором информации - изучала печатный материал, работала с материалом в интернете, обработкой собранными данными.

Методика исследования:

Изучение теоретического материала.

Изучение методик исследования.

Практическое выполнение исследования.

Коммуникативный (метод измерения, анкетирование).

Вид проекта: информационно-исследовательский. Работа выполнялась в свободное время.

О Пифагоре .

Пифагор - древнегреческий философ, математик, астроном. Обосновал многие свойства геометрических фигур, разработал математическую теорию чисел и их пропорций. Внёс значительный вклад в развитие астрономии и акустики. Автор «Золотых стихов», основатель пифагорейской школы в Кротоне.

По преданию Пифагор родился около 580 г. до н. э. на острове Самос в богатой купеческой семье. Его мать - Пифазис, получила свое имя в честь Пифии, жрицы Аполлона. Пифия предсказала Мнесарху и его жене появление на свет сына, сын также был назван в честь Пифии. По многим античным свидетельствам мальчик был сказочно красив и вскоре проявил свои незаурядные способности. Первые познания получил от своего отца Мнесарха, ювелира, резчика по драгоценным камням, который мечтал, что сын станет продолжателем его дела. Но жизнь рассудила иначе. Будущий философ обнаружил большие способности к наукам. Среди учителей Пифагора были Ферекид Сиросский и старец Гермодамант. Первый привил мальчику любовь к науке, а второй - к музыке, живописи и поэзии. Впоследствии Пифагор познакомился известным философом - математиком Фалесом Милетским и по его совету отправился в Египет - центр тогдашней научной и исследовательской деятельности. Прожив 22 года в Египте и 12 лет в Вавилоне, он вернулся на остров Самос, затем покинул его по неизвестным причинам и переехал в город Кротон, на юг Италии. Здесь он создал пифагорейскую школу (союз), в которой изучали различные вопросы философии и математики. В возрасте примерно 60 лет Пифагора женился на Феано, одной из своих учениц. У них рождены трое детей, и все они становятся последователями своего отца. Исторические условия того времени характеризуются широким движением демоса против власти аристократов. Спасаясь от волн народного гнева, Пифагор и его ученики переехали в город Тарента. По одной версии: к нему пришел Килон, богатый и злой человек, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начал борьбу с Пифагором. При пожаре ученики своей ценой спасли жизнь учителю. Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

Следует отметить, что это один из вариантов его биографии. Точные даты его рождения и смерти не установлены, многие факты его жизни противоречивы. Но ясно одно: этот человек жил, и оставил потомкам большое философское и математическое наследие.

Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора - важнейшее утверждение геометрии. Теорема формулируется следующим образом: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Открытие этого утверждения приписывают Пифагору Самосскому (XII в. до н. э.)

Изучение вавилонских клинописных табличек и древних китайских рукописей (копий еще более древних манускриптов) показало, что знаменитая теорема была известна задолго до Пифагора, возможно несколько тысячелетий до него.

(Но есть предположение, что Пифагор дал ее полноценное доказательство)

Но есть и другое мнение: в пифагорейской школе был замечательный обычай приписывать все заслуги Пифагору и несколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может быть нескольких случаев.

(Ямвлих-сирийский грекоязычный писатель, автор трактата «Жизнь Пифагора». (II век н. э)

Так немецкий историк математики Кантор считает, что равенство 3 2 + 4 2= 5 2 было

известно египтянам около 2300 лет до н. э. во времена царя Аменехмета (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). Одни полагают, что Пифагор дал теореме полноценное доказательство, а другие отказываю ему в этой заслуге.

Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводил в своих «Началах». С другой стороны Прокл (математик, 5 века) утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежало самому Евклиду, то есть история математики почти не сохранила достоверных данных о математической деятельности Пифагора. В математике, пожалуй, не найти никакой другой теоремы, заслуживающей всевозможных сравнений.

В некоторых списках «Начал» Евклида эта теорема назвалась «теоремой нимфы» за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой(«теорема бабочки»), что по гречки назвалось нимфой. Этим словом греки назвали еще некоторых богинь, а также молодых женщин и невест. Арабский переводчик не обратил внимания на чертеж и перевел слово «нимфа» как «невеста». Так появилось ласковое название «теорема невесты». Существует легенда, что когда Пифагор Самосский доказал свою теорему, он отблагодарил богов, принеся в жертву 100 быков. Отсюда еще одно название- «теорема ста быков».

