Le concept de la relation des côtés dans un triangle. Qu'est-ce qu'un triangle

La science de la géométrie nous dit ce que sont un triangle, un carré et un cube. Dans le monde moderne, tout le monde sans exception l'étudie dans les écoles. En outre, la science qui étudie directement ce qu'est un triangle et ses propriétés est la trigonométrie. Elle explore en détail tous les phénomènes liés aux données. Nous parlerons de ce qu'est un triangle aujourd'hui dans notre article. Leurs types seront décrits ci-dessous, ainsi que quelques théorèmes qui leur sont associés.

Qu'est-ce qu'un triangle ? Définition

C'est un polygone plat. Il a trois coins, comme son nom l’indique. Il a également trois côtés et trois sommets, les premiers sont des segments, les seconds sont des points. Sachant à quoi sont égaux deux angles, vous pouvez trouver le troisième en soustrayant la somme des deux premiers du nombre 180.

Quels types de triangles existe-t-il ?

Ils peuvent être classés selon différents critères.

Tout d’abord, ils sont divisés en angles aigus, obtus et rectangulaires. Les premiers ont des angles aigus, c’est-à-dire ceux qui sont inférieurs à 90 degrés. Dans les angles obtus, l'un des angles est obtus, c'est-à-dire celui qui est égal à plus de 90 degrés, les deux autres sont aigus. Les triangles aigus comprennent également les triangles équilatéraux. De tels triangles ont tous les côtés et angles égaux. Ils sont tous égaux à 60 degrés, cela peut être facilement calculé en divisant la somme de tous les angles (180) par trois.

Triangle rectangle

Il est impossible de ne pas parler de ce qu'est un triangle rectangle.

Une telle figure a un angle égal à 90 degrés (droit), c'est-à-dire que deux de ses côtés sont perpendiculaires. Les deux angles restants sont aigus. Ils peuvent être égaux, alors ce sera isocèle. Le théorème de Pythagore est lié au triangle rectangle. En l'utilisant, vous pouvez trouver le troisième côté, connaissant les deux premiers. Selon ce théorème, si vous ajoutez le carré d’une jambe au carré de l’autre, vous pouvez obtenir le carré de l’hypoténuse. Le carré de la jambe peut être calculé en soustrayant le carré de la jambe connue du carré de l'hypoténuse. En parlant de ce qu'est un triangle, on peut également rappeler un triangle isocèle. C’est celui dans lequel deux des côtés sont égaux et deux angles sont également égaux.

Que sont la jambe et l'hypoténuse ?

Une jambe est l’un des côtés d’un triangle qui forme un angle de 90 degrés. L'hypoténuse est le côté restant opposé à l'angle droit. Vous pouvez en abaisser une perpendiculaire sur la jambe. Le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse est appelé cosinus et le côté opposé est appelé sinus.

- quelles sont ses caractéristiques ?

C'est rectangulaire. Ses pattes sont au nombre de trois et quatre et son hypoténuse en compte cinq. Si vous voyez que les jambes d’un triangle donné sont égales à trois et quatre, vous pouvez être assuré que l’hypoténuse sera égale à cinq. De plus, en utilisant ce principe, vous pouvez facilement déterminer que la jambe sera égale à trois si la seconde est égale à quatre et que l'hypoténuse est égale à cinq. Pour prouver cette affirmation, vous pouvez appliquer le théorème de Pythagore. Si deux branches sont égales à 3 et 4, alors 9 + 16 = 25, la racine de 25 est 5, c'est-à-dire que l'hypoténuse est égale à 5. Un triangle égyptien est aussi un triangle rectangle dont les côtés sont égaux à 6, 8 et 10 ; 9, 12 et 15 et autres nombres avec le rapport 3:4:5.

Que pourrait être un triangle d’autre ?

Les triangles peuvent également être inscrits ou circonscrits. La figure autour de laquelle le cercle est décrit est dite inscrite ; tous ses sommets sont des points situés sur le cercle. Un triangle circonscrit est un triangle dans lequel est inscrit un cercle. Toutes ses faces entrent en contact avec lui en certains points.

Comment se trouve-t-il ?

L'aire de toute figure est mesurée en unités carrées (mètres carrés, millimètres carrés, centimètres carrés, décimètres carrés, etc.). Cette valeur peut être calculée de différentes manières, selon le type de triangle. L'aire de toute figure avec des angles peut être trouvée en multipliant son côté par la perpendiculaire qui y tombe depuis le coin opposé et en divisant cette figure par deux. Vous pouvez également trouver cette valeur en multipliant les deux côtés. Multipliez ensuite ce nombre par le sinus de l'angle situé entre ces côtés, et divisez ce résultat par deux. Connaissant tous les côtés d'un triangle, mais ne connaissant pas ses angles, vous pouvez trouver l'aire d'une autre manière. Pour ce faire, vous devez trouver la moitié du périmètre. Soustrayez ensuite alternativement différents côtés de ce nombre et multipliez les quatre valeurs obtenues. Ensuite, recherchez le numéro qui est sorti. L'aire d'un triangle inscrit peut être trouvée en multipliant tous les côtés et en divisant le nombre obtenu par celui qui l'entoure, multiplié par quatre.

