Ky artikull jep një ide se si të krijohet një ekuacion për një plan që kalon nëpër një pikë të caktuar në hapësirën tredimensionale pingul me një vijë të caktuar. Le të analizojmë algoritmin e dhënë duke përdorur shembullin e zgjidhjes së problemeve tipike.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Gjetja e ekuacionit të një rrafshi që kalon në një pikë të caktuar në hapësirë ​​pingul me një drejtëz të caktuar

Le të jepet në të një hapësirë ​​tredimensionale dhe një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z. Janë dhënë edhe pika M 1 (x 1, y 1, z 1), drejtëza a dhe rrafshi α që kalon në pikën M 1 pingul me drejtëzën a. Është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i rrafshit α.

Para se të fillojmë të zgjidhim këtë problem, le të kujtojmë teoremën e gjeometrisë nga planprogrami për klasat 10-11, e cila thotë:

Përkufizimi 1

Nëpër një pikë të caktuar në hapësirën tredimensionale kalon një rrafsh i vetëm pingul me një drejtëz të caktuar.

Tani le të shohim se si të gjejmë ekuacionin e këtij rrafshi të vetëm që kalon nëpër pikën e fillimit dhe pingul me drejtëzën e dhënë.

Është e mundur të shkruhet ekuacioni i përgjithshëm i një rrafshi nëse dihen koordinatat e një pike që i përket këtij rrafshi, si dhe koordinatat e vektorit normal të rrafshit.

Kushtet e problemës na japin koordinatat x 1, y 1, z 1 të pikës M 1 nëpër të cilën kalon rrafshi α. Nëse përcaktojmë koordinatat e vektorit normal të rrafshit α, atëherë do të mund të shkruajmë ekuacionin e kërkuar.

Vektori normal i rrafshit α, meqenëse është jo zero dhe shtrihet në drejtëzën a, pingul me rrafshin α, do të jetë çdo vektor drejtimi i drejtëzës a. Kështu, problemi i gjetjes së koordinatave të vektorit normal të rrafshit α shndërrohet në problemin e përcaktimit të koordinatave të vektorit drejtues të drejtëzës a.

Përcaktimi i koordinatave të vektorit të drejtimit të drejtëzës a mund të kryhet me metoda të ndryshme: varet nga opsioni i specifikimit të drejtëzës a në kushtet fillestare. Për shembull, nëse drejtëza a në deklaratën e problemit jepet nga ekuacionet kanonike të formës

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ose ekuacionet parametrike të formës:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

atëherë vektori i drejtimit të drejtëzës do të ketë koordinatat a x, a y dhe një z. Në rastin kur drejtëza a përfaqësohet nga dy pika M 2 (x 2, y 2, z 2) dhe M 3 (x 3, y 3, z 3), atëherë koordinatat e vektorit të drejtimit do të përcaktohen si ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Përkufizimi 2

Algoritmi për gjetjen e ekuacionit të një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një drejtëz të caktuar:

Përcaktojmë koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës a: a → = (a x, a y, a z) ;

Përcaktojmë koordinatat e vektorit normal të rrafshit α si koordinatat e vektorit drejtues të drejtëzës a:

n → = (A , B , C) , ku A = a x, B = a y, C = a z;

Shkruajmë ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe ka një vektor normal n → = (A, B, C) në formën A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Ky do të jetë ekuacioni i kërkuar i një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar në hapësirë ​​dhe është pingul me një vijë të caktuar.

Ekuacioni i përgjithshëm që rezulton i aeroplanit është: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 bën të mundur marrjen e ekuacionit të rrafshit në segmente ose ekuacionit normal të rrafshit.

Le të zgjidhim disa shembuj duke përdorur algoritmin e marrë më sipër.

Shembulli 1

Është dhënë një pikë M 1 (3, - 4, 5), nëpër të cilën kalon rrafshi dhe ky plan është pingul me drejtëzën koordinative O z.

Zgjidhje

vektori i drejtimit të vijës së koordinatave O z do të jetë vektori koordinativ k ⇀ = (0, 0, 1). Prandaj, vektori normal i rrafshit ka koordinata (0, 0, 1). Le të shkruajmë ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar M 1 (3, - 4, 5), vektori normal i së cilës ka koordinata (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Përgjigje: z – 5 = 0 .

Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të zgjidhur këtë problem:

Shembulli 2

Një plan që është pingul me drejtëzën O z do të jepet nga një ekuacion i përgjithshëm jo i plotë i formës C z + D = 0, C ≠ 0. Le të përcaktojmë vlerat e C dhe D: ato në të cilat avioni kalon nëpër një pikë të caktuar. Le t'i zëvendësojmë koordinatat e kësaj pike në ekuacionin C z + D = 0, marrim: C · 5 + D = 0. Ato. numrat, C dhe D lidhen me relacionin - D C = 5. Duke marrë C = 1, marrim D = - 5.

Le t'i zëvendësojmë këto vlera në ekuacionin C z + D = 0 dhe marrim ekuacionin e kërkuar të një rrafshi pingul me vijën e drejtë O z dhe që kalon nëpër pikën M 1 (3, - 4, 5).

Do të duket si: z – 5 = 0.

Përgjigje: z – 5 = 0 .

Shembulli 3

Shkruani një ekuacion për një plan që kalon nga origjina dhe pingul me drejtëzën x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Zgjidhje

Bazuar në kushtet e problemit, mund të argumentohet se vektori i drejtimit të një drejtëze të caktuar mund të merret si vektor normal n → i një rrafshi të caktuar. Kështu: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Le të shkruajmë ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër pikën O (0, 0, 0) dhe ka një vektor normal n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Ne kemi marrë ekuacionin e kërkuar të një rrafshi që kalon nga origjina e koordinatave pingul me një vijë të caktuar.

Përgjigje:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Shembulli 4

Një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z është dhënë në hapësirën tredimensionale, në të ka dy pika A (2, - 1, - 2) dhe B (3, - 2, 4). Rrafshi α kalon në pikën A pingul me drejtëzën A B. Është e nevojshme të krijohet një ekuacion për rrafshin α në segmente.

Zgjidhje

Rrafshi α është pingul me drejtëzën A B, atëherë vektori A B → do të jetë vektori normal i rrafshit α. Koordinatat e këtij vektori përcaktohen si ndryshimi midis koordinatave përkatëse të pikave B (3, - 2, 4) dhe A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Ekuacioni i përgjithshëm i aeroplanit do të shkruhet si më poshtë:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Tani le të përpilojmë ekuacionin e kërkuar të rrafshit në segmente:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Përgjigje:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Duhet të theksohet gjithashtu se ka probleme, kërkesa e të cilave është të shkruhet një ekuacion i një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe pingul me dy plane të dhëna. Në përgjithësi, zgjidhja e këtij problemi është ndërtimi i një ekuacioni për një plan që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një drejtëz të caktuar, sepse dy plane të kryqëzuara përcaktojnë një vijë të drejtë.

Shembulli 5

Është dhënë një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z, në të ka një pikë M 1 (2, 0, - 5). Janë dhënë edhe ekuacionet e dy rrafsheve 3 x + 2 y + 1 = 0 dhe x + 2 z – 1 = 0, të cilët priten përgjatë drejtëzës a. Është e nevojshme të krijohet një ekuacion për një plan që kalon nëpër pikën M 1 pingul me drejtëzën a.

Zgjidhje

Të përcaktojmë koordinatat e vektorit drejtues të drejtëzës a. Është pingul si me vektorin normal n 1 → (3, 2, 0) të rrafshit n → (1, 0, 2) dhe me vektorin normal 3 x + 2 y + 1 = 0 të x + 2 z - 1 = 0 aeroplan.

Pastaj, si vektor drejtues α → rreshti a, marrim produktin vektorial të vektorëve n 1 → dhe n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Kështu, vektori n → = (4, - 6, - 2) do të jetë vektori normal i rrafshit pingul me drejtëzën a. Le të shkruajmë ekuacionin e kërkuar të aeroplanit:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Përgjigje: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Supozoni se duhet të gjejmë ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna që nuk shtrihen në të njëjtën vijë. Duke shënuar vektorët e rrezes së tyre me dhe vektorin e rrezes aktuale me , ne mund të marrim lehtësisht ekuacionin e kërkuar në formë vektoriale. Në fakt, vektorët duhet të jenë koplanarë (të gjithë shtrihen në rrafshin e dëshiruar). Prandaj, prodhimi vektor-skalar i këtyre vektorëve duhet të jetë i barabartë me zero:

Ky është ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna, në formë vektori.

Duke kaluar te koordinatat, marrim ekuacionin në koordinata:

Nëse tre pika të dhëna shtrihen në të njëjtën linjë, atëherë vektorët do të ishin kolinearë. Prandaj, elementet përkatëse të dy rreshtave të fundit të përcaktorit në ekuacionin (18) do të ishin proporcionale dhe përcaktorja do të ishte identike e barabartë me zero. Rrjedhimisht, ekuacioni (18) do të bëhej identik për çdo vlerë të x, y dhe z. Gjeometrikisht, kjo do të thotë se nëpër secilën pikë të hapësirës kalon një rrafsh në të cilin shtrihen tre pikat e dhëna.

Vërejtje 1. E njëjta problem mund të zgjidhet pa përdorur vektorë.

Duke shënuar koordinatat e tre pikave të dhëna, përkatësisht, do të shkruajmë ekuacionin e çdo rrafshi që kalon në pikën e parë:

Për të marrë ekuacionin e planit të dëshiruar, është e nevojshme të kërkohet që ekuacioni (17) të plotësohet nga koordinatat e dy pikave të tjera:

Nga ekuacionet (19), është e nevojshme të përcaktohet raporti i dy koeficientëve me të tretin dhe të futen vlerat e gjetura në ekuacionin (17).

Shembulli 1. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër pika.

Ekuacioni i rrafshit që kalon në të parën nga këto pika do të jetë:

Kushtet që avioni (17) të kalojë nëpër dy pika të tjera dhe pikën e parë janë:

Duke shtuar ekuacionin e dytë me të parin, gjejmë:

Duke zëvendësuar në ekuacionin e dytë, marrim:

Duke zëvendësuar në ekuacionin (17) në vend të A, B, C, përkatësisht, 1, 5, -4 (numra proporcionalë me ta), marrim:

Shembulli 2. Shkruani një ekuacion për një plan që kalon nëpër pikat (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Ekuacioni i çdo rrafshi që kalon nëpër pikën (0, 0, 0) do të jetë]

Kushtet për kalimin e këtij plani nëpër pikat (1, 1, 1) dhe (2, 2, 2) janë:

Duke e zvogëluar ekuacionin e dytë me 2, shohim se për të përcaktuar dy të panjohura, ekziston një ekuacion me

Nga këtu marrim. Tani duke zëvendësuar vlerën e aeroplanit në ekuacion, gjejmë:

Ky është ekuacioni i planit të dëshiruar; varet nga arbitrariteti

sasitë B, C (domethënë, nga relacioni d.m.th. ka një numër të pafund planesh që kalojnë nëpër tre pika të dhëna (tre pika të dhëna shtrihen në të njëjtën drejtëz).

Vërejtje 2. Problemi i tërheqjes së një plani nëpër tri pika të dhëna që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz zgjidhet lehtësisht në pamje e përgjithshme, nëse përdorim përcaktorë. Në të vërtetë, meqenëse në ekuacionet (17) dhe (19) koeficientët A, B, C nuk mund të jenë njëkohësisht të barabartë me zero, atëherë, duke i konsideruar këto ekuacione si një sistem homogjen me tre të panjohura A, B, C, shkruajmë një të nevojshme dhe të mjaftueshme. kushti për ekzistencën e një zgjidhjeje të këtij sistemi, të ndryshme nga zero (Pjesa 1, Kapitulli VI, § 6):

Duke e zgjeruar këtë përcaktues në elementët e rreshtit të parë, marrim një ekuacion të shkallës së parë në lidhje me koordinatat aktuale, të cilat do të plotësohen, në veçanti, nga koordinatat e tre pikave të dhëna.

Ju gjithashtu mund ta verifikoni këtë të fundit drejtpërdrejt duke zëvendësuar koordinatat e cilësdo prej këtyre pikave në vend të . Në anën e majtë marrim një përcaktor në të cilin ose elementet e rreshtit të parë janë zero ose ka dy rreshta identikë. Kështu, ekuacioni i ndërtuar paraqet një plan që kalon nëpër tre pikat e dhëna.

Niveli i parë

Koordinatat dhe vektorët. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Në këtë artikull, ne do të fillojmë të diskutojmë një "shkop magjik" që do t'ju lejojë të reduktoni shumë probleme gjeometrike në aritmetikë të thjeshtë. Ky “shkop” mund ta bëjë jetën tuaj shumë më të lehtë, veçanërisht kur nuk jeni të sigurt për ndërtimin e figurave hapësinore, seksioneve, etj. E gjithë kjo kërkon një imagjinatë të caktuar dhe aftësi praktike. Metoda që do të fillojmë të shqyrtojmë këtu do t'ju lejojë të abstraktoni pothuajse plotësisht nga të gjitha llojet e ndërtimeve dhe arsyetimit gjeometrik. Metoda quhet "metoda e koordinimit". Në këtë artikull do të shqyrtojmë pyetjet e mëposhtme:

1. Aeroplani koordinativ
2. Pikat dhe vektorët në rrafsh
3. Ndërtimi i një vektori nga dy pika
4. Gjatësia e vektorit (distanca midis dy pikave).
5. Koordinatat e mesit të segmentit
6. Prodhimi me pika i vektorëve
7. Këndi ndërmjet dy vektorëve

Unë mendoj se ju tashmë e keni marrë me mend pse metoda e koordinatave quhet kështu? Është e drejtë, e ka marrë këtë emër sepse nuk vepron me objekte gjeometrike, por me karakteristikat e tyre numerike (koordinatat). Dhe vetë transformimi, i cili na lejon të kalojmë nga gjeometria në algjebër, konsiston në futjen e një sistemi koordinativ. Nëse figura fillestare ishte e sheshtë, atëherë koordinatat janë dy-dimensionale, dhe nëse figura është tre-dimensionale, atëherë koordinatat janë tre-dimensionale. Në këtë artikull do të shqyrtojmë vetëm rastin dydimensional. Dhe qëllimi kryesor i artikullit është t'ju mësojë se si të përdorni disa teknika themelore të metodës së koordinatave (ato ndonjëherë rezultojnë të dobishme kur zgjidhni probleme në planimetrinë në Pjesën B të Provimit të Unifikuar të Shtetit). Dy seksionet e ardhshme mbi këtë temë i kushtohen një diskutimi të metodave për zgjidhjen e problemeve C2 (problemi i stereometrisë).