В англоязычных странах ее назвали: «ветряная мельница», «павлиний хвост», «кресло невесты», «ослиный мост» (если ученик не мог через него «перейти», значит, он был настоящим « ослом»)

В дореволюционной России рисунок теоремы Пифагора для случая равнобедренного треугольника называли «пифагоровыми штанами».

Эти «штаны» появляются, когда на каждой стороне прямоугольного треугольника построить квадраты во внешнюю сторону.

Сколько существует различных доказательств теоремы Пифагора?

Со времен Пифагора их появилось более 350.Теорема попала в Книгу рекордов Гиннеса. Если проанализировать доказательства теоремы, то принципиально различных идей в них используется немного.

Области применения теоремы.

Широкое применение имеет при решении геометрических задач.

Именно с ее помощью, можно геометрически находить значения квадратных корней из целых чисел:

Для этого строим прямоугольный треугольник АОВ (угол А равен 90°) с единичными катетами. Тогда его гипотенуза √2. Затем строим единичный отрезок ВС, ВС перпендикулярен ОВ, длина гипотенузы ОС=√3 и т.д.

(этот способ встречаем у Евклида и Ф. Киренского).

Задачи в курсе физики средней школы требуют знания теоремы Пифагора.

Это задачи связанные со сложением скоростей.

Обратите внимание на слайд: задача из учебника физики 9 класса. В практическом смысле её можно сформулировать так: под каким углом к течению реки должен двигаться катер, осуществляющий перевозку пассажиров между пристанями, чтобы уложиться в расписание?(пристани находятся на противоположных берегах реки)

Когда биатлонист стреляет по мишени, он делает «поправку на ветер». Если ветер дует справа, а спортсмен стреляет по прямой, то пуля уйдёт влево. Чтобы попасть в цель, надо сдвинуть прицел вправо на расстояние смещения пули. Для них составлены специальные таблицы (на основе следствий из т. Пифагора). Биатлонист знает, на какой угол смещать прицел при известной скорости ветра.

Астрономия - также широкая область для применения теоремы Путь светового луча. На рисунке показан путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.

Какой путь проходит луч ? Свет идет туда и обратно одинаковый путь. Чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l , половину времени как t , а также обозначив скорость движения света буквой c , то наше уравнение примет вид

c * t = l

Это ведь произведение затраченного времени на скорость!

Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v . При таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C .

Вопрос: на сколько успеет сместиться точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Точнее: чему равна половина данного смещения? Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t" , а половину расстояния AC буквой d , то получим наше уравнение в виде:

v * t" = d

Буквой v обозначена скорость движения космического корабля.

Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? (Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?)

Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение:

c * t" = s

Здесь c - это скорость света, а t" - это тоже самое время, которое рассматривали выше.

Теперь рассмотрим треугольник ABC . Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l , которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l , то оно не могло повлиять не нее.

Треугольник ABC составлен из двух половинок - одинаковых прямоугольных треугольников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора . Один из катетов - это d , которое мы рассчитали только что, а второй катет - это s, который проходит свет, и который мы тоже рассчитали.Получаем уравнение:

s 2 = l 2 + d 2

Это ведь теорема Пифагора !

Явление звёздной аберрации, открытое в 1729 году, заключается в том, что все звёзды на небесной сфере описывают эллипсы. Большая полуось этих эллипсов наблюдается с Земли под углом, равным 20,5 градуса. Такой угол связан с движением Земли вокруг Солнца со скоростью 29,8 км в час. Чтобы с движущейся Земли наблюдать звезду, необходимо наклонить трубу телескопа вперёд по движению звезды, так как пока свет проходит длину телескопа, окуляр вместе с землёй перемещается вперёд. Сложение скоростей света и Земли производится векторно, используя т.

Пифагора. U 2 =C 2 +V 2

С-скорость света

V-скорость земли

Труба телескопа

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы, которые долгое время считались искусственными). Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.

Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду, и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Мобильная связь

Кто в современном мире не пользуется сотовым телефоном? Каждый абонент мобильной связи заинтересован в ее качестве. А качество в свою очередь зависит от высоты антенны мобильного оператора. Чтобы рассчитать, в каком радиусе можно принимать передачу, применяем теорему Пифагора .

Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Решение:

Пусть AB= x , BC=R=200 км , OC= r =6380 км.

OB=OA+ABOB=r + x.

Используя теорему Пифагора, получим Ответ: 2,3 км.

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.

Решение:

Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда:

А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м.

