Треугольник является самым простым из типов многоугольников, у которого три угла и три стороны. Стороны образованы отрезками, которые объединены между собой тремя точками на плоскости, образуя при этом жесткую форму. Равенство 2-х треугольников дозволено подтвердить несколькими методами.
Инструкция
1. Если у треугольников ABC и DEF две стороны равны, а угол?, тот, что размещен между двумя сторонами треугольника ABC, равен углу?, тот, что размещен между соответствующими сторонами треугольника DEF, то эти два треугольника равны между собой.
2. Если у треугольников ABC и DEF сторона AB равна стороне DE, а углы, прилегающие к стороне AB, равны углам, прилегающим к стороне DE, то эти треугольники считаются равными.
3. Если у треугольников ABC стороны AB, BC и CD равны соответствующим им сторонам треугольника DEF, то данные треугольники равны.
Обратите внимание!
Если требуется подтвердить равенство между собой 2-х прямоугольных треугольников, то это дозволено сделать при помощи следующих знаков равенства прямоугольных треугольников:- по одному из катетов и гипотенузе;- по двум знаменитым катетам;- по одному из катетов и прилежащему к нему острому углу;- по гипотенузе и одному из острых углов.Треугольники бывают остроугольными (если все углы его поменьше 90 градусов), тупоугольными (если один из его углов огромнее 90 градусов), равносторонними и равнобедренными (если две стороны его равны).
Полезный совет
Помимо равенства треугольников между собой, эти же треугольники являются сходственными. Сходственными треугольниками считаются те, у которых углы равны между собой, а стороны одного треугольника пропорциональны сторонам иного. Стоит подметить, что если два треугольника подобны между собой, то это не гарантирует их равенство. При делении сходственных сторон треугольников друг на друга рассчитывается так называемый показатель подобия. Также данный показатель дозволено получить путем деления площадей сходственных треугольников.
Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 5).
Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB . Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB , то справедливы равенства
Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.
Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).
и теорема 1 в этом случае доказана.
Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).
В этом случае справедливы равенства
что и завершает доказательство теоремы 1.
Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.
Нас интересует величина угла AED E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD
что и требовалось доказать.
Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.
Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.
Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.
Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD –диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углыDAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать
Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.
Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что уголBDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства
С далеких времен и по сей день поиск признаков равенства фигур считается базовой задачей, которая является основой основ геометрии; сотни теорем доказываются с использованием признаков равенства. Умение доказывать равенство и подобие фигур — важная задача во всех сферах строительства.
Вконтакте
Применение навыка на практике
Предположим, что у нас есть фигура, начерченная на листе бумаги. При этом у нас есть линейка и транспортир, с помощью которых мы можем замерять длины отрезков и углы между ними. Как перенести на второй лист бумаги фигуру таких же размеров или увеличить ее масштаб в два раза.
Мы знаем, что треугольник — это фигура, состоящая из трех отрезков, называемых сторонами, образующими углы. Таким образом, существует шесть параметров — три стороны и три угла, которые определяют эту фигуру.
Однако, замерив величину всех трех сторон и углов, перенести данную фигуру на другую поверхность окажется непростой задачей. Кроме того, есть смысл задать вопрос: а не достаточно ли будет знания параметров двух сторон и одного угла, или всего лишь трех сторон.
Замерив длину двух сторон и между ними, затем отложим этот угол на новом листке бумаги, так мы сможем полностью воссоздать треугольник. Давайте разберемся, как это сделать, научимся доказывать признаки, по которым их можно считать одинаковыми, и определимся с тем, какое минимальное число параметров достаточно знать, чтобы получить уверенность в том, что треугольники одинаковы.
Важно! Фигуры называются одинаковыми, если отрезки, образующие их стороны, и углы равны между собой. Подобными называются те фигуры, у которых стороны и углы пропорциональны. Таким образом, равенство — это подобие с коэффициентом пропорциональности 1.
Какие существуют признаки равенства треугольников, дадим их определение:
- первый признак равенства: два треугольника можно считать одинаковыми, если равны две их стороны, а также угол между ними.