Ku do të ishte logjike të fillonim diskutimin e metodës së koordinatave? Ndoshta nga koncepti i një sistemi koordinativ. Mbani mend kur e keni takuar për herë të parë. Më duket se në klasën e 7-të, kur mësuat për ekzistencën e një funksioni linear, për shembull. Më lejoni t'ju kujtoj se e keni ndërtuar pikë për pikë. Të kujtohet? Ju zgjodhët një numër arbitrar, e zëvendësuat në formulë dhe e llogaritët në atë mënyrë. Për shembull, nëse, atëherë, nëse, atëherë, etj. Çfarë morët në fund? Dhe keni marrë pikë me koordinata: dhe. Më pas, vizatove një "kryq" (sistemi i koordinatave), zgjodhët një shkallë në të (sa qeliza do të keni si segment njësi) dhe shënuat pikat që keni marrë në të, të cilat më pas i lidhët me një vijë të drejtë; rezulton vija është grafiku i funksionit.

Këtu janë disa pika që duhen shpjeguar pak më në detaje:

1. Ju zgjidhni një segment të vetëm për arsye komoditeti, në mënyrë që gjithçka të përshtatet bukur dhe kompakt në vizatim.

2. Pranohet që boshti shkon nga e majta në të djathtë, dhe boshti shkon nga poshtë lart.

3. Ata kryqëzohen në kënde të drejta dhe pika e prerjes së tyre quhet origjinë. Tregohet me një letër.

4. Në shkrimin e koordinatave të një pike, për shembull, në të majtë në kllapa është koordinata e pikës përgjatë boshtit, dhe në të djathtë, përgjatë boshtit. Në veçanti, kjo thjesht do të thotë se në pikën

5. Për të specifikuar ndonjë pikë në boshtin e koordinatave, duhet të tregoni koordinatat e saj (2 numra)

6. Për çdo pikë të shtrirë në bosht,

7. Për çdo pikë të shtrirë në bosht,

8. Boshti quhet bosht x

9. Boshti quhet bosht y

Tani le të bëjmë hapin tjetër: shënoni dy pika. Le t'i lidhim këto dy pika me një segment. Dhe ne do të vendosim shigjetën sikur të vizatojmë një segment nga pika në pikë: domethënë, ne do ta bëjmë segmentin tonë të drejtuar!

Mbani mend si quhet një segment tjetër i drejtimit? Është e drejtë, quhet vektor!

Pra, nëse lidhim pikë me pikë, dhe fillimi do të jetë pika A, dhe fundi do të jetë pika B, atëherë marrim një vektor. Këtë ndërtim e keni bërë edhe në klasën e 8-të, ju kujtohet?

Rezulton se vektorët, si pikat, mund të shënohen me dy numra: këta numra quhen koordinata vektoriale. Pyetje: A mendoni se mjafton që ne të dimë koordinatat e fillimit dhe të fundit të një vektori për të gjetur koordinatat e tij? Rezulton se po! Dhe kjo bëhet shumë thjesht:

Kështu, duke qenë se në një vektor pika është fillimi dhe pika është fundi, vektori ka koordinatat e mëposhtme:

Për shembull, nëse, atëherë koordinatat e vektorit

Tani le të bëjmë të kundërtën, të gjejmë koordinatat e vektorit. Çfarë duhet të ndryshojmë për këtë? Po, ju duhet të ndërroni fillimin dhe fundin: tani fillimi i vektorit do të jetë në pikë, dhe fundi do të jetë në pikë. Pastaj:

Shikoni me kujdes, cili është ndryshimi midis vektorëve dhe? Dallimi i tyre i vetëm janë shenjat në koordinata. Ato janë të kundërta. Ky fakt zakonisht shkruhet kështu:

Ndonjëherë, nëse nuk përcaktohet në mënyrë specifike se cila pikë është fillimi i vektorit dhe cila është fundi, atëherë vektorët nuk shënohen me dy shkronja të mëdha, por me një shkronjë të vogël, për shembull: , etj.

Tani pak praktikë veten dhe gjeni koordinatat e vektorëve të mëposhtëm:

Ekzaminimi:

Tani zgjidhni një problem pak më të vështirë:

Një vektor me fillim në një pikë ka një bashkë-or-di-na-you. Gjeni pikat abs-cis-su.

E njëjta gjë është mjaft prozaike: Le të jenë koordinatat e pikës. Pastaj

Unë e përpilova sistemin bazuar në përcaktimin se çfarë janë koordinatat vektoriale. Atëherë pika ka koordinata. Ne jemi të interesuar për abscissa. Pastaj

Përgjigje:

Çfarë tjetër mund të bëni me vektorët? Po, pothuajse gjithçka është njësoj si me numrat e zakonshëm (përveç që nuk mund të ndani, por mund të shumëzoni në dy mënyra, njërën prej të cilave do ta diskutojmë këtu pak më vonë)

1. Vektorët mund t'i shtohen njëri-tjetrit
2. Vektorët mund të zbriten nga njëri-tjetri
3. Vektorët mund të shumëzohen (ose pjesëtohen) me një numër arbitrar jo zero
4. Vektorët mund të shumëzohen me njëri-tjetrin

Të gjitha këto veprime kanë një paraqitje shumë të qartë gjeometrike. Për shembull, rregulli i trekëndëshit (ose paralelogramit) për mbledhjen dhe zbritjen:

Një vektor shtrihet ose tkurret ose ndryshon drejtimin kur shumëzohet ose pjesëtohet me një numër:

Sidoqoftë, këtu do të na interesojë pyetja se çfarë ndodh me koordinatat.

1. Kur mbledhim (zbresim) dy vektorë, i shtojmë (zbresim) koordinatat e tyre element për element. Kjo eshte:

2. Gjatë shumëzimit (pjestimit) të një vektori me një numër, të gjitha koordinatat e tij shumëzohen (pjestohen) me këtë numër:

Për shembull:

· Gjeni sasinë e co-or-di-nat shekull-në-ra.

Le të gjejmë fillimisht koordinatat e secilit prej vektorëve. Ata të dy kanë të njëjtën origjinë - pikën e origjinës. Fundet e tyre janë të ndryshme. Pastaj,. Tani le të llogarisim koordinatat e vektorit.Atëherë shuma e koordinatave të vektorit që rezulton është e barabartë.

Përgjigje:

Tani zgjidhni vetë problemin e mëposhtëm:

· Gjeni shumën e koordinatave vektoriale

Ne kontrollojmë:

Le të shqyrtojmë tani problemin e mëposhtëm: kemi dy pika në planin koordinativ. Si të gjeni distancën midis tyre? Le të jetë pika e parë, dhe e dyta. Le të shënojmë distancën midis tyre me. Le të bëjmë vizatimin e mëposhtëm për qartësi:

Cfare kam bere? Para së gjithash, u lidha pika dhe, a gjithashtu nga një pikë kam vizatuar një vijë paralele me boshtin, dhe nga një pikë kam tërhequr një vijë paralele me boshtin. A u kryqëzuan në një pikë, duke formuar një figurë të jashtëzakonshme? Çfarë ka kaq të veçantë ajo? Po, ti dhe unë dimë pothuajse gjithçka trekëndësh kënddrejtë. Epo, me siguri teorema e Pitagorës. Segmenti i kërkuar është hipotenuza e këtij trekëndëshi, dhe segmentet janë këmbët. Cilat janë koordinatat e pikës? Po, ato janë të lehta për t'u gjetur nga fotografia: Meqenëse segmentet janë paralele me boshtet dhe, përkatësisht, gjatësitë e tyre janë të lehta për t'u gjetur: nëse shënojmë gjatësitë e segmenteve me, përkatësisht, atëherë

Tani le të përdorim teoremën e Pitagorës. Ne e dimë gjatësinë e këmbëve, do të gjejmë hipotenuzën:

Kështu, distanca midis dy pikave është rrënja e shumës së diferencave në katror nga koordinatat. Ose - distanca midis dy pikave është gjatësia e segmentit që i lidh ato. Është e lehtë të shihet se distanca midis pikave nuk varet nga drejtimi. Pastaj:

Nga këtu nxjerrim tre përfundime:

Le të praktikojmë pak për llogaritjen e distancës midis dy pikave:

Për shembull, nëse, atëherë distanca ndërmjet dhe është e barabartë me

Ose le të shkojmë në një mënyrë tjetër: gjeni koordinatat e vektorit

Dhe gjeni gjatësinë e vektorit:

Siç mund ta shihni, është e njëjta gjë!

Tani praktikoni pak vetë:

Detyrë: gjeni distancën midis pikave të treguara:

Ne kontrollojmë:

Këtu janë disa probleme të tjera duke përdorur të njëjtën formulë, megjithëse tingëllojnë pak më ndryshe:

1. Gjeni katrorin e gjatësisë së qepallës.

2. Gjeni katrorin e gjatësisë së qepallës

Mendoj se i keni përballuar pa vështirësi? Ne kontrollojmë:

1. Dhe kjo është për vëmendje) Më herët i kemi gjetur koordinatat e vektorëve: . Atëherë vektori ka koordinata. Katrori i gjatësisë së tij do të jetë i barabartë me:

2. Gjeni koordinatat e vektorit

Atëherë katrori i gjatësisë së tij është

Asgjë e komplikuar, apo jo? Aritmetikë e thjeshtë, asgjë më shumë.

Problemet e mëposhtme nuk mund të klasifikohen në mënyrë të paqartë; ato kanë të bëjnë më shumë me erudicionin e përgjithshëm dhe aftësinë për të nxjerrë fotografi të thjeshta.

1. Gjeni sinusin e këndit nga prerja, që lidh pikën, me boshtin e abshisës.

Dhe

Si do të vazhdojmë këtu? Duhet të gjejmë sinusin e këndit ndërmjet dhe boshtit. Ku mund ta kërkojmë sinusin? Ashtu është, në një trekëndësh kënddrejtë. Pra, çfarë duhet të bëjmë? Ndërtoni këtë trekëndësh!

Meqenëse koordinatat e pikës janë dhe, atëherë segmenti është i barabartë me, dhe segmenti. Duhet të gjejmë sinusin e këndit. Më lejoni t'ju kujtoj se sinusi është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën

Çfarë na mbetet të bëjmë? Gjeni hipotenuzën. Ju mund ta bëni këtë në dy mënyra: duke përdorur teoremën e Pitagorës (këmbët dihen!) ose duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave (në fakt, e njëjta gjë si metoda e parë!). Unë do të shkoj në rrugën e dytë:

Përgjigje:

Detyra tjetër do t'ju duket edhe më e lehtë. Ajo është në koordinatat e pikës.

Detyra 2. Nga pika per-pen-di-ku-lyar ulet në boshtin ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Le të bëjmë një vizatim:

Baza e një pingule është pika në të cilën ajo pret boshtin x (boshtin), për mua kjo është një pikë. Figura tregon se ka koordinata: . Ne jemi të interesuar për abscissa - domethënë komponentin "x". Ajo është e barabartë.

Përgjigje: .

Detyra 3. Në kushtet e problemit të mëparshëm, gjeni shumën e largësive nga pika në boshtet koordinative.

Detyra është përgjithësisht elementare nëse e dini se sa është distanca nga një pikë në akset. E dini? Shpresoj, por gjithsesi ju kujtoj:

Pra, në vizatimin tim sipër, a kam vizatuar tashmë një pingul të tillë? Në cilin aks është? Tek boshti. Dhe sa është gjatësia e tij atëherë? Ajo është e barabartë. Tani vizatoni vetë një pingul me boshtin dhe gjeni gjatësinë e tij. Do të jetë e barabartë, apo jo? Atëherë shuma e tyre është e barabartë.

Përgjigje: .

Detyra 4. Në kushtet e detyrës 2, gjeni ordinatën e një pike simetrike me pikën në lidhje me boshtin e abshisave.

Unë mendoj se është intuitivisht e qartë për ju se çfarë është simetria? Shumë objekte e kanë atë: shumë ndërtesa, tavolina, aeroplanë, shumë forma gjeometrike: top, cilindër, katror, ​​romb, etj. Përafërsisht, simetria mund të kuptohet si vijon: një figurë përbëhet nga dy (ose më shumë) gjysma identike. Kjo simetri quhet simetri boshtore. Çfarë është atëherë një bosht? Kjo është pikërisht linja përgjatë së cilës figura mund të "prehet" në gjysma të barabarta (në këtë foto boshti i simetrisë është i drejtë):

Tani le të kthehemi në detyrën tonë. Ne e dimë se ne jemi duke kërkuar për një pikë që është simetrike në lidhje me boshtin. Atëherë ky bosht është boshti i simetrisë. Kjo do të thotë që ne duhet të shënojmë një pikë të tillë që boshti të presë segmentin në dy pjesë të barabarta. Mundohuni ta shënoni vetë një pikë të tillë. Tani krahasojeni me zgjidhjen time:

A funksionoi në të njëjtën mënyrë për ju? Mirë! Na intereson ordinata e pikës së gjetur. Është e barabartë

Përgjigje:

Tani më thuaj, pasi të mendoj për disa sekonda, sa do të jetë abshisa e një pike simetrike me pikën A në lidhje me ordinatën? Cila është përgjigja juaj? Përgjigje e saktë: .

Në përgjithësi, rregulli mund të shkruhet kështu:

Një pikë simetrike me një pikë në lidhje me boshtin e abshisës ka koordinatat:

Një pikë simetrike me një pikë në lidhje me boshtin e ordinatave ka koordinata:

Epo, tani është krejtësisht e frikshme detyrë: gjeni koordinatat e një pike simetrike me pikën në lidhje me origjinën. Ju fillimisht mendoni për veten tuaj, dhe më pas shikoni vizatimin tim!

Përgjigje:

Tani problema e paralelogramit:

Detyra 5: Pikat shfaqen ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Gjeni ose-di-në-atë pikë.

Ju mund ta zgjidhni këtë problem në dy mënyra: logjika dhe metoda e koordinatave. Së pari do të përdor metodën e koordinatave dhe më pas do t'ju tregoj se si mund ta zgjidhni atë ndryshe.

Është mjaft e qartë se abshisa e pikës është e barabartë. (shtrihet në pingulën e tërhequr nga pika në boshtin e abshisës). Duhet të gjejmë ordinatorin. Le të përfitojmë nga fakti që figura jonë është një paralelogram, kjo do të thotë se. Le të gjejmë gjatësinë e segmentit duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave:

Ne ulim pingulën që lidh pikën me boshtin. Unë do të shënoj pikën e kryqëzimit me një shkronjë.

Gjatësia e segmentit është e barabartë. (gjene problemin vetë ku diskutuam këtë pikë), atëherë do të gjejmë gjatësinë e segmentit duke përdorur teoremën e Pitagorës:

Gjatësia e një segmenti përkon saktësisht me ordinatat e tij.

Përgjigje: .

Një zgjidhje tjetër (do të jap vetëm një foto që e ilustron atë)

Përparimi i zgjidhjes:

1. Sjellja

2. Gjeni koordinatat e pikës dhe gjatësisë

3. Vërtetoni se.

Nje tjeter problemi i gjatësisë së segmentit:

Pikat shfaqen në krye të trekëndëshit. Gjeni gjatësinë e vijës së mesit të saj, paralele.