Б) Из треугольника ABF:

Окна

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны

ширине окна (b) для наружных дуг

половине ширины, (b/2) для внутренних дуг

Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и

положение ее центра.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем:

(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2

b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4 - bp/2 +p 2 ,

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

В лесной промышленности : для потребностей строительства бревна распиливают на брус, при этом главная задача - получить как можно меньше отходов. Наименьшее число отходов будет тогда, когда брус имеет наибольший объем. Что же должно быть в сечении? Как видно из решения сечение должно быть квадратным, а теорема Пифагора и другие рассуждения позволяют сделать такой вывод.

Брус наибольшего объема

Задача

Из цилиндрического бревна надо выпилить прямоугольный брус наибольшего объема. Какой формы должно быть его сечение (рис. 23)?

Решение

Если стороны прямоугольного сечения х и y, то по теореме Пифагора

x 2 + y 2 = d 2 ,

где d - диаметр бревна. Объем бруса наибольший, когда площадь его сечения наибольшая, т. е. когда ху достигает наибольшей величины. Но если ху наибольшее, то наибольшим будет и произведение х 2 y 2 . Так как сумма х 2 + y 2 неизменна, то, по доказанному ранее, произведение х 2 y 2 наибольшее, когда

х 2 = y 2 или х = y.

Итак, сечение бруса должно быть квадратным.

Транспортные задачи (так называемые задачи на оптимизацию; задачи, решение которых позволяет ответить на вопрос: как располагать средствами для достижения большой выгоды)

На первый взгляд ничего особенного: снять размеры высоты от пола до потолка в нескольких точках, отнять несколько сантиметров, чтобы шкаф не упирался в потолок. Поступив так, в процессе сборки мебели могут возникнуть трудности. Ведь сборка каркаса мебельщики выполняют, располагая шкаф в горизонтальном положении, а когда каркас собран, поднимают его в вертикальное положение. Рассмотрим боковую стенку шкафа. Высота шкафа должна быть на 10 см меньше расстояния от пола до потолка при условии, что это расстояние не превышает 2500 мм. А глубина шкафа - 700 мм. Почему на 10 см, а не на 5 см или на 7, и причем здесь теорема Пифагора?

Итак: боковая стенка 2500-100=2400(мм)- максимальная высота конструкции.

Боковая стенка в процессе подъема каркаса должна свободно пройти как по высоте, так и по диагонали. По теореме Пифагора

АС= √ АВ 2 + ВС 2

АС= √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (мм)

Что произойдет если высоту шкафа уменьшить на 50 мм?

АС= √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (мм)

Диагональ 2548 мм. Значит, шкаф не поставишь (можно испортить потолок).

Молниеотвод.

Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

По теореме Пифагора h 2 ≥ a 2 +b 2, значит h≥(a 2 +b 2) 1/2

Срочно на дачном участке надо сделать парник для рассады.

Из досок сбит квадрат 1м1м. Имеются остатки пленки размером 1,5м1,5м. На какой высоте в центре квадрата надо закрепить рейку, чтобы плёнка полностью его покрыла?

1)Диагональ парника d==1,4;0,7

2)Диагональ плёнки d 1= 2,12 1,06

3) Высота рейки x= 0,7

Заключение

В результате исследования я выяснила некоторые области применения теоремы Пифагора. Мной собрано и обработано много материала из литературных источников и интернета по данной теме. Я изучила некоторые исторические сведения о Пифагоре и его теореме. Да, действительно, с помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи. Теорема Пифагора нашла свое применение в строительстве и архитектуре, мобильной связи, литературе.

Изучение и анализ источников информации о теореме Пифагора

показал, что:

а ) исключительное внимание о стороны математиков и любителей математики к теореме основано на ее простоте, красоте и значимости;

б) теорема Пифагора на протяжении многих веков служит толчком к интересным и важным математическим открытиям (теорема Ферма, теория относительности Эйнштейна);

в ) теорема Пифагора - является воплощением универсального языка математики, справедливого во всем мире;

г ) область применения теоремы достаточно обширная и вообще не может быть указана с достаточной полнотой;

д ) тайны теоремы Пифагора продолжают волновать человечество и поэтому каждому из нас дают шанс быть причастным к их раскрытию.

Библиография

«Успехи математических наук», 1962, т. 17, № 6 (108).

Александр Данилович Александров (к пятидесятилетию со дня рождения),

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 10 - 11 кл. - М.: Просвещение, 1992.

Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 10 - 11 кл. - М.: Просвещение, 1992.

Владимиров Ю.С. Пространство - время: явные и скрытые размерности. - М.: «Наука», 1989.

Волошин А.В. Пифагор. - М.: Просвещение, 1993.

Газета «Математика», № 21, 2006.

Газета «Математика», № 28, 1995.

Геометрия: Учеб. Для 7 - 11 кл. сред.шк./ Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. - М.: Просвещение, 1992.