- второй признак равенства треугольников: два треугольника будут одинаковыми, если одинаковы два угла, а также соответствующая сторона между ними.
- третий признак равенства треугольников: треугольники можно считать одинаковыми, когда все их стороны имеют равную длину.
Как доказать, что треугольники равны. Приведем доказательство равенства треугольников.
Доказательство 1 признака
Долгое время среди первых математиков данный признак считался аксиомой, однако, как оказалось, его можно геометрически доказать, опираясь на более базовые аксиомы.
Рассмотрим два треугольника — KMN и K 1 M 1 N 1 . Сторона КМ имеет такую же длину как и K 1 M 1 , а KN = K 1 N 1 . А угол MKN равен углам KMN и M 1 K 1 N 1 .
Если рассматривать KM и K 1 M 1, KN и K 1 N 1 как два луча, которые выходят из одной точки, то можно сказать, что между этими парами лучей одинаковые углы (это задано условием теоремы). Произведем параллельный перенос лучей K 1 M 1 и K 1 N 1 из точки K 1 в точку К. Вследствие этого переноса лучи K 1 M 1 и K 1 N 1 полностью совпадут. Отложим на луче K 1 M 1 отрезок длиной КМ, берущий свое начало в точке К. Поскольку по условию полученный отрезок и будет равен отрезку K 1 M 1 то точки М и M 1 совпадают. Аналогично и с отрезками KN и K 1 N 1 . Таким образом, перенося K 1 M 1 N 1 так, что точки K 1 и К совпадают, а две стороны накладываются, получаем полное совпадение и самих фигур.
Важно! В интернете встречаются доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу при помощи алгебраических и тригонометрических тождеств с численными значениями сторон и углов. Однако исторически и математически данная теорема была сформулирована задолго до алгебры и раньше, чем тригонометрия. Для доказательства этого признака теоремы использовать что-либо, кроме базовых аксиом, некорректно.
Доказательство 2 признака
Докажем второй признак равенства по двум углам и стороне, основываясь на первом.
Доказательство 2 признака
Рассмотрим KMN и PRS. К равен Р, N равен S. Сторона КN имеет такую же длину, как и РS. Необходимо доказать, что KMN и PRS — одинаковы.
Отразим точку М относительно луча КN. Полученную точку назовем L. При этом длина стороны КМ = КL. NKL равен PRS. KNL равен RSP.
Поскольку сумма углов равна 180 градусов, то KLN равен PRS, а значит PRS и KLN- одинаковые (подобные) по обеим сторонам и углу, согласно первому признаку.
Но, так как KNL равен KMN, то KMN и PRS — две одинаковые фигуры.
Доказательство 3 признака
Как установить, что треугольники равны. Это прямо вытекает из доказательства второго признака.
Длина KN = PS. Поскольку К = Р, N = S, KL=KM, при этом КN = KS, MN=ML, то:
Это означает, что обе фигуры являются подобными друг другу. Но так как их стороны одинаковы, то и они также равны.
Из признаков равенства и подобия вытекает множество следствий. Одно из них заключается в том, что для того, чтобы определить, равны два треугольника или нет, необходимо знать их свойства, одинаковы ли:
- все три стороны;
- обе стороны и угол между ними;
- оба угла и сторона между ними.
Использование признака равенства треугольников для решения задач
Следствия первого признака
В ходе доказательства можно прийти к ряду интересных и полезных следствий.
- . Тот факт, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их на две одинаковые части — следствие признаков равенства и вполне поддается доказательству.Стороны дополнительного треугольника (при зеркальном построении, как в доказательствах, которые мы выполняли) — сторонам главного (стороны параллелограмма).
- Если есть два прямоугольных треугольника, у которых одинаковые острые углы, то они подобны. Если при этом катет первого равен катету второго, то они равны. Понять это довольно легко — у любых прямоугольных треугольников есть прямой угол. Поэтому признаки равенства для них более просты.