A ju kujtohet se cila është vija e mesme e një trekëndëshi? Atëherë kjo detyrë është elementare për ju. Nëse nuk e mbani mend, atëherë do t'ju kujtoj: vija e mesme e një trekëndëshi është vija që lidh mesit anët e kundërta. Është paralel me bazën dhe e barabartë me gjysmën e saj.

Baza është një segment. Duhet të kërkonim më herët gjatësinë e saj, është e barabartë. Atëherë gjatësia e vijës së mesme është gjysma e madhe dhe e barabartë.

Përgjigje: .

Koment: ky problem mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër, të cilës do t'i drejtohemi pak më vonë.

Ndërkohë, këtu janë disa probleme për ju, praktikoni në to, ato janë shumë të thjeshta, por ju ndihmojnë të përmirësoheni në përdorimin e metodës së koordinatave!

1. Pikat janë në krye të tra-pe-tioneve. Gjeni gjatësinë e vijës së mesit të saj.

2. Pikat dhe paraqitjet ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Gjeni ose-di-në-atë pikë.

3. Gjeni gjatësinë nga prerja, duke lidhur pikën dhe

4. Gjeni zonën prapa figurës me ngjyrë në planin bashkërendues.

5. Një rreth me qendër në na-cha-le ko-or-di-nat kalon nëpër pikë. Gjeni atë ra-di-ne.

6. Gjeni-di-te ra-di-ne rrethit, përshkruani-san-noy për kënd-drejt-jo-ka, majat e diçkaje kanë një bashkë-or -di-na-je kaq-përgjegjës.

Zgjidhjet:

1. Dihet se vija e mesme e një trapezi është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave të tij. Baza është e barabartë, dhe baza. Pastaj

Përgjigje:

2. Mënyra më e lehtë për të zgjidhur këtë problem është të shënohet se (rregulli paralelogram). Llogaritja e koordinatave të vektorëve nuk është e vështirë: . Kur shtohen vektorë, shtohen koordinatat. Pastaj ka koordinata. Këto koordinata i ka edhe pika, pasi origjina e vektorit është pika me koordinatat. Na intereson ordinata. Ajo është e barabartë.

Përgjigje:

3. Ne veprojmë menjëherë sipas formulës për distancën midis dy pikave:

Përgjigje:

4. Shikoni figurën dhe më tregoni se në cilat dy figura është “sandwiched” zona e hijezuar? Ai është i vendosur midis dy katrorëve. Atëherë sipërfaqja e figurës së dëshiruar është e barabartë me sipërfaqen e sheshit të madh minus sipërfaqen e atij të vogël. Ana e një katrori të vogël është një segment që lidh pikat dhe gjatësia e tij është

Atëherë sipërfaqja e sheshit të vogël është

Ne bëjmë të njëjtën gjë me një katror të madh: ana e tij është një segment që lidh pikat dhe gjatësia e tij është

Atëherë sipërfaqja e sheshit të madh është

Ne gjejmë zonën e figurës së dëshiruar duke përdorur formulën:

Përgjigje:

5. Nëse një rreth ka origjinën si qendër dhe kalon nëpër një pikë, atëherë rrezja e tij do të jetë saktësisht e barabartë me gjatësinë e segmentit (bëni një vizatim dhe do të kuptoni pse kjo është e qartë). Le të gjejmë gjatësinë e këtij segmenti:

Përgjigje:

6. Dihet se rrezja e një rrethi të rrethuar rreth një drejtkëndëshi është e barabartë me gjysmën e diagonales së tij. Le të gjejmë gjatësinë e cilësdo prej dy diagonaleve (në fund të fundit, në një drejtkëndësh ato janë të barabarta!)

Përgjigje:

Epo, a keni përballuar gjithçka? Nuk ishte shumë e vështirë për ta kuptuar, apo jo? Ekziston vetëm një rregull këtu - të jeni në gjendje të bëni një pamje vizuale dhe thjesht të "lexoni" të gjitha të dhënat prej saj.

Na ka mbetur shumë pak. Ka fjalë për fjalë edhe dy pika të tjera që unë do të doja të diskutoja.

Le të përpiqemi të zgjidhim këtë problem të thjeshtë. Lërini dy pikë dhe jepen. Gjeni koordinatat e mesit të segmentit. Zgjidhja e këtij problemi është si më poshtë: le të jetë pika mesi i dëshiruar, atëherë ajo ka koordinata:

Kjo eshte: koordinatat e mesit të segmentit = mesatarja aritmetike e koordinatave përkatëse të skajeve të segmentit.

Ky rregull është shumë i thjeshtë dhe zakonisht nuk shkakton vështirësi për studentët. Le të shohim në cilat probleme dhe si përdoret:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point dhe

2. Pikat duket se janë majat e botës. Gjej-di-te or-di-na-tu pikat per-re-se-che-niya e tij dia-go-na-ley.

3. Gjej-di-te abs-cis-su qendrën e rrethit, përshkruaj-san-noy rreth drejtkëndëshit-jo-ka, majat e diçkaje kanë bashkë-or-di-na-ju aq-përgjegjshëm-por.

Zgjidhjet:

1. Problemi i parë është thjesht një klasik. Ne vazhdojmë menjëherë me përcaktimin e mesit të segmentit. Ka koordinata. Ordinata është e barabartë.

Përgjigje:

2. Është e lehtë të shihet se ky katërkëndësh është një paralelogram (madje edhe një romb!). Këtë mund ta vërtetoni vetë duke llogaritur gjatësinë e anëve dhe duke i krahasuar ato me njëra-tjetrën. Çfarë di unë për paralelogramet? Diagonalet e saj ndahen përgjysmë nga pika e kryqëzimit! Po! Pra, cila është pika e kryqëzimit të diagonaleve? Kjo është mesi i ndonjë prej diagonaleve! Unë do të zgjedh, në veçanti, diagonalen. Atëherë pika ka koordinata Ordinata e pikës është e barabartë me.

Përgjigje:

3. Me çfarë përkon qendra e rrethit të rrethuar rreth drejtkëndëshit? Ajo përkon me pikën e kryqëzimit të diagonaleve të saj. Çfarë dini për diagonalet e një drejtkëndëshi? Ato janë të barabarta dhe pika e kryqëzimit i ndan në gjysmë. Detyra u reduktua në atë të mëparshme. Le të marrim, për shembull, diagonalen. Atëherë nëse është qendra e rrethit, atëherë është pika e mesit. Kërkoj koordinata: Abshisa është e barabartë.

Përgjigje:

Tani praktikoni pak vetë, unë thjesht do të jap përgjigjet për çdo problem në mënyrë që të mund të provoni veten.

1. Gjeni-di-te ra-di-ne rrethit, përshkruani-san-noy rreth trekëndëshit-jo-ka, majat e diçkaje kanë një bashkë-or-di -nuk ka mister.

2. Gjeni-di-te ose-di-në-atë qendër të rrethit, përshkruani-san-noy rreth trekëndëshit-no-ka, majat e të cilit kanë koordinata

3. Çfarë lloj ra-di-u-sa duhet të ketë një rreth me qendër në një pikë në mënyrë që të prekë boshtin ab-ciss?

4. Gjeni-di-ato ose-di-në-atë pikë të ri-ndarjes së boshtit dhe prej-prerjes, lidhni-pikën dhe

Përgjigjet:

A ishte gjithçka e suksesshme? Unë me të vërtetë shpresoj për të! Tani - shtytja e fundit. Tani jini veçanërisht të kujdesshëm. Materiali që do të shpjegoj tani lidhet drejtpërdrejt jo vetëm me detyra të thjeshta te metoda e koordinatave nga pjesa B, por gjendet edhe kudo në problemën C2.

Cilin nga premtimet e mia nuk i kam mbajtur ende? Mbani mend se çfarë operacionesh mbi vektorët kam premtuar të prezantoj dhe cilët në fund kam prezantuar? Je i sigurt se nuk kam harruar asgjë? Harrove! Kam harruar të shpjegoj se çfarë do të thotë shumëzimi i vektorëve.

Ka dy mënyra për të shumëzuar një vektor me një vektor. Në varësi të metodës së zgjedhur, do të marrim objekte të natyrave të ndryshme:

Produkti kryq është bërë mjaft me zgjuarsi. Ne do të diskutojmë se si ta bëjmë atë dhe pse është e nevojshme në artikullin vijues. Dhe në këtë do të përqendrohemi në produktin skalar.

Ka dy mënyra që na lejojnë ta llogarisim atë:

Siç e keni menduar, rezultati duhet të jetë i njëjtë! Pra, le të shohim së pari metodën e parë:

Produkti me pika nëpërmjet koordinatave

Gjeni: - shënimin e pranuar përgjithësisht për produktin skalar

Formula për llogaritjen është si më poshtë:

Domethënë prodhimi skalar = shuma e prodhimeve të koordinatave vektoriale!

Shembull:

Gjej-di-te

Zgjidhja:

Le të gjejmë koordinatat e secilit prej vektorëve:

Ne llogarisim produktin skalar duke përdorur formulën:

Përgjigje:

Shihni, absolutisht asgjë e komplikuar!

Epo, tani provojeni vetë:

· Gjeni një pro-iz-ve-de-nie skalar të shekujve dhe

A ia dolët? Ndoshta keni vënë re një kapje të vogël? Le të kontrollojmë:

Koordinatat vektoriale, si në problemin e mëparshëm! Përgjigje:.

Përveç asaj koordinative, ekziston një mënyrë tjetër për të llogaritur produktin skalar, domethënë, përmes gjatësive të vektorëve dhe kosinusit të këndit midis tyre:

Tregon këndin ndërmjet vektorëve dhe.

Kjo do të thotë, produkti skalar është i barabartë me produktin e gjatësive të vektorëve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre.

Pse na duhet kjo formulë e dytë, nëse kemi të parën, e cila është shumë më e thjeshtë, të paktën nuk ka kosinus në të. Dhe është e nevojshme në mënyrë që nga formula e parë dhe e dytë, ju dhe unë të nxjerrim përfundimin se si të gjejmë këndin midis vektorëve!

Le të kujtojmë pastaj formulën për gjatësinë e vektorit!

Pastaj nëse i zëvendësoj këto të dhëna në formulën e produktit skalar, marr:

Por në një mënyrë tjetër:

Pra, çfarë morëm unë dhe ti? Tani kemi një formulë që na lejon të llogarisim këndin midis dy vektorëve! Ndonjëherë shkruhet edhe kështu për shkurtësi:

Kjo do të thotë, algoritmi për llogaritjen e këndit midis vektorëve është si më poshtë:

1. Llogaritni produktin skalar përmes koordinatave
2. Gjeni gjatësitë e vektorëve dhe shumëzojini ato
3. Pjestoni rezultatin e pikës 1 me rezultatin e pikës 2

Le të praktikojmë me shembuj:

1. Gjeni këndin midis qepallave dhe. Jepni përgjigjen në grad-du-sah.

2. Në kushtet e problemës së mëparshme, gjeni kosinusin ndërmjet vektorëve

Le të bëjmë këtë: Unë do t'ju ndihmoj të zgjidhni problemin e parë, dhe të dytin përpiquni ta bëni vetë! Dakord? Atëherë le të fillojmë!

1. Këta vektorë janë miqtë tanë të vjetër. Ne kemi llogaritur tashmë produktin e tyre skalar dhe ishte i barabartë. Koordinatat e tyre janë: , . Pastaj gjejmë gjatësinë e tyre:

Pastaj kërkojmë kosinusin midis vektorëve:

Sa është kosinusi i këndit? Ky është këndi.

Përgjigje:

Epo, tani zgjidhe vetë problemin e dytë, dhe pastaj krahaso! Unë do të jap vetëm një zgjidhje shumë të shkurtër:

2. ka koordinata, ka koordinata.

Le të jetë këndi ndërmjet vektorëve dhe, pastaj

Përgjigje:

Duhet të theksohet se problemet drejtpërdrejt në vektorët dhe metoda e koordinatave në pjesën B fletë provimi mjaft e rrallë. Megjithatë, shumica dërrmuese e problemeve C2 mund të zgjidhen lehtësisht duke futur një sistem koordinativ. Kështu që mund ta konsideroni këtë artikull si themelin mbi bazën e të cilit do të bëjmë ndërtime mjaft të zgjuara që do të na duhet t'i zgjidhim detyra komplekse.

KOORDINATA DHE VEKTORËT. NIVELI MESATAR

Ju dhe unë vazhdojmë të studiojmë metodën e koordinatave. Në pjesën e fundit, kemi nxjerrë një numër formulash të rëndësishme që ju lejojnë të:

1. Gjeni koordinatat vektoriale
2. Gjeni gjatësinë e një vektori (në mënyrë alternative: distancën midis dy pikave)
3. Shtoni dhe zbritni vektorë. Shumëzojini ato me një numër real
4. Gjeni pikën e mesit të një segmenti
5. Llogaritni produktin me pika të vektorëve
6. Gjeni këndin ndërmjet vektorëve

Sigurisht, e gjithë metoda e koordinatave nuk përshtatet në këto 6 pika. Ajo qëndron në themel të një shkence të tillë si gjeometria analitike, me të cilën do të njiheni në universitet. Unë thjesht dua të ndërtoj një themel që do t'ju lejojë të zgjidhni problemet në një shtet të vetëm. provim. Ne jemi marrë me detyrat e Pjesës B. Tani është koha për të kaluar në një nivel krejtësisht të ri! Ky artikull do t'i kushtohet një metode për zgjidhjen e atyre problemeve C2 në të cilat do të ishte e arsyeshme kalimi në metodën e koordinatave. Kjo arsyeshmëri përcaktohet nga ajo që kërkohet të gjendet në problem dhe cila shifër është dhënë. Pra, do të përdorja metodën e koordinatave nëse pyetjet janë:

1. Gjeni këndin midis dy rrafsheve
2. Gjeni këndin midis një drejtëze dhe një rrafshi
3. Gjeni këndin midis dy vijave të drejta
4. Gjeni distancën nga një pikë në një plan
5. Gjeni distancën nga një pikë në një vijë
6. Gjeni distancën nga një vijë e drejtë në një plan
7. Gjeni distancën midis dy rreshtave

Nëse figura e dhënë në deklaratën e problemit është një trup rrotullues (top, cilindër, kon...)

Shifrat e përshtatshme për metodën e koordinatave janë:

1. Paralelepiped drejtkëndëshe
2. Piramida (trekëndore, katërkëndore, gjashtëkëndore)

Gjithashtu nga përvoja ime është e papërshtatshme të përdoret metoda e koordinatave për:

1. Gjetja e zonave të prerjeve tërthore
2. Llogaritja e vëllimeve të trupave

Sidoqoftë, duhet të theksohet menjëherë se tre situatat "të pafavorshme" për metodën e koordinatave janë mjaft të rralla në praktikë. Në shumicën e detyrave, ai mund të bëhet shpëtimtari juaj, veçanërisht nëse nuk jeni shumë të mirë në ndërtimet tredimensionale (të cilat ndonjëherë mund të jenë mjaft të ndërlikuara).