Геометрия: Учеб.для 7 - 9 кл. общеобразоват. Учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 1996.

Глейзер Г.И. История математики в школе: IX - Xкл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1983.

Дополнительные главы к школьному учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1996.

Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961.

Киселёв А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия: Планиметрия: 7 - 9 кл.: Учебник и задачник. - М.: Дрофа, 1995.

Клайн М. Математика. Поиск истины: Перевод с англ. / Под ред. и предисл. В.И. Аршинова, Ю.В. Сачкова. - М.: Мир, 1998.

Литурман В. Теорема Пифагора. - М., 1960.

Математика: Справочник школьника и студента / Б. Франк и др.; Перевод с нем. - 3-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2003.

Пельтуер А. Кто вы Пифагор? - М.: Знание - сила, № 12, 1994.

Перельман Я. И. Занимательная математика. - М.: «Наука», 1976.

Пономарёва Т.Д. Великие учёные. - М.: ООО «Издательство Астрель», 2002.

Свешникова А. Путешествие в историю математики. - М., 1995.

Семёнов Е.Е. Изучаем геометрию: Кн. Для учащихся 6 - 8 кл. сред.шк. - М.: Просвещение, 1987.

Смышляев В.К. О математике и математиках. - Марийское книжное издательство, 1977.

Тучнин Н.П. Как задать вопрос. - М.: Просвещение, 1993.

Черкасов О.Ю. Планиметрия на вступительном экзамене. - М.: Московский лицей, 1996.

Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П. Савин. - М.: Педагогика, 1985.

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. /Глав. Ред. М.Д. Аксёнова. - М.: Аванта +, 2001.

По мнению Ван-дер-Вардена , очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.

Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около в 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора .

Формулировки

Основная формулировка содержит алгебраические действия - в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} , а длина гипотенузы - c {\displaystyle c} , выполнено соотношение:

Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры : в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. В таком виде теорема сформулирована в Началах Евклида.

Обратная теорема Пифагора - утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} . Как следствие, для всякой тройки положительных чисел a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} , такой, что a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} , существует прямоугольный треугольник с катетами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузой c {\displaystyle c} .

Доказательства

В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора , что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия ), метод площадей , существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами.

Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника с прямым углом C {\displaystyle C} , квадратов над катетами и и квадрата над гипотенузой A B I K {\displaystyle ABIK} строится высота C H {\displaystyle CH} и продолжающий её луч s {\displaystyle s} , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника и . Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника A H J K {\displaystyle AHJK} с квадратом над катетом A C {\displaystyle AC} ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника A H J K {\displaystyle AHJK} и A C E D {\displaystyle ACED} устанавливается через конгруэнтность треугольников △ A C K {\displaystyle \triangle ACK} и △ A B D {\displaystyle \triangle ABD} , площадь каждого из которых равна половине площади квадратов A H J K {\displaystyle AHJK} и A C E D {\displaystyle ACED} соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при A {\displaystyle A} .

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников A H J K {\displaystyle AHJK} и B H J I {\displaystyle BHJI} , равна сумме площадей квадратов над катетами.

Доказательство Леонардо да Винчи

К методу площадей относится также доказательство, найденное Леонардо да Винчи . Пусть дан прямоугольный треугольник △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} с прямым углом C {\displaystyle C} и квадраты A C E D {\displaystyle ACED} , B C F G {\displaystyle BCFG} и A B H J {\displaystyle ABHJ} (см. рисунок). В этом доказательстве на стороне H J {\displaystyle HJ} последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} , притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть J I = B C {\displaystyle JI=BC} и H I = A C {\displaystyle HI=AC} ). Прямая C I {\displaystyle CI} разбивает квадрат, построенный на гипотенузе на две равные части, поскольку треугольники △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} и △ J H I {\displaystyle \triangle JHI} равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников C A J I {\displaystyle CAJI} и D A B G {\displaystyle DABG} , площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны - половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.

Доказательство методом бесконечно малых

Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений . В частности, Харди приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузы c {\displaystyle c} , и сохраняющие подобие с исходным прямоугольником, то есть, обеспечивающие выполнение следующих дифференциальных соотношений:

Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение c d c = a d a + b d b {\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db} , интегрирование которого даёт соотношение c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+\mathrm {Const} } . Применение начальных условий a = b = c = 0 {\displaystyle a=b=c=0} определяет константу как 0, что в результате даёт утверждение теоремы.

Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Вариации и обобщения

Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах

Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в «Началах », перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных подобных геометрических фигур : сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} и C {\displaystyle C} , построенных на катетах с длинами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузе c {\displaystyle c} соответственно, имеет место соотношение:

Так как по теореме Пифагора a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} , то выполнено .

Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение A + B = C {\displaystyle A+B=C} , то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэтный начальному прямоугольный треугольник площадью C {\displaystyle C} , а на катетах - два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом A + B = C {\displaystyle A+B=C} и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.

Теорема косинусов

Теорема Пифагора - это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике :

где - угол между сторонами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} . Если угол равен 90°, то cos ⁡ θ = 0 {\displaystyle \cos \theta =0} , и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник

Существует обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник, оперирующее исключительно соотношением длин сторон, считается, что оно впервые было установлено сабийским астрономом Сабитом ибн Куррой . В нём для произвольного треугольника со сторонами в него вписывается равнобедренный треугольник с основанием на стороне c {\displaystyle c} , вершиной, совпадающей с вершиной исходного треугольника, противолежащей стороне c {\displaystyle c} и углами при основании, равными углу θ {\displaystyle \theta } , противолежащему стороне c {\displaystyle c} . В результате образуются два треугольника, подобных исходному: первый - со сторонами a {\displaystyle a} , дальней от неё боковой стороной вписанного равнобедренного треугольника, и r {\displaystyle r} - части стороны c {\displaystyle c} ; второй - симметрично к нему от стороны b {\displaystyle b} со стороной s {\displaystyle s} - соответствующей частью стороны c {\displaystyle c} . В результате оказывается выполнено соотношение :

вырождающееся в теорему Пифагора при θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} . Соотношение является следствием подобия образованных треугольников:

Теорема Паппа о площадях

Неевклидова геометрия

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и недействительна для неевклидовой геометрии - выполнение теоремы Пифагора равносильно постулату Евклида о параллельности .

В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника, которые ограничивают собой октант единичной сферы, имеют длину π / 2 {\displaystyle \pi /2} , что противоречит теореме Пифагора.

При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему .

Сферическая геометрия

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R {\displaystyle R} (например, если угол в треугольнике прямой) со сторонами a , b , c {\displaystyle a,b,c} соотношение между сторонами имеет вид :

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов , которая справедлива для всех сферических треугольников:

где ch {\displaystyle \operatorname {ch} } - гиперболический косинус . Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников :

где γ {\displaystyle \gamma } - угол, вершина которого противоположна стороне c {\displaystyle c} .

Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 {\displaystyle \operatorname {ch} x\approx 1+x^{2}/2} ) можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.

Применение

Расстояние в двумерных прямоугольных системах

Важнейшее применение теоремы Пифагора - определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат : расстояние s {\displaystyle s} между точками с координатами (a , b) {\displaystyle (a,b)} и (c , d) {\displaystyle (c,d)} равно:

Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения модуля комплексного числа - для z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} он равен длине

Теорема Пифагора всем известна со школьной поры. Выдающийся математик доказал великую гипотезу, которой в настоящее время пользуются многие люди. Звучит правило так: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. За многие десятилетия ни один математик не сумел переспорить данное правило. Ведь Пифагор долго шел к своей цели, чтобы в результате чертежи имели место в повседневной жизни.