L'aire d'un triangle circonscrit se trouve ainsi : on multiplie la moitié du périmètre par le rayon du cercle qui y est inscrit. Si alors son aire peut être trouvée comme suit : mettez le côté au carré, multipliez le chiffre obtenu par la racine de trois, puis divisez ce nombre par quatre. De la même manière, vous pouvez calculer la hauteur d'un triangle dont tous les côtés sont égaux : pour ce faire, vous devez multiplier l'un d'eux par la racine de trois, puis diviser ce nombre par deux.

Théorèmes liés au triangle

Les principaux théorèmes associés à cette figure sont le théorème de Pythagore décrit ci-dessus et les cosinus. La seconde (des sinus) est que si vous divisez n’importe quel côté par le sinus de l’angle opposé, vous pouvez obtenir le rayon du cercle qui est décrit autour de lui, multiplié par deux. Le troisième (cosinus) est que si de la somme des carrés des deux côtés on soustrait leur produit multiplié par deux et le cosinus de l'angle situé entre eux, alors on obtient le carré du troisième côté.

Triangle de Dali - qu'est-ce que c'est ?

Beaucoup, confrontés à ce concept, pensent d'abord qu'il s'agit d'une sorte de définition en géométrie, mais ce n'est pas du tout le cas. Le Triangle de Dali est le nom commun de trois lieux étroitement liés à la vie du célèbre artiste. Ses « sommets » sont la maison dans laquelle vivait Salvador Dali, le château qu'il a offert à sa femme, ainsi que le musée des peintures surréalistes. Au cours d'une visite de ces lieux, vous pourrez apprendre de nombreux faits intéressants sur cet artiste créateur unique, connu dans le monde entier.

Désignations standards

Triangle avec sommets UN, B Et C est désigné comme (voir figure). Un triangle a trois côtés :

Les longueurs des côtés d'un triangle sont indiquées par des lettres latines minuscules (a, b, c) :

Un triangle a les angles suivants :

Les valeurs d'angle aux sommets correspondants sont traditionnellement désignées par des lettres grecques (α, β, γ).

Signes d'égalité des triangles

Un triangle sur le plan euclidien peut être déterminé de manière unique (jusqu'à la congruence) par les triplets d'éléments de base suivants :

1. a, b, γ (égalité de deux côtés et angle qui les sépare) ;
2. a, β, γ (égalité du côté et deux angles adjacents) ;
3. a, b, c (égalité sur trois côtés).

Signes d'égalité des triangles rectangles :

1. le long de la jambe et de l'hypoténuse ;
2. sur deux jambes;
3. le long de la jambe et de l'angle aigu ;
4. le long de l'hypoténuse et de l'angle aigu.

Certains points du triangle sont « appariés ». Par exemple, il existe deux points à partir desquels tous les côtés sont visibles soit sous un angle de 60°, soit sous un angle de 120°. Ils s'appellent Points Torricelli. Il existe également deux points dont les projections sur les côtés se situent aux sommets d'un triangle régulier. Ce - Points d'Apollonius. Les points et autres sont appelés Points Brocard.

Direct

Dans tout triangle, le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit se trouvent sur la même ligne droite, appelée la ligne d'Euler.

La droite passant par le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine s'appelle Axe Brocard. Les points d'Apollonius se trouvent dessus. La pointe Torricelli et la pointe Lemoine se trouvent également sur la même ligne. Les bases des bissectrices externes des angles d'un triangle se trouvent sur la même droite, appelée axe des bissectrices externes. Les points d'intersection des droites contenant les côtés d'un orthotriangle avec les droites contenant les côtés du triangle se trouvent également sur la même droite. Cette ligne s'appelle axe orthocentrique, elle est perpendiculaire à la droite d’Euler.

Si nous prenons un point sur le cercle circonscrit d'un triangle, alors ses projections sur les côtés du triangle se situeront sur la même ligne droite, appelée Simson est hétéro ce point. Les lignes de Simson des points diamétralement opposés sont perpendiculaires.

Triangles

• Un triangle dont les sommets à la base passent par un point donné est appelé triangle cévien ce point.
• Un triangle dont les sommets sont dans les projections d'un point donné sur les côtés est appelé gazon ou triangle de pédale ce point.
• Un triangle avec des sommets aux deuxièmes points d'intersection des lignes passant par les sommets et un point donné avec le cercle circonscrit est appelé triangle circonférentiel. Le triangle circonférentiel est similaire au triangle de gazon.

Cercles

• Cercle inscrit- un cercle touchant les trois côtés du triangle. Elle est la seule. Le centre du cercle inscrit s'appelle au centre.
• Circoncercle- un cercle passant par les trois sommets du triangle. Le cercle circonscrit est également unique.
• Excercle- un cercle touchant un côté du triangle et le prolongement des deux autres côtés. Il y a trois cercles de ce type dans un triangle. Leur centre radical est le centre du cercle inscrit du triangle médial, appelé Le point de Spiker.