Cilat janë të gjitha shifrat që rendita më sipër? Ata nuk janë më të sheshtë, si, për shembull, një katror, ​​një trekëndësh, një rreth, por voluminoze! Prandaj, ne duhet të marrim parasysh jo një sistem koordinativ dy-dimensional, por tredimensional. Është mjaft e lehtë për t'u ndërtuar: vetëm përveç boshtit të abshisës dhe të ordinatave, do të prezantojmë një bosht tjetër, boshtin aplikativ. Figura tregon në mënyrë skematike pozicionin e tyre relativ:

Të gjitha ato janë pingul dhe kryqëzohen në një pikë, të cilën do ta quajmë origjina e koordinatave. Si më parë, do të shënojmë boshtin e abshisave, boshtin e ordinatave - , dhe boshtin aplikativ të futur - .

Nëse më parë secila pikë në rrafsh karakterizohej nga dy numra - abshisa dhe ordinata, atëherë çdo pikë në hapësirë ​​përshkruhet tashmë nga tre numra - abshisa, ordinata dhe aplikanti. Për shembull:

Prandaj, abshisa e një pike është e barabartë, ordinata është , dhe aplikuesi është .

Ndonjëherë abshisa e një pike quhet edhe projeksioni i një pike në boshtin e abshisës, ordinata - projeksioni i një pike mbi boshtin e ordinatave dhe aplikativi - projeksioni i një pike në boshtin aplikativ. Prandaj, nëse jepet një pikë, atëherë një pikë me koordinata:

quhet projeksioni i një pike në një rrafsh

quhet projeksioni i një pike në një rrafsh

Shtrohet një pyetje e natyrshme: a janë të vlefshme në hapësirë ​​të gjitha formulat e nxjerra për rastin dydimensional? Përgjigja është po, ata janë të drejtë dhe kanë të njëjtën pamje. Për një detaj të vogël. Unë mendoj se ju tashmë e keni marrë me mend se cila është. Në të gjitha formulat do të duhet të shtojmë një term tjetër përgjegjës për boshtin aplikativ. Domethënë.

1. Nëse jepen dy pikë: , atëherë:

• Koordinatat e vektorit:
• Distanca midis dy pikave (ose gjatësia vektoriale)
• Mesi i segmentit ka koordinata

2. Nëse jepen dy vektorë: dhe, atëherë:

• Produkti i tyre skalar është i barabartë me:
• Kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve është i barabartë me:

Megjithatë, hapësira nuk është aq e thjeshtë. Siç e kuptoni, shtimi i një koordinate më shumë sjell diversitet të konsiderueshëm në spektrin e figurave që "jetojnë" në këtë hapësirë. Dhe për rrëfim të mëtejshëm do të më duhet të paraqes disa, përafërsisht, "përgjithësim" të vijës së drejtë. Ky "përgjithësim" do të jetë një plan. Çfarë dini për aeroplanin? Mundohuni t'i përgjigjeni pyetjes, çfarë është një aeroplan? Është shumë e vështirë të thuhet. Sidoqoftë, ne të gjithë intuitivisht imagjinojmë se si duket:

Përafërsisht, kjo është një lloj "fletë" e pafund e mbërthyer në hapësirë. "Pafundësia" duhet të kuptohet se avioni shtrihet në të gjitha drejtimet, domethënë zona e tij është e barabartë me pafundësinë. Megjithatë, ky shpjegim “praktik” nuk jep as idenë më të vogël për strukturën e aeroplanit. Dhe është ajo që do të interesohet për ne.

Le të kujtojmë një nga aksiomat themelore të gjeometrisë:

• një vijë e drejtë kalon nëpër dy pika të ndryshme në një plan, dhe vetëm një:

Ose analogu i tij në hapësirë:

Sigurisht, ju mbani mend se si të nxirrni ekuacionin e një rreshti nga dy pika të dhëna; nuk është aspak e vështirë: nëse pika e parë ka koordinata: dhe e dyta, atëherë ekuacioni i vijës do të jetë si më poshtë:

Ju e morët këtë në klasën e 7-të. Në hapësirë, ekuacioni i një drejtëze duket kështu: le të na jepen dy pika me koordinata: , atëherë ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër to ka formën:

Për shembull, një vijë kalon nëpër pika:

Si duhet kuptuar kjo? Kjo duhet kuptuar si më poshtë: një pikë shtrihet në një vijë nëse koordinatat e saj plotësojnë sistemin e mëposhtëm:

Ne nuk do të jemi shumë të interesuar për ekuacionin e një drejtëze, por duhet t'i kushtojmë vëmendje konceptit shumë të rëndësishëm të vektorit të drejtimit të një drejtëze. - çdo vektor jozero që shtrihet në një vijë të caktuar ose paralel me të.

Për shembull, të dy vektorët janë vektorë të drejtimit të një vije të drejtë. Le të jetë një pikë e shtrirë në një vijë dhe le të jetë vektori i drejtimit të saj. Atëherë ekuacioni i rreshtit mund të shkruhet në formën e mëposhtme:

Edhe një herë, nuk do të jem shumë i interesuar për ekuacionin e një vije të drejtë, por me të vërtetë kam nevojë që ju të mbani mend se çfarë është vektori i drejtimit! Përsëri: ky është NDONJE vektor jozero që shtrihet në një vijë ose paralel me të.

Të tërheqë ekuacioni i një rrafshi bazuar në tre pika të dhëna nuk është më aq e parëndësishme, dhe zakonisht kjo çështje nuk trajtohet në kurs gjimnaz. Por më kot! Kjo teknikë është jetike kur ne i drejtohemi metodës së koordinatave për të zgjidhur probleme komplekse. Megjithatë, supozoj se jeni të etur për të mësuar diçka të re? Për më tepër, do të jeni në gjendje t'i bëni përshtypje mësuesit tuaj në universitet kur të rezulton se tashmë dini të përdorni një teknikë që zakonisht studiohet në një kurs gjeometrie analitike. Pra, le të fillojmë.

Ekuacioni i një rrafshi nuk është shumë i ndryshëm nga ekuacioni i një vije të drejtë në një aeroplan, domethënë, ai ka formën:

disa numra (jo të gjithë të barabartë me zero), por variabla, për shembull: etj. Siç mund ta shihni, ekuacioni i një rrafshi nuk është shumë i ndryshëm nga ekuacioni i një drejtëze (funksioni linear). Megjithatë, ju kujtohet se çfarë grindëm unë dhe ju? Thamë se nëse kemi tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë ekuacioni i rrafshit mund të rindërtohet në mënyrë unike prej tyre. Por si? Do të përpiqem t'jua shpjegoj.

Meqenëse ekuacioni i aeroplanit është:

Dhe pikat i përkasin këtij rrafshi, atëherë kur zëvendësojmë koordinatat e secilës pikë në ekuacionin e rrafshit, duhet të marrim identitetin e saktë:

Kështu, lind nevoja për të zgjidhur tre ekuacione me të panjohura! Dilema! Sidoqoftë, gjithmonë mund të supozoni se (për ta bërë këtë ju duhet të ndani me). Kështu, marrim tre ekuacione me tre të panjohura:

Sidoqoftë, ne nuk do ta zgjidhim një sistem të tillë, por do të shkruajmë shprehjen misterioze që rrjedh prej tij:

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna

\[\majtas| (\fillim(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \djathtas| = 0\]

Ndalo! Çfarë është kjo? Disa shumë modul i pazakontë! Sidoqoftë, objekti që shihni përpara jush nuk ka asnjë lidhje me modulin. Ky objekt quhet përcaktor i rendit të tretë. Tani e tutje, kur trajtoni metodën e koordinatave në një plan, shumë shpesh do të ndesheni me të njëjtat përcaktorë. Çfarë është një përcaktues i rendit të tretë? Mjaft e çuditshme, është vetëm një numër. Mbetet për të kuptuar se cilin numër specifik do të krahasojmë me përcaktorin.

Le të shkruajmë fillimisht përcaktorin e rendit të tretë në një formë më të përgjithshme:

Ku janë disa numra. Për më tepër, me indeksin e parë nënkuptojmë numrin e rreshtit, dhe me indeksin kuptojmë numrin e kolonës. Për shembull, do të thotë që ky numër është në kryqëzimin e rreshtit të dytë dhe kolonës së tretë. Le ta veshim pyetja e radhës: Si do ta llogarisim saktësisht një përcaktor të tillë? Kjo do të thotë, çfarë numri specifik do të krahasojmë me të? Për përcaktuesin e rendit të tretë ekziston një rregull trekëndëshi heuristik (vizual), ai duket kështu:

1. Prodhimi i elementeve të diagonales kryesore (nga këndi i sipërm majtas në këndin e poshtëm djathtas) produkti i elementeve që formojnë trekëndëshin e parë "pingul" me diagonalen kryesore produkti i elementeve që formojnë trekëndëshin e dytë "pingul" me diagonale kryesore
2. Prodhimi i elementeve të diagonales dytësore (nga këndi i sipërm i djathtë në të majtë të poshtëm) prodhimi i elementeve që formojnë trekëndëshin e parë "pingulor" me diagonalen dytësore produkti i elementeve që formojnë trekëndëshin e dytë "pingul" me diagonale dytësore
3. Atëherë përcaktori është i barabartë me diferencën midis vlerave të marra në hap dhe

Nëse i shkruajmë të gjitha këto në numra, marrim shprehjen e mëposhtme:

Sidoqoftë, nuk keni nevojë të mbani mend metodën e llogaritjes në këtë formë; mjafton të mbani në kokë trekëndëshat dhe vetë idenë se çfarë shtohet me atë dhe çfarë zbritet më pas nga çfarë).

Le të ilustrojmë metodën e trekëndëshit me një shembull:

1. Llogaritni përcaktorin:

Le të kuptojmë se çfarë shtojmë dhe çfarë zbresim:

Kushtet që vijnë me një plus:

Kjo është diagonalja kryesore: produkti i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i parë, " pingul me diagonalen kryesore: produkti i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i dytë, " pingul me diagonalen kryesore: produkti i elementeve është i barabartë me

Mblidhni tre numra:

Termat që vijnë me një minus

Kjo është një diagonale anësore: produkti i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i parë, “ pingul me diagonalen dytësore: prodhimi i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i dytë, “pingul me diagonalen dytësore: prodhimi i elementeve është i barabartë me

Mblidhni tre numra:

Gjithçka që mbetet për t'u bërë është të zbritet shuma e termave "plus" nga shuma e termave "minus":

Kështu,

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar ose të mbinatyrshme në llogaritjen e përcaktuesve të rendit të tretë. Është e rëndësishme vetëm të mbani mend trekëndëshat dhe të mos bëni gabime aritmetike. Tani përpiquni ta llogaritni vetë:

Ne kontrollojmë:

1. Trekëndëshi i parë pingul me diagonalen kryesore:
2. Trekëndëshi i dytë pingul me diagonalen kryesore:
3. Shuma e termave me plus:
4. Trekëndëshi i parë pingul me diagonalen dytësore:
5. Trekëndëshi i dytë pingul me diagonalen anësore:
6. Shuma e termave me minus:
7. Shuma e termave me një plus minus shumën e termave me një minus:

Këtu janë disa përcaktues të tjerë, llogaritni vetë vlerat e tyre dhe krahasoni ato me përgjigjet:

Përgjigjet:

Epo, a përkoi gjithçka? E shkëlqyeshme, atëherë mund të vazhdoni! Nëse ka vështirësi, atëherë këshilla ime është kjo: në internet ka shumë programe për llogaritjen e përcaktuesit në internet. Gjithçka që ju nevojitet është të gjeni përcaktuesin tuaj, ta llogarisni vetë dhe më pas ta krahasoni me atë që llogarit programi. Dhe kështu me radhë derisa rezultatet të fillojnë të përkojnë. Jam i sigurt se ky moment nuk do të zgjasë shumë për të mbërritur!

Tani le të kthehemi te përcaktori që shkrova kur fola për ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna:

Gjithçka që ju nevojitet është të llogarisni vlerën e tij drejtpërdrejt (duke përdorur metodën e trekëndëshit) dhe ta vendosni rezultatin në zero. Natyrisht, duke qenë se këto janë variabla, do të merrni një shprehje që varet prej tyre. Është kjo shprehje që do të jetë ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz!

Le ta ilustrojmë këtë me një shembull të thjeshtë:

1. Ndërtoni ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër pika

Ne përpilojmë një përcaktues për këto tre pika:

Le të thjeshtojmë:

Tani e llogarisim drejtpërdrejt duke përdorur rregullin e trekëndëshit:

\[(\majtas| (\fillimi(grupi)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\fundi(grupi)) \ djathtas| = \left((x + 3) \djathtas) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \djathtas) + \majtas((y - 2) \djathtas) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Kështu, ekuacioni i rrafshit që kalon nëpër pika është:

Tani përpiquni ta zgjidhni vetë një problem, dhe më pas do ta diskutojmë:

2. Gjeni ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pika

Epo, le të diskutojmë tani zgjidhjen:

Le të krijojmë një përcaktues:

Dhe llogaritni vlerën e tij:

Atëherë ekuacioni i rrafshit ka formën:

Ose, duke reduktuar, marrim:

Tani dy detyra për vetëkontroll:

1. Ndërtoni ekuacionin e një rrafshi që kalon nga tre pika:

Përgjigjet:

A përkoi gjithçka? Përsëri, nëse ka disa vështirësi, atëherë këshilla ime është kjo: merrni tre pika nga koka juaj (me një shkallë të lartë probabiliteti ata nuk do të shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë), ndërtoni një aeroplan bazuar në to. Dhe pastaj kontrolloni veten në internet. Për shembull, në sit:

Megjithatë, me ndihmën e përcaktorëve do të ndërtojmë jo vetëm ekuacionin e rrafshit. Mbani mend, ju thashë se jo vetëm produkti me pika përcaktohet për vektorët. Ekziston gjithashtu një produkt vektor, si dhe një produkt i përzier. Dhe nëse prodhimi skalar i dy vektorëve është një numër, atëherë prodhimi vektorial i dy vektorëve do të jetë një vektor, dhe ky vektor do të jetë pingul me ato të dhëna:

Për më tepër, moduli i tij do të jetë i barabartë me sipërfaqen e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorët dhe. Do të na duhet ky vektor për të llogaritur distancën nga një pikë në një vijë. Si mund ta llogarisim prodhimin vektorial të vektorëve dhe nëse jepen koordinatat e tyre? Na vjen sërish në ndihmë përcaktori i rendit të tretë. Megjithatë, përpara se të kaloj në algoritmin për llogaritjen e produktit të vektorit, më duhet të bëj një digresion të vogël.

Ky digresion ka të bëjë me vektorët bazë.