1. Небольшой стих к данной теореме, который придумали вскоре после доказательства, напрямую доказывает свойства гипотезы: «Пифагоровы штаны во все стороны равны» . Это двустрочье отложилось в памяти у многих людей – по сей день стихотворение вспоминают при вычислениях.
2. Данная теорема получила название «Пифагоровы штаны» вследствие того, что при черчении по середине получался прямоугольный треугольник, по бокам которого располагались квадраты . С виду данное черчение напоминало штаны – отсюда и название гипотезы.
3. Пифагор гордился разработанной теоремой, ведь данная гипотеза отличается от ею подобных максимальным количеством доказательств . Важно: уравнение было занесено в книгу рекордов Гиннесса вследствие 370 правдивых доказательств.
4. Гипотезу доказывало огромное количество математиков и профессоров из разных стран многими способами . Английский математик Джонс вскоре оглашения гипотезы доказал ее при помощи дифференциального уравнения.
5. В настоящее время никому неизвестно доказательство теоремы самим Пифагором . Факты о доказательствах математика сегодня не известны никому. Считается, что доказательство чертежей Евклидом - это и есть доказательство Пифагора. Однако некоторые ученые спорят с этим утверждением: многие считают, что Евклид самостоятельно доказал теорему, без помощи создателя гипотезы.
6. Нынешние ученые обнаружили, что великий математик был не первым, кто открыл данную гипотезу . Уравнение было известно еще задолго до открытия Пифагором. Данный математик сумел лишь воссоединить гипотезу.
7. Пифагор не давал уравнению название «Теорема Пифагора» . Это название закрепилось после «громкого двустрочья». Математик лишь хотел, чтобы его старания и открытия узнал весь мир и пользовался ими.
8. Мориц Кантор - великий крупнейший математик нашел и разглядел на древнем папирусе записи с чертежами . Вскоре после этого Кантор понял, что данная теорема была известна египтянам еще 2300 лет до нашей эры. Только тогда ею никто не воспользовался и не стал пытаться доказать.
9. Нынешние ученые считают, что гипотеза была известна еще в 8 веке до нашей эры . Индийские ученые того времени обнаружили приблизительное вычисление гипотенузы треугольника, наделенного прямыми углами. Правда в то время никто не смог доказать наверняка уравнение по приблизительным вычислениям.
10. Великий математик Бартель Ван дер Варден после доказательства гипотезы заключил важный вывод : «Заслуга греческого математика считается не открытием направления и геометрии, а лишь ее обоснованием. В руках Пифагора были вычислительные формулы, которые основывались на предположениях, неточных вычислениях и смутных представлениях. Однако выдающемуся ученому удалось превратить из в точную науку».
11. Известный стихотворец сказал, что в день открытия своего чертежа он воздвиг быкам славную жертву . Именно после открытия гипотезы пошли слухи, что жертвоприношение ста быков «пошло странствовать по страницам книг и изданий». Остряки по сей день шутят, что с тех пор все быки боятся нового открытия.
12. Доказательство того, что не Пифагор придумал стихотворение про штаны, дабы доказать выдвинутые им чертежи: во времена жизни великого математика штанов еще не было . Они были придуманы через несколько десятилетий.
13. Пекка, Лейбниц и еще несколько ученых пытались доказать ранее известную теорему, однако это никому не удавалось .
14. Название чертежей «теорема Пифагора» означает «убеждение речью» . Так переводится слово Пифагор, которое взял математик в качестве псевдонима.
15. Размышления Пифагора о собственном правиле: секрет сущего на земле кроется в цифрах . Ведь математик, опираясь на собственную гипотезу, изучил свойства чисел, выявил четность и нечетность, создал пропорции.

Мы надеемся Вам понравилась подборка с картинками - Интересные факты о теореме Пифагора: узнаем новое об известной теореме (15 фото) онлайн хорошего качества. Оставьте пожалуйста ваше мнение в комментариях! Нам важно каждое мнение.

Различные способы доказательства теоремы Пифагора

учащаяся 9 «А» класса

МОУ СОШ №8

Научный руководитель:

учитель математики,

МОУ СОШ №8

ст. Новорождественской

Краснодарского края.

Ст. Новорождественская

АННОТАЦИЯ.

Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает при­стального внимания. Она являет­ся основой решения множества геометрических задач, базой для изучения теоретического и практического курса геометрии в дальнейшем. Теорема окружена богатей­шим историческим материалом, связанным с её появлением и способами доказательства. Изучение истории развития геометрии прививает любовь к данному предмету, способствует развитию познава­тельного интереса, общей культу­ры и творчества, а так же развивает навыки научно-исследовательской работы .

В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.

Собранный материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение.

Введение. Историческая справка 5 Основная часть 8

3. Заключение 19

4. Используемая литература 20
1. ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

Суть истины вся в том, что нам она - навечно,

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.

На радостях богам был Пифагором дан обет:

За то, что мудрости коснулся бесконечной,

Он сто быков заклал, благодаря предвечных;

Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.

С тех пор быки, когда учуят, тужась,

Что к новой истине людей опять подводит след,

Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,

Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.

Быкам, бессильным новой правде противостоять,

Что остается? - Лишь глаза закрыв, реветь, дрожать.

Неизвестно, каким способом доказывал Пифагор свою теорему. Несомненно лишь то, что он открыл ее под силь­ным влиянием египетской науки. Частный случай теоре­мы Пифагора - свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 - был известен строителям пирамид задолго до рожде­ния Пифагора, сам же он более 20 лет обучался у египет­ских жрецов. Сохранилась легенда, которая гласит, что, доказав свою знаменитую теорему, Пифагор принес богам в жертву быка, а по другим источникам, даже 100 быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и ре­лигиозных воззрениях Пифагора. В литературных источ­никах можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». Пифагор питался только медом, хлебом, овощами и изредка рыбой. В связи со всем этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «...и даже когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипо­тенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Популярность теоремы Пифагора столь велика, что ее доказательства встречаются даже в художественной литературе , например, в рассказе известного английско­го писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же Доказа­тельство, но для частного случая равнобедренного пря­моугольного треугольника приводится в диалоге Плато­на «Менон».