- Два треугольника с прямыми углами, у которых два катета имеют одинаковую длину, можно считать одинаковыми. Это связано с тем, что между двумя катетами угол всегда равен 90 градусов. Поэтому по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними) все треугольники с прямыми углами и одинаковыми катетами — равны.
- Если есть два прямоугольных треугольника, и у них один катет и гипотенуза равны, значит и треугольники одинаковы.
Докажем эту простую теорему.
Есть два прямоугольных треугольника. У одного стороны a, b, c, где с — гипотенуза; a, b — катеты. У второго стороны n, m, l, где l — гипотенуза; m, n — катеты.
По теореме Пифагора один из катетов равен:
;
.
Таким образом, если n = a, l = с (равенство катетов и гипотенуз), соответственно и вторые катеты будут равны. Фигуры, соответственно, будут равны по третьему признаку (по трем сторонам).
Отметим еще одно важное следствие. Если есть два равных треугольника, и они подобны с коэффициентом подобия k, то есть попарные отношения всех их сторон равны k, то отношение их площадей равно k2 .
Первый признак равенства треугольников. Видеоурок по геометрии 7 класс
Геометрия 7 Первый признак равенства треугольников
Вывод
Рассмотренная нами тема поможет любому ученику лучше разобраться в базовых геометрических понятиях и повысить свои навыки в интереснейшем мире математики.
Предлагаю на этот раз устроить что-то вроде «доказательного марафона» по решению задач, которые предлагаются девятиклассникам в вариантах ГИА по математике. Связаны они с доказательством несложных, но в то же время очень полезных геометрических фактов. В статье намеренно не приведены подробные решения задач, лишь некоторые наброски и подсказки. Постарайтесь преодолеть эту марафонскую дистанцию самостоятельно, без ошибок и за один подход.
Задача 1. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
Угол α обозначен одной дугой, β — двумя
Доказательство: из рисунка видно, что α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (развернутый угол), следовательно, α + β = 90 0 . Что и требовалось доказать.
Задача 2. Два отрезка AC и BD пересекаются в точке O , которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и CAB .
ABCD, конечно, будет параллелограммом, но в условии этого не дано
Доказательство: боковые треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (BO = OD — по условию, AO = OC — по условию, ∠DOC = ∠AOB — вертикальные), то есть ∠ACD = ∠CAB , а поскольку они являются накрест лежащими при прямых AB , CD и секущей AC , то AB параллельна DC . Аналогично доказываем параллельность прямых BC и AD. Итак, ABCD — параллелограмм по определению. BC = AD , AB = CD (в параллелограмме противоположные стороны равны), AC — общая для треугольников ACD и CAB , поэтому они равны по трем сторонам. Что и требовалось доказать.
Задача 3. Докажите, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла, противолежащего основанию, а также перпендикулярна основанию.
Углы, образованные медианой и основанием, назовем «нижними», медианой и боковыми сторонами — «верхними»
Доказательство: боковые треугольники на рисунке равны по трем сторонам, из чего следует равенство, во-первых, «верхних» углов (доказали, что биссектриса), во-вторых, «нижних» углов, в сумме как смежные дающих 180 0 , и равных поэтому по 90 0 каждый (доказали перпендикулярность). Что и требовалось доказать.
Задача 4. Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.
Треугольники, образованные медианами, основанием и нижними половинами боковых сторон исходного треугольника, назовем «нижними»
Доказательство: углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому «нижние» треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, из чего следует равенство проведенных медиан. Что и требовалось доказать.
Задача 5. Докажите, что биссектрисы, проведенные из вершин основания равнобедренного треугольника, равны.
Все отмеченные на рисунке углы, конечно, равны, хоть и обозначены разными дугами
Доказательство: «нижний» треугольник равнобедренный, что следует из равенства углов при его основании, «боковые» треугольники равны по стороне (равные из доказанного выше частички биссектрис) и двум углам (первые равны по условию, вторые как вертикальные), поэтому оставшиеся частички биссектрис также равны друг другу, а значит равны и сами биссектрисы целиком. Что и требовалось доказать.
Задача 6. Докажите, что длина отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника, равна половине третьей стороны.
Чистенькие стороны назовем «основаниями», перечеркнутые — «боковыми сторонами»
Доказательство: боковые стороны маленького и большого треугольника на рисунке относятся как 1: 2, кроме того у них есть один общий угол, а значит они подобны по второму признаку с коэффициентом подобия 1: 2, поэтому и основания относятся как 1: 2. Что и требовалось доказать.
Задача 7. Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.
Параллелограмм с диагональю, больше, пожалуй, добавить нечего
Доказательство: противоположные стороны параллелограмма равны, диагональ является общей стороной для этих треугольников, поэтому они равны по трем сторонам. Что и требовалось доказать.
Задача 8. Докажите, что медиана, прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Другими словами медиана проведена из вершины прямого угла
Доказательство: если вокруг данного прямоугольного треугольника описать окружность, то вписанный в эту окружность прямой угол треугольника будет описаться на полуокружность, поэтому гипотенуза будет диаметром этой окружности, а половинки гипотенузы и данная нам в задаче медиана — радиусами, итак, все они равны. Что и требовалось доказать.
Задача 9. Докажите, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Дополнительное построение: соединяем точку C с точкой O (мысленно)
Доказательство: углы B и A прямые (радиусы окружности, проведенные в точку качания, перпендикулярны касательным), значит прямоугольные треугольники AOC и BOC равны по гипотенузе (общая для них воображаемая нами сторона OC ) и катету (радиусы окружности OB = OA ), а значит AC = CB . Что и требовалось доказать.
Задача 10. Докажите, что диаметр, проходящий через середину хорды окружности, перпендикулярен ей.
Линия, соединяющая две точки на рисунке, является медианой треугольника, который мы рассмотрим
Доказательство: в равнобедренном треугольнике, образованном точками пересечения хорды с окружностью и центром этой окружности, изображенная медиана будет являться высотой, а значит диаметр, содержащий в себе эту высоту, перпендикулярен хорде. Что и требовалось доказать.
Задача 11. Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центр этих окружностей, перпендикулярна данной хорде.
Мысленно соединяем вместе все отмеченные на рисунке точки, точку пересечения горизонтали и вертикали назовем H
Доказательство: треугольники O 1 AO 2 и O 1 BO 2 равны по трем сторонам, следовательно, ∠HO 2 A = ∠HO 2 B , тогда треугольники HAO 2 и HBO 2 равны по двум сторонам и углу между ними, значит ∠AHO 2 = ∠BHO 2 , а в сумме два равных угла могут давать 180 0 только в том случае, если каждый из них равен по 90 0 . Что и требовалось доказать.
Задача 12. Докажите, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Описанный четырехугольник. Назовем его ABCD. Пусть M, E, X и L — точки касания
Доказательство: используем теорему об отрезках касательных (задача 9). ВК = ВР , СР = СН , DX = DL и АТ = АК . Суммируем стороны АВ и CD : AB + CD = (AM + MB ) + (DX + XC ) = AL + BE + DL + CE = (AL + LD ) + (BE + EC ) = AD + BC. Что и требовалось доказать.
Задача 13. Докажите, что если около четырехугольника можно описать окружность, то суммы его противолежащих углов равны.
Описанная окружность
Доказательство: по теореме о вписанном угле сумма противолежащих углов этого четырехугольника равна 180 0 , поскольку вместе они опираются на полную окружность, градусная мера которой 360 0 . Что и требовалось доказать.
Задача 14. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная.
Доказательство: сумма противолежащих углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна α + β = 180 0 (см. задачу 13), сумма углов при боковой стороне трапеции также равна α + γ = 180 0 (эти углы являются односторонними при параллельных основаниях и секущей боковой стороне), из сравнения этих формул получаем, что β = γ , то есть углы при основании такой трапеции равны, и она действительно равнобедренная. Что и требовалось доказать.
Задача 15. В квадрате ABCD точки К и Е - середины сторон АВ и AD соответственно. Доказать, что КD перпендикулярна CE .