Ato janë paraqitur në mënyrë skematike në figurë:

Pse mendoni se quhen bazë? Fakti është se:

Ose në foto:

Vlefshmëria e kësaj formule është e qartë, sepse:

Vepra arti vektoriale

Tani mund të filloj të prezantoj produktin kryq:

Produkti vektorial i dy vektorëve është një vektor, i cili llogaritet sipas rregullit të mëposhtëm:

Tani le të japim disa shembuj të llogaritjes së produktit kryq:

Shembulli 1: Gjeni prodhimin kryq të vektorëve:

Zgjidhja: Unë krijoj një përcaktor:

Dhe unë e llogaris atë:

Tani nga shkrimi përmes vektorëve bazë, do të kthehem te shënimi i zakonshëm i vektorit:

Kështu:

Tani provojeni.

Gati? Ne kontrollojmë:

Dhe tradicionalisht dy detyrat për kontroll:

1. Gjeni produktin vektorial të vektorëve të mëposhtëm:
2. Gjeni produktin vektorial të vektorëve të mëposhtëm:

Përgjigjet:

Produkt i përzier i tre vektorëve

Ndërtimi i fundit që do të më duhet është prodhimi i përzier i tre vektorëve. Ai, si një skalar, është një numër. Ka dy mënyra për ta llogaritur atë. - përmes një përcaktori, - përmes një produkti të përzier.

Domethënë, le të na jepen tre vektorë:

Atëherë produkti i përzier i tre vektorëve, i shënuar me, mund të llogaritet si:

1. - domethënë prodhimi i përzier është prodhimi skalar i një vektori dhe prodhimi vektorial i dy vektorëve të tjerë.

Për shembull, produkti i përzier i tre vektorëve është:

Mundohuni ta llogaritni vetë duke përdorur produktin vektor dhe sigurohuni që rezultatet përputhen!

Dhe përsëri, dy shembuj për zgjidhje të pavarura:

Përgjigjet:

Zgjedhja e një sistemi koordinativ

Epo, tani kemi të gjitha bazat e nevojshme të njohurive për të zgjidhur problemet komplekse të gjeometrisë stereometrike. Sidoqoftë, përpara se të vazhdoj drejtpërdrejt me shembujt dhe algoritmet për zgjidhjen e tyre, besoj se do të jetë e dobishme të ndalemi në pyetjen e mëposhtme: si saktësisht zgjidhni një sistem koordinativ për një figurë të caktuar. Në fund të fundit, është zgjedhja e pozicionit relativ të sistemit të koordinatave dhe e figurës në hapësirë ​​që përfundimisht do të përcaktojë se sa të vështira do të jenë llogaritjet.

Më lejoni t'ju kujtoj se në këtë seksion kemi parasysh figurat e mëposhtme:

1. Paralelepiped drejtkëndëshe
2. Prizma e drejtë (trekëndore, gjashtëkëndore...)
3. Piramida (trekëndore, katërkëndore)
4. Tetrahedron (njëlloj si piramida trekëndore)

Për një paralelipiped ose kub drejtkëndor, ju rekomandoj ndërtimin e mëposhtëm:

Kjo do të thotë, unë do ta vendos figurën "në qoshe". Kubi dhe paralelepiped janë figura shumë të mira. Për ta, ju gjithmonë mund të gjeni lehtësisht koordinatat e kulmeve të saj. Për shembull, nëse (siç tregohet në figurë)

atëherë koordinatat e kulmeve janë si më poshtë:

Sigurisht, nuk keni nevojë ta mbani mend këtë, por këshillohet të mbani mend se si të vendosni më mirë një kub ose paralelipiped drejtkëndor.

Prizma e drejtë

Prizma është një figurë më e dëmshme. Mund të pozicionohet në hapësirë ​​në mënyra të ndryshme. Sidoqoftë, opsioni i mëposhtëm më duket më i pranueshëm:

Prizma trekëndore:

Kjo do të thotë, ne vendosim njërën nga anët e trekëndëshit tërësisht në bosht, dhe një nga kulmet përkon me origjinën e koordinatave.

Prizma gjashtëkëndore:

Kjo do të thotë, një nga kulmet përkon me origjinën, dhe një nga anët shtrihet në bosht.

Piramida katërkëndore dhe gjashtëkëndore:

Situata është e ngjashme me një kub: ne rreshtojmë dy anët e bazës me boshtet e koordinatave dhe rreshtojmë njërën nga kulmet me origjinën e koordinatave. E vetmja vështirësi e vogël do të jetë llogaritja e koordinatave të pikës.

Për një piramidë gjashtëkëndore - njësoj si për një prizëm gjashtëkëndor. Detyra kryesore do të jetë përsëri gjetja e koordinatave të kulmit.

Tetrahedron (piramida trekëndore)

Situata është shumë e ngjashme me atë që dhashë për një prizëm trekëndësh: një kulm përkon me origjinën, njëra anë shtrihet në boshtin koordinativ.

Epo, tani ju dhe unë jemi më në fund afër fillimit të zgjidhjes së problemeve. Nga ajo që thashë në fillim të artikullit, mund të nxirrni përfundimin e mëposhtëm: shumica e problemeve C2 ndahen në 2 kategori: problemet e këndit dhe problemet e distancës. Së pari, do të shqyrtojmë problemet e gjetjes së një këndi. Ata nga ana tjetër ndahen në kategoritë e mëposhtme(me rritjen e vështirësisë):

Probleme për gjetjen e këndeve

1. Gjetja e këndit midis dy vijave të drejta
2. Gjetja e këndit midis dy rrafsheve

Le t'i shikojmë këto probleme në mënyrë sekuenciale: le të fillojmë duke gjetur këndin midis dy vijave të drejta. Epo, mbani mend, a nuk kemi zgjidhur ju dhe unë shembuj të ngjashëm më parë? A ju kujtohet, ne kishim tashmë diçka të ngjashme... Ne po kërkonim këndin midis dy vektorëve. Më lejoni t'ju kujtoj, nëse jepen dy vektorë: dhe, atëherë këndi ndërmjet tyre gjendet nga relacioni:

Tani qëllimi ynë është të gjejmë këndin midis dy vijave të drejta. Le të shohim "fotografinë e sheshtë":

Sa kënde kemi marrë kur kryqëzohen dy drejtëza? Vetëm disa gjëra. Vërtetë, vetëm dy prej tyre nuk janë të barabartë, ndërsa të tjerët janë vertikal ndaj tyre (dhe për këtë arsye përkojnë me to). Pra, cili kënd duhet të marrim parasysh këndin midis dy vijave të drejta: apo? Këtu rregulli është: këndi ndërmjet dy vijave të drejta nuk është gjithmonë më shumë se gradë. Domethënë, nga dy kënde do të zgjedhim gjithmonë këndin me masën më të vogël të shkallës. Kjo do të thotë, në këtë foto këndi midis dy vijave të drejta është i barabartë. Për të mos u shqetësuar çdo herë për të gjetur këndin më të vogël nga dy këndet, matematikanët dinakë sugjeruan përdorimin e një moduli. Kështu, këndi midis dy vijave të drejta përcaktohet nga formula:

Ju, si një lexues i vëmendshëm, duhet të kishit një pyetje: ku, saktësisht, i marrim të njëjtët numra që na nevojiten për të llogaritur kosinusin e një këndi? Përgjigje: do t'i marrim nga vektorët e drejtimit të vijave! Kështu, algoritmi për gjetjen e këndit midis dy vijave të drejta është si më poshtë:

1. Ne aplikojmë formulën 1.

Ose më në detaje:

1. Kërkojmë koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës së parë
2. Kërkojmë koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës së dytë
3. Ne llogarisim modulin e produktit të tyre skalar
4. Ne jemi duke kërkuar për gjatësinë e vektorit të parë
5. Ne jemi duke kërkuar për gjatësinë e vektorit të dytë
6. Shumëzoni rezultatet e pikës 4 me rezultatet e pikës 5
7. Rezultatin e pikës 3 e ndajmë me rezultatin e pikës 6. Marrim kosinusin e këndit ndërmjet vijave
8. Nëse këtë rezultat ju lejon të llogaritni me saktësi këndin, kërkoni atë
9. Përndryshe shkruajmë përmes kosinusit të harkut

Epo, tani është koha për të kaluar te problemet: Unë do të demonstroj zgjidhjen për dy të parat në detaje, do t'ia paraqes zgjidhjen një tjetri në shkurtimisht, dhe për dy problemet e fundit do të jap vetëm përgjigje, duhet t'i kryeni vetë të gjitha llogaritjet për to.

Detyrat:

1. Në tet-ra-ed-re të djathtë, gjeni këndin ndërmjet lartësisë së tet-ra-ed-ra dhe anës së mesme.

2. Në krahun e djathtë gjashtëkëndor pi-ra-mi-de, njëqind os-no-va-niya janë të barabarta, dhe skajet anësore janë të barabarta, gjeni këndin midis vijave dhe.

3. Gjatesite e te gjitha skajeve te pi-ra-mi-dy te djathta katerthymyr jane te barabarta me njera-tjetren. Gjeni këndin ndërmjet drejtëzave dhe nëse nga prerja - jeni me pi-ra-mi-dy të dhënë, pika është se-re-di-në brinjët e saj bo-co- të dyta.

4. Në buzë të kubit ka një pikë në mënyrë që Gjeni këndin midis drejtëzave dhe

5. Pika - në skajet e kubit Gjeni këndin midis drejtëzave dhe.

Nuk është rastësi që i kam rregulluar detyrat në këtë mënyrë. Ndërsa ju nuk keni filluar ende të lundroni në metodën e koordinatave, unë do të analizoj vetë figurat më "problematike" dhe do t'ju lë të merreni me kubin më të thjeshtë! Gradualisht do të duhet të mësoni se si të punoni me të gjitha figurat; Unë do të rris kompleksitetin e detyrave nga tema në temë.

Le të fillojmë të zgjidhim problemet:

1. Vizatoni një katërkëndor, vendoseni në sistemin e koordinatave siç sugjerova më parë. Meqenëse katërkëndëshi është i rregullt, të gjitha fytyrat e tij (përfshirë bazën) janë trekëndësha të rregullt. Meqenëse nuk na jepet gjatësia e anës, mund ta marr të barabartë. Unë mendoj se e kuptoni se këndi në të vërtetë nuk do të varet nga sa "shtrihet" tetraedri ynë?. Do të vizatoj gjithashtu lartësinë dhe mesataren në katërkëndor. Gjatë rrugës, unë do të vizatoj bazën e saj (do të jetë gjithashtu e dobishme për ne).

Më duhet të gjej këndin midis dhe. Çfarë dimë ne? Ne dimë vetëm koordinatat e pikës. Kjo do të thotë që ne duhet të gjejmë koordinatat e pikave. Tani mendojmë: një pikë është pika e kryqëzimit të lartësive (ose përgjysmuesve ose medianave) të trekëndëshit. Dhe një pikë është një pikë e ngritur. Pika është mesi i segmentit. Atëherë më në fund duhet të gjejmë: koordinatat e pikave: .

Le të fillojmë me gjënë më të thjeshtë: koordinatat e një pike. Shikoni figurën: Është e qartë se aplikimi i një pike është i barabartë me zero (pika shtrihet në rrafsh). Ordinata e saj është e barabartë (pasi është mediana). Është më e vështirë të gjesh abshisën e saj. Megjithatë, kjo bëhet lehtësisht bazuar në teoremën e Pitagorës: Konsideroni një trekëndësh. Hipotenuza e tij është e barabartë, dhe njëra nga këmbët e saj është e barabartë Atëherë:

Më në fund kemi: .

Tani le të gjejmë koordinatat e pikës. Është e qartë se aplikimi i saj është përsëri i barabartë me zero, dhe ordinata e tij është e njëjtë me atë të një pike, d.m.th. Le të gjejmë abshisën e saj. Kjo bëhet në mënyrë të parëndësishme nëse e mbani mend këtë lartësitë e një trekëndëshi barabrinjës me pikën e kryqëzimit ndahen në përpjestim, duke numëruar nga lart. Meqenëse: , atëherë abshisa e kërkuar e pikës, e barabartë me gjatësinë e segmentit, është e barabartë me: . Kështu, koordinatat e pikës janë:

Le të gjejmë koordinatat e pikës. Është e qartë se abshisa dhe ordinata e saj përkojnë me abshisën dhe ordinatën e pikës. Dhe aplikacioni është i barabartë me gjatësinë e segmentit. - kjo është një nga këmbët e trekëndëshit. Hipotenuza e një trekëndëshi është një segment - një këmbë. Kërkohet për arsye që i kam theksuar me shkronja të zeza:

Pika është mesi i segmentit. Atëherë duhet të kujtojmë formulën për koordinatat e mesit të segmentit:

Kjo është ajo, tani mund të kërkojmë koordinatat e vektorëve të drejtimit:

Epo, gjithçka është gati: ne i zëvendësojmë të gjitha të dhënat në formulën:

Kështu,

Përgjigje:

Ju nuk duhet të trembeni nga përgjigje të tilla "të frikshme": për detyrat C2 kjo është praktikë e zakonshme. Më mirë do të më befasonte përgjigja “e bukur” në këtë pjesë. Gjithashtu, siç e vutë re, praktikisht nuk iu drejtova asgjë tjetër përveç teoremës së Pitagorës dhe vetive të lartësive të një trekëndëshi barabrinjës. Kjo do të thotë, për të zgjidhur problemin stereometrik, kam përdorur minimumin e stereometrisë. Fitimi në këtë "shuar" pjesërisht nga llogaritjet mjaft të rënda. Por ato janë mjaft algoritmike!

2. Le të përshkruajmë një piramidë të rregullt gjashtëkëndore së bashku me sistemin e koordinatave, si dhe bazën e saj:

Duhet të gjejmë këndin ndërmjet vijave dhe. Kështu, detyra jonë zbret në gjetjen e koordinatave të pikave: . Do të gjejmë koordinatat e tre të fundit duke përdorur një vizatim të vogël dhe do të gjejmë koordinatat e kulmit përmes koordinatës së pikës. Ka shumë punë për të bërë, por duhet të fillojmë!

a) Koordinata: është e qartë se zbatimi dhe ordinata e saj janë të barabarta me zero. Le të gjejmë abshisën. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë. Mjerisht, në të ne njohim vetëm hipotenuzën, e cila është e barabartë. Do të përpiqemi të gjejmë këmbën (sepse është e qartë se dyfishi i gjatësisë së këmbës do të na japë abshisën e pikës). Si mund ta kërkojmë? Le të kujtojmë se çfarë lloj figure kemi në bazën e piramidës? Ky është një gjashtëkëndësh i rregullt. Çfarë do të thotë? Kjo do të thotë që të gjitha anët dhe të gjitha këndet janë të barabarta. Duhet të gjejmë një kënd të tillë. Ndonje ide? Ka shumë ide, por ka një formulë:

Shuma e këndeve të një këndi n të rregullt është .

Kështu, shuma e këndeve të një gjashtëkëndëshi të rregullt është e barabartë me gradë. Atëherë secili nga këndet është i barabartë me:

Le të shohim sërish foton. Është e qartë se segmenti është përgjysmues i këndit. Atëherë këndi është i barabartë me gradë. Pastaj:

Pastaj nga.