Сказка «Дом».

«Далеко-далеко, куда не летают даже самолеты, находится страна Геометрия. В этой необычной стране был один удиви­тельный город - город Теорем. Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она ни обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала. Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предло­жил Гипотенузе поселиться у него. Гипотенуза осталась в доме, в котором жили Прямой Угол и два его маленьких сына по имени Катеты. С тех пор жизнь в доме Прямого Угла пошла по-ново­му. На окошке гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Дом принял форму прямоугольного тре­угольника. Обоим катетам Гипотенуза очень понравилась и они попросили ее остаться навсегда в их доме. Ло вечерам эта друж­ная семья собирается за семейным столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего искать при­ходится ему, а Гипотенуза прячется так искусно, что найти ее бывает очень трудно. Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если ему удается найти катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. Так Прямой Угол пользуется этой закономерностью, надо сказать, очень успешно. На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана тео­рема Пифагора.»

(Из книги А. Окунева «Спасибо за урок, дети»).

Шутливая формулировка теоремы:

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

Изучая алгебру и начала анализа и геометрию в 10 классе , я убедилась в том, что кроме рассмотренного в 8 классе способа доказательства теоремы Пифагора существуют и другие способы доказательства. Представляю их на ваше обозрение.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

1 СПОСОБ.

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, установим замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Доказательство.

а, в и гипотенузой с (рис.1, а).

Докажем, что с²=а²+в² .

Доказательство.

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в так, как показано на рис. 1, б. Площадь S этого квадрата равна (а + в)² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ав  , и квадрата со стороной с, поэтому S= 4 * ½ав + с ² = 2ав + с ².

Таким образом,

(а + в )² = 2ав + с ²,

с²=а²+в² .

Теорема доказана.
2 СПОСОБ.

После изучения темы «Подобные треугольники» я выяснила, что можно применить подобие треугольников к доказательству теоремы Пифагора. А именно, я воспользовалась утверждением о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD– высота (рис. 2). Докажем, что АС ² +СВ ² = АВ ² .

Доказательство.

На основании утверждения о катете прямоугольного треугольника:

АС = , СВ = .

Возведем в квадрат и сложим полученные равенства:

АС² = АВ * АD, СВ² = АВ * DВ;

АС² + СВ² = АВ * (АD + DВ), где АD+DB=AB, тогда

АС² + СВ² = АВ * АВ,

АС² + СВ² = АВ².

Доказательство закончено.
3 СПОСОБ.

К доказательству теоремы Пифагора можно применить определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Рассмотрим рис. 3.

Доказательство:

Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла:

cos А = АD/АС = АС/АВ. Отсюда АВ * АD = АС²

Аналогично,

cos В = ВD/ВС = ВС/АВ.

Отсюда АВ * ВD = ВС² .

Складывая полученные равенства почленно и замечая, что АD + DВ = АВ, получим:

АС ² + ВС ² = АВ (АD + DВ) = АВ ²

Доказательство закончено.
4 СПОСОБ.

Изучив тему «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», я думаю, что теорему Пифагора можно доказать ещё одним способом.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с . (рис. 4).

Докажем, что с²=а²+в².

Доказательство.

sinВ= в/с ; cosВ= a/с, то, возведя в квадрат полученные равенства, получим:

sin²В= в²/с²; cos²В = а²/с².

Сложив их, получим:

sin²В + cos²В= в²/с²+ а²/с², где sin²В + cos²В=1,

1= (в²+ а²) / с², следовательно,

с²= а² + в².

Доказательство закончено.

5 СПОСОБ.

Данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах (рис. 5), и укладывании полученных частей на квадрате, по­строенном на гипотенузе.

6 СПОСОБ.

Для доказательства на катете ВС строим BCD ABC (рис.6). Мы знаем, что пло­щади подобных фигур отно­сятся как квадраты их сход­ственных линейных размеров:

Вычитая из первого равенства второе, получим

с2 = а2 + b2.

Доказательство закончено.

7 СПОСОБ.

Дано (рис. 7):

ABС, = 90°, ВС = а, АС= b, АВ = с.

Доказать: с2 = а2 + b2 .

Доказательство.