Les milieux des trois côtés d'un triangle, les bases de ses trois altitudes et les milieux des trois segments reliant ses sommets à l'orthocentre se trouvent sur un cercle appelé cercle de neuf points ou cercle d'Euler. Le centre du cercle à neuf points se trouve sur la droite d'Euler. Un cercle de neuf pointes touche un cercle inscrit et trois excercles. Le point de tangence entre le cercle inscrit et le cercle de neuf points est appelé pointe Feuerbach. Si à partir de chaque sommet nous posons vers l'extérieur du triangle sur des lignes droites contenant les côtés, des orthèses de longueur égale aux côtés opposés, alors les six points résultants se trouvent sur le même cercle - Cercle de Conway. Trois cercles peuvent être inscrits dans n'importe quel triangle de telle manière que chacun d'eux touche deux côtés du triangle et deux autres cercles. De tels cercles sont appelés Cercles Malfatti. Les centres des cercles circonscrits des six triangles dans lesquels le triangle est divisé par les médianes se trouvent sur un cercle appelé circonférence de Lamun.

Un triangle comporte trois cercles qui touchent deux côtés du triangle et le cercle circonscrit. De tels cercles sont appelés semi-inscrit ou Cercles de Verrier. Les segments reliant les points de tangence des cercles de Verrier au cercle circonscrit se coupent en un point appelé Le point de Verrier. Il sert de centre d'une homothétie, qui transforme un cercle circonscrit en cercle inscrit. Les points de contact des cercles de Verrier avec les côtés se situent sur une droite passant par le centre du cercle inscrit.

Les segments reliant les points de tangence du cercle inscrit avec les sommets se coupent en un point appelé Pointe Gergonne, et les segments reliant les sommets aux points de tangence des excercles sont en Pointe Nagel.

Ellipses, paraboles et hyperboles

Conique inscrite (ellipse) et son perspecteur

Un nombre infini de coniques (ellipses, paraboles ou hyperboles) peuvent s'inscrire dans un triangle. Si nous inscrivons une conique arbitraire dans un triangle et connectons les points tangents aux sommets opposés, alors les lignes droites résultantes se couperont en un point appelé perspective couchettes. Pour tout point du plan qui ne se trouve pas sur un côté ou sur son prolongement, il y a une conique inscrite avec un perspecteur en ce point.

L'ellipse de Steiner décrite et les cevians passant par ses foyers

Vous pouvez inscrire une ellipse dans un triangle qui touche les côtés au milieu. Une telle ellipse s'appelle Ellipse de Steiner inscrite(sa perspective sera le centre de gravité du triangle). L'ellipse circonscrite, qui touche les lignes passant par les sommets parallèles aux côtés, s'appelle décrit par l'ellipse de Steiner. Si nous transformons un triangle en triangle régulier en utilisant une transformation affine (« inclinaison »), alors son ellipse de Steiner inscrite et circonscrite se transformera en un cercle inscrit et circonscrit. Les lignes de Chevian tracées à travers les foyers de l'ellipse de Steiner décrite (points de Scutin) sont égales (théorème de Scutin). De toutes les ellipses décrites, l'ellipse de Steiner décrite a la plus petite superficie, et de toutes les ellipses inscrites, l'ellipse de Steiner inscrite a la plus grande superficie.

Ellipse de Brocard et son perspecteur - Pointe Lemoine

Une ellipse avec des foyers aux points de Brocard s'appelle Ellipse de Brocard. Sa perspective est le point Lemoine.

Propriétés d'une parabole inscrite

Parabole de Kiepert

Les perspectives des paraboles inscrites se situent sur l'ellipse de Steiner décrite. Le foyer d'une parabole inscrite se trouve sur le cercle circonscrit et la directrice passe par l'orthocentre. Une parabole inscrite dans un triangle et ayant pour directrice d'Euler pour directrice s'appelle Parabole de Kiepert. Son perspecteur est le quatrième point d'intersection du cercle circonscrit et de l'ellipse circonscrite de Steiner, appelé Pointe Steiner.

L'hyperbole de Kiepert

Si l'hyperbole décrite passe par le point d'intersection des hauteurs, alors elle est équilatérale (c'est-à-dire que ses asymptotes sont perpendiculaires). Le point d'intersection des asymptotes d'une hyperbole équilatérale se situe sur le cercle de neuf points.

Transformations

Si les lignes passant par les sommets et certains points ne se trouvant pas sur les côtés et leurs extensions sont réfléchies par rapport aux bissectrices correspondantes, alors leurs images se couperont également en un point, appelé conjugué isogonalement celui d'origine (si le point se trouve sur le cercle circonscrit, alors les lignes résultantes seront parallèles). De nombreuses paires de points remarquables sont conjuguées isogonalement : le centre circonscrit et l'orthocentre, le centroïde et le point de Lemoine, les points de Brocard. Les points d'Apollonius sont conjugués de manière isogonale aux points de Torricelli, et le centre du cercle inscrit est conjugué de manière isogonale à lui-même. Sous l'action de la conjugaison isogonale, les droites se transforment en coniques circonscrites, et les coniques circonscrites en droites. Ainsi, l'hyperbole de Kiepert et l'axe de Brocard, l'hyperbole de Jenzabek et la droite d'Euler, l'hyperbole de Feuerbach et la ligne des centres des cercles inscrits et circonscrits sont conjuguées de manière isogonale. Les cercles circonscrits des triangles des points isogonalement conjugués coïncident. Les foyers des ellipses inscrites sont conjugués isogonalement.

Si, au lieu d'un cevian symétrique, nous prenons un cevian dont la base est aussi éloignée du milieu du côté que la base de celle d'origine, alors ces cevian se couperont également en un point. La transformation résultante est appelée conjugaison isotomique. Il convertit également les lignes droites en coniques décrites. Les points Gergonne et Nagel sont isotomiquement conjugués. Sous transformations affines, les points isotomiquement conjugués sont transformés en points isotomiquement conjugués. Avec la conjugaison isotomique, l'ellipse de Steiner décrite ira dans la ligne droite infiniment éloignée.

Si dans les segments coupés par les côtés du triangle du cercle circonscrit, nous inscrivons des cercles touchant les côtés aux bases des cevians passés par un certain point, puis relions les points tangents de ces cercles au cercle circonscrit aux sommets opposés, alors ces lignes droites se couperont en un point. Une transformation plane qui fait correspondre le point d'origine au point résultant est appelée transformation isocirculaire. La composition des conjugués isogonaux et isotomiques est la composition d'une transformation isocirculaire avec elle-même. Cette composition est une transformation projective, qui laisse les côtés du triangle en place, et transforme l'axe des bissectrices externes en une droite à l'infini.

Si nous continuons les côtés d'un triangle de Chevian d'un certain point et prenons leurs points d'intersection avec les côtés correspondants, alors les points d'intersection résultants se situeront sur une ligne droite, appelée polaire trilinéaire point de départ. L'axe orthocentrique est la polaire trilinéaire de l'orthocentre ; la polaire trilinéaire du centre du cercle inscrit est l'axe des bissectrices externes. Les polaires trilinéaires de points situés sur une conique circonscrite se coupent en un point (pour un cercle circonscrit c'est le point de Lemoine, pour une ellipse de Steiner circonscrite c'est le centroïde). La composition d'un conjugué isogonal (ou isotomique) et d'une polaire trilinéaire est une transformation de dualité (si un point conjugué isogonalement (isotomiquement) à un point se trouve sur la polaire trilinéaire d'un point, alors la polaire trilinéaire d'un point isogonalement (isotomiquement) conjugué à un point se trouve sur la polaire trilinéaire d'un point).

Cubes

Rapports dans un triangle

Note: dans cette section, , sont les longueurs des trois côtés du triangle, et , sont les angles respectivement opposés à ces trois côtés (angles opposés).

Inégalité triangulaire

Dans un triangle non dégénéré, la somme des longueurs de ses deux côtés est supérieure à la longueur du troisième côté, dans un triangle dégénéré elle est égale. En d’autres termes, les longueurs des côtés d’un triangle sont liées par les inégalités suivantes :

L'inégalité triangulaire est l'un des axiomes de la métrique.

Théorème de la somme des angles du triangle

Théorème des sinus

où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle. Il résulte du théorème que si un< b < c, то α < β < γ.

Théorème du cosinus

Théorème de la tangente

Autres ratios

Les rapports métriques dans un triangle sont donnés pour :

Résoudre des triangles

Le calcul des côtés et des angles inconnus d’un triangle sur la base de ceux connus a toujours été appelé « résolution de triangles ». Les théorèmes trigonométriques généraux ci-dessus sont utilisés.

Aire d'un triangle

Pour la zone, les inégalités suivantes sont valables :

Calculer l'aire d'un triangle dans l'espace à l'aide de vecteurs

Soit les sommets du triangle aux points , , .

Introduisons le vecteur de zone . La longueur de ce vecteur est égale à l'aire du triangle, et elle est dirigée normalement au plan du triangle :

Posons , où , , sont les projections du triangle sur les plans de coordonnées. Où

et de même

L'aire du triangle est .

Une alternative consiste à calculer les longueurs des côtés (en utilisant le théorème de Pythagore) puis à utiliser la formule de Heron.

Théorèmes des triangles

Théorème de Desargues: si deux triangles sont en perspective (les lignes passant par les sommets correspondants des triangles se coupent en un point), alors leurs côtés correspondants se coupent sur la même ligne.

Théorème de Sonda: si deux triangles sont perspective et orthologues (perpendiculaires tirées des sommets d'un triangle vers les côtés opposés aux sommets correspondants du triangle, et vice versa), alors les deux centres d'orthologie (les points d'intersection de ces perpendiculaires) et le centre de perspective se situent sur une même droite, perpendiculaire à l'axe de perspective (droite du théorème de Desargues).

Triangle - définition et concepts généraux

Un triangle est un polygone simple composé de trois côtés et ayant le même nombre d'angles. Ses plans sont limités par 3 points et 3 segments reliant ces points deux à deux.

Tous les sommets de tout triangle, quel que soit son type, sont désignés par des lettres latines majuscules, et ses côtés sont représentés par les désignations correspondantes des sommets opposés, non seulement en lettres majuscules, mais en petites. Ainsi, par exemple, un triangle dont les sommets sont étiquetés A, B et C a des côtés a, b, c.

Si l’on considère un triangle dans l’espace euclidien, il s’agit alors d’une figure géométrique formée de trois segments reliant trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite.

Regardez attentivement l'image ci-dessus. Sur celui-ci, les points A, B et C sont les sommets de ce triangle, et ses segments sont appelés les côtés du triangle. Chaque sommet de ce polygone forme des angles à l'intérieur.

Types de triangles

Selon la taille des angles des triangles, ils sont divisés en variétés telles que : Rectangulaire ;
Angulaire aigu ;
Obtus.

Les triangles rectangulaires comprennent ceux qui ont un angle droit et les deux autres ont des angles aigus.

Les triangles aigus sont ceux dont tous les angles sont aigus.

Et si un triangle a un angle obtus et les deux autres angles aigus, alors un tel triangle est classé comme obtus.

Chacun de vous comprend parfaitement que tous les triangles n’ont pas des côtés égaux. Et selon la longueur de ses côtés, les triangles peuvent être divisés en :

Isocèle;
Équilatéral;
Polyvalent.

Devoir : Dessinez différents types de triangles. Définissez-les. Quelle différence voyez-vous entre eux ?

Propriétés de base des triangles

Bien que ces polygones simples puissent différer les uns des autres par la taille de leurs angles ou de leurs côtés, chaque triangle possède les propriétés fondamentales caractéristiques de cette figure.

Dans n'importe quel triangle :

La somme totale de tous ses angles est de 180º.
S'il appartient aux équilatéraux, alors chacun de ses angles mesure 60º.
Un triangle équilatéral a des angles égaux et égaux.
Plus le côté du polygone est petit, plus l'angle opposé à celui-ci est petit, et vice versa, plus l'angle est opposé au plus grand côté.
Si les côtés sont égaux, alors en face d'eux se trouvent des angles égaux, et vice versa.
Si nous prenons un triangle et étendons son côté, nous nous retrouvons avec un angle externe. Elle est égale à la somme des angles internes.
Dans tout triangle, son côté, quel que soit celui que vous choisissez, sera toujours inférieur à la somme des 2 autres côtés, mais supérieur à leur différence :

1. un< b + c, a >avant JC;
2.b< a + c, b >a–c ;
3.c< a + b, c >un B.

Exercice

Le tableau montre les deux angles déjà connus du triangle. Connaissant la somme totale de tous les angles, trouvez à quoi est égal le troisième angle du triangle et inscrivez-le dans le tableau :

1. Combien de degrés a le troisième angle ?
2. À quel type de triangle appartient-il ?

Tests d'équivalence des triangles

je signe

signe II

signe III

Hauteur, bissectrice et médiane d'un triangle

L'altitude d'un triangle - la perpendiculaire tracée depuis le sommet de la figure jusqu'à son côté opposé est appelée l'altitude du triangle. Toutes les altitudes d'un triangle se coupent en un point. Le point d'intersection des 3 altitudes d'un triangle est son orthocentre.

Un segment tiré d'un sommet donné et le reliant au milieu du côté opposé est la médiane. Les médianes, ainsi que les altitudes d'un triangle, ont un point d'intersection commun, appelé centre de gravité du triangle ou centroïde.

La bissectrice d'un triangle est un segment reliant le sommet d'un angle et un point du côté opposé, et divisant également cet angle en deux. Toutes les bissectrices d'un triangle se coupent en un point, appelé centre du cercle inscrit dans le triangle.

Le segment qui relie les milieux des 2 côtés d’un triangle s’appelle la ligne médiane.

Référence historique

Une figure telle qu'un triangle était connue dans l'Antiquité. Cette figure et ses propriétés ont été mentionnées sur des papyrus égyptiens il y a quatre mille ans. Un peu plus tard, grâce au théorème de Pythagore et à la formule de Héron, l'étude des propriétés d'un triangle est passée à un niveau supérieur, mais cela s'est quand même produit il y a plus de deux mille ans.

Aux XVe et XVIe siècles, de nombreuses recherches ont commencé à être menées sur les propriétés d'un triangle, ce qui a donné naissance à une science telle que la planimétrie, appelée « Nouvelle géométrie du triangle ».

Le scientifique russe N.I. Lobatchevski a apporté une énorme contribution à la connaissance des propriétés des triangles. Ses travaux trouvèrent plus tard des applications en mathématiques, en physique et en cybernétique.

Grâce à la connaissance des propriétés des triangles, une science telle que la trigonométrie est née. Il s'est avéré nécessaire pour une personne dans ses besoins pratiques, puisque son utilisation est simplement nécessaire lors de l'élaboration de cartes, de la mesure de zones et même lors de la conception de divers mécanismes.

Quel est le triangle le plus célèbre que vous connaissez ? Il s'agit bien sûr du Triangle des Bermudes ! Il a reçu ce nom dans les années 50 en raison de la situation géographique des points (sommets du triangle), à ​​l'intérieur desquels, selon la théorie existante, sont apparues les anomalies qui lui sont associées. Les sommets du Triangle des Bermudes sont les Bermudes, la Floride et Porto Rico.

Devoir : Quelles théories sur le Triangle des Bermudes avez-vous entendu ?

Saviez-vous que dans la théorie de Lobatchevski, lors de l’addition des angles d’un triangle, leur somme donne toujours un résultat inférieur à 180º. Dans la géométrie de Riemann, la somme de tous les angles d'un triangle est supérieure à 180º, et dans les travaux d'Euclide, elle est égale à 180 degrés.

Devoirs

Résoudre des mots croisés sur un sujet donné

Questions pour les mots croisés :

1. Quel est le nom de la perpendiculaire qui est tracée du sommet du triangle à la droite située du côté opposé ?
2. Comment, en un mot, peut-on appeler la somme des longueurs des côtés d'un triangle ?
3. Nommez un triangle dont les deux côtés sont égaux ?
4. Nommez un triangle qui a un angle égal à 90° ?
5. Quel est le nom du plus grand côté du triangle ?
6. Quel est le nom du côté d’un triangle isocèle ?
7. Il y en a toujours trois dans un triangle.
8. Quel est le nom d'un triangle dont l'un des angles dépasse 90° ?
9. Le nom du segment reliant le haut de notre figure au milieu du côté opposé ?
10. Dans un polygone simple ABC, la lettre majuscule A est... ?
11. Quel est le nom du segment qui divise l'angle d'un triangle en deux ?

Questions sur le thème des triangles :

1. Définissez-le.
2. Combien de hauteurs a-t-il ?
3. Combien de bissectrices possède un triangle ?
4. Quelle est sa somme d’angles ?
5. Quels types de ce polygone simple connaissez-vous ?
6. Nommez les points des triangles dits remarquables.
7. Quel appareil pouvez-vous utiliser pour mesurer l’angle ?
8. Si les aiguilles de l'horloge indiquent 21 heures. Quel angle font les aiguilles des heures ?
9. Sous quel angle une personne se tourne-t-elle si on lui donne le commandement « à gauche », « cercle » ?
10. Connaissez-vous d'autres définitions associées à une figure qui a trois angles et trois côtés ?

Le polygone le plus simple étudié à l'école est un triangle. Il est plus compréhensible pour les étudiants et rencontre moins de difficultés. Malgré le fait qu’il existe différents types de triangles qui ont des propriétés particulières.

Quelle forme s'appelle un triangle ?

Formé de trois points et segments. Les premiers sont appelés sommets, les seconds sont appelés côtés. De plus, les trois segments doivent être connectés de manière à former des angles entre eux. D’où le nom de la figure « triangle ».

Différences de noms dans les coins

Puisqu’ils peuvent être aigus, obtus et droits, les types de triangles sont déterminés par ces noms. En conséquence, il existe trois groupes de ces chiffres.

• D'abord. Si tous les angles d’un triangle sont aigus, alors on l’appellera aigu. Tout est logique.

• Deuxième. L’un des angles est obtus, ce qui signifie que le triangle est obtus. Cela ne pourrait pas être plus simple.

• Troisième. Il existe un angle égal à 90 degrés, appelé angle droit. Le triangle devient rectangulaire.

Différences de noms sur les côtés

Selon les caractéristiques des côtés, on distingue les types de triangles suivants :

le cas général est le scalène, dans lequel tous les côtés sont de longueur arbitraire ;

isocèle dont les deux côtés ont les mêmes valeurs numériques ;

équilatéral, les longueurs de tous ses côtés sont les mêmes.

Si le problème ne spécifie pas un type spécifique de triangle, vous devez alors en dessiner un arbitraire. Dans lequel tous les coins sont vifs et les côtés ont des longueurs différentes.

Propriétés communes à tous les triangles

1. Si vous additionnez tous les angles d’un triangle, vous obtenez un nombre égal à 180º. Et peu importe de quel type il s’agit. Cette règle s'applique toujours.
2. La valeur numérique de n’importe quel côté d’un triangle est inférieure à celle des deux autres additionnés. De plus, c'est plus grand que leur différence.
3. Chaque angle externe a une valeur obtenue en additionnant deux angles internes qui ne lui sont pas adjacents. De plus, il est toujours plus grand que celui interne qui lui est adjacent.
4. Le plus petit angle est toujours opposé au plus petit côté du triangle. Et vice versa, si le côté est grand, alors l'angle sera le plus grand.

Ces propriétés sont toujours valables, quels que soient les types de triangles considérés dans les problèmes. Tout le reste découle de caractéristiques spécifiques.

Propriétés d'un triangle isocèle

• Les angles adjacents à la base sont égaux.
• La hauteur, qui est tirée vers la base, est également la médiane et la bissectrice.
• Les altitudes, médianes et bissectrices, qui sont construites sur les côtés latéraux du triangle, sont respectivement égales entre elles.

Propriétés d'un triangle équilatéral

Si un tel chiffre existe, alors toutes les propriétés décrites un peu plus haut seront vraies. Car un équilatéral sera toujours isocèle. Mais l’inverse n’est pas vrai : un triangle isocèle ne sera pas nécessairement équilatéral.

• Tous ses angles sont égaux et valent 60º.
• Toute médiane d'un triangle équilatéral est sa hauteur et sa bissectrice. De plus, ils sont tous égaux les uns aux autres. Pour déterminer leurs valeurs, il existe une formule qui consiste en le produit du côté et de la racine carrée de 3 divisé par 2.

Propriétés d'un triangle rectangle

• Deux angles aigus totalisent 90º.
• La longueur de l'hypoténuse est toujours supérieure à celle de n'importe laquelle des jambes.
• La valeur numérique de la médiane tracée vers l'hypoténuse est égale à sa moitié.
• La jambe a la même valeur si elle se trouve face à un angle de 30º.
• La hauteur, qui est tirée du sommet avec une valeur de 90º, a une certaine dépendance mathématique sur les jambes : 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Ici : a, b - jambes, n - hauteur.

Problèmes avec différents types de triangles

N°1. Étant donné un triangle isocèle. Son périmètre est connu et égal à 90 cm, il faut connaître ses côtés. Comme condition supplémentaire : le côté latéral est 1,2 fois plus petit que la base.

La valeur du périmètre dépend directement des quantités à trouver. La somme des trois côtés donnera 90 cm. Vous devez maintenant vous rappeler le signe d'un triangle selon lequel il est isocèle. Autrement dit, les deux côtés sont égaux. Vous pouvez créer une équation à deux inconnues : 2a + b = 90. Ici a est le côté, b est la base.

Il est maintenant temps d'ajouter une condition supplémentaire. Suite à cela, la deuxième équation est obtenue : b = 1,2a. Vous pouvez remplacer cette expression par la première. Il s'avère : 2a + 1,2a = 90. Après transformations : 3,2a = 90. D'où a = 28,125 (cm). Il est désormais facile d’en découvrir la base. Il est préférable de le faire à partir de la deuxième condition : b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Pour vérifier, vous pouvez additionner trois valeurs : 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). C'est exact.

Réponse : Les côtés du triangle mesurent 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

N°2. Le côté d'un triangle équilatéral mesure 12 cm, vous devez calculer sa hauteur.

Solution. Pour trouver la réponse, il suffit de revenir au moment où les propriétés du triangle ont été décrites. C'est la formule pour trouver la hauteur, la médiane et la bissectrice d'un triangle équilatéral.

n = a * √3 / 2, où n est la hauteur et a est le côté.

La substitution et le calcul donnent le résultat suivant : n = 6 √3 (cm).

Il n'est pas nécessaire de mémoriser cette formule. Il suffit de rappeler que la hauteur divise le triangle en deux rectangles. De plus, il s'avère qu'il s'agit d'une jambe, et l'hypoténuse qu'elle contient est le côté de celle d'origine, la deuxième jambe est la moitié du côté connu. Vous devez maintenant écrire le théorème de Pythagore et en dériver une formule pour la hauteur.

Réponse : la hauteur est de 6 √3 cm.

N ° 3. Étant donné que MKR est un triangle dans lequel l'angle K fait 90 degrés. Les côtés MR et KR sont connus, ils sont égaux respectivement à 30 et 15 cm. Nous devons connaître la valeur de l'angle P.

Solution. Si vous faites un dessin, il devient clair que MR est l'hypoténuse. De plus, il est deux fois plus grand que le côté du KR. Encore une fois, vous devez vous tourner vers les propriétés. L’un d’eux concerne les angles. Il ressort clairement que l'angle KMR est de 30º. Cela signifie que l'angle P souhaité sera égal à 60º. Cela découle d'une autre propriété, selon laquelle la somme de deux angles aigus doit être égale à 90º.

Réponse : l'angle P est de 60º.

Numéro 4. Nous devons trouver tous les angles d’un triangle isocèle. On sait que l'angle extérieur à partir de l'angle à la base est de 110º.

Solution. Puisque seul l’angle externe est donné, c’est ce que vous devez utiliser. Il forme un angle déplié avec l'angle interne. Cela signifie qu'au total, ils donneront 180º. C'est-à-dire que l'angle à la base du triangle sera égal à 70º. Puisqu’il est isocèle, le deuxième angle a la même valeur. Reste à calculer le troisième angle. Selon une propriété commune à tous les triangles, la somme des angles est de 180º. Cela signifie que le troisième sera défini comme 180º - 70º - 70º = 40º.

Réponse : les angles sont 70º, 70º, 40º.

N ° 5. On sait que dans un triangle isocèle, l’angle opposé à la base est de 90º. Il y a un point marqué sur la base. Le segment le reliant à un angle droit le divise dans un rapport de 1 à 4. Vous devez connaître tous les angles du plus petit triangle.

Solution. L'un des angles peut être déterminé immédiatement. Puisque le triangle est rectangle et isocèle, ceux qui se trouvent à sa base auront chacun 45º, soit 90º/2.

Le second vous aidera à trouver la relation connue dans la condition. Puisqu'il est égal à 1 à 4, les parties dans lesquelles il est divisé ne sont que 5. Cela signifie que pour connaître le plus petit angle d'un triangle, il faut 90º/5 = 18º. Reste à découvrir le troisième. Pour ce faire, vous devez soustraire 45º et 18º de 180º (la somme de tous les angles du triangle). Les calculs sont simples et vous obtenez : 117º.

On pourrait probablement écrire un livre entier sur le thème du « Triangle ». Mais c'est trop long de lire le livre en entier, non ? Par conséquent, nous ne considérerons ici que les faits liés à n'importe quel triangle en général, et toutes sortes de sujets particuliers, tels que, etc. séparés en sujets distincts - lisez le livre en morceaux. Eh bien, comme pour n’importe quel triangle.

1. Somme des angles d'un triangle. Coin extérieur.

Rappelez-vous fermement et n'oubliez pas. Nous ne le prouverons pas (voir les niveaux de théorie suivants).

La seule chose qui pourrait vous dérouter dans notre formulation est le mot « interne ».

Pourquoi est-ce ici ? Mais justement pour souligner que nous parlons des angles qui sont à l’intérieur du triangle. Y a-t-il vraiment d’autres coins dehors ? Imaginez, cela arrive. Le triangle a encore coins extérieurs. Et la conséquence la plus importante du fait que le montant coins internes Le triangle est égal à, touche uniquement le triangle extérieur. Voyons donc quel est cet angle extérieur du triangle.

Regardez l’image : prenez un triangle et (disons) continuez sur un côté.

Bien sûr, nous pourrions quitter le côté et continuer le côté. Comme ça:

Mais on ne peut en aucun cas dire cela de l’angle. c'est interdit!

Ainsi, tout angle extérieur à un triangle n'a pas le droit d'être appelé angle extérieur, mais seulement celui formé un côté et une continuation de l’autre côté.

Alors que devons-nous savoir sur les angles externes ?

Regardez, sur notre photo, cela signifie cela.

Quel est le rapport avec la somme des angles d’un triangle ?

Voyons cela. La somme des angles intérieurs est

mais - parce que et - sont adjacents.

Eh bien, le voici : .

Voyez-vous comme c'est simple ?! Mais très important. Alors souviens-toi:

La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale et l'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme de deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.

2. Inégalité triangulaire

Le fait suivant ne concerne pas les angles, mais les côtés du triangle.

Cela signifie que

Avez-vous déjà deviné pourquoi ce fait est appelé inégalité triangulaire ?

Eh bien, où cette inégalité triangulaire peut-elle être utile ?

Imaginez que vous avez trois amis : Kolya, Petya et Sergei. Et ainsi, Kolya dit : « De ma maison à celle de Petya en ligne droite. » Et Petya : "De ma maison à celle de Sergei, des mètres en ligne droite." Et Sergueï : "C'est bien pour toi, mais de chez moi à Kolinoye, c'est une ligne droite." Eh bien, ici, il faut dire : « Stop, stop ! Certains d’entre vous mentent !

Pourquoi? Oui, car si de Kolya à Petya il y a m, et de Petya à Sergei il y a m, alors de Kolya à Sergei il doit certainement y avoir moins () mètres - sinon la même inégalité triangulaire est violée. Eh bien, le bon sens est définitivement, naturellement, violé : après tout, tout le monde sait depuis l'enfance que le chemin vers une ligne droite () devrait être plus court que le chemin vers un point. (). L’inégalité triangulaire reflète donc simplement ce fait bien connu. Eh bien, vous savez maintenant comment répondre, disons, à une question :

Un triangle a-t-il des côtés ?

Vous devez vérifier s’il est vrai que la somme de deux de ces trois nombres est supérieure au troisième. Vérifions : cela veut dire qu’il n’existe pas de triangle avec des côtés ! Mais avec les côtés - ça arrive, parce que

3. Égalité des triangles

Eh bien, que se passe-t-il s'il n'y a pas un, mais deux triangles ou plus. Comment vérifier s’ils sont égaux ? En fait, par définition :

Mais... c'est une définition terriblement gênante ! Comment, je vous en prie, peut-on superposer deux triangles même dans un cahier ?! Mais heureusement pour nous il y a signes d'égalité des triangles, qui vous permettent d'agir avec votre esprit sans mettre vos cahiers en danger.

Et d'ailleurs, jetant les blagues frivoles, je vais vous confier un secret : pour un mathématicien, le mot « superposer des triangles » ne signifie pas du tout les découper et les superposer, mais dire beaucoup, beaucoup, beaucoup de mots qui prouveront que deux triangles coïncideront lorsqu'ils seront superposés. Ainsi, vous ne devez en aucun cas écrire dans votre travail "J'ai vérifié - les triangles coïncident lorsqu'ils sont appliqués" - ils ne le compteront pas pour vous, et ils auront raison, car personne ne garantit que vous n'avez pas commis d'erreur lors de l'application, disons, un quart de millimètre.

Ainsi, certains mathématiciens ont dit un tas de mots, on ne répétera pas ces mots après eux (sauf peut-être dans le dernier niveau de la théorie), mais on utilisera activement trois signes d'égalité des triangles.

Dans l'usage quotidien (mathématique), de telles formulations abrégées sont acceptées - elles sont plus faciles à mémoriser et à appliquer.

1. Le premier signe est sur deux côtés et l'angle entre eux ;
2. Le deuxième panneau est sur deux coins et sur le côté adjacent ;
3. Le troisième signe est sur trois côtés.

TRIANGLE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Un triangle est une figure géométrique formée de trois segments qui relient trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite.

Concepts de base.

Propriétés de base :

1. La somme des angles intérieurs de tout triangle est égale, c'est-à-dire
2. L'angle externe d'un triangle est égal à la somme de deux angles internes qui ne lui sont pas adjacents, c'est-à-dire
   ou
3. La somme des longueurs de deux côtés quelconques d'un triangle est supérieure à la longueur de son troisième côté, c'est-à-dire
4. Dans un triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle et le plus grand angle est opposé au plus grand côté, c'est-à-dire
   si, alors, et vice versa,
   si donc.

Signes d'égalité des triangles.

1. Premier signe- de deux côtés et l'angle entre eux.

2. Deuxième signe- sur deux coins et le côté adjacent.

3. Troisième signe- sur trois côtés.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème est que cela ne suffit peut-être pas...

Pour quoi?

Pour avoir réussi l'examen d'État unifié, pour entrer à l'université avec un budget limité et, SURTOUT, pour la vie.

Je ne vais vous convaincre de rien, je dirai juste une chose...

Les personnes qui ont reçu une bonne éducation gagnent beaucoup plus que celles qui ne l’ont pas reçue. Ce sont des statistiques.

Mais ce n’est pas l’essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que de nombreuses autres opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

Mais pensez par vous-même...

Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen d'État unifié et finalement être... plus heureux ?

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