Kështu, ka koordinata

b) Tani mund të gjejmë lehtësisht koordinatat e pikës: .

c) Gjeni koordinatat e pikës. Meqenëse abshisa e saj përkon me gjatësinë e segmentit, ajo është e barabartë. Gjetja e ordinatës nuk është gjithashtu shumë e vështirë: nëse lidhim pikat dhe caktojmë pikën e kryqëzimit të drejtëzës si, të themi, . (bëjeni vetë ndërtim i thjeshtë). Atëherë, pra, ordinata e pikës B është e barabartë me shumën e gjatësive të segmenteve. Le të shohim përsëri trekëndëshin. Pastaj

Pastaj që atëherë pika ka koordinata

d) Tani le të gjejmë koordinatat e pikës. Konsideroni drejtkëndëshin dhe vërtetoni se kështu, koordinatat e pikës janë:

e) Mbetet për të gjetur koordinatat e kulmit. Është e qartë se abshisa dhe ordinata e saj përkojnë me abshisën dhe ordinatën e pikës. Le të gjejmë aplikacionin. Që atëherë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë. Sipas kushteve të problemit, një buzë anësore. Kjo është hipotenuza e trekëndëshit tim. Atëherë lartësia e piramidës është një këmbë.

Atëherë pika ka koordinata:

Epo, kaq, unë kam koordinatat e të gjitha pikave që më interesojnë. Unë jam duke kërkuar për koordinatat e vektorëve drejtues të drejtëzave:

Ne po kërkojmë këndin midis këtyre vektorëve:

Përgjigje:

Përsëri, në zgjidhjen e këtij problemi nuk përdora asnjë teknikë të sofistikuar përveç formulës për shumën e këndeve të një n-këndëshi të rregullt, si dhe përkufizimin e kosinusit dhe sinusit të një trekëndëshi kënddrejtë.

3. Meqenëse përsëri nuk na jepen gjatësitë e skajeve në piramidë, do t'i konsideroj ato të barabarta me një. Kështu, duke qenë se TË GJITHA skajet, dhe jo vetëm ato anësore, janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë në bazën e piramidës dhe mua ka një katror, ​​dhe faqet anësore janë trekëndësha të rregullt. Le të vizatojmë një piramidë të tillë, si dhe bazën e saj në një aeroplan, duke shënuar të gjitha të dhënat e dhëna në tekstin e problemit:

Ne po kërkojmë këndin midis dhe. Do të bëj llogaritje shumë të shkurtra kur të kërkoj koordinatat e pikave. Do t'ju duhet t'i "deshifroni" ato:

b) - mesi i segmentit. Koordinatat e saj:

c) Do të gjej gjatësinë e segmentit duke përdorur teoremën e Pitagorës në një trekëndësh. Mund ta gjej duke përdorur teoremën e Pitagorës në një trekëndësh.

Koordinatat:

d) - mesi i segmentit. Koordinatat e tij janë

e) Koordinatat vektoriale

f) Koordinatat vektoriale

g) Kërkimi i këndit:

Një kub është figura më e thjeshtë. Jam i sigurt që do ta kuptoni vetë. Përgjigjet për problemat 4 dhe 5 janë si më poshtë:

Gjetja e këndit ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit

Epo, koha për enigma të thjeshta ka mbaruar! Tani shembujt do të jenë edhe më të ndërlikuar. Për të gjetur këndin ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit, do të veprojmë si më poshtë:

1. Duke përdorur tre pika ndërtojmë një ekuacion të rrafshit
   ,
   duke përdorur një përcaktor të rendit të tretë.
2. Duke përdorur dy pika, ne kërkojmë koordinatat e vektorit drejtues të vijës së drejtë:
3. Ne aplikojmë formulën për të llogaritur këndin midis një drejtëze dhe një rrafshi:

Siç mund ta shihni, kjo formulë është shumë e ngjashme me atë që kemi përdorur për të gjetur kënde midis dy vijave të drejta. Struktura në anën e djathtë është thjesht e njëjtë, dhe në të majtë tani po kërkojmë sinusin, jo kosinusin si më parë. Epo, u shtua një veprim i keq - kërkimi i ekuacionit të aeroplanit.

Të mos zvarritemi shembuj zgjidhjesh:

1. Prizmi i drejtpërdrejtë kryesor-por-va-ni-em-jemi një trekëndësh i barabartë me të varfër. Gjeni këndin midis vijës së drejtë dhe rrafshit

2. Në një par-ral-le-le-pi-pe-de drejtkëndëshe nga perëndimi Gjeni këndin midis drejtëzës dhe rrafshit

3. Në një prizëm të drejtë me gjashtë kënde, të gjitha skajet janë të barabarta. Gjeni këndin midis vijës së drejtë dhe rrafshit.

4. Në trekëndëshin e drejtë pi-ra-mi-de me os-no-va-ni-em të brinjëve të njohura Gjeni një cep, ob-ra-zo-van - i sheshtë në bazë dhe i drejtë, duke kaluar nëpër gri. brinjët dhe

5. Gjatësitë e të gjitha brinjëve të një katërkëndëshi të drejtë pi-ra-mi-dy me kulm janë të barabarta me njëra-tjetrën. Gjeni këndin midis vijës së drejtë dhe rrafshit nëse pika është në anën e skajit të pi-ra-mi-dy.

Përsëri, dy problemet e para do t'i zgjidh në detaje, të tretin shkurt, dhe dy të fundit do t'ju lë t'i zgjidhni vetë. Veç kësaj, tashmë ju është dashur të merreni me piramida trekëndore dhe katërkëndore, por jo ende me prizma.

Zgjidhjet:

1. Le të përshkruajmë një prizëm, si dhe bazën e tij. Le ta kombinojmë atë me sistemin e koordinatave dhe të shënojmë të gjitha të dhënat që jepen në deklaratën e problemit:

Kërkoj falje për disa mospërputhje me përmasat, por për zgjidhjen e problemit kjo, në fakt, nuk është aq e rëndësishme. Rrafshësia është vetëm " muri i pasmë"e prizmit tim. Mjafton thjesht të merret me mend se ekuacioni i një rrafshi të tillë ka formën:

Sidoqoftë, kjo mund të tregohet drejtpërdrejt:

Le të zgjedhim tre pika arbitrare në këtë plan: për shembull, .

Le të krijojmë ekuacionin e aeroplanit:

Ushtroni për ju: llogarisni vetë këtë përcaktor. A keni pasur sukses? Atëherë ekuacioni i aeroplanit duket si ky:

Ose thjesht

Kështu,

Për të zgjidhur shembullin, më duhet të gjej koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës. Meqenëse pika përkon me origjinën e koordinatave, koordinatat e vektorit thjesht do të përkojnë me koordinatat e pikës.Për ta bërë këtë, fillimisht gjejmë koordinatat e pikës.

Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh. Le të nxjerrim lartësinë (e njohur edhe si mediana dhe përgjysmues) nga kulmi. Meqenëse, ordinata e pikës është e barabartë me. Për të gjetur abshisën e kësaj pike, duhet të llogarisim gjatësinë e segmentit. Sipas teoremës së Pitagorës kemi:

Atëherë pika ka koordinata:

Një pikë është një pikë "e ngritur":

Atëherë koordinatat e vektorit janë:

Përgjigje:

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë thelbësisht të vështirë në zgjidhjen e problemeve të tilla. Në fakt, procesi thjeshtohet pak më shumë nga "drejtësia" e një figure të tillë si prizmi. Tani le të kalojmë në shembullin tjetër:

2. Vizatoni një paralelipiped, vizatoni një plan dhe një vijë të drejtë në të dhe gjithashtu vizatoni veçmas bazën e poshtme të tij:

Së pari, gjejmë ekuacionin e rrafshit: Koordinatat e tre pikave që ndodhen në të:

(dy koordinatat e para merren në mënyrë të dukshme, dhe ju mund ta gjeni lehtësisht koordinatën e fundit nga fotografia nga pika). Pastaj përpilojmë ekuacionin e aeroplanit:

Ne llogarisim:

Po kërkojmë koordinatat e vektorit drejtues: Është e qartë se koordinatat e tij përkojnë me koordinatat e pikës, apo jo? Si të gjeni koordinatat? Këto janë koordinatat e pikës, të ngritura përgjatë boshtit aplikativ me një! . Pastaj kërkojmë këndin e dëshiruar:

Përgjigje:

3. Vizatoni një piramidë të rregullt gjashtëkëndore, dhe më pas vizatoni një plan dhe një vijë të drejtë në të.

Këtu është edhe problematike të vizatoni një aeroplan, për të mos përmendur zgjidhjen e këtij problemi, por metoda e koordinatave nuk i intereson! Shkathtësia e tij është përparësia e tij kryesore!

Aeroplani kalon nëpër tri pika: . Ne jemi duke kërkuar për koordinatat e tyre:

1) . Zbuloni vetë koordinatat për dy pikat e fundit. Për këtë ju duhet të zgjidhni problemin e piramidës gjashtëkëndore!

2) Ndërtojmë ekuacionin e rrafshit:

Kërkojmë koordinatat e vektorit: . (Shihni përsëri problemin e piramidës trekëndore!)

3) Duke kërkuar për një kënd:

Përgjigje:

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të mbinatyrshme të vështirë në këto detyra. Thjesht duhet të jeni shumë të kujdesshëm me rrënjët. Unë do të jap përgjigje vetëm për dy problemet e fundit:

Siç mund ta shihni, teknika për zgjidhjen e problemeve është e njëjtë kudo: detyra kryesore është të gjeni koordinatat e kulmeve dhe t'i zëvendësoni ato në formula të caktuara. Ne ende duhet të konsiderojmë një klasë tjetër të problemeve për llogaritjen e këndeve, domethënë:

Llogaritja e këndeve ndërmjet dy rrafsheve

Algoritmi i zgjidhjes do të jetë si më poshtë:

1. Duke përdorur tre pika ne kërkojmë ekuacionin e planit të parë:
2. Duke përdorur tre pikat e tjera, ne kërkojmë ekuacionin e planit të dytë:
3. Ne aplikojmë formulën:

Siç mund ta shihni, formula është shumë e ngjashme me dy të mëparshmet, me ndihmën e së cilës ne kërkuam kënde midis vijave të drejta dhe midis një drejtëze dhe një rrafshi. Kështu që nuk do të jetë e vështirë për ju ta mbani mend këtë. Le të kalojmë në analizën e detyrave:

1. Brinja e bazës së prizmit trekëndor të drejtë është e barabartë, dhe diagonali i faqes anësore është i barabartë. Gjeni këndin ndërmjet rrafshit dhe rrafshit të boshtit të prizmit.

2. Në katërkëndëshin e djathtë pi-ra-mi-de, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta, gjeni sinusin e këndit ndërmjet rrafshit dhe kockës së rrafshët, duke kaluar nëpër pikën per-pen-di-ku-. gënjeshtar-por i drejtë.

3. Në një prizëm të rregullt me ​​katër kënde, anët e bazës janë të barabarta, dhe skajet anësore janë të barabarta. Ka një pikë në buzë nga-me-che-on në mënyrë që. Gjeni këndin ndërmjet rrafsheve dhe

4. Në një prizëm të drejtë katërkëndësh, anët e bazës janë të barabarta, dhe skajet anësore janë të barabarta. Ka një pikë në buzë nga pika në mënyrë që Gjeni këndin midis planeve dhe.

5. Në një kub, gjeni co-si-nus të këndit ndërmjet rrafsheve dhe

Zgjidhjet e problemeve:

1. Vizatoj një prizëm trekëndësh të rregullt (një trekëndësh barabrinjës në bazë) dhe shënoj mbi të rrafshet që shfaqen në përcaktimin e problemit:

Duhet të gjejmë ekuacionet e dy rrafsheve: Ekuacioni i bazës është i parëndësishëm: mund të kompozoni përcaktorin përkatës duke përdorur tre pika, por unë do ta përpiloj ekuacionin menjëherë:

Tani le të gjejmë ekuacionin Pika ka koordinata Pika - Meqenëse është mesatarja dhe lartësia e trekëndëshit, ai gjendet lehtësisht duke përdorur teoremën e Pitagorës në trekëndësh. Atëherë pika ka koordinata: Le të gjejmë zbatueshmërinë e pikës. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë

Pastaj marrim koordinatat e mëposhtme: Hartojmë ekuacionin e rrafshit.

Ne llogarisim këndin midis planeve:

Përgjigje:

2. Bërja e një vizatimi:

Gjëja më e vështirë është të kuptosh se çfarë lloj avioni misterioz është ky, duke kaluar pingul nëpër pikë. Epo, gjëja kryesore është, çfarë është? Gjëja kryesore është vëmendja! Në fakt, vija është pingul. Vija e drejtë është gjithashtu pingul. Atëherë avioni që kalon nëpër këto dy rreshta do të jetë pingul me vijën dhe, nga rruga, do të kalojë nëpër pikë. Ky aeroplan kalon edhe nga maja e piramidës. Pastaj avioni i dëshiruar - Dhe avioni tashmë na është dhënë. Kërkojmë koordinatat e pikave.

Gjejmë koordinatat e pikës përmes pikës. Nga fotografia e vogël është e lehtë të konkludohet se koordinatat e pikës do të jenë si më poshtë: Çfarë mbetet për të gjetur tani për të gjetur koordinatat e majës së piramidës? Ju gjithashtu duhet të llogarisni lartësinë e tij. Kjo bëhet duke përdorur të njëjtën teoremë të Pitagorës: së pari provoni se (në mënyrë të parëndësishme nga trekëndëshat e vegjël që formojnë një katror në bazë). Meqenëse sipas kushteve kemi:

Tani gjithçka është gati: koordinatat e kulmit:

Ne hartojmë ekuacionin e aeroplanit:

Ju jeni tashmë një ekspert në llogaritjen e përcaktuesve. Pa vështirësi do të merrni:

Ose ndryshe (nëse i shumëzojmë të dyja anët me rrënjën e dyve)

Tani le të gjejmë ekuacionin e aeroplanit:

(Nuk keni harruar se si e marrim ekuacionin e një aeroplani, apo jo? Nëse nuk e kuptoni se nga erdhi ky minus një, atëherë kthehuni te përkufizimi i ekuacionit të një aeroplani! Thjesht ka dalë gjithmonë përpara kësaj avioni im i përkiste origjinës së koordinatave!)

Ne llogarisim përcaktorin:

(Mund të vëreni se ekuacioni i rrafshit përkon me ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pika dhe! Mendoni pse!)

Tani le të llogarisim këndin:

Duhet të gjejmë sinusin:

Përgjigje:

3. Pyetje e ndërlikuar: çfarë mendoni se është një prizëm drejtkëndor? Ky është vetëm një paralelipiped që ju e dini mirë! Le të bëjmë një vizatim menjëherë! Ju as nuk duhet ta përshkruani bazën veç e veç; këtu ka pak përdorim:

Aeroplani, siç kemi theksuar më herët, është shkruar në formën e një ekuacioni:

Tani le të krijojmë një aeroplan

Ne krijojmë menjëherë ekuacionin e aeroplanit:

Duke kërkuar për një kënd:

Tani përgjigjet për dy problemet e fundit:

Epo, tani është koha për të bërë një pushim të vogël, sepse ju dhe unë jemi të shkëlqyer dhe kemi bërë një punë të shkëlqyer!

Koordinatat dhe vektorët. Niveli i avancuar

Në këtë artikull do të diskutojmë me ju një klasë tjetër problemesh që mund të zgjidhen duke përdorur metodën e koordinatave: problemet e llogaritjes së distancës. Domethënë, ne do të shqyrtojmë rastet e mëposhtme:

1. Llogaritja e distancës ndërmjet vijave të kryqëzuara.

Unë i kam porositur këto detyra për të rritur vështirësinë. Rezulton të jetë më e lehtë për t'u gjetur distanca nga pika në aeroplan, dhe gjëja më e vështirë është të gjesh distanca midis vijave të kryqëzimit. Edhe pse, natyrisht, asgjë nuk është e pamundur! Le të mos zvarritemi dhe menjëherë të vazhdojmë të shqyrtojmë klasën e parë të problemeve:

Llogaritja e distancës nga një pikë në një plan

Çfarë na duhet për të zgjidhur këtë problem?

1. Koordinatat e pikave

Pra, sapo të marrim të gjitha të dhënat e nevojshme, zbatojmë formulën:

Duhet ta dini tashmë se si e ndërtojmë ekuacionin e një rrafshi nga problemet e mëparshme që diskutova në pjesën e fundit. Le të kalojmë drejtpërdrejt te detyrat. Skema është si më poshtë: 1, 2 - Unë ju ndihmoj të vendosni, dhe në disa detaje, 3, 4 - vetëm përgjigja, ju e kryeni vetë zgjidhjen dhe krahasoni. Le të fillojmë!

Detyrat:

1. Jepet një kub. Gjatësia e skajit të kubit është e barabartë. Gjeni distancën nga se-re-di-na nga prerja në rrafsh

2. Jepet e drejta me katër qymyr pi-ra-mi-po, ana e anës është e barabartë me bazën. Gjeni distancën nga pika në rrafshin ku - se-ri-di-në skajet.

3. Në trekëndëshin e drejtë pi-ra-mi-de me os-no-va-ni-em, skaji anësor është i barabartë, dhe njëqind-ro-on os-no-va-nia është i barabartë. Gjeni distancën nga maja në aeroplan.

4. Në një prizëm gjashtëkëndor të drejtë, të gjitha skajet janë të barabarta. Gjeni distancën nga një pikë në një plan.

Zgjidhjet:

1. Vizatoni një kub me skaje të vetme, ndërtoni një segment dhe një plan, shënoni mesin e segmentit me një shkronjë

.

Së pari, le të fillojmë me atë të lehtë: gjeni koordinatat e pikës. Që atëherë (kujtoni koordinatat e mesit të segmentit!)

Tani përpilojmë ekuacionin e aeroplanit duke përdorur tre pika

\[\majtas| (\fillimi(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\fund(array)) \djathtas| = 0\]

Tani mund të filloj të gjej distancën:

2. Fillojmë sërish me një vizatim në të cilin shënojmë të gjitha të dhënat!

Për një piramidë, do të ishte e dobishme të vizatoni bazën e saj veçmas.

Edhe fakti që vizatoj si pula me putrën e saj nuk do të na pengojë ta zgjidhim këtë problem me lehtësi!

Tani është e lehtë të gjesh koordinatat e një pike

Që nga koordinatat e pikës, atëherë

2. Meqenëse koordinatat e pikës a janë mesi i segmentit, atëherë

Pa asnjë problem, ne mund të gjejmë koordinatat e dy pikave të tjera në rrafsh. Krijojmë një ekuacion për rrafshin dhe e thjeshtojmë atë:

\[\majtas| (\majtas| (\fillim(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \djathtas|) \djathtas| = 0\]

Meqenëse pika ka koordinata: , ne llogarisim distancën:

Përgjigje (shumë e rrallë!):

Epo, e kuptove? Më duket se gjithçka këtu është po aq teknike sa në shembujt që shikuam në pjesën e mëparshme. Pra, jam i sigurt se nëse e keni zotëruar atë material, atëherë nuk do ta keni të vështirë t'i zgjidhni dy problemet e mbetura. Unë do t'ju jap vetëm përgjigjet:

Llogaritja e distancës nga një vijë e drejtë në një plan

Në fakt, këtu nuk ka asgjë të re. Si mund të vendosen një vijë e drejtë dhe një rrafsh në lidhje me njëra-tjetrën? Ata kanë vetëm një mundësi: të kryqëzohen, ose një vijë e drejtë është paralele me rrafshin. Sa mendoni se është distanca nga një drejtëz në rrafshin me të cilin kryqëzohet kjo drejtëz? Më duket se këtu është e qartë se një distancë e tillë është e barabartë me zero. Jo një rast interesant.

Rasti i dytë është më i ndërlikuar: këtu distanca është tashmë jo zero. Megjithatë, meqenëse drejtëza është paralele me rrafshin, atëherë çdo pikë e drejtëzës është e barabartë nga ky plan:

Kështu:

Kjo do të thotë që detyra ime është reduktuar në atë të mëparshmen: ne jemi duke kërkuar për koordinatat e çdo pike në një vijë të drejtë, duke kërkuar ekuacionin e rrafshit dhe duke llogaritur distancën nga pika në plan. Në fakt, detyra të tilla janë jashtëzakonisht të rralla në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Unë arrita të gjeja vetëm një problem, dhe të dhënat në të ishin të tilla që metoda e koordinatave nuk ishte shumë e zbatueshme për të!

Tani le të kalojmë në diçka tjetër, shumë më tepër klasë e rëndësishme detyrat:

Llogaritja e distancës së një pike në një vijë

Çfarë na duhet?

1. Koordinatat e pikës nga e cila kërkojmë distancën:

2. Koordinatat e çdo pike që shtrihet në një vijë

3. Koordinatat e vektorit drejtues të drejtëzës

Çfarë formule përdorim?

Çfarë do të thotë emëruesi i kësaj thyese duhet të jetë e qartë për ju: kjo është gjatësia e vektorit drejtues të drejtëzës. Ky është një numërues shumë i ndërlikuar! Shprehja nënkupton modulin (gjatësinë) e produktit vektorial të vektorëve dhe Si të llogarisim produktin e vektorit, kemi studiuar në pjesën e mëparshme të punës. Rifresko njohuritë tuaja, do të na duhen shumë tani!

Kështu, algoritmi për zgjidhjen e problemeve do të jetë si më poshtë:

1. Kërkojmë koordinatat e pikës nga e cila kërkojmë distancën:

2. Ne kërkojmë koordinatat e çdo pike të drejtëzës në të cilën kërkojmë distancën:

3. Ndërtoni një vektor

4. Ndërtoni një vektor drejtues të një drejtëze

5. Llogaritni prodhimin e vektorit

6. Kërkojmë gjatësinë e vektorit që rezulton:

7. Llogaritni distancën:

Kemi shumë punë për të bërë dhe shembujt do të jenë mjaft kompleks! Pra, tani përqendroni të gjithë vëmendjen tuaj!

1. Jepet një trekëndësh i drejtë pi-ra-mi-da me majë. Njëqind-ro-në bazë të pi-ra-mi-dy është i barabartë, ju jeni të barabartë. Gjeni distancën nga skaji gri në vijën e drejtë, ku pikat dhe janë skajet gri dhe nga veterinaria.

2. Gjatësitë e brinjëve dhe këndi i drejtë-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da janë të barabarta në përputhje me rrethanat dhe Gjeni distancën nga maja në vijën e drejtë.

3. Në një prizëm gjashtëkëndor të drejtë, të gjitha skajet janë të barabarta, gjeni distancën nga një pikë në një vijë të drejtë

Zgjidhjet:

1. Ne bëjmë një vizatim të pastër në të cilin shënojmë të gjitha të dhënat:

Kemi shumë punë për të bërë! Së pari, do të doja të përshkruaj me fjalë se çfarë do të kërkojmë dhe në çfarë rendi:

1. Koordinatat e pikave dhe

2. Koordinatat e pikave

3. Koordinatat e pikave dhe

4. Koordinatat e vektorëve dhe

5. Produkti i tyre kryq

6. Gjatësia vektoriale

7. Gjatësia e produktit të vektorit

8. Largësia nga në

Epo, ne kemi shumë punë përpara! Le t'ia dalim me mëngët përveshur!

1. Për të gjetur koordinatat e lartësisë së piramidës, duhet të dimë koordinatat e pikës. Zbatimi i saj është zero, dhe ordinata e saj është e barabartë me abshisën e saj është e barabartë me gjatësinë e segmentit. Meqë është lartësia e një trekëndësh barabrinjës, ai ndahet në raport, duke llogaritur nga kulmi, nga këtu. Më në fund, morëm koordinatat:

Koordinatat e pikave

2. - mesi i segmentit

3. - mesi i segmentit

Pika e mesme e segmentit

4.Koordinatat

Koordinatat vektoriale

5. Llogaritni produktin e vektorit:

6. Gjatësia e vektorit: mënyra më e lehtë për t'u zëvendësuar është se segmenti është mesi i trekëndëshit, që do të thotë se është i barabartë me gjysmën e bazës. Kështu që.

7. Llogaritni gjatësinë e prodhimit të vektorit:

8. Së fundi, gjejmë distancën:

Uh, kjo është ajo! Unë do t'ju them sinqerisht: zgjidhja e këtij problemi duke përdorur metoda tradicionale (nëpërmjet ndërtimit) do të ishte shumë më e shpejtë. Por këtu unë reduktova gjithçka në një algoritëm të gatshëm! Mendoj se algoritmi i zgjidhjes është i qartë për ju? Prandaj, do t'ju kërkoj t'i zgjidhni vetë dy problemet e mbetura. Le të krahasojmë përgjigjet?

Përsëri, e përsëris: është më e lehtë (më e shpejtë) t'i zgjidhësh këto probleme përmes ndërtimeve, sesa t'i drejtohesh metodës së koordinatave. Unë e demonstrova këtë metodë zgjidhjeje vetëm për t'ju treguar një metodë universale që ju lejon të "mos përfundoni ndërtimin e asgjë".

Më në fund, merrni parasysh klasën e fundit të problemeve:

Llogaritja e distancës midis drejtëzave të kryqëzuara

Këtu algoritmi për zgjidhjen e problemeve do të jetë i ngjashëm me atë të mëparshëm. Ajo që kemi:

3. Çdo vektor që lidh pikat e vijës së parë dhe të dytë:

Si e gjejmë distancën ndërmjet vijave?

Formula është si më poshtë:

Numëruesi është moduli i produktit të përzier (e kemi prezantuar në pjesën e mëparshme), dhe emëruesi është, si në formulën e mëparshme (moduli i produktit vektorial të vektorëve të drejtimit të vijave të drejta, distanca ndërmjet të cilave ne janë në kërkim).

Unë do t'ju kujtoj atë

Pastaj formula për distancën mund të rishkruhet si:

Ky është një përcaktor i ndarë me një përcaktor! Edhe pse, të them të drejtën, nuk kam kohë për shaka këtu! Kjo formulë është, në fakt, shumë e rëndë dhe çon në llogaritje mjaft komplekse. Po të isha në vendin tuaj, do t'i drejtohesha vetëm si mjet i fundit!

Le të përpiqemi të zgjidhim disa probleme duke përdorur metodën e mësipërme:

1. Në një prizëm trekëndësh të drejtë, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta, gjeni distancën midis drejtëzave dhe.

2. Duke pasur parasysh një prizëm trekëndor të drejtë, të gjitha skajet e bazës janë të barabarta me seksionin që kalon nëpër brinjën e trupit dhe brinjët se-re-di-pus janë një katror. Gjeni distancën midis drejtëzave dhe

Unë vendos të parën, dhe në bazë të saj, ju vendosni të dytën!

1. Vizatoj një prizëm dhe shënoj drejtëza dhe

Koordinatat e pikës C: atëherë

Koordinatat e pikave

Koordinatat vektoriale

Koordinatat e pikave

Koordinatat vektoriale

Koordinatat vektoriale

\[\majtas((B,\mbidrejtë-shigjetë (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \djathtas) = ​​\majtas| (\fillimi(array)(*(20)(l))(\fillimi(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\fillimi(array)(*(20) (c)) 0&0&1\fund(array))\\(\fillimi(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \djathtas| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Ne llogarisim produktin e vektorit ndërmjet vektorëve dhe

\[\mbi shigjetë e drejtë (A(A_1)) \cdot \mbidrejtë shigjetë (B(C_1)) = \majtas| \fille(array)(l)\fille(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k)\end(array)\\\fille(array )(*(20)(c))0&0&1\fund(array)\\\fillimi(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\mbi shigjetë e djathta k + \frac(1)(2)\mbi shigjetë e drejtë i \]

Tani llogarisim gjatësinë e tij:

Përgjigje:

Tani përpiquni të përfundoni detyrën e dytë me kujdes. Përgjigja për të do të jetë: .

Koordinatat dhe vektorët. Përshkrimi i shkurtër dhe formulat bazë

Një vektor është një segment i drejtuar. - fillimi i vektorit, - fundi i vektorit.
Një vektor shënohet me ose.

Vlere absolute vektor - gjatësia e segmentit që përfaqëson vektorin. Shënohet si.

Koordinatat e vektorit:

,
ku janë skajet e vektorit \displaystyle a .

Shuma e vektorëve: .

Produkti i vektorëve:

Prodhimi me pika i vektorëve:

Në këtë material, ne do të shohim se si të gjejmë ekuacionin e një rrafshi nëse dimë koordinatat e tre pikave të ndryshme që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz. Për ta bërë këtë, ne duhet të kujtojmë se çfarë është një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirën tre-dimensionale. Për të filluar, ne do të prezantojmë parimin bazë të këtij ekuacioni dhe do të tregojmë saktësisht se si ta përdorim atë për të zgjidhur probleme specifike.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Së pari, duhet të kujtojmë një aksiomë, e cila tingëllon si kjo:

Përkufizimi 1

Nëse tre pika nuk përkojnë me njëra-tjetrën dhe nuk shtrihen në të njëjtën vijë, atëherë në hapësirën tredimensionale vetëm një rrafsh kalon nëpër to.

Me fjalë të tjera, nëse kemi tre pika të ndryshme, koordinatat e të cilave nuk përputhen dhe që nuk mund të lidhen me një vijë të drejtë, atëherë mund të përcaktojmë rrafshin që kalon nëpër të.

Le të themi se kemi një sistem koordinativ drejtkëndor. Le ta shënojmë O x y z. Ai përmban tre pika M me koordinata M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), të cilat nuk mund të lidhen vijë e drejtë. Bazuar në këto kushte, ne mund të shkruajmë ekuacionin e rrafshit që na nevojitet. Ekzistojnë dy qasje për zgjidhjen e këtij problemi.

1. Qasja e parë përdor ekuacionin e planit të përgjithshëm. Në formën e shkronjave, shkruhet si A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Me ndihmën e tij, ju mund të përcaktoni në një sistem koordinativ drejtkëndor një plan të caktuar alfa që kalon nëpër pikën e parë të dhënë M 1 (x 1, y 1, z 1). Rezulton se vektori normal i planit α do të ketë koordinatat A, B, C.

Përkufizimi i N

Duke ditur koordinatat e vektorit normal dhe koordinatat e pikës nëpër të cilën kalon rrafshi, mund të shkruajmë ekuacionin e përgjithshëm të këtij rrafshi.

Nga kjo do të vazhdojmë në të ardhmen.

Kështu, sipas kushteve të problemit, kemi koordinatat e pikës së dëshiruar (edhe tre) nëpër të cilën kalon rrafshi. Për të gjetur ekuacionin, duhet të llogaritni koordinatat e vektorit normal të tij. Le ta shënojmë n → .

Le të kujtojmë rregullin: çdo vektor jozero i një rrafshi të caktuar është pingul me vektorin normal të të njëjtit rrafsh. Atëherë kemi se n → do të jetë pingul me vektorët e përbërë nga pikat origjinale M 1 M 2 → dhe M 1 M 3 → . Atëherë mund të shënojmë n → si prodhim vektorial të formës M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Meqenëse M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) dhe M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (provat e këtyre barazive janë dhënë në artikullin kushtuar llogaritjes së koordinatave të një vektori nga koordinatat e pikave), atëherë rezulton se:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Nëse llogarisim përcaktorin, do të marrim koordinatat e vektorit normal n → që na duhen. Tani mund të shkruajmë ekuacionin që na nevojitet për një plan që kalon nëpër tre pika të dhëna.

2. Qasja e dytë për gjetjen e ekuacionit që kalon përmes M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), bazohet në një koncept të tillë si koplanariteti i vektorëve.

Nëse kemi një grup pikash M (x, y, z), atëherë në një sistem koordinativ drejtkëndor ata përcaktojnë një plan për pikat e dhëna M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) vetëm në rastin kur vektorët M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) dhe M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) do të jenë koplanare .

Në diagram do të duket kështu:

Kjo do të thotë se prodhimi i përzier i vektorëve M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → do të jetë i barabartë me zero: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , pasi ky është kushti kryesor i bashkëplanaritetit: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) dhe M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Le të shkruajmë ekuacionin që rezulton në formë koordinative:

Pasi të llogarisim përcaktorin, mund të marrim ekuacionin e planit që na nevojitet për tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Nga ekuacioni që rezulton, mund të shkoni në ekuacionin e rrafshit në segmente ose në ekuacionin normal të planit, nëse kushtet e problemit e kërkojnë atë.

Në paragrafin vijues do të japim shembuj se si zbatohen në praktikë qasjet që kemi treguar.

Shembuj problemash për kompozimin e një ekuacioni të një rrafshi që kalon nga 3 pika

Më parë, ne kemi identifikuar dy qasje që mund të përdoren për të gjetur ekuacionin e dëshiruar. Le të shohim se si ato përdoren për të zgjidhur problemet dhe kur duhet të zgjidhni secilën prej tyre.

Shembulli 1

Janë tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë, me koordinatat M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Shkruani një ekuacion për rrafshin që kalon nëpër to.

Zgjidhje

Ne i përdorim të dyja metodat në mënyrë alternative.

1. Gjeni koordinatat e dy vektorëve që na duhen M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Tani le të llogarisim produktin e tyre vektor. Ne nuk do të përshkruajmë llogaritjet e përcaktorit:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Kemi një vektor normal të rrafshit që kalon nëpër tri pikat e kërkuara: n → = (- 5, 30, 2) . Tjetra, duhet të marrim një nga pikat, për shembull, M 1 (- 3, 2, - 1) dhe të shkruajmë ekuacionin për rrafshin me vektor n → = (- 5, 30, 2). Marrim se: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Ky është ekuacioni që na nevojitet për një aeroplan që kalon nëpër tre pika.

2. Le të kemi një qasje të ndryshme. Le të shkruajmë ekuacionin për një plan me tre pika M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) në formën e mëposhtme:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Këtu mund të zëvendësoni të dhënat nga deklarata e problemit. Meqenëse x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, si rezultat marrim:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Ne morëm ekuacionin që na duhej.

Përgjigje:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Por, çka nëse pikat e dhëna ende qëndrojnë në të njëjtën linjë dhe ne duhet të krijojmë një ekuacion të rrafshët për to? Këtu duhet thënë menjëherë se kjo gjendje nuk do të jetë plotësisht e saktë. Një numër i pafund planesh mund të kalojnë nëpër pika të tilla, kështu që është e pamundur të llogaritet një përgjigje e vetme. Le të shqyrtojmë një problem të tillë për të vërtetuar pasaktësinë e një formulimi të tillë të pyetjes.

Shembulli 2

Kemi një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirën tredimensionale, në të cilin vendosen tri pika me koordinatat M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1). Është e nevojshme të krijohet një ekuacion i aeroplanit që kalon nëpër të.

Zgjidhje

Le të përdorim metodën e parë dhe të fillojmë duke llogaritur koordinatat e dy vektorëve M 1 M 2 → dhe M 1 M 3 →. Le të llogarisim koordinatat e tyre: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Produkti kryq do të jetë i barabartë me:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Meqenëse M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, atëherë vektorët tanë do të jenë kolinear (lexoni përsëri artikullin rreth tyre nëse keni harruar përkufizimin e këtij koncepti). Kështu, pikat fillestare M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) janë në të njëjtën linjë, dhe problemi ynë ka pafundësisht shumë opsionet përgjigje.

Nëse përdorim metodën e dytë, do të marrim:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Nga barazia që rezulton rrjedh gjithashtu se pikat e dhëna M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) janë në të njëjtën linjë.

Nëse dëshironi të gjeni të paktën një përgjigje për këtë problem nga numri i pafund i opsioneve të tij, atëherë duhet të ndiqni këto hapa:

1. Shkruani ekuacionin e drejtëzës M 1 M 2, M 1 M 3 ose M 2 M 3 (nëse është e nevojshme, shikoni materialin për këtë veprim).

2. Merrni një pikë M 4 (x 4, y 4, z 4), e cila nuk shtrihet në vijën e drejtë M 1 M 2.

3. Shkruani ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër tri pika të ndryshme M 1, M 2 dhe M 4 që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Në këtë mësim do të shikojmë se si të përdorim përcaktorin për të krijuar ekuacioni i rrafshët. Nëse nuk e dini se çfarë është një përcaktues, shkoni te pjesa e parë e mësimit - "Matricat dhe përcaktuesit". Përndryshe, rrezikoni të mos kuptoni asgjë në materialin e sotëm.

Ekuacioni i një rrafshi që përdor tre pika

Pse na duhet fare një ekuacion i rrafshët? Është e thjeshtë: duke e ditur atë, ne mund të llogarisim lehtësisht këndet, distancat dhe gërmadhat e tjera në problemin C2. Në përgjithësi, nuk mund të bëni pa këtë ekuacion. Prandaj, ne formulojmë problemin:

Detyrë. Tre pika janë dhënë në hapësirë ​​që nuk shtrihen në të njëjtën linjë. Koordinatat e tyre:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Duhet të krijoni një ekuacion për aeroplanin që kalon nëpër këto tre pika. Për më tepër, ekuacioni duhet të duket si ky:

Ax + By + Cz + D = 0

ku numrat A, B, C dhe D janë koeficientët që, në fakt, duhet të gjenden.

Epo, si të merret ekuacioni i një rrafshi nëse dihen vetëm koordinatat e pikave? Mënyra më e lehtë është të zëvendësoni koordinatat në ekuacionin Ax + By + Cz + D = 0. Ju merrni një sistem prej tre ekuacionesh që mund të zgjidhen lehtësisht.

Shumë studentë e shohin këtë zgjidhje jashtëzakonisht të lodhshme dhe jo të besueshme. Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë të vitit të kaluar tregoi se gjasat për të bërë një gabim llogaritës janë vërtet të larta.

Prandaj, mësuesit më të avancuar filluan të kërkonin zgjidhje më të thjeshta dhe më elegante. Dhe ata e gjetën atë! Vërtetë, teknika e marrë më tepër lidhet me matematikën më të lartë. Personalisht, më është dashur të gërmoj nëpër të gjithë Listën Federale të Teksteve për t'u siguruar që ne kemi të drejtën ta përdorim këtë teknikë pa asnjë justifikim ose provë.

Ekuacioni i një rrafshi përmes një përcaktori

Mjaft me tekstet e këngës, le t'i drejtohemi punës. Për të filluar, një teoremë rreth asaj se si përcaktuesi i një matrice dhe ekuacioni i planit janë të lidhura.

Teorema. Le të jepen koordinatat e tri pikave nëpër të cilat duhet të vizatohet rrafshi: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x2, y2, z2); K = (x 3, y 3, z 3). Atëherë ekuacioni i këtij rrafshi mund të shkruhet përmes përcaktorit:

Si shembull, le të përpiqemi të gjejmë një palë planesh që ndodhin në të vërtetë në problemet C2. Shikoni sa shpejt llogaritet gjithçka:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Ne hartojmë një përcaktor dhe e barazojmë me zero:

Zgjerojmë përcaktorin:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Siç mund ta shihni, gjatë llogaritjes së numrit d, e "krehja" pak ekuacionin në mënyrë që variablat x, y dhe z të hynë në sekuencë e saktë. Kjo eshte e gjitha! Ekuacioni i aeroplanit është gati!

Detyrë. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër pika:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Ne zëvendësojmë menjëherë koordinatat e pikave në përcaktorin:

Ne e zgjerojmë përsëri përcaktorin:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Pra, ekuacioni i aeroplanit fitohet përsëri! Përsëri, në hapin e fundit na u desh të ndryshonim shenjat në të për të marrë një formulë më "të bukur". Nuk është aspak e nevojshme ta bëni këtë në këtë zgjidhje, por megjithatë rekomandohet - të thjeshtoni zgjidhjen e mëtejshme të problemit.

Siç mund ta shihni, kompozimi i ekuacionit të një aeroplani tani është shumë më i lehtë. Ne i zëvendësojmë pikat në matricë, llogarisim përcaktorin - dhe kjo është ajo, ekuacioni është gati.

Kjo mund të përfundojë mësimin. Megjithatë, shumë studentë harrojnë vazhdimisht atë që është brenda përcaktorit. Për shembull, cila rresht përmban x 2 ose x 3, dhe cila rresht përmban vetëm x. Për ta hequr këtë nga rruga, le të shohim se nga vjen secili numër.

Nga vjen formula me përcaktorin?

Pra, le të kuptojmë se nga vjen një ekuacion kaq i ashpër me një përcaktues. Kjo do t'ju ndihmojë ta mbani mend atë dhe ta zbatoni me sukses.

Të gjithë rrafshet që paraqiten në problemin C2 përcaktohen nga tre pika. Këto pika shënohen gjithmonë në vizatim, ose madje tregohen drejtpërdrejt në tekstin e problemit. Në çdo rast, për të krijuar një ekuacion do të duhet të shkruajmë koordinatat e tyre:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Le të shqyrtojmë një pikë tjetër në aeroplanin tonë me koordinata arbitrare:

T = (x, y, z)

Merrni çdo pikë nga tre të parat (për shembull, pika M) dhe vizatoni vektorë prej saj në secilën nga tre pikat e mbetura. Ne marrim tre vektorë:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1, y − y 1, z − z 1 ).

Tani le të përpilojmë një matricë katrore nga këta vektorë dhe të barazojmë përcaktuesin e saj me zero. Koordinatat e vektorëve do të bëhen rreshta të matricës - dhe do të marrim vetë përcaktuesin që tregohet në teoremë:

Kjo formulë do të thotë që vëllimi i një paralelipipedi të ndërtuar mbi vektorët MN, MK dhe MT është i barabartë me zero. Prandaj, të tre vektorët shtrihen në të njëjtin plan. Në veçanti, një pikë arbitrare T = (x, y, z) është pikërisht ajo që ne po kërkonim.

Zëvendësimi i pikave dhe vijave të një përcaktori

Përcaktuesit kanë disa veti të shkëlqyera që e bëjnë edhe më të lehtë zgjidhja e problemit C2. Për shembull, për ne nuk ka rëndësi se nga cila pikë i tërheqim vektorët. Prandaj, përcaktuesit e mëposhtëm japin të njëjtin ekuacion të rrafshët si ai i mësipërm:

Ju gjithashtu mund të ndërroni rreshtat e përcaktorit. Ekuacioni do të mbetet i pandryshuar. Për shembull, shumë njerëzve u pëlqen të shkruajnë një rresht me koordinatat e pikës T = (x; y; z) në krye. Ju lutemi, nëse është e përshtatshme për ju:

Disa njerëz janë të hutuar nga fakti se njëra prej rreshtave përmban variabla x, y dhe z, të cilat nuk zhduken kur zëvendësojnë pikat. Por ato nuk duhet të zhduken! Duke zëvendësuar numrat në përcaktor, duhet të merrni këtë ndërtim:

Pastaj përcaktori zgjerohet sipas diagramit të dhënë në fillim të mësimit dhe fitohet ekuacioni standard i rrafshit:

Ax + By + Cz + D = 0

Hidhini një sy një shembulli. Është i fundit në mësimin e sotëm. Do të ndërroj qëllimisht linjat për t'u siguruar që përgjigja do të japë të njëjtin ekuacion të aeroplanit.

Detyrë. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër pika:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Pra, ne konsiderojmë 4 pika:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Së pari, le të krijojmë një përcaktues standard dhe ta barazojmë me zero:

Zgjerojmë përcaktorin:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Kjo është ajo, ne morëm përgjigjen: x + y + z − 2 = 0.

Tani le të riorganizojmë disa rreshta në përcaktor dhe të shohim se çfarë ndodh. Për shembull, le të shkruajmë një rresht me variablat x, y, z jo në fund, por në krye:

Ne zgjerojmë përsëri përcaktuesin që rezulton:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Ne morëm saktësisht të njëjtin ekuacion të planit: x + y + z − 2 = 0. Kjo do të thotë se në të vërtetë nuk varet nga rendi i rreshtave. Mbetet vetëm të shkruajmë përgjigjen.

Pra, jemi të bindur se ekuacioni i rrafshit nuk varet nga sekuenca e vijave. Mund të bëjmë llogaritje të ngjashme dhe të vërtetojmë se ekuacioni i rrafshit nuk varet nga pika, koordinatat e së cilës i zbresim nga pikat e tjera.

Në problemin e konsideruar më sipër, ne përdorëm pikën B 1 = (1, 0, 1), por ishte mjaft e mundur të merrej C = (1, 1, 0) ose D 1 = (0, 1, 1). Në përgjithësi, çdo pikë me koordinata të njohura që shtrihet në planin e dëshiruar.