Пусть катет b а. Продолжим отре­зок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, что­бы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD и, кроме того, BD = b, BDM = 90°, DM = a, тогда BMD = ABC по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезками AM. Имеем MD CD и AC CD, значит, прямая АС параллельна прямой MD. Так как MD < АС, то прямые CD и AM не параллельны. Следова­тельно, AMDC - прямоугольная трапеция.

В прямоугольных треугольниках ABC и BMD 1 + 2 = 90° и 3 + 4 = 90°, но так как = =, то 3 + 2 = 90°; тогда АВМ =180° - 90° = 90°. Оказа­лось, что трапеция AMDC разбита на три неперекрываю­щихся прямоугольных треугольника, тогда по аксиомам площадей

(a+b)(a+b)

Разделив все члены неравенства на , получим

а b + с2 + а b = (а + b) , 2 ab + с2 = а2 + 2а b + b2,

с2 = а2 + b2.

Доказательство закончено.

8 СПОСОБ.

Данный способ основывается на гипотенузе и кате­тах прямоугольного тре­угольника ABC. Он строит соответствующие квадра­ты и доказывает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, постро­енных на катетах (рис. 8).

Доказательство.

1) DBC = FBA = 90°;

DBC + ABC = FBA + ABC, значит, FBC = DBA.

Таким образом, FBC =ABD (по двум сторонам и углу между ними).

2) , где AL DE, так как BD - общее основание, DL - общая высота.

3) , так как FB –снование, АВ - общая высота.

4)

5) Аналогично можно доказать, что

6) Складывая почленно, получаем:

, ВС2 = АВ2 + АС2 . Доказательство закончено.

9 СПОСОБ.

Доказательство.

1) Пусть ABDE - квадрат (рис. 9), сторона которого рав­на гипотенузе прямоугольно­го треугольника ABC (АВ = с, ВС = а, АС = b).

2) Пусть DK BC и DK = ВС, так как 1 + 2 = 90° (как острые углы прямоугольно­го треугольника), 3 + 2 = 90° (как угол квадрата), АВ = BD (стороны квадрата).

Значит, ABC = BDK (по гипотенузе и острому углу).

3)Пусть EL DK, AM EL. Можно легко доказать, что ABC = BDK =DEL = ЕАМ (с катетами а и b). Тогда КС = СМ = ML = LK = а - b.

4) SKB = 4S + SKLMC = 2ab + (a - b), с 2 = 2ab + a2 - 2ab + b2, c2 = a2 + b2 .

Доказательство закончено.

10 СПОСОБ.

Доказательство может быть проведено на фигуре, в шутке называемой «Пифагоровы штаны» (рис. 10). Идея его со­стоит в преобразовании квад­ратов, построенных на кате­тах, в равновеликие треуголь­ники, составляющие вместе квадрат гипотенузы.

ABC сдвигаем, как пока­зано стрелкой, и он занимает положение KDN. Оставша­яся часть фигуры AKDCB рав­новелика площади квадрата AKDC – это параллелограмм AKNB.

Сделана модель параллелограмма AKNB . Параллелограмм перекладываем так, как зарисовано в содержании работы. Чтобы показать преобразование парал­лелограмма в равновеликий треугольник, на глазах уча­щихся отрезаем на модели треугольник и перекладываем его вниз. Таким образом, площадь квадрата AKDC получилась равна площади прямоугольника. Аналогично преоб­разуем площадь квадрата в площадь прямоугольника.

Теорема Пифагора гласит:

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a 2 + b 2 = c 2 ,

• a и b – катеты, образующие прямой угол.
• с – гипотенуза треугольника.

Формулы теоремы Пифагора

• a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}
• b = \sqrt {c^{2} - a^{2}}
• c = \sqrt {a^{2} + b^{2}}

Доказательство теоремы Пифагора

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

S = \frac{1}{2} ab

Для вычисления площади произвольного треугольника формула площади:

• p – полупериметр. p=\frac{1}{2}(a+b+c) ,
• r – радиус вписанной окружности. Для прямоугольникаr=\frac{1}{2}(a+b-c).

Потом приравниваем правые части обеих формул для площади треугольника:

\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2}(a+b+c) \frac{1}{2}(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^{2} -c^{2} \right)

2 ab = a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}

0=a^{2}+b^{2}-c^{2}

c^{2} = a^{2}+b^{2}

Обратная теорема Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. То есть для всякой тройки положительных чисел a, b и c , такой, что

a 2 + b 2 = c 2 ,

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .

Теорема Пифагора - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Доказана она ученым математиком и философом Пифагором.

Значение теоремы в том, что с ее помощью можно доказать другие теоремы и решать задачи.

Дополнительный материал: